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(4) ρ 1 o (ρ 2 ∩ρ 3 )⊆(ρ 1 o ρ 2 )∩(ρ 1 o ρ 3 );(5) (ρ 2 ∩ρ 3 ) o ρ 4 ⊆(ρ 2 o ρ 4 )∩(ρ 3 o ρ 4 );(6) (ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 = ρ 1 o (ρ 2 o ρ 4 )。证 明 只 证 (1) 和 (6), 其 余 类 似 , 作 为 练 习 。(1) 任 取 (a,c)∈ρ 1 o ρ 2 , 则 必 有 b∈B, 使 得 (a,b)∈ρ 1 , 且 (b,c)∈ρ 2 。 但 ρ 2 ⊆ρ 3 , 所 以(b,c) ∈ρ 3 。 因 此 (a,c)∈ρ 1 o ρ 3 , 故 有 ρ 1 o ρ 2 ⊆ρ 1 o ρ 3 。同 理 可 证 ρ 2 o ρ 4 ⊆ρ 3 o ρ 4 ,(1) 得 证 。(6) 根 据 复 合 关 系 的 定 义 ,(ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 和 ρ 1 o (ρ 2 o ρ 4 ) 都 是 由 A 到 D 的 关 系 。任 取 (a,d)∈(ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 , 则 必 有 c∈C, 使 得 (a,c)∈ρ 1 o ρ 2 ,(c,d)∈ρ 4 ; 又 由 (a,c)∈ρ 1o ρ 2 , 必 有 b∈B, 使 得 (a,b)∈ρ 1 ,(b,c)∈ρ 2 。 由 (b,c)∈ρ 2 ,(c,d)∈ρ 4 , 可 得 (b,d)∈ρ 2 o ρ 4 ,于 是 由 (a,b)∈ρ 1 ,(b,d)∈ρ 2 o ρ 4 , 可 得 (a,d)∈ρ 1 o (ρ 2 o ρ 4 ), 故 有 (ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 ⊆ ρ 1 o (ρ 2o ρ 4 )。同 理 可 证 ρ 1 o (ρ 2 o ρ 4 )⊆(ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 。由 以 上 两 方 面 就 得 证 (6)。由 定 理 5.4 的 (6) 可 知 , 关 系 的 复 合 运 算 满 足 结 合 律 。 推 广 到 n 个 关 系 的 情 况 有 如 下定 义 。定 义 5.10 设 ρ 1 ,ρ 2 ,…,ρ n 分 别 是 A 1 到 A 2 ,A 2 到 A 3 ,…,A n 到 A n+1 的 关 系 , 则 称 关 系{(x 1 ,x n+1 )|x 1 ∈A,x n+1 ∈A n+1 , 存 在 x 2 ∈A 2 ,…,x n ∈A n , 使 (x 1 ,x 2 )∈ρ 1 ,…,(x n ,x n+1 )∈ρ n }为 ρ 1 ,ρ 2 ,…,ρ n 的 复 合 , 记 为 ρ 1 o ρ 2 o…o ρ n ;当 A 1 =A 2 =…=A n+1 =A,ρ 1 =ρ 2 =…=ρ n =ρ 时 , 则 复 合 关 系 ρ 1 o ρ 2 o…o ρ n =ρ o ρ o…o ρ 称 为 ρ 的 n次 幂 (n-Power), 记 为 ρⁿ。例 5.12 设 A={1,2,3,4},A 上 的 关 系 ρ={(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 有ρ 2 ={(3,1),(4,2)}ρ 3 ={(4,1)}ρ 4 =∅定 义 5.11 设 A 为 任 意 集 合 ,ρ 为 A 上 的 任 意 二 元 关 系 , 则 有 :(1)ρ 0 是 A 上 的 恒 等 关 系 , 即 ρ 0 = I A ;(2)ρ n+1 = ρ o ρ n ,n∈N。定 理 5.5 设 m,n∈N,ρ 为 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则(1)ρ m o ρ n = ρ m+n(2)(ρ n ) m = ρ m·n为 了 研 究 复 合 关 系 的 关 系 矩 阵 , 我 们 首 先 介 绍 布 尔 运 算 , 布 尔 运 算 只 涉 及 数 字 0 和 1, 有 两个 运 算 符 “∨” 和 “∧”, 运 算 规 则 如 下 :0∨0=0, 0∨1=1, 1∨0=0, 1∨1=1;0∧0=0, 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1。然 后 用 布 尔 运 算 来 定 义 两 个 关 系 矩 阵 的 乘 积 运 算 “*” 如 下 :▊▊▊⎡a⎢⎢a⎢ ...⎢⎣am11211aaa1222...m2............aaa1n2n...mn⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡b11b12... b1p⎤⎢⎥⎢b21b22... b2p* ⎥ =⎢ ... ... ... ... ⎥⎢⎥⎣bn1 bn2... bnp⎦⎡c11⎢⎢c21⎢ ...⎢⎣cm1ccc1222...m2............ccc1n2n...mp⎤⎥⎥⎥⎥⎦85