Zbigniew Kotulski (Warszawa) Generatory liczb losowych: algorytmy ...

Generatory liczb losowych 27Rozwizywalne ukady dynamiczne pozwalaj nie tylko zwikszy praktycznpowtarzalno (na rnych komputerach) procedury generacji bitwpoprzez porwnanie wyniku uzyskanego dwiema metodami, lecz rwniezwikszy prdko oblicze, na przykad przez obliczanie co k-tego stanu iunikanie k ; 1 iteracji odwzorowania.Ukady dynamiczne bdce iteracj pewnych odwzorowa maj, z punktuwidzenia kryptograi, t sam wad co generatory kongruencyjne, toznaczy s przewidywalne. Jak atwo zauway, zbir moliwych pooepunktw (X n X n+1 ) pokrywa si z wykresem funkcji rzeczywistej y = F (x),gdzie F (x) jest odwzorowaniem generujcym ukad dynamiczny. Cecha tajest mniej istotna dla generatora bitw, poniewa zaleno funkcyjna X n+1od X n jest ukryta przez transformacj stanu na bit, niemniej jednak uytkowniktakiego generatora byby spokojniejszy, gdyby uywany ukad dynamicznynie mia tej cechy. Remedium moe tu by wykorzystanie tzw.konstruowalnych ukadw dynamicznych.Zacznijmy od rozwizywalnego ukadu dynamicznego, ktrego odwzorowaniegenerujce ma posta(4.53)X n+1 = sin 2 (z arcsin p X n )gdzie parametr z jest liczb naturaln. Rozwizanie rwnania (4.53) maposta(4.54)X n =sin 2 (z n )jego wykadnik Lapunowa jestrwny = lnz, a ukad jest chaotycznydla z>1. Jak wida, odwzorowanie (4.53) jest przewidywalne (w jednymkroku).Rozwamy teraz dowolny cig postaci (4.54). Jeeli parametr z w(4.54)jest uamkiem, to cig ten jest chaotyczny, jednak odwzorowanie wice zesob punkty X n i X n+1 jest wielowartociowe, to znaczy nie mona przedstawigo w postaci(4.55)X n+1 = F (X n )(por. [19]). W szczeglnoci, gdy z w (4.54) jest uamkiem postaci(4.56)z = p q gdzie p i q s liczbami wzgldnie pierwszymi, to wykres (X n X n+1 ) jestkrzyw Lissajous tak, e kadej wartoci X n odpowiada q wartoci X n+1 ,akadej wartoci X n+1 odpowiada p wartoci X n .Takie odwzorowanie nie jestprzewidywalne. Sytuacj jeszcze lepsz pod tym wzgldem otrzymamy dlaniewymiernego parametru z wrwnaniu (4.54). Wwczas liczba wzajemnieodpowiadajcych sobie punktw jest niemoliwa do okrelenia.Bogatym rdem nieprzewidywalnych chaotycznych ukadw dynamicznychdo celw kryptogracznych s ukady dwuwymiarowe (por. np. [4]) lub