BẢN CHẤT CỦA Sá» PHỨC - TrÆ°á»ng THPT Chuyên Tiá»n Giang
BẢN CHẤT CỦA Sá» PHỨC - TrÆ°á»ng THPT Chuyên Tiá»n Giang
BẢN CHẤT CỦA Sá» PHỨC - TrÆ°á»ng THPT Chuyên Tiá»n Giang
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC<br />
LỜI NÓI ĐẦU<br />
Thầy: Đinh Công Minh<br />
Trong chương trình toán <strong>THPT</strong> KHỐI LỚP 12, học sinh biết đến số phức như một biểu thức có<br />
dạng: z a bi , ta gọi là dạng đại số của số phức, trong đó:<br />
a gọi là phần thực của số phức z .<br />
b gọi là phần ảo của số phức z .<br />
<br />
i là đơn vị ảo, một con số lạ lẫm với tính chất bí hiểm:<br />
2<br />
i 1.<br />
Cách tiếp cận số phức dưới dạng z a bi giúp cho hầu hết học sinh đều có thể làm được các<br />
phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai căn số phức với một suy nghĩ rất tự nhiên là:<br />
Làm toán với số phức hoàn toàn giống như làm toán với số thực, chỉ có một điều đặc biệt cần nhớ là:<br />
2<br />
i 1.<br />
Về cơ bản thì có thể nói là hầu hết học sinh phần nào cũng chạm được vào số phức.<br />
Tuy nhiên, học sinh khó mà hiểu được bản chất của số phức, thậm chí là có thể tin rằng số phức là<br />
con số có thật cũng như là số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ hay số thực.<br />
Số phức trong toán học ngày nay thuộc về một lĩnh vực rộng lớn như lĩnh vực số thực. Với khả<br />
năng hạn chế của mình, người viết bài này hy vọng rằng có thể giúp người đọc thấy ra được vài điều<br />
thú vị về số phức, trong đó điều quan trọng nhất là thấy ra được bản chất của số phức. Nội dung của<br />
bài viết bao gồm:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Sự ra đời của số phức<br />
Việc xây dựng số phức<br />
Cách biểu diễn số phức.<br />
Sơ lược về hàm số biến số phức.<br />
Bài viết này không đi vào các ứng dụng đa dạng của số phức.<br />
Chắc chắn là bài viết không tránh khỏi có sai sót, tác giả xin chân thành đón nhận mọi đóng góp<br />
của người đọc giúp cho tác giả được dịp tự điều chỉnh và học hỏi thêm.<br />
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về:<br />
GV: Đinh Công Minh, Tổ toán tin – trường <strong>THPT</strong> Chuyên Tiền <strong>Giang</strong><br />
Email: tuminhkhoi@yahoo.com Phone: 0958.040.525.<br />
Trường <strong>THPT</strong> Chuyên Tiền <strong>Giang</strong>, ngày 05 tháng 02 năm 2012.<br />
Đinh Công Minh.<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 1
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBER)<br />
--------------------------------------------<br />
1. SỰ RA ĐỜI CỦA SỐ PHỨC<br />
1.1. Số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number), con số giả tưởng và tính chất bí hiểm đáng ngờ<br />
của nó<br />
Số phức ra đời từ giữa thế kỷ 16.<br />
Ta biết rằng phương trình bậc hai:<br />
, ,<br />
.<br />
xét trên trường số thực <br />
2<br />
x <br />
1<br />
(1.1) không có nghiệm thực, tức là nó vô nghiệm khi<br />
Các nhà toán học mong muốn rằng phương trình này có nghiệm, họ còn muốn rằng mọi phương<br />
trình đa thức đều phải có nghiệm, và nếu điều này xảy ra thì nghiệm đó không thể là số thực mà phải<br />
thuộc một loại số nào đó. Điều này làm nảy sinh ý tưởng là phải mở rộng trường số thực thành một<br />
trường số , , <br />
nào đó để trên trường số này thì phương trình (1.1) có nghiệm.<br />
Năm 1545, nhà toán học Italia là G.Cardano đã giải quyết vấn đề nghiệm của phương trình (1.1)<br />
