các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi - Dong Thap in ...

www.VNMATH.comMột vài kỹ thuật giải tích trong tổ hợpHoàng Chí Thành, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà NộiKhi giải quyết một vấn đề hóc búa nào đó chúng ta thường hay nghĩ đến việc áp dụng các côngcụ khoa học hiện đại, phức tạp mà ít chú ý tới các công cụ khoa học cổ điển, đơn giản. Nếu biếtvận dụng các công cụ khoa học đơn giản đúng chỗ thì nhiều bái toán hóc búa vẫn có thể được giảiquyết một cách nhanh chóng. Trong bài này chúng tôi trình bày hai kỹ thuật giải tích đơn giảnhay được dùng khi giải các bài toán tổ hợp. Đó là kỹ thuật hàm sinh và nguyên lý thêm - bớt.1. Kỹ thuật hàm sinhGiả sử có một dãy số thực vô hạn: a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ... Ta lập chuỗi luỹ thừa:∞∑a n x n (1)n=0Định nghĩa 1. Nếu chuỗi luỹ thừa (1) hội tụ đến một hàm A(x) nào đó thì ta gọi hàm A(x) làhàm sinh của dãy số a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ...Trong nhiều trường hợp ta chưa biết dãy số nhưng bằng những lý luận hợp lý ta lại biết hàmsinh của nó. Từ hàm sinh liệu ta có tìm được dãy số sinh ra nó hay không? Nhìn vào đẳng thức:A(x) =∞∑a n x nTa dễ dàng thấy rằng đây là khai triển Maclaurine của hàm A(x). Thế thì:d nn=0a n = 1 n! dx nA(x) |x=0, n = 0,1,2,3... (2)Như vậy, công thức (2) đã cho ta một cách tìm dãy số từ hàm sinh của nó. Khi giải các bàitoán tổ hợp, việc tìm số các nghiệm của bài toán thường là công việc đầu tiên phải làm. Với nhiềubài toán phần việc này tương đối khó khăn. Kỹ thuật hàm sinh giúp ta giải quyết khá nhiều bàitoán hóc búa trong thực tế.2. Nguyên lý thêm - bớtGiả sử ta có hai tập hợp A và B. Hiển nhiên:Bây giờ thêm một tập C nữa. Thế thì:|A∪B| = |A|+|B|−|A∩B||A∪B ∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B ∩C|+|A∩B ∩C|.28