các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi - Dong Thap in ...

www.VNMATH.comĐịnh lý Lagrange và các phương trình hàm liên quanHoàng Đạt Hạ, Trường THPT Trần Đại Nghĩa, Đăk LăkPhương trình hàm là đề tài đang ngày càng được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Bài toánphương trình hàm thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic quốc gia,khu vực và quốc tế. Các dạng bài toán về phương trình hàm rất đa dạng và phong phú. Tínhchất đặc trưng của một số hàm sẽ sinh ra lớp phương trình hàm tương ứng. Báo cáo về định lýLagrange và các phương trình hàm liên quan nhằm trình bày tổng quan một số dạng phương trìnhhàm sinh ra từ biểu thức của định lý về giá trị trung bình Lagrange cùng một số ứng dụng trongviệc chứng minh bất đẳng thức và tạo ra các bài toán bất đẳng thức.0.1 Các phương trình hàm liên quan đến định lý LagrangeChúng ta đều quen biết định lý giá trị trung bình của phép tính vi phân.Mệnh đề 1. Nếu hàm f : R → R đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất tại một điểm c trongkhoảng (a,b) thì f ′ (c) = 0.Mệnh đề 2. Hàm f : R → R luôn đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên bất kì mộtđoạn đóng và bị chặn [a,b].Định lý 1 (Định lý Rolle). Nếu f liên tục trên [x 1 ,x 2 ], khả vi trên (x 1 ,x 2 ) và f(x 1 ) = f(x 2 ), thếthì tồn tại một điểm η ∈ (x 1 ,x 2 ) sao cho f ′ (η) = 0.Định lý 2 (Định lý Lagrange). Với mọi giá trị thực, hàm f khả vi trên một khoảng I và với tấtcả các cặp x 1 ,x 2 trong I, tồn tại một điểm η phụ thuộc x 1 ,x 2 sao choĐịnh lý Lagrange cho phép chúng ta ước lượng tỉ sốf(x 1 )−f(x 2 )x 1 −x 2= f ′ (η(x 1 ,x 2 )). (1)f(b)−f(a),b−ado đó nó còn được gọi là Định lý về giá trị trung bình (Mean Value Theorem).Định nghĩa 1. Cho các số thực phân biệt x 1 ,x 2 ,...,x n . Tỷ sai phân của hàm f : R → R đượcđịnh nghĩaf[x 1 ] = f(x 1 )vàf[x 1 ,x 2 ,...,x n ] = f[x 1,x 2 ,...,x n−1 ]−f[x 2 ,x 3 ,...,x n ]x 1 −x n, ∀n ≥ 2.22