Untitled

Andres LaheEhitusmehaanikaVarrassüsteemi mehaanikaFkcp¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡fabx kl/2l

2Ilmunud riikliku programmiEestikeelsete kõrgkooliõpikute koostamine ja väljaandmine (2008–2012)””toetuselRetsenseerinudJakub KõoJaan RohusaarSiim IdnurmToimetanudMari-Ann TammeKujundanudTiia EikholmAutoriõigusAndres Lahe 2012ISBN 978-9949-23-271-0TrükkinudTallinna Raamatutrükikoja OÜTallinna Tehnikaülikooli kirjastus 2012See õpik on avaldatud Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 litsentsi alusel.Litsentsi terviktekstiga tutvumiseks külastage aadressi http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ee/ või kirjutage aadressil Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor,San Francisco, California, 94105, USA.Raamatus olevad väljavõtted programmidest alluvad GNU GPL 2.0 või uuemale litsentsile.Litsentsi terviktekstiga tutvumiseks külastage aadressi http://www.gnu.org/licenses/old-licenses/gpl-2.0.html või kirjutage aadressil Copyright (C) 1989, 1991Free Software Foundation, Inc. 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301, USA.

Mente et manuKõnesolev õpik on mõeldud kasutamiseks TTÜ ehituse, EMÜ maaehituse, EKAarhitektuuri ja TKTK ehituse erialade üliõpilastele.Õpiku lõpus on viited GNU Octave’is 1 kirjutatud programmidele, mille loetelu allalaadimisekson toodud lisas I lk 717. Need programmid on koostatud üliõpilastele enesekontrolliks,et kontrollida nendele käsitsi lahendamiseks antud ülesandeid 2 . Näiteksraami lahendamisel jõumeetodiga saab kontrollida jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemikordajaid, momente ja põikjõude raami varrastes.Need GNU Octave’is kirjutatud programmid on kaitstud GNU üldise avaliku litsentsiga3 4 , et tagada teile vabadus jagada ja muuta vaba tarkvara. Rääkides vabast tarkvarastpeetakse silmas vabadust, mitte hinda.Õpiku elektroonilisel variandil DVD-l või mälupulgal 5 on lisatud GNU Octave’is kirjutatudprogrammid, ekraanivideod, slaidid ja sõnastik 6 . E-õpik on internetis 7 . Õpikuelektroonilise variandi DVD ISO-tõmmise saab alla laadida aadressilt 8 .Olenevalt kasutatavast operatsioonisüsteemist ja andmekandjast (DVD või mälupulk)tuleb valida õpiku elektroonilise variandi nimi:faili nimi operatsioonisüsteem baas URL∙ opik eme D.pdf – Windows - file:///D:/∙ opik eme E.pdf – Windows - file:///E:/∙ opik eme Z.pdf – Windows - file:///Z:/∙ opik eme cdrom0.pdf – Linux - file:///media/cdrom0/∙ opik eme.pdf – Linux - file:///media/E OPE/∙ Ehitusmehaanika.html – * internet 9Numbrilisteks arvutusteks tuleb installeerida 10 GNU Octave. Kui näidata tee nende programmideni,siis GNU Octave loeb neid programme ja funktsioone DVD-lt või mälupulgalt.GNU Octave’i kasutamisel peab arvestama, et kümnendkoha märkimiseks kasutataksepunkti. Nii on arvutuspäevikutes kümnedkohad arvus eraldatud punktiga.1 http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave2 ./ylesanded.pdf3 http://hasso.linux.ee/doku.php/eesti:litsentsid:gpl4 http://www.gnu.org/licenses/5 ./MaluPulk.html6 ./sonastik_ehmeh.pdf7 http://digi.lib.ttu.ee/8 http://www.e-ope.ee/repositoorium?@=6wgb#euni_repository_108909 http://www.e-uni.ee/e-kursused/ehitusmehaanika/Ehitusmehaanika.html10 ./octaveProgrammid/EME_octaverc.txt

SisukordI Staatikaga määratud süsteemid 271 Sissejuhatus 291.1 Ülesanded ja eesmärk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2 Eeldused ja printsiibid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3 Varrassüsteemide koht mehaanikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4 Sise- ja rajajõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5 Lõikemeetod ja virtuaalsiirete printsiip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6 Sise- ja rajasiirded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.7 Koormused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8 Aproksimatsiooni tasemed. Mudelid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9 Lihtsustused varda paindeteoorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.10 Epüürid ja diferentsiaalseosed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.11 Põikjõud vardas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.12 Märgikokkulepped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.13 Kohalik ja üldteljestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.14 Koordinaatide teisendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.15 Sõlme tasakaalu- ja kõrvaltingimused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.16 Numbrilised arvutused GNU Octave’iga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.16.1 GNU Octave’i kui kalkulaator [ekraanivideo] . . 531.16.2 GNU Octave’i arvutuspäevik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.16.3 GNU Octave’iga arvutamise programm . . . . . . . . . . . . . . . 551.17 Ülekandemaatriks paindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.17.1 Lihttala arvutamise näide 1.1 [ekraanivideo] . . 581.17.2 Lihttala siirete arvutamise näide 1.2 [ekraanivideo] . . 612 Tala mõjujooned 652.1 Mõjujoone mõiste [ekraanivideo] . . . . 652.2 Toereaktsioonide mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3 Lihttala põikjõu mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4 Lihttala paindemomendi mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5 Konsooli mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.1 Põikjõu mõjujoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.2 Paindemomendi mõjujoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.3 Konsoolidega tala mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

6 SISUKORD2.6 Mõjujoonte kasutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.6.1 Sisejõudude leidmise näide 2.1 [slaidid] [.swf] [ekraanivideo] . . 732.7 Koormuse ebasoodsaim asetus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 Varrassüsteemide liigitus 793.1 Varrassüsteemide liigituse alused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.2 Toed ja toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 Kontaktjõud ja liigendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.4 Rajajõud ja sõlmpunktid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5 Arvutusskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.6 Arvutusskeemi vabadusaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7 Arvutusskeemi pooluste plaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.7.1 Pooluste plaani kasutamise näide 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 894 Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2] 934.1 Staatikaga määratav mitmesildeline tala . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2 Põhi- ja lisaosad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3 Sisejõudude arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.4 Gerberi tala mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.5 Gerberi tala. Arvutusnäited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.5.1 Tala arvutusnäide 4.1 [slaidid] [.swf] [ekraanivideo] . . 964.5.2 Tala mõjujoonte koostamise näide 4.2 [slaidid] [.swf] . . 1084.5.3 Tala arvutusnäide 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.5.4 Talal liikuvad kraanad. Näide 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.5.5 Talal liikuv kolonn. Näide 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145 Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2] 1215.1 Üldmõisted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.2 Toereaktsioonide arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.1 Vertikaalne koormus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.2.2 Horisontaalne koormus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.3 Kaare telgjoone võrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Kaare sisejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.4.1 Sisejõud vertikaalsest koormusest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.4.2 Sisejõud horisontaalsest koormusest . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 Seosed kaare sisejõudude vahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.6 Kolme liigendiga kaare survejoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.7 Kaare sisejõudude arvutamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.7.1 Paraboolse kaare arvutus. Näide 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.7.2 Paraboolse kaare arvutus. Näide 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.8 Kaare mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.9 Kaare mõjujoonte koostamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.9.1 Paraboolse kaare mõjujooned. Näide 5.3 . . . . . . . . . . . . . . 1345.10 Kolme liigendiga raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

SISUKORD 75.11 Kolme liigendiga raami arvutuse näited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.11.1 Kolme liigendiga raam. Näide 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.11.2 Kolme liigendiga raam. Näide 5.5 [slaidid][.swf][ekraanivideo] . . 1406 Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2] 1496.1 Sõrestikskeemide liigitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2 Staatiliselt määratud sõrestike arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2.1 Sõlmede eraldamise võte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2.2 Momendipunkti võte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.2.3 Projektsioonide võte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.2.4 Maxwelli-Cremona diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.3 Talasõrestike mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.3.1 Mõjujoonte leidmine arvutiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.4 Sõrestiku arvutamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.4.1 Sõrestiku arvutus. Näide 6.1 [slaidid] . . 1546.4.2 Sõrestiku arvutus. Näide 6.2 [slaidid] . . 1586.4.3 Sõrestiku mõjujoonte koostamine. Näide 6.3 [slaidid] . . 1657 Siirete arvutus 1717.1 Sise- ja rajajõudude töö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2 Virtuaalne töö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3 Tööde vastastikkuse teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.3.1 Vedru vastastikune töö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.3.2 Tööde vastastikkuse teoreemi avaldisi . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.4 Siirete vastastikkuse teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.5 Reaktsioonide vastastikkuse teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.6 Siirete arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.7 Siirded temperatuuri muutusest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.8 Siirete arvutamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.8.1 Lihttala siirete arvutamise näide 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.8.2 Murdjoonelise teljega varda siirete arvutamise näide 7.2 . . . . . . 1837.8.3 Murdjoonelise teljega varda siirete arvutamise näide 7.3 . . . . . . 1867.8.4 Raami siirete arvutamise näide 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 190II Staatikaga määramatud süsteemid 2058 Staatikaga määramatud konstruktsioonid 2078.1 Staatikaga määramatu konstruktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.1.1 Rajatingimused ja esimene märgikokkulepe . . . . . . . . . . . . . 2088.1.2 Rajatingimused ja teine märgikokkulepe . . . . . . . . . . . . . . 2118.2 Konstruktsioonide arvutamise meetodid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.3 Staatikaga määramatute konstruktsioonide omadused . . . . . . . . . . . 217

8 SISUKORD9 Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3] 2219.1 Raamid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.1.1 Staatilise määramatuse aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2209.1.2 Põhiskeem ja lisatundmatud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.1.3 Lisatundmatute arvutamise võrrandid . . . . . . . . . . . . . . . 2229.1.4 Sisejõudude arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2239.1.5 Raami arvutus jõumeetodiga. Näide 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . 2239.1.6 Raami arvutus jõumeetodiga. Näide 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . 2299.1.7 Raami arvutus jõumeetodiga. Näide 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . 23810 Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3] 25310.1 Põhiskeem ja lisatundmatud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.2 Kanoonilised võrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.3 Kolme momendi võrrandiga jätkuvtala arvutus . . . . . . . . . . . . . . 25410.3.1 Kolme momendi võrrand. Näide 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 25410.4 Jätkuvtalade arvutus fookussuhtega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.4.1 Fookussuhted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.4.2 Koormatud silde toemomendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26010.4.3 Jätkuvtala arvutamine fookussuhetega. Näide 10.2 [slaidid] . 26210.5 Jätkuvtala arvutus. Näide 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26911 Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3] 28311.1 Kinnitusmoment sõlme ja varda pöördest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28311.1.1 Mõlemast otsast jäigalt kinnitatud varras . . . . . . . . . . . . . . 28411.1.2 Ühest otsast jäigalt kinnitatud varras . . . . . . . . . . . . . . . . 28611.2 Varda kinnitusmomendid koormustest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28711.2.1 Ühtlane koormus q. Jäigad sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . 28711.2.2 Ühtlane koormus q. Jäik sõlm vasakul . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.2.3 Ühtlane koormus q. Jäik sõlm paremal . . . . . . . . . . . . . . . 28911.2.4 Koondatud jõud F. Jäigad sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29011.2.5 Koondatud jõud F. Jäik sõlm vasakul . . . . . . . . . . . . . . . . 29111.2.6 Koondatud jõud F. Jäik sõlm paremal . . . . . . . . . . . . . . . 29211.3 Geomeetrilise määramatuse aste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29311.4 Geomeetriliselt määratud põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29311.5 Deformatsioonimeetodi võrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29311.6 Sisejõudude epüüride konstrueerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29911.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . 30011.7.1 Raami arvutamine pöördenurgameetodiga. Näide 11.1 . . . . . . . 30011.7.2 Raami arvutamine deformatsioonimeetodiga. Näide 11.2 . . . . . 31212 Kaared ja võlvid [Loeng 1] 32712.1 Kaarkonstruktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32512.2 Kahe liigendiga kaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32612.3 Kahe liigendiga kaare arvutamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

SISUKORD 912.3.1 Kahe liigendiga kaar. Näide 12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32812.4 Liigendita sümmeetriline kaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33212.5 Liigenditeta kaare arvutamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33612.5.1 Liigenditeta kaar. Näide 12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33612.6 Rõnga arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34213 Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2] 34913.1 Elastse vedru jäikusmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34713.2 Konstruktsiooni jäikusmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34813.3 Elastse vedru virtuaaltöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35013.4 Võrrandisüsteemi lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35213.4.1 Vedrusüsteemi arvutamine. Näide 13.1 . . . . . . . . . . . . . . . 35213.5 Varda pikke jäikusmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35513.6 Jäikusmaatriks üldkoordinaatides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35513.7 Elemendis mõjuv pikkejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35813.7.1 Varrassüsteemi arvutamine. Näide 13.2 . . . . . . . . . . . . . . . 35913.8 Sõlmede nummerdamisest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36213.9 Sõrestiku arvutamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36313.9.1 Sõrestiku arvutamine. Näide 13.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36313.9.2 Sõrestiku arvutamine. Näide 13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36713.10 Tala paine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36813.10.1 Tala painde jäikusmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36813.10.2 LEM. Tala arvutus. Näide 13.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37013.11 Varda paine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37913.11.1 Varda painde jäikusmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37914 Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2] 38514.1 Rajaelementide meetodist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38314.2 EST-meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38414.2.1 Sissejuhatus EST-meetodisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38414.2.2 Sõrestiku arvutus EST-meetodiga. Näide 14.1 . . . . . . . . . . . 38614.3 Varda põhivõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39514.4 Põhivõrrandite koostamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39714.5 Vastastikused siirded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39914.6 Sõlme tasakaaluvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40314.7 Kõrvaltingimused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40614.8 Toetingimused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40614.9 Siirete ja sisejõudude arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40614.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40714.10.1 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 14.2 [slaidid] . . 40714.10.2 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 14.3 [slaidid] . . 41914.10.3 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 14.4 [slaidid] . . 42514.11 Jätkuvtalade arvutus EST-meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43414.11.1 Tala arvutus EST-meetodiga. Näide 14.5 [slaidid] . . 437

10 SISUKORD14.12 Staatikaga määratud raami arvutus EST-meetodiga . . . . . . . . . . . 44314.12.1 Kolme liigendiga raam. Näide 14.6 [slaidid] . . 44514.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . . . 45114.13.1 Mitmesildeline tala EST-meetodiga. Näide 14.7 [slaidid] . . . 45314.13.2 Sõrestiktala arvutusskeem. Näide 14.8 . . . . . . . . . . . . . . . 45915 Arvutus piirkoormuse järgi 46515.1 Konstruktsiooni elastoplastne töötamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46615.2 Piirpaindemoment ja plastne tugevusmoment . . . . . . . . . . . . . . . 46915.3 Piirkoormuse määramise meetodid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47015.4 Staatikaga määratud tala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47215.5 Jäikade tugedega tala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47315.6 Jäiga ja liigendtoega tala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47615.7 Jätkuvtala piirkoormus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47815.8 Raami piirkoormus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47915.8.1 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 15.3 . . . . . . . . . . . . . 479III Teist järku teooria 49716 Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2] 50116.1 Deformeerunud elemendi tasakaaluvõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . 49916.2 Töö varda pikipõikpaindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50416.3 Homogeenne diferentsiaalvõrrand varda survel . . . . . . . . . . . . . . . 50816.4 Homogeenne diferentsiaalvõrrand varda tõmbel . . . . . . . . . . . . . . 51016.5 Momendid varda otste pööretest ja siiretest . . . . . . . . . . . . . . . . . 51116.6 Varda otste momendid põikkoormusest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51616.7 Täiendav moment varda pöördest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51916.8 Ristjõud H ik , pikijõud S ik ja paindemoment M ik . . . . . . . . . . . . . . 52116.9 Paindemomendi epüüri koostamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52116.10 Kriitilise koormuse määramine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52416.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited . . . . . . . . . . . . . . . . 52416.11.1 Raami I kriitiline koormus. Näide 16.1 . . . . . . . . . . . . . . . 52416.11.2 Raami II kriitiline koormus. Näide 16.2 . . . . . . . . . . . . . . 52916.11.3 Raami III kriitiline koormus. Näide 16.3 . . . . . . . . . . . . . . 53316.11.4 Raami IV kriitiline koormus. Näide 16.4 . . . . . . . . . . . . . . 53716.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias . . . . . . . . . . . . . . . . . 54516.12.1 Raami arvutus. Näide 16.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54516.12.2 Raam ja pendelvardad. Näide 16.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 56316.13 Teist järku teooria ülekandemaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56716.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57816.14.1 Tala arvutus ülekandemaatriksiga. Näide 16.7 . . . . . . . . . . . 57816.14.2 Raami arvutus ülekandemaatriksiga. Näide 16.8 . . . . . . . . . . 58316.14.3 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 16.9 [slaidid] . . . . 592

SISUKORD 1116.15 Lõplik element pikipõikpaindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61016.15.1 Jäikusmaatriks pikipõikpaindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61016.15.2 Tala arvutus LEM-iga. Näide 16.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 614IV Lisad 625A Maatriksid 627A.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627A.2 Rea- ja veeruvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627A.3 Maatriksite liitmine ja lahutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628A.4 Vektorite ja maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629A.5 Maatriksite element-element korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631A.6 Osamaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632A.7 Maatriksite transponeerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632A.8 Pöördmaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633A.9 Maatriksi determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634A.10 Võrrandisüsteemi lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635A.11 Hõre maatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637A.12 Maatriksi staatiline kondensatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642A.12.1 Tala element liigendiga paremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643A.12.2 Tala element liigendiga paremal. Näide A.4 . . . . . . . . . . . . . 644A.12.3 Tala element liigendiga vasakul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644A.12.4 Tala element liigendiga vasakul. Näide A.5 . . . . . . . . . . . . . 645B Hõredad maatriksid ja GNU Octave 647B.1 Maatriksi sisestamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647B.2 Maatriksi teisendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650C Interpoleerimine 653C.1 Lagrange’i interpolatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653C.2 Hermite’i interpolatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657D Numbriline integreerimine 661D.1 Sissejuhatavad märkused ja määrangud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661D.2 Newton-Cotes’i valemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663D.2.1 Simpsoni valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665D.2.2 Simpsoni 3/8 -valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666D.2.3 Vereštšagini võte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666D.3 Gaussi valemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668D.4 Näiteid numbrilisest integreerimisest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669

12 SISUKORDE Ligikaudsed lahendid 675E.1 Rajatingimused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675E.2 Ligikaudsed lahendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677E.2.1 Lähendfunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678E.2.2 Lähendi vea mõõdu valik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678E.2.3 Lähendamismeetod. Kaalutud hälvete meetod . . . . . . . . . . . 679F Mõisteid vardateooriast 683F.1 Varda tööd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683F.1.1 Töö varda pikkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683F.1.2 Töö varda paindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685F.2 Ülekandemaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687G Ülekandemaatriksid 689G.1 Algparameetrite meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689G.2 Esimest järku teooria ülekandemaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692G.2.1 Sõrestiku varda ülekandemaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695G.3 Ülekandemaatriksid teist järku teoorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696H Põhivalemite tabelid 701H.1 Deformatsioonimeetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701H.2 Deformatsiooni- ja jõumeetod II järku teoorias . . . . . . . . . . . . . . . 706I Arvutiprogrammid 717I.1 Tala arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717I.2 Kaare arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719I.3 Sõrestiku arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720I.4 Arvutiprogramme siirete arvutamiseks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720I.5 Esimest järku teooria ülekandemaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721I.6 Raami arvutus. Jõumeetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732I.7 Jätkuvtala arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733I.8 Deformatsioonimeetodiga arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735I.9 Staatiliselt määramatu kaare arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737I.10 Lõplike elementide meetod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737I.11 Piirkoormuse järgi arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739I.12 Teist järku teooria järgi arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740I.13 Kriitilise koormuse leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741I.14 Teist järku teooria ülekandemaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743Kirjandus 749Täiendav kirjandus 753Aineregister 755

Joonised1.1 Varrassüsteemi koht mehaanikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2 Sisejõud varda sisepinnal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3 Varda tööseisundid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4 Lõikepinnal mõjuvad jõud ja sisejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5 Sisejõud ja kontaktjõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.6 Löök kõrguselt h = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.7 Koondjõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8 Deltafunktsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.9 Aproksimatsiooni tasemed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.10 Varda fenomenoloogilise mudeli struktuurskeem . . . . . . . . . . . . . . 411.11 Joone kõverus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.12 Tala deformatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.13 Ekstsentriline surve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.14 Ekstsentriline surve II järku teoorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.15 Varda element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.16 Põikjõu märgi määramine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.17 Põikjõud horisontaalses vardas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.18 Põikjõud kaldu vardas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.19 Märgikokkulepped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.20 Vasaku ja parema käe teljestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.21 Koordinaatide teisendus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.22 Varda suunakoosinused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.23 Sõlme tasakaalutingimused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.24 Kõrvaltingimused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.25 GNU Octave’i versioon 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.26 Toereaktsiooni arvutus GNU Octave’iga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.27 GNU Octave’i arvutuspäevik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.28 Toereaktsiooni arvutus GNU Octave’i programmiga I . . . . . . . . . . . 561.29 Toereaktsiooni arvutus GNU Octave’i programmiga II . . . . . . . . . . . 571.30 Painde diferentsiaalseosed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.31 Lihttala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.32 Lihttala arvutusskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.33 Lihttala epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013

14 JOONISED1.34 Lihttala pöördenurgad ja siirded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.1 Liikuv koormus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.2 Epüürid ja mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3 Toereaktsioonide A ja B mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4 Konsoolidega tala toereaktsioonide mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . 672.5 Põikjõu mõjujoone parem pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.6 Põikjõu Q k mõjujoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.7 Paindemomendi mõjujoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.8 Paindemomendi M k mõjujoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.9 Konsooli mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.10 Konsoolidega tala mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.11 Konsoolidega tala paindemomendi ja põikjõu mõjujooned . . . . . . . . . 722.12 Mõjujoone kasutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.13 Sisejõu leidmine mõjujoonte abil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.14 Kolmnurkse kujuga mõjujoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.15 Hulknurkse kujuga mõjujoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.16 Suurima sisejõu leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.1 Toed ja toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2 Liigendid ja kontaktjõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3 Varrassüsteemi vabadusaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4 Gerberi tala toereaktsioonid ja kontaktjõud . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5 Hetkmuutuv tala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.6 Pöörde hetkkese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.7 Varrasahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.8 Geomeetriliselt muutumatu arvutusskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.9 Hetkpoolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.10 Peapoolused ja kõrvalpoolused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.11 Mehhanism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.12 Poolusplaan ja varraste pöörded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.1 Gerberi tala 1 korrusskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2 Gerberi tala 2 korrusskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3 Gerberi tala 3 korrusskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.4 Gerberi tala 3 epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5 Gerberi tala 2 mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Gerberi tala 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Gerberi tala 4 sisejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.8 Gerberi tala 4 mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.9 Gerberi tala 5 sisejõudude epüürid ja mõjujooned . . . . . . . . . . . . . 1114.10 Gerberi tala suurimad sisejõud sildkraanadest . . . . . . . . . . . . . . . 1154.11 Gerberi tala suurimad sisejõud autokolonnist . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.1 Kolme liigendiga kaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

JOONISED 155.2 Kaare erinevad kannaliigendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.3 Kaare telgjoon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Kolme liigendiga kaare sisejõud vertikaalsest koormusest . . . . . . . . . 1235.5 Kolme liigendiga kaare sisejõud horisontaalsest koormusest . . . . . . . . 1245.6 Kaare element temale rakendatud koormuse ja sisejõududega . . . . . . . 1255.7 Resultantjõu hulknurk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.8 Paraboolse telgjoonega kaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.9 Lihttala epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.10 Kaare sisejõud N, Q ja M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.11 Kaare survejoon M/H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.12 Paraboolse telgjoonega kaar 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.13 Kaare 2 sisejõud N, Q ja M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.14 Kaare mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.15 Kolme liigendiga raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.16 Paindemomentide liitmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.17 Raami varda dc põikjõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.18 Kolme liigendiga raami sõlm d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.19 Kolme liigendiga raami sõlm e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.20 Kolme liigendiga raami sisejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.21 Normaaljõud riivis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.22 Kolme liigendiga raam 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.23 Horisontaalsete toereaktsioonide arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.24 Sisejõud postides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.25 Sisejõud postis ja riivis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.26 Raami 2 sõlm d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.27 Raami 2 sõlm e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.28 Raami 2 epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.1 Sõrestikskeemide liigitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2 Sõlmede eraldamise võte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3 Lõige I-I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.4 Momendipunkti võte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.5 Maxwelli-Cremona diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.6 Jõuhulknurgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.7 Varraste eraldamise võte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.8 Sõrestiku topoloogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.9 Võrrandisüsteemi vasak pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.10 Võrrandisüsteemi koostamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.11 Jõud sõlmedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.12 Vasaku poole pöördmaatriks G ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.13 Murdjoonelise ülemise vööga sõrestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.14 Sõrestiku vasakpoolne osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.15 Sõrestiku parempoolne osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.16 Sõlme 7 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

16 JOONISED6.17 Sõlme 4 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.18 Lihttala toereaktsioonide mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.19 Sõrestik. Ühikjõud paremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.20 Sõrestik. Ühikjõud vasakul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.21 Sõlm 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.22 Sõlm 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.23 Sõrestiku mõjujooned . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.1 Passiivtöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.2 Aktiivtöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.3 Täiendustöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.4 Virtuaalne töö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.5 Tala virtuaalne töö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.6 Vastastikune töö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.7 Reaktsioonide vastastikune töö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.8 Prinkused temperatuuri muutusest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.9 Lihttala siirete arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.10 Koormus- ja ühikepüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.11 Siirete arvutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.12 Raami siirete arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1907.13 Siirete arvutamine. Raami paindemoment M p . . . . . . . . . . . . . . . 1937.14 Siirete arvutamine. Raami paindemoment m 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1947.15 Siirete arvutamine. Raami paindemoment m 2 . . . . . . . . . . . . . . . 1967.16 Siirete arvutamine. Normaaljõu epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.1 Toereaktsioonid ja toesiirded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2 Jätkuvtala sisejõud ja siirded EST-meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . 2118.3 Tundmatud tala arvutamiseks. II märgikokkulepe . . . . . . . . . . . . . 2129.1 Tundmatute üldarv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.2 Kinnised kontuurid ja lihtliigendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.3 Geomeetriliselt muutuvad ja hetkmuutuvad skeemid . . . . . . . . . . . . 2219.4 Raamide põhiskeeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2229.5 Kahekordselt staatiliselt määramatu raam 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.6 Raami 1 põhiskeem ja paindemomentide epüürid . . . . . . . . . . . . . . 2259.7 Raami 1 sisejõudude epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2269.8 Raam 1. Epüüride liitmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.9 Raami 1 sõlmede tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.10 Raami 1 toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2289.11 Kolmekordselt staatiliselt määramatu raam 2 ja põhiskeem . . . . . . . . 2299.12 Põhiskeemi epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2309.13 Raami 2 paindemomendi epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.14 Raami 2 N ja Q epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.15 Raami 2 sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

JOONISED 179.16 Raami 2 toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.17 Neljakordselt staatiliselt määramatu raam 3 ja põhiskeem . . . . . . . . . 2399.18 Raam 3. Ühikmomendi m 1 epüür. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.19 Interpoleerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.20 Raam 3. Ühikmomendi m 3 epüür. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2419.21 Raam 3. Ühikmomentide m 2 ja m 4 epüürid. . . . . . . . . . . . . . . . . 2429.22 Raam 3. Paindemomendi M 0 p epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2429.23 Raam 3. Paindemomendi M p , Q ja N, epüürid . . . . . . . . . . . . . . . 2439.24 Kanoonilise võrrandisüsteemi lahendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.25 Raam 9.1. Raami sõlmede tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2479.26 Raam 9.1. Raami staatiline kontroll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24910.1 Jätkuvtala põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.2 Jätkuvtala põhiskeemi epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.3 Jätkuvtala tähised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25410.4 Jätkuvtala epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25410.5 Fiktiivsete koormuste leidmine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.6 Jätkuvtala põikjõu epüür ja toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . 25710.7 Jätkuvtala fookused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.8 Jätkuvtala fookussuhted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25910.9 Jätkuvtala toemomendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.10 Jätkuvtala. Fookussuhted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.11 Fookussuhete arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.12 Toemomentide arvutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26410.13 Fookussuhted. Koormus kolmandal sildel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.14 Fookussuhted. Koormus teisel sildel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.15 Fookussuhted. Koormus konsoolil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26610.16 Fookussuhted. Koormus esimesel sildel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26710.17 Jätkuvtala näide 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.18 Jätkuvtala omakaalust põhjustatud M, Q epüürid ja toereaktsioonid . . 27010.19 Jätkuvtala ajutine koormus teises avas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27310.20 Jätkuvtala ajutine koormus kolmandas avas . . . . . . . . . . . . . . . . 27510.21 Jätkuvtala suurimad ja vähimad paindemomendid . . . . . . . . . . . . 27811.1 Varda deformatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.2 Momentide ja varraste pöördesuunad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28311.3 Ühtlane koormus q. Jäigad sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28711.4 Ühtlane koormus q. Jäik sõlm vasakul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.5 Ühtlane koormus q. Jäik sõlm paremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28911.6 Koondatud jõud F. Jäigad sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29011.7 Koondatud jõud F. Jäik sõlm vasakul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29111.8 Koondatud jõud F. Jäik sõlm paremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29211.9 Kaldpostiga raami põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29511.10 Kaldpostiga raami varrasahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

18 JOONISED11.11 Kaldpostiga raami koormusolukorrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29711.12 Kolmekordselt geomeetriliselt määramatu raam 2 . . . . . . . . . . . . . 30011.13 Kolmekordselt geomeetriliselt määramatu raami 2 varrasahel . . . . . . 30011.14 Raam 2. Geomeetriliselt määratud põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . 30111.15 Raami 2 koormusolukorrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30211.16 Raam 2. Momendid varraste otstes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30511.17 Raami 2 põikjõu epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30611.18 Raami 2 sõlmede tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30711.19 Raami 2 normaaljõu epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30711.20 Raami 2 toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30811.21 Raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31311.22 Geomeetriliselt määratud põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31311.23 Varrasahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31411.24 Raami koormusolukorrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31711.25 Momendid varda otstes ja paindemomendi epüür . . . . . . . . . . . . . 32011.26 Raami põikjõu märk ja epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32111.27 Sõlme 1 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32211.28 Sõlme 2 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32211.29 Raami normaaljõu epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32211.30 Raami toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32312.1 Kaared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32512.2 Kahe liigendiga kaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32712.3 Kahe liigendiga kaare M, Q, N epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32912.4 Liigendita sümmeetriline kaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33212.5 Liigendita kaar. Tundmatu X 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33312.6 Liigendita kaar. Tundmatu X 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33412.7 Liigendita kaar. Tundmatu X 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33512.8 Liigenditeta kaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33712.9 Rõnga koormused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34312.10 Rõngas. Põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34413.1 Vedru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34713.2 Vedrusüsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34813.3 Rajajõud ja sisejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35013.4 Virtuaaltöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35013.5 Vedrusüsteemi arvutusskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35313.6 Varda element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35513.7 Varrassüsteemi arvutusskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35913.8 Sõlmede nummerdamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36213.9 Võrrandisüsteemi kuju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36313.10 Staatikaga määramatu sõrestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36313.11 Tala elemendi jõudude ja siirete positiivsed suunad . . . . . . . . . . . . 36813.12 Tala arvutus LEM-iga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

JOONISED 1913.13 Tala sisejõude epüürid LEM-meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37513.14 Varda jõudude ja siirete positiivsed suunad . . . . . . . . . . . . . . . . 37914.1 Sõrestiku varras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38414.2 Sõrestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38614.3 Sõrestiku arvutusskeemi nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38714.4 Sõrestiku võrrandite spA·Z = B struktuur . . . . . . . . . . . . . . . . . 38714.5 Varraste siirete ja kontaktjõudude nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . 38914.6 Sõrestikskeemi elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39314.7 Sõrestikskeemi spA nullist erinevate elementide asukohad . . . . . . . . . 39314.8 Varda jõudude ja siirete positiivsed suunad . . . . . . . . . . . . . . . . . 39514.9 Võrrandisüsteemi spA·Z = B struktuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39814.10 Transitiivsus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39914.11 Sõlme A3 pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40014.12 Sõlme A2 pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40114.13 Sõlme B3 pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40114.14 Sõlme B32 pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40214.15 Sõlme B2 pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40314.16 Sõlme A3 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40314.17 Sõlme A2 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40414.18 Sõlme B3 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40414.19 Sõlme B2 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40514.20 Sõlme B32 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40514.21 Toesõlm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40614.22 Kahe avaga raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40814.23 Raami siirete nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40914.24 Raami kontaktjõudude nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40914.25 Positiivne pind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41214.26 Raami EST paindemomendi epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41214.27 Raami EST Q ja N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41214.28 Raami EST toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41314.29 Raami EST elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41414.30 Raami EST spA nullist erinevate elementide asukohad . . . . . . . . . . 41514.31 Kahe avaga raam EST93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41914.32 Raami EST93 tundmatute nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42114.33 Raami EST93 toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42114.34 Raami EST93 sisejõudude epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42214.35 Raami EST93 elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42314.36 Raami EST93 spA nullist erinevate elementide asukohad . . . . . . . . . 42414.37 Raami EST77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42614.38 Raami EST77 tundmatute nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42614.39 Sõlme A2v tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42714.40 Sõlme A2p tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42714.41 Raami EST77 elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

20 JOONISED14.42 Raami EST77 spA nullist erinevate elementide asukohad . . . . . . . . . 43014.43 Sõlme T2 pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43514.44 Sõlme T1 pidevus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43514.45 Sõlme T2s tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43614.46 Sõlme T1s tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43614.47 Jätkuvtala EST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43714.48 Jätkuvtala EST nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43814.49 Tala EST elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44014.50 Tala EST spA nullist erinevate elementide asukohad . . . . . . . . . . . 44014.51 Kolme liigendiga raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44514.52 Kolme liigendiga raami kontaktjõudude nummerdus . . . . . . . . . . . 44614.53 Kolme liigendiga raami toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44714.54 Kolme liigendiga raami EST-meetodi elemendid . . . . . . . . . . . . . . 44814.55 Kolme liigendiga raami nullist erinevate elementide asukohad . . . . . . 44914.56 Gerberi tala arvutus EST-meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45314.57 Gerberi tala EST nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45514.58 EST-meetod. Gerberi tala elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45614.59 Gerberi tala. Nullist erinevate elementide asukohad . . . . . . . . . . . . 45714.60 Sõrestiktala arvutusskeem EST-meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . . . 46014.61 Sõrestiktala arvutusskeemi sõlmed ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . 46014.62 Sõrestiktala arvutusskeemi siirded ja kontaktjõud . . . . . . . . . . . . . 46114.63 Sõrestiktala spA nullist erinevate elementide asukohad . . . . . . . . . . 46314.64 Sõrestiktala sisejõudude epüürid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46415.1 Tõmbediagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46515.2 Staatikaga määramatu süsteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46615.3 Varrassüsteemid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46715.4 Koormus-siire diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46815.5 Ristlõige puhtal paindel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46915.6 Ristkülikuline ristlõige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47015.7 Vastupanumomendi suhteid α pl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47015.8 Piirmoment lihttalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47215.9 Jäikade tugedega tala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47315.10 Piirkoormuse q ja siirde w diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47515.11 Jääkmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47615.12 Jäiga ja liigendtoega tala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47715.13 Jätkuvtala piirkoormus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47815.14 Kahe avaga raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48015.15 Raami siirete ja kontaktjõudude numbrid . . . . . . . . . . . . . . . . . 48015.16 Kontaktjõudude M pl töö sõlmes. Teine märgikokkulepe . . . . . . . . . . 48115.17 Paindemomentide epüürid staatikaga määramatus raamis (n = 3) . . . . 48115.18 Paindemomentide epüürid staatikaga määramatus raamis (n = 2) . . . . 48215.19 Paindemomentide epüürid staatikaga määramatus raamis (n = 1) . . . . 48315.20 Paindemomentide epüürid staatikaga määratus raamis (n = 0) . . . . . 484

JOONISED 2115.21 Raami 3. sõlme siirde w ja jõu F diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . 48515.22 Raami piirkoormus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49415.23 Raami kaheparameetriline koormamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49516.1 Pikijõud, ristjõud, normaaljõud ja põikjõud . . . . . . . . . . . . . . . . . 49916.2 Deformeerunud varda element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50016.3 Jõud ja deformatsiooni mõõdud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50416.4 Normaaljõu komponendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50616.5 Momendid sõlmede ja varraste pööretest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50816.6 Momendid koormusest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50916.7 Varda eesarvude arvutamine GNU Octave’iga. . . . . . . . . . . . . . . . 51416.8 Eesarvude arvutamine GNU Octave’iga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51516.9 Täiendav moment varda pöördest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51916.10 Täiendavad momendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51916.11 Ristjõud H ik , pikijõud S ik ja paindemoment M ik . . . . . . . . . . . . . 52016.12 Paindemomentide epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52216.13 Raami stabiilsus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52416.14 Raami geomeetriliselt määratud põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . . 52516.15 Raami varrasahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52516.16 Determinandi nullkohad I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52616.17 Raam ja geomeetriliselt määratud põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . 52916.18 Determinandi nullkohad II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53116.19 Raami skeem kriitilise koormuse määramiseks . . . . . . . . . . . . . . . 53316.20 Raami varrasahel ja geomeetriliselt määratud põhiskeem . . . . . . . . . 53416.21 Determinandi nullkohad III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53616.22 Raami IV stabiilsus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53816.23 Raami IV põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53816.24 Raami IV varrasahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53916.25 Determinandi nullkohad IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54016.26 Kinnitustegurid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54316.27 Determinandi nullkoht pärast jäikuse suurendamist . . . . . . . . . . . . 54416.28 Raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54516.29 Geomeetriliselt määratud põhiskeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54516.30 Varrasahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54616.31 Raami varraste eesarvud. Varras 1–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54616.32 Raami varraste eesarvud. Varras 1–4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54716.33 Raami varraste eesarvud. Varras 2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54816.34 Kinnitusmomendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54916.35 Reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest . . . . . . . . . . . . . . . . . 54916.36 Reaktsioonimomendid sõlme 2 pöördest . . . . . . . . . . . . . . . . . 55116.37 Reaktsioonimomendid varda pöördest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.38 Raami täiendav moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55316.39 Momendid varda otstes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55616.40 Momendi ja põikjõu arvutus vardas 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

22 JOONISED16.41 Momendi ja põikjõu arvutus vardas 1 ja 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 55916.42 Raami paindemomentide epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55916.43 Sõlme 1 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56016.44 Sõlme 2 tasakaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56116.45 Raami põikjõu epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56116.46 Raami pikijõu epüür . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56216.47 Raami toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56316.48 Pendelvarrastega raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56416.49 Raami varrasahel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56416.50 Survejõud ja normaaljõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57516.51 Tala arvutus ülekandemaatriksiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57916.52 Tala siirded . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58116.53 Tala sisejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58216.54 Raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58316.55 Raami siirete ja kontaktjõudude nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . 58416.56 Kontaktjõud sõlmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58616.57 Raami toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58816.58 Raami sisejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59116.59 Kahe sildega raam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59216.60 Raami tundmatute nummerdus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59316.61 Kahe sildega raami toereaktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60316.62 Horisontaalsiirded kahe sildega raamis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60316.63 Kahe sildega raami sisejõud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60416.64 Varda lõplik element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61016.65 Tala arvutus lõplike elementide meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . . . 61416.66 Tala jäikusmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61716.67 Tala sisejõud lõplike elementide meetodiga . . . . . . . . . . . . . . . . . 623A.1 Maatriksi sisestamine GNU Octave’iga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628A.2 Maatriksite ja vektorite element-element korrutamine . . . . . . . . . . . 631A.3 Tala element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643C.1 Funktsiooni interpolatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653C.2 Lineaarne interpolatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655C.3 Ruutinterpolatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655C.4 Lineaarse interpolatsiooni sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656C.5 Ruutinterpolatsiooni sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656C.6 Kuupinterpolatsiooni sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656C.7 Hermite’i interpolatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657C.8 Hermite’i interpolatsiooni sõlmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658C.9 Hermite’i interpolatsioonifunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659D.1 Legendre’i polünoomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663D.2 Simpsoni valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664

JOONISED 23D.3 Simpsoni 3 -valem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6648D.4 Märgid Simpsoni valemis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665D.5 Vereštšagini võte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667D.6 Epüüride pindalad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667D.7 Gaussi kaks sõlme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668D.8 Gaussi kolm sõlme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668D.9 Tala elemendi kontaktjõudude positiivsed suunad . . . . . . . . . . . . . 670E.1 Ühtlane lähendamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679E.2 Lahendusmeetodite klassifikatsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681G.1 Algparameetrid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689G.2 Jõudude positiivsed suunad universaalvõrrandis . . . . . . . . . . . . . . 690H.1 Pöördenurga katkevus ∆φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701H.2 Elastse joone katkevus ∆w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701H.3 Eesarvud A * , B * , C * , A * +B * survel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706H.4 Eesarvud A * , B * , C * , A * +B * tõmbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708H.5 Eesarv V * survel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

24 JOONISED

Tabelid1.1 Koormused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.1 Sõrestiku arvutustabel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.2 Sõrestiku arvutustabel II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3 Varraste sisejõudude võrdlus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.1 Valemid vabaliikmete arvutamiseks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25711.1 Rajatingimused sõlme ja varda pööretest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28411.2 Kinnitusmomendid ja põikjõud. II märgikokkulepe . . . . . . . . . . . . . 32412.1 Liigendita kaare sisejõudude võrdlus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34213.1 Vedrusüsteemi topoloogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34913.2 Elementide indekstabelid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34913.3 Konstruktsiooni jäikusmaatriksi aadressid . . . . . . . . . . . . . . . . . 34913.4 Süsteemi topoloogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35313.5 Vedrude indekstabelid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35313.6 Vedrude jäikusmaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35313.7 Varrassüsteemi topoloogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36013.8 Varraste suunakoosinused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36013.9 Varraste indekstabelid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36013.10 Varraste jäikusmaatriksid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36013.11 Kinnitusjõud. II märgikokkulepe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38014.1 Sõrestiku sisejõudude võrdlus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39414.2 Raami EST sisejõudude võrdlus jõumeetodiga leitutega . . . . . . . . . . 41814.3 Raami EST77 sisejõudude võrdlus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43314.4 Tala EST sisejõudude võrdlus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44214.5 Kolme liigendiga raami sisejõudude võrdlus . . . . . . . . . . . . . . . . . 45014.6 EST-meetod. Gerberi tala sisejõudude võrdlus . . . . . . . . . . . . . . . 45916.1 Põhivõrrandid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50316.2 Rajatingimused pööretest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51116.3 Rajatingimused põikkoormusega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51716.4 Varraste andmed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54625

26 TABELID16.5 Varraste eesarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55016.6 Momentide võrdlus I ja II järku teoorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55516.7 Momendid vardas 1– 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55516.8 Momendid vardas 1–4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55616.9 Momendid vardas 2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55616.10 Põikjõud vardas 1–2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55816.11 Põikjõud vardas 1–4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55816.12 Põikjõud vardas 2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55916.13 Varraste lähteandmed teisel lähendil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56116.14 Varraste eesarvude teine lähend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56216.15 Momentide võrdlus I ja II järku teoorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56616.16 Raami varraste topoloogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59316.17 Kahe sildega raami sisejõudude võrdlus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60916.18 Tala elementide paindemomendid [kN·m] . . . . . . . . . . . . . . . . . 61916.19 Tala paindemomendid [kN·m] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61916.20 Tala ristjõud [kN] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622D.1 Ortogonaalsete polünoomide kaalufunktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . 662G.1 Koormusvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694G.2 Koormusvektor (järg 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695G.3 Koormusvektor survel (pikijõud S ja ristjõud H) . . . . . . . . . . . . . . 699G.4 Koormusvektor tõmbel (pikijõud S ja ristjõud H) . . . . . . . . . . . . . 700H.1 Jäikade tugedega varda toemomendid * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702H.2 Jäikade tugedega varda toemomendid * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703H.3 Jäiga ja liigendtoega varda toemoment * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704H.4 Liigend ja jäiga toega varda toemoment * . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705H.5 Eesarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707H.6 Jäikade tugedega varda toemomendid survel . . . . . . . . . . . . . . . . 709H.7 Jäikade tugedega varda toemomendid survel . . . . . . . . . . . . . . . . 710H.8 Jäiga ja liigendtoega varda toemoment survel . . . . . . . . . . . . . . . 711H.9 Liigend ja jäiga toega varda toemoment survel . . . . . . . . . . . . . . . 712H.10 Sisejõud surutud vardas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713H.11 Sisejõud surutud vardas (järg 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714H.12 Sisejõud surutud vardas (järg 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715

Osa IStaatikaga määratud süsteemid27

1. SissejuhatusEhitis peab olema otstarbekas, tugev ja püsiv ning kaunis. Ehitusinseneri ülesandekson tugeva ja püsiva ehituskonstruktsiooni projekteerimine. Ehitusmehaanika on ehituskonstruktsioonidetugevuse ja püsivuse kontrollarvutuse vahend. Ehitusmehaanikameetodite valdamine eeldab matemaatilist ja ruumilist mõtlemist. Arvutite kasutamineeeldab ka arvutusmehaanika ja programmeerimise aluste tundmist.Ehituskonstruktsioone arvutatakse piirseisundi järgi. Piirseisund on seisund, milleületamisel konstruktsioon ei rahulda sellele esitatavaid nõudeid. Ehituskonstruktsiooneprojekteeritakse põhiliselt kahe piirseisundi järgi:∙ kandepiirseisund – seisund, mille ületamisega kaasnevad konstruktsiooni kahjustusedvõi purunemine∙ kasutuspiirseisund – seisund, mille ületamisel konstruktsioon või tema osa ei oleenam suuteline täitma ekspluatatsiooninõudeid.1.1 Ülesanded ja eesmärkKonstruktsiooni arvutamisel kandepiirseisundi järgi tuleb kontrollida:∙ konstruktsioonielemendi painde-, tõmbe-, nõtkevõimet jne∙ konstruktsiooni kui terviku või selle mis tahes osa staatilist tasakaalu∙ konstruktsiooni stabiilsuse kadu∙ konstruktsiooni purunemist plastsete deformatsioonide tulemusel.Konstruktsiooni arvutamisel kasutuspiirseisundi järgi tuleb kontrollida:∙ deformatsioone ja siirdeid, mis halvendavad konstruktsioonide kasutust.Ehitusmehaanika ülesandeks on:∙ anda välismõjude põhjustatud sisejõudude, siirete, omavõnkesageduste arvutamisearvutusmeetodid ja eeskirjad∙ anda konstruktsioonidele otstarbekohane kuju.29

30 1. Sissejuhatus1.2 Eeldused ja printsiibidEhitusmehaanika on teadus, mis uurib konstruktsioonide kandevõimet olenevalt ehitusmaterjalidefüüsikalistest omadustest. Ehitusmehaanika lähtub järgmistest eeldustest:∙ materjal on elastne∙ materjal on homogeenne, st materjali kõikides punktides on füüsikalised omadusedühesugused∙ materjal on isotroopne, st kõikides sihtides ühesuguste elastsusomadustega∙ kehtib Hooke’i seadus: deformatsioonid elastses kehas on võrdelised koormusega∙ konstruktsioonielementide siirded on võrreldes elementide mõõtmetega väikesed.Kui kehtib Hooke’i seadus ja elementide siirded on suhteliselt väikesed, siis võib rakendadajõudude mõju sõltumatuse printsiipi (superpositsiooniprintsiip 1 ): konstruktsioonilemõjuvate jõudude süsteemi põhjustatud sisejõud ja deformatsioonid võrduvad iga jõupoolt eraldi põhjustatud sisejõudude ja deformatsioonide algebralise summaga.1.3 Varrassüsteemide koht mehaanikasMehaanika on teadus, mis käsitleb vedelike, tahkete kehade ja gaaside liikumist (paigalseisu)neile rakendatud jõudude mõjul. Klassikaline mehaanika uurib makrokehadepaigalseisu ja liikumist valguse kiirusest tunduvalt väiksemate kiiruste juures. Valgusekiirusele lähedaste kiiruste ja mikroosakeste puhul rakendatakse relativistlikkumehaanikat ja kvantmehaanikat.Vaatleme klassikalist mehaanikat ja nimetame seda lühiduse mõttes mehaanikaks.Varrassüsteemide mehaanika koha määramiseks võtame aluseks mõisted objekt, omadusja meetod (vt joonis 1.1).Mehaanika üheks objektiks on tahked kehad. Tahkeid kehi võib liigitada nende geomeetrilisteja füüsikaliste omaduste järgi. Üheks geomeetriliseks omaduseks on kuju.Geomeetrilise kuju (omaduse) järgi on tahked kehad vardad, plaadid ja koorikud ningmassiivid. Füüsikaliste omaduste põhjal räägitakse elastsetest, plastsetest, viskoelastsetestjne kehadest.Abstraktsioonina loetakse tahket keha mõnikord jäigaks, vahel vaadeldakse jäikakeha masspunktina.Mehaanikaobjektide liikumise kirjeldamiseks ja nende omaduste uurimiseks kasutatakseteooriaid, mida võib liigitada selle järgi, missuguse omaduse nad seavad esikohale(fookusesse). Füüsikaliste omaduste uurimisega tegelevad elastsusteooria, plastsusteooria,viskoelastsusteooria (vt joonis 1.1). Abstraktse jäiga keha liikumist uuribteoreetiline mehaanika.1 superpositsiooniprintsiip – mitme mõju resultaat on üksikmõjude resultaatide summa.

