model s heksagonalno mre zo - Raziskave - Univerza v Ljubljani

More documents

Recommendations

Info

4 Spreminjanje gostote in parametra urejenosti 4.1 Prirejeni model z mrezo Do sedaj smo obravnavali nematik ob predpostavki idealnega nematskega reda, kar je pomenilo, da so bile podolgovate tekocekristalne molekule povsod po vzorcu usmerjene natanko vzdolz lokalnega direktorja. V tem primeru je bil skalarni parameter urejenosti S enak ena, \spini" v mreznem modelu pa so predstavljali kar molekule same. V resnici molekule pri koncni temperaturi uktuirajo okoli povprecne smeri, ki jo doloca direktor n. Parameter urejenosti S je zato manjsi od ena, lahko pa se celo s krajem spreminja. Model z mrezo bomo v tem poglavju priredili tako, da bo omogocal tudi obravnavo taksnih primerov. Porazdelitev molekulskih dolgih osi a po prostorskem kotu je za S 6= 0 anizotropna, smer te anizotropije pa podaja vektor n. Zaradi preprostosti se bomo omejili na enoosne nematike, v katerih je porazdelitev dolgih osi a osno simetricna okoli smeri n. \Spini" mreznega modela tako za S < 1 ne bodo vec predstavljali molekul samih, ampak lokalne direktorje. Druga sprememba, ki bi jo radi vnesli v model, je spreminjanje gostote tekocega kristala ob povrsini vzorca. Do zdaj smo namrec vselej obravnavali izkljucno \idealno" povrsino, pri kateri je bila gostota predstavljena s stopnicasto nezvezno funkcijo, ki jo zdaj zelimo nadomestiti z zvezno spreminjajocim se prolom gostote. V nadaljevanju bomo obravnavali nematski tekoci kristal v priblizku povprecnega polja, v katerem zanemarimo neposredne korelacije med molekulami nematika. Razen stericnih sil kratkega dosega so namrec za nastanek nematske tekocekristalne faze odgovorne zlasti anizotropne interakcije van der Waalsove vrste, kakrsne smo obravnavali v prejsnjem poglavju. Ker je doseg teh interakcij dolg, posamezna tekocekristalna molekula interagira z velikim stevilom sosedov, to pa pomeni, da je priblizek povprecnega polja dovolj dober. Ob zanemaritvi neposrednih korelacij posamezne molekule s sosedi lahko torej njeno obnasanje opisemo z enodelcno orientacijsko porazdelitveno funkcijo f, ki je odvisna od lege molekule R, trenutne orientacije pripadajoce ji dolge osi a in od lokalnega direktorja n: f = f(n a R). Funkcija f mora biti skalar, zato v njej nastopa skalarni produkt vektorjev n in a. Opis nematika s porazdelitveno funkcijo omogoca tudi preprosto posplositev obravnave na nehomogene faze, v katerih postaneta S in funkciji kraja. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da sta prola S = S(R) in = (R) vnaprej 28
Spreminjanje gostote in parametra urejenosti 29 dani funkciji. V okviru celovite obravnave povrsine tekocega kristala bi bilo sicer potrebno poseci na primer po statisticnomehanicni teoriji gostotnega funkcionala [57,58], kjer z minimizacijo ustreznega termodinamicnega potenciala (velepotenciala) razen direktorskega prola n(R) hkrati dobimo tudi resitve za krajevni odvisnosti (R) inS(R). Od vseh clenov, ki nastopajo v velepotencialu, bomo tukaj tako obdrzali le clen, ki opisuje energijo anizotropnih medmolekulskih interakcij, medtem