các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi - Dong Thap in ...

www.VNMATH.comĐịnh lý 5. Giả sử s,t là hai tham số thực khác không. Hàm f,g,h : R → R thỏa mãn phươngtrìnhf(x)−g(y)= h(sx+ty), (5)x−yvới mọi x,y ∈ R,x ≠ y nếu và chỉ nếu⎪⎨h(y) =⎧⎪⎨f(x) =⎪⎩⎧⎪⎨g(y) =⎪⎩ax+b nếu s = 0 = tax+b nếu s = 0,t ≠ 0ax+b nếu s ≠ 0,t = 0αtx 2 +ax+b nếu s = t ≠ 0A(tx)t+b nếu s = −t ≠ 0βx+b nếu s 2 ≠ t 2ay +b nếu s = 0 = tay +b nếu s = 0,t ≠ 0ay +b nếu s ≠ 0,t = 0αty 2 +ay +b nếu s = t ≠ 0A(ty)t+b nếu s = −t ≠ 0βy +b nếu s 2 ≠ t 2⎧tùy ý với h(0) = a nếu⎪⎩s = 0 = ta nếu s = 0,t ≠ 0a nếu s ≠ 0,t = 0αy +a nếu s = t ≠ 0A(y)+ (c−b)ty ynếu s = −t ≠ 0,y ≠ 0β nếu s 2 ≠ t 2với A : R → R là một hàm cộng tính và a,b,c,α,β là các hằng số thực tùy ý.Hệ quả 2. Các hàm f,φ : R → R thỏa mãn phương trình hàmf(x)−f(y)x−y= φ(sx+ty)với mọi x,y ∈ R và x ≠ y nếu và chỉ nếuf(x) =⎧ax+b nếu s = 0 = tax+b nếu s = 0,t ≠ 0⎪⎨ax+b nếu s ≠ 0,t = 0αtx 2 +ax+b nếu s = t ≠ 0A(tx)+b, nếu s = −t ≠ 0⎪⎩ tβx+b nếu s 2 ≠ t 224