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(1)r(R 1 ∪R 2 ) = r(R 1 )∪r(R 2 );(2)s(R 1 ∪R 2 ) = s(R 1 )∪s(R 2 );(3)t(R 1 ∪R 2 ) ⊇ t(R 1 )∪t(R 2 );(4) 对 t(R 1 ∪R 2 ) = t(R 1 )∪t(R 2 ) 举 出 反 例 。22. 设 R 为 集 合 A 上 的 反 对 称 关 系 , 则 t(R) 一 定 是 反 对 称 的 吗 ?23. 设 R 为 A 上 二 元 关 系 , 如 果 对 每 一 a∈A 均 有 b∈A 使 aRb, 则 称 R 为 连 续 的 。证 明 : 当 R 连 续 、 对 称 、 传 递 时 ,R 为 等 价 关 系 。24. 设 R 是 集 合 A 上 的 一 个 自 反 关 系 , 证 明 :R 是 等 价 关 系 当 且 仅 当 若 (a,b)∈R ∧ (a,c)∈R时 , 则 (b,c)∈R。25. 设 R 是 集 合 X 上 的 二 元 关 系 , 对 任 意 x i ,x j ,x k ∈X, 每 当 (x i ,x j )∈R ∧ (x j ,x k )∈R 时 ,必 有 (x k ,x i )∈R, 则 称 R 是 循 环 的 。 试 证 :R 是 等 价 关 系 , 当 且 仅 当 R 是 自 反 和 循 环 的 。26. 假 设 给 定 了 正 整 数 的 序 偶 集 合 A, 在 A 上 定 义 二 元 关 系 R 如 下 :((x,y),(u,v))∈R, 当且 仅 当 xv=yu, 证 明 R 是 一 个 等 价 关 系 。27. 令 C ={a+bi| a,b 为 实 数 ,a≠0}, 定 义 C 上 关 系 R:(a+bi)R(c+di) 当 且 仅 当 ac>0,证 明 R 为 等 价 关 系 。28. 设 R 为 A 上 二 元 关 系 , 且 dom(R)=A。 若 R o R -1 o R = R, 证 明 R o R -1 和 R -1 o R 都 是 A上 的 等 价 关 系 。29. 设 {A 1 ,A 2 ,…,A k } 是 集 合 A 的 一 个 划 分 , 我 们 定 义 A 上 的 一 个 二 元 关 系 R, 使 (a,b)∈R当 且 仅 当 a 和 b 在 这 个 划 分 的 同 一 块 中 。 证 明 R 是 等 价 关 系 。30. 设 A = {1,2,3,4,5,6},A 有 分 划π 1 = {{1,2,3},{4,5,6}}π 2 = {{1,2},{3,4},{5,6}}求 π 1 ,π 2 所 对 应 的 等 价 关 系 。31. 设 R,S 为 A 上 的 两 个 等 价 关 系 , 且 R ⊆ S。 定 义 A/R 上 的 关 系 R/S:([x],[y])∈R/S 当 且 仅 当 (x,y)∈S证 明 :R/S 为 A/R 上 的 等 价 关 系 。32. 图 5.8 为 一 偏 序 集 的 哈 斯 图 。(l) 下 列 命 题 哪 些 为 真 ?aRb,dRa, cRd, cRb, bRe, aRa, eRa;(2) 根 据 哈 斯 图 画 出 R 的 关 系 图 ;(3) 指 出 A 的 极 大 元 , 极 小 元 , 最 大 元 , 最 小 元 ;(4) 求 出 子 集 B 1 ={c,d,e},B 2 ={b,c,d },B 3 ={b,c,d,e} 的 上 界 , 下 界 , 上 确 界 , 下 确界 。abcde图 5.833. 画 出 集 合 S={1,2,3,4,5,6} 在 偏 序 关 系 “ 整 除 ” 下 的 哈 斯 图 , 并 讨 论 :(1) 写 出 {1,2,3,4,5,6} 的 极 大 元 , 极 小 元 , 最 大 元 , 最 小 元 。(2) 分 别 写 出 {2,3,6} 及 {2,3,5} 的 上 界 , 下 界 , 上 确 界 , 下 确 界 。103