Vektorruumi baas ja mõõde

Vektorruum – p. 2/11Vektorruumi baasVektorite süsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus leiavadjärgnevas väga olulise rakenduse.

Vektorruum – p. 2/11Vektorruumi baasVektorite süsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus leiavadjärgnevas väga olulise rakenduse.Def. Öeldakse, et vektorruumi V lineaarselt sõltumatutevektorite süsteem B = {⃗e 1 ,⃗e 2 ,...,⃗e n } moodustab baasi, kuiruumi V mistahes vektor on avaldatav süsteemi kuuluvatevektorite lineaarse kombinatsioonina, s.t∀⃗x ∈ V korral ⃗x = x 1 ⃗e 1 +x 2 ⃗e 2 +...+x n ⃗e n ,kus x i ∈ R (i = 1,2,...,n).

Vektorruum – p. 2/11Vektorruumi baasVektorite süsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus leiavadjärgnevas väga olulise rakenduse.Def. Öeldakse, et vektorruumi V lineaarselt sõltumatutevektorite süsteem B = {⃗e 1 ,⃗e 2 ,...,⃗e n } moodustab baasi, kuiruumi V mistahes vektor on avaldatav süsteemi kuuluvatevektorite lineaarse kombinatsioonina, s.t∀⃗x ∈ V korral ⃗x = x 1 ⃗e 1 +x 2 ⃗e 2 +...+x n ⃗e n ,kus x i ∈ R (i = 1,2,...,n).Vektorruumi, milles leidub lõplikust arvust vektoritest koosnevbaas B, nimetatakse lõplikumõõtmeliseks. Kui sellist baasi eileidu, siis nimetatakse vektorruumi lõpmatumõõtmeliseks.

Vektorruum – p. 3/11Vektorruumi baasTeoreem. Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv eisõltu baasi valikust.

Vektorruum – p. 3/11Vektorruumi baasTeoreem. Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv eisõltu baasi valikust.Def. Vektorruumi V baasivektorite arvu nimetatakse vektorruumimõõtmeks ehk dimensiooniks.

Vektorruum – p. 3/11Vektorruumi baasTeoreem. Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv eisõltu baasi valikust.Def. Vektorruumi V baasivektorite arvu nimetatakse vektorruumimõõtmeks ehk dimensiooniks.Vektorruumi C, milles eksisteerib n vektorist koosnev baas,nimetatakse n-mõõtmeliseks ja tähistatakse V n .

Vektorruum – p. 3/11Vektorruumi baasTeoreem. Lõplikumõõtmelise vektorruumi baasivektorite arv eisõltu baasi valikust.Def. Vektorruumi V baasivektorite arvu nimetatakse vektorruumimõõtmeks ehk dimensiooniks.Vektorruumi C, milles eksisteerib n vektorist koosnev baas,nimetatakse n-mõõtmeliseks ja tähistatakse V n .Lineaarkombinatsiooni⃗x = x 1 ⃗e 1 +x 2 ⃗e 2 +...+x n ⃗e nkordajaid x i ∈ R (i = 1,2,...,n) nimetatakse vektori ⃗xkoordinaatideks antud baasi suhtes.

Vektorruum – p. 4/11Vektorruumi baasLause. Vektorruumi V n mistahes n-lineaarselt sõltumatutevektorite süsteem moodustab baasi.

Vektorruum – p. 4/11Vektorruumi baasLause. Vektorruumi V n mistahes n-lineaarselt sõltumatutevektorite süsteem moodustab baasi.Lause. Vektori koordinaadid fikseeritud baasi suhtes onmääratud üheselt.

Vektorruum – p. 4/11Vektorruumi baasLause. Vektorruumi V n mistahes n-lineaarselt sõltumatutevektorite süsteem moodustab baasi.Lause. Vektori koordinaadid fikseeritud baasi suhtes onmääratud üheselt.Tõestus. Olgu ruumisV n fikseeritud baasB={⃗e 1 ,⃗e 2 ,...,⃗e n }. Oletameväite vastaselt, etKasutades vektorruumi aksioome⃗x = x 1 ⃗e 1 +x 2 ⃗e 2 +...+x n ⃗e n ,⃗x = x ′ 1⃗e 1 +x ′ 2⃗e 2 +...+x ′ n⃗e n .⃗θ = (x 1 −x ′ 1)⃗e 1 +(x 2 −x ′ 2)⃗e 2 +...+(x n −x ′ n)⃗e n .

Vektorruum – p. 5/11Vektorruumi baasMärgime, et baasi moodustab just lineaarselt sõltumatutevektorite süsteem⃗e 1 ,⃗e 2 ,...,⃗e n , mitte nende vektorite hulk.Teatavasti hulga elementide järjekord ei ole oluline, kuidbaasivektorite ümberjärjestamisel saame uue baasi.

Vektorruum – p. 6/11Baas vektorruumisG 2Tasandi geomeetriliste vektorite vektorruum G 2 onkahemõõtmeline vektorruum, mille baasiks onmittekollineaarsed vektorid⃗e 1 ,⃗e 2 .

Vektorruum – p. 7/11Baas vektorruumisR nLause. Aritmeetilises vektorruumis R n moodustavad baasivektorid:⃗e 1 = (1, 0, 0, ... , 0),⃗e 2 = (0, 1, 0, ... , 0),⃗e 3 = (0, 0, 1, ... , 0),·····················⃗e n = (0, 0, 0, ... , 1).Näitame, et need vektorid on lineaarselt sõltumatud. Tõestameselle väite vastaselt.