1.3 Varrassüsteemide koht mehaanikas 31OmadusObjektMeetodArvutusmehaanika(meetodite järgi)MEHAANIKAArvutusmatemaatikaInformaatikaGeomeetrilineOmadusFüüsikalineHüdromehaanikaTahke deformeeruvakeha mehaanikaAero− ja gaasimehaanikaGeomeetriliste omaduste järgiFüüsikaliste omaduste järgiVardamehaanikaVarrassüsteemi mehaanikaPlaadi− ja koorikumehaanikaMassiivimehaanikaElastsusteooriaViskoelastsusteooriaTermoelastsusteooriaPlastsusteooriaMasspunkti mehaanikaMasspunktide süsteemi mehaanikaJäiga kehamehaanikaJoonis 1.1. Varrassüsteemi koht mehaanikasTahke keha geomeetrilisi omadusi uurivad vardamehaanika, varrassüsteemimehaanika, plaadi- ja koorikumehaanika ning massiivimehaanika (joonis 1.1).Vardamehaanikas on kasutusel järgmised teooriad: Bernoulli 2 vardateooria, Navier’ 3vardateooria, elastsusteooria, viskoelastsusteooria jne. Edaspidi vaatleme põhiliseltBernoulli vardateooriat, mida käsitleti tehnilises mehaanikas (tugevusõpetuses).Iga teooria kasutab objektide (kehade) liikumise ja nende omaduste uurimiseks kindlapiirilisiuurimisviise ehk meetodeid. Varrassüsteemi sisejõudude ja siirete arvutamisekskasutatavaid arvutusmeetodeid võib jagada graafilisteks ja numbrilisteks meetoditeks.Graafilistest meetoditest võib nimetada∙ Maxwelli-Cremona diagrammi∙ jõu- ja nöörhulknurga diagrammi [Rää64]∙ Culmanni meetodit.Numbrilisi meetodeid varrassüsteemi sisejõudude ja siirete arvutamiseks jagatakseomakorda klassikalisteks ja maatriksmeetoditeks. Klassikalistest analüütilistest meetoditestvõib nimetada2 Jacob Bernoulli, šveitsi matemaatik, 1655–1705.3 Louis Marie Navier, prantsuse insener ja füüsik, 1785–1836.

32 1. Sissejuhatus∙ lõikemeetodit tasakaaluvõrrandite koostamiseks∙ energiaprintsiipe∙ jõumeetodit∙ deformatsioonimeetodit, millest on välja arenenud lõplike elementide meetod∙ piirkoormuste määramist∙ Crossi meetodit (momentide jaotamise meetodit) [Rää64].Arvutite kasutuselevõtmisega arendati klassikalised meetodid maatrikskujule. Needmaatriksmeetodid on esitatud W. B. Krätzigi õpikutes [KW90], [Krä91b]. Maatriksmeetoditehulka arvatakse ka∙ lõplike elementide meetod, mis põhineb deformatsioonimeetodil∙ rajaelementide meetod, mis rajaneb integraalvõrranditel∙ võrgumeetod.1.4 Sise- ja rajajõudTehnilises mehaanikas (tugevusõpetuses) kasutusel olevad sisejõudude mõisted ontoodud joonisel 1.3.Tahke keha sisejõududena mõistame jõudusid keha osade vahel, mis säilitavadkeha terviklikkuse ja annavad talle iseloomuliku mahu- ja kujukindluse mõõdukatevälisjõudude mõju all [Jür85].Sisepinna 4 vastaspooltel olevad sisejõud (joonis 1.2) on alati arvuliselt võrdsed javastassuunalised (joonis 1.4 a)).ySisepind .M yQ yNM zQzxzJoonis 1.2. Sisejõud varda sisepinnal4 Sisepind – pind, mille kõik punktid on sisepunktid [Tam03].

1.5 Lõikemeetod ja virtuaalsiirete printsiip 33Rajapinna 5 välimisel poolel mõjuvad rajajõud on toereaktsioonide ja naaberosademõju kirjeldavate jõudude (joonis 1.4 b)) (kontaktjõudude) üldnimeks. Varda toereaktsioonidon näidatud joonisel 3.1 lk 80. Kontaktjõud on näidatud joonisel 3.2 ”Kontaktjõudja liigendid” (lk 82).TööseisundPrinkus[MR95]Sisejõud[MR96]RistlõikejäikusElastsusseosedDeformatsioonienergia[MR96]NPikedxNduPikkeprinkusλ = dudxλ * = Λ Lsiin Λ = ΔuPikkejõudNPikkejäikusEAN =EAλdU N = 1 2 NλdxM yPaineϕ d yM ydxPaindeprinkusψ = dφydxψ * = Ψ Lsiin Ψ = Δφ yPaindemomentM yPaindejäikusEI yM y =EI y ψ ydU M = 1 2 M yψ y dxQ zLõigedx−β xQ zdw QLõikeprinkus−β z = dw Qdx−β z * = BzLsiinB z = Δw QPõikjõudQ zLõikejäikusGA redQ Z =GA red β zdU Q = 1 2 Q zβ z dxM xVääne.. .. .. .. . .dxdϕxM xVäändeprinkusθ = dφxdxθ * = Θ Lsiin Θ = Δφ xVäändemomentM xVäändejäikusx = MGIGI x θxdU γ = 1 2 M xθdxJoonis 1.3. Varda tööseisundid1.5 Lõikemeetod [slaidid] [ekraanivideo]Sisejõudude määramiseks kasutatakse lõikemeetodit. Selle meetodi aluseks on tõekspidamine,et tasakaalus kehast mõtteliselt väljalõigatud osa on ka tasakaalus [Jür85] lk12 (djvu lk 8). Lõikemeetodi eesmärk on keha (süsteemi) osadeks jaotamisega muutasisejõud vaadeldava osa suhtes väliseks jõuks, et nende määramiseks rakendada tasakaalutingimusi.5 http://staff.ttu.ee/˜itammeraid/matan2.pdf#page=9

34 1. Sissejuhatusa)Sisejõud lahtilõikamata vardas on arvuliselt võrdsed kontaktjõududegaSisejõudude suunad määratakse märgireeglitegab)zNQM M M MN N QNQQSisejõudq VälisjõudxM Kontaktpind a MaM Kontaktpind bN a NaQ a N b N b Q bQ aM bKontaktjõudLõikepinnal mõjuvad jõudon naaberosa mõju ja eiole sisejõudx aSisejõudxblQ b KontaktjõudLõikepinnal mõjuvad jõudon naaberosa mõju ja eiole sisejõudJoonis 1.4. Lõikepinnal mõjuvad jõud ja sisejõudVaadeldavale, kehast väljalõigatud osale mõjub jõudude süsteem, milles tuntudvälisjõudude kõrval rakendatakse lõikepinnale ’naaberosade mõju kirjeldavad jõud’ 6 ,lõikes a jõud N a , Q a , M a ja lõikes b jõud N b , Q b , M b vt joonis 1.4 b)). Lahendadesneed taskaaluvõrrandid võime rääkida, et leidsime sisejõud N, Q, M. Siinjuures peamesilmas, et lõikepindadele rakendatud jõud on võrdsed sisejõududega (joonis 1.4 a)).Lõikemeetodil on palju ühist sidemetest vabastamise printsiibiga. Kui lõikemeetodkujutab ette elementidest koosneva konstruktsiooni lahtimonteerimist” (joonis 3.2”Kontaktjõud ja liigendid” lk 82, Gerberi tala naaberosadevahelised jõud on näidatud”joonisel 4.6 lk 96), siis sidemetest vabastamise printsiip kujutab tervikliku konstruktsioonilahtilõikamist” ja nende mõju asendamist reaktsioonijõududega (joonisel 3.1”Toed ja toereaktsioonid” lk 80). Printsiip ja meetod taotlevad ühist eesmärki – keha(süsteemi) jaotamisega osadeks muuta sisejõud süsteemiväliseks jõuks, et nende”määramiseks rakendada tasakaalutingimusi [Jür85] lk 12 (djvu lk 8).Lõikemeetodi rakendamisel sisejõu muutmisel süsteemiväliseks jõuks tehakse vahetvälisjõu ja naaberosa mõju vahel (joonis 1.4 b)).Varda naaberosi ühendavad jõud (sks Verbindunskräfte 7 ) teostavad välisjõududestaatilist ülekannet 8 . Terves vardas on nende ühendavate jõudude resultant null(joonis 4.6. lk 96). Sellieid staatiliselt ülekannet tegevaid jõude nimetatakse kakontaktjõududeks 9 10 .6 Samaväärsed mõisted on: ’naaberosade mõju kirjeldavad jõud’, ’lõikepinnal mõjuvad jõud’, ’vardaotstes mõjuvad jõud’, ’kontaktjõud’.7 http://www.ki-smile.de/kismile/view70,8,551.html8 http://de.wikipedia.org/wiki/Kraftübertragung9 kontaktjõud – mõttelise lõikega kehast eraldatud osade vaheline jõud (Rohusaar, 2005) (http://ekool.tktk.ee/failid/E/objekt/11/teh_meh_pohialused/jud.html)10 http://books.google.ee/books?id=g6PVRSgdbVoC&pg=PA178&lpg=PA178&dq=Kontaktkraft+Gerber+Kontakt&source=bl&ots=B9xYLz -XR&sig=hjzNckjO-44Xb5buwh-EnciUTho&hl=et#v=

1.5 Lõikemeetod ja virtuaalsiirete printsiip 35Virtuaalsiirete printsiipEdaspidi rakendame tööde kirjeldamisel deformeeruvale varda elemendile virtuaalsiireteprintsiipi, mis saadakse energiateoreemist [Arg54]W r + W s + W v = 0 (1.1)kus W r on kontaktpinnal olevate jõudude töö, W s – sisejõudude töö ja W v – välisjõududetöö.Virtuaalsiirete printsiibi rakendamise näide pikke elemendile on esitatud avaldisega (1.8)ja tala elemendile avaldisega (D.36).Siin kirjeldatakse kehast väljalõigatud osa juures kolme liiki jõudusid (joonis 1.4b)): lõikepinnal mõjuvad jõud (sks Schnittgrößen), sisejõud (sks Innere Kraftgrößen) javälisjõud (sks Äußere Kraftgrößen) [Din11] lk 34, [KW90].Energiateoreem on ehitusmehaanika, lõplike elementide meetodi ja rajaelementidemeetodi metoodiline põhitööriist [1], [3], [4]. Energiateoreem [KW90] 11 12 lk 56, aitabkirjeldada välis-, sise- ja rajamuutujaid.Kontaktjõududele vastavad siirded on joonisel 3.2 ”Kontaktjõud ja liigendid”(lk 82).Toereaktsioonidele vastavad siirded on joonisel 3.1 ”Toed ja toereaktsioonid” (lk 80).Toereaktsioonide ja kontaktjõude üldnimeks on rajajõud ja nendele vastavate siireteüldnimeks rajasiirded.Edaspidi nimetame lõikepindu kontaktpindadeks (vt kontaktpind [MR96] lk 9) janendele rakendatud naaberosade mõju kontaktjõududeks.Ehitusmehaanikas tehakse vahet sisejõudude tööl W s ja deformatsioonienergial Uehk potentsiaalenergial Π. Deformatsioonienergia U ≥ 0 on alati positiivne, kuid sisejõududetöö ±W s võib olla nii positiivne kui ka negatiivne. Näiteks siirete arvutamiselMohri integraalis (7.13) võib pikijõu N töö ühik koormusolukorra pikkuse muuduldΛ (x), paindemomendi töö ühik koormusolukorra paindenurgal dΨ (x) ja põikjõu tööühik koormusolukorra lihkel dB (x) (vt [MR95] lk 38) olla nii positiivne kui ka negatiivne.Siirde märk (siirde suund) sõltub sisejõudude töö märgist.Lisaks eelnimetatutele kasutatakse lõikepinnal olevate jõudude iseloomustamiseksjärgmisi eestikeelseid nimetusi:∙ Vaadeldavale kehast väljalõigatud osale mõjub jõudude süsteem, milles tuntudvälisjõudude kõrval rakendatakse lõikepindadele tundmatuid jõude asendamakslahtilõikamata keha vastavaid sisejõudusid. Lõikepindadel mõjuvad tundmatudjõud, mis on võrdsed sisejõududega, määratakse vaadeldava osa tasakaalutingimustest[Jür85] lk 12 (djvu lk 8)onepage&q=Kontaktkraft Gerber Kontakt&f=false11 http://books.google.ee/books?id=gG8VusQ0YEwC&pg=PA56&lpg=PA56&dq=Greensche+Funktional+des+Fundamentaloperators&source=bl&ots=AhYHCR44Qs&sig=ZpOFfkc5x-iyifxa5S2SmGFsrM&hl=et#v=onepage&q&f=false12 http://www.booklooker.de/app/result.php?token=2087199215&mediaType=0&sortOrder=default&js state=on&autocomplete=on&message=&autor=Krätzig&titel=Tragwerke+&infotext=&verlag=&isbn=&year from=&year to=&sprache=&einbandCategory=&price min=&price max=&searchUserTyp=0&land=&datefrom=&oldBooks=on&newBooks=on&x=0&y=0

36 1. Sissejuhatusa)Fb)Fc)Fn −n − n + Rajajõudn +NNFVälispindn −n +NkontaktpindN N bxkontaktjõudx = bJoonis 1.5. Sisejõud ja kontaktjõud∙ ... naaberosa mõju sellele eraldatud elemendile asendatakse jõududega, misarvuliselt on võrdsed terve varda nendes lõigetes esinevate sisejõududega. Eraldatudelemendi suhtes mõjuvad need jõud välisjõududena (väliste jõududena)[Rää75] lk 317 (djvu lk 160).Järnevalt vaatleme mehaanika energiateoreemi pikkel. Rajajõudude mõiste selgitamisekskirjutame pikijõu diferentsiaalseoseRajajõudude mõiste selgitamiseks kirjutame pikijõu diferentsiaalseoseehkdN xdx = −q x (x) (1.2)(︃dEA du )︃= −q x (x) (1.3)dx dxKorrutame avaldise (1.3) võimaliku siirdega ˆu ja integreerime üle pikkuse∫︁ ba(︃dEA du )︃ ∫︁ bˆudx = − q x (x) ˆudx (1.4)dx dxaMehaanikas eristatakse kolme liiki siirdeid: võimalikud siirded, tegelik siire ja virtuaalsiirded[[K .Kenk ja J. Kirs. Siirete klassifikatsioon] 13 . Võimalikeks siireteks antudasendist nimetatakse siirdeid, mis on kooskõlas sidemetega. Võimalikke siirdeid onenamikul juhtudel lõpmata palju. Tegelik siire on üks võimalikest ja nimelt see, misrealiseerub rakendatud jõudude toimel.Juhul kui sidemed on statsionaarsed, siis virtuaalsiirete klass ühtib võimalike siireteklassiga ja tegelik siire on üks virtuaalsiiretest.Varrassüsteemi virtuaalsiirdena mõistame sidemete poolt võimaldatud väikese lõplikuliikumise tulemust, mis ei muuda märgatavalt varraste vastastikust asendit eganende asukohti aluse suhtes [Jür85].13 33. Jõu virtuaaltöö. Virtuaalsiirete printsiip (Insenerimehaanika alused).

1.5 Lõikemeetod ja virtuaalsiirete printsiip 37Võrrandi (1.4) parempoolne liige väljendab väliskoormuse q x tööd W v siirdel ˆu. Onvõimalik näidata, et koondkoormuse F xi töö varda telje punkti i siirdel ˆu i on F xiˆu i .Seega,W v =Võrrandi (1.4) vasakpoolset avaldist integreerime ositi valemi∫︁ baq x (x) ˆudx + F xiˆu i (1.5)∫︁ ba∫︁ budv = uv | b a − vdu (1.6)ajärgi, võttes u ja dv järgmiselt:∫︁ b⏟ ˆu ⏞ausaame avaldise∫︁ ba(︃dEA du )︃dxdx dx⏟ ⏞dv(︃ˆud EA du )︃ (︃= EA du )︃ ∫︁ (︃ bˆu | b a − EA du )︃dx dxa dx⏟ ⏞⏟ ⏞N xN xdˆudx ⏟ ⏞^λdx (1.7)Võrrandi (1.7) parema poole esimene liige väljendab rajajõudude N ↔ x tööd W r rajasiiretelˆu. Võrrandi (1.7) parema poole teine liige kirjeldab sisejõudude tööd W s .Võttes arvesse välisjõudude töö avaldise (1.5) ja rajajõudude töö avaldise (1.7), võibintegraali (1.4) kirjutada kujul↔N x ˆu⏟ ⏞W r∫︁ b∫︁ b| b a − N xˆλdx + ( q x (x) ˆudx + F xiˆu i ) = 0 (1.8)aa⏟ ⏞ ⏟ ⏞W s W vAvaldis (1.8) väljendab energiateoreemi pikkel. Rajajõudude, sisejõudude ja välisjõududetööde summa on null. Kui rajajõudude töö on null, siis välis- ja sisejõu tööd on võrdsedning vastasmärgilised. Avaldises (1.8) on sisejõudude töö miinusmärgiga. Vardamehaanikasvaadeldakse sisejõudude tööd W s kui integraali pikijõu N (x) ja prinkuse λ (x)korrutisest. Sellise korrutise puhul räägivad matemaatikud funktsioonide skalaarkorrutisestHilberti 14 ruumis. Töö ja energia mõisteid ehitusmehaanikas ja lõplike elementidemeetodis käsitles John Argyris 15 oma energiateoreemides [Arg54].Nagu selgub avaldisest (1.7), on rajajõudude mõiste üldisem kui toereaktsioonide(joonis 3.1) ja kontaktjõudude mõiste. Rajajõudude ja välisjõudude olemused on erinevad.Rajajõudude mõistet vaatlevad W.B. Krätzig ja U. Wittek [KW90]. F. HartmanniEhitusmehaanika matemaatilistes alustes“ [Har85] käsitletakse neid mõisteid põhjalikult.”14 David Hilbert, saksa matemaatik, 1862–1943.15 John Argyris, TTÜ audoktor, 1913–2004.

38 1. Sissejuhatus1.6 Sise- ja rajasiirdedSisesiireteks on pikkuse muut Λ, paindenurk Ψ , lihe B z , väändenurk Θ (joonis 1.3) (saksInnere Weggrössen (Verzerrungen)) [KW90]). Tehnilises mehaanikas [MR95] (tugevusõpetuses)nimetatakse neid põhideformatsioonideks.Rajasiirded ˆu | b a avaldises (1.7) on varda siirded punktides a ja b. Toereaktsioonideleja kontaktjõududele vastavate siirete üldnimeks on rajasiirded. Rajasiirete ja rajajõududearv on vastavuses. Kui üks nendest on ette antud, siis teine tuleb leida. Toesiirdedon näidatud joonisel 3.1 lk 80. Kontaktjõududele vastavad siirded on näidatudjoonisel 3.2 ”Kontaktjõud ja liigendid” (lk 82).1.7 KoormusedKoormusi liigitatakse ajas muutumise järgi dünaamilisteks ja staatilisteks. Kui koormusmuutub ajas nii aeglaselt, et konstruktsiooni deformeerumisel võib inertsjõu hüljata, siisnimetatakse koormust staatiliseks. Suuruselt, sihilt, suunalt või asukohast muutuvatkoormust nimetatakse dünaamiliseks. Edaspidi piirdume ainult staatiliste koormustevaatlemisega. Koormused esinevad alati kas kogu konstruktsiooni või selle osa ulatuseshajutatult lauskoormustena, mida võib jaotada ruum-, pind- ja joonkoormusteks.Gh¢ ¢ ¢¢ ¢ £ £ ¢ ¡ ¡ ¡Joonisel 1.6 on tehnilise mehaanika näide,kus raskuse G kukkumine (löök) kõrguselth = 0 põhjustab kaks korda suuremad sisejõudja siirded kui staatiline koormus.¡ ¡ ¡£ £Joonis 1.6. Löök kõrguselt h = 0Ruumkoormus rakendub tavaliselt massi kaudu (raskusjõud, inertsjõud jne) ja onruumis hajutatud. Ruumkoormust mõõdetakse selle intensiivsusega → q (x, y, z), misnäitab vaadeldava punkti vahetus läheduses ruumiühikule mõjuvat jõudu N/m 3 , kN/m 3jne.Pindkoormus rakendub konstruktsiooni kogu pinnale või selle osadele ja väljendabteiste kehade vahetut kontaktmõju. Pindkoormuse intensiivsus → q (x, y) näitab pinnaühikulemõjuvat jõudu vaadeldavas punktis N/m 2 , kN/m 2 .Joonkoormus on taandatud nii ruum- kui ka pindkoormus intensiivsusega → q (x),mille mõõtühikuks on N/m, kN/m, vt tabelit 1.1.Sageli mõjub pind- ja joonkoormus konstruktsiooni üldmõõtmetega võrreldes väikeselepinnale (joonele). Sellist koormust loetakse ühte punkti koondatud punkt- ehkkoondkoormuseks, mille tähiseks on → F ja mõõtühikuks N, kN. Koondkoormus esitatakseenamasti projektsioonidena F x , F y , F z , (tabel 1.1).

1.7 Koormused 39Vahel taandub koormus jõupaariks, mille toimet hinnatakse momendiga. Momenditähisena kasutatakse tähti M x , M y ja M z , mis väljendavad momendi mõju telje x, y,z suhtes.Suhteliselt harva esineb hajutatud moment m ehk lausmoment. Lausmomendi projektsioonidon m x , m y ja m z ning mõõtühikud N, kN (tabel 1.1).a) b)F zi¢ ¢ ¢Qzvq zQzp¡ ¡ ¡x i¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢l¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦¥¦ ¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤¥¤£ ££ £x i− ε+ εJoonis 1.7. KoondjõudVaatleme joonkoormuse q z koondamist koondkoormuseks F z (joonis 1.7). Olgukoondkoormuse F z rakenduspunkti koordinaat x i . Koondjõu väärtus avaldub joonkoormusekaudu järgmiselt:ehkF zi = limF zi = q z · 2ε (1.9)∫︁ xi +εε→0 x i −εq z (x) dx (1.10)Varda ristlõiget, kus mõjub koondatud koormus, nimetame iseäraseks ehk singulaarseksristlõikeks. Vaatleme varda elementi (joonis 1.7) pikkusega 2ε. Parempoolsesristlõikes mõjub põikjõud Q zp ja vasakpoolses ristlõikes põikjõud Q zv . Need põikjõuderinevad üksteisest q z ·ε võrra. Kui nüüd vähendada varda elemendi pikkust (limε → 0),Tabel 1.1. KoormusedIndeksid Koormus Tähis Mõõtühik MõõdeKoondkoormus F z , F x N, kN, MN [F ]F z v jpõhjuskohtsihtMoment M y , M x N·m, kN·m, MN·m [F L]Joonkoormus q z , q x N/m, kN/m, MN/m [F/L]Lausmoment m x , m y , m z N, kN, MN [F L/L]

40 1. Sissejuhatussiis saab ühes ristlõikes kaks erinevat põikjõudu Q zp ja Q zv . Selline ristlõige on iseäraneristlõige.Võtame kasutusele deltafunktsiooni 16 δ (x − x i ) (joonis 1.8).Lisaks avaldisele (1.10) võib nüüd kirjutada seose:∫︁ l0F zi δ (x − x i ) dx =∫︁ xi +εx i −εF zi δ (x − x i ) dx = F zi (1.11)Dx iD*2 ε = 1− ε+ εxJoonisel 1.8 on deltafunktsioon δ i = δ (x − x i ). Seefunktsioon on aproksimeeritud ristkülikulise kujundiga,mille pindala D · 2ε = 1, kui ε → 0 ningD → ∞=∫︁ l0∫︁ xi +εx i −εδ (x − x i ) dx =δ (x − x i ) dx = 1 (1.12)δ ikus ε on meelevaldselt väike positiivne arv.Joonis 1.8. Deltafunktsioon1.8 Aproksimatsiooni tasemed. MudelidPraktilises töös on üheks raskemaks ülesandeks tegeliku konstruktsiooni aproksimeerimine17 (joonis 1.9). Tegelikku konstruktsiooni pole alati võimalik otseselt uurida kuitervikut, sest konstruktsiooni olekuparameetrite arv on suur.Olekuparameetrite all mõistame füüsikalisi suurusi, mis iseloomustavad süsteemiolekut. Välisteks olekuparameetriteks on välisjõud ja väliste väljade tugevus. Sisemisteksolekuparameetriteks on sisejõud, siseenergia, temperatuur jne. Erinevate olekuparameetritekirjeldamiseks on olemas erinevaid teooriaid: Bernoulli 18 vardateooria,Navier’ 19 vardateooria, elastsusteooria, viskoelastsusteooria jne. Parameetrite hulgavähendamiseks peab tegema lihtsustavaid hüpoteese. Nende hüpoteeside aluseks on kasvaatlus (katsetused), teoreetilised kaalutlused või tehakse need intuitiivselt [Krä91a].Kaasaliikuvate Lagrange’i 20 koordinaatide abil on võimalik kirjeldada suuri deformatsiooneja stabiilsuse kadu.16 http://digi.physic.ut.ee/core/index.php?ID=../mypages/oppetoo/compphysII/compphysII-conspect-master-060321-00-html//node48.html17 Aproksimeerimine, lähendamine– objekti asendamine mingi teise, temast teatavas mõttes väheerineva objektiga.18 Jacob Bernoulli, šveitsi matemaatik, 1655–1705.19 Louis Marie Henri Navier, prantsuse insener ja füüsik, 1785–1836.20 Joseph Louis de Lagrange, prantsuse matemaatik ja mehaanikateadlane, 1736–1813.

1.8 Aproksimatsiooni tasemed. Mudelid 41Tegelik konstruktsioonArvulised tulemusedI taseme aproksimatsioonKoordinaadidTeooriaTopoloogiaKõrvaltingimusedKoordinaadidLagrange’i koordinaadidParandatud Lagrange’i koordinaadidKaasaliikuvad Lagrange’i koordinaadidEuleri koordinaadidII taseme aproksimatsioonFenomenoloogiline mudelMatemaatiline mudelTeooriaBernoulli vardateooriaNavi er’ vardateooriaÕhukeseseinalise varda teooriaElastsusteooriaPlastsusteooriaViskoelastsusteooriaIII taseme aproksimatsioonArvutusmeetodArvutusmeetodNewtoni−Raphsoni meetodKvaasi−Newtoni meetodJoonis 1.9. Aproksimatsiooni tasemedVarraste asukohti kirjeldatakse topoloogiaga. Absoluutselt sirgeid vardaid tegelikkusesei esine, seega jälle aproksimatsioon. Konstruktsioonis on vardad omavahelühendatud kas jäigalt või liigenditega.Vaadeldav teooria koosneb fenomenoloogilisest 21 ja matemaatilisest mudelist. Siin21 Fenomen (< kr phainomenos ’nähtavale ilmuv’) – juhtum, meeltega tajutav olukord või fakt.Välisjõud]︀ Välisjõudude tööS =[︀F, q z, q x, m y W v = S*VVälissiirded ]︀V =[︀u, w, φ ydNdxTasakaaluvõrrandiddQdMy= −qx, = −qx,dxRajajõud ja rajasiirdedPrinkused1.4 Sisejõud ja rajajõuddx = Qz λ = du dw1.6 Sise- ja rajasiirded, βz =dx dx7.1 Sise- ja rajajõudude töö, ψy =dφydx]︁Rajajõud[︁↔ ↔N, Q z , ↔ MyRajajõudude tööW r = ↔ ↔ ↔N*u + Q z*w + M y*φ yRajasiirded]︀ [︀u, w, φ ySisejõud]︀ [︀N, Q z, M yW s = −Sisejõudude töö∫︁ (︀Nλ + Q zβ z + M yΔψ y)︀dxSeosed sisejõududeja siirete vahelSisesiirded [KW90] Λ, B z, Ψ y [MR95]λ = dΛ dBz dΨy, βz = , ψy =dx dx dxJoonis 1.10. Varda fenomenoloogilise mudeli struktuurskeem

42 1. Sissejuhatustehakse teise taseme aproksimatsioonid. Fenomenoloogilise mudeli 22 struktuuriskeemon joonisel 1.10. Matemaatiline mudel kirjeldab fenomenoloogilise mudeli kvalitatiivseidliikmeid. Kolmanda taseme aproksimatsioonid tehakse arvutusmeetodi valikul. Üldiseltei ole arvutusmeetodis võimalik kõiki arvutusmudeli muutujaid arvestada. Võib osutudavajalikuks, et osa muutujaid tuleb elimineerida. Tavaliselt on selle taseme aproksimatsioonideüle hea kontroll, sest on võimalik anda vea hinnang.Varrassüsteemide mehaanikas on fookuses geomeetriline omadus – kuju, millefüüsikaliste omaduste kirjeldamiseks valitakse sobiv teooria ja seejärel sobivad meetodid.Kõikides teooriates, mida varrassüsteemid kasutavad, esinevad järgmised mõisted(joonis 1.10): välisjõud (F ), välissiirded (V ), sisejõud (N, Q, M; σ xx , σ yy , τ xy), sise-↔My ), rajasiirded (∆u, ∆w, ∆φ y ),siirded (Λ, B, Ψ, Θ; ε xx , ε yy , ε xy ), rajajõud ( N, ↔ Q ↔ z ,tasakaaluvõrrandid, siirete pidevusvõrrandid, olekuvõrrandid, rajatingimused.Rajajõudude mõiste üldistab toereaktsioone ja varraste vahel mõjuvaid kontaktjõude.Rajasiirded on tugede vajumised ja varraste siirded ning pöörded ühendustes(liigendites). Joonisel 1.10 toodud mõisteid on käsitletud tehnilises mehaanikas vardateoorias.Tasakaaluvõrrandid seostavad sisejõud välisjõududega. Siirete pidevuse võrrandidloovad seosed sisesiirete (tehnilises mehaanikas varda pikkuse muut) ja välissiirete vahel.Geomeetriliselt mittelineaarses teoorias on sisesiirete ja välissiirete vahelised seosedmittelineaarsed.Rajajõud ristlõike välispinnal on võrdsed ja suunatud vastupidi vastavate sisejõududegaristlõike sisepinnal. Rajasiireteks on toe siirded ja varraste ühenduspunktides(sõlmedes) varraste vastastikused siirded ja pöörded.Füüsikaliselt lineaarse vardateooria olekuvõrrandid (elastsusseosed) väljenduvadHooke’i 23 seaduse kaudu.1.9 Lihtsustused varda paindeteooriasVaatleme joone kõverust diferentsiaalgeomeetrias ja elastse joone kõverust tehnilisesmehaanikas.Tähistame joone z = f (x) kõveruse ψ j -ga ja elastse joone w = f (x) kõveruse ψ p -ga.Joone element ds (joonis 1.11)kusds = √ √︁dx 2 + dz 2 = dx 1 + (z ′ ) 2 (1.13)z ′ = dzdx= tan φ,dzφ = arctandx(1.14)22 Mudel – süsteemi, teooria või fenomeni kirjeldus, mis arvestab nende tuntud omadusi ja midavõib kasutada nende omaduste uurimiseks.23 Robert Hooke, inglise füüsik, 1635–1703.

1.9 Lihtsustused varda paindeteoorias 43a)dxb)dxzz, wϕdsdϕz = f(x)xz + dzϕ + dϕ1ρ = −−w ψw’ = −ϕw = f(x)z, wdϕxw + dwJoonis 1.11. Joone kõverusElastse joone element dsds = ρdφ,1ρ= ψ =dφds(1.15)siindφds = d (arctan z′ ) dxdx ds = z ′′ dx1 + (z ′ ) 2 (1.16)dx√︁1 + (z ′ ) 2Joone kõverus ψ jψ j = 1 ρ = dφds = z ′′[︁1 + (z′ ) 2]︁ 3 2(1.17)siin on ρ joone kõverusraadius. Teeme lihtsustused:∙ lihtsustus tan φ ≈ φ, millest järeldub1ρ = dφds = z√︁1 ′′(1.18)+ (z ′ ) 2lI järku teooriaII järku teooria∆ lJoonis 1.12. Tala deformatsioon

44 1. Sissejuhatus∙ lihtsustus tan φ ≈ φ, ds ≈ dx, millest järeldubKuna elastse joone kõverus ψ p = −ψ j , siisψ j = 1 ρ = dφds = z′′ (1.19)ψ ≡ ψ p = −w ′′ (1.20)Avaldis (1.20) on lineaarne diferentsiaalvõrrand.Lineaarses ehk esimest järku teoorias (I järku teoorias) kasutatakse seost (1.20)ψ = −w ′′ dw, ds ≈ dx,dx = w′ = −φ,tan φ ≈ sin φ ≈ φ, cos φ ≈ 1 (1.21)Diferentsiaalseoste (tasakaalutingimuste) koostamisel lähtutakse deformeerumata kujust(algmõõtmete printsiibist) (joonis 1.12).Joonisel 1.13 on ekstsentrilise surve paindemomendiepüür I järku teoorias, kus ei arvestataFee Fvarda deformatsiooni. Üldistatud Hooke’i seadus Ijärku teooriasMM y = −EI y w ′′ (1.22)xhTeist järku teoorias (II järku teoorias) arvestataksevarda deformeerunud kuju diferentsi-Joonis 1.13. Ekstsentriline surveaalseoste (tasakaalutingimuste) koostamisel. Joonisel 1.14 on esitatud jõu ja momendivaheline seos. Kui esimest järku teoorias on seos lineaarne, siis teist järku teoorias mittelineaarneM (x) =I⏟ F⏞ej¨arku teooria+ F [w 1 (x) + w 2 (, F )]⏟ ⏞lisaliikmed(1.23)f e Fa b cw 2w 1Fw 1Fw 2¢ ¢ ¢ ¤ ¤ ¤ ¢¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ ££ £ £ ££ £ £ £¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ ££ £ £ £¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¡FemaxMFkreII järku teooriax¦ ¦ ¦ § § §§ § § ¦ ¦ ¦Ff¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ ££ £ £ ££ £ £ ££ £ £ ££ £ £ £¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥¡FF krh¡ ¡¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ ££ £ £ £¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¡I järku teooria¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¡¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¡£ £ £ ¥ ¥ ¥ £¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¡¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¡Joonis 1.14. Ekstsentriline surve II järku teoorias

1.10 Epüürid ja diferentsiaalseosed 45kusw 1 (x, F ) = f(︂1 − x )︂h(1.24)Kolmandat järku teooriat (III järku teooriat) kasutatakse eriti saledatekonstruktsioonide ja ka vedrude arvutamiseks. Arvestatakse deformeerunud kuju jakõveruse täpset avaldist1ρ = z ′′[︁1 + (z′ ) 2]︁ 3 2(1.25)ehk1ρ = z ′′√︁1 + (z ′ ) 2 (1.26)Ehituskonstruktsioonide arvutamisel III järku teooriat peaaegu ei kasutata.1.10 Epüürid ja diferentsiaalseosedVarda elementaarse osa (joonis 1.15) tasakaalutingimustest saadakse varda sisejõududeja koormuse vahel diferentsiaalseoseddM ydx = Q z (x) (1.27)Nq z00000000000000111111111111110000000000000011111111111111M Qq xM + dMN + dNdQ zdx = −q z (x) (1.28)Q + dQdx0000000000000011111111111111Joonis 1.15. Varda elementdN xdx = −q x (x) (1.29)Seosed (1.27), (1.28) ja (1.29) on tuttavad tehnilisest mehaanikast.Varraste põikjõu märgi määramiseks vaatleme joonist 1.16. Paindemomendi tuletisegeomeetriliseks tõlgenduseks punktis on selles punktis paindemomendi epüüri puutujat 1 (t 2 ) tõusunurga tangens (tan α). Põikjõu märk oleneb puutuja (joonis 1.16) pööramisesuunast (puutujat pöörame nii, et ta ühtiks varda teljega, seejuures α < π ): vastupäeva2pöörates on põikjõud positiivne ja päripäeva pöörates negatiivne.Põikjõud horisontaalses vardas leiame epüüride liitmisega (joonis 1.17). Joonisel 1.17

46 1. Sissejuhatuson näidatud paindemomendid ja nendele vastavad põikjõud. Lineaarselt muutuvapaindemomendi korral võime diferentsiaalseose (1.30) asendada diferentsseosega (1.31)ja arvutada põikjõu avaldisega (1.32)Q = dMdxQ = ∆M∆xQ = Q (o) + ∆M∆x(1.30)(1.31)(1.32)kus Q (o) on vastava lihttala põikjõud.1.11 Põikjõud vardasPõikjõu leidmiseks kaldu olevas vardas (joonis 1.18) koostame tasakaaluvõrrandi vardalõpu b kohtaehkΣM b = 0 :ning tasakaaluvõrrandi varda alguse a kohtaΣM a = 0 :Q ab · l * − M ab + M ba − q · l · l2 = 0q · lQ ab =2 · ll + M ab − M ba(1.33)* l *Q ab = Q (o)ab · cos α + M ab − M ba· cos α (1.34)lQ ba · l * − M ab + M ba + q · l · l2 = 0q£ £ £ £ ¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤¥ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¤ £ £ £ £t1αlMt2αdMdx= Q= tan α¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¥ ¥ ¥¡+−QJoonis 1.16. Põikjõu märgi määramine

1.12 Märgikokkulepped 47cM o+_hoQad∆ M∆ xf+s∆ M∆ xaM_shQcdfh+o ∆ MQ = Q +∆ xJoonis 1.17. Põikjõud horisontaalses vardasq¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡N ba¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡Q abbN abaαl *Q baM baM ablJoonis 1.18. Põikjõud kaldu vardasehkq · lQ ba = −2 · ll + M ab − M ba(1.35)* l *Q ba = Q (o)ba · cos α + M ab − M ba· cos α (1.36)lkus l * =l . cos α1.12 MärgikokkuleppedRajajõudude (kontaktjõudude) positiivse suuna määramisel on kasutusel kaksmärgikokkulepet (joonis 1.19). Esimene märgikokkulepe (joonis 1.19 a)) on tuttavtehnilisest mehaanikast. Teine märgikokkulepe (joonis 1.19 b)) on vajalik varrassüsteemidetasakaaluvõrrandite algoritmide koostamiseks.Võrreldes I märgikokkulepet II märgikokkuleppega, näeme, et varda lõpus olevadrajajõudude (kontaktjõudude) suunad langevad kokku. Varda alguses on rajajõududesuunad vastasmärgilised. Sisejõud leitakse rajajõudude kaudu. Sisejõudude märgid ei

48 1. Sissejuhatustohi sõltuda rajajõudude märgikokkuleppest.Sisejõudude märgireeglid on raamatus [MR96] lk 35 Tõmbejõu loeme positiivseks”,”” Survejõu loeme negatiivseks”; lk 45 Põikjõu range märgireegel: positiivseks loeme”põikjõudu, mis nihutab positiivset sisepinda koordinaattelje positiivses suunas võinegatiivset sisepinda koordinaattelje negatiivses suunas”, Põikjõu märgi tööreegel: positiivseksloeme põikjõudu, mis nihutab positiivset sisepinda päripäeva”; lk 43 Painde-””momendi loeme positiivseks, kui varda positiivsed kiud on tõmmatud”.a)x*b)x*M LN LQM AA αN AQ LxN AαQ LM LN LxQ AI märgikokkulepeM AII märgikokkulepezz*zz*Joonis 1.19. MärgikokkuleppedTehnilises mehaanikas (tugevusõpetuses) langevad sisejõudude märgireeglid ja rajajõudude(kontaktjõudude) märgireeglid (I märgikokkulepe) kokku. Kasutades IImärgikokkulepet, tuleb sisejõudude märgi määramisel rajajõudude (kontaktjõudude)kaudu varda alguses arvestada nende erinevaid märke. Rõhutame, et sisejõud on vardasisepinnal ja rajajõud (kontaktjõud) mõjuvad varda välispinnal.Joonis 1.20. Vasaku ja parema käeteljestikJoonisel 1.20 on näidatud positiivse pöördenurgasuund. Vaadates telje positiivsestotsast, loeme pööret positiivseks z-teljestx-telje suunas, x-teljest y-telje suunas jay-teljest z-telje suunas.1.13 Kohalik ja üldteljestikVarraskonstruktsiooni iga vardaga seostatakse teljestik nii, et x-telg ühtib varda teljega(vt joonis 1.19, teljed x * ja z * ). Nimetame neid kohalikeks teljestikeks. Konstruktsioonivarraste asukoha ja nende suuna kirjeldamiseks kasutame üldteljestikku (teljed x ja z).