bằng cách dùng ký hiệu 1 , hiển nhiên là 1 , để thể hiện nghiệm hình thức của phương trình<br />
này.<br />
Tiếp tục phương pháp hình thức như vậy, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức của phương trình:<br />
<br />
2 2<br />
x b b<br />
<br />
là b 1 . Cuối cùng, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức của phương trình:<br />
x a 2 b 2<br />
a,<br />
b <br />
là a b 1.<br />
G. Cardano đã gọi đại lượng a b 1 a,<br />
b <br />
không có thực, tức là một đại lượng giả tưởng.<br />
là đại lượng ảo, ngầm ý rằng nó là đại lượng<br />
Năm 1572, nhà toán học Italia là Bombelli định nghĩa các phép toán số học trên các đại lượng ảo<br />
mà ông gọi là các số ảo (tên gọi số phức là do nhà toán học người Đức là K.Gauss đặt ra vào năm<br />
1831). Ông được xem là người sáng tạo nên lý thuyết các số ảo, và cũng là người đầu tiên thấy được<br />
ích lợi của việc đem số ảo vào toán học như một công cụ hữu ích.<br />
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ toán học đã diễn ra rất chậm chạp: năm 1545,<br />
G.Cardano đưa ra ký hiệu 1<br />
cho ký hiệu 1<br />
thì mãi đến năm 1777, nhà toán học người Thụy Sĩ là L.Euler đặt tên<br />
là số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number) lài . Điều đó có nghĩa là:<br />
i<br />
2<br />
: 1, i 1<br />
.<br />
Tên gọi đơn vị ảo và ký hiệu i : 1<br />
cũng đã gây ra nhiều tranh cải và nghi ngờ trong giới toán<br />
học. Chẳng hạn, nhà toán học I. Newton đã không thừa nhận số ảo.<br />
Đẳng thức đáng ngờ nhất chính là tính chất lạ lẫm đến bí hiểm:<br />
quan hệ thứ tự trên tập hợp số quen thuộc là .<br />
2<br />
i <br />
1<br />
(1.2) bởi vì nó phá vở<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 2
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
2. VIỆC XÂY DỰNG SỐ PHỨC<br />
Nhà toán học người Đức là K. Gauss là người đầu tiên, năm 1831, sử dụng thuật ngữ số phức để<br />
chỉ các đại lượng ảo. Tuy nhiên, nhà toán học người Irland là W.Hamilton mới là người có công lao<br />
biến số phức từ một con số giả tưởng với tính chất bí hiểm:<br />
2<br />
i <br />
1 thành một con số có thật.<br />
Năm 1837, G.Hamilton xây dựng lý thuyết số phức một cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề<br />
hóa để từ đó số phức trở thành một số cũng quen thuộc với người làm toán như là số tự nhiên, số<br />
nguyên, số hữu tỉ hay số thực.<br />
<br />
G.Hamilton xét tập hợp z a, b<br />
/ a,<br />
b<br />
gồm các cặp số thực z a,<br />
b<br />
bị hai phép toán cộng và nhân thỏa bốn tiên đề T , T , T ,<br />
T dưới đây.<br />
Khi đó, mỗi cặp số thực z a,<br />
b<br />
<br />
1 2 3 4<br />
và trên đó trang<br />
được gọi là một số phức, và như vậy thì dáng vẻ của số phức<br />
chẳng còn xa lạ gì với người làm toán nữa bởi vì nó dựa hoàn toàn trên các số quen thuộc là số thực.<br />
Với mỗi z a , b , z a , b <br />
<br />
, ta có:<br />
1 1 1 2 2 2<br />
T 1 : (Tiên đề đồng nhất hai số phức) a1 a2<br />
z1 z2<br />
<br />
b1 b2<br />
T (Tiên đề phép cộng hai số phức) z z a a , b b <br />
2 :<br />
.<br />
1 2 1 2 1 2<br />
T (Tiên đề phép nhân hai số phức) z z a a b b , a b a b <br />
3 :<br />
T (Tiên đề đồng nhất số thực và số phức) <br />
4 :<br />
.<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1<br />
a,0 a,<br />
a<br />
.<br />
Ta hãy xem bốn tiên đề này nói lên điều gì và làm được gì.<br />
