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(A×C)∪(B×D)=∅∪∅=∅, 显 然 等 式 不 成 立 。▊5.1.2 关 系 的 基 本 概 念定 义 5.4 设 n∈I + ,A 1 ,A 2 ,…,A n 为 任 意 n 个 集 合 ,ρ⊆A 1 ×A 2 ×…×A n , 则(1) 称 ρ 为 A 1 ,A 2 ,…,A n 间 的 n 元 关 系 (n-Relation);(2) 若 n=2, 则 称 ρ 为 从 A 1 到 A 2 的 二 元 关 系 (Binary Relation);(3) 若 ρ=∅, 则 称 ρ 为 空 关 系 (Empty Relation);(4) 若 ρ=A 1 ×A 2 ×…×A n , 则 称 ρ 为 普 遍 关 系 (Total Relation);(5) 若 A 1 =A 2 =…=A n =A, 则 称 ρ 为 A 上 的 n 元 关 系 (n-Relation On A);(6) 若 ρ={(x,x)|x∈A}, 则 称 ρ 为 A 上 的 恒 等 关 系 (Identity Relation On A)。若 ρ 是 由 A 到 B 的 一 个 关 系 , 且 (a,b)∈ρ, 则 a 对 b 有 关 系 ρ, 记 作 aρb。注 意 , 由 关 系 的 定 义 知 , 关 系 也 是 集 合 。 因 而 , 集 合 的 各 种 运 算 对 关 系 也 适 用 , 可 以 直接 运 用 。 下 面 将 主 要 讨 论 二 元 关 系 。例 5.4 设 A={1,2,4,7,8},B={2,3,5,7}, 定 义 由 A 到 B 的 关 系 ρ={(a,b)|(a+b)/5 是整 数 }, 求 关 系 ρ。解 根 据 ρ 的 定 义 ,ρ 中 的 序 偶 (a,b) 应 满 足 如 下 三 个 条 件 :(1)a∈A;(2)b∈B;(3)a+b 能 被 5 整 除 , 于 是ρ={(2,3),(7,3),(8,2),(8,7)}。例 5.5 设 A={2,3,4,5,9,25}, 定 义 A 上 的 关 系 ρ, 对 于 任 意 的 a,b∈A, 当 且 仅 当 (a-b)²∈A 时 , 有 aρb, 试 问 ρ 由 哪 些 序 偶 组 成 ?解 根 据 ρ 的 定 义 ,ρ 中 的 序 偶 (a,b) 应 满 足 以 下 三 个 条 件 :(1)a∈A;(2)b∈B;(3)(a-b)²∈A。 因 此ρ={(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3),(4,9),(9,4)}。例 5.6 设 A={0,1,2}, 求 A 上 的 普 遍 关 系 UA 和 A 上 的 恒 等 关 系 IA。解 由 普 遍 关 系 和 恒 等 关 系 的 定 义 知U A =A×A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)},I A ={(0,0),(1,1),(2,2)}。定 义 5.5 设 ρ 是 从 集 合 A 到 B 的 关 系 , 令domρ={x|x∈A 且 有 y∈B 使 (x,y)∈ρ}ranρ={y|y∈B 且 有 x∈A 使 (x,y)∈ρ}则 称 domρ 为 ρ 的 定 义 域 (Domain);ranρ 为 ρ 的 值 域 (Range)。从 定 义 5.5 可 以 看 出 ,ρ 的 定 义 域 实 际 上 是 由 ρ 中 所 有 序 偶 的 第 一 坐 标 构 成 的 集 合 ,ρ 的值 域 是 由 ρ 中 所 有 序 偶 的 第 二 坐 标 构 成 的 集 合 。例 5.7 设 ρ1={(1,2),(2,4),(3,3)},ρ2={(1,3),(2,4),(4,2)}, 试 求 出 domρ 1 ,domρ 2 ,dom(ρ 1 ∪ρ 2 ),ranρ 1 ,ranρ 2 和 ran(ρ 1 ∩ρ 2 )。解 根 据 ρ 的 定 义 域 和 值 域 的 定 义 有domρ 1 ={1,2,3}, ranρ 1 ={2,3,4}domρ 2 ={1,2,4}, ranρ 2 ={2,3,4}又 因 为 ρ 1 ∪ρ 2 ={(1,2),(2,4),(3,3),(1,3),(4,2)}, ρ 1 ∩ρ 2 ={(2,4)}▊▊▊81