1.14 Koordinaatide teisendus 49Kasutame ainult parema käe teljestikku (joonis 1.20). Vaadates telje positiivsest otsast,loeme pööret positiivseks z-teljest x-telje suunas, x-teljest y-telje suunas ja y-teljest z-telje suunas. Joonisel 1.20 on nii parema käe kui ka vasaku käe teljestik. Tasapinnalistekonstruktsioonide kirjeldamisel vaatame y-telje positiivsest otsast, nii näeme x- ja z-telge. Positiivne pöördenurk on z-teljest x-telje suunas. Parema käe teljestiku puhul onpositiivne pööre vastupäeva. Vasaku käe teljestiku korral on positiivne pööre päripäeva.Siirete ja jõuvektorite kirjeldamiseks kohalikes ja üldkoordinaatides on vajalikudkoordinaatide teisendused.1.14 Koordinaatide teisendusKoordinaatide teisendusvalemite tuletamiseks vaatleme joonist 1.21. Olgu koordinaadidxyz üldkoordinaadid ja x * y * z * kohalikud koordinaadid. Vaatleme veel parema käekolmikuid i, j, k ja i * , j * , k * . Need on ühikvektorite kolmikud, mis määravad koordinaattelgedesuunad. Joonisel 1.21 on ühikvektorid j ja j * suunatud vaataja poole. Vektorikx*i*cos α = cosαβxxα α xxixFcos =k* α α xz*xz*−cosβ−βα zz*α zx*αcos α zx* = cos βzz*cos α zz* = cos α→Joonis 1.21. Koordinaatide teisendusF projektsioonid telgedele xz on F x , F z ja telgedele x * x * on F x * , F z * . Seega,⎧ ⎧→ →⎨ ⎨→F = F x · →i + F z · →k = F x* i * + F z* k * ,⎩·→i *· →k * ,⎩·→i·→k(1.37)Korrutame avaldise (1.37) vektoriga → i * ja vektoriga → k * . Võtame arvesse, et risti olevatevektorite skalaarkorrutis (sisekorrutis) on null. Saame→F · →i * = F x * = F x · →i · →i * + F z · →k · →i *→F · k → * = F z * = F x · →i · k → * + F z · →k · k →(1.38)*Pöördseoste leidmiseks korrutame avaldist (1.37) vektoriga → i ja vektoriga → k. Pöördseosedon→F · →i = F x = F x * · →i * · →i + F z * · k → * · →i→F · →k = F z * = F x * · →i * · →k + F z * · k → * · →(1.39)k

50 1. Sissejuhatusx Ax LxzLzA∆zAlgus∆ xα000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111βLõppzJoonis 1.22. Varda suunakoosinusedÜhikvektorite skalaarkorrutis võrdub nende positiivsete suundade vahelise nurga koosinusega→i · →i * = → i * · →i = cos α xx *,→k · k → = k → * · →k = cos α zz *,→i · k → = cos α xz *→i * · →k = cos α zx *(1.40)Telje x * suunakoosinused tähistame järgmiselt: cos α xx * = cos α ja cos α zx * = cos β(cos β = cos (90 ∘ + α) = − sin α). Jooniselt 1.21 näeme, etcos α xx * = cos α, cos α zx * = cos βcos α zz * = cos α, cos α xz * = − cos β(1.41)Varda lõpu ja alguse koordinaatide (joonis 1.22) x L , z L , x A , z A järgi saab need suunakoosinusedarvutadakus l on varda pikkusl =cos α = x L − x Alcos β = z L − z AlNüüd avaldame koordinaatteisendused järgmiselt:(1.42)(1.43)√︁(z L − z A ) 2 + (x L − x A ) 2 (1.44)[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃F*x cos α cos β FxF z* =− cos β cos α F z(1.45)Arvestades seost cos β = cos (90 ∘ + α) = − sin α, võime seosed (1.45) kirjutada kujul(7.87)[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃Fx cos α − cos β F*=x(1.46)cos β cos αF zF * z

1.15 Sõlme tasakaalu- ja kõrvaltingimused 51Võrreldes avaldistes (1.45) ja (1.46) koordinaatide teisendusmaatrikseid, näeme, et nendeson read ja veerud ära vahetatud, st ühe saab teisest transponeerimisel. Asendadesvõrrandis (1.45) F x ja F z nende avaldistega võrrandis (1.46), saame maatrikskorrutise[︃ ]︃ [︃cos α cos β cos α− cos β cos α cos β]︃− cos β=cos α[︃1 00 1]︃(1.47)Siin annab maatriksi korrutamine tema transponeeritud kujuga ühikmaatriksi. Selliseidmaatrikseid nimetatakse ortogonaalseteks maatriksiteks. Nendel on hea omadus,et pöördmaatriks võrdub tema transponeeritud kujuga (mõlemal juhul on korrutiseksühikmaatriks).1.15 Sõlme tasakaalu- ja kõrvaltingimusedJoonisel 1.23 a) ja b) on sõlme b ning sõlme 2 eraldamisel ilmnevad kontaktjõud jamomendid nende positiivsetes suundades. Sõlme b eraldamisel on kontaktjõududeksQ v ba, Q p ba , Qv bc, Q p bc , N ba, v N p ba , N bc, v N p bc (normaaljõu N tähised ei ole joonisel näidatud).Kontaktmomentideks on Mba, v M p ba , M bc, v M p bc .Sõlme 2 eraldamisel on kontaktjõududeks Q 1e2 , Q 2s1 , Q 2s2 , Q 2e1 , N2 1e , N1 2s , N2 2s , N12ea)00 1100 1100 11aI märgikokkulepe"tõmmatud kiud""surutud kiud"vM bavQ baM p bapQ bavQ bcpQ bcF b)21eM 2 1M 2 M 2s F 2 M 211122xF 1 00 11b 00 111eFQ 2M v Q 2s 1 2sM1 2bc2sQ 2zpM bc2e 2eQ 1 M 1II märgikokkulepetelgede positiivsed suunad122c00 11Joonis 1.23. Sõlme tasakaalutingimused300 1100 11(normaaljõu N tähised ei ole joonisel näidatud). Kontaktmomentideks on M2 1e , M1 2s ,M2 2s , M1 2e .Sõlme tasakaalutingimused sõltuvalt märgikokkuleppest (joonis 1.19).I m ,, argikokkulepe M p ba − M v bc − M 2 = 0II m ,, argikokkulepeM 2s1 + M 2s2 + M 2 = 0 (1.48)

52 1. Sissejuhatusa)11zQ 21eM 21e2M 2s1Q 2s1Q 22s2M 22sxc)11zQ 21eM 21e2M 2s1 2M 2s3Q 2s1Q 22sQ 2s32sM 23eM 2133eQ 2xb)Q 12e1M 12ed)Q 12e1M 12e22221 lihtliigend1 kõrvaltingimusM 2s1 = 02 lihtliigendit2 kõrvaltingimustM 2s1 = 0 M 2s,2 = 0Joonis 1.24. KõrvaltingimusedSõlme 2 (joonis 1.23 a) ja b)) momentide tasakaaluvõrrandid on toodud avaldisega(1.48). Esimest märgikokkulepet võib kasutada kalkulaatoriga arvutamisel. Teisemärgikokkuleppe puhul on lihtsam koostada tasakaaluvõrrandeid arvutil arvutamiseks.Jõudude positiivsed suunad ühtivad koordinaattelgede positiivsete suundadega. Paremakäe teljestiku korral on pöörde ja momendi positiivne suund z-teljelt x-teljele. Vardasõlme tasakaaluvõrrandite koostamisel kasutatakse koordinaatide teisendust (1.46).Lõplike elementide meetodis kasutatakse teist märgikokkulepet.Lisaks tasakaaluvõrranditele antakse ka kõrvaltingimused (sks Nebenbedingungen)[KW90]). Kõrvaltingimuste arv sõltub sõlme lihtliigendite arvust (joonis 1.24). Lihtliigenditemõistet käsitletakse jõumeetodis (vt avaldis (9.9), lk 220).Joonisel 1.24 b) ja d) on näidatud sõlm 2. Joonisel 1.24 b) näidatud sõlmel on ükslihtliigend ja antakse üks kõrvaltingimus (joonis 1.24 a)),,uks lihtliigendM 2s1 = 0 (1.49)Joonisel 1.24 d) näidatud sõlmel on kaks lihtliigendit ja antakse kaks kõrvaltingimust(joonis 1.24 c)).kaks lihtliigenditM 2s1 = M 2s2 = 0 (1.50)1.16 Numbrilised arvutused GNU Octave’igaNumbriliste arvutuste sooritamiseks kasutame vabavara GNU Octave’i 2425 . GNUOctave’i programm on mõeldud numbriliste arvutuste tegemiseks. Arvutusteks on kasutuselkaks režiimi (moodust) käskude täitmiseks: 1) interaktiivne režiim (ingl interactivemode), kus käsku täidetakse kohe pärast selle sisestamist käsurealt. Siin kasutame GNU24 http://www.gnu.org/software/octave/about.html25 http://en.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave

1.16 Numbrilised arvutused GNU Octave’iga 53Joonis 1.25. GNU Octave’i versioon 3.0Octave’it kui kalkulaatorit. 2) pakkrežiim (ingl batch mode), kus käskude kogum (programm)on salvestatud tekstiredaktoriga faili laiendiga .m. See käskude kogum (programm)käivitatakse arvutis. Käskude täitmiseks sisestatakse faili nimi (ilma laiendita.m) käsurealt.Alates versioonist 3.0 on GNU Octave’i (joonis 1.25) graafika käsud oluliselt erinevadvarasematest versioonidest. Nüüd on käsud sarnased arvutiprogrammi Matlabkäskudega 26 27 .1.16.1 GNU Octave’i kui kalkulaator [ekraanivideo]GNU Octave’it võime kasutada kui kalkulaatorit. Vaatleme lihttala (joonis 1.32) toereaktsiooniV a arvutamiseks koostatud tasakaaluvõrrandiΣM b = 0 − V a · 6.0 − M a + F 1 · 3.6 + q · 1.6 · 2.8 + F 2 · 2.0 = 0V a = (10 · 3.6 + 4 · 1.6 · 2.8 + 12 · 2.0) /6 + M a /6Q a = V a = Q 0 a + M a /6 = 12.987 + 2.5 = 15.487 kN (1.51)arvutamist GNU Octave’iga (joonis 1.26). Eelnevalt sisestatud käsu saame käsureale,26 http://users.powernet.co.uk/kienzle/octave/matcompat/27 http://users.powernet.co.uk/kienzle/octave/

54 1. SissejuhatusJoonis 1.26. Toereaktsiooni arvutus GNU Octave’igakui vajutame klahvile nool üles. Enne sisestamist saame seda teksti käsureal redigeerida.Nii on redigeeritud käsku käsureal ’octave-3.01.6:’ (joonis 1.26).1.16.2 GNU Octave’i arvutuspäevikGNU Octave’iga tehtud arvutused saame salvestada tekstina faili. Käsuga ’diary toereaktsioonVa.out’luuakse arvutuspäeviku fail ’toereaktsioonVa.out’. See fail avataksekirjutamiseks käsuga ’diary on’ (vt joonis 1.27). Sellele järgnevalt sisestatakse käsureadarvutuspäevikusse. Lõpetamisel anname käsu ’diary off’. Faili ’toereaktsioonVa.out’ sisuon näha arvutuspäevikus 1.1. Kui see käsk ’diary off’ jääb andmata, on teie töökataloogisfail ’toereaktsioonVa.out’ tühi. Faili ’toereaktsioonVa.out’ saab redigeerida tekstiredaktoriga.Arvutuspäevik 1.1 (toereaktsioonVa.out)octave-3.0.1:1> % käsuga diary loome päeviku failioctave-3.0.1:1> diary toereaktsioonVa.outoctave-3.0.1:2> % käsuga diary on alustame päevikusse salvestamistoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> % - protsendimärgile järgnev on kommentaaroctave-3.0.1:3> %SumMb=0; -Va*L +(- Ma + F1*3.6 + q*1.6*2.8 + F2*2.0)=0octave-3.0.1:3> F1=10F1 = 10octave-3.0.1:4> F2=12F2 = 12octave-3.0.1:5> q=4q = 4octave-3.0.1:6> Ma=-15Ma = -15

1.16 Numbrilised arvutused GNU Octave’iga 55octave-3.0.1:7> L=6L = 6octave-3.0.1:8> Va=(- Ma + F1*3.6 + q*1.6*2.8 + F2*2.0)/LVa = 15.487octave-3.0.1:9> % käsuga diary off sulgeme päevikuoctave-3.0.1:9> diary off1.16.3 GNU Octave’iga arvutamise programmArvutusel (vt arvutuspäevik 1.1) antud käsud võime koondada ühte faili näitekstoereaktsioonVa.m (vt Programm 1.1). GNU Octave’is kirjutatud programmid omavadlaiendit .m.Programm 1.1 (toereaktsioonVa.m)% see on toereaktsioonVa.mF1=10F2 =12q=4Ma=-15L=6Va=(- Ma + F1*3.6 + q*1.6*2.8 + F2*2.0)/L%Programmi käivitamisel käsurealt laiendit .m ei sisestata (vt joonis 1.28).Programmi käivitamisel käsurealt võime käivitada arvutuspäeviku (vt joonis 1.29).Arvutustulemused programmiga arvutamisel on esitatud arvutuspäevikus 1.2.Joonis 1.27. GNU Octave’i arvutuspäevik

56 1. SissejuhatusArvutuspäevik 1.2 (toereaktsioonVao.out)octave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> toereaktsioonVaF1 = 10F2 = 12q = 4Ma = -15L = 6Va = 15.487octave-3.0.1:4> diary off1.17 Ülekandemaatriks paindelDiferentsiaalseosed varda paindel parema käe teljestikus x-z (joonis 1.30).dwdx = −φ y (1.52)d 2 wdx 2= −dφ ydx = − 1EI yM y (1.53)dM ydx = Q z (1.54)dQ zdx = −q z (x) (1.55)Avaldised (1.54) ja (1.55) on tala tasakaalu diferentsiaalvõrrandid paindel. Nende seostetuletamist vaadeldakse tehnilises mehaanikas. Paine on üks varda tööseisundeid (joonis1.3). Algparameetrite meetodi ([Jür85], lk 248 ja [Kõo90]) puhul arvutame talaJoonis 1.28. Toereaktsiooni arvutus GNU Octave’i programmiga I

1.17 Ülekandemaatriks paindel 57Joonis 1.29. Toereaktsiooni arvutus GNU Octave’i programmiga IIsisejõude ([MR95], lk 28), ([KW90], lk 20) M ja Q järgmiselt (vt joonis 1.31):EI y w x = EI y w 0 + EI y φ y0 · x + M · (x − a M) 2· H (x − a M ) −2!−F · (x − a F ) 3· H (x − a F ) − q (x − a q) 4H (x − a q ) (1.56)3!4!EI y φ yx = EI y φ y0 + M · (x − a M) 1· H (x − a M ) +1!+F · (x − a F ) 2· H (x − a F ) − q · (x − a q) 32!3!· H (x − a q ) (1.57)M x = M · (x − a M ) 0 · H (x − a M ) − F · (x − a F )1!· H (x − a F ) −−q (x − a q) 2H (x − a q ) (1.58)2!Q x = F · (x − a F ) 0 · H (x − a F ) − q · (x − a q ) · H (x − a q ) (1.59)000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111M y+ dM yx, uwϕM yQ zq zϕ + d ϕdxQ z + dQ zw +dwz, wJoonis 1.30. Painde diferentsiaalseosed

58 1. SissejuhatusFF12000000000000111111111111 qz000000000000111111111111000000000000111111111111000 111 00 11aF1VaaqVAbaq LaF2LM a= 0VaF1 qzM000000000000111111111111000 111000000000000111111111111 −q000 111z000 111xQAlgparameetritemeetodÜlekandemaatriksmeetodJoonis 1.31. LihttalaMomendi M y ja pöördenurga φ y positiivne suund on pööre teljelt z teljele x.Avaldistes (1.56), (1.57), (1.58) ja (1.59) on H (x − a F ) Heaviside’i 28 funktsioonH (x − a F ) ={︃0, kui (x − aF ) < 01, kui (x − a F ) ≥ 0(1.60)Võrrandeid (1.56), (1.57), (1.58) ja (1.59) nimetatakse ka ülekandevõrranditeks. Kirjutamevõrrandid ( 1.58) ja ( 1.59) maatrikskujul ( 1.61), kus toome eraldi välja talaalguses olevad reaktsioonid (jõud) V a ja M a :[︃ ]︃QxM x=[︃1 0x 1]︃ [︃ ]︃ [︃]︃QaF−1 · H (x − a F 1 )−M a F 1 · (x − a F 1 ) · H (x − a F 1 )[︃]︃F−2 · H (x − a F 2 )−F 2 · (x − a F 2 ) · H (x − a F 2 )⎡−q ⎤z · (x − a qA ) · H (x − a qA )⎣(x−a qA) 2⎦ +q z H (x − a2 qA )⎡+q ⎤z · (x − a qL ) · H (x − a qL )⎣(x−a qL) 2⎦ (1.61)q z H (x − a2 qL )1.17.1 Lihttala arvutamise näide 1.1 [ekraanivideo]Näide 1.1 Koostada joonisel 1.32 näidatud lihttala paindemomendi M ja põikjõu Qepüür.28 Oliver Heaviside, inglise füüsik ja elektriinsener, 1850–1925.

60 1. SissejuhatusM [kNm]−20−100102030Lihttala paindemoment M0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6x [m]Lihttala põikjõud QQ [kN]−15−10−50510150 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6x [m]Joonis 1.33. Lihttala epüürid=================================Sisej~oudude jaotus talas===================================I-Nr x Q M-----------------------------------1 0.00 15.487 -15.0002 0.40 15.487 -8.8053 0.80 15.487 -2.6114 1.20 15.487 3.5845 1.60 15.487 9.7796 2.00 15.487 15.9737 2.40 15.487 22.1688 2.40 5.487 22.1689 2.80 3.887 24.04310 3.20 2.287 25.27711 3.60 0.687 25.87212 4.00 -0.913 25.82713 4.00 -12.913 25.82714 4.40 -12.913 20.66115 4.80 -12.913 15.49616 5.20 -12.913 10.33117 5.60 -12.913 5.16518 6.00 -12.913 -0.000-----------------------------------====================================%octave:4> diary off

1.17 Ülekandemaatriks paindel 611.17.2 Lihttala siirete arvutamise näide 1.2 [ekraanivideo]Näide 1.2 Leida joonisel 1.32 näidatud lihttala siirded w, φ y ja sisejõud Q ning M.Siirete arvutamisel ülekandemeetodiga on vaja teada algparameetreid, s.o rajasiirdeidw A , φ yA ja rajajõude Q A ,g M A tala alguses. Selleks kirjutame ülekandevõrrandid(1.56), (1.57), (1.59) ja (1.58) (maatrikskuju (F.31) on toodud lk 687) ümbervõrrandisüsteemina 31 (1.63):− I * Z p + UZ v = − ∘ Z (1.63)siin I on (4 x 4) ühikmaatriks,tala lõpus Z p ja alguses Z v olevad siirded ja sisejõud (1.64)⎡ ⎤⎡ ⎤wwφ Z p = yφ ⎢ ⎥ , Z⎣ Q z ⎦v = y⎢ ⎥ , (1.64)⎣ Q z ⎦M y M yülekandemaatriks U (1.65)⎡1 − (x p − x v )U =0 1⎢⎣p(x p−x v)GA Q− (xp−xv)36EI y(x p−x v) 22EI yv− (xp−xv)22EI y(x p−x v)EI y0 0 1 00 0 (x p − x v ) 1koormusvektor Z ∘ on on toodud avaldisega (1.66)⎡ ∑︀ (x p−a M ) 2 +My EI y2!+ ∑︀ (x p−aFF ) 3 +z EI y3!+ ∑︀ (x p−a q)q 4 ⎤+z EI y4!∘Z =− ∑︀ (x p−aMM ) 1 +y EI y1!− ∑︀ (x p−aFF ) 2 +z EI y2!− ∑︀ (x p−a q)q 3 +z EI y3!⎢⎣− ∑︀ F z (x p − a F ) 0 + − ∑︀ q z (x p − a q ) 1 ⎥+− ∑︀ M y (x p − a M ) 0 + − ∑︀ F z (x p − a F ) 1 + − ∑︀ ⎦(x p−a q)q 2 +z 2!⎤, (1.65)⎥⎦(1.66)Nii saame neli võrrandit (1.63) kaheksa tundmatuga (1.64). Ülejäänud võrrandid saamerajatingimustest⎡ ⎤ ⎡ ⎤w L 0M yL⎢ ⎥⎣ w A ⎦ = 0⎢ ⎥(1.67)⎣ 0 ⎦M yA −15.0Ülesande lahendamiseks kasutame GNU Octave programmi talaRajaSiirded.m 32 . Programmarvutab ja joonistab siirded (joonis1.34) w, φ y ja sisejõud Q, M.Arvutuse tulemused on toodud arvutuspäevikus 1.4.31 Ülekandevõrrandite esitamist võrrandisüsteemina on vaadeldud töödes [Lah97a], [Lah97b],[Lah98a].32 ./octaveProgrammid/talaRajaSiirded.m

62 1. SissejuhatusLihttala siire wϕ *1/EI [rad]w*1/EI [m]020406080100−40−20020400 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6x [m]Lihttala pöördenurk ϕ0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6x [m]Joonis 1.34. Lihttala pöördenurgad ja siirdedArvutuspäevik 1.4 Lihttala siirdedoctave:1> diary talaRajaSiirded.outoctave:2> diary onoctave:3> talaRajaSiirdedI = 1.9020e-05E = 2.1000e+11EI = 3994200GAr = 4.5036e+15F1 = 10aF1 = 2.4000F2 = 12aF2 = 4L = 6qz = 4%Fjoud=[F1 aF1 ; % j~oud 1F2 aF2]; % j~oud 2% F3 aF3]; % j~oud 3qkoormus=[qz 2.4 4.0]; % jaotatud koormus qz% qz1 0.0 L]; % jaotatud koormus qz1I märgikokkulepeSkaleerimise tegurid EIsuhe = EIo/EI GArsuhe=EIo/GArEIsuhe = 1GArsuhe = 8.8689e-10siirded ja pöörded on nüüd EIo kordsedU=Ulintala_ImkSc(L,EIsuhe,GArsuhe) - ülekandemaatriks

1.17 Ülekandemaatriks paindel 63Zo=ZtalaFqSc(L,EIsuhe,Fjoud,qkoormus) - koormusvektorA=zeros(8,8); - nullistame v~orrandisüsteemi kordajadZZo=zeros(8,1); - nullistame v~orrandisüsteemi vabaliikmedA=InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) - asetab B A-sse algusega IM,JNA=InsertBtoA(A,8,8,1,5,U,4,4) - asetame ülekandemaatriksi U v~orrandisüsteemiA=InsertBtoA(A,8,8,1,1,A1,4,4) - asetame ühikmaatriksi A1 v~orrandisüsteemiZZo=InsertBtoA(ZZo,8,1,1,1,Zo,4,1) - asetame koormusliikmed v~orrandisüsteemi=============================================================Ülekandev~orrandid. - I * ZL + U * ZA = - ZZoTundmatute kordajad A(1:4,1:8) ja vabaliikmed ZZo(1:4,1)-------------------------------------------------------------wL fiL QL ML wA fiA QA MA ZZo=============================================================-1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 -6.0 -36.0 -18.0 -119.0870.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 18.0 6.0 114.5710.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 28.4000.0 0.0 0.0 -1.0 0.0 0.0 6.0 1.0 77.920-------------------------------------------------------------=============================================================Rajatingimused.Tundmatute kordajad A(5:8,1:8) ja vabaliikmed ZZo(5:8,1)-------------------------------------------------------------wL fiL QL ML wA fiA QA MA ZZo=============================================================1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.00.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0 -15.0------------------------------------------------------------------------------------------------V~orrandisüsteemi lahendamineX=A\ZZo;====================================================Toereaktsioonid ja kontaktj~oud X I märgikokkulepe====================================================-0.000000e+00 - siire tala l~opus4.611716e+01 - pööre tala l~opus-1.291333e+01 - p~oikj~oud tala l~opus-0.000000e+00 - paindemoment tala l~opus4.263256e-14 - siire tala algul-2.807218e+01 - pööre tala algul1.548667e+01 - p~oikj~oud tala algul-1.500000e+01 - paindemoment tala algul-----------------------------------siirded ja pöörded on EIo kordsedI märgikokkuleppe puhul on tala positiivne pöördenurk Z-teljelt X-teljeleKordaNT = 1Walg =4.2633e-14 -2.8072e+01 1.5487e+01 -1.5000e+01

64 1. SissejuhatusFjoud1=Fjoud;qkoormus1=qkoormus;Njaotust=jaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1);arvude suurim ühistegur - gcd(arvudS)yhistegur = 400minimaalne jaotuste arv - jaotusi = L*suurendus/yhistegurjaotustusi = 15NT=jaotusi*KordaNT; % jaotusi suurendatakse KordaNT kordaNT = 15TSj=talaSiireFqSc(NT,L,EIsuhe,GArsuhe,Walg,Fjoud,qkoormus);TSjT=TSj;pealdis=’ Siirded ja sisej~oud lihttalas ’;tabelXWfiQM(TSjT,pealdis)=========================================================Siirded ja sisej~oud lihttalas=========================================================I-Nr x w fi Q M---------------------------------------------------------1 0.00 0.000 -28.072 15.487 -15.0002 0.40 12.264 -32.833 15.487 -8.8053 0.80 25.936 -35.116 15.487 -2.6114 1.20 40.026 -34.922 15.487 3.5845 1.60 53.543 -32.249 15.487 9.7796 2.00 65.495 -27.099 15.487 15.9737 2.40 74.892 -19.471 15.487 22.1688 2.40 74.892 -19.471 5.487 22.1689 2.80 80.852 -10.207 3.887 24.04310 3.20 82.975 -0.322 2.287 25.27711 3.60 81.061 9.929 0.687 25.87212 4.00 75.017 20.290 -0.913 25.82713 4.00 75.017 20.290 -12.913 25.82714 4.40 64.972 29.588 -12.913 20.66115 4.80 51.622 36.820 -12.913 15.49616 5.20 35.792 41.985 -12.913 10.33117 5.60 18.309 45.084 -12.913 5.16518 6.00 0.000 46.117 -12.913 -0.000---------------------------------------------------------Siin siire w ja ristl~oike pööre fi on EIo kordsedTegelik siire w/EIo ja ristl~oike pööre fi/EIoMiMaSg=minMaxGrafSiirded(TSjT);octave:4> diary offRistlõike pöördenurga φ y (x = 0.0) ja siirde w c (x = 4.0) arvulisi väärtusi on võrreldudsiirete arvutamisel näites 7.1 (lk 181) saadud tulemustega. Nende väärtused langevadkokku.

2. Tala mõjujooned2.1 Mõjujoone mõiste [ekraanivideo]Liikuvat koormust tuleb arvestada sildade, kraanatalade ja teiste tehnoehitiste projekteerimisel.Paigalseisva koormuse puhul kujutati varraste sisejõude epüüridel. Koormusoli fikseeritud ja sisejõud olid varda telje (x-koordinaadi) funktsioonid. Liikuva koormusepuhul fikseeritakse ristlõige ja leitakse selles sisejõud või toereaktsioon olenevaltkoormuse asukohast. Ristlõigete jaoks koostatakse graafikud (mõjujooned).Mõjujoon on graafik, mis kujutab konstruktsioonil liikuvast ja suunda säilitavastühikjõust tingitud toereaktsiooni, sisejõu, siirde vms suurust arvutusskeemi kindlasristlõikes. Mõjujoone ja epüüri erinevust selgitame mõjufunktsiooni M (x, ξ) abil. Mõjufunktsiooniüheks muutujaks on ristlõike asukoht x (joonis 2.1) ja teiseks muutujaksjõu asukoht ξ. Joonisel 2.1 on toodud mõõduta koordinaadid ξ ja ξ ′ (ξ + ξ ′ = 0).xF = 1z ξ. l ξ’ . labi m k0000 1111 000 111x x’ABlJoonis 2.1. Liikuv koormusTala elastse joone diferentsiaalvõrrandi d4 w= − d2 M= 0 lahendina järgmistel rajatingimustelM (0) = 0, M (l) = 0 saab leida mõjufunktsiooni (Greeni 1 dx 4 dx 2funktsiooni)M (x, ξ) ={︃ x(l−ξ·l)l, kui x ≤ ξ · lξ·l(l−x)l, kui x ≥ ξ · l(2.1)Epüüride ja mõjujoonte võrdlemiseks vaatleme mõjufunktsiooni (2.1). Epüüridesaamiseks fikseerime muutuja ξ (ξ = a m ) ja mõjujoonte saamiseks muutuja x (x = a i ).1 Georg Green, inglise füüsik ja matemaatik, 1793–1841.65

66 2. Tala mõjujooneda)F = 1b)F = 1ξ. l ξ’ . l ξ. l ξ’ . lab abi m ki m k0000 1111 000 111 0000 1111 00 11x x’x x’A B A Bll00000000000000000000000001111111111111111111111111 M ep00000000000000000000000001111111111111111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000000000111111111111111100000000001111111111 Q ep000000000000000011111111111111110000000000111111111100000000000000001111111111111111M mjQ mjJoonis 2.2. Epüürid ja mõjujoonedEpüüride puhul fikseerime muutuja ξ (ξ · l = a m )M (x, ξ) =Mõjujoonte puhul fikseerime muutuja x (x = a i ){︃ x(l−am)l, kui x ≤ a ma m(l−x)l, kui x ≥ a m(2.2)M (x, ξ) ={︃ ai (l−ξ·l)l, kui a i ≤ ξ · lξ·l(l−a i )l, kui a i ≥ ξ · lAvaldistega (2.2) ja (2.3) leitud graafikud on joonisel 2.2.Mõjujoonte leidmist vaatleme eraldi.(2.3)2.2 Toereaktsioonide mõjujoonedStaatiline meetod.Talal (joonis 2.3) liigub koondatud koormus F = 1, mille kaugus toest a on ξ · l ja toestb ξ ′ · l = (1 − ξ) l.Tasakaalutingimusest ΣM b = 0∑︁Mb = 0; −Al + F · l (1 − ξ) = 0 (2.4)saameA = F ·l (1 − ξ)l= 1 · ξ ′ (2.5)Toereaktsioon A on muutuja ξ ′ lineaarne funktsioon (joonisel 2.3 sirgjoon).Sarnaselt leiame tasakaalutingimusest ∑︀ M a = 0

2.3 Lihttala põikjõu mõjujooned 67F = 100000 11111 ab00000 11111 0000 1111ξ. l ξ , .Al Bl l kξ , . lη= 1lη a=1A mjη= 1 ξ . llη= 1B mjJoonis 2.3. Toereaktsioonide A ja B mõjujooned∑︁Ma = 0; −Bl + F · ξ · l = 0 (2.6)toereaktsiooni BB = F ·ξ · ll= 1 · ξ, (2.7)mis on muutuja ξ lineaarne funktsioon (joonisel 2.3 sirgjoon).Konsoolidega tala toereaktsioonide mõjujooned on joonisel 2.4.2.3 Lihttala põikjõu mõjujoonedStaatiline meetod. Vaatleme kahte juhtu:0000011111 a0000011111kAlb0000 1111rB11A mõjujoonB mõjujoonJoonis 2.4. Konsoolidega tala toereaktsioonide mõjujooned

68 2. Tala mõjujooned∙ Liikuv koormus asub ristlõike k ja toe b vahel (joonis 2.5).Tasakaalutingimusest ΣY = 0 saame Q k −A = 0; Q k = A. Vahemikus a k ≤ ξ·l ≤ lon mõjujoon sarnane toereaktsiooni A mõjujoonega (avaldis 2.5).F = 1ξ. l F = 1 ξ , . l00000 11111 a00000 11111Aa kklb k0000 1111 b0000 1111BQ ka k−0000011111 a0000011111a kAklb k0000 1111 b0000 1111BlBb0000 1111Ba0000011111AQ kb kla kl1Q mjk1Ab klJoonis 2.5. Põikjõu mõjujoone parem poolJoonis 2.6. Põikjõu Q k mõjujoon∙ Liikuv koormus asub toe a ja ristlõike k vahel (joonis 2.6).Tasakaalutingimusest ΣY = 0 saame Q k + B = 0; Q k = −B. Vahemikus0 ≤ ξ · l ≤ a k on mõjujoon sarnane toereaktsiooni ’−B’ mõjujoonega (2.6).Põikjõu Q k mõjujoonQ k ={︃A =l−ξ·ll, kui a k ≤ ξ · l ≤ l−B = − ξ·ll , kui 0 ≤ ξ · l ≤ a k2.4 Lihttala paindemomendi mõjujoonedStaatiline meetod. Vaatleme kahte juhtu:(2.8)∙ Liikuv koormus asub ristlõike k ja toe b vahel (joonis 2.7).Tasakaalutingimusest ΣM k = 0 saame M k − A · a k = 0; M k = A · a k . Vahemikusa k ≤ ξ · l ≤ l on mõjujoon sarnane toereaktsiooni A mõjujoonega, mis on korrutatuda k .

2.5 Konsooli mõjujooned 69ξ. l F = 1 ξ , . lF = 1a k b0000011111 000 111A a k b k BlM k0000011111 a0000011111 Q kA0000011111 a0000011111A a kM kkQ kB*lb ka klb kb k0000 1111 b0000 1111Bb0000 1111B1* b k1* aka klb ka ka k b klMbkkmj [m]A *a k.Joonis 2.7. Paindemomendi mõjujoonJoonis 2.8. Paindemomendi M k mõjujoon∙ Liikuv koormus asub toe a ja ristlõike k vahel (joonis 2.8).Tasakaalutingimusest ΣM k = 0 saame M k − B · b k = 0; M k = B · b k . Vahemikus0 ≤ ξ · l ≤ x k on mõjujoon sarnane toereaktsiooni B mõjujoonega, mis on korrutatudb k .Paindemomendi M k mõjujoonM k ={︃a k · A = a k · l(1−ξ)l, kui a k ≤ ξ · l ≤ l(l − a k ) · B = (l − a k ) · ξ·ll , kui 0 ≤ ξ · l ≤ a kkus a k on ristlõike k kaugus vasakust toest a.(2.9)2.5 Konsooli mõjujooned2.5.1 Põikjõu mõjujoonKonsooli (joonis 2.9 a) b)) põikjõu Q k mõjujoone leidmiseks vaatame joonist(2.9 c) d))ja koostame tasakaaluvõrrandi, millest leiame Q k avaldise (2.10).joonis 2.9 c) Q k = −1, (ξl ≤ a k ) , joonis 2.9 d) Q k = 1, (ξl ≥ a k ) (2.10)Kui ühikjõud asetseb konsoolil (joonis 2.9 a)) lõikest k paremal, on põikjõud lõikes knull.

70 2. Tala mõjujooneda)aξ. l F = 1b) ξ.l F = 10000 111101b01ak 00 1101ka k 00 1101a k b kllbc) F = 1 ad)k M kkQ ke)f)1 1Q mjkM kkQ kb kF = 11 1Q mjkg)h)a kb kM mjkM mjkJoonis 2.9. Konsooli mõjujoonedKui ühikjõud asetseb konsoolil (joonis 2.9 a)) lõikest k vasakul, on põikjõud lõikesk Q k = −1. Põikjõu Q k mõjujoon on joonisel 2.9 e).Kui ühikjõud asetseb konsoolil (joonis 2.9 b)) lõikest k vasakul, on põikjõud lõikesk null. Kui ühikjõud asetseb konsoolil (joonis 2.9 b)) lõikest k paremal, on põikjõudlõikes k Q k = 1. Põikjõu Q k mõjujoon on joonisel 2.9 f).Vasakpoolsel ja parempoolsel konsoolil on põikjõud erineva märgiga.2.5.2 Paindemomendi mõjujoonKonsooli (joonis 2.9 a) ja b)) paindemomendi M k mõjujoone leidmiseks vaatame joonist(2.9 c) d)) ja koostame tasakaaluvõrrandi, millest leiame M k avaldised (2.11)joonis 2.9 a) M k = −F · (a k − ξl) , joonis 2.9 b) M k = −F · (ξl − a k ) (2.11)Kui ühikjõud on lõike k ja toe vahel, siis M k = 0. Kui ühikjõud on lõike k ja konsoolivaba otsa vahel (joonis 2.9 c) ja d)), siis M k mõjujoon on määratud avaldisega (2.11).Konsooli lõike k paindemomendi mõjujoon M k on joonisel 2.9 g) h).2.5.3 Konsoolidega tala mõjujoonedJoonisel 2.10 on näidatud konsoolidega tala. Toereaktsiooni A mõjujoon on saadudavaldisega (2.5) ja näidatud joonisel 2.4.

2.5 Konsooli mõjujooned 711.2a k b0000 1111 000 1113 m 2 m0.20.40.21 m 5 m 1 m1.01.01.01.00.40.41.20.60.41.00.20.21.00.60.2A mjQ ap mjvQ amjM b[m]M kmj[m]Q mjkmjJoonis 2.10. Konsoolidega talamõjujoonedToereaktsiooni mõjujoone konstrueerimisekskanname toele a lõigu pikkusega üks. Ühendameselle lõigu otspunkti ja toel b oleva väärtuse (null)sirgega (joonis 2.10), mille pikendame tala otsteni.Tala otstes olevad mõjujoone ordinaadid võibarvutada sarnastest kolmnurkadest.Põikjõud Q p a asub tala sildes (toest paremal).Sildes asuva ristlõike jaoks põikjõu mõjujoonekonstrueerimist vaatlesime joonisel 2.6. Pikendamesirged tala lõpuni. Nüüd nihutame ühelt sirgeltteisele ülemineku punkti k toest a paremale, saameQ p a mõjujoone (joonis 2.10). Tala otstes olevadmõjujoone ordinaadid võib arvutada sarnastestkolmnurkadest.Põikjõud Q v a asub konsoolil. Vasakpoolse konsoolimõjujoont vaatlesime joonisel 2.9. Kuiühikjõud asub tala sildes, siis konsoolil olevasristlõikes on põikjõud Q v a null (joonis 2.10). Kuiristlõige, mille jaoks meie põikjõu mõjujoont konstrueerime,asub vasakul konsoolil, on mõjujoonemärk miinus. Parempoolsel konsoolil on põikjõumõjujoone märk pluss.Kui ühikjõud liigub tala sildes, on paindemomentM b toel b null. Parempoolsel konsoolil olevaristlõike paindemomendi mõjujoont vaatlesimejoonisel 2.10. Nii koostame M b mõjujoone (joonis2.10).Paindemoment M k asub tala sildes (ristlõigek). Sildes asuva ristlõike jaoks paindemomendi mõjujoone konstrueerimist vaatlesimejoonisel 2.8. Pikendame sirged tala lõpuni. Nii saame M k mõjujoone (joonis 2.10). Talaotstes olevad mõjujoone ordinaadid võib arvutada sarnastest kolmnurkadest.Põikjõud Q k asub tala sildes (ristlõige k). Sildes asuva ristlõike jaoks põikjõu mõjujoonekonstrueerimist vaatlesime joonisel 2.8. Pikendame sirged tala lõpuni. Nii saameQ k mõjujoone (joonis 2.10).Sarnaselt õpikus [DK62] toodud konsoolidega tala paindemomendi ja põikjõu mõjujooneteleon konsoolidega tala mõjujooned näidatud joonisel 2.11.Konsoolidega tala mõjujoonte (joonis 2.11) koostamisel teeme vahet järgmistel talapiirkondadel: vasak konsool, tala sille ja parem konsool.Kui ristlõige, mille mõjujoont meie konstrueerime, asub vasakpoolsel konsoolil, siispõikjõu Q mõjujoone koostamiseks kasutame avaldist (2.10). Sama ristlõike paindemomendiM mõjujoone koostamiseks kasutame avaldist (2.11).Ristlõigete jaoks, mis asuvad tala sildes, kasutame põikjõu Q mõjujoone koostamiseksavaldist (2.8) ja paindemomendi M mõjujoone koostamiseks avaldist (2.9).

72 2. Tala mõjujoonedckI II III IV V VI VII I IIa IIb III IV V VIa VIb VII000 111c 0000 1111 a000 111 bk l/2 l/2 rl00000 1111100000 11111000000000111111111Mõjujoon M I000000000111111111000000000111111111000000000111111111 Mõjujoon M000000000111111111II000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111 00000000000000001111111111111111 00000000011111111100000000000000001111111111111111 Mõjujoon MIIIa000000000111111111000000000111111111000000000111111111 000000000000000011111111111111110000000000000000000000000111111111111111100000000000000001111111111111111Mõjujoon M IV000000000000111111111111000000000000111111111111000000000111111111000000000000111111111111000000000111111111 00000000000000001111111111111111 00000000000011111111111100000000000000001111111111111111 00000000000011111111111100000000000000001111111111111111Mõjujoon M000000000111111111 V000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111Mõjujoon M VI 0000 11110000 11110000 11110000 1111Mõjujoon M VIIl/2b0000 1111d k00001111 l 0000 1111rrd1100000 1111100000 1111100000 11111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111 00000000000000001111111111111111 000000000111111111000000000111111111 0000000000000000111111111111111100000000000000001111111111111111 Mõjujoon Q IIb1100000 111110000000000001111111111110000000000000000001111111110000011111111100000000011111111111111000000000000111111111111 Mõjujoon Q III111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000000000111111111000 111Mõjujoon Q IV00000000000001111111111111 0000 1111000000000111111111 0000000000000111111111111111110000000001111111110000000001111111110000 1111Mõjujoon Q000 111V000000000000000011111111111111110000000000000000000000111111111111111111 0000000000000000111111111111111100000000000000000011111111100000000000000001111111111111111111111111Mõjujoon Q VIa000000000111111111000000000111111111Mõjujoon Q VIb 000000000111111111111Mõjujoon Q IMõjujoon Q IIaMõjujoon Q VII1110000 11110000 11110000 1111Joonis 2.11. Konsoolidega tala paindemomendi ja põikjõu mõjujooned1 1Kui ristlõige asub parempoolsel konsoolil, siis põikjõu Q ja paindemomendi M mõjujoonekoostamiseks kasutame avaldisi (2.10) ja (2.11).

