ϕ ψ γ γ γ

§ 8. Liitfunktsiooni tuletis. Täistuletis. Liitfunktsiooni täisdiferentsiaalOletame,et võrrandis( , )z = F u v(1)u ja v on sõltumatute muutujate x ja y funktsioonidu = ϕ x, y ; v = ψ x,y . (2)( ) ( )Sel juhul on z argumentide x ja y liitfunktsioon.Võib avaldada z ka vahetult x ja y kaudu:z = F ⎡ϕx, y , ψ x,y ⎤Eeldades, et funktsioonide ( , )( ) ( )F u v , ϕ ( x,y)ja ( x,y)⎣ ⎦ . (3)ψ osatuletised kõigi argumentide∂zjärgi on pidevad, püstitame järgmise ülesande: lähtudes võrranditest (1) ja (2), avaldada∂x∂zning , kasutamata seejuures võrrandit (3).∂ yAnname argumendile x muudu ∆ x , jättes seejuures y väärtuse muutumatuks. Võrrandite(2) kohaselt saavad suurused u ja v siis muudud ∆ u ja ∆ v .x xKuid kui u ja v kasvavad vastavalt∆ ja x vx u∆ võrra, siis saab ka funktsioon z = F ( u,v )muudu ∆ z , mis on määratud I ptk. § 7 antud valemiga (5´):∂F∂F∆ z = ∆xu + ∆xv + γ1∆ xu + γ2∆xv.∂u∂vJagame selle võrduse kõik liikmed ∆x-ga:∆z ∂F ∆ xu ∂Fxv xu xv= + ∆ + γ∆ 1+ γ∆2∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x ∆ x.Kui ∆x→ 0 , siis (funktsioonide u ja v pidevuse tõttu ) ka ∆ u → x0 ja ∆ v → 0 . Kuid ka xγ1ja γ2lähenevad siis nullile. Leides piirväärtused ∆x→ 0 puhul ,saame:∆z ∂z ∆xu∂u ∆xv∂vlim = ; lim = ; lim = ;∆x→0 ∆x ∂x ∆x→0 ∆x ∂x ∆x→0∆x ∂xlim γ = 0 ; lim γ = 0 .Järelikult,ehkAndes muutulale y muuduleida:ehk1 2∆x→0 ∆x→0∂z ∂F ∂u ∂F ∂v= +∂x ∂u ∂x ∂v ∂x∂z ∂z ∂u ∂z ∂v= +∂x ∂u ∂x ∂v ∂x.(4)∆ y ja jättes x muutumatuks, võib analoogse arutluse teel∂z ∂F ∂u ∂F ∂v= +∂y ∂u ∂y ∂v ∂ y. (4´)∂z ∂z ∂u ∂z ∂v= +∂y ∂u ∂y ∂v ∂y.11

Valemeid (4) ja (4´) võib üldistada ka suurema arvu muutujate juhule.w = F z, u,v on kolme argumendi z, u ja v funktsioon, kusjuures igaüksKui näiteks ( )neist oleneb muutujatest x ja y, siis omandavad valemid (4) ja (4´) kujux, s.t.Kui on antud funktsioon z F ( x, y, u,v)∂w ∂w ∂z ∂w ∂u ∂w ∂v= + + ,∂x ∂z ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x∂w ∂w ∂z ∂w ∂u ∂w ∂v= + + .∂y ∂z ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y. (5)= , kus y, u ja v sõltuvad omakorda argumendist( ) ϕ ( ) ψ ( )y = f x ; u = x ; v = x ,siis on z oma olemuselt ainult ühe muutuja x funktsioon ja võib seada küsimuse tuletise dzdxleidmisest.See tuletis leitakse esimese valemi abil valemitest (5):dz ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂u ∂z ∂v= + + +dx ∂x ∂x ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂ x;et aga y, u ja v on ühe muutuja x funktsioonid, siis muutuvad osatuletised harilikeks∂ xtuletisteks; peale selle = 1, mistõttu∂xdz ∂z ∂z dy ∂z du ∂z dv= + + + . (6)dx ∂x ∂y dx ∂u dx ∂v dxSeda valemit nimetatakse täistuletise dzdx valemiks (erinevalt osatuletisest ∂z∂ x).Leiame nüüd võrdustega (1) ja (2) määratud liitfunktsiooni täisdiferentsiaali.∂zPaigutades võrdustega (4) ja (4´) määratud∂xja ∂zavaldised täisdiferentsiaali∂yvalemisse∂z∂zdz = dx + dy , (7)∂x∂ysaame:⎛ ∂F ∂u ∂F ∂v ⎞ ⎛ ∂F ∂u ∂F ∂v⎞dz = ⎜ + ⎟ dx + ⎜ + ⎟dy.⎝ ∂u ∂x ∂v ∂x ⎠ ⎝ ∂u ∂y ∂v ∂y⎠Teisendame saadud võrduse paremat poolt:Kuid∂F ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂F ⎛ ∂v ∂v⎞dz = ⎜ dx + dy ⎟ + ⎜ dx + dy ⎟ . (8)∂u ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂v ⎝ ∂x ∂y⎠12

∂u∂u⎫dx + dy = du ,∂x∂y⎪ ⎬∂v∂vdx + dy = dv . ⎪∂x∂y⎪⎭(9)ehkArvestades võrdusi (9), võime võrduse (8) ümber kirjutada järgmiselt:∂F∂Fdz = du + dv∂u∂v(10)∂z∂zdz = du + dv∂u∂v. (10´)Võrreldes võrdusi (7) ja (10´), võime öelda, et mitme muutuja funktsiooni (esimestjärku) täisdiferentsiaali avaldisel on üks ja seesama kuju, s.t. diferentsiaali kuju oninvariantne olenemata sellest, kas u ja v on sõltumatud muutujad või sõltumatute muutujatefunktsioonid.13