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显 然 , 如 果 ρ 是 集 合 A 上 的 一 个 等 价 关 系 , 那 么 ρ 的 定 义 域 domρ 与 值 域 ranρ 都 是 A 自 身 。例 5.16 设 A={a,b,c,d,e},A 上 的 关 系ρ 1 ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,e),(e,d),(e,e)},ρ 2 ={(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,e)},试 判 断 ρ 1 和 ρ 2 是 否 为 等 价 关 系 。解 ρ 1 是 等 价 关 系 , 因 为 它 满 足 自 反 性 , 对 称 性 和 传 递 性 。ρ 2 不 是 等 价 关 系 , 因 为 :1(a,a),(e,e)∉ρ 2 , 即 ρ 2 不 满 足 自 反 性 ;2(d,e)∈ρ 2 , 但(e,d)∉ρ 2 , 即 ρ 2 不 满 足 对 称 性 ;3(a,b)∈ρ 2 ,(b,a)∈ρ 2 , 但 (a,a)∉ρ 2 , 即 ρ 2 不 满 足 传 递 性 。当 然 , 以 上 三 条 原 因 中 只 要 具 备 任 何 一 条 就 可 判 断 ρ 2 不 是 等 价 关 系 。例 5.17 设 ρ 1 是 集 合 A 上 的 一 个 二 元 关 系 ,ρ 2 ={(a,b)∣ 存 在 c, 使 (a,c)∈ρ 1 且 (c,b)∈ρ 1 }, 证 明 若 ρ 1 是 一 个 等 价 关 系 , 则 ρ 2 也 是 一 个 等 价 关 系 。证 明 设 ρ 1 是 A 上 的 等 价 关 系 ,(1) 对 任 意 一 个 x∈A, 因 为 ρ 1 在 A 上 自 反 , 所 以 (x,x)∈ρ 1 。 由 ρ 2 的 定 义 ,(x,x)∈ρ 2 ,所 以 ρ 2 是 自 反 的 。(2) 对 任 意 x,y∈A, 若 (x,y)∈ρ 2 , 则 存 在 某 个 c∈A, 使 得 (x,c)∈ρ 1 且 (c,y)∈ρ 1 , 因 为ρ 1 是 对 称 , 故 有 (y,c)∈ρ 1 且 (c,x)∈ρ 1 , 由 ρ 2 的 定 义 , 可 知 (y,x)∈ρ 2 , 所 以 ρ 2 是 对 称 的 。(3) 对 任 意 x,y,z∈A, 若 (x,y)∈ρ 2 ,(y,z)∈ρ 2 , 则 必 存 在 某 个 c 1 ∈A, 使 (x,c 1 )∈ρ1,(c 1 ,y)∈ρ 1 。 由 ρ 1 的 传 递 性 , 可 知 (x,y)∈ρ 1 , 同 理 存 在 c 2 ∈A, 使 (y,c 2 )∈ρ 1 且 (c 2 ,z)∈ρ 1 , 由ρ 1 传 递 , 可 知 (y,z)∈ρ 1 。 再 由 ρ 2 的 定 义 , 得 (x,z)∈ρ 2 。 所 以 ρ 2 是 传 递 的 。由 以 上 (1)(2)(3) 可 知 ρ 2 是 一 个 等 价 关 系 。例 5.18 设 ρ 1 和 ρ 2 都 是 集 合 A 上 的 等 价 关 系 ,(1) 试 证 明 :ρ 1 ∩ρ 2 也 是 A 上 的 等 价 关 系 ;证 明 由 交 集 的 定 义 ρ 1 ∩ρ 2 ={(a,b)|(a,b)∈ρ 1 且 (a,b)∈ρ 2 }。对 任 意 一 个 a∈A, 因 为 ρ 1 和 ρ 2 都 是 自 反 的 , 所 以 有 (a,a)∈ρ 1 且 (a,a)∈ρ 2 , 因 而 有(a,a)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 故 ρ 1 ∩ρ 2 是 自 反 的 。对 任 意 a,b∈A, 若 (a,b)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 则 有 (a,b)∈ρ 1 且 (a,b)∈ρ 2 , 由 ρ 1 和 ρ 2 的 对 称 性 有(b,a)∈ρ 1 且 (b,a)∈ρ 2 , 因 而 有 (b,a)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 故 ρ 1 ∩ρ 2 是 对 称 的 。对 任 意 a,b,c∈A, 若 (a,b)∈ρ 1 ∩ρ 2 ,(b,c)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 则 有 (a,b)∈ρ 1 ,(b,c)∈ρ 1 ;(a,b)∈ρ 2 ,(b,c)∈ρ 2 。 由 ρ 1 和 ρ 2 的 传 递 性 有 (a,c)∈ρ 1 ,(a,c)∈ρ 2 , 因 而 有 (a,c)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 故 ρ 1 ∩ρ 2 是传 递 的 。由 以 上 三 方 面 知 ρ 1 ∩ρ 2 是 A 上 的 等 价 关 系 。▊▊(2)ρ 1 ∪ρ 2 是 A 上 的 等 价 关 系 吗 ? 为 什 么 ?解 为 了 判 断 ρ 1 ∪ρ 2 是 否 为 A 上 的 等 价 关 系 , 我 们 试 图 来 证 明 它 的 自 反 性 , 对 称 性 和 传递 性 。由 并 集 的 定 义 ρ 1 ∪ρ 2 ={(a,b)|(a,b)∈ρ 1 或 (a,b)∈ρ 2 }对 任 意 一 个 a∈A, 因 为 ρ 1 是 自 反 的 , 所 以 有 (a,a)∈ρ 1 , 因 而 有 (a,a)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 故 ρ 1 ∪ρ 2是 自 反 的 。对 任 意 a,b∈A, 若 (a,b)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 则 有 (a,b)∈ρ 1 或 (a,b)∈ρ 2 , 由 ρ 1 和 ρ 2 的 对 称 性 有(b,a)∈ρ 1 或 (b,a)∈ρ 2 , 因 而 有 (b,a)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 故 ρ 1 ∪ρ 2 是 对 称 的 。对 任 意 a,b,c∈A, 若 (a,b)∈ρ 1 ∪ρ 2 ,(b,c)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 则 有(a,b)∈ρ 1 或 (a,b)∈ρ 2 ;89