2.6 Mõjujoonte kasutamine 732.6 Mõjujoonte kasutamineTuleb teada, kuidas kasutada mõjujooni toereaktsioonide, sisejõudude ja siirete leidmiseks.Mõjujoone iga ordinaat η i näitab otsitavat suurust ühikulisest koormusest F i* = 1 (vtjoonis 2.12).q( ξ)F 1F i¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¥ ¥ ¥ ¥ ¡ ¦ ¡ ¦ ¡ ¦ ¡¦ ¡ § ¡ § § § ¨ ¨ ¡ ¨¡¦ ¦ a § § § § ¨ ¨ ¨k¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥ d ξ1 i bξ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£Ωη ( ξ)η1ηiZ KmjJoonis 2.12. Mõjujoone kasutamineKui talale mõjub koormus F i , siis leiame otsitava suuruse Z k avaldisest Z k = F i · η i .Mitme koondatud jõu olemasolul summeerime need.Z k = F 1 η 1 + F 2 η 2 + . . . + F i η i (2.12)siin F 1 , F i on koondatud jõud ja η 1 , η i vastavate jõudude all olevad ordinaadid mõjujoonel(joonis 2.12). Ühtlaselt jaotatud koormusest (q = konst) põhjustatud sisejõu Z k(joonis 2.12) saame avaldisest (2.13)Z k =∫︁ caq (ξ) η (ξ) dξ = qΩ (2.13)kus Z k on sisejõud ning Ω mõjujoone pindala (vt joonisel 2.12 viirutatud osa).Kogu koormusest põhjustatud sisejõud (vt joonist 2.12)∫︁ cZ k = F 1 η 1 + F i η i + q η (ξ) dξ = F 1 η 1 + F i η i + qΩ (2.14)asiin F 1 , F i on koondatud jõud ja η 1 , η i vastavate jõudude all olevad ordinaadid mõjujoonel(joonis 2.12).2.6.1 Sisejõudude leidmise näide 2.1 [slaidid] [.swf] [ekraanivideo]Näide 2.1 Arvutada joonisel 2.13 kujutatud konsoolidega tala toereaktsioon A, põikjõud Q p atoest a paremal, põikjõud Q v a toest a vasakul, paindemoment M k , põikjõud Q k lõikes k. Talalemõjuv koormus ja vajalikud mõjujooned on näidatud joonisel 2.13.Vaadeldava konsoolidega tala mõjujooned on koostatud joonisel 2.10.

74 2. Tala mõjujoonedF 1= 4 kN F 2 = 5 kNq = 2 kN/m000000000000111111111111000000000000111111111111a k b0000 1111 000 1113 m 2 m1.21 m 5 m 1 m1.00.40.2A mjKasutades avaldist (2.14), saame toereaktsiooni A väärtuseksA = 4 · 1.2 + 5 · 0.4 + 2 0.4 · 22− 2 0.2 · 12Põikjõu Q p a toest a paremal leiame avaldisega= 7.4 kN (2.15)0.21.00.40.2Q ap mjQ p a = 4 · 0.2 + 5 · 0.4 + 2 0.4 · 22− 2 0.2 · 12= 3.4 kN (2.16)vmj0.40.21.01.01.20.60.41.01.00.60.200000000111111115.60000 1111 4.00000 11110000 1111 0000000000000000000000000011111111111111111111111111 0000000000000000111111111.6 11111111000000001111111100000000 11112.03.4000000000000011111111111113.4Q amjPõikjõu Q v a toest a vasakul arvutame avaldisegaM bmj[m]M k[m]Q mj4.00000 1111 00000000000001111111111111011.0 01M ep0000 1111 0000000000000111111111111101000000000111111111 0000011111 010000 1111 00000000000001111111111111 000000000111111111 [kN.0101m]00000000000001111111111111 0000000001111111110100000000000001111111111111 0000000001111111110100000000000001111111111111 6.2 00000000011111111101kQ ep[kN]Joonis 2.13. Sisejõu leidminemõjujoonte abilQ v a = −4 · 1.0 = −4.0 kN (2.17)Paindemomendi M b väärtuseks toel b saameM b = −2 1.0 · 12Paindemoment M k ristlõikes k onM k = −4.0 · 0.4 + 5 · 1.2 + 2 1.2 · 22= −1.0 kN·m (2.18)− 2 0.6 · 1 =2= 6.2 kN·m (2.19)Ristlõikes k on põikjõul kaks väärtust. Parempoolsepõikjõu väärtuse Q p k(2.20) saab, kui kasutada mõjujoonevasakpoolset väärtustQ p k= 4.0 · 0.2 − 5 · 0.6 + 20.4· 22− 2 0.2 · 1 =2= −1.6 kN (2.20)Vasakpoolse põikjõu väärtuse Q v k (2.21) saab, kui kasutadamõjujoone parempoolset väärtustQ v k = 4.0 · 0.2 + 5 · 0.4 + 2 0.4 · 22− 2 0.2 · 12= 3.4 kN (2.21)2.7 Koormuse ebasoodsaim asetusÜhe liikuva koondatud jõu F 1 puhul tekib maksimaalne või minimaalne sisejõud(maxZ k /minZ k ) siis, kui see jõud asetseb mõjujoone suurima positiivse või negatiivseordinaadi (η max /η min ) kohal.

2.7 Koormuse ebasoodsaim asetus 75maxZ k = F 1 η max , minZ k = F 1 η min (2.22)Mitmest koondatud jõust koosneva liikuva koormussüsteemi puhul leitakse esmalt koormuseebasoodsaim asetus ja pärast selle kindlaksmääramist arvutatakse sisejõud Z kvalemigaZ k = F i η i , (i = 1, 2, 3, ..., n) (2.23)Suurimad sisejõud leitakse tavaliselt proovimise teel, st võrreldakse koormuse erinevateasendite jaoks leitud sisejõudusid. Tihti joonestatakse jõudude asetuse skeem paberiribale,et seda siis nihutada erinevatesse asukohtadesse. Koormus asetatakse nii, et suuremadjõud oleksid suuremate ordinaatide kohal. Koormuse ebasoodsaima asetuse korralseda liikuvat jõudu, mis asub hulknurkse mõjujoone kumera tipu kohal, nimetataksekriitiliseks jõuks. Koormuse ebasoodsaima asetuse puhul on sisejõud suurim. Hulknurksekujuga mõjujoonel võib olla mitu kriitilist jõudu. Suurim sisejõud leitakse nendele kriitilistelejõududele vastavate sisejõudude võrdlemise teel. Suurimate sisejõudude arvutaminenõuab suurt arvutustööd.Kolmnurkse kujuga mõjujoon.Koondatud jõududest koosneva koormussüsteemi puhul koormuse ebasoodsaima asetusevõib leida graafiliselt (joonis 2.14):a)1 mFF5 m 1 m 1 m 5 m 1 mFFb)FFFFCAC’tg α = 0.1BB’0.50.21.01.2βtg β = − 0.212 m 6 mc)1 m0.5F F F F5 m 1 m 1 m5 m1.01.20.21 mJoonis 2.14. Kolmnurkse kujuga mõjujoon∙ mõjujoone alguspunktist A kanname liikuva koormuse jõud F üksteise alla∙ ühendame mõjujoone lõpupunkti B jõudude lõpupunktiga C∙ tõmbame sirgega BC paralleelse sirge B’C’, mis läbib kolmnurkse kujuga mõjujoonetipu projektsiooni B’∙ sirge osutab jõule F, mis peab asuma kolmnurga tipu kohal∙ asetame kriitilise jõu kolmnurga tipu kohale ja arvutame sisejõu valemi (2.23)järgi:maxZ k = F (0.5 + 1.0 + 1.2 + 0.2) = 2.9F (2.24)

76 2. Tala mõjujoonedHulknurkse kujuga mõjujoon.Vaatleme hulknurkse kujuga mõjujoont (joon 2.15 e)) ja tema kohal liikuvat mitmestjõust koosnevat koormussüsteemi (joon 2.15 a)).a)3 kN 7 kN 3.5 kN 9.5 kN 3 kN 7 kN3.5 kN 9.5 kN> 4 m 4 m > 8 m 4 m > 4 m 4 m > 8 m 4 m > 4 mb)3.5 kN 9.5 kN3 kN7 kNc)3.5 kN 9.5 kN3 kN7 kNd)3.5 kN9.5 kN3 kN7 kNtg α 3= 0.02195α 3e) A CBαtg α = 0.2 11C’1.210 m 2 6 m 2 10 m 1.8 8.2 mα 2tg α 2 = − 0.10.18B’Joonis 2.15. Hulknurkse kujuga mõjujoonSuurima sisejõu võime leida proovimise teel. Vaatleme jõudude erinevaid asetusi:1. Jõud 3.5 kN on lõikes C kumera tipu kohal (joonis 2.15 b).2. Jõud 9.5 kN on lõikes C kumera tipu kohal (joonis 2.15 c).3. Jõud 3.0 kN on lõikes C kumera tipu kohal (joonis 2.15 d).Kui leida iga jõu F i all oleva ordinaadi väärtus η i , saaksime nende koormuste erinevaasetuse korral kasutada valemit (2.23). Nendest erinevatest juhtudest valiksime väljasuurima/vähima sisejõu Z k väärtuse.Koormuse erineva asetuse korral ei arvutata kohe jõu F i all oleva ordinaadi väärtusiη i . Esmalt leitakse koormuse ebasoodsaim asetus. Vaatluse alla võetakse sisejõumuutus. Kui koormuse liigutamisel sisejõud kasvab, siis lähteasukoht ei olnud koormuseebasoodsaim asukoht. Koormust liigutatakse järgnevatesse asukohtadesse mõjujoonekumera tipu kohal seni, kuni sisejõud hakkab vähenema. Nii leitakse üks kriitilistestjõududest.Jälgime sisejõu muutust jõudude liikumisel mõjujoonte sirgete osade kohal. Olgusisejõu juurdekasv ∆Z k , siis∆Z k = F i · ∆η i = F i · tan α i ∆x, (i = 1, 2, 3, ..., n) (2.25)siin tan α i on mõjujoone sirge tõusunurk (joonis 2.15 e)).

2.7 Koormuse ebasoodsaim asetus 77a)3.5 kN 9.5 kN3 kN7 kNb)0.41.20.80.40.180.09210 m 2 6 m 2 10 m 1.8 8.2 mJoonis 2.16. Suurima sisejõu leidmineKoormuse liigutamisel ∆x võrra suureneb või väheneb mõjujoone ordinaat ∆η i =tan α i ∆x võrra. Kui koormuse liigutamisel ∆x võrra mõjujoone positiivsete ordinaatidekohal sisejõud ei suurene, oleme leidnud koormuse ebasoodsaima asetuse. Hulknurksekujuga mõjujoone teise kumera tipu kohal võime leida teise koormuse ebasoodsaimaasetuse. Suurima sisejõu leiame nende koormuse ebasoodsamatel asetustel arvutatudsisejõu võrdlemisel.Liigutame koondatud jõududest koosneva koormussüsteemi asendist 1 (joonis2.15 b)) asendisse 2 (joonis 2.15 c)), mille puhul on ∆x = −4 m. Sisejõu juurdekasv∆Z k∆Z k,1−2 = 3.5 · 0.2 · (−4) + 9.5 · (−0.1) · (−4) + 3.0 · (−0.1) · (−4) = 8.6 kN (2.26)Sisejõu juurdekasv ∆Z k = 8.6 kN on positiivne.Liigutame koondatud jõududest koosneva koormussüsteemi asendist 2 (joonis 2.15 c)asendisse 3 (joonis 2.15 d), mille puhul on ∆x = −4 m. Sisejõu juurdekasv ∆Z k∆Z k,2−3 = 3.5 · 0.0 · (−4) + 9.5 · (0.2) · (−4) + 3.0 · (−0.1) · (−4) = −1.4 kN (2.27)Sisejõu juurdekasv ∆Z k = −1.4 kN on negatiivne.Järelikult on koondatud jõududest koosneva koormussüsteemi asend 2 (joonis 2.15 c)ebasoodsaim. Seda näitab ka graafiline lahendus (joonis 2.15 e).Leiame mõjujoone ordinaadid (joonis 2.16) ja arvutame suurima sisejõu Z kmaxZ k = 3.5 · 0.4 + 9.5 · 1.2 + 3.0 · 0.8 + 7.0 · 0.4 = 18.0 kN (2.28)Jõududest koosneva liikuva koormussüsteemi abil kirjeldatakse kraanade liikumistkraanataladel, autokolonni liikumist sildadel. Autokolonni liikumist vaadeldaksesõidusuunaga vasakult paremale ja paremalt vasakule, kus autokolonnis olevate jõududejärjestused on erinevad [Rää75], [DK62].

78 2. Tala mõjujooned

3. Varrassüsteemide liigitus3.1 Varrassüsteemide liigituse alusedVarrassüsteemiks nimetatakse varraste kogumit, milles iga varda asend ja asendi muutuson määratud ülejäänud varraste asendi ja asendi muutusega.Varraskonstruktsiooni liigitamisel võetakse arvesse järgmisi varrassüsteemi omadusi:∙ varda telgjoone kuju∙ varda tööseisundit (joonis 1.3)∙ varraskonstruktsiooni toesidemete arvu (joonis 3.1)∙ liigendite arvu.Esmalt vaatleme, kas konstruktsioon on valmistatud sirgetest või kõveratest varrastestvõi kasutatakse mõlemaid, st tegemist on segasüsteemiga. Järgnevalt uurime,milline on varraste tööseisund (joonis 1.3). Näiteks sirgetest varrastest valmistatud varrassüsteemi,mille vardad töötavad pikkele, nimetatakse sõrestikskeemiks. Sirgetest varrastestvalmistatud varrassüsteemi, mille vardad töötavad liittööseisundis, nimetatakseraamskeemiks. Edaspidi vaatleme liigendite arvu ja räägime kolme liigendiga, kahe liigendigaja liigenditeta raamskeemist.Kõvera telgjoonega varrast, mis töötab ainult tõmbele, nimetame vandiks (kasutatakseka nimetust niit, niidivõrrand) ja nendest moodustatud varrassüsteemivantskeemiks. Kõvera telgjoonega varrastest valmistatud varrassüsteemi, mille vardadtöötavad liittööseisundis (võimalik on valida selline varraste telgjoone kuju, et varrassüsteemtöötab ainult survele), nimetatakse kaarskeemiks. Liigendite arvu alusel eristataksekolme liigendiga, kahe liigendiga ja liigenditeta kaarskeemi.Tuleb vahet teha sõrestikkonstruktsiooni ja sõrestikskeemi vahel, sest sõrestikkonstruktsiooneon võimalik arvutada nii sõrestikskeemi kui ka raamskeemi järgi.Sõrestikskeemi, talaskeemi, raamskeemi, kaarskeemi, vantskeemi ja segaskeemi üldnimetusekson arvutusskeem. Ühel konstruktsioonil võib olla mitu arvutusskeemi. Seesõltub tehtud aproksimatsioonidest.79

80 3. Varrassüsteemide liigitusJäik tugiPaigalseisevliigendtugiLiikuvliigendtugiVaba otsLiikuv pöördumatutugiTugedesümbolidX, uM y , ϕ yZ, wToetingimused:etteantud jatundmatudFx = ?, u = 0Fz = ?, w = 0My = ?, φy = 0Fx = ?, u = 0Fz = ?, w = 0My = 0, φy = ?Fx = 0, u = ?Fz = ?, w = 0My = 0, φy = ?Fx = ?, u = 0Fz = 0, w = ?My = 0, φy = ?Fx = 0, u = ?Fz = 0, w = ?My = 0, φy = ?Fx = ?, u = 0Fz = 0, w = ?My = ?, φy = 0Toe siirdetähis jaarv−−0φ y1u, φ y2w, φ y2u, w, φ y3w1Toereaktsioonidjanende arvFxM yFz3Fx2Fz1F zF x1 0FxM y2Joonis 3.1. Toed ja toereaktsioonid3.2 Toed ja toereaktsioonidLihtsuse mõttes vaatleme tasapinnalist konstruktsiooni. Kirjeldame toereaktsioonide↔F x, ↔ F z ja ↔ M y tööd W t tugede siiretel u, w ja φ yW t = ↔ F x · u + ↔ F z · w + ↔ M y · φ y (3.1)Toereaktsioonid kuuluvad rajajõudude hulka, tugede siirded ja pöörded rajasiirete hulka.Rajatingimustest antakse ette kas toereaktsioon või toe siire (pööre). Arvutusskeemilkasutatavate tugede sümbolid on joonisel 3.1. Joonisel 3.1 on järgmised toed:

3.3 Kontaktjõud ja liigendid 81∙ jäik tugi ei võimalda siirdeid ega pööret, tema vabadusastmete arv on null. Tundmatuidtoereaktsioone on kolm. Tundmatute toereaktsioonide ja vabadusastmetesumma on kolm∙ paigalseisev liigendtugi võimaldab ainult pööret. Vabadusastmete arv on üks.Tundmatuteks on horisontaalne ja vertikaalne toereaktsioon ning pööre. Tundmatutetoereaktsioonide ja vabadusastmete summa on kolm∙ liikuv liigendtugi võimaldab pööret ja ühes sihis siiret. Vabadusastmete arv onkaks. Tundmatuteks on üks toereaktsioon, pööre ja siire∙ vaba ots võimaldab siirdeid ja pöördeid. Vabadusastmete arv on kolm, need on katundmatuteks. Toereaktsioonid puuduvad∙ liikuv pöördumatu tugi võimaldab siiret ühes sihis. Vabadusastmete arv on üks.Tundmatuteks on toemoment, üks toereaktsioon (joonisel 3.1 on selleks horisontaalnetoereaktsioon) ja siire.3.3 Kontaktjõud ja liigendidLiigendite sümbolid arvutusskeemi jaoks ja kontaktjõudude tähised on joonisel 3.2. Nii,nagu tugede ja toereaktsioonide vaatlemisel, kasutame töö mõistet ka kontaktjõududeja liigendite vaatlemisel.Vaatleme hõõrdevabu liigendeid, mille kontaktjõudude töö on null, nagu toereaktsioonidel↔M y tööd W k kontaktpindade vastastikustel sii-Siin vaatleme kontaktjõudude N ↔ x, Q ↔ z ,retel ja pööretel ∆u, ∆w, ∆φ y , kusW k = ↔ N x · ∆u + ↔ Q z · ∆w + ↔ M y · ∆φ y (3.2)∆u = u p − u v , ∆w = w p − w v , ∆φ y = φ yp − φ yv (3.3)Avaldises (3.3) tähistavad indeksid p ja v siirdeid ja pöördeid liigendist paremal javasakul. Varda otsa ristlõikepinda kirjeldame tema pinnanormaaliga. Varda ristlõikepinda,mille pinnanormaal on suunatud varraste ühenduse poole, nimetatakse kontaktpinnaks,kontaktpindadel mõjuvaid jõude kontaktjõududeks. Ühe liigendi puhul on 2kontaktjõudu. Liigendi puudumisel on 3 kontaktjõudu. Vaba otsa puhul on kolm vastastikustsiiret ja 0 kontaktjõudu. Kontaktjõudude ja vastastikuste siirete arv kontaktpinnalon 3 (vt joonis 3.2).Varda otsa ristlõikepind, mille pinnanormaal on suunatud varda sisse, on sisepind.Sisepinnal mõjuvad jõud on sisejõud. Kontaktjõud ja sisejõud varda otsa ristlõikes onvõrdsed, kuid suunalt erinevad. Sisejõud leitakse kontaktjõudude kaudu.

82 3. Varrassüsteemide liigitusJäikühendusPaindemomendiliigendNormaaljõuliigendPõikjõuliigendVabadotsadÜhendustesümbolidVastastikusedsiirdedx, uM y , ϕ yz, wv pv pvasakul paremalΔu = u p − u vΔw = w p − w vΔφ y = φ p − φ vv p v pvpKontaktitingimusedsõlmedes:etteantud jatundmatud↔N x = ?, Δu = 0↔Q z = ?, Δw = 0↔M y = ?, Δφy = 0↔N x = ?, Δu = 0↔Q z = ?, Δw = 0↔M y = 0, Δφy = ?↔N x = 0, Δu = ?↔Q z = ?, Δw = 0↔M y = ?, Δφy = 0↔N x = ?, Δu = 0↔Q z = 0, Δw = ?↔M y = ?, Δφy = 0↔N x = 0, Δu = ?↔Q z = 0, Δw = ?↔M y = 0, Δφy = ?Vastastikustesiirete tähis javabadusastmetearv0Δφ y1Δu1Δw1Δu, Δw, Δφ y3Kontaktjõudjanende arvM y M yNNQ zQ z3NQ z2NQ zQ zM y M yQ z2NM y M yN20Joonis 3.2. Liigendid ja kontaktjõud3.4 Rajajõud ja sõlmpunktidVõtame vaatluse alla nii konstruktsioonielemendid (vardad) kui ka nende ühenduspunktid,nn sõlmpunktid.Varrassüsteemide uurimise põhiliseks probleemiks on rajatingimuste kirjeldamine.Täpsemalt käsitletakse seda probleemi tala-, sõrestik-, raam- ja kaarskeemide juures.

3.5 Arvutusskeem 833.5 ArvutusskeemArvutusskeem on ehituskonstruktsiooni, masina vms kujutis, mille alusel tehakse arvutusi.Valitud arvutusskeemist oleneb arvutuse täpsus ja keerukus. Alati on võimalik validatäpsem arvutusskeem ja täpsem teooria, kuid siis muutuvad arvutused keerulisemaks.Täpsemaid teooriaid on vaja selleks, et kindlaks teha lihtsamate teooriate kehtivusepiirid. Arvutusskeem sisaldab vähemalt järgmist informatsiooni [KW90]:∙ kõigi sõlmpunktide asukohti∙ varraste telgjooni∙ tugede ja liigendite asukohti∙ kõigi varraste ristlõike jäikusi∙ koormusi∙ kohalike telgede positiivseid suundi.Arvutis tuleb arvutusskeemi toetada arvutustabeliga [KW90].Arvutusskeem ja arvutustabel sõltuvad vaadeldavast konstruktsioonist. Arvutusskeemikoostamisel tuleb arvestada ehitamise ja koormamise järjestusega. Näiteks erinevadtulemused korrusraami riivide koormamisel pärast kõigi korruste väljaehitamist tulemustest,mis saadakse iga korruse riivi koormamisel kohe pärast korruse väljaehitamist[Kõo92].3.6 Arvutusskeemi vabadusastePaljud arvutusskeemid koosnevad varrastest (konstruktsioonielementidest), mis onühendatud sõlmpunktides sidemetega (kontaktjõududega). Arvutusskeemil on k varrast(kujundit), t toesidet (joonis 3.1), l lihtliigendit (toeliigendeid ei võeta arvesse,sest toereaktsioonid on need sidemed arvesse võtnud), r kontaktjõudu (joonis 3.2).Igale vardale saab koostada m tasakaalutingimust (3.6).Arvutusskeemi jaoks saame koostada seosedt + r = m · k − w (3.4)w = m · k − r − t (3.5)kus arvutusskeemi toereaktsioonide arv t ja kontaktjõudude arv r võrduvad kõigi varrastekohta koostatud tasakaaluvõrrandite arvu m · k ja arvutusskeemi vabadusastmetearvu w summaga. Kui vabadusastmete arv

84 3. Varrassüsteemide liigitus1. w = 0, see on arvutusskeemi staatikaga määratavuse vajalik tingimus, kuid mittepiisav tingimus.2. w > 0, arvutusskeemi elemendid võivad paigutuda ilma elementide deformatsioonideta.3. w < 0, arvutusskeemis on liigsidemed ja arvutusskeem staatikaga määramatu.Ühe vabadusastmega (w = 1) kinemaatilist ahelat nimetatakse ka mehhanismiks. Varrassüsteemivaatlemisel nimetame mehhanismi ka varrasahelaks.Kujundiks nimetatakse arvutusskeemi osa, mis jääb alles, kui toesidemed eemaldatakse.Kujund vajab tasapinnal kinnitamiseks kolme sidet.Tasapinnal on konstruktsioonielemendil 3 tasakaalutingimustΣF x = 0, ΣF z = 0, ΣM y = 0 (3.6)Kontaktjõude arv r on proportsionaalne lihtliigendite arvuga l (joonis 3.2 lk 82).Rajajõudude arvule vastab kahekordne lihtliigendite arv (vt joonis 3.3)r ∝ 2 · l (3.7)Tasandilise arvutusskeemi jaoks saame avaldisest (3.4) avaldiseehkt + 2 · l = 3 · k − w (3.8)w = 3 · k − 2 · l − t (3.9)kust – toereaktsioonide arv (joonis 3.1),l – lihtliigendite arv (siin toeliigendeid ei võete arvesse, sest toereaktsioonid on needsidemed arvesse võtnud) (joonis 3.2),k – varraste arv,w – vabadusastmete arv,a)11 lihtliigend 2 lihtliigendit2000 11100 1100 11000 1112 toereaktsiooni00 113 toereaktsiooni00 112 toereaktsiooniSiin toeliigendeid ei arvestata. On toereaktsioonide arv3k = 4 varrast (kujundit)l = 3 lihtliigendit4b)1t + 2l = 3k − w7 + 2*3 = 3*4 − ww = 12 −13 = −1N s 1 N s 1Qs11 lihtliigend2 kontaktjõuduQs12Q 2sr = 6 kontaktjõuduJoonis 3.3. Varrassüsteemi vabadusastec)l + r = 3k − w7 + 6 = 3*4 − wNw = 12 − 13 = −1s2N2 lihtliigendit4 kontaktjõudus2Q s 3Q s 23NN4s3s3Q 3s

3.6 Arvutusskeemi vabadusaste 85a)Tala on koormatud vertikaalse koormusega, siis on kaks (m = 2) võrrandit iga tala jaoksX X 6 X 7 X 81 00001000 11101011110101000 1110101000 11101011 2 3 4000 1110101000 1110101000 11135 6 89 1101011201000 111010101010100000 11111010100000 1111100000 11111010100000 111110100000011111101000000111111 01000 1 1101000 11101010100000 1111100000 111110100000 1111101X 3X 4X 5000000111111 000 1 11X 2X AX Lb)k = 4 tala, t = 5 toereaktsiooni, r = 3 kontaktjõuduKontaktjõu positiivne suundX 1 − X 5X 6 − X 8− toereaktsioonid− kontaktjõudJoonis 3.4. Gerberi tala toereaktsioonid ja kontaktjõudLihtliigendite mõistet käsitletakse jõumeetodis (vt avaldis (9.9), lk 220). Joonisel 3.3a) näidatud raam koosneb neljast elemendist (k = 4 ). Raamil on seitse toereaktsiooni(t = 7 ) ja kuus kontaktjõudu (r = 6, joonis 3.3 b) c)). Iga elemendi jaoks saab kirjutadakolm tasakaaluvõrrandit. Asetades need andmed võrrandisse (3.9), saamew = 3 · 4 − 2 · 3 − 7 = 12 − 13 = −1 (3.10)Vaadeldud raam on ühekordselt staatikaga määramatu (w = −1).Kasutame kontaktjõudude asemel kahekordset lihtliigendite mõistet 2 · l = 2 · 3.Siin ei tohi toeliigendeid lihtliigendite arvu hulka arvata, kuna toed võetakse arvessetoereaktsioonide arvuga t. Nüüd saame võrrandi (3.8) kirjutada kujul (3.11)7 + 2 · 3 = 3 · 4 − w, ⇒ w = −13 + 12 = −1 (3.11)millest saame sama tulemuse kui võrrandist (3.10).a)Hetkmuutuva0000 11110000 1111Kolm liigendit ühel sirgelb)a0000 11110000 1111Kolm liigendit ei ole ühel sirgelccFFb00 1100 11b00 1100 1100 11Joonis 3.5. Hetkmuutuv tala

86 3. Varrassüsteemide liigitus8OHetkmuutuvTugede suunadlõikuvad ühes punktis000 11100 1100 11Joonis 3.6. Pöörde hetkkese000 111Arvutame joonisel 3.4 näidatud Gerberi tala vabadusastme w. Tala koosneb neljastosast (k = 4 ). Tala 1–3, tala 3–6, tala 6–8 ja tala 8–12. Tala on koormatud vertikaalsekoormusega. Iga tala osa jaoks on siis kaks (m = 2 ) tasakaaluvõrrandit. Gerberi talalon viis toereaktsiooni (t = 5 ) ja kolm kontaktjõudu (r = 3 ). Avaldisest (3.4) leiamet + r = m · k − w, 5 + 3 = 2 · 4 − w, ⇒ w = 8 − 8 = 0 (3.12)Vaadeldava tala (Gerberi tala) toereaktsioonid ja kontaktjõud on staatikagamääratavad (w = 0). Siin avaldis (3.7) ei kehti. Kontaktpinnal (liigendis) on ainultüks kontaktjõud ja Gerberi tala kontaktjõudude arv r (r ∝ 1 · l) on võrdne liigenditearvuga l.Võrrandisüsteemi koostamise näide nende toereaktsioonide ja kontaktjõude arvutamisekson toodud arvutuspäevikus 4.2 (lk 100).Avaldises (3.4) nullvabadusaste (w = 0) ei ole piisav tingimus toereaktsioonide jakontaktjõudude arvutamiseks. Vajalikuks tingimuseks on, et nullvabadusastmega toereaktsioonideja kontaktjõudude arvutamiseks koostatud võrrandisüsteemi determinantoleks nullist erinev. Kui nullvabadusastmega toereaktsioonide ja kontaktjõudude arvutamisekskoostatud võrrandisüsteemi determinant on null, siis sellist arvutusskeeminimetatakse hetkmuutuvaks.Joonisel 3.5 a) näidatud talal on nullvabadusaste (w = 0), kuid toereaktsioonid V aja V b pole arvutatavad tasakaaluvõrranditest. Nende arvutamiseks koostatud võrrandi-a)cdb)cc’dd’ϑϑa000 111000 111b000 111000 111a000 111000 111b000 111000 111Joonis 3.7. Varrasahel

3.7 Arvutusskeemi pooluste plaan 87süsteemi determinant võrdub nulliga.Kui kujund on kinnitatud kolme toesidemega nii, et nende sihid lõikuvad ühes punktis(kui see punkt on lõpmatuses, siis need sihid on paralleelsed) (vt joonis 3.6), siis sellinekinnitus lubab hetkelist pööret ümber punkti O.Kui joonisel 3.7 a) näidatud raami jäigad sõlmed asendada liigenditega (joonis 3.7b)) siis saame geomeetriliselt muutuva süsteemi – varrasahela.Joonisel 3.8 on talaga a–b ühendatud uus sõlm c kahe varda a–c ja b–c abil. Need vardada–c ja b–c ei asetse ühel sirgel. Nii võib geomeetriliselt muutumatule arvutusskeemilelisada uue sõlme kahe vardaga, mis ei asetse ühel sirgel. Saadud uus arvutuskeem ongeomeetriliselt muutumatu. Sõlme c võib ühendada ka rohkem kui kahe vardaga, kuidsiis võib muutuda varrassüsteem staatikaga määramatuks.ca000 111000 111b000 111000 111Joonis 3.8. Geomeetriliselt muutumatu arvutusskeem3.7 Arvutusskeemi pooluste plaanKujundi a–b (joonis 3.9) liikumist asendisse a’–b’ võib vaadelda kui pööret ümber punktiO. Punktide a ja b kiirustega v a ja v a risti tõmmatud sirged lõikuvad punktis O, midanimetatakse pöörde hetkkeskmeks või hetkpooluseks.Hetkpoolust, mille ümber kujund pöörleb, nimetatakse peapooluseks.Kui kujund pöörleb ümber liikumatu liigendtoe (joonis 3.10 (a)), siis peapooluslangeb ühte liikumatu liigendtoe (joonis 3.1) liigendiga. Polaarkiir ja liikumise suundOHetkpoolus (pöörde hetkkese)ϑPolaarkiirPolaarkiirb’v aa’vbabJoonis 3.9. Hetkpoolus

88 3. Varrassüsteemide liigitusPolaarkiir2Polaarkiir2Kõrvalpoolus (i,j)jLiikumissuundPeapoolus asub polaarkiireliPaindemomendi liigend(0,1) Peapoolus00000 1111100000 11111Paigalseisev liigendtugi00000 11111(a) Peapoolus toelLiikumissuund100000 11111 Liikuv liigendtugi00000 11111(b) Peapoolus kiirel.(c) Kõrvalpoolus M liigendisLiikumissuundij(i,j)8PolaarkiirPõikijõu liigend.(d) Kõrvalpoolus Q liigendis8Polaarkiir(i,j)LiikumissuundijNormaaljõu liigend(e) Kõrvalpoolus N liigendisJoonis 3.10. Peapoolused ja kõrvalpoolusedon risti (joonis 3.10 (a)). Kujundi k peapoolust tähistatakse (0,k) või (k,0). Joonisel3.10 (a) on tähistus (0,1).Kui kujund on seotud liikuva liigendtoega (joonis 3.10 (b)), siis peapoolus asubpolaarkiirel, mis on risti liikumise suunaga.Järgnevalt vaatleme juhte, kus kujundid on ühendatud liigenditega (joonis 3.2).Kujundite i ja j vastastikune pööre toimub ümber momendi liigendi (joonis 3.10 (c)).See liigend on kujundite i ja j kõrvalpooluseks (i,j). Kõrvalpoolust tähistatakse (i,j).Kui kujundid i ja j on ühendatud põikjõu liigendiga (joonis 3.2), siis kõrvalpoolus(i,j) on polaarkiirel lõpmatuses → ∞ (joonis 3.10 (d)).Kui kujundid i ja j on ühendatud normaaljõu liigendiga (joonis 3.2), siis kõrvalpoolus(i,j) on polaarkiirel lõpmatuses → ∞ (joonis 3.10 (e)).(j,0)Polaarkiir(i,j)PolaarkiirLiikumissuundi(i,0)000 111000 111j(j,k)Liikumissuundk00 1100 11(k,o)(i,k)Joonis 3.11. Mehhanism

3.7 Arvutusskeemi pooluste plaan 89Lihtne mehhanism on kujutatud joonisel 3.11, kus omavahel on ühendatud kolmvarrast i, j ja k. Nende varraste peapoolused on (i,0), (j,0) ja (k,0). Varraste i, j ja j,k kõrvalpoolused on vastavalt (i,j) ja (j,k) (joonis 3.11).3.7.1 Pooluste plaani kasutamise näide 3.1Näide 3.1 Vaatleme ühe vabadusastmega varrasahela varraste pöördenurkade seoseid.Viltu olevate postidega raamide varrasahela pöörded leitakse poolusplaanist (joonis3.12). Varrasahela ühele vardale antakse ühikpööre ja teiste varraste pöörded leitakseselle varda pöörde funktsioonina.Joonisel 3.12 kujutatud varrasahela paigutusolukorras ψ 1 pöörduvad vardad ca ja db üm-b)(ab,0)peapoolusϑ = ϑ ab,0ϑ = ϑ ab,0a)a00 11 c00 11b00 11d00 11H H*kõrvalpoolus a ϑ ab,0 b’aa’ bkõrvalpoolus bϑ bd,0ϑ ac,0ψ 1c0011(ac,0)d (bd,0)000 11100 11peapoolus000 111peapoolusL L*Joonis 3.12. Poolusplaan ja varraste pöördedber toesõlme c ja d. Nende varraste peapoolusteks on toesõlmed c ≡ O ac,0 ja d ≡ O bd,0 .Liigend a ühendab vardaid ac ja ab ning on nende varraste liikumise hetkpoolus.Varda ab peapoolus asub vektoriga aa →′ risti oleval sirgel. Liigend b ühendab vardaid abja db ning on nende varraste liikumise hetkpoolus. Varda ab peapoolus asub ka vektoriga→bb ′ risti oleval sirgel. Nende risti olevate sirgete lõikepunktiks on O ab,0 . See punkt O ab,0on varda ab peapoolus. Varras ab pöördub ümber peapooluse O ab,0 uude asendisse a ′ b ′ .Paigutusolukorras ψ 1 antakse vardale ab pöördenurk θ ac,0 = 1 (vt joonist 3.12). Kolmnurkadel∆aa ′ O ab,0 ja ∆aa ′ c on ühine külg aa ′ . Sellest tingimusest saameH · θ ac,0 = −H * · θ ab,0θ ab,0 = − H H * · θ ac,0 (3.13)

90 3. Varrassüsteemide liigitusKolmnurkadel ∆bb ′ O ab,0 ja ∆bb ′ d on ühine külg bb ′ . Siit saamebO ab,0 · θ ab,0 = −bd · θ bd,0θ bd,0 = − bO ab,0bd· θ ab,0 (3.14)Seoses (3.14) avaldame pöörde θ ab,0 pöörde θ ac,0 kauduθ bd,0 = H H * bO ab,0bd· θ ac,0 = θ ac,0 (3.15)

4. Staatikaga määratavmitmesildeline talaLoeng 2 2 : Mitmesildelise tala mõju-Loeng 1 1 : Mitmesildeline tala. Näide 4.1. Näide 4.2.joonte kasutamine. Näide 2.1. Näide 4.44.1 Staatikaga määratav mitmesildeline talaMitmesildelise tala staatikaga määratavust kirjeldasime avaldisega (3.12) (lk 86), kusstaatikaga määratavuse vajalik tingimus nõuab vabadusastmete arvuks nulli (w = 0 ).Pikijõu puudumisel saame avaldiset + r = 2k − w, kus w = 0 (4.1)siint – toereaktsioonide arv (toereaktsiooni tala pikisuunas ei arvestata),r – kontaktjõudude arv (arvesse võtame põikjõule vastavad kontaktjõud nii, et r = l),l – lihtliigendite arv (joonis 3.2),k – tala osade arv (nii põhi- kui ka lisaosad, vt lõiku 4.2),w – vabadusastmete arv.Mitmesildelise tala staatikaga määratavuse vajaliku tingimuse (4.1) võib kirjutadakujult + l = 2k − w, kus w = 0 (4.2)Liigendite asetus peab olema niisugune, mis tagab mitmesildelise tala geomeetrilisemuutumatuse.Geomeetriliselt muutumatus staatikaga määratavas mitmesildelises talas ei ole ühessildes rohkem kui kaks ja kahes naabersildes rohkem kui kolm liigendit. Kahes naabersildespeab olema vähemalt üks liigend [Rää75].Staatikaga määratud mitmesildelist tala nimetatakse Gerberi 3 4 talaks.4.2 Põhi- ja lisaosadStaatikaga määratavad mitmesildelised talad koosnevad põhi- ja lisaosadest. Põhiosa ongeomeetriliselt muutumatu ka siis, kui naaberosad on eemaldatud. Lisaosad muutuvad1 ./videod/MitmesildelisedTalad1.html2 ./videod/MitmesildelisedTalad2.html3 Heinrich Gerber, saksa insener, 1832–1912.4 http://de.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Gottfried_Gerber91

92 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]naaberosade eemaldamisel mehhanismideks.Joonisel 4.1 on põhiosad a–f 1 ja f 3 –g. Lisaosadeks on f 1 –f 2 ja f 2 –f 3 . Põhiosade jalisaosade vahel mõjuvad kontaktjõud (joonis 3.2).Kontaktjõudude F 1 , F 2 ja F 3 suunad on vastavuses põikjõudude suundadega. Staatikagamääratavust kontrollime avaldisega (4.1), kust = 5 – toereaktsioonide arv (toereaktsiooni tala pikisuunas ei arvestata),r = 3 – kontaktjõudude arv,k = 4 – tala osade arv (nii põhi- kui ka lisaosad),w – vabadusastmete arv.t + r = 2k − w, asetame valemisse 5 + 3 = 2 · 4 − w, saame w = 0 (4.3)Joonisel 4.2 on põhiosad a–f 1 ja f 2 –f 3 . Lisaosadeks on f 1 –f 2 ja f 3 –e. Põhi- jalisaosade vahel mõjuvad kontaktjõud (joonis 3.2).Kontaktjõudude F 1 , F 2 ja F 3 suunad on vastavuses põikjõudude suundadega. Staatikagamääratavust kontrollime avaldisega (4.1), kust = 5 – toereaktsioonide arv (toereaktsiooni tala pikisuunas ei arvestata),r = 3 – kontaktjõudude arv,k = 4 – tala osade arv (nii põhi- kui ka lisaosad),w – vabadusastmete arv.t + r = 2k − w, asetame valemisse 5 + 3 = 2 · 4 − w, saame w = 0 (4.4)Joonisel 4.3 on põhiosad a–f 1 ja f 3 –d. Lisaosadeks on f 1 –f 2 ja f 2 –f 3 . Põhiosade jalisaosade vahel mõjuvad kontaktjõud (joonis 3.2).Kontaktjõudude F 1 , F 2 ja F 3 suunad on vastavuses põikjõudude suundadega. Staatikagamääratavust kontrollime avaldisega (4.1), kust = 5 – toereaktsioonide arv (toereaktsiooni tala pikisuunas ei arvestata),q = 8 kN/m0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111a b f 1 c f 2 f de g30000 1111 000 111 000 111 0000 1111 000 111ABCDE1.5 2.7 2.1 3.5 2.13.6 4.27.7 4.6 1.0f 0000000000000011111111111111f 2 3F 2 F 300000000000000000001111111111111111111 F 2 0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111F 3f 0000000000000000000111111111111111111100000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 fF c f 2 3 de g1000 111 0000 1111 000 111F000000000000000000000111111111111111111111 1000000000000000000000111111111111111111111000 111f CDEa b 10000 1111 000 111ABJoonis 4.1. Gerberi tala 1 korrusskeem

4.2 Põhi- ja lisaosad 93q = 1.6 kN/m0000 111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111a 0000 1111 b f 1 f 000 111 c000 111 d000 111 e2f 30000 11110000 1111000 111000 111000 111ABCD10 m 2 6 m 2 10 m 1.8 8.2 mEf 1 00000000000001111111111111 f 2f 3 00000000000000001111111111111111000 111eF 1 F 2F 3000 111F 1 F F 23000000000000000000000000111111111111111111111111 f 1 f 2 000000000000000000000000000111111111111111111111111111 f0000 1111 a 0000 1111 b 000 111 c000 111 d 3E0000 11110000 1111000 111000 111ABCDJoonis 4.2. Gerberi tala 2 korrusskeemr = 3 – kontaktjõudude arv,k = 4 – tala osade arv (nii põhi- kui ka lisaosad),w – vabadusastmete arv.t + r = 2k − w, asetame valemisse 5 + 3 = 2 · 4 − w, saame w = 0 (4.5)Toereaktsioonide ja kontaktjõudude leidmiseks koostatakse võrrandid (t+r võrrandit).Selle võrrandisüsteemi võrrandite lahendamise järjekorra määramiseks on otstarbekaskoostada korrusskeem. Korrusskeemi joonistamisel (joonised 4.1 – 4.3) võib ette kujutada,et niisugune on montaaži järjekord. Põhiosad saab monteerida ilma naaberosadeta.Pärast korrusskeemi koostamist alustame kõige kõrgema korruse tasakaaluvõrranditelahendamisega. Leitud kontaktjõud rakendame vastupidises suunas alumisele korrusele(tala osale, millele ta toetub). Võrrandite lahendamisega ülevalpool olevalt korruseltmadalamale korrusele tulles leiame kontaktjõud ja toereaktsioonid.q = 2 kN/m0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111a b f 1 f 2 c f 3d00110000 1111 0000 1111 000 11100 11ABCD6.0 m 1.0 4.0 m 1.0 1.2 4.8 mM d0000000000000000011111111111111111f00000000000000000111111111111111111F 1F 2f 2c00000000000000000000000000001111111111111111111111111111 F F100000000001111111111 20000000000000000000000000000111111111111111111111111111100000000001111111111 f0000 1111 a0000 1111 b f 1 f 32 000 1110000 11110000 1111000 111F 3ABC 00000000000000000001111111111111111111F 300 11f 00000000000000000001111111111111111111 00 113 00 11 d00 11DM dJoonis 4.3. Gerberi tala 3 korrusskeem

94 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]q = 2 kN/m0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111a b f 1 f 2 c f 3d00110000 1111 0000 1111 000 11100 11ABCD6.0 m 1.0 4.0 m 1.0 1.2 4.8 mM d0000000000000000011111111111111111f00000000000000000111111111111111111F 1f 2cF 200000000000000000000000000001111111111111111111111111111 F F100000000001111111111 20000000000000000000000000000111111111111111111111111111100000000001111111111 f0000 1111 a0000 1111 b f 1 f 32 000 1110000 11110000 1111000 111F 3ABFC 00000000000000000001111111111111111111300 11f 00000000000000000001111111111111111111 00 113 00 11 d00 11DM diV6.50I4.00IIIII1.368.80M ep[kN.m]5.005.002.4 m3.0 m2.0 m5.176iVIIIIII0000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000006.006.8335.3676.006.633Q ep [kN]Joonis 4.4. Gerberi tala 3 epüüridTasakaaluvõrrandisüsteemi lahendamisel arvutiga ei ole korrusskeemi koostaminevajalik.4.3 Sisejõudude arvutusSisejõudude arvutust alustatakse pärast toereaktsioonide ja kontaktjõudude leidmist.Toereaktsioonidele tuleb teha kontrollarvutus (summeerida vertikaalsed jõud ja toereaktsioonid).Pärast seda leitakse lisa- ja põhiosade sisejõud nii, nagu leitakse lihttalalevõi konsoolidega talale. Lihttalale või konsoolidega talale sisejõudude leidmisega tehtitutvust tehnilises mehaanikas.Gerberi tala 3 sisejõudude epüürid on toodud joonisel 4.4.

