các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi - Dong Thap in ...

www.VNMATH.comVề một số bài toán về phương trình hàm giải bằngphương pháp sai phânLê Hồ Quý, Trường THPT Duy Tân, Kon TumPhạm Xuân Thành, Trường THPT Lê Lợi, Kon TumPhương pháp giải các bài toán về dãy số (hàm số xác định trên N), phương trình hàm rất đadạng như chính yêu cầu của chúng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ dùng phương pháp sai phânđể giải một số bài toán về dãy số, phương trình hàm.Công thức truy hồi là một biểu thức tuyến tínhTa xét trường hợp hệ thức truy hồi đã cho là hệ thức tuyến tínha 0 x n+k +a 1 x n+k−1 +···+a k x n = f(n)với a 0 ,a 1 ,...,a k (a 0 ≠ 0,a k ≠ 0) là các hằng số thì bài toán có thể được xem như một phươngtrình sai phân tuyến tính.Ví dụ 1 (Anh 1980). Tìm tất cả các dãy số (a n ) thỏa mãn a n+1 = 2 n −3a n và (a n ) là một dãy sốtăng.Lời giải. Xét phương trình sai phânĐặt a n = u n .2 n . Thay vào (1), ta đượca n+1 = 2 n −3a n (1)u n+1 .2 n+1 = −3.u n .2 n +2 n ⇔ u n+1 = − 3 2 u n + 1 2 . (2)Phương trình này có nghiệm tổng quát là(u n = C. − 3 ) n 1 +2 5 ⇔ a n = C.(−3) n + 1 5 .2n .Vì dãy (a n ) tăng nên a n+1 > a n . Do đó−3C.(−3) n + 2 5 .2n > C.(−3) n + 1 5 .2n , ∀n ∈ N.Với C > 0 thì (3) tương đương(− 3 n→ +∞.2)Với C < 0 thì (3) tương đương(thì − 3 ) n→ −∞.226⇒ 4C.(−3) n < 1 5 .2n , ∀n ∈ N. (3)1(−20C > 3 ) n,∀n ∈ N. Ta không chọn được C, vì khi n chẵn thì21(−20C < 3 ) n,∀n ∈ N. Ta cũng không chọn được C, vì khi n lẻ2