Tiên đề T<br />
hai tập hợp.<br />
Tiên đề <br />
1<br />
2<br />
thức chất chỉ là sự lặp lại định nghĩa sự đồng nhất hai phần tử của tích Descartes của<br />
T và T<br />
<br />
3<br />
.<br />
về cơ bản cho thấy các phép toán cộng và nhân hai số phức hoàn toán được<br />
xác định: các phép cộng và nhân hai số phức đều có kết quả là một số phức.<br />
Với ba tiên đề T , T ,<br />
T , ta có thể kiểm tra được rằng cấu trúc đại số , ,<br />
<br />
gọi là trường số phức.<br />
1 2 3<br />
Trường số phức là , ,<br />
<br />
có các tính chất đặc biệt sau đây:<br />
(1) Phần tử không đối với phép cộng là 0,0 .<br />
(2) Phần tử đối của z a,<br />
b<br />
đối với phép cộng là z a,<br />
b<br />
.<br />
là một trường<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 3
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
Do đó, trên , ,<br />
<br />
ta có thể định nghĩa phép toán trừ hai số phức như sau:<br />
a , b a , b a , b a , b <br />
a , b a , b a a , b b <br />
. (1.3)<br />
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2<br />
(3) Phần tử đơn vị đối với phép nhân là 1,0 , tức là<br />
1,0 . a, b a, b. 1,0 a, b, a,<br />
b<br />
.<br />
(4) Phần tử đảo của z a, b 0,0<br />
1<br />
Do đó: zz 1,0 , z \ 0,0<br />
đối với phép nhân là<br />
.<br />
<br />
<br />
z<br />
1<br />
1 a b<br />
, <br />
z a b a b<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
sau:<br />
Do đó, ta có thể định nghĩa phép chia số phức z a , b cho số phức z a , b 0,0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 1<br />
như<br />
2 2 2<br />
a1,<br />
b1 1<br />
a2 b <br />
2<br />
a1a2 b1b 2<br />
a2b1 a1b<br />
<br />
2<br />
a1, b1 a2, b2 a1, b1 <br />
, ,<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 . (1.4)<br />
a2,<br />
b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2<br />
<br />
Tiên đề T<br />
4<br />
là một tiên đề khá đặc biệt mà ta cần khảo sát kỹ lưỡng về nó.<br />
Trước tiên, ta thấy rằng ánh xạ sau đây là đơn ánh:<br />
Ngoài ra:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
a a,0<br />
Do T ,<br />
T nên ta có: a b a b,0 a,0 b,0 a b<br />
2 4<br />
.<br />
Do T ,<br />
T nên ta có: ab ab,0 a. b 0.0, a.0 0. b a,0 b,0 a<br />
b<br />
3 4<br />
<br />
.<br />
Do đó, là một đơn cấu trường nên nó là một phép nhúng trường số thực , ,<br />
<br />
vào trường số<br />
phức , ,<br />
. Nói cách khác:<br />
Trường số thực <br />
Do đó, ta có thể đồng nhất:<br />
Trường số thực <br />
, ,<br />
<br />
đẳng cấu với một trường con của trường số phức , ,<br />
<br />
, ,<br />
<br />
là một trường con của trường số phức , ,<br />
<br />
.<br />
.<br />
Như vậy thì phép đồng nhất số thực a với số phức <br />
a,0<br />
của tiên đề T<br />
<br />
4<br />
là hoàn toàn có nghĩa.<br />
Khi đó:<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 4
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
Phần tử không của phép cộng số phức chính là số thực 0.<br />
Phần tử đơn vị của phép nhân số phức chính là số thực 1.<br />
Phương pháp tiên đề hoá để xây dựng khái niệm mới bằng một hệ tiên đề đòi hỏi các tiên đề trong<br />
hệ phải độc lập với nhau và tương thích với nhau, nghĩa là chúng chỉ có thể hỗ trợ lẫn nhau chứ không<br />
được mâu thuẫn với nhau và nhất là không được mâu thuẫn với khái niệm cũ được bao hàm trong<br />
khái niệm mới được xác định bằng hệ tiên đề.<br />
