Zbigniew Kotulski (Warszawa) Generatory liczb losowych: algorytmy ...

More documents

Recommendations

Info

8 Z. Kotulski3.3.1. Metoda odwracania dystrybuanty. Zamy, eF () jest dystrybuantpewnego rozkadu prawdopodobiestwa, a(3.10)X i i =1 2 ...jest cigiem niezalenych zmiennych losowych o rozkadzie rwnomiernymna odcinku [0 1]: Wwczas cig zmiennych losowych zdeniowanych jako(3.11)Y i = F ;1 (X i )i =1 2 ...jest cigiem niezalenych zmiennych losowych o rozkadzie zadanym dystrybuantF .(3.12)Przykad. Rozwamy dystrybuant rozkadu wykadniczegoFunkcj odwrotn do (3.12) jest(3.13)F (x) =1; e ;x :F ;1 (y) =; ln(1 ; y)i dla niezalenych zmiennych losowych (3.10) cig(3.14)Y i = ; ln(1 ; X i )i =1 2 ...jest cigiem niezalenych zmiennych losowych o rozkadzie wykadniczym.Istotnym ograniczeniem w zastosowaniu tej metody jest trudno obliczeniadla niektrych rozkadw funkcji odwrotnej do ich dystrybuanty.Ograniczenie to mona jednak omin, wykorzystujc wyraenia przybli-one dla dystrybuant lub funkcji do nich odwrotnych.Przykad. Dystrybuanta (t) rozkadu normalnego N(0 1) nie moeby wyraona przez funkcje elementarne. Jednak mona j przybliy z dudokadnoci przez takie funkcje. Korzystajc z wyraenia 1=2 ; erf(;t) dla t 0(3.15)(t) =1=2+erf(t) dla t>0gdzie jest erf() jest tzw. funkcj bdu, i z przyblionego wyraenia dla tejfunkcji (por. [1])gdzieorazerf(t) =1; (a 1 z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + a 4 z 4 + a 5 z 5 ) exp[;z 2 ]+"(z)z = 11+pt j"(z)j 15 10 ;7p =03275911a 2 = ;0284496736a 4 = ;1453152027a 1 =02548295921a 3 =1421413741a 5 =1061405429
Generatory liczb losowych 9moemy uzyska przyblienie (t) z dokadnoci rzdu 10 ;7 dla wszystkicht 2 (;1 1).3.3.2. Metoda eliminacji (J. von Neumann). Metoda eliminacji opartajest na tej wasnoci zmiennych losowych, e ich histogram z prby dydo gstoci rozkadu (jeli ta istnieje { por. [59]). W przypadku jednowymiarowympozwala ona generowa liczby losowe owartociach z przedziau(a b) o rozkadzie zadanym gstoci prawdopodobiestwa f(x) speniajcwarunek f(x) c dla x 2 (a b). (W przypadku wielowymiarowym zmiennalosowa przyjmuje wartoci w kostce (a b) n ).Algorytm dla rozkadu jednowymiarowego1. Generujemy dwie liczby losowe R 1 i R 2 , odpowiednio, R 1 o rozkadzie U(a b) R 2 o rozkadzie U(0c):2. Sprawdzamy, czy(3.16)R 2 f(R 1 ):Jeeli warunek (3.16) jest speniony, to przyjmujemy(3.17)X = R 1 :W przeciwnym wypadku eliminujemy wylosowany punkt i powtarzamy losowaniez kroku 1.Algorytm dla rozkadu wielowymiarowego1. Generujemy n + 1 liczb losowych R 1 , R 2 ...R n R n+1 ,wtym R 1 R 2 ...R n o rozkadzie U(a b) R n+1 o rozkadzie U(0c):2. Sprawdzamy, czy(3.18)R n+1 f(R 1 R 2 ...R n ):Jeeli warunek (3.18) jest speniony, to przyjmujemy(3.19)(X 1 X 2 ...X n )=(R 1 R 2 ...R n ):W przeciwnym wypadku eliminujemy wylosowany punkt i powtarzamy losowaniez kroku 1.3.3.3 Metoda superpozycji rozkadw. Metoda ta oparta jest na twierdzeniuo prawdopodobiestwie cakowitym:(3.20)gdzie:f(x) =1\;1g y (x)h(y)dy dla ustalonego y, g y (x) jest pewn gstoci prawdopodobiestwa zalenod parametru y, h(y) jest gstoci prawdopodobiestwa parametru y.
Page 3: Generatory liczb losowych 3ekonomic
Page 6 and 7: 6 Z. KotulskiKolejne liczby losowe
Page 10 and 11: 10 Z. KotulskiAlgorytm generowania
Page 13 and 14: Generatory liczb losowych 134. GENE
Page 15 and 16: Generatory liczb losowych 15(4.3)(4
Page 19 and 20: Generatory liczb losowych 19 Funkcj
Page 21 and 22: Generatory liczb losowych 214.4.2.
Page 23 and 24: Generatory liczb losowych 23 Algory
Page 25 and 26: Generatory liczb losowych 25gdzie Q
Page 27 and 28: Generatory liczb losowych 27Rozwizy
Page 29 and 30: Generatory liczb losowych 29Najszer
Page 31 and 32: Generatory liczb losowych 31Oprcz o
Page 33 and 34: Generatory liczb losowych 33[11] Cz
Page 35: Generatory liczb losowych 35[59] W.

Zbigniew Kotulski (Warszawa) Generatory liczb losowych: algorytmy ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?