các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi - Dong Thap in ...

www.VNMATH.comTính chất 5. Bốn tam giác chiếu T i , i = 1,4 đôi một thấu xạ với nhau. Tâm thấu xạ B ij củahai tam giác chiếu T i và T j nằm trên đường thẳng chứa cạnh A k A l , đối diện với cạnh nối hai đỉnhtương ứng A i ,A j , đồng thời cũng là một trong hai giao điểm của các đường tròn (v i ), (v j ) ngoạitiếp các tam giác chiếu T i , T j . Cụ thể là, T i và T j là hai tam giác thấu xạ, thì (theo định nghĩa),các đường thẳng A ij A ji ,A ik A jl và A il A jk nối các cặp đỉnh tương ứng đồng quy ở một điểm (điểmthông thường) B ij thuộc đường thẳng A k A l và cũng là một điểm chung của (v i ) và (v j ), hay đặcbiệt song song với nhau. Nói cách khác, trong trường hợp này thì B ij được xem là điểm xa vô tậnchung của ba đường thẳng song song A ij A ji ,A ik A jl và A il A jk .Tính chất 6. Bốn đường tròn (v i ) ngoại tiếp bốn tam giác chiếu T i , i = 1,2,3,4, đồng quy ở mộtđiểm; ký hiệu điểm đồng quy này là ω. 1Tính chất 7. Bốn đường tròn Euler C i của bốn tam giác △ i (A j A k A l ) có các đỉnh là ba trongbốn đỉnh của tứ điểm {A 1 A 2 A 3 A 4 } cũng đồng quy ở một điểm, trùng với điểm đồng quy ω củabốn đường tròn (v i ) nói trên.Tính chất 8. Điểm đồng quy ω của tám đường tròn (hoặc đường thẳng) (v i ) và (C i ), i = 1,2,3,4là tâm đồng dạng chung của sáu phép đồng dạng thuận (phép vị tự quay) Z ij biến T i thành T j . Nócũng là tâm đồng dạng chung của ba phép đồng dạng thuận (vị tự quay) Z 12,34 , Z 12,34 , và Z 14,23biến tứ điểm chiếu này của {A 1 A 2 A 3 A 4 } thành tứ điểm chiếu kia của {A 1 A 2 A 3 A 4 }.Q 12,34 ↦→ Q 13,24 ; Q 12,34 ↦→ Q 14,23 , và Q 13,24 ↦→ Q 14,23 .Tính chất 9. Gọi O i là tâm đường tròn (v i ) ngoại tiếp tam giác chiếu T i . Thế thì tứ điểm{O 1 O 2 O 3 O 4 } đồng dạng nghịch với tứ điểm {A 1 A 2 A 3 A 4 } và do đó, {O 1 O 2 O 3 O 4 } đồng dạng thuậnvới ba tứ điẻm chiếu Q ij,kl của tứ điểm {A 1 A 2 A 3 A 4 }. Điểm đồng quy ω của tám đường tròn (v i )và (C i ), i = 1,2,3,4, nói ở trên (Tính chất 5) cũng là tâm đồng dạng chung của ba phép đồngdạng thuận biến tứ điểm {O 1 O 2 O 3 O 4 } thành một trong ba tứ điẻm chiếu O 12,34 ,Q 13,24 , và Q 14,23của tứ điểm {A 1 A 2 A 3 A 4 }.1 Chú thích: Các đường tròn (v i ) này trở thành đường thẳng (đường thẳng Simson ứng với đỉnh A i đối với tamgiác T i ) khi và chỉ khi tứ điểm {A 1 A 2 A 3 A 4 } đồng viên.38