49 § 16. Ilmutamata funktsioon ja selle diferentseerimine Olgu kahe ...

§ 16. Ilmutamata funktsioon ja selle diferentseerimineOlgu kahe muutuva suuruse x ja y väärtused omavahel seotud mingi võrrandiga, midasümbolites kirjutame kujulF ( x, y ) = 0.a b määratud funktsioon y f ( x)Kui mingis vahemikus ( , )F ( x, y ) = 0 muutub samasuseks, kui selles võrrandis y asendada avaldisega f ( )funktsioon y f ( x)= on võrrandiga ( )Näiteks võrrand2 2x + y − 25 = 0esitab ilmutamata kujul elementaarfunktsioone= on selline, et võrrandx , siisF x, y = 0 määratud ilmutamata funktsioon.22y = 25 − x ja y = − 25 − x .Iga ilmutamata kujul antud funktsiooni ei saa esitada ilmutatud kujul, s.o.kujuly f x f x on elementaarfunktsioon. Näiteks funktsioon, mis on antud võrrandiga= ( ) , kus ( )y − x − sin y = 0 , ei avaldu elementaarfunktsioonina, s.o. seda võrrandit ei saa y suhteslahendada.y = f x on esitatav ilmutamata kujul y − f ( x) = 0 .Iga ilmutatud funktsioon ( )Vaatleme järgmise näite põhjal, kuidas leida ilmutamata funktsiooni tuletist, esitamatay = f x .teda ilmutatud kujul ( )Olgu antud argumendi x ilmutamata funktsioon y järgmise võrrandiga:6 2y − y − x = 0 .Diferentseerime seda x järgi:56y y′ − y′− 2x= 0,millest2xy′ =56y− 1.⎧⎪ x = ϕ ( t),On antud kaks võrrandit ⎨⎪⎩ y = ψ ( t),kus t omandab kõik väärtused lõigult [ , ]§ 17. Funktsiooni parameetriline esitus1 2(1)T T . Igale t väärtusele vastab üks x väärtus ja üks yväärtus (eeldusel, et funktsioonid ϕ ja ψ on ühesed). Kui x ja y väärtusi vaadelda punktikoordinaatidena xy-tasandil, siis igale t väärtusele vastab tasapinna üks punkt. Kui t muutubväärtusest T1väärtuseni T2, siis see punkt kujundab mingi joone tasandil. Võrrandeid (1)nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks, muutujat t nimetatakseparameetriks.x ϕ tt = Φ x . Siis y on xEeldame, et funktsioonil = ( ) on olemas pöördfunktsioon ( )funktsioon:49

y = ψ ⎡⎣ Φ ⎤⎦ .Seega võrradid (1) määravad suuruse y suuruse x funktsioonina, kusjuures y sõltuvus x-st onesitatud parameetriliselt.Näide 1. On antud ringjoon, mille keskpunkt on koordinaatide alguses ja raadius on r.( x)Tähistame tähega t nurga, mille moodustavad x-telg ja mingisse ringjoone punkti M ( x,y )tõmmatud raadius. Ringjoone mistahes punkti koordinaadid avalduvad nüüd parameetri tkaudu järgmiselt:⎧x = r cost⎨ , 0 ≤ t ≤ 2π.⎩y = r sin tNeed on ringjoone parameetrilised võrrandid.Näide 2. Tsükloidiks nimetatakse joont, mille kujundab ringjoonel asetsev punkt, kui seeringjoon veereb libisemata mööda sirget.Eeldame, et veereva ringjoone punkt M ühtis liikumise alguses koordinaatide alguspunktiga.Määrame punkti M koordinaadid pärast ringjoone pöördumist nurga t võrra. Olgu veerevaringjoone raadius a. Jooniselt saame, etEt ringjoon veereb libisemata, siisx = OP = OB − PB .Järelikult,JooniseltOB = MB = at , PB = MK = asint.( sin )x = at − asint = a t − t .( )y = MP = KB = CB − CK = a − acost = a 1− cost.Võrrandid50

( sin )( 1 cos )⎧⎪ x = a t − t⎨ , 0 ≤ t ≤ 2π⎪⎩ y = a − ton tsükloidi parameetrilised võrrandid. Kui t kasvab väärtusest 0 kuni väärtuseni 2π , siispunkt M kujundab tsükloidi ühe looga.§ 18. Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletisOlgu argumendi x funktsioon y antud parameetriliste võrranditega⎧⎪ x = ϕ ( t )⎨ ,0⎪⎩ y = ψ ( t )t ≤ t ≤ T .Eeldame, et funktsioonid ϕ ( t)ja ψ ( t ) on diferentseeruvad ja et funktsioonil x ϕ ( t )olemas pöördfunktsioon t = Φ ( x), mis on samuti diferentseeruv. Parameetrilistevõrranditega määratud funktsiooni y = f ( x)võib vaadelda liitfunktsioonina:y = ψ ⎡Φ( x)⎤⎣ ⎦ .Liitfunktsiooni diferentseerimise eeskirja järgiy′ = ψ′ t Φ ′ x .( ) ( )x t xPöördfunktsiooni diferentseerimise eeskirja järgi1Φ ′x ( x)= .ϕ ′Asendades saameehkψ ′ty′ x=ϕ ′tt( t)( t)( t)dydy=dt.dx dxdtParameetri järgi võetud tuletist tähistatakse kriipsu asemel vastava tähe kohalepaigutatud punktiga, seegaϕ′ t = xɺ, ψ ′ t = yɺt( ) ( )ja parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis avaldubt= ondydxy= ɺ xɺ.51