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算 法 分 析 等 都 有 很 多 应 用 。 本 章 主 要 讨 论 二 元 关 系 理 论 , 主 要 知 识 点 有 :1) 序 偶 、 有 序 n 元 组 、 笛 卡 尔 积 的 概 念 及 性 质 。2) 二 元 关 系 、n 元 关 系 的 概 念 、 表 示 方 法 ( 集 合 表 达 式 、 关 系 矩 阵 和 关 系 图 ) 及 求 解 ,关 系 的 定 义 域 和 值 域 的 概 念 。 关 系 的 矩 阵 表 示 为 关 系 的 计 算 机 处 理 带 来 了 许 多 方 便 , 也 是 许多 算 法 的 基 础 。3) 二 元 关 系 的 性 质 , 自 反 性 、 反 自 反 性 、 对 称 性 、 反 对 称 性 和 传 递 性 。 其 中 反 对 称 性和 传 递 性 的 定 义 较 为 抽 象 , 应 在 理 解 的 基 础 上 掌 握 。 掌 握 利 用 关 系 的 不 同 表 示 获 得 关 系 所 具有 的 性 质 的 方 法 。4) 关 系 的 运 算 及 性 质 。 关 系 的 基 本 运 算 就 是 集 合 的 基 本 运 算 , 即 交 、 并 、 差 、 补 、 对称 差 ; 关 系 的 定 义 域 和 值 域 ; 此 外 , 关 系 作 为 一 种 特 殊 的 集 合 , 还 有 复 合 运 算 、 逆 运 算 和 闭包 运 算 ( 即 自 反 闭 包 、 对 称 闭 包 、 传 递 闭 包 )。 其 中 关 系 的 复 合 运 算 和 逆 运 算 是 不 难 理 解 的 ,而 关 系 的 闭 包 运 算 , 其 实 就 是 向 给 定 的 关 系 ( 集 合 ) 中 添 加 最 少 的 元 素 ( 有 序 对 ) 而 使 其 具备 自 反 性 ( 自 反 闭 包 )、 对 称 性 ( 对 称 闭 包 ) 和 传 递 性 ( 传 递 闭 包 )。 同 时 闭 包 的 有 关 性 质 、Warshall 算 法 等 也 是 应 该 掌 握 的 。5) 集 合 覆 盖 与 划 分 的 概 念 。6) 等 价 关 系 是 一 个 满 足 自 反 性 、 对 称 性 和 传 递 性 的 二 元 关 系 , 是 非 常 重 要 的 二 元 关 系 。所 有 与 给 定 元 素 x 有 关 系 的 元 素 放 在 一 起 就 构 成 了 一 个 集 合 , 即 等 价 类 。 等 价 类 有 一 些 重 要的 性 质 ; 所 有 的 等 价 类 构 成 的 集 合 , 即 是 商 集 。 有 关 等 价 关 系 部 分 的 内 容 , 在 后 续 章 节 中 还会 用 到 , 需 熟 练 掌 握 。7) 偏 序 关 系 ≤ 是 一 种 具 备 自 反 性 、 反 对 称 性 和 传 递 性 的 二 元 关 系 , 而 称 为 偏 序集 。 偏 序 关 系 的 关 系 图 用 哈 斯 图 来 表 示 , 哈 斯 图 中 一 定 没 有 三 角 形 那 样 的 子 图 ; 一 般 地 , 哈斯 图 中 没 有 水 平 方 向 的 边 。 重 点 掌 握 利 用 哈 斯 图 判 断 元 素 覆 盖 关 系 的 方 法 , 如 最 小 元 、 最 大元 、 极 小 元 、 极 大 元 、 上 界 、 下 界 、 最 小 上 界 、 最 大 下 界 的 概 念 及 判 定 。 在 “ 抽 象 代 数 ” 中还 要 用 到 偏 序 集 、 最 小 上 界 和 最 大 下 界 等 概 念 。8) 关 系 在 计 算 机 科 学 中 的 应 用 。习 题1. 设 A={a,b}, 求 P(A)×A。2. 设 A,B,C,D 为 任 意 集 合 , 求 证 :(1) 若 C≠∅, A×C⊆B×C, 则 A⊆B;(2)(A×B)-(C×D)=((A-C)×B)∪(A×(B-D));(3)(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)。3. 证 明 若 X×X=Y×Y, 则 X=Y。4. 证 明 若 X×Y=X×Z, 且 X≠∅, 则 Y=Z。5. 设 A,B 为 集 合 ,|A|= n, |B|=m。(1) 问 A 到 B 的 二 元 关 系 共 多 少 个 ?(2) 问 A 上 二 元 关 系 共 多 少 个 ?6. 列 出 下 列 二 元 关 系 的 所 有 元 素 :(1)A={0,1,2},B={0,2,4},R={(x,y)|x,y∈A∩B}(2)A={1,2,3,4,5},B={1,2},R={(x,y)|2≤x+y≤4 且 x∈A 且 y∈B}(3)A={1,2,3},B={-3,-2,-1,0,1},R={(x,y)||x|=|y| 且 x∈A 且 y∈B}7. 列 出 所 有 从 X={a,b,c} 到 Y={d} 的 关 系 。101