các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi - Dong Thap in ...

www.VNMATH.comMệnh đề 4. Giả sử hàm f,g : R → R thỏa mãn|f(x+y)−g(x)−g(y)| ≤ ε (5)với ε là số dương tùy ý cho trước và với mọi x,y ∈ R. Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tínhA : R → R sao cho {|f(x)−A(x)−f(0)| ≤ 4ε|g(x)−A(x)−g(0)| ≤ 3εvới mọi x ∈ R.Ví dụ 2. Nghiệm của phương trình Pexider.Bài toán 2. Tìm tất cả các hàm f,g,h : R → R thỏa mãn phương trình sauf(x+y) = g(x)+h(y) ∀x,y ∈ R (6)Tiếp theo ta xét tính ổn định nghiệm của phương trình (6).Mệnh đề 5. Giả sử hàm f,g,h : R → R thỏa mãn|f(x+y)−g(x)−h(y)| ≤ ε (7)với ε là số dương tùy ý cho trước và với mọi x,y ∈ R. Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tínhA : R → R sao cho { |f(x)−A(x)−f(0)| ≤ 6ε|g(x)−A(x)−g(0)| ≤ 4ε|h(x)−A(x)−h(0)| ≤ 6εvới mọi x ∈ R.Tiếp theo ta xét tính ổn định nghiệm của phương trình (??).Mệnh đề 6. Giả sử hàm f : R → R + thỏa mãnvới mọi x,y ∈ R và|f( x+y )− √ f(x)f(y)| ≤ ε (8)2|f(x)−f(−x)| ≤ δ (9)với ε,δ là các số dương tùy ý cho trước. Giả sử tồn tại f(a) −1 , khi đó tồn tại một hàm E : R → R +sao cho|E(x+y)−E(x)−E(y)| ≤ α, ∀x,y ∈ R (10)vàvới α,β là các hằng số nào đó.Tài liệu tham khảo|f(x)− 1 (E(x)−E(−x))| ≤ β, ∀x ∈ R (11)2[1] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, Nhà xuất bản Giáo dục, 1997.[2] Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009, 295-323.46