4.4 Gerberi tala mõjujooned 954.4 Gerberi tala mõjujoonedStaatikaga määratud mitmesildelise tala (joonis 4.5) mõjujoonte leidmisel kasutamejoonisel 2.11 toodud konsoolidega tala paindemomendi ja põikjõu mõjujooni.0000 1111 a i 0000 1111 b f 1 f 2 000 111 c k 000 111 d f 30000 11110000 1111000 111000 1114 m3 mABCD10 m 2 6 m 2 10 m 1.8 8.2 m000 111 e000 111Ea0000 1111Af 1F 1F 1 F 2f 10000 1111 bf 20000 1111B"A"F 3f 2f 3F 2F 3cdf 3000 111 000 111CD000 111e000 111E0.5000B mj1.0000"C"0.3000" Q i "0.60000.40000.2000Q imj"M i"2.4000M i mj [m]40.80000.2000.70001" Q k "Q k mj10.30000.1800"M k "M kmj [m]0.200" vQ d"vQ dmjpQ mjd110.18001.2000C mj1.20001.00000.18000.60002.100031.8900"Q p d "Joonis 4.5. Gerberi tala 2 mõjujooned

96 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]Gerberi tala (joonis 4.5) toereaktsioonide A ja C mõjujoonte leidmisel joonistame vastavakonsoolidega tala (joonis 2.4) toereaktsioonide mõjujooned joonisele 4.5.Kui vaadeldava tala toereaktsioon sõltub naabertalal liikuvast ühikkoormusest, siisjätkame seda mõjujoont. Ühikjõu liikumisel sõlme f 2 , on jõud F 1 = 0 (joonis 4.5) jasellest tulenevalt B = 0. Selle väärtuse kanname joonisel 4.5 ühikjõu alla.Jätkame toereaktsiooni C mõjujoont sõlmest f 2 vasakule. Ühikjõu liikumisel sõlme f 1on reaktsioon F 2 = 0 ja sellest tulenevalt C = 0. Selle väärtuse kanname joonisel 4.5ühikjõu alla.Põikjõu Q i ja paindemomendi M i mõjujoonte leidmisel joonestame vastavad mõjujoonedjooniselt 2.11 joonisele 4.5 ringi. Ühikkoormuse liikumisel naaberosale jälgime reaktsiooniF 1 muutumist. Kui ühikjõud on sõlmes f 2 , siis F 1 = 0. Selle väärtuse kanname ühikjõualla (s.t sõlme f 2 alla).4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited4.5.1 Tala arvutusnäide 4.1 [slaidid] [.swf] [ekraanivideo]Näide 4.1 Koostada joonisel 4.6 näidatud staatikaga määratud tala paindemomendiM ja põikjõu Q epüür, ristlõike 4 ja 5 paindemomendi M 4 , põikjõu Q 4 ning põikjõuQ v 5 ja paindemomendi M 5 mõjujoon.Koostame taladele tasakaaluvõrrandid.a)01000 11101000 11101000 11101000 11101000 11101000 11101000 111010101000 11101000 1110101F = 20 kN F = 40 kN F = 30 kN1 2 3 F 4 = 100 kN F5= 20 kN018 kN/m01010100000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111101012 0000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111113 4 5 6 7 8 9 10 11 120000001111110100000001012 m 2 m 4 m 4 m 2 m 2 m 4 m 2 m 4 m 4 m00 1100 1100 11 F00 113 000 111000 11100 11q000 111000 11100 110000000000000000111111111111111100000000000000001111111111111111000 111 00 11FX X 7 = 44.00 kN 8 = − 34.00 kN2qX 7 = 44.0 kNX0000000000000000000000000001111111111111111111111111118 = − 43.00 kNF 4000000000000000000000000000111111111111111111111111111F5XX 3= 125.00 kN6 = 39.00 kNX 4= 90.00 kN X 5= 64.00 kN0000 111100 11000 111000 111X 6 = 39.00 kN000 111000 11100 11H 1= 0 00 11X 1 − X 5− toereaktsioonidXX 6 − X 8− kontaktjõud= 59.00 kNKontaktjõu positiivne suund LX 1= − 236.00 kN . m F100 11b) X AX 20101010000011111010000011111010100000111110101010000011111000001111101111111 000000011Joonis 4.6. Gerberi tala 40101010000011111000001111101000000111111 00111 m

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 97Tala 6–8 tasakaaluvõrrandidTala 8–12 tasakaaluvõrrandidTala 3–6 tasakaaluvõrrandidΣM 6 = 0; X 8 · 6 + F 3 · 2 + q · 6 · 3 = 0 (4.6)ΣM 8 = 0; −X 7 · 6 + F 3 · 4 + q · 6 · 3 = 0 (4.7)ΣM 11 = 0; −X 8 · 10 − X 4 · 8 + F 4 · 4 − F 5 · 1 = 0 (4.8)ΣM 9 = 0; −X 8 · 2 + X 5 · 8 − F 4 · 4 − F 5 · 9 = 0 (4.9)ΣM 3 = 0; −X 7 · 10 + X 3 · 8 − F 2 · 4 − q · 10 · 5 = 0 (4.10)ΣM 5 = 0; −X 7 · 2 − X 6 · 8 + F 2 · 4 + q · 10 · (5 − 2) = 0 (4.11)Tala 1–3 tasakaaluvõrrandidΣZ = 0; X 6 − X 2 + F 1 = 0 (4.12)ΣM 1 = 0; X 1 + X 6 · 4 + F 1 · 4 = 0 (4.13)Tundmatute juures olevad kordajad kirjutame võrranditesse. Need võrrandid moodustavadvõrrandisüsteemi (8x8)A · X + B = 0 (4.14)Võrrandisüsteemi (4.14) koostamine ja lahendamine GNU Octave’iga on esitatud arvutuspäevikus4.2.Võrrandisüsteemi lahendame Gaussi 56 meetodiga, mis GNU Octave’is kirjutataksejärgmiselt:X = −A∖B (4.15)Võrrandisüsteemi (4.14) võib lahendada ka käsitsi, kui kasutada korrusskeemi mõistet.Alustame kõige kõrgemast korrusest (tala 6–8, võrrandid (4.6), (4.7)). Siit leiame kontaktjõu(põikjõu) X 8 ja X 7 . Edasi tuleme madalamale korrusele (tala 8–12, võrrandid(4.8), (4.9)). Nendest võrranditest leiame toereaktsiooni X 4 ja X 5 (kontaktjõud X 8 onjuba teada). Järgmisena saame tala 3–6 võrranditest (4.10), (4.11) toereaktsiooni X 3ja kontaktjõu X 6 (kontaktjõud X 7 on juba teada). Lõpuks leiame tala 1–3 võrranditest(4.12), (4.13) toereaktsiooni X 2 ja X 1 (kontaktjõud X 5 on juba teada).Arvutuspäevikus 4.1 on toereaktsioonid, kontaktjõud ja sisejõud arvutatud GNUOctave’iga kui kalkulaatoriga. Käsud on eelnevalt salvestatud faili gerberiKasud.odt 7 jasiis asetatud GNU Octave’i käsureale. Sama Gerberi tala on arvutatud EST-meetodiganäites 14.7 lk 453.5 Carl Friedrich Gauss, saksa matemaatik, 1777–1855.6 http://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss7 ./octaveProgrammid/gerberiKasud.odt

98 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]Arvutuspäevik 4.1 Gerberi tala võrrandid (lahendatud kalkulaatoriga)octave-3.0.1:1> diary GerberiTala.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> GerberiTala-----------------L = 31KordaNT = 1J~oud ja koormusedF1 = 20F2 = 40F3 = 30F4 = 100F5 = 20q = 8-----------------Toereaktsioonidx1-toemoment l~oikes 1x2-vertikaalne tugi l~oikes 1x3-vertikaalne tugi l~oikes 5x4-vertikaalne tugi l~oikes 9x5-vertikaalne tugi l~oikes 11Tundmatud kontaktj~oudx6-p~oikj~oud l~oikes 3x7-p~oikj~oud l~oikes 6x8-p~oikj~oud l~oikes 8-----------------arvutan tala 6-7 toereaktsioonid X7 ja X8v~orrandist sumM6=0; -X8*6-(F3*2+q*6*3)=0saanX8=-(F3*2+q*6*3)/6X8 = -34v~orrandist sumM8=0; -X7*6+(F3*4+q*6*3)=0saanX7=(F3*4+q*6*3)/6X7 = 44kontrollin sumY=X7+F4+q*6-X8sumY = 0arvutan tala 8--12 toereaktsioonid X4 ja X5v~orrandist sumM9=0; -X5*8+(F4*4+F5*9+X8*2)=0saanX5=(F4*4+F5*9+X8*2)/8X5 = 64v~orrandist sumM11=0; -X4*8+(F4*4-X8*10-F5*1)=0saanX4=(F4*4-X8*10-F5*1)/8X4 = 90kontrollin sumY=-X8+F4+F5-X4-X5sumY = 0arvutan tala 3--6 toereaktsioonid X6 ja X3v~orrandist sumM3=0; -X3*8+(X7*10+F2*4+q*10*5)=0saanX3=(X7*10+F2*4+q*10*5)/8X3 = 125v~orrandist sumM5=0; -X6*8+(F2*4-X7*2+q*10*3)=0saanX6=(F2*4-X7*2+q*10*3)/8X6 = 39kontrollin sumY=F2+q*10+X7-X6-X3

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 99sumY = 0arvutan tala 1--3 toereaktsioonid X1 ja X2v~orrandist -X2+(F1+X6)=0saan X2=(F1+X6)X2 = 59v~orrandist X1+((F1+X6)*4)=0saan X1=-((F1+X6)*4X1 = -236Kontrollin tala 1-12 toereaktsioone SumYSumY= X2+X3+X4+X5-F1-F2-F3-F4-F5-q*(10+6)SumY = 0============================================================Arvutan Gerberi tala paindemomentearvutan tala 6--8 momendi M7=X7*2-q*2*1M7 = 72kontrolliks M7=-X8*4-q*4^2/2M7 = 72arvutan tala 8--12 momendid M9=X8*2M9 = -68arvutan momendi M10=-F5*5+X5*4M10 = 156arvutan momendi M11=-F5*1M11 = -20arvutan tala 3--6 momendid M4=X6*4-q*4^2/2M4 = 92arvutan momendi M5=-X7*2-q*2^2/2M5 = -104arvutan tala 1--3 momendi X1=-(X6+F1)*2X1 = -236M1 = -236Nende andmete p~ohjal saab joonistada M epüüriEpüüri kuju jaotatud koormuse q all============================================================P~oikj~oud talas 1-12arvutan p~oikj~ou Q1_3=X2Q1_3 = 59Q3_1 = 59arvutan p~oikj~ou Q3_4=X2-F1Q3_4 = 39arvutan p~oikj~ou Q4_3=X2-F1-q*4Q4_3 = 7arvutan p~oikj~ou Q4_5=Q4_3-F2Q4_5 = -33arvutan p~oikj~ou Q5_4=Q4_5-q*4Q5_4 = -65arvutan p~oikj~ou Q5_6=Q5_4+X3Q5_6 = 60arvutan p~oikj~ou Q6_5=Q5_4+X3-q*2Q6_5 = 44

100 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]arvutan p~oikj~ouQ6_7 = 44arvutan p~oikj~ouQ7_6 = 28arvutan p~oikj~ouQ7_8 = -2arvutan p~oikj~ouQ8_7 = -34arvutan p~oikj~ouQ8_9 = -34arvutan p~oikj~ouQ9_10 = 56arvutan p~oikj~ouQ10_11 = -44arvutan p~oikj~ouQ11_12 = 20Q6_7= Q6_5Q7_6= Q6_7-q*2Q7_8=Q7_6-F3Q8_7=Q7_8-q*4Q8_9=Q8_7Q9_10=Q8_9+X4Q10_11=Q9_10-F4Q11_12=Q10_11+X5============================================================Toereaktsioonid R=[X1 X2 X3 X4 X5]R =-236 59 125 90 64Kontaktj~oud CF=[X6 X7 X8]CF =39 44 -34P~oikj~oud QC=[Q3_4 Q6_7 Q8_9]QC =39 44 -34Nende andmete p~ohjal saab joonistada Q epüüri============================================================octave-3.0.1:4> diary offArvutuspäevikus 4.2 on toereaktsioonid, kontaktjõud ja sisejõud arvutatud GNUOctave’i koostatud programmiga GerberiTala.m 8Arvutuspäevik 4.2 Gerberi tala võrrandid (lahendatud arvutiga)octave-3.0.1:1> diary GerberiTala.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> GerberiTala-----------------L = 31KordaNT = 18 ./octaveProgrammid/GerberiTala.m

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 101J~oud ja koormusedF1 = 20F2 = 40F3 = 30F4 = 100F5 = 20q = 8-----------------Toereaktsioonidx1-toemoment l~oikes 1x2-vertikaalne tugi l~oikes 1x3-vertikaalne tugi l~oikes 5x4-vertikaalne tugi l~oikes 9x5-vertikaalne tugi l~oikes 11Tundmatud kontaktj~oudx6-p~oikj~oud l~oikes 3x7-p~oikj~oud l~oikes 6x8-p~oikj~oud l~oikes 8============================================================Koostame v~orrandisüsteemi A(8,8)*x+B(8,1)=0siin ei ole korrusskeem vajalikV~orrandid 1 ja 2; tala 6--8% sumM6=0; x8*6+F3*2+q*6*3=0A(1,8)=6; B(1,1)=F3*2+q*6*3;% sumM8=0; -x7*6+F3*4+q*6*3=0A(2,7)=-6; B(2,1)=F3*4+q*6*3;V~orrandid 3 ja 4; tala 8--12% sumM11=0; -x8*10-x4*8+F4*4-F5*1=0A(3,8)=-10; A(3,4)=-8; B(3,1)=F4*4-F5*1;% sumM9=0; -x8*2+x5*8-F4*4-F5*9=0A(4,8)=-2; A(4,5)=8; B(4,1)=-F4*4-F5*9;V~orrandid 5 ja 6; tala 3--6% sumM3=0; -x7*10+x3*8-F2*4-q*10*5=0A(5,7)=-10; A(5,3)=8; B(5,1)=-F2*4-q*10*5;% sumM5=0; -x7*2-x6*8+F2*4+q*10*(5-2)=0A(6,7)=-2; A(6,6)=-8; B(6,1)=F2*4+q*10*(5-2);V~orrandid 7 ja 8; tala 1--3% sumZ=0; x6-x2+F5=0;A(7,6)=1; A(7,2)=-1; B(7,1)=F5;% sumM1=0; x1+x6*4+F1*4=0;A(8,1)=1; A(8,6)=4; B(8,1)=F1*4;==================================================================V~orrandisüsteem A B==================================================================1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6.00 204.002 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -6.00 0.00 264.003 0.00 0.00 0.00 -8.00 0.00 0.00 0.00 -10.00 380.004 0.00 0.00 0.00 0.00 8.00 0.00 0.00 -2.00 -580.005 0.00 0.00 8.00 0.00 0.00 0.00 -10.00 0.00 -560.006 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -8.00 -2.00 0.00 400.00

102 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]7 0.00 -1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 20.008 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 4.00 0.00 0.00 80.00-----------------------------------V~orrandisüsteemi lahendamineX=-A\B;=============================================Toereaktsioonid ja kontaktj~oud X=============================================1 -236.00 - toemoment l~oikes 12 59.00 - vertikaalne tugi l~oikes 13 125.00 - vertikaalne tugi l~oikes 54 90.00 - vertikaalne tugi l~oikes 95 64.00 - vertikaalne tugi l~oikes 116 39.00 - kontaktj~oud l~oikes 37 44.00 - kontaktj~oud l~oikes 68 -34.00 - kontaktj~oud l~oikes 8-----------------------------------Toereaktsioonide kontrollSumZ=-X(2,1)-X(3,1)-X(4,1)-X(5,1)+F1+F2+F3+F4+F5+q*16SumZ = 0Toereaktsioonid R=[X1 X2 X3 X4 X5]R =-236 59 125 90 64Kontaktj~oud CF=[X6 X7 X8]CF =39 44 -34Sisej~oudude arvutamine ülekandev~orranditegaQa = 59Ma = -236Algparameetrid FA=[Qa Ma]FA =59 -236 % X2 X1Fjoud1 =20 4 % F140 8 % F2-125 12 % -X330 16 % F3-90 22 % -X4100 26 % F4-64 30 % -X520 31 % F5qkoormus1 =

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 1038 4 20 % qz 4.0 20.0============================================================Njaotust=jaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1);arvude suurim ühistegur - gcd(arvudS)tegur = 1minimaalne jaotuste arv - jaotus = L/tegurNT=Njaotust*KordaNT % jaotusi suurendatakse KordaNT kordaNT = 31TSj=talaFqQaMa(NT,L,QA,MA,Fjoud1,qkoormus1);TSjT=TSj;pealdis=’ Sisej~oudude jaotus talas ’;tabelXQM(TSjT,pealdis)%Sisej~oudude jaotus talas===================================I-Nr x Q M-----------------------------------1 0.00 59.000 -236.0002 1.00 59.000 -177.0003 2.00 59.000 -118.0004 3.00 59.000 -59.0005 4.00 59.000 0.0006 4.00 39.000 0.0007 5.00 31.000 35.0008 6.00 23.000 62.0009 7.00 15.000 81.00010 8.00 7.000 92.00011 8.00 -33.000 92.00012 9.00 -41.000 55.00013 10.00 -49.000 10.00014 11.00 -57.000 -43.00015 12.00 -65.000 -104.00016 12.00 60.000 -104.00017 13.00 52.000 -48.00018 14.00 44.000 0.00019 15.00 36.000 40.00020 16.00 28.000 72.00021 16.00 -2.000 72.00022 17.00 -10.000 66.00023 18.00 -18.000 52.00024 19.00 -26.000 30.00025 20.00 -34.000 0.00026 21.00 -34.000 -34.00027 22.00 -34.000 -68.00028 22.00 56.000 -68.00029 23.00 56.000 -12.00030 24.00 56.000 44.00031 25.00 56.000 100.000

104 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]32 26.00 56.000 156.00033 26.00 -44.000 156.00034 27.00 -44.000 112.00035 28.00 -44.000 68.00036 29.00 -44.000 24.00037 30.00 -44.000 -20.00038 30.00 20.000 -20.00039 31.00 20.000 0.00040 31.00 20.000 0.000============================================================%MiMaSg=minMaxGrafSisejoud(TSjT);maxQ=MiMaSg(1);minQ=MiMaSg(2);maxM=MiMaSg(3);minM=MiMaSg(4);octave-3.0.1:4> diary offGerberi tala (joonis 4.6) sisejõud on arvutuspäeviku 4.2 tabelis ”Sisejõudude jaotustalas” (lk 103) ja epüürid on näidatud joonisel 4.7. Need joonised on tehtud GNUOctave’i käsuga plot.M [kNm]−300−200−1000100236.0Gerberi tala 3.2.3 A; Paindemoment M92.0104.072.068.0156.00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30x [m]20.0Gerberi tala 3.2.3 A; Põikjõud QQ [kN]−80−60−40−20020406065.044.034.033.02.039.0 7.028.059.0 60.056.0 56.020.00 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30x [m]Joonis 4.7. Gerberi tala 4 sisejõudArvutuspäevikus 4.3 on toereaktsioonid, kontaktjõud ja sisejõud arvutatud GNUOctave’i koostatud programmiga spGerberiTala.m 9 Võrrandisüsteemi kordajatest onmoodustatud hõre maatriks (ingl sparse matrix). Suurte võrrandisüsteemide puhulhoitakse kokku mahtu ja aega. Hõredate võrrandisüsteemide lahendamisel ei tehta tehteidvõrrandisüsteemi kordajatega, mis on nullid.9 ./octaveProgrammid/spGerberiTala.m

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 105Arvutuspäevik 4.3 Gerberi tala võrrandid (koostatud hõreda maatriksina)octave-3.0.1:1> diary spGerberiTala.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spGerberiTala=================L = 31KordaNT = 1J~oud ja koormusedF1 = 20F2 = 40F3 = 30F4 = 100F5 = 20q = 8-----------------Toereaktsioonidx1-toemoment l~oikes 1x2-vertikaalne tugi l~oikes 1x3-vertikaalne tugi l~oikes 5x4-vertikaalne tugi l~oikes 9x5-vertikaalne tugi l~oikes 11Tundmatud kontaktj~oudx6-p~oikj~oud l~oikes 3x7-p~oikj~oud l~oikes 6x8-p~oikj~oud l~oikes 8========================================Koostame v~orrandisüsteemi A(8,8)*x+B(8,1)=0siin ei ole korrusskeem vajalik========================================V~orrandid 1 ja 2; tala 1--3% 1. sumM1=0; x1+x6*4+F1*4=0;spSisse=spIN(1,1,1.0);spSisse=spIN(1,6,4.0); B(1,1)=F1*4;% 2. sumZ=0; x6-x2+F5=0;spSisse=spIN(2,6,1.0);spSisse=spIN(2,2,-1.0); B(2,1)=F5;V~orrandid 3 ja 4; tala 3--6% 3. sumM3=0; -x7*10+x3*8-F2*4-q*10*5=0spSisse=spIN(3,7,-10.0);spSisse=spIN(3,3,8.0); B(3,1)=-F2*4-q*10*5;% 4. sumM5=0; -x7*2-x6*8+F2*4+q*10*(5-2)=0spSisse=spIN(4,7,-2.0);spSisse=spIN(4,6,-8.0); B(4,1)=F2*4+q*10*(5-2);V~orrandid 5 ja 6; tala 6--8% 5. sumM6=0; x8*6+F3*2+q*6*3=0spSisse=spIN(5,8,6.0); B(5,1)=F3*2+q*6*3;% 6. sumM8=0; -x7*6+F3*4+q*6*3=0spSisse=spIN(6,7,-6.0); B(6,1)=F3*4+q*6*3;V~orrandid 7 ja 8; tala 8--12% 7. sumM11=0; -x8*10-x4*8+F4*4-F5*1=0spSisse=spIN(7,8,-10.0);

106 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]spSisse=spIN(7,4,-8.0); B(7,1)=F4*4-F5*1;% 8. sumM9=0; -x8*2+x5*8-F4*4-F5*9=0spSisse=spIN(8,8,-2.0);spSisse=spIN(8,5,8.0); B(8,1)=-F4*4-F5*9;% nullist erinevaid v~orrandisüsteemi (8x8) kordajaid on 14% in - rea indekseid (i) sisaldav vektorin=spSisse(1,:)in =1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 7 8 8% jm - veeru indekseid (j) sisaldav vektorjm=spSisse(2,:)jm =1 6 6 2 7 3 7 6 8 7 8 4 8 5% sv - vektor v~orrandisüsteemi kordajatest A(i,j) (14 nullist erinevat arvu)sv=spSisse(3,:)sv =1 4 1 -1 -10 8 -2 -8 6 -6 -10 -8 -2 8% H~ore maatriks esitatakse vektorina (järjekord erineb sisseloetutest sv-s),% kus nullist erinevad elemendid on näidatud veergude järjekorras-----------------------------------H~ore (sparse) maatriks spA=sparse(in,jm,sv)-----------------------------------spA =Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 14)(1, 1) -> 1(2, 2) -> -1(3, 3) -> 8(7, 4) -> -8(8, 5) -> 8(1, 6) -> 4(2, 6) -> 1(4, 6) -> -8(3, 7) -> -10(4, 7) -> -2(6, 7) -> -6(5, 8) -> 6(7, 8) -> -10(8, 8) -> -2% Kontrolliks v~oib h~oreda maatriksi spA% teisendada täismaatriksiks A% A=full(spA)

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 107----------------------------------% V~orrandisüsteemi vabaliikmete vektorB =8020-560400204264380-580-----------------------------------H~oreda v~orrandisüsteemi lahendamineX=-spA\B;=============================================Toereaktsioonid ja kontaktj~oud X=============================================1 -236.00 - toemoment l~oikes 12 59.00 - vertikaalne tugi l~oikes 13 125.00 - vertikaalne tugi l~oikes 54 90.00 - vertikaalne tugi l~oikes 95 64.00 - vertikaalne tugi l~oikes 116 39.00 - kontaktj~oud l~oikes 37 44.00 - kontaktj~oud l~oikes 68 -34.00 - kontaktj~oud l~oikes 8-----------------------------------Toereaktsioonide kontrollSumZ=-X(2,1)-X(3,1)-X(4,1)-X(5,1)+F1+F2+F3+F4+F5+q*16SumZ = 0================================Qa = 59Ma = -236Algparameetrid FA=[Qa ja Ma]FA =59 -236Toemoment X1 ja toereaktsioon X2 v~oetakse arvesse algparameetritegaja järgnevasse loetelusse neid ei sisestata%Gerberi tala (joonis 4.6) sisejõud on toodud arvutuspäeviku ”Gerberi tala võrrandid(lahendatud arvutiga)” tabelis ”Sisejõudude jaotus talas” (lk 103) ja epüürid on näidatudjoonisel 4.7. Need joonised on tehtud GNU Octave’i käsuga plot.

108 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]4.5.2 Tala mõjujoonte koostamise näide 4.2 [slaidid] [.swf]Näide 4.2 Mõjujoonte konstrueerimiseks vaatleme korrusskeemi joonisel 4.8. Alustamestaatiliselt määratud mitmesildelise tala (Gerberi tala) ristlõikes 4 paindemomendi M 4 mõjujoonekonstrueerimist. Ristlõige 4 asub talas 3–6, mis on konsooliga tala. Konsooliga talamõjujooned on joonisel 2.10 ja 2.11. Koostame paindemomendi M 4 mõjujoone talale 3–6.Edasi vaatleme ühikjõu liikumist tala naaberosadel. Kui ühikjõud liigub tala naaberosal ”alumiselkorrusel” (tala 1–3), siis see koormus talas 3–6 sisejõude ei tekita ja M 4 mõjujooneväärtused on tala 1–3 (ühikjõu all) ulatuses null. Kui ühikjõud liigub tala naaberosal ” ülemiselkorrusel” (tala 6–8), siis see koormus põhjustab talas 3–6 sisejõude. Talas 6–8 M 4 mõjujoonon sirgjoon. Leiame mõjujoone väärtused liigendis 6 ja 8. Kui ühikjõud asub liigendis 8, siisjõudu ei kanta üle talale 3–6 ja mõjujoone M 4 väärtus on null. Kui ühikjõud asub liigendis 6,on mõjujoone M 4 väärtus ühine nii talal 6–8 kui ka talal 3–6 (-1.0000). Ühendame mõjujoone01000 1110101000 1110101000 1110101000 1110101000 1110101000 11101000 111010101000 11101000 1110101012 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120101010000011111010000011111010100000111110101010000011111000001111101111111 0000000110000001111110100000001012 m 2 m 4 m 4 m 2 m 2 m 4 m 2 m 4 m 4 m0101010000011111000001111101000000111111 00111 m00 1100 1100 1100 114500 1100 11000 111000 111000 111000 1112.00001.00000.6667M 4 mj[m]41Q 4 mj1M 5 mj2.00001.33330.50000.50000.25000.1667[m]1.00000.6667Q 5p mj1.0000Q 5vmj10.25000.1667Joonis 4.8. Gerberi tala 4 mõjujooned

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 109M 4 väärtused liigendis 6 ja 8 sirgega. Liigendis on sirge murdepunkt. Kui ühikjõud liigub talale8–12, siis jõu ülekannet talale 3–6 ei toimu ja ühikjõu all on paindemomendi M 4 mõjujooneväärtus null.Põikjõu Q 4 konstrueerimisel võtame arvesse, et ristlõige 4 asub konsooliga tala sildes.Konsooliga tala põikjõu mõjujooned on esitatud joonisel 2.10 ja 2.11. Sildes asuva ristlõikejaoks põikjõu mõjujoone konstrueerimist vaatlesime joonisel 2.8. Pikendame sirged tala lõpuni.Nii saame Q 4 mõjujoone (joonis 4.8) tala 3–6 ulatuses. Edasi vaatleme ühikjõu liikumist talanaaberosadel. Kui ühikjõud liigub tala naaberosal ”alumisel korrusel” (tala 1–3), siis seekoormus talas 3–6 sisejõude ei tekita ja Q 4 mõjujoone väärtused on tala 1–3 (ühikjõu all)ulatuses null. Kui ühikjõud liigub tala naaberosal ” ülemisel korrusel” (tala 6–8), siis see koormuspõhjustab talas 3–6 sisejõude. Talas 6–8 Q 4 mõjujoon on sirgjoon. Leiame mõjujooneväärtused liigendis 6 ja 8. Kui ühikjõud asub liigendis 8, siis jõudu ei kanta üle talale 3–6ja mõjujoone Q 4 väärtus on null. Kui ühikjõud asub liigendis 6, on mõjujoone Q 4 väärtusühine nii talal 6–8 kui ka talal 3–6 (-0.2500). Ühendame mõjujoone Q 4 väärtused liigendis 6ja 8 sirgega. Liigendis on sirge murdepunkt. Kui ühikjõud liigub talale 8–12, siis jõu ülekannettalale 3–6 ei toimu ja ühikjõu all on paindemomendi Q 4 mõjujoone väärtus null.Paindemoment M 5 asub tala 3–6 toel 5. Kui ühikkoormus liigub tala 3–6 sildes, siis toel onpaindemoment M 5 null. Kui ühikjõud asub tala 3–6 otsas liigendis 6, siis toel on paindemomendiväärtus -2.0000. Selle väärtuse kanname ühikjõu alla (joonis 4.8). Parempoolse konsooligatala parempoolsel toel paindemomendi koostamist vaatlesime joonistel 2.10 ja 2.11.Kui ühikjõud liigub tala naaberosal ”alumisel korrusel” (tala 1–3), siis see koormus talas 3–6sisejõude ei tekita ja M 5 mõjujoone väärtused on tala 1–3 (ühikjõu all) ulatuses null. Kuiühikjõud liigub tala naaberosal ” ülemisel korrusel” (tala 6–8), siis see koormus põhjustab talas3–6 sisejõude. Talas 6–8 M 5 mõjujoon on sirgjoon. Leiame mõjujoone väärtused liigendis 6 ja8. Kui ühikjõud asub liigendis 8, siis jõudu ei kanta üle talale 3–6 ja mõjujoone M 5 väärtuson null. Kui ühikjõud asub liigendis 6, on mõjujoone M 5 väärtus ühine nii talal 6–8 kui katalal 3–6 (-2.0000). Ühendame mõjujoone M 5 väärtused liigendis 6 ja 8 sirgega. Liigendis onsirge murdepunkt. Kui ühikjõud liigub talale 8–12, siis jõu ülekannet talale 3–6 ei toimu jaühikjõu all on paindemomendi M 5 mõjujoone väärtus null.Põikjõud Q p 5 asub tala 3–6 toest 5 paremal. See ristlõige asub tala 3–6 parempoolsel konsoolil.Põikjõu Q p 5 mõjujoone väärtus konsoolil on 1.0000. Kui ühikkoormus liigub tala 3–6 sildes,siis toel on põikjõud Q p 5 null. Parempoolse konsooliga tala põikjõu koostamist vaatlesime joonistel2.10 ja 2.11. Edasi vaatleme ühikjõu liikumist tala naaberosadel. Kui ühikjõud liigub talanaaberosal alumisel korrusel” (tala 1–3), siis see koormus talas 3–6 sisejõude ei tekita ja Q p”5mõjujoone väärtused on tala 1–3 (ühikjõu all) ulatuses null. Kui ühikjõud liigub tala naaberosalülemisel korrusel” (tala 6–8), siis see koormus põhjustab talas 3–6 sisejõude. Talas 6–8”Q p 5 mõjujoon on sirgjoon. Leiame mõjujoone väärtused liigendis 6 ja 8. Kui ühikjõud asub liigendis8, siis jõudu ei kanta üle talale 3–6 ja mõjujoone Q p 5 väärtus on null. Kui ühikjõud asubliigendis 6, on mõjujoone Q p 5 väärtus ühine nii talal 6–8 kui ka talal 3–6 (1.0000). Ühendamemõjujoone Q p 5 väärtused liigendis 6 ja 8 sirgega. Liigendis on sirge murdepunkt. Kui ühikjõudliigub talale 8–12, siis jõu ülekannet talale 3–6 ei toimu ja ühikjõu all on paindemomendi Q p 5mõjujoone väärtus null.Põikjõud Q v 5 asub tala 3–6 toest 5 vasakul. See ristlõige asub tala 3–6 sildes. Tala põikjõumõjujooned on esitatud joonisel 2.10 ja 2.11. Sildes asuva ristlõike jaoks põikjõu mõjujoonekonstrueerimist vaatlesime joonisel 2.8. Pikendame sirged tala lõpuni. Üleminek ühelt sirgeltteisele sirgele toimub vahetult toest 5 vasakul. Tala parempoolses otsas oleva mõjujoone Q v 5

110 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]väärtuse arvutame sarnastest kolmnurkadest (-0.2500). Nii saame Q v 5 mõjujoone (joonis 4.8)tala 3–6 ulatuses. Edasi vaatleme ühikjõu liikumist tala naaberosadel. Kui ühikjõud liigub talanaaberosal alumisel korrusel” (tala 1–3), siis see koormus talas 3–6 sisejõude ei tekita ja Q v”5mõjujoone väärtused on tala 1–3 (ühikjõu all) ulatuses null. Kui ühikjõud liigub tala naaberosalülemisel korrusel” (tala 6–8), siis see koormus põhjustab talas 3–6 sisejõude. Talas 6–8”Q v 5 mõjujoon on sirgjoon. Leiame mõjujoone väärtused liigendis 6 ja 8. Kui ühikjõud asub liigendis8, siis jõudu ei kanta üle talale 3–6 ja mõjujoone Q v 5 väärtus on null. Kui ühikjõud asubliigendis 6, on mõjujoone Q v 5 väärtus ühine nii talal 6–8 kui ka talal 3–6 (-0.2500). Ühendamemõjujoone Q v 5 väärtused liigendis 6 ja 8 sirgega. Liigendis on sirge murdepunkt. Kui ühikjõudliigub talale 8–12, siis jõu ülekannet talale 3–6 ei toimu ja ühikjõu all on paindemomendi Q v 5mõjujoone väärtus null.4.5.3 Tala arvutusnäide 4.3Näide 4.3 Koostada joonisel 4.9 näidatud staatikaga määratud tala paindemomendi M japõikjõu Q epüür, ristlõike i ja k paindemomendi M i , põikjõu Q i ning põikjõu Q k ja paindemomendiM k mõjujoon.Arvutuspäevik 4.4 Toereaktsioonide arvutusoctave:1> diary toereaktsioonid1.outoctave:2> diary onoctave:3> X5=2.4*15/2X5 = 18octave:4> X6= -X5X6 = -18=================================================octave:5> % momentide summa toe a suhtesoctave:5> % -X2*4.8+(40*1.6+40*3.2+15*1.2*5.4+ ...(X5+20)*6.0-20*1.2-10*1.2*0.6)=0octave:5> X2=(40*1.6+40*3.2+15*1.2*5.4+(X5+20) ...6.0-20*1.2-10*1.2*0.6)/4.8X2 = 101.25octave:6> % momentide summa toe b suhtesoctave:6> % -X1*4.8+(20*6.0+10*1.2*5.4+40*3.2+ ...40*1.6-15*1.2*0.6-(18.0+X5.0)*1.2)=0octave:6> X1=(20*6.0+10*1.2*5.4+40*3.2+40*1.6- ...15*1.2*0.6-(X5.0+20.0)*1.2)/4.8X1 = 66.750octave:7> % momentide summa toe d suhtesoctave:7> % -X3*4.5+((40-X6)*6.9+10*3*1.5+ ...30*1.5-20*1.2)=0octave:7> X3=((40-X6)*6.9+10*3*1.5+30*1.5- ...20*1.2)/4.5X3 = 103.60octave:8> % momentide summa toe c suhtesoctave:8> % -X4*4.5+(-(-X6+40.0)*2.4+ ...10*3.0*3.0+30*3.0+20*5.7)=0

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 11120 kN 40 kN 40 kN 20 kN 40 kN10 kN/m 15 kN/m00000011111100000001111111 000000000000111111111111000000111111 a j k b00000001111111 000000000000111111111111 g e01010101i010100000 111110101000000111111010100000 111110130 kN 20 kN10 kN/m00000000000011111111111100000000000011111111111101m n d 011.2 1.6 1.6 1.6 1.2 2.4 2.4 1.5 1.5 1.5 1.21.2 4.8 m 6.0 m 4.5 m 1.215 kN/m00000000000011111111111120 kN00000000000011111111111140 kN 40 kN X 5 = 18.0 X = −18.0630 kN 20 kN10 kN/m 15 kN/m X 5 = 18.0 X 6 = −18.0 10 kN/m00000011111100000001111111000000000000111111111111000000111111 a j k b00000001111111ge i c 000000000000111111111111 dX 1 = 66.75X = 103.6 X = 34.4X =101.253 42 20 kN 40 kN00000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000000011111111111111111111 00000000000000000011111111111111111100000000000000000000000000000011111111111110111111110000000000000000000011111111111111111111 000000000000000000111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111100000011111101010111111110000000000000000000011111111111111111111 0000000000000000001111111111111111110000000000000000000000000000001111111111111000000111111 M ep [kN.m]01010100000011111100000000000000000000111111111111111111110100000000000000000011111111111111111120.031.2016.001010000 1111010100000011111100110000 11110134.7545.600000000000000111111100000000000000111111100000000000011111111111100000001111111000000000000111111111111000000111111000000011111111111111111111138.030.60118.020.00 10.6000000011111110000000 000000000000111111111111000000011111111111111111110000000000000000001111111111111000000011111110000000000001111111111110000001111110000000111111100000001111111 5.25 00000001111111000000000000111111111111000000111111000000000000111111111111000000111111000000011111110000000111111118.000000000000011111111111114.4000000011111110000000111111100000000000011111111111145.2500000000000011111111111158.032.024.4056.4056.010.801.2c0101010000 11110101000001111101010000 111101139.2070.80010000 111101000000111111010000 111113.6524.0Q ep [kN]00 1100 111.01.2Q imjM i mj[m]0.2500 0.333300 11000 111 010.6667 0.2500Q k mj0.40000.53331.06671.600 11 0100 110.8000M k mj [m]Joonis 4.9. Gerberi tala 5 sisejõudude epüürid ja mõjujoonedoctave:8> X4=(-(-X6+40.0)*2.4+10*3.0*3.0+ ...30*3.0+20*5.7)/4.5X4 = 34.400octave:9> % toereaktsioonide kontrolloctave:9> SumY=X1+X2+X3+X4-20-10*1.2-40- ...40-15*3.6-20-40-10*3-30-20

112 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]SumY = 0octave:10> diary off=================================================Arvutuspäevik 4.5 Momentide arvutusdiary momentideArvutus1.outoctave:2> diary onoctave:3> Lisaosakeskel=15*2.4^2/8Lisaosakeskel = 10.800octave:4> MtoelB=-(20+18.0)*1.2-15*1.2^2/2MtoelB = -56.400octave:5> MtoelA=-20*1.2-10*1.2^2/2MtoelA = -31.200octave:6> Mj=-20*2.8+66.75*1.6-10*1.2*2.2Mj = 24.400octave:7> Mk=-20*(2.8+1.6)+66.75*(1.6+1.6)- ...10*1.2*(2.2+1.6)-40*1.6Mk = 16.000octave:8> Mc=-(18.0+40.0)*2.4Mc = -139.20octave:9> Mm=-(18.0+40.0)*(2.4+1.5)+103.6*1.5Mm = -70.800octave:10> Mn=-20*(1.2+1.5)+34.4*1.5-10*1.5^2/2Mn = -13.650octave:11> Md=-20*1.2Md = -24octave:12> diary off=================================================Arvutuspäevik 4.6 Põikjõu arvutusdiary poikjouArvutus1.outoctave:2> diary onoctave:3> % p~oikj~oud vasakul, konsooli otsasoctave:3> Qal=-20.0Qal = -20octave:4> Qav=octave:5> Qav=-20.0-10*1.2Qav = -32octave:6> Qap=-20.0-10*1.2+66.75Qap = 34.750octave:7> Qjv=-20.0-10*1.2+66.75Qjv = 34.750octave:8> Qjp=-20.0-10*1.2+66.75-40.0Qjp = -5.2500octave:9> Qkv=-20.0-10*1.2+66.75-40.0Qkv = -5.2500octave:10> Qkp=-20.0-10*1.2+66.75-40.0-40.0Qkp = -45.250

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 113octave:11> Qbv=-20.0-10*1.2+66.75-40.0- ...40.0+101.25Qbv = 56octave:12> Qbp=-20.0-10*1.2+66.75-40.0- ...40.0+101.25Qbp = 56octave:13> Qgv=-20.0-10*1.2+66.75-40.0-40.0+ ...101.25-15.0*1.2Qgv = 38octave:14> Qgp=-20.0-10*1.2+66.75-40.0-40.0+ ...101.25-15.0*1.2-20Qgp = 18octave:15> Qev=-18.0Qev = -18octave:16> Qep=-18.0-40.0Qep = -58octave:17> Qcv=-18.0-40.0Qcv = -58octave:18> Qcp=-18.0-40.0+103.6Qcp = 45.600octave:19> Qm=-18.0-40.0+103.6Qm = 45.600octave:20> Qnv=-18.0-40.0+103.6-10.0*1.5Qnv = 30.600octave:21> Qnp=-18.0-40.0+103.6-10.0*1.5-30.0Qnp = 0.60000octave:22> Qdv=-18.0-40.0+103.6-10.0*1.5- ...30.0-10.0*1.5Qdv = -14.400octave:23> Qdp=-18.0-40.0+103.6-10.0*1.5- ...30.0-10.0*1.5+34.4Qdp = 20.000octave:24> Qloppus=+20.0Qloppus = 20octave:25> diary off=================================================Arvutuspäevik 4.7 Sisejõudude arvutus mõjujoonte abiloctave:2> diary onoctave:3> Koormus_Qk=10*1.2*0.25/2-15*3.6*0.25/2+0.25*20-0.3333*40-0.6667*40-0.25*20Koormus_Qk = -45.250octave:4> Koormus_Mk=-10*1.2*0.40/2-15*3.6*0.80/2-0.40*20+1.0667*40+0.5333*40-0.8*20Koormus_Mk = 16octave:5> % OK!octave:5> diary off

