9. loeng Astmeread, Taylori rida.

Ridade teooriaTaylori ridaAstmereadDefinitsioon 1Astmereaks nimetatakse funktsionaalrida kujul (t ∈ R)∞∑a k (t − a) k = a 0 + a 1 (t − a) + a 2 (t − a) 2 + . . . + a k (t − a) k + . . . .k=0Suurusi a k ∈ R nimetatakse astmerea kordajateks.Astmerea määramispiirkonnaks on R.Muutujavahetusega x = t − a saame alati minna üle kujule∞∑a k x k .k=0G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 10

Ridade teooriaTaylori ridaAbeli teoreemLause 1Kui astmerida∞∑a k x k .k=0koondub punktis x 0 , siis see astmerida koondub absoluutselt iga xkorral, kui|x| < |x 0 |ja koondub ühtlaselt hulgal (q > 0).X q = {x : |x| q < |x 0 |}.Kui astmerida hajub punktis x 0 , siis see astmerida hajub iga iga xkorral, kui|x| > |x 0 | .G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 2 / 10

Ridade teooriaAstmerea koonduvusraadiusTaylori ridaLause 2∑Kui astmerea ∞ a k (x − a) k korral a k ≠ 0 (k > N) leidub lõplik võik=0lõpmatu piirväärtuslimk→+∞|a k ||a k+1 | ,siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujulR =limk→+∞|a k ||a k+1 |G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 4 / 10

Ridade teooriaAstmerea koonduvusraadiusTaylori ridaLause 3∑Kui astmerea ∞ a k (x − a) k korral a k ≠ 0 (k > N) leidub lõplik võik=0lõpmatu piirväärtuslimk→+∞1√|ak | ,siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujulR =klimk→+∞1√k |ak |G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 5 / 10

Ridade teooriaTaylori ridaAstmeridade omadusiLause 4Astmerida∞∑a k x k .k=0koonduvusraadiusega R võib hulgal (q > 0)X q = {x : |x| q < R}liikmeti integreerida ja diferentseerida. Seejuures koonduvusraadius Rei muutu.Astmerea∞∑a k (x − a) k .k=0korral on vastav hulk X q = {x : |x − a| q < R}G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 6 / 10

Ridade teooriaTaylori ridaAstmeridade omadusiLause 5Astmerea∞∑a k x k .k=0summa S(x) on selle rea koonduvusvahemikus (−R, R) lõpmata arvkordi diferentseeruv funktsioon, kusjuures∞∑S (r) (x) = k(k − 1) . . . (k − r + 1)a k x k−rk=r(r ∈ N).Astmerea∞∑a k (x − a) k .k=0korral on rea koonduvusvahemik (a − R, a + R).G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 7 / 10

Ridade teooriaTaylori ridaTaylori ridaLause 6Funktsiooni f (x) Taylori ridaf (x) ∼∞∑k=0f (k) (a)(x − a) kk!koondub punktis x funktsiooni f (x) väärtuseks parajasti siis, kuilim R n(x) = 0.n→+∞G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 8 / 10

Ridade teooriaTaylori ridaAstmeritta arenduse ühesusLause 7Funktsiooni f (x) Taylori ridajaf (x) =∞∑k=0f (k) (a)(x − a) k , x ∈ (a − R, a + R)k!f (x) =∞∑a k (x − a) kk=0punkti a mingis ümbruses, siis see astmerida langeb kokku funktsioonif (x) Taylori reaga, st. funktsiooni arendus astmeritta (x − a) astmetejärgi on ühene.G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 9 / 10

Ridade teooriaMaclaurini reaksarendusiTaylori ridaln(1 + x) =cos x =ch x =∞∑(−1) k+1 x kk=1k∞∑(−1) k x 2k(2k)!k=0∞∑k=0x 2k(2k)!(R = 1), e x =∞∑k=0(R = ∞) sin x =(R = ∞) sh x =∞∑k=0x k(R = ∞)k!∞∑(−1) k x 2k+1(2k + 1)!k=0x 2k+1(2k + 1)!(R = ∞)(R =(1 + x) α = 1 +∞∑k=1α(α − 1) . . . (α − k + 1)x k (R = 1)k!G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 10 / 10