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例 5.27 设 A={a,b,c}, 集 合 A 的 幂 集 P(A) 上 的 “⊆ 关 系 ” 是 偏 序 关 系 , 其 哈 斯 图 如图 5.3 所 示 。▊定 义 5.22 设 为 偏 序 集 ,B⊆A,b∈B,(1) 若 ∀x(x∈B→b≤x) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 最 小 元 (Smallest Element)。(2) 若 ∀x(x∈B→x≤b) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 最 大 元 (Greatest Element)。(3) 若 ¬∃x(x∈B ∧ b≠x ∧ x≤b) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 极 小 元 (Minimal Element)。(4) 若 ¬∃x(x∈B ∧ b≠x ∧ b≤x) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 极 大 元 (Maximal Element)。例 5.28 偏 序 集 , 由 图 5.4 中 哈 斯 图 给 出 。(1)B 1 ={b,d,e,g}B 1 的 最 大 元 为 g;B 1 的 极 大 元 为 g;hB 1 的 最 小 元 为 b;fgB 1 的 极 小 元 也 为 b。(2)B 2 ={b,c,d,e,f,g}deB 2 无 最 大 元 和 最 小 元 ;B 2 的 极 大 元 是 f,g; 极 小 元 是 b,c。bc(3)B 3 ={a,c,d}aB 3 无 最 大 元 , 其 最 小 元 为 a;B 3 的 极 大 元 为 c,d; 极 小 元 为 a。图 5.4 例 5.28 哈 斯 图(4)B 4 ={d,e}B 4 无 最 大 元 , 也 无 最 小 元 ;B 4 的 极 大 元 是 d, e; 极 小 元 也 是 d, e。▊定 理 5.17 设 为 偏 序 集 ,B⊆A。(1) 若 b 为 B 的 最 大 ( 最 小 ) 元 , 则 b 为 B 的 极 大 ( 极 小 ) 元 。(2) 若 B 有 最 大 ( 最 小 ) 元 , 则 B 的 最 大 ( 最 小 ) 元 惟 一 。(3) 若 B 为 有 限 集 , 则 B 的 极 大 元 、 极 小 元 恒 存 在 。证 (1) 由 定 义 或 用 反 证 法 易 得 。(2) 设 b 1 ,b 2 为 B 的 最 大 ( 最 小 ) 元 , 那 么 b 1 ≤b 2 且 b 2 ≤b 1 。 由 ≤ 的 反 对 称 性 即 得 b 1 =b 2 。(3) 设 B={b 1 ,b 2 , …,b n }, 对 n 归 纳 。当 n=1 时 ,B 中 仅 有 一 个 元 素 , 它 既 是 极 大 元 , 也 是 极 小 元 。 当 n=2 时 , 设 B={ b 1 ,b 2 }。那 么 ,b 1 ≤b 2 时 b 1 为 极 小 元 ,b 2 为 极 大 元 ;b 2 ≤b 1 时 b 2 为 极 小 元 ,b 1 为 极 大 元 ;¬(b 1 ≤b 2 )且 ¬(b 2 ≤b 1 ) 时 ,b 1 ,b 2 同 为 极 大 元 , 也 同 为 极 小 元 。设 n=k 时 命 题 为 真 。 若 n=k+1,B={ b 1 ,b 2 , …,b k ,b k+1 }。 据 归 纳 假 设 ,{b 1 ,b 2 , …,b k }有 极 大 元 b i , 极 小 元 b j 。 又 据 归 纳 基 础 ,{b i ,b k+1 } 有 极 大 元 , 它 显 然 是 B 的 极 大 元 ;{b j ,b k+1 }有 极 小 元 , 它 显 然 是 B 的 极 小 元 。归 纳 完 成 ,(3) 得 证 。▊值 得 注 意 的 是 , 最 大 元 、 最 小 元 未 必 存 在 , 极 大 元 、 极 小 元 对 有 限 集 虽 必 存 在 , 但 却 未必 惟 一 。定 义 5.23 设 为 偏 序 集 ,B⊆A,b∈A,(1) 若 ∀x(x∈B→b≤x) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 下 界 (Lower Bound)。(2) 若 ∀x(x∈B→x≤b) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 上 界 (Upper Bound)。93