114 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]4.5.4 Talal liikuvad kraanad. Näide 4.4Näide 4.4 Vaatleme liikuva koormuse ülesannet [ER83], kus mõjujoonte (joonis 4.10) abilon vaja leida ekstremaalsed toereaktsioonid ja sisejõud joonisel 4.10 b) esitatud liikuvast koormusest.Liikuv koormus koosneb kahest sildkraanast, mille minimaalne vahekaugus on ≥ 2.Kraanalt tulev koormus F = 24 kN. Kraana rataste vahe 5 m. Mõjujoonte juures on näidatudkraanade asetus, mille puhul tekivad suurimad toereaktsioonid ja sisejõud.Ekstremaalsete toereaktsioonide ja sisejõudude leidmisel on kraana üks koormus vaadeldavamõjujoone murdepunkti kohal.Suurimad toereaktsioonidSuurimad põikjõudmax B = 24 (0.5000 + 1.0000 + 1.2000 + 0.2000) = 69.6 kN (4.16)min B = 0 (4.17)max C = 24 (0.2000 + 1.2000 + 1.0000 + 0.5000) = 69.6 kN (4.18)min C = 24 (0.0 + 0.0 − 0.1800 − 0.0700) = −6.00 kN (4.19)max Q i = 24 (0.6000 + 0.1000 + 0.0000 + 0.0000) = 16.80 kN (4.20)min Q i = 24 (−0.4000 + 0.1000 − 0.2000 − 0.0333) = −12.80 kN (4.21)max Q k = 24 (0.0333 + 0.2000 + 0.3000 − 0.1760) = 8.57 kN (4.22)min Q k = 24 (−0.2000 − 0.7000 − 0.1800 − 0.0700) = −27.60 kN (4.23)Suurimad paindemomendidmax M k = 24 (0.6000 + 2.1000 + 0.0 + 0.0) = 64.8 kN·m (4.24)min M k = 24 (−0.1000 − 0.6000 − 1.8900 − 0.7380) = −79.9 kN·m (4.25)4.5.5 Talal liikuv kolonn. Näide 4.5Näide 4.5 (Talal liikuv kolonn) Vaatleme liikuva kolonni ülesannet [ER83], kus mõjujoonte(joonis 4.11) abil on vaja leida ekstremaalsed toereaktsioonid ja sisejõud joonisel 4.11 b)esitatud liikuvast koormusest. Liikuvaks koormuseks on autokolonn, mis võib liikuda paremaltvasakule või vasakult paremale. Kolonnilt tulev koormus on näidatud joonisel 4.11. Mõjujoontejuures on näidatud kolonni asetus, mille puhul tekivad suurimad toereaktsioonid ja sisejõud.Ekstremaalsete toereaktsioonide ja sisejõudude leidmisel on kolonni üks koormus vaadeldavamõjujoone murdepunkti kohal.Suurimad toereaktsioonidmax B = 7.0 · 0.4000 + 3.0 · 0.8000 + 9.5 · 1.2000 + 3.5 · 0.4000 = 18.0 kN (4.26)min B = 0 (4.27)max C = 3.5 · 0.4000 + 9.5 · 1.2000 + 3.0 · 0.8000 + 7.0 · 0.4000 = 18.0 kN (4.28)min C = −9.5 · 0.1800 − 3.5 · 0.0920 = −2.03 kN (4.29)Suurimad põikjõudmax Q i = 9.5 · 0.6000 + 3.5 · 0.2000 = 6.40 kN (4.30)min Q i = 3.5 · 0.0000 − 9.5 · 0.4000 − 3.0 · 0.2000 − 7.0 · 0.0670 = −4.87 kN (4.31)

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 115a)0000 1111 a0000 1111i 0000 1111 b f 10000 1111f 2 000 111 c000 111b)c)A000 111 d f 3000 1114 m3 mB C D10 m 2 6 m 2 10 m 1.8 8.2 mkF F F FF F F F > 2 m5 m 5 m000 111 e000 111Emax B = 69.6 kN0.50001.00001.20000.2000B mjFFFFmax C = 69.6 kNd)FFFFmin C = −6.0 kN0.2000e)F F F FF F F FFFFFQimjmax Q k= 8.57 kNf)F F F FQ kmj11.20001.00000.5000C mj0.20000.60000.40000.10000.03330.03330.200010.30000.70000.18000.17600.07000.18000.0700max Q i = 16.8 kNmin Q i = −12.8 kN0.2000min Q k = −27.6 kNFFFFmax M k = 64.8 kN . mg)FFFFmin M = −79.9 kN .km0.10000.60000.60002.100031.89000.7380Mkmj [m]Joonis 4.10. Gerberi tala suurimad sisejõud sildkraanadest

116 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]a)0000 1111 a0000 1111i 0000 1111 b f 10000 1111f 2 000 111 c000 111b)A000 111 d f 3000 1114 m3 mB C D10 m 2 6 m 2 10 m 1.8 8.2 mk000 111 e000 1113 kN 7 kN 3.5 kN 9.5 kN 3 kN 7 kN3.5 kN 9.5 kN> 4 m 4 m > 8 m 4 m > 4 m 4 m > 8 m 4 m > 4 m9.5 kN 3.5 kN 7 kN 3 kN 9.5 kN 3.5 kN 7 kN 3 kNEc)7 kN3 kN9.5 kN3.5 kNmax B = 18.0 kN0.40000.80001.00001.20000.4000B mj3.5 kN 9.5 kN3 kN7 kNmax C = 18.0 kNd)9.5 kN3.5 kNmin C = − 2.03 kN0.40001.20000.8000C mj= 6.40 kNe)= − 4.87 kNf)1Q kmj10.18000.40000.09209.5 kN3.5 kNmax Q i3.5 kN 9.5 kN 3 kN 7 kNmin Q i0.60000.40000.20000.20000.06707 kN3 kN9.5 kN3.5 kN3.5 kN 9.5 kN 3 kN 7 kNQimjmax Q k = 3.57 kNmin Q k = − 8.88 kN0.06670.20000.30000.70000.30000.10000.18000.17600.09203.5 kN 9.5 kNmax M = 23.10 kN .kmg)7 kN3 kN9.5 kN3.5 kNmin M = − 24.54 kN .km0.20000.60000.90002.100031.89000.9680Mkmj[m]Joonis 4.11. Gerberi tala suurimad sisejõud autokolonnist

4.5 Gerberi tala. Arvutusnäited 117max Q k = 7.0 · 0.0667 + 3.0 · 0.2000 + 9.5 · 0.3000 − 3.5 · 0.1000 = 3.57 kN (4.32)min Q k = −3.5 · 0.3000 − 9.5 · 0.7000 − 3.0 · 0.1800 − 7.0 · 0.0920 = −8.88 kN (4.33)Suurimad paindemomendidmax M k = 3.5 · 0.9000 + 9.5 · 2.1000 = 23.10 kN (4.34)min M k = −7.0 · 0.2000 − 3.0 · 0.6000 − 9.5 · 1.8900 − 3.5 · 0.9680 = −24.54 kN·m (4.35)

118 4. Staatikaga määratav mitmesildeline tala [Loeng 1] [Loeng 2]

5. Kolme liigendiga kaar ja raamLoeng 1 1 : Kolme liigendiga kaar. Näide 5.1. Näide 5.2. Näide 5.3.raam. Näide 5.4. Näide 5.5.Loeng 2 2 : Kolme liigendiga5.1 ÜldmõistedKahele toele toetuvast ühest või mitmest surutud kõverast vardast moodustatud konstruktsiooni,milles vertikaalne koormus põhjustab nii vertikaalseid kui ka horisontaalseida )HFFaixiyaFa iyic iηky kξ 0000000000000000000011111111111111111111 q00000000000000000000111111111111111111110000000000000000000011111111111111111111 cϕkfbHbxx kVal/2Vblb )i0000 11110000 11110000 1111oVaFyikq000000000000000000001111111111111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000000000011111111111111111111 c0000 11110000 11110000 1111oVb01 00 11 01010100 11 01 01010101000000000000000011111111111111110100000000000000001111111111111111 M o c0000000000000000000011111111111111111111000000000000000000001111111111111111111111100000000000000001111111111111111 000000000000000000001111111111111111111111100000000000000001111111111111111 000000000000000000001111111111111111111111100000000000000001111111111111111 0000000000000000000011111111111111111111000 111000 111M oQ oJoonis 5.1. Kolme liigendiga kaartoereaktsioone, nimetatakse kaareks. %beginfigure[t!]Kolme liigendiga kaare toeliigendeid a ja b (joonis 5.1 a)) nimetatakse kannaliigenditeksja keskmist liigendit c lukuliigendiks. Lukuliigendi vertikaalset kaugust toe-1 ./videod/Kaared1.html2 ./videod/Raamid1.html119

120 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]a) b)cc 1c 2c 3babaJoonis 5.2. Kaare erinevad kannaliigendidliigendeid ühendavast sirgest nimetatakse kaare kõrguseks ja tähistatakse tähega f (vtjoonis 5.1 a)). Kaare kõrguse ja silde l suhet f nimetatakse kaare tõusuks. Tõusu järgilliigitatakse kaari:∙ lamedad kaared f l= 110 . . . 1 5∙ normaalsed kaared f l= 1 5 . . . 1 3∙ kõrged kaared f l> 1 3Mõnel juhul on kannaliigendid nihutatud silde keskkoha poole (joonis 5.2 a)). Kaart,mille toed on erinevatel kõrgustel, nimetatakse roomavaks kaareks (joonis 5.2 b)).5.2 Toereaktsioonide arvutusKolme liigendiga kaare arvutamisel lahutatakse koormus vertikaalseks ja horisontaalsekskoormuseks (joonis 5.1 a)). Kolme liigendiga kaare toed on liikumatud liigendtoed (joonis3.1 lk 80). Kolme liigendiga kaarel on neli toereaktsiooni komponenti, kummagi toejuures kaks. Need neli toereaktsiooni komponenti leitakse kolmest tasakaaluvõrrandistja lukuliigendi kohta koostatud tasakaalutingimusest.Roomava kaare puhul lahutatakse toereaktsioonid vertikaalseteks ja toeliigendeid aja b ühendava sirge sihilisteks komponentideks.5.2.1 Vertikaalne koormusToereaktsioonide vertikaalsed komponendid tähistame V a ja V b (joonis 5.1 a)) ja leiametugede a ja b kohta kirjutatud tasakaaluvõrranditestΣM b = 0; −V a · l + F yi · (l − a i ) + q · l2 2 = 0 (5.1)ΣM a = 0; −V b · l + F yi · a i + q · l (︃ l2 · 2 + l )︃= 0 (5.2)4Horisontaalsed toereaktsioonid H a ja H b leiame lukuliigendi c kohta kirjutatudtasakaaluvõrrandistΣMc v = 0; −H a · f + V a · l (︃ l2 + F yi · i)︃2 − a = 0 (5.3)

5.3 Kaare telgjoone võrrandid 121ehkΣM v p = 0; −H b · f + V b · l2 − q · l2 2 = 0 (5.4)H a = V al/2 + F yi (l/2 − a i )f= M 0 cf(5.5)siin Mc0 on kaarele vastava lihttala paindemoment lõikes c (joonis 5.1 b)).Parempoolne horisontaalne toereaktsioon H b vertikaalse koormuse puhulH b = H a = M 0 cf(5.6)5.2.2 Horisontaalne koormusHorisontaalsest koormusest põhjustatud vertikaalsed toereaktsioonide komponendid V aja V b (joonis 5.1 a)) leiame tugede a ja b kohta kirjutatud tasakaaluvõrranditestΣM b = 0; −V a · l − F xi · c i = 0 (5.7)ΣM a = 0; −V b · l + F xi · c i = 0 (5.8)Horisontaalsed toereaktsioonid H a ja H b leiame lukuliigendi c kohta kirjutatudtasakaaluvõrranditestΣM v c = 0;−H a · f + V a · l2 − F xi (f − c i ) = 0 (5.9)ΣM p c = 0;−H b · f + V b · l2 = 0 (5.10)Võrranditest (5.9) ja (5.10) saame(︃H a = V a · l)︃2 − F xi (f − c i ) /f (i = 1, 2, . . . n) (5.11)Kontrolliks arvutame(︃H b = V b · l )︃/f (i = 1, 2, . . . n) (5.12)2ΣX = 0; H a + H b +n∑︁F xi = 0 (5.13)1

122 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]5.3 Kaare telgjoone võrrandidKaare telgjooneks võib olla ruutparabool, mille võrrand ony =4f x (l − x)l 2 (5.14)Kaare sille l, tõus f ja kaare telje puutuja kaldenurk φ on näidatud joonisel 5.3. Kaaretelje puutuja kaldenurga siinuse ja koosinuse leiame valemitegasin φ =cos φ =√︂ (︁ l4f√︂1 − 2 x l)︁ 2 (︁+ 1 − 2xl11 + (︁ 4fl)︁ 2 (︁1 − 2xl)︁ 2(5.15))︁ 2(5.16)Tähistadessaameξ = x l ,ξ′ =l − xl(5.17)y = 4fξξ ′ (5.18)sin φ =cos φ =1 − 2ξ√︂ (︁ )︁ 2 l4f + (1 − 2ξ)21√︂1 + (︁ )︁4f 2l (1 − 2ξ)2(5.19)(5.20)Kaare telgjooneks võib olla ringi kaar, mille võrrand on⎯(︃ )︃⎸2⎷ ly = R2 −2 − x − (R − f) (5.21)ykϕcFfH aaybH bx0000011111 x0000 1111V aVl/2 l/2 blJoonis 5.3. Kaare telgjoon

5.4 Kaare sisejõud 123Avaldises (5.21) on R kaare telje kõverusraadius, mille arvutame järgmise valemiga:R = l2 + 4f 28f(5.22)Kaare telje puutuja kaldenurga siinuse ja koosinuse leiame valemitegasin φ = l (︂ 1R 2 − x )︂(5.23)l⎯(︃ )︃⎸2 (︂1⎷ lcos φ = 1 −R 2 − x )︂ 2(5.24)l5.4 Kaare sisejõudKolme liigendiga kaare arvutamisel lahutatakse koormus vertikaalseks ja horisontaalsekskoormuseks (joonis 5.1 a)). Teeme mõttelises ristlõikes k mõttelise lõike ja vaatlemevasakule poole jäävat osa (joonis 5.4 a) ja joonis 5.5).Kaare normaaljõud survel võetakse positiivne.5.4.1 Sisejõud vertikaalsest koormusestKaare sisejõudude arvutamise valemite kirjutamiseks vaatame joonist 5.1 a). Teememõttelises ristlõikes k mõttelise lõike ja vaatleme vasakule poole jäävat osa (joonis 5.4a)). Ristlõikele k koostatud momentide tasakaaluvõrrandist leiame paindemomendia )Haaa iF iϕkkM kN ky kQ kϕkb )VF ii k000 111a ox k−a iQ koM kox kx kValJoonis 5.4. Kolme liigendiga kaare sisejõud vertikaalsest koormusestM k = V a · x k − F yi · (x k − a i ) − H · y k (5.25)ehkM k = M 0 k − H · y k (5.26)

124 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]Jõudude projektsioonide tasakaaluvõrrand põikjõu Q k sihile annab põikjõuehkQ k = (V a − F yi ) cos φ k − H · sin φ k (5.27)Q k = Q o k cos φ k − H sin φ k (5.28)Jõudude projektsioonide tasakaaluvõrrand normaaljõu N k sihile annab normaaljõuehkN k = (V a − F yi ) sin φ k + H · cos φ k (5.29)Niisiis sisejõud kaare lõikes x arvutame valemitega:N k = Q o k sin φ k + H cos φ k (5.30)M x = M 0 x − H · yQ x = Q o x cos φ − H sin φ (5.31)N x = Q o x sin φ + H cos φ5.4.2 Sisejõud horisontaalsest koormusestHorisontaalsest koormusest kaare sisejõudude arvutamise valemite kirjutamiseksvaatame joonist 5.1 a). Teeme mõttelises ristlõikes k mõttelise lõike ja vaatleme vasakulepoole jäävat osa (joonis 5.5). Ristlõikele k koostatud momentide tasakaaluvõrrandistsaameM k = V a · x k − F xi · (y k − c i ) − H a · y k (i = 1, 2, . . . n) (5.32)Koostame ristlõikest k vasakule poole jääva osa kohta tasakaaluvõrrandid telgedele ξja η (joonis 5.5), milledest saameN k = V a sin φ k + (F xi + H a ) · cos φ k (5.33)Q k = V a cos φ k − (F xi + H a ) · sin φ k (5.34)yηM kξF xiϕkkQ kϕkN kHaac iy klxx kVaJoonis 5.5. Kolme liigendiga kaare sisejõud horisontaalsest koormusest

5.5 Seosed kaare sisejõudude vahel 1255.5 Seosed kaare sisejõudude vahelSarnaselt varda diferentsiaalseostele (1.27), (1.28) ja (1.29) leiame seosed kaare sisejõududevahel. Vaatleme kaare elementaarset osa (joonis 5.6) pikkusegakus ρ on kõverusraadius,dφ – kesknurk.ds = ρdφ (5.35)ηNMq0000000000000000000000000011111111111111111111111111Q + dQdQiqdsρξd ϕ2ρ tgρ sind ϕ2d ϕ2d ϕd ϕ2eM + dMN + dNϕJoonis 5.6. Kaare element temale rakendatud koormuse ja sisejõududegaKaare elemendile mõjub koormus qds. Kirjutame momentide tasakaalutingimusepunkti i (joonis 5.6) kohta, pidades silmas, et elemendi otsapunktidest d ja e tõmmatudpuutujate lõikpunkt on punkt i, saameM − (M + dM) + (Q + dQ) ρ tan dφ 2 + Qρ tan dφ 2 +(︃)︃+qdsρtan dφ 2 − sin dφ 2= 0 (5.36)Võrrandi (5.36) viimane liige on ligilähedane nullile, kuna tan dφ ≈ sin dφ ≈ dφ.Võrrandist (5.36) saamedM = Qρdφ + dQρ dφ 2(5.37)Jagame avaldise (5.37) läbi ds’iga (ds = ρdφ), saamedMds = Q + 1 dQ (5.38)2

126 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]Kuna võrrandi (5.38) parema poole teine liige on võrreldes esimese liikmega oluliseltväiksem ( 1 dQ ≪ Q), siis2dMehkQ = dMdxds= Q (5.39)dxds = dM cos φ (5.40)dxKoostame projektsioonide tasakaalu tingimused telgedele ξ ja η:Σξ = 0, N − (N + dN) cos dφ − (Q + dQ) sin dφ − qds sin φ = 0 (5.41)Ση = 0, Q − (Q + dQ) cos dφ + (N + dN) sin dφ − qds cos φ = 0 (5.42)Võtame arvesse, et väikeste nurkade puhul on sin dφ ≈ dφ ja cos dφ ≈ 1. Avaldisest(5.35) saame dφ = ds . Jagame võrrandid (5.41) ja (5.42) elemendi pikkusega ds. Jättesρära teise järgu väikesed suurused, saame võrrandid:− dNds − Q ρ− q sin φ = 0 (5.43)− dQds + N ρ− q cos φ = 0 (5.44)millest saame(︃ )︃Q dNρ = − ds + q sin φ(5.45)Nρ = (︃ dQds + q cos φ )︃(5.46)5.6 Kolme liigendiga kaare survejoonResultantjõu hulknurk (joonis 5.7 a)) läbib kaare kolme liigendit. Joonisel 5.7 b) on näidatudühel pool ristlõiget k mõjuvat resultantjõudu R k ja tema sihti t–t ning kaugustkaare telgjoonest e, mis on näidatud ka joonisel 5.7 a). Ristlõikes k mõjuvat resultantjõuduR k saab lahutada komponentideks N k ja Q k (joonis.5.7 b)). Paindemoment M kkaare ristlõikes kM k = R k r (5.47)

5.7 Kaare sisejõudude arvutamise näited 127F 4F t 3F F25t e cF k 1bBa)ϕAtab)Q kR kN kϕϕkertJoonis 5.7. Resultantjõu hulknurksiin r on ristlõikes mõjuva resultantjõu sihi kaugus telgjoone punktist k (joonis.5.7 b)).Analüütiliselt leitud paindemomendi M k ja normaaljõu N k abil saame leida ekstsentrilisusee, mis on resultantjõu R k rakenduspunkti vahekaugus ristlõikes k (joonis.5.7):e = M kN k(5.48)Resultantjõu hulknurka nimetatakse kolme liigendiga kaare survejooneks. Jaotatudkoormuse all muutub survejoon kõverjooneks. Punktis, kus survejoon ühtib kaare telgjoonega,on paindemoment null. Kaart, mille telgjoon ühtib survejoonega, nimetatakseratsionaalse telgjoonega kaareks.Kaare survejoont saame arvutada avaldiste (5.31), (5.32) abil. Vertikaalse koormusepuhul, kui M k = 0, saame avaldisest (5.31)0 = M 0 x − H · y * , ehk y * = M 0 xH(5.49)mis on kolme liigendiga kaare survejoone võrrand.Joonisel 5.11 (lk 132) on kolme liigendiga kaare survejoon, millest osa on hulknurk jaosa kõverjoon.5.7 Kaare sisejõudude arvutamise näited5.7.1 Paraboolse kaare arvutus. Näide 5.1Näide 5.1 Määrata joonisel 5.8 esitatud kolme liigendiga kaare sisejõud. Kaare telgjoonekson parabool. Kaare ava on 24 m. Lukuliigendi c kõrgus 4.8 m. Kannaliigendist a kaugusel 4.8 m

128 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]yF = 80 kNq = 25 kN/m000000000000000000000000000111111111111111111111111111c000000000 111111111a4.8 mk12 m4.8 m24 m00 1100 11b00 11xJoonis 5.8. Paraboolse telgjoonega kaaron rakendatud jõud 80 kN. Lukuliigendi c ja kannaliigendi b vahelisele osale on rakendatudühtlaselt jaotatud koormus q = 25 kN/m.Kaare sisejõudude leidmiseks kasutame avaldisi (5.31). Kaare telgjoone ja siinuste ningkoosinuste arvutamiseks kasutame avaldisi (5.18), (5.19) ja (5.20).Järgnevas arvutuspäeviku 5.1 tabelis on kaarele vastava lihttala sisejõud Q o ja M 0 . Arvutustekskasutame GNU Octave’is koostatud programmi kaarSjPr30.m 3 4Arvutuspäevik 5.1 Lihttala põikjõud ja paindemomentoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> kaarSjPr30Kaare telgjoone kuju on paraboolKordaNT = 2l = 24f = 4.8000F1 = 80aF1 = 4.8000qz = 25aqA = 12aqL = 24Fjoud1 =80.0000 4.8000qkoormus1 =25 12 24arvude suurim ühistegur - gcd(arvudS)tegur = 2.4000minimaalne jaotuste arvNjaotust = 10KordaNT = 2NT=jaotusi*KordaNT; % jaotuste arvu suurendatakseNT = 20lihttala_Va = 1393 ./octaveProgrammid/kaarSjPr30.m4 ./octaveProgrammid/kaarSjPr30.Kommentaarid.pdf

5.7 Kaare sisejõudude arvutamise näited 129lihttala_Vb = 241Ülekandev~orrandi algparameetrid Qa ja MaQa = 139Ma = 0===================================Sisej~oud kaarele vastavas talas===================================I-Nr x Q M-----------------------------------1 0.00 139.000 0.0002 1.20 139.000 166.8003 2.40 139.000 333.6004 3.60 139.000 500.4005 4.80 139.000 667.2006 4.80 59.000 667.2007 6.00 59.000 738.0008 7.20 59.000 808.8009 8.40 59.000 879.60010 9.60 59.000 950.40011 10.80 59.000 1021.20012 12.00 59.000 1092.00013 13.20 29.000 1144.80014 14.40 -1.000 1161.60015 15.60 -31.000 1142.40016 16.80 -61.000 1087.20017 18.00 -91.000 996.00018 19.20 -121.000 868.80019 20.40 -151.000 705.60020 21.60 -181.000 506.40021 22.80 -211.000 271.20022 24.00 -241.000 0.000-----------------------------------Kaare horisontaalne reaktsioon HH = 227.50Järgnevas arvutuspäeviku 5.1 tabelis on kaare sisejõud N, Q ja M. Arvutatud on kaarehorisontaalne toereaktsioon, mille arvuline väärtus on H = 227.50 kN.Kaare horisontaalne reaktsioon HH = 227.50Kaare sisej~oud==============================================I-Nr x N Q M----------------------------------------------1 0.00 264.48 -33.58 0.002 1.20 265.84 -20.13 -40.683 2.40 266.55 -5.56 -59.524 3.60 266.41 10.12 -56.525 4.80 265.25 26.87 -31.686 4.80 230.63 -45.26 -31.687 6.00 233.14 -29.71 -81.008 7.20 234.66 -13.14 -108.48

130 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]a000 111000 1114.8 mV akF = 80 kN12 mq = 25 kN/m000000000000000000000000000111111111111111111111111111000000000000000000000000000111111111111111111111111111 bc00 1100 11V b24 mQ [kN]−250−200−150−100−50 050100150Lihttala põikjõud Q59.0139.00 2.4 4.8 7.2 9.6 12x [m]241.014.4 16.8 19.2 21.6 24Lihttala paindemoment MM [kNm]−200020040060080010001200667.21092.00 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 24x [m]Joonis 5.9. Lihttala epüürid9 8.40 234.99 4.28 -114.1210 9.60 233.96 22.32 -97.9211 10.80 231.48 40.67 -59.8812 12.00 227.50 59.00 0.0013 13.20 224.46 47.05 63.7214 14.40 224.80 34.96 113.2815 15.60 228.45 22.95 148.6816 16.80 235.27 11.24 169.9217 18.00 245.02 0.00 177.0018 19.20 257.46 -10.64 169.9219 20.40 272.27 -20.59 148.6820 21.60 289.19 -29.82 113.2821 22.80 307.91 -38.30 63.7222 24.00 328.20 -46.07 0.00----------------------------------------------Kaare survejoon Y* = M/H======================================================I-Nr x y Y* sinFi sinFi------------------------------------------------------1 0.00 0.00 0.00 0.62470 0.780872 1.20 0.91 0.73 0.58430 0.811533 2.40 1.73 1.47 0.53905 0.842274 3.60 2.45 2.20 0.48860 0.87251

5.7 Kaare sisejõudude arvutamise näited 131N [kN]−50050100150200250300350Kaare normaaljõud N264.48230.63265.25227.50328.200 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 24x [m]Kaare põikjõud QQ [kN]−40−20020406033.58 45.2646.0726.8759.000 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 24x [m]M [kNm]−100−5005010015020031.680 2.4 4.8Kaare paindemoment M7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 24x [m]Joonis 5.10. Kaare sisejõud N, Q ja M5 4.80 3.07 2.93 0.43273 0.901526 4.80 3.07 2.93 0.43273 0.901527 6.00 3.60 3.24 0.37139 0.928488 7.20 4.03 3.56 0.30478 0.952429 8.40 4.37 3.87 0.23337 0.9723910 9.60 4.61 4.18 0.15799 0.9874411 10.80 4.75 4.49 0.07975 0.9968212 12.00 4.80 4.80 0.00000 1.0000013 13.20 4.75 5.03 -0.07975 0.9968214 14.40 4.61 5.11 -0.15799 0.9874415 15.60 4.37 5.02 -0.23337 0.9723916 16.80 4.03 4.78 -0.30478 0.9524217 18.00 3.60 4.38 -0.37139 0.9284818 19.20 3.07 3.82 -0.43273 0.9015219 20.40 2.45 3.10 -0.48860 0.8725120 21.60 1.73 2.23 -0.53905 0.8422721 22.80 0.91 1.19 -0.58430 0.8115322 24.00 0.00 0.00 -0.62470 0.78087-------------------------------------------------------octave-3.0.1:4> diary offJoonisel 5.10 on näidatud kaare sisejõud N, Q ja M. Siin tuleb tähelepanu pöörata kaarepõikjõu Q epüüri ja paindemomendi vahelisele seosele (5.39). Paindemomendi tuletis möödakaare telgjoont on võrdne põikjõuga dM ds= Q ehk paindemomendi tuletis mööda x-telge on

132 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]võrdne põikjõud jagatud koosinusega dMcos φ. Siit johtub – kui paindemomendi epüüripuutuja on paralleelne x-teljega, on põikjõud võrdne nulliga.dx = QY* [m]6543210−1Kaare survejoon M/H0 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 24x [m]Joonis 5.11. Kaare survejoon M/HJoonisel 5.11 on kolme liigendiga kaare survejoon, millel lukuliigendist vasakule jääv osa onhulknurk ja lukuliigendist paremale jääv osa (jaotatud koormuse alla jääv osa) on kõverjoon.Lukuliigendist vasakule jääval osal on surutud alumised kiud (tõmmatud on ülemised kiud).Normaaljõu rakenduspunkt (joonis 5.7) on kaare telgjoonest allpool (võrdle M epüüriga joonisel5.10). Lukuliigendist paremale jääval osal on surutud ülemised kiud (tõmmatud on alumisedkiud).5.7.2 Paraboolse kaare arvutus. Näide 5.2Näide 5.2 Koostada joonisel 5.12 esitatud kolme liigendiga kaare sisejõudude epüürid.Kaare telgjooneks on parabool. Kaare ava on 24 m. Lukuliigendi c kõrgus 4.8 m. Kannaliigendista kaugusel 4.8 m ja 16.8 m on rakendatud jõud F 1 = 80 kN ning F 2 = 60 kN. Kaareleon rakendatud ühtlaselt jaotatud koormus q = 25 kN/m, mis algab kannaliigendist kaugusel7.2 m ja lõppeb kaugusel 19.2 m.yF = 80 kN q = 25 kN/m F = 60 kN0000000000000000000000000011111111111111111111111111c000000000 111111111a4.8 mk4.8 m00 1100 11b00 11x7.2 m12 m16.8 m19.2 m24 mJoonis 5.12. Paraboolse telgjoonega kaar 2Kaare sisejõudude leidmiseks kasutame GNU Octave’is koostatud programmikaarSjPrBA.m 5 6Arvutiprogramm koostab sisejõudude epüürid, mis on toodud joonisel 5.135 ./octaveProgrammid/kaarSjPrBA.m6 ./octaveProgrammid/kaarSjPrBA.Kommentaarid.pdf

5.8 Kaare mõjujooned 133100150200250300350400450Kaare normaaljõud N0 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 24−60Kaare põikjõud Q−40−2002040600 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 24Kaare paindemoment M−100−500500 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 19.2 21.6 245.8 Kaare mõjujoonedJoonis 5.13. Kaare 2 sisejõud N, Q ja MKolme liigendiga kaare (joonis 5.14 lk 135) toereaktsioonide V a ja V b mõjujooned onsamasugused kui lihttala toereaktsioonide mõjujooned.Kaare horisontaalreaktsiooni H mõjujoone ordinaadid saame, kui kaarele vastavalihttala paindemomendi M 0 c mõjujoone ordinaadid jagame läbi lukuliigendi kõrgusega f(joonis 5.14 H mj ):H = M 0 cf(5.50)Kolme liigendiga kaare mõjujoonte ordinaatide arvutamiseks kasutame kaare sisejõududearvutamise valemeid (5.31 lk 124).Paindemomendi M d (joonis 5.14 M d mj) mõjujoone ordinaadi leiame avaldisegaM d = M 0 d − H · y d (5.51)

134 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]kusM 0 d on lihttala ristlõike d paindemomendi mõjujoone (joonis 5.14 b) M 0 d mj) ordinaat,H – kaare horisontaalreaktsiooni H mõjujoone ordinaat,y d – kaare telgjoone kõrgus punktis d.Põikjõu Q d (joonis 5.14 Q d mj) mõjujoone ordinaadi leiame avaldisegaQ d = Q o d cos φ d − H sin φ d (5.52)kusQ o d on lihttala ristlõike d põikjõu mõjujoone (joonis 5.14 b) Q o d mj) ordinaat,φ d – kaare puutuja tõusunurk punktis d (joonis 5.4).H – kaare horisontaalreaktsiooni H mõjujoone ordinaat.Normaaljõu N d (joonis 5.14 N d mj) mõjujoone ordinaadi leiame avaldisegaN d = Q o d sin φ d + H cos φ d (5.53)kusQ o d on lihttala ristlõike d põikjõu mõjujoone (joonis 5.14 b) Q o d mj) ordinaat,φ d – kaare puutuja tõusunurk punktis d (joonis 5.4).H – kaare horisontaalreaktsiooni H mõjujoone ordinaat.5.9 Kaare mõjujoonte koostamise näited5.9.1 Paraboolse kaare mõjujooned. Näide 5.3Näide 5.3 Koostada joonisel 5.14 a) esitatud kolme liigendiga kaare lõike d mõjujooned.Kaare telgjooneks on parabool. Kaare ava on 16 m. Lukuliigendi kõrgus 4 m. Ristlõike dkaugus vasakust toest 11.2 m.Mõjujoonte ordinaatide arvutamiseks kasutame kaare sisejõudude arvutamise valemeid(5.51), (5.52) ja (5.53)M d = Md 0 − H · y dQ d = Q o d cos φ d − H sin φ d (5.54)N d = Q o d sin φ d + H cos φ dKaare ristlõike d kõrguse y arvutame valemiga (5.14) ja ristlõike cos φ d ja sin φ d valemitega(5.15) ja (5.16). Saamey d = 3.36 m, sin φ d = −0.3714, cos φ d = 0.9285 (5.55)Kaare mõjujoonte ordinaatide arvutamiseks koostame kaarele vastava lihttala paindemomendiMd 0 ja põikjõu Qo d mõjujooned (vt joonis 5.14 b)). Koostame veel kaare horisontaalse toereaktsiooniH mõjujoone. Selleks kasutame horisontaalse toereaktsiooni arvutamise valemit (5.5)H a = H b = M 0 cf(5.56)

136 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]Q p d= Q o,pd cos φ d − H sin φ d = 0.3 · 0.9285 − 0.6 · (−0.3714) = 0.5014 (5.60)Nd v = Q o,vdsin φ d + H cos φ d = −0.7 · (−0.3714) + 0.6 · 0.9285 = 0.8171N p d= Q o,pd sin φ d + H cos φ d = 0.3 · (−0.3714) + 0.6 · 0.9285 = 0.4457Leitud ordinaadid kanname joonisele 5.14 a).5.10 Kolme liigendiga raamKolme liigendiga raami arvutamisel kehtivad kolme liigendiga kaare jaoks tuletatudvalemid. Erinevalt kaarest võetakse raamil normaaljõud tõmbel positiivsena ja survelnegatiivsena.5.11 Kolme liigendiga raami arvutuse näited5.11.1 Kolme liigendiga raam. Näide 5.4Näide 5.4 Koostada joonisel 5.15 kujutatud kolme liigendiga raami sisejõudude epüürid(näide on võetud õppevahendist [ER83] lk 47)a) q = 2 kN/m000000000000000111111111111111000000000000000111111111111111cmF xd= 1 kN dαiF = 3 kN2 m 2 m2 mH a ab000 111 00 11 H b4 m 4 mV aV beh = 4 m 1 mkb)00 1100 11m2.200 1100 1110.400 1100 11 0.8 i11000 11100 11de0011 000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11000 11100 116.4caM [kN.m]b00 11 00 11Joonis 5.15. Kolme liigendiga raamVertikaalsete toereaktsioonide arvutus:∑︀ Mb = 0; V a · 8 + 1 · 4 − 2 · 4 · 6 − 3 · 2 = 0V a = 6.25 kN(5.61)∑︀ Ma = 0; −V b · 8 + 1 · 4 + 2 · 4 · 2 + 3 · 6 = 0V b = 4.75 kNVertikaalsete toereaktsioonide arvutuse kontroll:∑︀ Y = 0; 6.25 + 4.75 − 2 · 4 − 3 = 00 = 0(5.62)(5.63)

5.11 Kolme liigendiga raami arvutuse näited 137Horisontaalsete toereaktsioonide arvutus:∑︀ Mvc = 0; − H a · 5 + 6.25 · 4 − 1 · 1 − 2 · 4 · 2 = 0H a = 1.6 kN(5.64)∑︀ Mpc = 0; − H b · 5 + 4.75 · 4 − 3 · 2 = 0H b = 2.6 kNHorisontaalsete toereaktsioonide arvutuse kontroll∑︀ X = 0; 1.6 + 1 − 2.6 = 00 = 0(5.65)(5.66)a ) b )£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤M VM P¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡ξxM xlξ’x¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£x − lM o x¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡l¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£d)ξ = x/l ξ’ = (l − x)/lc)M x= M V * ξ’ + M P * ξ©¡©¡©¡©¡©¨¡¨¡¨¡¨¡¨ §¡§¡§¡§¡§§¡§¡§¡§¡§ ¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¡¡¡¡¡¡¡ ©¡©¡©¡©¡©M x¨¡¨¡¨¡¨¡¨ §¡§¡§¡§¡§M VM xx¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡M o x¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡M P¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡M o x ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡xxM = M x+ M o x¨¡¨¡¨¡¨¡¨ §¡§¡§¡§¡§¡¡¡¡ ©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡Joonis 5.16. Paindemomentide liitminePaindemomendi epüüri (vt joonis 5.15 b) ordinaatide arvutus. Avaldise (5.69) ja (5.71)koostamisel on kasutatud epüüride liitmist (joonis 5.16).M d = −1.6 · 4 = −6.4 kN·m (5.67)M m = 6.25 · 2 − 1.6 · 4.5 − 1 · 0.5 − 2 · 2 · 1 = 0.8 kN·m (5.68)M m = 2 · 428 − 6.4 = 0.8 kN·m (5.69)2M i = 4.75 · 2 − 2.6 · 4.5 = −2.2 kN·m (5.70)M i = 3 · 44 − 10.4 = −2.2 kN·m (5.71)2M e = −2.6 · 4 = −10.4 kN·m (5.72)Põikjõu leidmiseks kaldu olevas vardas dc kasutame peatükis 1.11 kasutatud valemeid (1.34)ja (1.36). Koostame kaldu oleva varda (joonis 5.17) tasakaaluvõrrandi punkti c kohta2.0 · 4.02ΣM c = 0 : Q dc · 4.1231 − 6.4 − = 0 (5.73)22.0 · 4.02Q dc =2 · 4.1231 + 6.4 = 5.433 kN (5.74)4.1231

138 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]q = 2 kN/m¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡Q dcc6.4dα4.1231 m4 mQ cdcos α =4.04.1231= 0.97014sin α =1.04.1231= 0.24254Joonis 5.17. Raami varda dc põikjõudning tasakaaluvõrrandi varda alguse d kohta2.0 · 4.02ΣM d = 0 : Q cd · 4.1231 − 6.4 + = 0 (5.75)22.0 · 4.02Q cd = −2 · 4.1231 + 6.4 = −2.328 kN (5.76)4.1231Tulemused kanname põikjõu epüürile (joonis 5.20). Vardas/varda osas (joonis 5.15 b)), kuspaindemoment muutub lineaarselt, kasutame valemit (1.31). Põikjõu märgi määrame vastavaltjoonisele 1.16. SaameQ ad = − | ΔMΔxQ be = + | ΔMΔxQ ie = − | ΔMΔx6.4|= − | |= −1.6 kN (5.77)4.0|= + |10.44.0|= − |10.4 − 2.24.1231/2|= +2.6 kN (5.78)|= −3.978 kN (5.79)Q ci = − | ΔMΔx |= − | 2.2 − 0|= −1.067 kN (5.80)4.1231/2Pikijõu epüüri (vt joonis 5.20 b)) ordinaatide arvutamiseks lõikame välja raami sõlmed d(joonis 5.18) ja e (joonis 5.19). Joonistel on põikjõu suund vastavalt põikjõu märgile. Pikijõusuuna (pikijõud on tundmatu) valime positiivsena, st ’ristlõikest välja’. Koostame sõlmele dtasakaaluvõrrandid telgedele t ja xαt5.4331 kNdN dcα1.6txN daJoonis 5.18. Kolme liigendiga raami sõlm d

5.11 Kolme liigendiga raami arvutuse näited 139tαN ei3.978exαt2.6N ebJoonis 5.19. Kolme liigendiga raami sõlm eΣ t = 0; N da · cos α + 5.433 + 1 · sin α + 1.6 · sin α = 0 (5.81)Σ x = 0; N dc · cos α + 1 + 1.6 + 5.433 · sin α = 0 (5.82)Siit saameN da =N dc =−5.433 − (1 + 1.6) 0.24254= −6.250 kN0.97014(5.83)− (1 + 1.6) − 5.433 · 0.24254= −4.038 kN0.97014(5.84)Koostame sõlmele e tasakaaluvõrrandid telgedele t ja xΣ t = 0; N eb · cos α + 3.978 + 2.6 · sin α = 0 (5.85)Σ x = 0; −N ei · cos α − 2.6 − 3.978 · sin α = 0 (5.86)Siit saameN eb =−3.978 − 2.6 · 0.242540.97014= −4.750 kN (5.87)5.433a) b)d m1.62.328ci1.067e dm¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ ¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¡£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £¤ ¤ ¤¦ ¦ ¦¤ ¤ ¤ ¥ ¥¥ ¥ ¦ ¦ ¦§ §§ § £ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ ¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ ¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ ¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ ¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢ ¢ ¢ ¢ ¢ £ £ £ £ £ ¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡c¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢i£ £ £ £ £ab£ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ £e a¨ ¨ © © © © ¨ ¨Q [kN]b6.250N [kN]4.750 2.62.0982.9473.6743.9784.0381.62.6Joonis 5.20. Kolme liigendiga raami sisejõud

140 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]a) b)q = 2 kN/m00000000000000000000000000001111111111111111111111111111N cd N ciF = 3 kN00000000000000000000000000001111111111111111111111111111c cq sin αdαF sin α i α e4.038 kN4 m3.674 kNN ei =Joonis 5.21. Normaaljõud riivis−2.6 − 3.978 · 0.242540.97014= −3.674 kN (5.88)Normaaljõu N cd arvutamiseks vaatleme joonist 5.21 a). Tundmatu sisejõu suuna valimealati positiivse. Raami riivis dc normaaljõud N dc − 4.038 kN on tuntud ja selle näitame mõjumisesuunas. Nüüd koostame suunale dc tasakaaluvõrrandi normaaljõu N cd leidmiseksΣ dc = 0; N cd + 4.038 − q · 4 · sin α = 0 (5.89)N cd = −4.038 + 2 · 4 · 0.24254 = −2.098 kN (5.90)Suunale ce (joonis 5.21 b)) koostatud tasakaaluvõrrandist leiame normaaljõu N ciΣ ce = 0; N ci + 3.674 − F sin α = 0 (5.91)N ci = −3.674 + 3 · 0.24254 = −2.947 kN (5.92)Sama kolmeliigendiga raami on arvutatud EST-meetodiga näites 14.6 lk 445.5.11.2 Kolme liigendiga raam. Näide 5.5[slaidid][.swf][ekraanivideo]Näide 5.5 Koostada joonisel 5.22 näidatud kolme liigendiga raami paindemomendi, põikjõuja pikijõu epüürid.Arvutamisel kasutame GNU Octave’it kui kalkulaatorit. Käsud on eelnevalt salvestatudfaili Raam11 Kasud.odt 7 ja siis asetatud GNU Octave’i käsureale. Arvutuse tulemused ontoodud arvutuspäevikutes 5.2, 5.3, 5.4 ja 5.5.Arvutuspäevik 5.2 Toereaktsioonide arvutusdiary raami11toeR.outoctave:2> diary onoctave:3> % Sisestame koormuse väärtusedoctave:4> F=10F = 10octave:5> q1=4q1 = 4octave:5> q2=12q2 = 12octave:6> % Koostame momentide summa toe a suhtesoctave:6> % sumMa=0; -B*16+(q1*4*2+q2*8*4+F*4)=07 ./octaveProgrammid/Raam11_Kasud.odt

5.11 Kolme liigendiga raami arvutuse näited 141q 2= 12 kN/m00000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 c0100000000000000000000000000000111111111111111111111111111110101F = 10 kNn00 1100 11d01e00 110100 1100 110100 1100 110100 1100 110100 1100 11k0100 1100 110100 1100 110100 1100 110100 1100 110100000011H 01a 00 11a01b H b00 11000 111 0100000000000000011111111111111101000 111018 m01018 m010101010101A Bq = 4 kN/m14 m5 mJoonis 5.22. Kolme liigendiga raam 2octave:6> B=(q1*4*2+q2*8*4+F*4)/16B = 28.500octave:7> % Koostame momentide summa toe b suhtesoctave:7> % sumMb=0; -A*16+(-4*4*2+12*8*12-10*4)=0octave:7> A=(-4*4*2+12*8*12-10*4)/16A = 67.500octave:8> % Kontrollime j~oudude tasakaalu vertkaalsele teljele: sumYoctave:8> sumY=q2*8-A-BsumY = 0octave:9> % Momentide summa lukuliigend c suhtes:octave:9> % sumMcv=0 (vasakul); -Ha*5+(A*8-q1*4*3-q2*8*4)=0octave:9> Ha=(A*8-q1*4*3-q2*8*4)/5Ha = 21.600octave:10> % sumMcp=0 (paremal); -Hb*5+(28.5*8+10*1)=0octave:10> Hb=(28.5*8+10*1)/5Hb = 47.600octave:11> % Kontrollime j~oudude tasakaalu horisontaalsele teljele: sumXoctave:11> sumX=Ha+q1*4+F-HbsumX = 0octave:12> diary offH a4 kN/m0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 c01Σ M vasakul c = 0000000000000000000000000000001111111111111111111111111111101n01d0101010101k010101010100000000000000001111111111111111a000 111 0101018 m018 m010101A=67.5 kN01000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 1114 m12 kN/m5 m(a) Liigendist vasakulF = 10 kNeb H = 47.6 kN b000 111000 111000 111B = 28.5 kN4 kN/mH a= 21.612 kN/m0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 c Σ M paremal c = 0000000000000000000000000000001111111111111111111111111111101n0101d0101010101k0101010100000000000000001111111111111111a018 m018 m01A = 67.5 kN01000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 1114 m5 m(b) Liigendist paremaleF = 10 kNb H b000 111B=28.5 kNJoonis 5.23. Horisontaalsete toereaktsioonide arvutus

142 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]000000000000000000000000000001111111111111111111111111111112 kN/m0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111c0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111000 111000 111000 111000000000 111N k000 111000 111000 111 Q000 111 k000 111000 111000 k000 111111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000000000 111ab000 111Hb = 47.6 kN 000 111000 111000 111 000 111M kH 0 0 1 1 a=21.6 kN0 0 1 1 018 m 8 m01A=67.5 kNB =28.5 kN 014 kN/md2 m4 mn5 m12 kN/m0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 c0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111F = 10 kNn000 111e000 111d000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000000000 111k000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111a000 111000000 111000 111000 1114 kN/m(a) Varras a-k(b) Varras b-e4 mA = 67.5 kN5 m8 m 8 mN ee F = 10 kNQ eM eb H b=47.6 kN01000 111010101B=28.5 kNJoonis 5.24. Sisejõud postidesArvutuspäevik 5.3 Paindemomentide arvutusdiary raamiM11.outoctave:14> diary onoctave:15> % vardas b-e: -Me-Hb*4=0octave:15> Me=-Hb*4Me = -190.40octave:16> % vardas a-k: -Mk-Ha*2-q1*2*1=0octave:16> Mk=-Ha*2-q1*2*1Mk = -51.200octave:17> % vardas a-d: -Md-Ha*4-q1*4*2=0octave:17> Md=-Ha*4-q1*4*2Md = -118.40octave:18> % vardas a-d-n:-Mn-Ha*4.5-q1*4*2.5+A*4-q2*4*2=0octave:18> Mn=-Ha*4.5-q1*4*2.5+A*4-q2*4*2Mn = 36.800octave:19> diary offArvutuspäevik 5.4 Põikjõu arvutus12 kN/m0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 cN d0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111d Q dF = 10 kN000 111 n000 111000 111e000 111M000 111 d 000 111000 111000 111000 111000000 111000 111k000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000H =21.6 kN000a 000 111aHb=47.6 kN b000 1110000 1111000 111 010000 111101018 m 8 m01B=28.5 kNA = 67.5 kN4 kN/m4 m5 m(a) Varras a-d4 kN/m12 kN/m111111111111110000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000011111111111111111111111111111100000000000000001111111111111111cM nn N nd Q n00 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11kH a=21.6 kN a000 111 010101A= 67.5 kN 014 m4 m5 m8 m(b) Varras a-nF = 10 kNeHb=47.6 kN b8 mB=28.5 kN000 111000 111000 111Joonis 5.25. Sisejõud postis ja riivis

5.11 Kolme liigendiga raami arvutuse näited 143ttααdα62.325N dcxN ec23.616αe10 kNx37.6tt47.6N daN ebJoonis 5.26. Raami 2 sõlm dJoonis 5.27. Raami 2 sõlm ediary raamiQ11.outoctave:21> diary onoctave:22> % riivi pikkus Loctave:22> L=sqrt(8^2+1^2)L = 8.0623octave:23> cosA=8/LcosA = 0.99228octave:24> sinA=1/LsinA = 0.12403octave:25> % p~oikj~oud Qadoctave:25> % vardas a-d: -Qad-Ha=0octave:25> Qad=-HaQad = -21.600octave:26> % vardas d-a: -Qda-Ha-q1*4=0octave:26> Qda=-Ha-q1*4Qda = -37.600octave:27> % kaldvardas dc:-Qdc-Md/L+cosA*q2*8/2=0octave:27> Qdc=-Md/L+cosA*q2*8/2Qdc = 62.325octave:28> % kaldvardas cd:-Qdc-Md/L-cosA*q2*8/2=0octave:28> Qcd=-Md/L-cosA*q2*8/2Qcd = -32.934octave:29> Qce=Me/LQce = -23.616octave:30> % vardas b-e: -Qbe+Hb=0octave:30> Qbe=HbQbe = 47.600octave:31> diary offRaami vardas d–c pikijõu N dc arvutamiseks lõikame sõlme d välja (joonis 5.26). Tasakaaluvõrrandistx-teljele saame avaldiseΣX = 0 : −N dc cos α − 37.6 − 62.325 sin α = 0 (5.93)millest saame arvutuspäevikus 5.5 reas octave:36> avaldise.

