Zbigniew Kotulski (Warszawa) Generatory liczb losowych: algorytmy ...

Generatory liczb losowych 25gdzie Q 1i=1f0 1g jest iloczynem kartezjaskim przeliczalnej liczby zbiorwdwuelementowych f0 1g. Mona teraz pokaza, e tak zdeniowany generatorbitw mapodstawowe wasnoci wymagane od generatora: jednoznacznzaleno cigu od warunku pocztkowego, rwne prawdopodobiestwo wystpienia0" i 1" oraz (asymptotycznie) statystyczn niezaleno bitw(por. [57], [58]). Fakty te mona zapisa w postaci nastpujcych trzechtwierdze.(4.45)Twierdzenie. Dla kadego s 2 S 0 speniony jest warunek(G ;1 (fb i (s)g)) = 0:Twierdzenie to mwi, e jeeli wemiemy dwa rne ziarna (warunki pocztkoweukadu dynamicznego), to w wyniku otrzymamy (zprawdopodobiestwem1) dwa rne cigi bitw. W rzeczywistoci, w wyniku chaotycznociukadu dynamicznego, nawet dla dwch bardzo bliskich warunkwpocztkowych otrzymane cigi bitw bd si znacznie rniy.Poniewa ukad dynamiczny jest mieszajcy, jestonrwnie ergodyczny.Twierdzenie ergodyczne Birkhoa{Chinczyna ma dla naszego ukadu postaTwierdzenie.X1\ n;1(4.46) lim S0 (F i (s)) = S0 d = (S 0 )n!1 ni=0 Sgdzie S0 jest funkcj indykatorow zbioru S 0 .A zatem, poniewa przyjlimy, e(S 0 )=1=2, wnioskujemy, e w wygenerowanymcigu bitw G(s) =fb i (s)g i=12...,dlakadego warunku pocztkowegos, rednia liczba bitw 0"dydo1=2. Ten fakt ma rwniemiejsce dla kadego (losowo wybranego) podcigu (b kn ) n=12... .Innym efektem warunku mieszania jest asymptotyczna niezaleno bitw,ktr mona uj w formie nastpujcego twierdzenia.Twierdzenie. Jeeli ukad dynamiczny (S F ) spenia warunek mieszania,to istnieje taka liczba naturalna k e dla kadego s 2 S 0 , bity b i orazb i+k s (asymptotycznie przy rosncym k) niezalene dla i =1 2 ...Zatem, biorc jako generator losowych bitw zmodykowany ukad dynamiczny(S 0 H 1 k ):=(S0 F k ), dla dostatecznie duego k uzyskujemy rdobitw speniajcych nasze podstawowe wymagania, to znaczy niezalenych io rozkadzie rwnomiernym. Spenienie dodatkowych wymaga statystycznychmona zagwarantowa przez wybr odpowiedniego odwzorowania F iodpowiedniego podziau przestrzeni stanw naS 0 , S 1 (por. [55]).Chaotyczne generatory bitw, posiadajce, w teorii, nieskoczony okresiwszelkie wasnoci idealnych generatorwcigwlosowych, w praktyce komputerowejnapotykaj na trudnoci wynikajce z dyskretnej struktury arytmetykikomputerowej i ze skoczonej (lecz dowolnie duej) dugoci sowa