slaidide sisu koondversioon

Juhusliku vektori momendidDefinitsioon 1. Kui f(x 1 , . . . , x n ) on juhusliku vektori (X 1 , . . . , X n ) jaotustihedus,siis arvuE(h(X 1 , . . . , X n )) =∫+∞∫· · ·+∞h(x 1 , . . . , x n )f(x 1 , . . . , x n )dx 1 · · · dx n−∞−∞nimetatakse funktsiooni h(x 1 , . . . , x n ) keskväärtuseks.Definitsioon 2. Arvuν k1 ,...,k n= E(X k 11 · · · X knn )nimetatakse juhusliku vektori (X 1 , . . . , X n ) k 1 + · · · + k n – järku algmomendiksja arvuµ k1 ,...,k n= E((X 1 − EX 1 ) k1 · · · (X n − EX n ) kn )nimetatakse juhusliku vektori (X 1 , . . . , X n ) k 1 + · · · + k n – järku keskmomendiks.Momentide arvutamine(X, Y ) on pidev juhuslik vektorE(h(X, Y )) =E(X k Y m ) =E((X − EX) k (Y − EY ) m ) =∫+∞∫+∞−∞ −∞∫∫+∞ +∞−∞ −∞∫∫+∞ +∞h(x, y)f(x, y)dxdyx k y m f(x, y)dxdy(x − EX) k (y − EY ) m f(x, y)dxdy−∞ −∞1

Momentide arvutamine(X, Y ) on diskreetne juhuslik vektorE(h(X, Y )) =E(X k Y m ) =E((X − EX) k (Y − EY ) m ) =+∞∑+∞∑i=1 j=1+∞∑+∞∑i=1 j=1+∞∑+∞∑i=1j=1h(x i , y j )p ijx k i y m j p ij(x i − EX) k (y j − EY ) m p ijDefinitsioon 3. Arvu cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] nimetataksejuhuslike suuruste X ja Y kovariatsiooniks.Definitsioon 4. Juhuslikke suurusi X ja Y nimetatakse mittekorreleeruvateks,kui cov(X, Y ) = 0, ja korreleeruvateks, kui cov(X, Y ) ≠ 0.Lause 1. Kui juhuslikud suurused X ja Y on sõltumatud, siis nad on kamittekorreleeruvad.Lause 2. Kehtib võrratus |cov(X, Y )| σ X σ Y .Lause 3. Kehtib seos cov(X, Y ) = E(XY ) − (EX)(EY ).RegressioonisuheTinglik keskväärtus E(Y |x) = E(Y |X = x) on juhuslik suurus. DE(Y |x) =E(E(Y |x) − EY ) 2 .Definitsioon 5. Arvuη(Y, X) =nimetatakse regressioonisuhteks.Regressioonisuhte omadused:• 0 η(Y, X) 1;√DE(Y |x)• Regressioonisuhe on null parajasti siis, kui Y ei ole X järgi prognoositav;• η(Y, X) = 1 parajasti siis, kui Y on peaaegu kindlasti esitatav juhuslikusuuruse X funktsioonina.2DY