Vektorruum – p. 8/11Baas vektorruumisR nOletame, et mingi kordajateα 1 ,α 2 ,...,α nkomplekti korral, mis kõik korraga ei ole nullid, osutub nendestvektoritest moodustatud lineaarkombinatsioonnullvektoriks.α 1 ⃗e 1 +α 2 ⃗e 2 +...+α n ⃗e n = ⃗ θ

Vektorruum – p. 8/11Baas vektorruumisR nOletame, et mingi kordajateα 1 ,α 2 ,...,α nkomplekti korral, mis kõik korraga ei ole nullid, osutub nendestvektoritest moodustatud lineaarkombinatsioonα 1 ⃗e 1 +α 2 ⃗e 2 +...+α n ⃗e n = ⃗ θnullvektoriks.Kasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saame, etnullvektori ⃗ θ komponendid on⃗θ = (α 1 ,α 2 ,α 3 ,...,α n ).

Vektorruum – p. 8/11Baas vektorruumisR nOletame, et mingi kordajateα 1 ,α 2 ,...,α nkomplekti korral, mis kõik korraga ei ole nullid, osutub nendestvektoritest moodustatud lineaarkombinatsioonα 1 ⃗e 1 +α 2 ⃗e 2 +...+α n ⃗e n = ⃗ θnullvektoriks.Kasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saame, etnullvektori ⃗ θ komponendid on⃗θ = (α 1 ,α 2 ,α 3 ,...,α n ).Tehtud eelduse tõttu kõik need komponendid ei ole nullid, mison vastuolu, sest nullvektori kõik komponendid on nullid.

Vektorruum – p. 9/11Baas vektorruumisR nKasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saame ruumi R nmistahes vektori ⃗x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) avaldada nende vektoritelineaarkombinatsioonina.

Vektorruum – p. 9/11Baas vektorruumisR nKasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saame ruumi R nmistahes vektori ⃗x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) avaldada nende vektoritelineaarkombinatsioonina.Tõepoolest⃗x 1 = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) = x 1 (1, 0, ... , 0) ++ x 2 (0, 1, ... , 0) +···············+ x n (0, 0, ... , 1),

Vektorruum – p. 9/11Baas vektorruumisR nKasutades aritmeetilise vektorruumi tehteid, saame ruumi R nmistahes vektori ⃗x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) avaldada nende vektoritelineaarkombinatsioonina.Tõepoolest⃗x 1 = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) = x 1 (1, 0, ... , 0) ++ x 2 (0, 1, ... , 0) +···············+ x n (0, 0, ... , 1),millest⃗x = x 1 ⃗e 1 +x 2 ⃗e 2 +...+x n ⃗e n =n∑x i ⃗e i .i=1

Vektorruum – p. 10/11Baas vektorruumisR nBaasi, mille moodustavad aritmeetilises ruumis R n antudvektorid,⃗e 1 = (1, 0, 0, ... , 0),⃗e 2 = (0, 1, 0, ... , 0),⃗e 3 = (0, 0, 1, ... , 0),·····················⃗e n = (0, 0, 0, ... , 1),nimetatakse kanooniliseks ehk loomulikuks baasiks ningmistahes vektori ⃗x = (x 1 ,x 2 ,...,x n ) komponendid on sellevektori koordinaadid kanoonilise baasi suhtes.

Vektorruum – p. 11/11Lõpmatumõõtmelise vektorruumi näideÜheks lihtsamaks lõpmatumõõtmelise vektorruumi näiteks onkõigi ühe muutuja polünoomide hulk P[x]. Tõepoolest, olgu f(x)ja g(x) mistahes kaks elementi hulgast P[x], s.of(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a n−1 x n−1 +a n x n ,g(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b m−1 x m−1 +b m x m .

Vektorruum – p. 11/11Lõpmatumõõtmelise vektorruumi näideÜheks lihtsamaks lõpmatumõõtmelise vektorruumi näiteks onkõigi ühe muutuja polünoomide hulk P[x]. Tõepoolest, olgu f(x)ja g(x) mistahes kaks elementi hulgast P[x], s.of(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a n−1 x n−1 +a n x n ,g(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b m−1 x m−1 +b m x m .On arusaadav, et f(x)+g(x) ∈ P[x] ja ∀α ∈ R ka αf(x) ∈ P[x]ning vektrorruumi aksioomid 1)−8) on täidetud. Seegapolünoomide hulk P[x] on vektorruum üle reaalarvude hulga R.

Vektorruum – p. 11/11Lõpmatumõõtmelise vektorruumi näideÜheks lihtsamaks lõpmatumõõtmelise vektorruumi näiteks onkõigi ühe muutuja polünoomide hulk P[x]. Tõepoolest, olgu f(x)ja g(x) mistahes kaks elementi hulgast P[x], s.of(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +...+a n−1 x n−1 +a n x n ,g(x) = b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +...+b m−1 x m−1 +b m x m .On arusaadav, et f(x)+g(x) ∈ P[x] ja ∀α ∈ R ka αf(x) ∈ P[x]ning vektrorruumi aksioomid 1)−8) on täidetud. Seegapolünoomide hulk P[x] on vektorruum üle reaalarvude hulga R.Selles vektorruumis moodustavad baasi lineaarselt sõltumatudpolünoomid1 = x 0 ,x,x 2 ,...,x n−1 ,x n ,x n+1 ,... ,sest nende polünoomide lineaarse kombinatsioonina onavaldatav selle vektorruumi iga polünoom.