ko clena s kemijskim potencialom in entropijskega clena zaradi ze vnaprej dolocenih odvisnosti (R) in S(R) ni potrebno upostevati. Obravnavajmo par molekul pri koordinatah R in R 0 s trenutnima smerema dolgih osi a in a 0 , ustrezna lokalna direktorja pa oznacimo z n = n(R) in n 0 = n(R 0 ). Urejanje molekul na mestu R opisemo s porazdelitveno funkcijo f = f(n a R), ki je lahko tudi funkcija kraja. Za nadaljnjo analizo jo je potrebno povezati s proloma gostote (R) in skalarnega parametra urejenosti S(R). Splosno obliko porazdelitvene funkcije f(n a R) opisemo z razvojem v vrsto po Legendreovih polinomih. Razvoj do najnizjega reda, ki ze opisuje anizotropijo nematske faze in je v skladu z njeno simetrijo, se glasi f(n a R) =I(R)+(R)(n a) 2 (4.1) kjer predstavlja I(R) delez izotropnega nereda in (R) delez nematskega reda v ureditvi molekul. Gostoto snovi deniramo z integralom (R) = R f(n a R) da. Ce ga izvedemo po vsem prostorskem kotu in izrazimo I(R), sledi I(R) = (R) 4 ; (R) : (4.2) 3 Kolicina (R) mora biti povezana s skalarnim parametrom urejenosti, ki ga zdaj oznacimo z S(R). V primeru popolnega nematskega reda mora biti I(R) = 0, hkrati pa zahtevajmo S(R) =1. Po drugi strani pa mora pri popolnoma neurejeni (izotropni) ureditvi z S(R) =0veljati, da v funkciji f ni vec kotne odvisnosti, torej (R) =0. Iz vsega navedenega sledi, da je potrebno (R) vpeljati kot (R) = 3 S(R)(R): (4.3) 4 Potem lahko porazdelitveno funkcijo f izrazimo s proloma parametra urejenosti S(R) ingostote(R) f(n a R) = (R) 4 h 1 ;S(R)+3S(R)(n a) 2i : (4.4) Oglejmo si se enkrat ureditev molekul v primeru \popolnega nematskega reda". V porazdelitveno funkcijo (4.4) vstavimo S(R) = 1 in dobimo f(n a R) / (n a) 2 , ki je zvezna funkcija kota med a in n in ima maksimum v smeri n. Po drugi strani so bile za S = 1 v opisu iz prejsnjega poglavja vse molekulske dolge osi a usmerjene natancno vzporedno z vektorjem n. V tem primeru je bila orientacijska porazdelitvena funkcija pravzaprav -funkcija v smeri n, ki jo lahko sicer vedno zapisemo z neskoncnim razvojem po Legendreovih polinomih. Zaradi preprostosti
Page 1 and 2: Univerza v Ljubljani Fakulteta za m
Page 3 and 4: smer studija: Fizika trdne snovi Po
Page 5 and 6: 1 Uvod Tekoci kristali so anizotrop
Page 7 and 8: 2 Elasticnost ograjenih nematikov 2
Page 9 and 10: Elasticnost ograjenih nematikov 9 p
Page 11 and 12: Elasticnost ograjenih nematikov 11
Page 13 and 14: 3 Model s heksagonalno mrezo 3.1 Pr
Page 15 and 16: Model s heksagonalno mrezo 15 Razda
Page 17 and 18: Model s heksagonalno mrezo 17 model
Page 19 and 20: Model s heksagonalno mrezo 19 geome
Page 21 and 22: Model s heksagonalno mrezo 21 q je
Page 23 and 24: Model s heksagonalno mrezo 23 Slika
Page 25 and 26: Model s heksagonalno mrezo 25 Slika
Page 27: Model s heksagonalno mrezo 27 varia
Page 31 and 32: Spreminjanje gostote in parametra u
Page 37 and 38: Sklep 37 nematika upostevali le ani
Page 39 and 40: Literatura 39 [26] H. Yokoyama, Phy
Page 41: Izjava Izjavljam, da sem v magistrs

model s heksagonalno mre zo - Raziskave - Univerza v Ljubljani

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?