Mitmemõõtmeline normaaljaotusDefinitsioon 1. Öeldakse, et juhuslik vektor (X 1 , X 2 , . . . , X n ) on normaaljaotusega,kui jaotustihedus on antud valemiga(1f(x) =(2π) n/2√ det(Σ) exp − (x − )µ)T Σ −1 (x − µ)2x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ), µ = (µ 1 , µ 2 , . . . , µ n ), Σ = (cov(X i , X j )), i, j = 1, .., n.Juhusliku argumendiga funktsioonX–juhuslik suurus jaotustihedusega f X (x) ja ϕ(x) kindel funktsioon.Definitsioon 1. Funktsiooni Y = ϕ(X) nimetatakse juhusliku argumendigafunktsiooniks.Juhusliku argumendiga funktsiooni ϕ(X) väärtused on juhuslikud suurused.P(Y ∈ B) = P(ϕ(X) ∈ B) = P(X ∈ ϕ −1 (B))kus ϕ −1 (B) = {x: ϕ(x) ∈ B}. Näide 1. Y = 2 X x k −1 0 1 31y k 1 2 82p k 0, 2 0, 1 0, 4 0, 3Näide 1 jätkub Z = X 2 .Z väärtuste hulk onx k −1 0 1 3p k 0, 2 0, 1 0, 4 0, 3{(−1) 2 , 0 2 , 1 2 , 3 2 } = {0, 1, 9}.p k 0, 2 0, 1 0, 4 0, 3Juhusliku suuruseP(Z = 0) = P(X 2 = 0) = P(X = 0) = 0, 1 P(Z = 1) = P(X 2 = 1) =P[(X = −1) + (X = 1)] = tn. liitmisteoreem, välistavad liidetavad= P(X = −1) + P(X = 1) = 0, 2 + 0, 4 = 0, 6. P(Z = 9) = P(X 2 = 9) =P(X = 3) = 0, 3z k 0 1 9p k 0, 1 0, 6 0, 33

Pideva juhusliku suuruse X korral Y = ϕ(X) jaotusseaduse leidmineSarnaselt juhuga, kui X on diskreetne juhuslik suurus, kehtib ka pidevajuhusliku suuruse korralP(Y ∈ B) = P(ϕ(X) ∈ B) = P(X ∈ ϕ −1 (B))kus ϕ −1 (B) = {x: ϕ(x) ∈ B}. Võtame hulgaks B = (−∞, y).∫P(Y ∈ B) = P(Y < y) = P(ϕ(X) < y) = f X (x)dx.Teiselt poolt,Oleme saanud võrduseF Y (y) = P(Y < y).∫F Y (y) = f X (x)dx.ϕ(x)

Eeldame, et funktsioon ϕ(x) on monotoonselt kasvav hulgal {x ∈ R: f(x) >0}. Siis leidub pöördfunktsioon ψ(y).F Y (y) = P(Y < y) = P(ϕ(X) < y) = P(X < ψ(y)) = F X (ψ(y)).Kui ψ on diferentseeruv, siis saame leida f Y (y)f Y (y) = dF Y (y)dy= dF X(ψ(y))dy= f X (ψ(y)) · ψ ′ (y).Olgu ϕ(x) on monotoonselt kahanev hulgal {x ∈ R: f(x) > 0}.F Y (y) = P(ϕ(X) < y) = P(X > ψ(y)) = 1 − P(X ψ(y))= 1 − P(X < ψ(y)) − P(X = ψ(y)) = 1 − F X (ψ(y))Kui ψ on diferentseeruv, siisf Y (y) = dF Y (y)dy= d(1 − F X(ψ(y)))dy= −f X (ψ(y)) · ψ ′ (y).Lause 4. Olgu X pidev juhuslik suurus jaotustihedusega f X (x), kusjuureshulk supp(f) = {x ∈ R: f(x) > 0} on lahtine. Kui funktsioon ϕ(x) on kasmonotoonselt kasvav või monotoonselt kahanev hulgal supp(f), siis juhuslikusuuruse Y = ϕ(X) jaotustihedus avaldub valemigaf Y (y) = f X (ψ(y)) · |ψ ′ (y)|,kus ψ(y) on funktsiooni ϕ(x) pöördfunktsioon.Näide (lognormaalne jaotus). Leida f Y (y), kui ln(Y ) ∼ N(µ, σ).X =ln(Y ) parajasti siis, kui Y = e X . Järelikult ϕ(x) = e x ja ψ(y) = ln(y) ningψ ′ (y) = 1/y (y > 0). Lause 1 põhjalf Y (y) = f X (ln y) · ∣ 1 ∣ = 1 ()y σ √ 2π exp (ln(y) − µ)2− · 12σ 2 y5