các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi - Dong Thap in ...

www.VNMATH.comHàm số thực nhiều biến thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm lồi nhiều biến. Khi đó, hiểnnhiên[]n∑F(x 1 ,x 2 ,...,x n ) = max F(z 1 ,z 2 ,...,z n )+ (x i −z i ) ∂F .R(z)∂z iTiếp theo, ta xét lớp các hàm lồi bậc cao và một số tính chất cơ bản của chúng. Trước hết, tanhắc đến các tính chất đặc trưng và cũng là định nghĩa của hàm đồng biến và hàm lồi quen biết.Tính chất 1. [[2] Dạng nội suy] Hàm số f(x) đồng biến trên tập I(a,b) khi và chỉ khi với mọicặp số x 1 ,x 2 ∈ I(a,b), ta đều cóf(x 1 )+ f(x 2) 0. (3)x 1 −x 2 x 2 −x 1Tính chất 2. [[2] Dạng nội suy] Hàm số f(x) lồi trên I(a,b) khi và chỉ khi với mọi bộ ba số phânbiệt x 0 ,x 1 ,x 2 ∈ I(a,b), ta đều cóf(x 0 )(x 0 −x 1 )(x 0 −x 2 ) + f(x 1 )(x 1 −x 2 )(x 1 −x 0 ) + f(x 2 )(x 2 −x 0 )(x 2 −x 1 )i=1 0. (4)Định nghĩa 2. [[2]] Hàm số f(x) được gọi là n−lồi trên I(a,b) khi ứng với mọi bộ n+1 số phânbiệt trong I(a,b), ta đều cóf[x 0 ,x 1 ,...,x n ] :=n∑j=0f(x j )ω ′ (x j ) 0,trong đóω(x) :=n∏(x−x k ).k=0Tương tự ta có cũng có định nghĩa hàm lõm bậc cao.Định nghĩa 3. [[2]] Hàm số f(x) được gọi là n−lõm trên I(a,b) khi ứng với mọi bộ n+1 số phânbiệt trong I(a,b), ta đều cóf[x 0 ,x 1 ,...,x n ] :=n∑j=0f(x j )ω ′ (x j ) 0,trong đóω(x) :=n∏(x−x k ).k=0Sử dụng khai triển Taylor, ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức sau đối với lớp hàm lồi bậcbốn. Các kết luận này cũng đúng đối với lớp hàm lồi bậc chẵn tùy ý.18