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定 理 5.14 设 ρ 是 集 合 A 上 的 等 价 关 系 , 对 于 a,b∈A, 有 (a,b)∈ρ 当 且 仅 当 [a] ρ = [b] ρ 。证 明 设 [a] ρ = [b] ρ , 因 为 b∈[b] ρ , 故 b∈[a] ρ , 即 (a,b)∈ρ。反 之 , 若 (a,b)∈ρ, 设 c∈[a] ρ , 则 (a,c)∈ρ, 又 (a,b)∈ρ, 从 而 (b,a)∈ρ 所 以 (b,c)∈ρ,因 此 c∈[b] ρ , 即 [a] ρ ⊆ [b] ρ 。 同 理 , 可 得 [b] ρ ⊆ [a] ρ , 所 以 [a] ρ = [b] ρ 。由 以 上 两 方 面 知 定 理 成 立 。定 义 5.18 设 ρ 是 集 合 A 上 的 等 价 关 系 , 则 称 集 合 {[a] ρ |a∈A} 为 A 关 于 ρ 的 商 集(Quatient Set), 记 为 A/ρ, 商 集 的 基 数 称 为 等 价 关 系 ρ 的 秩 (Rank)。如 例 5.21 中 的 商 集 为 A/ρ={[a] ρ ,[b] ρ ,[c] ρ ,[d] ρ ,[e] ρ }={{a,b},{c},{d,e}}。定 理 5.15 设 ρ 是 集 合 A 上 的 等 价 关 系 , 则 A 关 于 ρ 的 商 集 A/ρ 是 A 的 一 个 分 划 , 称 为 A关 于 ρ 的 等 价 分 划 。证 明 由 商 集 , 分 划 以 及 等 价 关 系 的 定 义 可 证 。定 理 5.16 集 合 A 的 一 个 分 划 确 定 A 上 的 一 个 等 价 关 系 。证 明 设 π={S 1 ,S 2 ,…,S n } 是 集 合 A 的 一 个 分 划 , 定 义 A 上 的 关 系 ρ,(a,b)∈ρ 当 且 仅 当a,b 在 同 一 分 划 块 中 。 下 面 证 明 ρ 是 等 价 关 系 。(1) 由 于 a 与 a 在 同 一 分 划 块 中 , 故 有 (a,a)∈ρ, 即 ρ 是 自 反 的 。(2) 若 a,b 在 同 一 分 划 块 中 , 则 b 与 a 也 在 同 一 分 划 块 中 , 即 由 (a,b)∈ρ, 可 推 出(b,a)∈ρ, 所 以 ρ 是 对 称 的 。(3) 设 (a,b)(b,c)∈ρ, 则 a,b 在 同 一 分 划 块 中 ,b,c 在 同 一 分 划 块 中 , 又 因 为 S i ∩S j =∅(i≠j), 所 以 b 恰 属 于 一 个 分 划 块 , 故 a,c 在 同 一 分 划 块 中 , 即 (a,c)∈ρ, 所 以 ρ 是 传 递 的 。由 以 上 (1)(2)(3) 可 知 ρ 是 A 上 的 等 价 关 系 。例 5.22 设 A={a,b,c,d,e} 有 一 个 分 划 π={{a,b},{c},{d,e}}, 求 π 所 确 定 的 等 价 关 系 ρ。解 设 ρ 1 ={a,b}×{a,b}={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)},ρ 2 ={c}×{c}={(c,c)},ρ 3 ={d,e}×{d,e}={(d,d),(d,e),(e,d),(e,e)}。所 以 ρ=ρ 1 ∪ρ 2 ∪ρ 3 ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,e),(e,d),(e,e)}。例 5.23 设 A 是 由 4 个 元 素 组 成 的 集 合 , 试 问 在 A 上 可 以 定 义 多 少 个 不 同 的 等 价 关 系 ?解 如 果 直 接 考 虑 A 上 可 以 定 义 多 少 个 等 价 关 系 , 则 计 算 过 程 比 较 繁 琐 , 也 容 易 出 错 。根 据 定 理 4.16 可 知 集 合 A 上 的 等 价 关 系 与 分 划 存 在 一 一 对 应 的 关 系 , 因 此 此 题 可 转 化 为 考虑 A 上 有 多 少 个 不 同 的 分 划 。将 集 合 A 分 划 为 一 块 : 有 1 种 分 法 ;将 集 合 A 分 划 为 两 块 : 有 C 2 14/2+C 4种 分 法▊▊▊▊将 集 合 A 分 划 为 三 块 : 有 C2 4种 分 法将 集 合 A 分 划 为 四 块 : 有 1 种 分 法因 此 , 集 合 A 上 不 同 等 价 关 系 的 个 数 为1+C 2 4/2+C 1 4+C 2 4+1=15▊91