Về cơ bản, mà cũng là quan trọng nhất, điều này phải được thể hiện ở chỗ: các phép toán số học<br />
z a z a phải có kết quả trùng với kết quả của<br />
cộng, trừ, nhân, chia hai số phức và <br />
1 1 ,0<br />
2 2 ,0<br />
các phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia hai số thực a 1<br />
và a 2<br />
.<br />
Ta sẽ thấy rằng yêu cầu nói trên cũng được nhà toán học W.Hamilton đáp ứng đầy đủ trong hệ<br />
T , T , T , T xây dựng trường số phức.<br />
tiên đề <br />
Thật vậy:<br />
1 2 3 4<br />
+ Theo các tiên đề ,<br />
<br />
T T , ta có:<br />
2 4<br />
,0 ,0 ,0<br />
a a a a a a (phép cộng số thực được bảo toàn).<br />
1 2 1 2 1 2<br />
+ Theo các tiên đề ,<br />
<br />
T T , ta có:<br />
3 4<br />
,0 ,0 0.0, .0 0. ,0<br />
a a a a a a a a a a<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
(phép nhân số thực được bảo toàn).<br />
+ Do a, b a,<br />
b<br />
và z z z z<br />
nên cùng với các tiên đề ,<br />
<br />
1 2 1 2<br />
,0 ,0 ,0 , 0 ,0 0 ,0<br />
a a a a a a a a a a<br />
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
(Phép trừ số thực được bảo toàn).<br />
a b<br />
<br />
a b a b<br />
1<br />
+ Do: a, b , , a, b<br />
\ 0,0<br />
và:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
a , b a a b b a b a b<br />
a b a b a b<br />
1 1 1 2 1 2 2 1 1 2<br />
,<br />
2 2 2 2<br />
2,<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
nên cùng với các tiên đề ,<br />
<br />
<br />
<br />
3 4<br />
<br />
<br />
<br />
T T , ta có:<br />
<br />
<br />
a ,0 a a 00 a 0 a 0 a a<br />
a<br />
<br />
<br />
1 1 2 2 1 1 1<br />
1<br />
, a2 \ 0 : ,<br />
2 2 2 2 ,0<br />
a2,0 a2 0 a2<br />
0 a2 a2<br />
(Phép chia số thực được bảo toàn).<br />
T T , ta có:<br />
3 4<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 5
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
Ngoài ra, do các tiên đề ,<br />
<br />
,0 ,0<br />
1 2 1 2<br />
T T , ta còn có:<br />
1 4<br />
a a a a (phép đồng nhất số thực được bảo toàn).<br />
2<br />
Bây giờ, ta sẽ thấy rằng số giả tưởng i , số đơn vị ảo, với tính chất bí hiểm: i 1<br />
được đề cập<br />
trước đây thì khi qua hệ tiên đề của W.Hamilton, nó trở thành con số rất thật, rất quen thuộc và tính<br />
chất trên của nó cũng rất là đúng đắn, rất thú vị chứ không có gì là bí hiểm nữa cả!<br />
Xem i a,<br />
b<br />
thì<br />
2 2<br />
2<br />
a<br />
b 1<br />
a<br />
0<br />
<br />
i 1 a, b a, b 1,0 aa bb, ab ba 1,0<br />
<br />
.<br />
2ab<br />
0 b<br />
1<br />
Vậy, có thể chọn i 0, 1<br />
hoặc 0,1<br />
i .<br />
W.Hamilton đã đặt tên cho cái mà ta gọi là đơn vị ảo i bởi: i 0,1<br />
.<br />
Vậy, số đơn vị ảo i chỉ đơn giản là cặp thứ tự hai số thực vô cùng quen thuộc 0 và 1.<br />
Thật thú vị là vai trò của hai số thực 0 và 1 ở đây: 0 là phần tử không của phép cộng số thực, và 1<br />
là phần tử đơn vị của phép nhân số thực!<br />
Tính chất bí hiểm:<br />
2<br />
i <br />
1 của số đơn vị ảo i đã được hoá giải, đã được đưa ra ánh sáng!<br />
Kế đến, cũng từ các tiên đề T ,<br />
T , ta có: , ,0 0, ,0 0,1<br />
3 4<br />
a b a b a b a bi .<br />
Đây chính là dạng đại số của số phức mà trong chương trình toán 12 <strong>THPT</strong> nó được dùng làm<br />
định nghĩa của số phức.<br />
Dạng đại số của số phức rất tiện lợi trong các phép toán số học về số phức. Ta sẽ nói sau về vấn đề<br />
này.<br />
Như vậy là mỗi số phức a,<br />
