các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi - Dong Thap in ...

www.VNMATH.comSử dụng số phức để giải toán tổ hợpTrần Việt Anh, trường THPT Nguyễn Tất Thành, Hà NộiSố phức có rất nhiều ứng dụng trong nhiều ngành toán học khác nhau như hình học, đại số,...Trong báo cáo này chúng tôi sẽ trình bày những ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toántổ hợp. Điều thú vị và lạ lùng ở đây là: Số phức, một sản phẩm tưởng tượng của trí tuệ con người,một sự "bịa đặt toán học", một vật "ảo", lại bất ngờ giúp ta giải được nhiều bài toán tổ hợp khó,rất thật, mang bản chất tổ hợp + số học: đếm các đối tượng mang một tính chất nào đó. Qua đó,các bạn có thể thấy được những vẻ kiều diễm và sự tinh tế của Toán học. Chúng tôi trình bày lạimột số kết quả cơ bản về số phức. Một số kết quả chúng tôi không chứng minh mà xem như lànhững bài tập, bạn đọc có thể tự chứng minh chúng không khó khăn lắm.Bài toán 1. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các bộ (x 1 ,x 2 ,...,x p−1 ) gồm p−1 số nguyêndương thoả mãn điều kiện tổng x 1 +2x 2 +···+(p−1)x p−1 có số dư bằng 1 khi chia cho p, trongđó mỗi số x 1 ,x 2 ,...,x p−1 đều không lớn hơn p−1.Đáp số: (p−1)p−1 −1.pBài toán 2. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Tìm số các bộ (x 1 ,x 2 ,...,x (p−1)!+1 ) gồm (p−1)!+1số tự nhiên thoả mãn điều kiện tổng x 1 + x 2 + ··· + x (p−1)!+1 chia hết cho p, trong đó mỗi sốx 1 ,x 2 ,...,x (p−1)!+1 đều không lớn hơn 2 p−1 −3.Đáp số: (2p−1 −2) (p−1)!+1 +1−1.pBài toán 3. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Tìm số tập con X của tập {1,2,...,2p+1} biết rằngX chứa đúng ( p phần ) tử và tổng tất cả các phần tử của X khi chia cho p có số dư bằng 1.2p+1−2pĐáp số: .pBài toán 4. Cho p là một số nguyên tố lẻ và số nguyên dương n. Tìm số các bộ (x 1 ,x 2 ,...,x n )gồm n số tự nhiên sao cho tổng x 1 +x 2 +···+x n chia hết cho p, trong đó mỗi số x 1 ,x 2 ,...,x nđều không lớn hơn (p−1)!.Đáp số: ((p−1)!)n −(−1) n+(−1) n .pBài toán 5. Cho ba số nguyên dương m,n,p trong đó n + 2 chia hết cho m. Tìm số các bộ(x 1 ,x 2 ,...,x p ) gồm p số tự nhiên sao cho tổng x 1 +x 2 +···+x p chia hết cho m, trong đó mỗi sốx 1 ,x 2 ,...,x p đều không lớn hơn n.Đáp số: (n+1)p +(−1) p δ(p), trong đó δ(p) =m{m−1 nếu p chia hết cho m40−1nếu p không chia hết cho m