ϕ ψ γ γ γ

Valemeid (4) ja (4´) võib üldistada ka suurema arvu muutujate juhule.w = F z, u,v on kolme argumendi z, u ja v funktsioon, kusjuures igaüksKui näiteks ( )neist oleneb muutujatest x ja y, siis omandavad valemid (4) ja (4´) kujux, s.t.Kui on antud funktsioon z F ( x, y, u,v)∂w ∂w ∂z ∂w ∂u ∂w ∂v= + + ,∂x ∂z ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x∂w ∂w ∂z ∂w ∂u ∂w ∂v= + + .∂y ∂z ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y. (5)= , kus y, u ja v sõltuvad omakorda argumendist( ) ϕ ( ) ψ ( )y = f x ; u = x ; v = x ,siis on z oma olemuselt ainult ühe muutuja x funktsioon ja võib seada küsimuse tuletise dzdxleidmisest.See tuletis leitakse esimese valemi abil valemitest (5):dz ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂u ∂z ∂v= + + +dx ∂x ∂x ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂ x;et aga y, u ja v on ühe muutuja x funktsioonid, siis muutuvad osatuletised harilikeks∂ xtuletisteks; peale selle = 1, mistõttu∂xdz ∂z ∂z dy ∂z du ∂z dv= + + + . (6)dx ∂x ∂y dx ∂u dx ∂v dxSeda valemit nimetatakse täistuletise dzdx valemiks (erinevalt osatuletisest ∂z∂ x).Leiame nüüd võrdustega (1) ja (2) määratud liitfunktsiooni täisdiferentsiaali.∂zPaigutades võrdustega (4) ja (4´) määratud∂xja ∂zavaldised täisdiferentsiaali∂yvalemisse∂z∂zdz = dx + dy , (7)∂x∂ysaame:⎛ ∂F ∂u ∂F ∂v ⎞ ⎛ ∂F ∂u ∂F ∂v⎞dz = ⎜ + ⎟ dx + ⎜ + ⎟dy.⎝ ∂u ∂x ∂v ∂x ⎠ ⎝ ∂u ∂y ∂v ∂y⎠Teisendame saadud võrduse paremat poolt:Kuid∂F ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂F ⎛ ∂v ∂v⎞dz = ⎜ dx + dy ⎟ + ⎜ dx + dy ⎟ . (8)∂u ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂v ⎝ ∂x ∂y⎠12