b<br />
bằng tổng của số thực thứ nhất a với tích của số thực thứ hai b<br />
với đơn vị ảo i . Tiếp nữa, theo các tiên đề ,<br />
<br />
T T , ta có:<br />
3 4<br />
a, b ,0 a, b a 0. b, b 0. a<br />
,<br />
tức là: , a, b : a, b a,<br />
b<br />
.<br />
Các phép tính số học đối với các số phức được thực hiện như đối với số thực<br />
Trong phần này, ta sẽ bàn về các phép tính số học cộng, trừ, nhân , chia các số phức dưới dạng đại<br />
số a<br />
bi<br />
được thực hiện như thể chúng là các số thực mà học sinh <strong>THPT</strong> đang được học.<br />
Ta sẽ thấy rằng:<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 6
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
Các phép toán số học trên số phức chính là các phép toán trên các biểu thức thực của biến i ,<br />
trong đó i 2 1.<br />
Để chứng minh điều này, ta sẽ đối chiếu kết quả của việc tính toán một cách hình thức các phép<br />
toán số học đối với các số phức có dạng a<br />
bi<br />
với kết quả của việc tính toán bằng hệ tiên đề<br />
, , ,<br />
<br />
T T T T và hai kết quả (1.3), (1.4).<br />
1 2 3 4<br />
a b i a b i a a b b i .<br />
Tính toán hình thức phép cộng: <br />
1 1 2 2 1 2 1 2<br />
a b i a b i a a b b i .<br />
Tính toán hình thức phép trừ: <br />
Tính toán hình thức phép nhân:<br />
1 1 2 2 1 2 1 2<br />
2<br />
<br />
a b i a b i a a a b i a b i b b i a a b b a b a b i .<br />
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1<br />
Tính toán hình thức phép chia:<br />
<br />
<br />
<br />
a b i a b i a b i a a b b a b a b i<br />
a b i a b i a b i a b<br />
1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
.<br />
Rõ ràng, kết quả của việc tính toán hình thức đối với các số phức có dạng đại số a<br />
bi<br />
toàn trùng khớp với các tính toán các số phức có dạng a,<br />
b<br />
theo hệ tiên đề W.Hamilton.<br />
<br />
hoàn<br />
Cửa còn đóng<br />
3. BIỂU DIỄN SỐ PHỨC<br />
Không một ai vào được<br />
Cửa mở rồi<br />
Mọi người cứ tự do.<br />
(Đinh Công Minh)<br />
Quả vậy, nhờ có hệ tiên đề , , ,<br />
<br />
T T T T của nhà toán học W.Hamilton mà số phức từ bóng<br />
1 2 3 4<br />
tối bí hiểm đã bước ra ngoài ánh sáng rực rỡ: Cửa đã mở!<br />
Bao nhiêu áp lực, ức chế, hoài nghi về sự tồn tại số phức và cấu trúc số phức của các nhà toán học<br />
đã được giải toả. Các nhà toán học tìm cách trang điểm cho số phức theo nhiều kiểu cách., nói tóm lại<br />
là các nhà toán học đã đưa ra rất nhiều cách thú vị để biểu diễn số phức dưới các dạng: cặp số thực có<br />
thứ tự, dạng đại số, dạng lượng giác, dạng vector, dạng mũ, dạng ma trận.<br />
3.1. Biểu diễn số phức bằng cặp số thực có thứ tự<br />
Đây là cách biểu diễn tự nhiên nhất theo đúng tinh thần của hệ tiên đề về số phức của W.<br />
2<br />
Hamilton, tức là mỗi số phức z là một cặp số thực có thứ tự a,<br />
b<br />
T , T , T ,<br />
T .<br />
1 2 3 4<br />
thỏa mãn hệ tiên đề<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 7
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
3.2. Biểu diễn số phức z a,<br />
b dưới dạng điểm z a,<br />
b<br />
mpOxy .<br />
Vì mỗi số phức là một cặp số thực có thứ tự z a,<br />
b<br />
một điểm z a,<br />
b mpOxy .<br />
nên có thể biểu diễn hình học số phức thành<br />
Khi đó:<br />
<br />
mpOxy gọi là mặt phẳng phức.<br />
Trục hoành là tập hợp các điểm a,0<br />
a<br />
Trục tung là tập hợp các điểm 0, . 0,1<br />
