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(3) 若 ρ 1 =ρ 2 , 则 ρ 1-1=ρ 2-1定 理 5.9 设 ρ 是 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则 有 :(1)ρ 是 自 反 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 自 反 的 ;(2)ρ 是 反 自 反 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 反 自 反 的 ;(3)ρ 是 对 称 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 对 称 的 ;(4)ρ 是 反 对 称 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 反 对 称 的 ;(5)ρ 是 传 递 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 传 递 的 。证 明 只 证 (3), 其 余 留 作 练 习 。设 ρ 对 称 , 则 若 (a,b)∈ρ, 必 有 (b,a)∈ρ, 从 而 若 (b,a)∈ρ -1 , 必 有 (a,b)∈ρ -1 , 所 以 ρ -1是 对 称 的 。同 理 可 证 , 若 ρ -1 对 称 , 则 ρ 对 称 。由 以 上 两 方 面 知 (3) 得 证 。定 理 5.10 设 A,B,C 是 三 个 集 合 ,ρ 1 是 从 A 到 B 的 关 系 ,ρ 2 是 从 B 到 C 的 关 系 , 则 有 :(ρ 1 o ρ 2 ) -1 = ρ -1 2 o ρ -1 1证 明 任 取 (c,a)∈(ρ 1 o ρ 2 ) -1 , 其 中 c∈C,a∈A, 则 有 (a,c)∈ρ 1 o ρ 2 , 从 而 存 在 b∈B, 使得 (a,b)∈ρ 1 ,(b,c)∈ρ 2 , 因 此 , 存 在 b∈B 并 使 得 (c,b)∈ρ 2-1,(b,a)∈ρ 1-1, 所 以 (c,a)∈ρ -1 2o ρ 1-1, 即 得 (ρ 1 o ρ 2 ) -1 ⊆ ρ -1 2 o ρ 1-1。同 理 可 证 ρ -1 2 o ρ -1 1 ⊆ (ρ 1 o ρ 2 ) -1 。由 以 上 两 方 面 知 定 理 成 立 。推 论 5.4 设 n∈N,ρ 是 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则 (ρ n ) -1 =(ρ -1 ) n 。例 5.14 设 ρ 是 A 上 的 二 元 关 系 , 则 ρ 是 对 称 的 当 且 仅 当 ρ=ρ -1 。证 明 任 取 (x,y)∈ρ, 则 (y,x)∈ρ, 从 而 (x,y)∈ρ -1 , 所 以 ρ⊆ρ -1 。 反 之 , 任 取 (x,y)∈ρ -1 ,则 (y,x)∈ρ, 从 而 (x,y)∈ρ, 所 以 ρ -1 ⊆ρ。 因 此 ρ=ρ -1 。若 设 ρ=ρ -1 , 任 取 (x,y)∈ρ, 则 (y,x)∈ρ -1 , 但 ρ=ρ -1 , 所 以 (y,x)∈ρ, 因 此 ρ 对 称 。由 以 上 两 方 面 知 该 命 题 成 立 。▊▊▊▊▊5.3.3 关 系 的 闭 包定 义 5.13 设 ρ 为 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 如 果 A 上 的 二 元 关 系 ρ′ 满 足 :(1) ρ′ 是 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 的 ;(2) ρ⊆ρ′;(3) 若 A 上 的 二 元 关 系 ρ′′ 也 满 足 (1)(2), 则 ρ′⊆ρ′′ ;则 称 ρ′ 为 ρ 的 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 闭 包 (Closure), 记 为 r(ρ)(s(ρ),t(ρ))。从 定 义 可 以 看 出 ,ρ 的 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 闭 包 就 是 包 含 ρ 并 且 具 有 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 性质 的 最 小 关 系 。 显 然 , 若 ρ 已 经 是 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 的 , 那 么 ρ 的 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 就 是 它自 身 。 因 此 , 有 以 下 定 理 。定 理 5.11 设 ρ 是 A 上 的 二 元 关 系 , 则 :(1) ρ 是 自 反 的 , 当 且 仅 当 r(ρ)=ρ;(2) ρ 是 对 称 的 , 当 且 仅 当 s(ρ)=ρ;87