144 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]190.40000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111118.48000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111c11111111111111111111111111111111118.4811111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000011111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111190.400000111111111111111111111111111111111111100000111110000000000000000000000000000001111111111111111111111111111110000011111 d0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111 e0000011111000001111136.8000000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111151.798aM [kN.m]000 111 000 111(a) Paindemomendi M epüür62.325000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111c00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000001111111111111111111111111111100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 ed 0000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111137.60000000000000000000000000000011111111111111111111111111111000 111000 11132.934000000000000000000000000000001111111111111111111111111111123.616000 111000 1110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 23.616000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111a21.6000 111Q[kN](b) Põikjõu Q epüürbb0000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000001111100000111110000011111000 11147.647.667.540.84533.776000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 40.84545.683 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111c000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 28.5000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111de00000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111167.5000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111N [kN]ab000 111 000 111 28.5(c) Normaaljõu N epüürJoonis 5.28. Raami 2 epüüridRaami vardas e–c pikijõu N ec arvutamiseks lõikame sõlme e välja (joonis 5.27). Tasakaaluvõrrandistx-teljele saame avaldiseΣX = 0 : −N ec cos α − 47.6 + 10.0 − 23.616 sin α = 0 (5.94)millest saame arvutuspäevikus 5.5 reas octave:38> avaldise.Arvutuse tulemuse põhjal koostame raami 11 sisejõudude epüürid (joonis 5.28).

5.11 Kolme liigendiga raami arvutuse näited 145Arvutuspäevik 5.5 Pikijõu arvutusdiary raamiN11.outoctave:33> diary onoctave:34> % L, cosA,sinA on mälusoctave:34> % varras a-doctave:34> % -Nad-A=0octave:34> Nad=-ANad = -67.500octave:35> Nbe=-BNbe = -28.500octave:36> % varras d-coctave:36> % -Ndc*cosA+(-37.6-62.325*sinA)=0octave:36> Ndc=(-37.6-62.325*sinA)/cosANdc = -45.683octave:37> % varras c-doctave:37> % -Ncd+Ndc+12*8*sinA=0octave:37> Ncd=Ndc+12*8*sinANcd = -33.776octave:38> % varras e-coctave:38> % -Nec*cosA+(-47.6+10-23.616*sinA)=0octave:38> Nec=(-47.6+10-23.616*sinA)/cosANec = -40.845octave:39> % varras c-eoctave:39> Nce=NecNce = -40.845octave:40> diary off

146 5. Kolme liigendiga kaar ja raam [Loeng 1] [Loeng 2]

6. SõrestikskeemidLoeng 1 1 : Sõrestikskeemid. Näide 6.1. Näide 6.2.Näide 6.3.Loeng 2 2 : Sõrestikskeemide mõjujooned.6.1 Sõrestikskeemide liigitusVarrassüsteemide mehaanikas võetakse arvutusskeemide liigitamise aluseks varda telgjoonekuju, varda tööseisund (joonis 1.3), toesidemete arv, liigendite arv.Otstes hõõrdevabade liigenditega ühendatud sirgetest varrastest geomeetriliselt muutumatutkonstruktsiooni, mis on koormatud vaid hõõrdevabades liigendites, nimetataksesõrestikskeemiks.a) b)c)¡ ¡¦ ¦ ¦ § § § § ¦¥ ¥ ¥¡¢ ¢ ¢ £ £ £ ¤ ¤ ¤¡ ¨ ¨ © © © ¨d)Joonis 6.1. Sõrestikskeemide liigitus Sõrestikskeemi vardad töötavad ainult pikkele. Sõrestiku ülemised vardad (joonis6.1) moodustavad ülemise vöö, alumised vardad alumise vöö. Vöödevahelised vardadmoodustavad sõrestikuvõrgu. Võrgu vertikaalseid vardaid nimetatakse postideks ja kaldvardaiddiagonaalideks. Horisontaalse vöö kahe naabersõlme vahekaugust nimetataksepaneeli pikkuseks. Sõrestikke liigitatakse1 ./videod/SorestikudLoeng1.html2 ./videod/SorestikudLoeng2.html147

148 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]∙ ülesande järgi – katusesõrestikud, sillasõrestikud, kraanasõrestikud jne∙ toereaktsioonide järgi – talasõrestikud; kaar-, raam- ja rippsõrestikud; kombineeritudsõrestikud∙ kuju järgi – paralleelvöödega sõrestikud (joonis 6.1 c)); kolmnurksõrestikud (joonis6.1 b)); kõvera vööga sõrestikud (joonis 6.1 d))∙ võrgu järgi – diagonaalvõrguga sõrestikud (joonis 6.1 a)); post-diagonaalvõrgugasõrestikud (joonis 6.1 c)).6.2 Staatiliselt määratud sõrestike arvutusStaatiliselt määratud sõrestike sisejõudude leidmiseks koostatakse tasakaaluvõrrandid.Tasakaaluvõrrandite koostamiseks kasutatakse lõikemeetodit. Sõrestiku arvutusskeemisteraldatakse üks sõlm või osa sõrestikust ja teiste osade mõju asendatakse läbilõigatudvarraste kontaktjõududega (rajajõududega). Eraldatud sõlme või sõrestiku osa tasakaalutingimustestleitakse läbilõigatud varraste kontaktjõud. Kontaktjõud on läbilõigatudvarda ristlõike välispinnal. Läbilõigatud varda ristlõike sisepinnal on kontaktjõuga võrdnesisejõud.Arvutuse tulemusena saadud miinusmärk näitab, et oletus oli vale ja kontaktjõud onvastupidise suunaga.Staatiliselt määratud tasandsõrestikus ei ole liigseid sidemeid. Liigsidemete n arv onnull. Staatiliselt määramatuse astet n arvutame avaldisegan = n v + n t − 2n s (6.1)kus n v on sõrestikuvarraste arv, n t – toesidemete arv, n s – sõrestikusõlmede arv.Sõrestikuvarraste kontaktjõudude (sisejõudude) arvutamisel kasutatakse∙ sõlmede eraldamise võtet∙ momendipunkti võtet∙ projektsioonide võtet.Nende võtete abil koostatakse tasakaaluvõrrandid. Kui tasakaaluvõrrandid koostatakseja lahendatakse käsitsi, siis on otstarbekas koostada võrrandid nii, et seal oleks ainultüks tundmatu.6.2.1 Sõlmede eraldamise võteEraldame lõikega sõrestikskeemist sõlmed (joonis 6.2) ja koostame nende jaoks tasakaalutingimused.Tasandil võib iga sõlme jaoks koostada kaks teineteisest sõltumatuttasakaaluvõrrandit 2n s .Toereaktsioonide määramiseks kasutatakse n t (staatiliselt määratud tasandraami puhul

6.2 Staatiliselt määratud sõrestike arvutus 149za)N 4N 8N 1N 2N 5 N 6N 9N 10 h=1.732 m1 ¤ ¢ ¤ 7¤ ¤ ¥ ¥ ¢¥ £ ¥£N 3N 7 N3¤ 5¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥11 £ £ ¢ ¢c)d=2 mC 3l = 6 mC 1C 2x2F=15 kNF=15 kN F=15 kN4 6b)2F=15 kNN 1N 2N 4N 11 12¡ ¡ ¡2N 31C 1C 213Joonis 6.2. Sõlmede eraldamise võten t = 3) võrrandit. Sõltumatute tasakaaluvõrrandite üldarv on 2n s − n t .Käsitsi sõrestiku arvutamisel kasutatakse sõlmede eraldamise võtet üksikute sõlmedetasakaalu kontrollimisel. Kõikide sõlmede kohta koostatud tasakaaluvõrrandite süsteemisaab koostada lihtsamalt, kui lisame sinna süsteemi kõigi varraste otste suunakoosinusedveergude kaupa. Sellist tasakaaluvõrrandite koostamist vaatleme näites 6.1. Nimetameseda varraste eraldamise võtteks.6.2.2 Momendipunkti võteMomendipunkti võtte eeliseks on, et see võimaldab leida sisejõu ühes sõrestikuvardassõltumata teiste sõrestikuvarraste sisejõududest.Momendipunkti võtet nimetatakse ka Ritteri 3 lõikemeetodiks.zx2F=15 kNI4F=15 kN F=15 kN4 681256 109h=1.732 mC 1C 210000 1111337I d=2 ml = 6 m511700 1100 11C 3Joonis 6.3. Lõige I-IMomendipunkti võtte puhul jagatakse sõrestiku arvutusskeem lõikega kaheks osaks3 August Ritter, insener ja mehaanikaprofessor Hannoveris ja Aachenis 1826–1908.

150 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2](joonis 6.3). Lõigatakse läbi varras, mille sisejõudu otsitakse (näiteks varras 7), javeel kaks varrast (vardad 4 ja 5, vt lõiget I-I). Nende kahe läbilõigatud varda sihtidelõikepunkti nimetatakse momendipunktiks ehk Ritteri punktiks. Varda 4 ja 5 sihtidelõikepunktiks on 4, mis on varda 7 sisejõu N 7 leidmise momendipunkt. Varda 4 ja 5sisejõu (N 4 , N 5 ) moment momendipunkti (sõlmpunkt 4) suhtes on null.Vaatleme lõikest I-I vasakule (paremale) jäävat sõrestiku osa (joonis 6.4).zN 4C 1 1N 7C 2x10000 11112F=15 kN3I2 N 56 10934 68I d=2 m= − 22.5 kN l = 6 mF=15 kN F=15 kN511700 1100 11C 3h=1.732 mJoonis 6.4. Momendipunkti võteKoostame selle sõrestikuosa kohta momentide tasakaalu tingimuse momendipunkti4 suhtesΣM 4 = 0; N 7 h + F d + C 2 1.5d = 0 (6.2)Toereaktsioon C 1 = 0 ja sisejõu N 4 ning N 5 õlg momendipunkti 4 suhtes on null.Toereaktsiooni C 2 väärtuseks on ’–22.5’, sest toereaktsiooni suund on vastupidi jooniseloletatuga. Tingimusest (6.2) avaldame sisejõu N 7 :N 7 = − F d + C 21.5dh= M 0 4h(6.3)kus M 0 4 on sõrestikule vastava lihttala moment punkti 4 suhtes.Sõrestikuvarda sisejõu N 4 leidmiseks on momendipunktiks sõlmpunkt 3. Selle punktisuhtes on momentide tasakaalu tingimusTingimusest (6.4) avaldame sisejõu N 4 :ΣM 3 = 0; −N 4 h + F 0.5d + C 2 d = 0 (6.4)N 4 = − F 0.5d + C 2dh= − M 0 3h(6.5)kus M 0 3 on sõrestikule vastava lihttala moment punkti 3 suhtes.Sõrestikuvarda sisejõu N 5 leidmiseks momendipunkti võte ei kõlba, sest kahe ülejäänudvarda (varras 4 ja 7) sihid ei lõiku (lõikuvad ∞).

6.2 Staatiliselt määratud sõrestike arvutus 1516.2.3 Projektsioonide võteParalleelvöödega sõrestiku diagonaali sisejõudu (N 5 ) (joonis 6.3) ei saa leida momentidetasakaalu tingimusest, kuna momendipunkt on lõpmatuses.Kahe läbilõigatud paralleelse vöö risttelje kohta kirjutatud jõudude projektsioonidetasakaalu tingimus (joonis 6.4)ΣZ = 0; −N 5 cos (n, z) + F + C 2 2 = 0 (6.6)kus cos (n, z) väärtuse saab joonise 6.9 tabelist ”Varraste suunakoosinused”.Kantud varraste (joonis 6.7) suunakoosinuste väärtused on toodud joonisel 6.9 tabelis” Varraste suunakoosinused” ridades ” Algus cosA” ja ” Algus cosB”. Sisejõu N 5 suundühtib varda 5 suunaga 3 − 4. Nii saab cos (n, z) = −0.866. Võrrandist (6.6) saameavaldada sisejõu N 5N 5 = F + C 2cos (n, z) =Qo 3−4cos (n, z)(6.7)kus Q o 3−4 on sõrestikule vastava lihttala põikjõud sõlmede 3 ja 4 vahel.6.2.4 Maxwelli-Cremona diagrammSõrestikuvarraste sisejõudude graafilisel leidmisel konstrueeritakse Maxwelli-Cremonadiagramm (sisejõudude diagramm). Sisejõudude diagrammi võib koostada käsitsi võiarvutiprogrammiga DesignView.Sisejõudude diagrammi koostamist selgitame joonise 6.5 abil. Sõrestiku väliskontuurilkahe naabervälisjõuga ja vööga piiratud pinda tähistatakse tähega (või numbriga).Need pinnad ja varrastega ümbritsetud pinnad on väljad. Joonisel 6.5 a on sõrestikkuümbritsevad väljad a, b, c, d, e ning sõrestikuvarrastega ümbritsetud väljad f, g, k, n, p.a)F=15 kN F=15 kN F=15 kNc db)bC 2b1¢ ¢ £ £ £ ¢12f324g34 68ak5n56 1097p11¡ ¡¡ ¡7eC 3kgnfpcadeJoonis 6.5. Maxwelli-Cremona diagramm

152 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]Välis- ja sisejõud märgitakse kahe tähega, mis näitavad, milliste väljade vahel jõud asub.Toereaktsiooni C 2 tähistatakse a-b ja sõlmes 2 rakendatud jõudu F b–c.Välisjõudude hulknurk koostatakse järjekorras, nagu neid kohatakse päripäeva liikumiselümber sõrestiku. Joonisel 6.5 b on välisjõud b–c, c–d, d–e, e–a ja a–b.Sisejõudude määramine põhineb vaadeldava jõu tasakaalustamisel jõududega, mille si-a)bb)bc)N 1fN 3C2agN 2N 1N 4fd)FcbgN N 2 5f N 3kN 7 pagckfpandeJoonis 6.6. Jõuhulknurgadhid ühtivad sõrestikuvarraste telgjoonte sihtidega (joonis 6.6). Sisejõudude diagrammikoostamist alustatakse sõlmest, mis on moodustatud kahest vardast (sõlm 1,joonis 6.5 a). Toereaktsiooni C 2 tasakaalustame varraste 1 ja 3 sisejõududega (joonis6.6). Nende varraste sihid lõikuvad punktis f (joonis 6.5 b).Leitud sisejõudude märgi määramiseks liigume ümber sõlme 1 päripäeva(joonis 6.5 a)). Liikudes väljalt b väljale f , näeme diagrammilt (joonis 6.5 b)), etjõud mõjub sõlme 1 suunas, st varras b–f on surutud. Liikudes väljalt f väljale a,näeme diagrammilt, et varras f–a on tõmmatud. Joonisel 6.6 b) ja c) on näidatud sõlmi2 ja 3 tasakaalustavate jõudude hulknurgad. Varda sisejõud esineb diagrammi kahenaabersõlme jõuhulknurgas vastupidiste suundadega (sisejõud N 1 , joonis 6.6 a) ja b)).Sisejõudude diagrammis (joonis 6.5 b)) jõudude suundi ei märgita.

6.3 Talasõrestike mõjujooned 1536.3 Talasõrestike mõjujooned6.3.1 Mõjujoonte leidmine arvutigaSõrestiku sõlmede eraldamisel saadud tasakaaluvõrrandid (vt näide 6.1 joonis 6.9) esitamevõrrandigaG · s = S (6.8)kus G on tasakaalumaatriks ja s sisejõudude ja toereaktsioonide vektor,S – sõlmkoormuste vektor (tähistused on võetud õpikust [KW90]).[︃G (N, N)G =G (C, N)⎡]︃G (N, C); s =G (C, C)⎢⎣N 1N 2N 3.N i.C 1C 2C 3⎡⎤; S =⎥⎦⎢⎣⎤F x 1F z 1F x 2F z 3.F x iF z i.F C1⎥F C2 ⎦F C3(6.9)kus G (C, C) on negatiivne ühikmaatriksG (C, C) =Lahendades võrrandisüsteemi (6.8), saame⎡⎢⎣−1 0 00 −1 00 0 −1⎤⎥⎦ (6.10)s = G −1 · S = b · S (6.11)kus b on pööratud tasakaalumaatriks, mille struktuur on (vt näide 6.1 joonis 6.12)[︃b (N, F )b =b (C, F )]︃b (N, C)b (C, C)(6.12)Maatriksit b võiksime nimetada ka mõjumaatriksiks, sest selle elemendid määravadkõikide mõjujoonte ordinaadid.Maatriksiga b (N, F ) saame määrata sisejõu N i sõltuvalt väliskoormusest F j . Validesväliskoormuse F j = 1, saame mõjujoone ordinaadid.

154 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]6.4 Sõrestiku arvutamise näited6.4.1 Sõrestiku arvutus. Näide 6.1 [slaidid]Näide 6.1 Leida joonisel 6.2 toodud sõrestiku varraste sisejõud, toereaktsioonid ja varrastesisejõudude mõjujoonte ordinaadid.215F=15 kNF=15 kN6244N 4 N 8N 2 N 6N 2N N 3 789F=15 kN106N 9 N 101 256N 4N 7 N 11N 8C 39 10N 1 N 5N 1 N 5 N N 6 9 N 1013711N 3N3511712313 4814711C 1C 2¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢¡ ¡ ¡£ £ £Joonis 6.7. Varraste eraldamise võteVaatleme joonisel 6.7 toodud sõrestikskeemi. Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamisekskasutame varraste eraldamise võtet. Tasakaaluvõrrandid moodustame varda otspindadesuunakoosinuste lisamisega veergude kaupa. Tundmatuteks võtame ka toereaktsioonid.Nii saame 2n s võrrandit. Eraldame lõikega sõlmed. Arvutame sõrestikuvarrastesuunakoosinused (vt joonis 1.22).kus l on varda pikkusl =cos α = ∆xlcos β = ∆zl(6.13)(6.14)√︁(∆x) 2 + (∆z) 2 (6.15)siin∆x = x L − x A (6.16)∆z = z L − z A (6.17)a x A , z A , x L , z L on varda alguse ning lõpu koordinaadid. Sõrestiku (joonis 6.2) sõlmedekoordinaadid on toodud joonisel 6.8 tabelina ”Sõlmed”. Valime varraste algused ja lõpudnii, nagu on näidatud joonisel 6.8 tabelis ”Topoloogia”. Arvutusprogrammiga srstkN1.m 4leiame varraste koosinused. Varraste koosinuste väärtused on joonisel 6.9 tabelis ”Varrastesuunakoosinused” ridades ”Algus cosA” ja ”Algus cosB”.4 ./octaveProgrammid/srstkN1.m

6.4 Sõrestiku arvutamise näited 155Joonis 6.8. Sõrestiku topoloogiaJoonisel 6.9 on tabelisse ”Varraste suunakoosinused” kantud varraste (joonis 6.7)suunakoosinused joonisel 6.2 näidatud sisejõudude suundade alusel.Sõlmede vabadusastmete suunad nummerdame nii, nagu on näidatud joonisel 6.8Joonis 6.9. Võrrandisüsteemi vasak pool

156 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]Joonis 6.10. Võrrandisüsteemi koostaminetabelis ”Vabadusastmete numbrid sõlmedes”. Nii koostame sõlme 2 tasakaaluvõrrandidsuundadele 1 ja 2:∑︁Suunas1 = 0; N 1 cos α 2−1 + N 2 cos α 2−3 + N 4 cos α 2−4 = 0 (6.18)∑︁Suunas2 = 0; N 1 cos β 2−1 + N 2 cos β 2−3 + N 4 cos β 2−4 = 0 (6.19)Sõlmes 1 on tasakaaluvõrrandid suundadele 12 ja 13:∑︁Suunas12 = 0; N 1 cos α 1−2 + N 3 cos α 1−3 + C 1 = 0 (6.20)∑︁Suunas13 = 0; N 1 cos β 1−2 + N 3 cos β 1−3 + C 2 = 0 (6.21)Nii nagu võrrandid (6.18), (6.19), (6.20) ja (6.21), koostatakse võrrandid igas sõlmes.Saame võrrandisüsteemi (6.22)GX = S (6.22)kus X koosneb sõrestikuvarraste sisejõudude vektorist N ja toereaktsioonide vektoristC, S on koormusvektor. Tasakaaluvõrrandite süsteemi vasak pool on joonisel 6.9.Koormusvektor S ehk võrrandisüsteemi parem pool on joonisel 6.11. Koormusvektorisaame jõu väärtuste, vt tabel ”Jõud sõlmedes”, kandmisel tabelisse ”Võrrandisüsteemiparem pool” tabeli ”Vabadusastmete numbrid sõlmedes” järgi.

6.4 Sõrestiku arvutamise näited 157Joonis 6.11. Jõud sõlmedesVõrrandisüsteemi saame koostada ka kõigi varraste (joonis 6.7) vabadusastmeteja nende suunakoosinuste abil (vt joonis 6.10). Arvutusprogramm srstkN1.m kasutabmoodust, kus sõlmede tasakaaluvõrrandid saadakse kõigi varraste suunakoosinuste võrrandisüsteemikandmisega. Toereaktsioonide leidmiseks lisatakse võrrandisüsteemi (joonis6.9) negatiivne ühikmaatriks.Mõjujoonte ordinaatide leidmiseks kasutame võrrandisüsteemi (6.22) vasaku poole Gpöördmaatriksit G ′ (joonis 6.12). Mõjujoonte vajalike ordinaatide väljatoomiseks pöördmaatriksistG ′ X = G ′ · S (6.23)vaatleme joonist 6.2 ja teeme kindlaks, missugusei sõlmi läbib ühikjõud. Nii näiteksJoonis 6.12. Vasaku poole pöördmaatriks G ′

158 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]sõidutee all” puhul läbib ühikjõud sõlmi 1, 3, 5 ja 7. Need sõlmed ja nendele vastavad”vabadusastmed on joonisel 6.11. Vabadusastmete järgi valitakse pöördmaatriksist G ′veerud (vt joonis 6.12).Mõjujoonte ordinaatide arvutamist pöördmaatriksi G ′ abil on vaadelnud prof.W. B. Krätzig oma õpikus [Krä91b] lk 106.Viiteid varraste eraldamise võtte kohta võrrandisüsteemi koostamisel pole õnnestunudleida.6.4.2 Sõrestiku arvutus. Näide 6.2 [slaidid]Näide 6.2 Leida joonisel 6.13 esitatud sõrestikuvarraste sisejõud arvutiprogrammiga srstkN-BA.m 5 6 ja kontrollida sõrestiku kolmanda paneeli varraste sisejõude. Sõrestikule mõjub koormusF 3 = 5 kN, F 5 = 10 kN, F 7 = 4 kN, F 9 = 8 kN, F 13 = 4 kN, F 15 = 8 kN. Sõrestikumõõtmed on arvutusskeemil (joonis 6.13).III6 8 104 8 12 16201224 α24814α β14 11 13 15 18891721 23 28C2 β 5 71425 271163 3 6 5 10 7 14 9 19 11 22 13 26 15 29000 111 I00 11IIF 3F 5F 7F 9F 13FC15 C2 3d = 3 mL = 24 mzJoonis 6.13. Murdjoonelise ülemise vööga sõrestik2.43.64.0Sõrestikuvarraste sisejõudude leidmiseks arvutiga lisame arvutustabelid (tabel 6.1 ja 6.2).Sõrestikusõlmede kirjeldamiseks valime x-telje sõrestiku alumisse vöösse ja z-telje vertikaalseltsõlmest 1 alla (joonis 6.13). Sõlmpunktide koordinaadid ja sõlmedes mõjuvad koormused onesitatud tabelina 6.1. Sõrestikuvardaid kirjeldame sõlmede abil, andes varda alguse ja lõpusõlme numbri. Varraste kirjeldus (topoloogia) on tabelis 6.2.Sõrestiku sisejõud arvutame programmiga srstkNBA.m. Arvutiprogrammis langevad toereaktsioonideja koormuste positiivsed suunad kokku koordinaattelgede positiivsete suundadega.Tulemused kirjutame päevikusse 6.1.Arvutuspäevik 6.1 octave:2> diary srstkN2.outoctave:3> diary onoctave:4> srstkNBASolmedeArv = 16ElementideArv = 29%5 ./octaveProgrammid/srstkNBA.m6 ./octaveProgrammid/srstkNBA.Kommentaarid.pdfx

6.4 Sõrestiku arvutamise näited 159Tabel 6.1. Sõrestiku arvutustabel ISõlm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 0.0 3.0 3.0 6.0 6.0 9.0 9.0 12.0 12.0 15.0z 0.0 –2.4 0.0 –3.0 0.0 –4.0 0.0 –4.0 0.0 –4.0F z 0.0 0.0 5.0 0.0 10.0 0.0 4.0 0.0 8.0 0.0Sõlm 11 12 13 14 15 16x 15.0 18.0 18.0 21.0 21.0 24.0z 0.0 –3.6 0.0 –2.4 0.0 0.0F z 0.0 0.0 4.0 0.0 8.0 0.0Tabel 6.2. Sõrestiku arvutustabel IIVarras 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Algus 1 2 1 2 2 3 4 4 5 5 6 6 6 7 8Lõpp 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 9 9 9Varras 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29Algus 8 9 10 9 10 10 11 12 12 13 13 14 14 15Lõpp 10 10 13 11 12 11 13 13 14 14 15 15 16 16ans = S~olmpunktide ja Elementide arv on 16 ja 29Kui SolmedeArv ja ElementideArv on ~oiged, vajuta klahvile Enter===============================S~olmede koordinaadidJrk X Z-----------------------------1 0.0000 0.00002 3.0000 -2.40003 3.0000 0.00004 6.0000 -3.60005 6.0000 0.00006 9.0000 -4.00007 9.0000 0.00008 12.0000 -4.00009 12.0000 0.000010 15.0000 -4.000011 15.0000 0.000012 18.0000 -3.600013 18.0000 0.000014 21.0000 -2.400015 21.0000 0.000016 24.0000 0.0000===============================Toes~olmedJrk X-suunas Z-suunas-----------------------------1 1 12 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 0 010 0 011 0 012 0 013 0 014 0 015 0 016 0 1================================S~olmede vabadusastmete numbrid

160 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]Jrk X-suunas Z-suunas--------------------------------1 30 312 1 23 3 44 5 65 7 86 9 107 11 128 13 149 15 1610 17 1811 19 2012 21 2213 23 2414 25 2615 27 2816 29 32=============================J~oud s~olmedesJrk X-suunas Z-suunas-----------------------------1 0.0000 0.00002 0.0000 0.00003 0.0000 5.00004 0.0000 0.00005 0.0000 10.00006 0.0000 0.00007 0.0000 4.00008 0.0000 0.00009 0.0000 8.000010 0.0000 0.000011 0.0000 0.000012 0.0000 0.000013 0.0000 4.000014 0.0000 0.000015 0.0000 8.000016 0.0000 0.0000=============================Elementide topoloogiaJrk Algus L~opp-----------------------------1 1 22 2 33 1 34 2 45 2 56 3 57 4 58 4 69 5 610 5 711 6 712 6 813 6 914 7 915 8 916 8 1017 9 1018 10 1319 9 1120 10 1221 10 1122 11 1323 12 1324 12 1425 13 1426 13 1527 14 1528 14 1629 15 16==============================Elementide suunakoosinusedJrk cosAlpha cosBeta-----------------------------1 0.7809 -0.62472 0.0000 1.00003 1.0000 0.00004 0.9285 -0.37145 0.7809 0.62476 1.0000 0.00007 0.0000 1.00008 0.9912 -0.13229 0.6000 -0.800010 1.0000 0.000011 0.0000 1.000012 1.0000 0.000013 0.6000 0.800014 1.0000 0.000015 0.0000 1.000016 1.0000 0.000017 0.6000 -0.800018 0.6000 0.800019 1.0000 0.000020 0.9912 0.132221 0.0000 1.000022 1.0000 0.000023 0.0000 1.000024 0.9285 0.371425 0.7809 -0.624726 1.0000 0.000027 0.0000 1.000028 0.7809 0.624729 1.0000 0.0000

6.4 Sõrestiku arvutamise näited 161=============================Varraste sisej~oudJrk N-----------------------------1 -32.61592 5.00003 25.46884 -32.08665 5.53606 25.46887 7.94448 -30.05539 -1.753510 30.843711 4.000012 -31.875013 1.718714 30.843715 -0.000016 -31.875017 8.281218 -4.218819 26.906220 -24.590721 0.000022 26.906223 6.500024 -26.252725 1.400726 23.281227 8.000028 -29.814529 23.281230 -0.0000 - toereaktsioon C131 -20.3750 - toereaktsioon C232 -18.6250 - toereaktsioon C3-----------------------------=============================Ühikj~oud s~olmedesJrk X-suunas Z-suunas-----------------------------1 0 12 0 03 0 14 0 05 0 16 0 07 0 18 0 09 0 110 0 011 0 112 0 013 0 114 0 015 0 116 0 1-----------------------------=============================M~ojujooned N(i)-le s~olmedes. Viimased kolm ontoereaktsioonide m~ojujooned-----------------------------1 0.0000 -1.4007 -1.2006 -1.0005 -0.8004 -0.6003 -0.4002 -0.2001 0.00002 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.00003 0.0000 1.0938 0.9375 0.7813 0.6250 0.4688 0.3125 0.1562 0.00004 0.0000 -0.6731 -1.3463 -1.1219 -0.8975 -0.6731 -0.4488 -0.2244 0.00005 0.0000 -0.6003 0.4002 0.3335 0.2668 0.2001 0.1334 0.0667 -0.00006 0.0000 1.0938 0.9375 0.7813 0.6250 0.4688 0.3125 0.1562 0.00007 0.0000 0.1667 0.3333 0.2778 0.2222 0.1667 0.1111 0.0556 -0.00008 0.0000 -0.6305 -1.2611 -1.0509 -0.8407 -0.6305 -0.4204 -0.2102 0.00009 0.0000 0.2604 0.5208 -0.6076 -0.4861 -0.3646 -0.2431 -0.1215 0.000010 0.0000 0.4688 0.9375 1.4062 1.1250 0.8437 0.5625 0.2812 0.000011 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.000012 0.0000 -0.3750 -0.7500 -1.1250 -1.5000 -1.1250 -0.7500 -0.3750 0.000013 0.0000 -0.1563 -0.3125 -0.4688 0.6250 0.4687 0.3125 0.1562 -0.000014 0.0000 0.4688 0.9375 1.4062 1.1250 0.8437 0.5625 0.2812 0.000015 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.000016 0.0000 -0.3750 -0.7500 -1.1250 -1.5000 -1.1250 -0.7500 -0.3750 0.000017 0.0000 0.1563 0.3125 0.4688 0.6250 -0.4688 -0.3125 -0.1562 0.0000

162 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]18 0.0000 -0.1215 -0.2431 -0.3646 -0.4861 -0.6076 0.5208 0.2604 -0.000019 0.0000 0.2812 0.5625 0.8437 1.1250 1.4062 0.9375 0.4688 0.000020 0.0000 -0.2102 -0.4204 -0.6305 -0.8407 -1.0509 -1.2611 -0.6305 0.000021 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.000022 0.0000 0.2812 0.5625 0.8437 1.1250 1.4062 0.9375 0.4688 0.000023 0.0000 0.0556 0.1111 0.1667 0.2222 0.2778 0.3333 0.1667 -0.000024 0.0000 -0.2244 -0.4488 -0.6731 -0.8975 -1.1219 -1.3463 -0.6731 0.000025 0.0000 0.0667 0.1334 0.2001 0.2668 0.3335 0.4002 -0.6003 0.000026 0.0000 0.1563 0.3125 0.4688 0.6250 0.7812 0.9375 1.0938 0.000027 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.000028 0.0000 -0.2001 -0.4002 -0.6003 -0.8004 -1.0005 -1.2006 -1.4007 0.000029 0.0000 0.1563 0.3125 0.4688 0.6250 0.7812 0.9375 1.0938 -0.000030 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.000031 -1.0000 -0.8750 -0.7500 -0.6250 -0.5000 -0.3750 -0.2500 -0.1250 0.000032 0.0000 -0.1250 -0.2500 -0.3750 -0.5000 -0.6250 -0.7500 -0.8750 -1.0000=============================M~ojujoone x koordinaadid-----------------------------0 3 6 9 12 15 18 21 24-----------------------------octave:5> diary offArvutuspäevikust 6.1 saame kontrollida sisestatud sõlmede koordinaate ja varraste topoloogiat.Varda 4 ja 8 suunakoosinused saame päevikust cos α 4 = 0.92848, cos β 4 = −0.37139, cos α 8 =0.99123, cos β 8 = −0.13216. Kontrollime leitud toereaktsioonide väärtusi C 2 = −20.375 kN,C 3 = −18.625 kN, koostades tasakaalutingimuse Z-teljele ∑︀ Z = 0− 20.375 − 18.625 + 5 + 10 + 4 + 4 + 8 + 8 = 0 kN (6.24)Sisejõudude leidmiseks eraldame lõikega II − II sõrestiku vasakpoolse osa ja vaatleme selletasakaalu (joonis 6.14). Varda 10 momendipunktiks on sõlm 6 (joonis 6.14). Varda momendipunktiotsimiseks teeme lõike II − II läbi kolme varda. Fikseerime varda, mille sisejõuduotsime. Selle varda momendipunkt on seal, kus kaks ülejäänud varrast lõikuvad. Sisejõu N 10sihi kaugus sõlmest 6 r 5−7 = 4.0 m. Momendipunkti kohta koostatud tasakaalutingimusest∑︁M6 = 0 : −N 10 r 5−7 − F 5 d − F 3 2d − C 2 3d = 0 (6.25)saameN 10 = M 50 −10 · 3 − 5 · 6 + 20.375 · 9= = 30.84 kN (6.26)r 5−7 4siin tähistab M5 0 vastava lihttala paindemomenti punkti 5 suhtes antud koormusest. Varda 8momendipunktiks on sõlm 5. Varda momendipunkti otsimiseks teeme lõike II − II läbi kolmevarda. Fikseerime varda, mille sisejõudu otsime. Selle varda momendipunkt on seal, kus kaksülejäänud varrast lõikuvad. Sisejõu N 8 sihi kaugus sõlmest 5 on r 4−6 = h 2 cos α 8 = 3.5684 m.Siin h 2 = 3.6 m. Momendipunkti 5 kohta koostatud tasakaalutingimusest∑︁M5 = 0 : −N 8 r 4−6 − F 3 d − C 2 2d = 0 (6.27)

6.4 Sõrestiku arvutamise näited 163II6r I4−6= 3.5684 m 4 N 82 4 α8α β14 8 11K 3α C2 β 5 781 14000 111 3 3 6 5 N 7000 11110I IIF 3FC52a 3= 21 mzN 9L = 24 mr5−6= 21.6 mJoonis 6.14. Sõrestiku vasakpoolne osatulenebN 8 = − M 50 = 5 · 3 − 20.375 · 6 = −30.06 kN (6.28)r 4−6 3.5684kus M5 0 tähistab vastava lihttala paindemomenti punkti 5 suhtes antud koormusest. Märk ’–’näitab, et ülemised kiud on surutud.Sõrestikuvarda 8 momendipunktiks on sõlm 5. Varda momendipunkti otsimiseks teeme lõikeI − I (joonis 6.14) läbi kolme varda. Fikseerime varda, mille sisejõudu otsime. Selle vardamomendipunkt on seal, kus kaks ülejäänud varrast lõikuvad. Koostame lõikega I − I eraldatudosa kohta tasakaalutingimuse, millest saame analoogiliselt varda 8 sisejõugaN 4 = − M 50 = 5 · 3 − 20.375 · 6 = −32.09 kN (6.29)r 2−4 3.3425IIN 8 6 8 10412 16820122424149111 13 15 181721 23 282 5 71N 1025 27160000 1111 3 3 6 5 10 7 14 9 19 11 22 13 26 15 29 00 110000 111100 11II F 7F 9F 13F 15 C 3d = 3 ma 3 L = 24 mzN 9Joonis 6.15. Sõrestiku parempoolne osa

164 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]siin on sisejõu N 4 sihi kaugus sõlmest 5 r 2−4 = h 2 · cos α 4 = 3.3425 m, kus h 2 = 3.6 m.Varda 9 momendipunkti otsimiseks teeme lõike II − II (joonis 6.14) läbi kolme varda.Fikseerime varda 9, milles otsime sisejõudu. Selle varda momendipunkt on seal, kus kaksülejäänud varrast (vardad 10 ja 8) lõikuvad. Joonisel 6.14 on see punkt tähistatud K 3 -ga.Koostame selle punkti kohta tasakaaluvõrrandi∑︁MK3 = 0 : −N 9 r 5−6 + F 5 (a 3 + 2d) + F 3 (a 3 + d) + C 2 a 3 = 0 (6.30)kus r 5−6 = 21.6 m ja a 3 = 21 m (joonis 6.14). Tasakaaluvõrrandist (6.30) saame10 · 27 + 5 · 24 − 20.375 · 21N 9 = = −1.75 kN (6.31)21.6Varraste 11 ja 7 sisejõu leidmiseks lõikame sõlmed 7 ja 4 välja (joonis 6.16 ja 6.17).Sõlme 7 tasakaalutingimusest Z-teljele∑︁Z = 0 : −N11 + F 7 = 0 (6.32)N10N11N147F 7saameN 11 = 4 kN (6.33)Joonis 6.16. Sõlme 7tasakaalSõlme 4 tasakaalutingimusest Z-teljeleNN α 8444β 4 N7α8β 8∑︁Z = 0 : N7 − N 8 cos β 8 + N 4 cos β 4 = 0 (6.34)saame avaldisi (6.28) ja (6.29) kasutadesN 7 = M 0 5r 4−6cos β 8 − M 0 5r 2−4cos β 4 (6.35)Joonis 6.17. Sõlme 4tasakaalVõttes arvesse seosed r 4−6 = h 2 cos α 8 ja r 2−4 = h 2 cos α 4 , saameN 7 = M 50 (︂ cos β8− cos β )︂4h 2 cos α 8 cos α 4ehk arvestades seoseid (6.13) ja (6.14) saameN 7 = M 50 (tan α 4 − tan α 8 ) = 20.375 · 6 − 5 · 3h 2 3.6(6.36)(︂ 1.23 − 0.4 )︂= 7.94 kN (6.37)3Sõrestiku sisejõude võib leida ka lõikest II −II paremale jääva osa (joonis 6.15) vaatlemisega.Käsitsi arvutatud kolmanda paneeli sisejõud N 7 , N 8 , N 9 , N 10 ja N 11 ühtivad arvutigaleitutega.