Phần tử không là gốc tọa độ O.<br />
Phần tử đơn vị là điểm 1,0 .<br />
Số đơn vị ảo i là điểm 0,1 .<br />
Hai số phức liên hợp z a,<br />
b<br />
và z a,<br />
b<br />
trục thực.<br />
3.3. Biểu diễn số phức z a,<br />
b<br />
gọi là trục thực.<br />
b b bi gọi là trục ảo.<br />
được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng qua<br />
dưới dạng đại số z a bi .<br />
Đây chính là định nghĩa số phức trong chương trình toán <strong>THPT</strong> là dạng rất tiện lợi trong các phép<br />
toán số học về số phức.<br />
3.4. Dạng lượng giác r cos<br />
i sin<br />
của số phức z a,<br />
b<br />
.<br />
Gọi <br />
r,<br />
là tọa độ cực của điểm z a,<br />
b<br />
thể hiện số phức z a,<br />
b<br />
thì:<br />
a r cos ,<br />
b rsin<br />
,<br />
nên ta có dạng biểu diễn sau đây gọi là dạng lượng giác của số phức:<br />
Chú ý rằng:<br />
<br />
<br />
z r cos<br />
i sin<br />
.<br />
2 2<br />
r a b z là module của số phức z .<br />
Ox,<br />
Oz<br />
gọi là argument của số phức z , ký hiệu là arg z .<br />
Argument có các tính chất giống như tính chất logarit sau đây:<br />
arg z z arg z arg z .<br />
<br />
z<br />
1 2 1 2<br />
arg 1 arg z arg z z<br />
0<br />
1 2 2<br />
z .<br />
2<br />
<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 8
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
Dạng lượng giác của số phức rất tiện lợi trong các phép tính nhân, chia, lũy thừa, khai căn số<br />
phức.<br />
3.5. Biểu diễn số phức z a,<br />
b<br />
dưới dạng vector Oz a,<br />
b<br />
<br />
trong mpOxy.<br />
Khi đó, module<br />
<br />
Oz a,<br />
b .<br />
<br />
<br />
2 2<br />
. của số phức z a,<br />
b<br />
z z z a b<br />
chính là module của vector<br />
Đây là cách biểu diễn hình học số phức rất tiện lợi trong các tính toán cộng, trừ, nhân, chia các số<br />
phức.<br />
w<br />
y<br />
y w<br />
y<br />
z<br />
z<br />
z2<br />
1 2<br />
z 2<br />
t<br />
O<br />
z 1<br />
x<br />
O<br />
1<br />
z 1<br />
x<br />
O<br />
z<br />
1<br />
x<br />
Hình 1<br />
Hình<br />
2<br />
Hình 3<br />
+ Trước tiên, phép cộng hai số phức chính là phép cộng hai vector như ở hình 1.<br />
+ Phép trừ là phép toán ngược của phép cộng nên phép trừ hai số phức chính là phép trừ hai<br />
vector.<br />
+ Phép nhân hai số phức z 1<br />
và z 2<br />
được cho ở hình 3.<br />
Dựng điểm w sao cho tam giác Oz2w đồng dạng thuận với tam giác O1z 1.<br />
Ta sẽ chứng minh w z1 z2<br />
, tức chứng minh:<br />
<br />
arg w arg z . z<br />
<br />
w z1 . z2<br />
<br />
1 2<br />
<br />
.<br />
Thật vậy, ta có:<br />
<br />
w<br />
z<br />
2<br />
z<br />
1<br />
w z1 . z2<br />
.<br />
1<br />
arg w Ox, Ow Ox, Oz Oz , Ow arg z arg z argz z <br />
.<br />
2 2 2 1 1 2<br />
+ Phép chia của số phức 1<br />
z cho số phức 0,0<br />
z1<br />
z định bởi<br />
z<br />
1<br />
z1.<br />
z<br />
và do phép nhân biểu diễn<br />
hình học được nên ta chỉ cần xác định được 1 z<br />
là xong.<br />
Hình 4 minh họa hình học cách xác định điểm 1 z với 0,0<br />
z cho trước trong trường hợp z 1 :<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 9
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
Dựng t là một trong hai giao điểm của đường tròn đơn vị với đường vuông góc với tia Oz. Tiếp<br />
tuyến với đường tròn tại S cắt tia Oz tại w.<br />
Ta sẽ chứng minh:<br />
1<br />
w , tức chứng minh:<br />
z<br />
