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5.2 关 系 的 性 质对 于 一 个 集 合 A 上 的 关 系 ρ 往 往 可 以 显 出 许 多 有 用 的 性 质 , 下 面 将 列 出 一 些 最 基 本 的 性质 。定 义 5.8 设 ρ 为 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则(1) 若 对 所 有 的 a∈A, 有 (a,a)∈ρ, 则 称 ρ 为 自 反 关 系 (Reflexive Relation);(2) 若 对 所 有 的 a∈A, 有 (a,a)∉ρ, 则 称 ρ 为 反 自 反 关 系 (Antireflexive Relation);(3) 对 任 意 a,b∈A, 若 有 (a,b)∈ρ, 就 必 有 (b,a)∈ρ, 则 称 ρ 为 对 称 关 系 (SymmetricRelation);(4) 对 任 意 a,b∈A, 若 有 (a,b)∈ρ,(b,a)∈ρ, 就 必 有 a=b, 则 称 ρ 为 反 对 称 关 系(Antisymmetric Relation);(5) 对 任 意 a,b,c∈ A, 若 有 (a,b)∈ρ,(b,c)∈ρ, 就 必 有 (a,c)∈ρ, 则 称 ρ 为 传 递 关 系(Transitive Relation)。注 意 区 别 自 反 关 系 和 恒 等 关 系 , 一 个 集 合 A 上 的 恒 等 关 系 是 自 反 关 系 , 但 自 反 关 系 不 一定 是 恒 等 关 系 。另 外 , 反 对 称 关 系 的 定 义 也 可 等 价 地 叙 述 为 , 对 任 意 a,b∈A, 若 有 a≠b 且 (a,b)∈ρ,就 必 有 (b,a)∉ρ, 则 称 ρ 为 反 对 称 关 系 。例 5.10 设 A={a,b,c,d}(1) 判 断 下 列 关 系 是 否 为 自 反 关 系 或 反 自 反 关 系 ;ρ 1 ={(a,b),(b,c)}ρ 2 ={(a,a),(b,b),(c,c),(d,a)}ρ 3 ={(a,a),(a,b),(d,d),(c,c),(b,b)}ρ 4 ={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}解 ρ 1 不 是 自 反 关 系 , 因 为 对 于 所 有 的 x∈A,(x,x) 均 不 在 ρ 1 中 ; 上 述 原 因 正 好 说 明 ρ 1是 反 自 反 关 系 。ρ 2 不 是 自 反 关 系 , 因 为 (d,d)∉ρ 2 ;ρ 2 也 不 是 反 自 反 关 系 , 因 为 (a,a),(b,b),(c,c)∈ ρ 2 。ρ 3 是 自 反 关 系 , 不 是 反 自 反 关 系 。ρ 4 是 自 反 关 系 , 不 是 反 自 反 关 系 。(2) 判 断 下 列 关 系 是 否 为 对 称 关 系 或 反 对 称 关 系 ;ρ 5 ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}ρ 6 ={(a,a),(a,b),(b,c),(d,c)}ρ 7 ={(a,a),(c,b),(c,d),(d,c)}ρ 8 ={(b,b),(d,d)}解 ρ 5 是 对 称 关 系 , 但 不 是 反 对 称 关 系 , 因 为 a≠b, 但 (a,b) 和 (b,a) 均 出 现 在 ρ 5 中 ,同 样 b≠c, 但 (b,c) 和 (c,b) 均 出 现 在 ρ 5 中 。ρ 6 不 是 对 称 关 系 , 因 为 (a,b)∈ρ 6 , 但 (b,a)∉ρ 6 , 同 样 (b,c)∈ρ 6 , 但 (c,b)∉ρ 6 ,(d,c)∈ρ 6但 (c,d)∉ρ 6 ; 而 上 述 原 因 正 好 说 明 ρ 6 是 反 对 称 关 系 。ρ 7 不 是 对 称 关 系 , 因 为 (c,b)∈ρ 7 但 (b,c)∉ρ 7 ;ρ 7 也 不 是 反 对 称 关 系 , 因 为 c≠d, 但 (c,d)和 (d,c) 均 在 ρ 7 中 。ρ 8 既 是 对 称 关 系 , 也 是 反 对 称 关 系 。(3) 判 断 下 列 关 系 是 否 为 传 递 关 系 。ρ 9 ={(b,c),(c,c),(c,d),(b,d)}83