1<br />
w <br />
z<br />
<br />
.<br />
1<br />
arg w arg<br />
z<br />
<br />
<br />
1<br />
Hiển nhiên là arg w arg .<br />
z<br />
Hai tam giác Ozt và Otw đồng dạng nên ta có:<br />
w<br />
t<br />
<br />
t<br />
z<br />
, hay là<br />
w<br />
1<br />
.<br />
z<br />
Trường hợp z 1, ta hoán vị vai trò của z và w trong hình 4 thì dựng được 1 z .<br />
1 z z<br />
Trường hợp z 1thì z . Hai số phức liên hiệp đối xứng nhau qua trục hoành nên<br />
2<br />
z z.<br />
z z<br />
ta cũng dựng được 1 z .<br />
3.6. Dạng mũ<br />
z<br />
i<br />
re của số phức có dạng lượng giác z rcos<br />
i sin<br />
<br />
.<br />
Đây là dạng cực kỳ quan trọng trong giải tích phức, để xây dựng và khảo sát các hàm số biến số<br />
phức.<br />
Trong giải tích phức, hàm số biến số phức nói chung là hàm đa trị, chẳng hạn hàm<br />
n<br />
* <br />
f z z n có n giá trị phân biệt nếu z 0 .<br />
Các nhà giải tích đã xây dựng các hàm số tổng quát như: lũy thừa,căn thức, đa thức, phân thức,<br />
lượng giác, mũ, loga,... sao cho thu hẹp các hàm này trên trường số thực thì chúng chính là các hàm<br />
số thực quen thuộc của chúng ta.<br />
Các công thức khai triển Taylor hàm sin, cos, exp trong giải tích thức chỉ là sự thu hẹp của các<br />
z<br />
công thức khai triển Taylor các hàm phức cos z,sin z,<br />
e như sau đây:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
2 4 6<br />
1<br />
2n<br />
z z z<br />
cos z z 1 ...<br />
n0<br />
<br />
<br />
n<br />
3 5 7<br />
1<br />
n1<br />
z z z<br />
sin z z z ...<br />
e<br />
z<br />
n0<br />
<br />
<br />
n0<br />
2 n ! 2! 4! 6!<br />
<br />
2n<br />
1 ! 3! 5! 7!<br />
n<br />
2 3 4<br />
z z z z z<br />
1 ...<br />
n! 1! 2! 3! 4!<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 10
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
Từ đây, ta có:<br />
iz iz iz<br />
2 4 6<br />
2 4 6<br />
z z z<br />
cos z 1 ... 1 ...<br />
2! 4! 6! 2! 4! 6!<br />
iz iz iz iz<br />
3 5 7<br />
3 5 7<br />
z z z<br />
i sin z iz i i i ... ...<br />
3! 5! 7! 1! 3! 5! 7!<br />
Do đó:<br />
Ta được công thức Euler:<br />
iz iz iz iz iz<br />
2 3 4 5<br />
iz<br />
cos z i sin z 1 ... e .<br />
1! 2! 3! 4! 5!<br />
iz<br />
e cos z isin<br />
z z <br />
là công thức rất quan trong trong lý thuyết hàm biến phức.<br />
Trở lại vấn đề dạng mũ của số phức mà ta đang bàn.<br />
iz<br />
Trong công thức Euler: e cos z i sin zz<br />
<br />
, chọn z thì được:<br />
e<br />
i<br />
cos i sin ,<br />
<br />
.<br />
Từ đây, với dạng lượng giác của số phức: z rcos<br />
i sin<br />
<br />
<br />
, ta suy ra:<br />
i<br />
r z<br />
z r cos<br />
isin re , .<br />
<br />
arg z<br />
<br />
Dạng biểu diễn<br />
z re z e<br />
i<br />
i arg z<br />
gọi là dạng mũ của số phức.<br />
Dạng mũ của số phức rất tiện lợi trong các tính toán về lũy thừa, khai căn số phức nhưng quan<br />
trọng hơn cả là dạng mũ của số phức được sử dụng để xây dựng và khảo sát các hàm số biến số phức<br />
trong lý thuyết hàm biến phức.<br />
3.7. Dạng ma trận<br />
a<br />
<br />
b<br />
b<br />
a<br />
<br />
<br />
của số phức z a,<br />
b<br />
.<br />
Số phức có một dạng biểu diễn thú vị nữa là dạng biểu diễn thành một ma trận vuông cấp hai.<br />
<br />
a b<br />
<br />
Xét tập M / a,<br />
b<br />
<br />
b a<br />
<br />
<br />
<br />
với hai phép toán cộng và nhân ma trận thông thường.<br />
Có thể chứng minh được rằng M , , <br />
là một trường, trong đó:<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 11
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 0<br />
Phần tử không là ma trận <br />
0 0<br />
.<br />
<br />
1 0<br />
Phần tử đơn vị là ma trận <br />
0 1<br />
.<br />
<br />
a b<br />
Phần tử đối của phần tử z b a<br />
là phần tử<br />
<br />
a<br />
b<br />
z<br />
<br />
b a<br />
.<br />
<br />
a b<br />
Phần tử đảo của phần tử z b a<br />
là ma trận nghịch đảo z<br />
<br />
1<br />
<br />
a<br />
1 a b<br />
<br />
b b a<br />
.<br />
<br />
2 2<br />
Bây giờ, ta sẽ xác định gương mặt ma trận của phần tử đơn vị ảo i thỏa:<br />
2<br />
i 1.<br />
thực.<br />
Muốn vậy, trước tiên ta sẽ tìm dạng của một ma trận<br />
a<br />
z <br />
b<br />
b<br />
M<br />
a <br />
<br />
có thể đồng nhất với một số<br />
Xét tập con<br />
0<br />
<br />
a 0 <br />
M <br />
/ a M<br />
0 a<br />
với hai phép toán cộng và nhân ma trận cảm sinh trên M.<br />
<br />
<br />
Nhận xét rằng ta có đẳng cấu:<br />
a<br />
<br />
0<br />
M<br />
0<br />
<br />
0<br />
a<br />
a<br />
<br />
<br />
Do đó, có thể đồng nhất mỗi số thực a với ma trận<br />
a<br />
<br />
0<br />
0<br />
M<br />
a<br />
<br />
<br />
0<br />
.<br />
Xem<br />
a<br />
i <br />
0<br />
0<br />
a<br />
<br />
<br />
thỏa i 2 1, tức là:<br />
a b a b 1 0 <br />
<br />
b a<br />
b a<br />
<br />
0 1<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
a b 2ab<br />
1 0 a<br />
b 1<br />
a<br />
0<br />
<br />
2 2 <br />
2ab a b 0 1<br />
<br />
<br />
2ab<br />
0 b<br />
1<br />
Có thể chọn a 0, b 1<br />
thì được đơn vị ảo là ma trận<br />
0 1<br />
i 1 0<br />
.<br />
<br />
Khi đó, mỗi số phức z tương ứng với ma trận:<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 12
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012<br />
a b a 0 0 b a 0 0 1<br />
z b a bi<br />
b a<br />
<br />
0 a<br />
<br />
b 0<br />
<br />
0 a<br />
<br />
1 0<br />
.<br />
<br />
Ta tìm lại được dạng đại số của số phức!<br />
4. SƠ LƯỢC VỀ HÀM SỐ BIẾN SỐ PHỨC<br />
Tương tự như số thực, ta cũng có các hàm số một hoặc nhiều biến phức nhận giá trị phức.<br />
Mỗi hàm số một biến phức<br />
nhiều giá trị w .<br />
Nói chung, hàm biến phức là một hàm đa trị.<br />
Với z x yi và w u vi<br />
, , <br />
w f z u x y iv x y .<br />
w f z<br />
là phép đặt tương ứng mỗi giá trị z D với một hoặc<br />
, tức là: x Re z, y Im z, u Re f z, v Im f z<br />
, ta có thể viết:<br />
Do đó, việc cho một hàm phức biến số phức<br />
biến số thực u u x,<br />
y<br />
và v v x,<br />
y<br />
.<br />
w f z<br />
tương đương với việc cho hai hàm thực hai<br />
Việc nghiên cứu về các hàm biến phức thuộc lĩnh vực của Giải tích phứclà một lĩnh vực rộng lớn.<br />
Ta sẽ không đề cập ở đây.<br />
TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />
[1] Nhập môn giải tích phức, TS. Nguyễn Hữu Anh, ĐH Tổng Hợp TP. HCM, 1979.<br />
[2] Hàm phức và toán tử Laplace, TS. Võ Đăng Thảo, Đ.H.B.K TP. HCM, 2004.<br />
[3] Hàm một biến phức – Lý thuyết và ứng dụng, TS. Đậu Thế Cấp, NXB GD, 1999.<br />
[4] Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace, TS. Phan Bá Ngọc, ĐHBK Hà Nội, 1996<br />
[5] Số phức và ứng dụng, Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất, Nguyễn Thủy<br />
Thanh, NXB GD, 2009.<br />
TỔ TOÁN TRƯỜNG <strong>THPT</strong> CHUYÊN TIỀN GIANG trang 13