6.4 Sõrestiku arvutamise näited 1656.4.3 Sõrestiku mõjujoonte koostamine. Näide 6.3 [slaidid]Näide 6.3 Koostada joonisel 6.23 näidatud sõrestiku kolmanda paneeli varraste sisejõududemõjujooned ja võrrelda neid arvutuspäevikus 6.1 toodud mõjujoonte ordinaatidega.Talasõrestiku mõjujoonte konstrueerimiseks vaatleme vastava tala mõjujooni (joonis 6.18)."1"000 11100 11000 11100 11C2 zC31.0C2mj1.0C 3mjJoonis 6.18. Lihttala toereaktsioonide mõjujoonedMõjujoonte konstrueerimiseks jagame lõikega II − II sõrestiku kaheks osaks (joonis 6.23).Kui ühikjõud liigub läbilõigatud paneelist paremal, siis vaatleme vasakpoolse osa tasakaalu(joonis 6.19), ja kui ühikjõud liigub läbilõigatud paneelist vasakul, siis vaatleme parempoolseosa tasakaalu (joonis 6.20).Varda 10 momendipunktiks on sõlm 6 (joonis 6.19). Sisejõu N 10 sihi kaugus sõlmest 6h 3 = 4.0 m. Momendipunkti kohta koostatud tasakaalutingimusest∑︁M6 = 0 : −N 10 h 3 − C 2 3d = 0 (6.38)II6r I4−6= 3.5684 m 4 N 82 4 α8α β14 8 11K 3α C8121 β 5 743 3 6 5 N 7000 11110I IIC2a 3= 21 mL = 24 mzN 9"1"r5−6= 21.6 mJoonis 6.19. Sõrestik. Ühikjõud paremal

166 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]saameN 10 = M 0 5r 5−7= − C 23dh 3= 9 4(6.39)Varda 10 mõjujoon (joonis 6.23) on sarnane lihttala mõjujoonega M5 0 ristlõike 5 jaoks, milleordinaadid on jagatud h 3 = 4 m-ga. Varda 10 mõjujoone iseloomuliku ordinaadi saame, kuikorrutame toereaktsiooni C 2 mõjujoone ordinaadid − 9 4 -ga.Varda 8 momendipunktiks on sõlm 5. Sisejõu N 8 sihi kaugus sõlmest 5 on r 4−6 =h 2 cos α 8 = 3.5684 m. Siin h 2 = 3.6 m. Momendipunkti 5 kohta koostatud tasakaalutingimusest∑︁M5 = 0 : −N 8 r 4−6 + C 2 2d = 0 (6.40)saameN 8 = − M 0 5r 4−6= C 22dr 4−6= 63.5684(6.41)kus M5 0 on sõrestikule vastava lihttala paindemomendi mõjujoon punkti 5 suhtes. Varda 8mõjujoon on joonisel 6.23. Varda 8 mõjujoon sarnaneb lihttala mõjujoonega M5 0 , mille ordinaadidon jagatud r 4−6 -ga.Sõrestikuvarda 4 momendipunktiks on sõlmpunkt 5. Koostame lõikega I − I eraldatudsõrestikuosa (joonis 6.14) kohta tasakaalutingimuse, millest saame varda 8 sisejõuN 4 = − M 0 5r 2−4= C 22dr 2−4= 63.3425(6.42)kus sisejõu N 4 sihi kaugus sõlmest 5 on r 2−4 = h 2 cos α 4 = 3.3425 m.Varda 9 momendipunktiks on varraste 8 ja 10 sihtide lõikepunkt K 3 . Sisejõu N 9 sihi kauguspunktist K 3 on r 4−6 = 21.6 m. Momendipunkti K 3 kohta koostatud tasakaalutingimusest∑︁MK3 = 0 : −N 9 r 5−6 + C 2 a 3 = 0 (6.43)kus a 3 = 21 m (joonis 6.19), saameN 9 = C 2a 3= − 21 = 2.0833 (6.44)r 5−6 21.6a 3IIIIIN 8 6 8 10412 16820122424149111 13 15 18γ 1721 23 282 5 71N 1025 27160000 1111 3 3 6 5 10 7 14 9 19 11 22 13 26 15 29 000 1110000 1111000 111II III"1"d = 3 mC3L = 24 mN 9zJoonis 6.20. Sõrestik. Ühikjõud vasakul

6.4 Sõrestiku arvutamise näited 167Liikuva koormuse all (läbilõigatud paneelist paremal) sarnaneb varda N 9 mõjujoon toereaktsiooniC 2 mõjujoonega, mille ordinaadid on korrutatud a 3 /r 5−6 -ga.Kui koormus liigub vasakul pool läbilõigatud paneeli, siis vaatleme sõrestiku parempoolseosa tasakaalu (joonis 6.20). Varda 9 momendipunkti K 3 kohta koostatud tasakaalutingimusest∑︁MK3 = 0 : −N 9 r 5−6 + C 3 (a 3 + L) = 0 (6.45)kus a 3 = 21 m (joonis 6.19), saameN 9 = − C 3 (a 3 + L) 21 + 24= = 45r 5−6 21.6 21.6(6.46)Liikuva koormuse all (läbilõigatud paneelist vasakul) sarnaneb varda N 9 mõjujoon toereaktsiooniC 3 mõjujoonega, mille ordinaadid on korrutatud (a 3 + L) /r 5−6 -ga (joonis 6.23).Varda 11 mõjujoone leidmiseks lõikame sõrestikust (joonis 6.23) välja sõlme 7 (joonis6.21).Sõlme 7 tasakaalutingimusest Z-teljele∑︁Z = 0 : −N11 + 1 = 0 (6.47)N10N11N7"1"14saameN 11 = 1 (6.48)Kui ühikjõud asub teistes sõlmedes, on N 11 = 0.Joonis 6.21. Sõlm 7Varda 7 mõjujoone leidmiseks lõikame sõrestikust (joonis 6.23) välja sõlme 4 (joonis 6.22).Sõlme 4 tasakaalutingimusest Z-teljele∑︁Z = 0 : N7 − N 8 cos β 8 + N 4 cos β 4 = 0 (6.49)"1"NN α 8444β 4 N7α8β 8saame avaldisi (6.28) ja (6.29) kasutadesN 7 = M 0 5r 4−6cos β 8 + M 0 5r 2−4cos β 4 (6.50)Kui ühikjõud asub sõlmes 4, lisandub tasakaaluvõrrandile(6.49) ühikjõud ja N 7 avaldis (6.50) on ühe võrra väiksem.Joonis 6.22. Sõlm 4Võttes arvesse seosed r 4−6 = h 2 cos α 8 ja r 2−4 = h 2 cos α 4 , (6.13), (6.14), saameN 7 = M 50 (tan α 4 − tan α 8 ) = M 0 (︂5 1.2h 2 3.6 3 − 0.4 )︂3(6.51)

168 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]Varda (︁ N 7 mõjujoon )︁ sarnaneb lihttala mõjujoonega M5 0 , mille ordinaadid on korrutatud1 1.23.6 3 − 0.43(joonis 6.23).Sõrestiku varda 13 mõjujoone konstrueerimisel kasutame projektsioonide võtet.Kui koormus liigub vasakul pool läbilõigatud paneelist, vaatleme lõikest paremale poolejäävat osa (joonis 6.20). Koostame tasakaaluvõrrandi z-teljele∑︁z = 0 : N13 cos γ − C 3 = 0 (6.52)N 13 = C 3 / cos γ, (0 ≤ x ≤ 3d) (6.53)Avaldisest (6.53) näeme, et esimese kolme paneeli ulatuses on varda 13 mõjujoon sarnanetoereaktsiooni C 3 mõjujoonega (joonis 6.18), mille ordinaadid on jagatud nurga γ koosinusegacos γ = 4/5 = 0.8 (joonis 6.23).Kui koormus liigub paremal pool läbilõigatud paneelist, vaatleme lõikest vasakule poolejäävat osa (joonis 6.20). Koostame tasakaaluvõrrandi z-teljele∑︁z = 0 : N13 cos γ + C 2 = 0 (6.54)N 13 = −C 2 / cos γ, (4d ≤ x ≤ l) (6.55)Avaldisest (6.55) näeme, et viimase nelja paneeli ulatuses on varda 13 mõjujoon sarnane toereaktsiooni’−C 2 ’ mõjujoonega (joonis 6.18), mille ordinaadid on jagatud nurga γ koosinusegacos γ = 4/5 = 0.8 (joonis 6.23).Läbilõigatud paneeli ulatuses ühendame vasaku ja parema poole mõjujooned (joonis 6.23).Mõjujoonte abil arvutame sisejõud valemigaN i = ∑︁ F j η ij = F j η ij (6.56)kus η j on sisejõu N i mõjujoone ordinaat sõlmes j ja F j on koormus sõlmes j. SaameN 10 = 5 · 0.4688 + 10 · 0.9375 + 4 · (1.4063 + 0.5625) ++8 · (1.1250 + 0.2812) = 30.84 kN (6.57)N 8 = − [5 · 0.6305 + 10 · 1.2611 + 4 · (1.0509 + 0.4204) ++8 · (0.8407 + 0.2102)] = −30.06 kN (6.58)N 9 = 5 · 0.2604 + 10 · 0.5208 + 4 · (0.6076 + 0.2430) ++8 · (0.4861 + 0.1215) = −1.75 kN (6.59)N 11 = 4 · 1.000 = 4.00 kN (6.60)N 7 = 5 · 0.1667 + 10 · 0.3333 + 4 · (0.2778 + 0.1111) ++8 · (0.2222 + 0.0556) = 7.94 kN (6.61)Tabelis 6.3 on arvutiga, käsitsi ja mõjujoonte abil leitud sisejõudude võrdlus.

6.4 Sõrestiku arvutamise näited 169III6 8 104 8 12 16201224 α24814α β14 11 13 15921 18817 23 282C 1 β 5 7425 271160000 1111 3 3 6 5 10 7 14 9 19 11 22 13 26 15 29 000 1110000 1111 I000 111II "1"Cd=3 m2C 3L = 24 mz2.43.64.0x94N 10mj0.63051.26111.05090.84070.63050.42040.2102N 8mj63.56844521.62121.60.26040.52080.60760.48610.36460.243197111.00.46880.93751.40631.12500.84380.56250.12150.2813Nmj6(0.4−0.4)3.6 3N mj0.16670.33330.27780.22220.16670.11110.0556Nmj10.80.15620.3125o.45880.52500.46880.31250.156210.8N13mjJoonis 6.23. Sõrestiku mõjujooned

170 6. Sõrestikskeemid [Loeng 1] [Loeng 2]Tabel 6.3. Varraste sisejõudude võrdlusVarras N i arvutiga [kN] N i käsitsi [kN] N i mõjujoontega [kN]10 30.84 30.84 30.848 –30.06 –30.06 –30.069 –1.75 –1.75 –1.7511 4.00 4.00 4.007 7.94 7.94 7.94

7. Siirete arvutus7.1 Sise- ja rajajõudude tööDeformeerunud oleku kasutamisel virtuaalsiirdena tuleb muude tööde kõrval arvestadaka sisejõudude tööd. Varrassüsteemi virtuaalsiirdeks sobib selle mis tahes tegelikultvõimalik deformeerunud seisund, mis lubab rakendada algmõõtmete printsiipi. Seejuurespole oluline deformeerumise põhjus, milleks võib olla mis tahes lubatav koormus,temperatuuri muutumine, tugede vajumine jt. [Jür85]. Juhul kui sidemed on statsionaarsed,siis virtuaalsiirete klass ühtib võimalike siirete klassiga ja tegelik siire on üksvirtuaalsiiretest.Ehitusmehaanikas eristame kolme liiki tööd – passiivtöö, aktiivtöö ja täiendustöö.∙ Passiivtöö ([Rää75] – võimalik töö, ingl passive work, sks Verschiebungsarbeit) onjõudude töö virtuaalsiiretel, kui neid siirdeid ei kutsunud esile vaadeldavad jõud(joonis 7.1).∙ Aktiivtöö ([Rää75] – tegelik töö, ingl active work, sks Eigenarbeit) on jõududetöö virtuaalsiiretel ja -pööretel, kui need siirded ja pöörded on kutsunud esilevaadeldavad jõud (joonis 7.2).∙ Täiendustöö (ingl complementary work, sks Ergänzungarbeit) on virtuaaljõududetöö siiretel ja pööretel, kui need jõud on kutsunud esile vaadeldavad siirded japöörded [PRZ68] (joonis 7.3).Tööde avaldise (1.8) (lk 37) pikkel kirjutame kujul↔N x ˆu⏟ ⏞W r∫︁ b| b a −a⏟ ⏞∫︁ bN xˆλdx + ( q x (x) ˆudx + F xiˆu i ) = 0 (7.1)W s W va⏟ ⏞Kui vaadelda avaldises (7.1) ˆu-d kui virtuaalset siiret, siis väljendab see avaldis virtuaalsiireteprintsiipi. Kirjutame võrrandi (7.1) ümber järgmiselt:W (p) = W (p)r+ W (p)skus üldjuhul (vt joonis 1.3 lk 33 ja avaldis (F.28) lk 686)+ W (p)v = 0 (7.2)[︂ ↔Nx]︂ b [︂ ↔QzW r (a) = ˆu +a]︂ b [︂ ↔Myˆw +aˆφ y]︂ ba(7.3)171

172 7. Siirete arvutusFW (p)u^FF = f(u)(a)WuFW (t)u = f(F)uJoonis 7.1. PassiivtööJoonis 7.2. AktiivtööJoonis 7.3. TäiendustööW (p)s∫︁ b= −a∫︁ bN xˆλdx − Q z ˆβz dx −a∫︁ baM y ˆψy dx (7.4)∫︁ b∫︁ l∫︁ lW v (p) = q x (x) ˆudx + F xiˆu i + q z (x) ˆwdx + F zi ˆw i + m y (x) ˆφ y dx + M zi ˆφ yi (7.5)a00Avaldist (7.2) nimetatakse energiateoreemiks pikkel: rajajõudude, sisejõudude javälisjõudude tööde summa on null. Avaldises (7.2) esinevad tööd W (p) on passiivtööd,kuna vaadeldavad jõud ei kutsu esile virtuaalsiirdeid ˆu.Kui vaadeldav jõud sõltub siiretest ja pööretest, siis tööd, mida need jõud teevadnendel siiretel ja pööretel, nimetatakse aktiivtööks (joonis 7.2). Aktiivtööde energiateoreem[KW90]kusW (a) = W (a)r+ W (a)s+ W (a)v = 0 (7.6)W r (a) = 1 [︂ ↔Nx]︂ bu + 1 [︂ ↔Qz]︂ bw + 1 [︂ ↔My]︂ bφ y2 a 2 a 2a(7.7)W s (a) = − 1 ∫︁ bN x λdx − 1 ∫︁ bQ z β z dx − 1 ∫︁ bM y ψ y dx (7.8)2 a 2 a2 aW v (a) = 1 (︃ ∫︁ b∫︁ lq x (x) udx + F xi u i + q z (x) wdx + F zi w i +2 a0∫︁ )︃l+ m y (x) φ y dx + M zi φ yi0(7.9)Sisejõudude töö avaldis (7.8) on miinusmärgiga. Sisejõudude potentsiaalenergia Π s ehkdeformatsioonienergia (joonis 1.3 lk 33) U on arvuliselt võrdne sisejõudude tööga, kuidvastupidise märgigaΠ s = U = −W (a)s (7.10)

7.2 Virtuaalne töö 1737.2 Virtuaalne tööKoormame tala (joonis 7.4) jõuga F i . Tala saab ristlõikes i siirde δ ii (siire kohas i japõhjustatud jõust F i ). Seejärel rakendame jõu F k . Talale lisandub ristlõikes k siire δ kk(siire kohas k ja põhjustatud jõust F k ). Tala ristlõikes i lisandub siire ˆδ ik (siire kohas ija põhjustatud jõust F k ). Nüüd ristlõikes i ei põjustanud siiret jõud F i , vaid liikus kaasa(teeb passiivtööd). Selle jõu poolt saame virtuaalseks tööks F iˆδik .F iElastne joon jõustF i000 111000 111F k 000 111000 111F F i kδ ii^Elastne joon jõududest jaδ ikδ kkJoonis 7.4. Virtuaalne tööAvaldame jõu F k poolt põhjustatud prinkused varda elastsusseostest (vt joonis 1.3lk 33):ˆλ k = N kEA , ˆβz k = Q z kGA red,ˆ ψ y k = M y kEI y(7.11)Jõudude F i poolt tekitatud sisejõudude virtuaalne töö jõu F k põhjustatud siiretel arvutameavaldisega:W (p)s= − ∑︁ ∫︁ l0N kN x iEA dx − ∑︁ ∫︁ l0Q z iQ z kdx − ∑︁ ∫︁ lGA red 0M y iM y kEI ydx (7.12)Kui rajajõudude töö W r(p)on null, millest saame:= 0, siis välisjõudude töö W (p)vja sisejõudude W (p)ssummaF iˆδik = ∑︁ ∫︁ l0N kN x iEA dx + ∑︁ ∫︁ l0Q z iQ z kdx + ∑︁ ∫︁ lGA red 0M y iM y kEI ydx (7.13)Saadud avaldis on Mohri 1 2 integraal siirete määramiseks. Võrrandis (7.13) vasakul poolvõrdusmärki on esimese koormusolukorra välisjõudude töö siiretel, mis on põhjustatudteise koormusolukorra jõudude poolt. Paremal pool võrdusmärki on esimese koormusolukorrasisejõudude töö teise koormusolukorra poolt põhjustatud siiretel.Akiivtöö korral on välisjõudude F i töö W (a)vnende endi poolt põhjustatud siiretelδ i i12 F iδ i i = 1 ∑︁ ∫︁ l N iN x i2 0 EA dx + 1 ∑︁ ∫︁ l2 0Q z i1 http://en.wikipedia.org/wiki/Christian Otto Mohr2 Christian Otto Mohr, saksa ehitusinsener, 1835–1918.Q z iGA reddx + 1 2∑︁ ∫︁ l0M y iM y iEI ydx (7.14)

174 7. Siirete arvutusAvaldise (7.14) paremal pool võrdusmärki olev avaldis on deformatsioonienergia (sisejõududepotentsiaalenergia).Potentsiaalenergia jaoks ei ole jõudude sõltumatuse printsiip rakendatav, sest summaruut ei võrdu üksikute liikmete ruutude summaga.Joonisel 7.4 näidatud tala puhul kasutame energiateoreemi. Täistöö W 1 = 0 avaldis(7.15) koosneb sisejõudude tööst W 1 s (rajajõudude töö puudub W 1 r = 0), välisjõududeaktiivtööst (W v(a) = 1F 2 iδ i i + 1F 2 kδ k k ) ja passiivtööst (W v (p) = F iˆδik ):W 1 = W 1 s + W (a)v+ W (p)v = 0 (7.15)Tasakaalus olevas süsteemis kinemaatiliselt võimalikel väikestel siiretel (virtuaalsiiretel)täistööd ei tehta (täistöö on null).Avaldisest (7.15) leiame sisejõudude töö (7.16).W 1 s = −W (a)v7.3 Tööde vastastikkuse teoreem− W (p)v = − 1 2 F iδ i i − 1 2 F kδ k k − F iˆδik (7.16)Koormame tala (joonis 7.5) jõuga F k . Tala saab ristlõikes k siirde δ kk (siire kohas k japõhjustatud jõust F k ). Seejärel rakendame jõu F i . Talale lisandub ristlõikes i siire δ ii(siire kohas i ja põhjustatud jõust F i ). Tala ristlõikes k lisandub siire ˆδ ki (siire kohask ja põhjustatud jõust F i ). Nüüd ristlõikes k ei põhjustanud siiret jõud F k vaid liikuskaasa (teeb passiivtööd). Selle jõu poolt saame virtuaalseks tööks F kˆδki .F iδ kkF kElastne joon jõustFk0000 11110000 1111δ ii^δ ki00 1100 11Elastne joon jõududestF ja F i kJoonis 7.5. Tala virtuaalne tööJoonisel 7.5 näidatud tala puhul kasutame energiateoreemi. Täistöö W 2 = 0 avaldis(7.17) koosneb sisejõudude tööst W 2 s (rajajõudude töö puudub W 2 r = 0), välisjõududeaktiivtööst (W v(a) = 1F 2 iδ i i + 1F 2 kδ k k ) ja passiivtööst (W v (p) = F kˆδki ):W 2 = W 2 s + W (a)vAvaldisest (7.17) leiame sisejõudude töö (7.18).W 2 s = −W (a)v+ W (p)v = 0 (7.17)− W (p)v = − 1 2 F iδ i i − 1 2 F kδ k k − F kˆδki (7.18)Nimetame joonisel 7.4 näidatud talale rakendatud jõudude süsteemi esimeseks koormusolukorraksja joonisel 7.5 (sama tala) näidatud talale rakendatud jõudude süsteemi

7.3 Tööde vastastikkuse teoreem 175teiseks koormusolukorraks. Koormusolukorrad erinevad jõudude rakendamise järjekorrapoolest. Koormamise lõpus on nende olukordade siirded ühesugused, ei erine teineteisest.Kui koormamise alguses ja lõpus on siirded ühesugused, siis on ka nende sisejõududepotentsiaalenergiad (Π 1 = Π 2 ) ja sisejõudude tööd (avaldis (7.10)) ühesugusedW 1 s = W 2 s (7.19)Võttes arvesse avaldised (7.16) ja (7.18) saame avaldisest (7.19):F iˆδik = F kˆδki (7.20)Avaldis (7.20) väljendab Betti 3 teoreemi (tööde vastastikkuse teoreemi): esimese koormusolukorravälisjõudude virtuaaltöö teise koormusolukorra jõudude poolt põhjustatudsiiretel on võrdne teise koormusolukorra välisjõudude virtuaaltööga esimese koormusolukorrajõudude poolt põhjustatud siiretel.7.3.1 Vedru vastastikune tööVaatleme vedru (joonis 7.6 a)) kui lihtsaimat elementi, et selgitada vardamehaanikaprintsiipe. Rakendame vedrule jõu F ja ˆF (joonis 7.6 b), c)). Vedru siirded δ, ˆδ onjõududega proportsionaalsedkus on k vedru jäikus.F = kδ, ˆF = kˆδ (7.21)a) b) c)000001111100000111110000 11110000 11110000 11110000 1111δFδFJoonis 7.6. Vastastikune tööSiirete δ, ˆδ erinevate arvuliste väärtuste korral kirjutame samasuseδk ⏟ ⏞FKui asendame avaldises (7.22) δk jõuga F , saame3 Enrico Betti, itaalia ehitusinsener, 1823–1892.ˆδ − δkˆδ = 0 (7.22)F ˆδ − δkˆδ = 0 (7.23)

176 7. Siirete arvutusSeda triviaalset samasust nimetatakse vedru esimeseks samasuseks [Har85]G (︁ δ, ˆδ )︁ ≡ F ˆδ − δkˆδ = 0, ∀δ, ˆδ (7.24)siin tuleb tähistust ∀ δ, ˆδ lugeda kõigi δ, ˆδ puhul. Avaldis (7.24) väljendab energiateoreemi,st välisjõudude ja sisejõudude tööde summa on null. Samasus (7.24) jääb kehtima,kui vahetame ära δ ja ˆδ ning F ja ˆFG (︁ˆδ, δ)︁≡ ˆF δ − ˆδkδ = 0, ∀δ, ˆδ (7.25)Vedru teise samasuse saame, kui lahutame avaldisest (7.24) avaldise (7.25)B (︁ δ, ˆδ )︁ ≡ G (︁ δ, ˆδ )︁ − G (︁ˆδ, δ)︁= F ˆδ − ˆF δ (7.26)Vaatleme vedru aktiivtööd W (a) (joonis 7.2). Elastse vedru deformatsioonienergiaU (vedru sisejõudude potentsiaalenergia Π s ) on võrdne vedru aktiivtööga W s(a) , kuidvastupidise märgigaEnergiateoreem (7.24) aktiivtöö korralU (δ) = Π s (δ) = −W (a)s (δ) = 1 2 δkˆδ (7.27)12 G (δ, δ) ≡ 1 2 F δ − 1 δkδ = 0 (7.28)2Vedru potentsiaalenergia Π (δ) koosneb sisejõudude potentsiaalenergiast Π (a)svälisjõudude potentsiaalenergiast Π (a)vsiinΠ (δ) = Π (a)s+ Π (a)v = 1 2 δkδ − 1 F δ (7.29)2Π v = −W v (7.30)ja W v on välisjõudude töö.Vedru potentsiaalenergia (7.29) esimene variatsioon on funktsionaal Π (δ).7.3.2 Tööde vastastikkuse teoreemi avaldisiSisejõudude tööde vastastikkuse teoreem pikkel on esitatud avaldisega (F.15) lk 685jaja paindel avaldisega (F.30)∫︁ lN x0∫︁ ˆNxlEA dx = 0N xˆN x dx (7.31)EA∫︁ lM y0⏟ ⏞WsI)ˆMydx =EI y∫︁ lˆM yM yEI ydx0⏟ ⏞WsII)(7.32)

7.4 Siirete vastastikkuse teoreem 177Raja- ja välisjõudude töö vastastikkuse teoreem pikkel on esitatud avaldisega (F.11) lk684↔N x ˆu⏟ ⏞W I r∫︁ l| l 0 +q x (x) ˆudx + F xiˆu i =0⏟ ⏞WvIja paindel avaldisega (F.28)[︂ ↔Qzˆw+ ↔ M y ˆφ y]︂⏟ ⏞W I r=∫︁ l| l 0 +0⏟ ⏞WvI[︃ ]︃↔ˆQz w+↔ˆM y φ y⏟ ⏞W II r↔ˆN x u⏟ ⏞^W II rq z (x) ˆwdx + F zi ˆw i =| l 0∫︁ l| l 0 + ˆq x (x) udx + ˆF xi u i0⏟ ⏞^W vII∫︁ l+ ˆq z (x) wdx + F zi ˆw i0⏟ ⏞WvII(7.33)(7.34)siin on Q z , M y , p z , w ja φ y esimese koormusolukorra jõud ja siirdedning ˆQ z , ˆMy , ˆp z , ˆw ja ˆφ y teise koormusolukorra jõud ja siirded.7.4 Siirete vastastikkuse teoreemSiirete vastastikkuse teoreem on tööde vastastikkuse teoreemi erijuht. Oletame, et niiesimeses kui ka teises koormusolukorras mõjub ainult üks üldistatud jõud, siis avaldisest(7.20) saamevõi1 iˆδik = 1 kˆδki (7.35)ˆδ ik = ˆδ ki (7.36)Avaldis (7.36) väljendab siirete vastastikkuse teoreemi (J. Maxwell 4 ): kohas k mõjuvalejõule 1 k vastav üldistatud siire, mis on põhjustatud ühikjõust kohas i, võrdub jõule 1 ivastava üldistatud siirdega, mis on põhjustatud ühikjõust kohas k.7.5 Reaktsioonide vastastikkuse teoreemStaatikaga määramatu konstruktsiooni toe siire võib tekitada konstruktsioonis nii toereaktsioonekui ka sisejõude. Vaatame staatikaga määramatut tala (joonis 7.7).4 James Clerk Maxwell, inglise füüsik, 1831–1879.

178 7. Siirete arvutusa)δik= 1000 111 rik00 11000 11100 1100 11b)δki= 1000 111000 11100 1100 11000 111000 111rki00 1100 1100 1100 11Joonis 7.7. Reaktsioonide vastastikune tööKasutame kahele koormusolukorrale tööde vastastikkuse teoreemi (7.34) (siin rajajõududetöö W r(p) ≠ 0), toereaktsioone vaadeldakse kui välisjõude, saameKui δ ik = δ ki = 1, siisr ik δ ik = r ki δ ki (7.37)r ik = r ki (7.38)Avaldis (7.38) väljendab reaktsioonide vastastikkuse teoreem (J. Rayleigh 5 ): sideme kühiksiirdest (δ ki ) põhjustatud reaktsioon (r ik ) sidemes i võrdub sideme i ühiksiirdest (δ ik )põhjustatud reaktsiooniga (r ki ) sidemes k.7.6 Siirete arvutamineKonstruktsiooni mingi punkti siirde arvutamisel vaadeldakse konstruktsiooni arvutusskeemikahte tasakaaluolukorda. Ühe olukorrana vaadeldakse koormuse põhjustatudtasakaaluolukorda p ja arvutusskeemis tekkivaid sisejõude tähistatakse sel juhul N p ,Q p , M p . Teise olukorrana vaadeldakse tasakaaluolukorda, kus arvutusskeemile mõjubainult üks otsitavale siirdele vastav üldistatud ühikjõud 1 i . Selles tasakaaluolukorras itähistatakse sisejõud ja reaktsioonid väikeste tähtedega n i , q i , m i ja c i .Virtuaaltöö avaldised pikkel (F.7) ja paindel (F.26) onW p = F xiˆu i +W p = F zi ˆw i +∫︁ l0∫︁ l0q x (x) ˆudx + N ↔ ∫︁ lx ˆu | l 0 − N xˆλdx = 0 (7.39)0[︂ ↔Qzq z (x) ˆwdx + ˆw+ M ↔ ]︂y ˆφ yKirjutame lahti avaldistes (7.39) ja (7.40) esinevad rajaväärtused∫︁ l| l 0 − M y ˆψy dx = 0 (7.40)0↔N x ˆu | b a= ↔ N xb ˆu b − ↔ N xa ˆu a (7.41)[︂ ↔Qzˆw+ M ↔ ]︂y ˆφ y | b a= Q ↔ zb ˆw b + M ↔ yb ˆφ yb − Q ↔ za ˆw a − M ↔ ya ˆφ ya (7.42)5 John William Rayleigh, inglise füüsik, 1842–1919, 1904. a Nobeli preemia.

7.7 Siirded temperatuuri muutusest 179Tugede siirete mõju arvestamisel võetakse kasutusele II märgikokkulepe. See kokkulepeavaldub toe siirde ja toereaktsiooni korrutises, vt R. Räämet [Rää75] lk 335: ”Korrutis∆c j · r ′ jk on positiivne, kui paigutise ja reaktsiooni suunad ühtivad, ja negatiivne,kui nad on vastassuunalised.” Võtame kasutusele parema käe teljestiku (joonis 1.20).Seome x-telje varda teljega nii, et x-telg on suunatud varda algusest A lõppu B. Võtamekasutusele II märgikokkuleppe, mille puhul varda lõpus olevate rajajõudude suunadlangevad kokku I märgikokkuleppes kasutusel olevate suundadega. Varda algusesolevate rajajõudude suunad on vastupidised I märgikokkuleppes kasutusel olevate suundadega.Seega langevad varda alguses olevad rajajõudude suunad kokku varda lõpusolevate rajajõudude suundadega. Selgituse kohaselt võtame avaldistes (7.39) ja (7.40)kasutusele järgmised tähised:F xi · ˆu i ≡” 1 i” · u iN x · ˆλ ≡ n i · NpEA↔N x · ˆu | a ≡ −C a(N) · u a↔N x · ˆu | b ≡ C (N)b · u bF zi · ˆw i ≡” 1 i” · w iM y · ˆψ y ≡ m i · Mp(7.43)EI↔M y · ˆφ y | a ≡ −C a(My) · φ a↔M y · ˆφ y | b ≡ C (My)b · φ b↔Q z · ˆw | a ≡ −C a(Qz) · w a↔Q z · ˆw | b ≡ C (Q Z)b · w bÜldistatud ühikjõu 1 ” i ” rakendamisel q x (x) = 0 ja q z (x) = 0. Koormuse põhjustatudtasakaaluolukorra p” arvutusskeemis tekkivad sisejõud N ” p , Q p , M p ja siire leitakseüldistatud ühikjõu 1 ” i ” sihis järgmiste avaldistega:” 1 i” · w i =∫︁ ba” 1 i” · u i =∫︁ baN pn i dx − C(N) b · u b − C a (N) · u a (7.44)EAM pm i dx − C(Qz) b · w b − C a(Qz) · w a − C (My)b · φ b − C a (My) · φ a (7.45)EISiin on ühikjõust” 1 i” põhjustatud rajajõudude (kontaktjõudude C”– contact”force [KW90]) C a(N) , C (N)b , C a(Qz) , C (Qz)b , C a(My) · φ a , C a (My) · φ b ja toe siirete u a , u b ,w a , w b , φ a , φ b korrutised positiivsed siis, kui nende suunad ühtivad.7.7 Siirded temperatuuri muutusestJoonisel 7.8 on vardast eraldatud elementaarlõik pikkusega dx. Temperatuuri muutustz-telje positiivsel poolel tähistame T (+) ja z-telje negatiivsel poolel T (−) . Temperatuuritõusmisel varda elementaarlõigu ülemised ja alumised kiud pikenevad α T · T (+) dx jaα T · T (−) dx. Varda elementaarlõigu pikenemineλ = α T · T 0 (7.46)

180 7. Siirete arvutuskus α T on materjali joonpaisumistegur. Näiteks ehitusterasel (St 37) α T = 1, 1 ·10 −5 K −1 .©©©©©©© ¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨Ψ ykülmemzxh¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨ ©©©©©©©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨ ©©©©©©©©©©©©©© ¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨ ©©©©©©©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨ ©©©©©©©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨ ©©©©©©©dxT osoojem¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ ££ £ £ ££ £ £ £¢¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦§ § § § §§ § § § §¤dx∆TsoojemPikkeprinkusλ = d Λ = α Tdx ToPaindeprinkusd Ψdx y ∆TΨ y = = α T hJoonis 7.8. Prinkused temperatuuri muutusestKui ristlõige on mõlema peatelje suhtes sümmeetriline, siis arvutatakse temperatuurimuut telgjoonel valemigaT 0 = 1 2(︁T(+) + T (−))︁(7.47)Kui aga ristlõige ei ole peatelje suhtes sümmeetriline, siis arvutatakse temperatuurimuut telgjoonel järgmise avaldisega:T 0 = 1 h(︁h¨ulemine · T (+) + h alumine · T (−))︁(7.48)kus h¨ulemine ja h alumine on tala ristlõike ülemiste ja alumiste kiudude kaugused vardatelgjoonest.Ülemiste ja alumiste kiudude erinevast temperatuuri muutusest tingitud varda kõverdumistnimetatakse temperatuuri mitteühtlasest muutusest põhjustatud prinkuseks ψ ysiin1ψ y = α T ∆T (7.49)h∆T = T (+) − T (+) (7.50)Temperatuuri muutusest põhjustatud siirete arvutamiseks asendame valemites (7.39),(7.40) ˆλ ja ˆψ y avaldistega (7.46), (7.49). Koormusest põhjustatud siirete arvutamisevalemitest (7.44), (7.45) saab järgmised temperatuuri muutusest põhjustatud siiretearvutamise avaldised:” 1 i” · w i =∫︁ ba” 1 i” · u i =∫︁ ban i α T · T 0 dx − C (N)b· u b − C (N)a · u a (7.51)1m i α T ∆T dx − C(Qz) b · w b − C a(Qz) · w a − C (My)b · φ b − C a (My) · φ a (7.52)h

7.8 Siirete arvutamise näited 181Avaldises (7.51) esineva integraali märk sõltub sisejõu n i ja temperatuurist põhjustatudpikkeprinkuse α T · T 0 märkidest. Kui sisejõud n i ja α T · T 0 on ühemärgilised, siis onintegraali märk positiivne.Avaldises (7.52) esineva integraali märgi võib määrata ka varda deformeerunud kujujärgi: kui ühikjõust põhjustatud kõverus mn ija temperatuuri mitteühtlasest muutusestEI1põhjustatud kõverus α T ∆T on ühesuunalised, siis on korrutis positiivne, vastupidiselhjuhul negatiivne. Viimase kõveruse hindamisel arvestame, missugused kiud pikenevadja missugused lühenevad.7.8 Siirete arvutamise näited7.8.1 Lihttala siirete arvutamise näide 7.1Näide 7.1 Arvutada joonisel 7.9 a) näidatud lihttala pöördenurk φ a tala algul ja tala ristlõikec siire w c .a)F 1 = 10 kNF 2 =12 kNM kN mq = 4 kN/ma = −15 .00000000000000111111111111110000000000000011111111111111a0000000000000011111111111111ec0000 11112.4 m 1.6 m 2.0 mV a6.0 mb00 11V bb)0000 1111a1000011116.0 mb00 1100 11c)10000 1111a0000 11116.0 mcb00 1100 11Joonis 7.9. Lihttala siirete arvutusTalale 7.9 a) on koostatud paindemomentide epüür, mis on näidatud joonisel 7.10.Pöördenurga φ a arvutamiseks rakendame tala algusesse dimensioonita ühikmomendi.Ühikmomendi rakendamise suund on valitud antud teljestiku x-z positiivse pöörde suunas.Sellest ühikmomendist tekkivad momendid m 1 on näidatud joonisel 7.10.Tala ristlõike c siirde w c arvutamiseks rakendame ristlõikesse dimensioonita ühikjõu.Ühikjõule vastav epüür m 2 on esitatud joonisel 7.10.Alustame pöördenurga φ a arvutamist. Kasutame Mohri valemit (7.45) ja integreerimiseksjagame tala kolmeks integreerimispiirkonnaks:φ a =∫︁ ea∫︁M c∫︁m 1EI dx + M bm 1EI dx +ecMm 1 dx (7.53)EI

182 7. Siirete arvutusM [kNm]m1 [ ]m2 [m]−20−100102030−1.5−1.00.500.51.0−0.500.51.01.52.015.01.03.5840.80.4Lihttala paindemomendi epüür M22.1680.60.825.277330 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6x [m]1.4/30 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6x [m]Ühikjõu epüür m23.2/30 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6x [m]25.82667Ühikmomendi epüür m11/34/3Joonis 7.10. Koormus- ja ühikepüüridAvaldise (7.53) kaks esimest integraali arvutame Simpsoni valemi (D.17) järgi. Viimase integraaliarvutamiseks kasutame Vereštšagini võtet (D.26). Saameφ a = 2.4 [15.0 · 1.0 − 4 · 3.584 · 0.8 − 22.168 · 0.6] +6EI+ 1.6 [︂−22.168 · 0.6 − 4 · 25.27733 · 1.46EI3 − 25.82667 · 1 ]︂+3− 2.03EI · 25.82667 · 11.0= −28.072 rad (7.54)3 EISiirde w c arvutamiseks jagame tala kolmeks integreerimispiirkonnaks:w c =∫︁ ea∫︁M c∫︁m 2EI dx + M bm 2EI dx +ecMm 2 dx (7.55)EINumbrilisel integreerimise arvutame avaldise (7.55) kaks esimest integraali Simpsoni valemi(D.17) järgi. Viimase integraali arvutamiseks kasutame Vereštšagini võtet (D.26):w c = 2.4 [−15.0 · 0.0 + 4 · 3.584 · 0.4 + 22.168 · 0.8] +6EI

7.8 Siirete arvutamise näited 183+ 1.6 [︂22.168 · 0.8 + 4 · 25.27733 · 3.26EI3 + 25.82667 · 4 ]︂+3+ 2.03EI · 25.82667 · 4 1.0= 75.0173 EI m (7.56)Ülekandemeetodi kasutamise näites 1.2 arvutasime sama tala ristlõigete pöörded ja siirded.Ristlõike a pöördenurgaks saime programmiga talaRajaSiirded.m arvutades φ a =−28.07218 1,0EI rad ja ristlõike siirdeks w c = 75.01653 1,0EI m.7.8.2 Murdjoonelise teljega varda siirete arvutamise näide 7.2Näide 7.2 Vaatleme siirete arvutust 1) koormusest, 2) temperatuuri muutusest, 3) tugedesiiretest (ülesanne on võetud raamatust [Rää75] lk 346). Arvutada joonisel 7.11 a) kujutatudmurdjoonelise teljega varda arvutusskeemi ristlõike c vertikaalsiire, toeristlõike a horisontaalsiireja toeristlõike b pööre 1) koormusest, 2) temperatuuri muutusest, 3) tugede siiretest.Temperatuur tõuseb sisepoolel 10 ∘ C ja välispoolel vasakul ning üleval 20 ∘ C ja paremal 10 ∘ Cvõrra. Varraste ristlõiked on sümmeetrilised, ristlõigete inertsimomendid I 1 = I 3 = I ja I 2 =2I ning ristlõigete kõrgused h 1 = h 3 = 50 cm ja h 2 = 60 cm. Joonpaisumistegur α = 2.1·10 −5 .Tugi a vajub Δa z = 2 cm ja tugi b Δb z = 1 cm ning nihkub vasakult paremale Δb x = 0.5 cmvõrra.000000000111111111a) 20 kN/m b)12.5 000000000111111111 40.00000000000000111111111111120 o C20.0000111 c 000000000111111111111111111110000 111120 o C d000 1112 c 2I e110000000000011111111111111d0000000001111111110000 1111 e00 110000 111110.000110000000000011111111111 20.0 15.0 0000 1111II00 110000 111110 kN00 110000 111110 o C 00 110000 1111k00 110000 1111000000111111 10 o Ck20.00000 111130000 11111M p [kN.m] 0000 11110000 111100000000abH = 10 kNab0000 1111b00 1100 1100 11000001111100 11 3 m 3 m000 11100 11 010101V a = 41.667 kN01V b = 18.33 kN010101c) 101d) 4 4 e)010000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111 1c4000000000000000000000000111111111111111111111111 40000000000000000000000011111111111111111111111 1d000 11100 110000000000000000000000011111111111111111111111 110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111010101e d c 000 111 ed c e 00 11000 11100 1100000000000000000000000111111111111111111111110101010000 1111000 11100 11000 11100 1100000000000000000000000111111111111111111111110.75 0.75 3010000 111100000 1100 11000 11100 11k 1.500 11 2 k000 1112k00 1100 1100 11000 111000 11100 1100 11000 11100 11m 00 11000 11100 11c[m] m00 11d [m] m000 111b[ ] 1 00 1100 11000 11100 111 00 11000 1111.000 11ab00 11 ab000 111 ab 00 1100 11 010000011111 1110000011111 0100 1100 11 01101000 11100 11 01010.5 01010.5 1.01.0011/6 1/6f) 010101g)000000000000000000000000111111111111111111111111j) 01000 11100 11010000 11100 11010000 11100 11000000000000000000000000111111111111111111111111 0101110.5 d01c e 0.5 d c e 1/6 d c e4 m000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 1112 m00 1100 1100 1100 1100 110101k00 11 k01k0100 110101n00 110101c [ ] n00 11d [ ] n01b[1/m]0100 11010100 11011 010101ab0011 00 111.0 a000 111 b 0000011111 1.001a0100 11b0100 11 0000011111000 1110100 11 0100 110101000 11100 11 01010101011/601010.5 010.501011/6Joonis 7.11. Siirete arvutus0101010101010101

184 7. Siirete arvutusKoormusest põhjustatud paindemomendi epüür on joonisel 7.11 b). Ristlõike c vertikaalsiirdearvutamiseks rakendatakse sinna ühikjõudu. Ühikjõust põhjustatud paindemomendiepüür on joonisel 7.11 c). Vertikaalsiirde w cp arvutamiseks vaatleme epüüri M p (joonis 7.11b)) ja epüüri m c (joonis 7.11 c)). Määrame integreerimisrajad (korrutisel m c · M p ei tohivaadeldaval lõigul olla murdepunkte):w cp =∫︁ cd∫︁M epm cE2I dx +cM pm c dx (7.57)E2IAvaldise (7.57) mõlemad integraalid arvutame Simpsoni valemi (D.17) järgiw cp = 3.0 [0 · 20.0 + 4 · 0.75 · 20.0 + 1.5 · 15.0] +6E2I+ 3.0 [1.5 · 15.0 − 4 · 0.75 · 12.5 + 0 · 40.0] =6E2I= 16.875 1.0 1.0≈ 16.9EI EI m (7.58)Ristlõikesse a rakendatud horisontaalsest ühikjõust põhjustatud paindemomendi epüür onjoonisel 7.11 d). Toeristlõike a horisontaalsiirde arvutamiseks vaatleme epüüri M p (joonis7.11 b)) ja epüüri m d (joonis 7.11 d)). Määrame integreerimisrajad (korrutisel m d ·M p ei tohivaadeldaval lõigul olla murdepunkte):u ap =∫︁ dk∫︁M c∫︁pm dEI dx + M e∫︁pm dE2I dx + M bpm dE2I dx +dceM pm d dx (7.59)E2IAvaldise (7.59) esimesed kaks integraali arvutame Simpsoni valemi (D.17) järgi. Viimase kaheintegraali arvutamiseks kasutame Vereštšagini võtet (D.26). Saameu ap = 2.0 [2 · 0 + 4 · 3 · 10.0 + 4.0 · 20.0] +6EI+ 3.06E2I[4 · 20.0 − 4 · 4 · 20.0 − 4 · 15.0] +(︂ )︂ (︂ )︂1 22 40.0 · 4 3 4+ 1.01.0(12.5 · 3) · 4 +E2I EI= 280 1.0EI m (7.60)Toeristlõikesse b rakendatud ühikmomendist põhjustatud paindemomendi epüür on joonisel7.11 e). Määrame integreerimisrajad (korrutisel m e · M p ei tohi vaadeldaval lõigul olla murdepunkte)φ bp =∫︁ cd∫︁M e∫︁pm eEI dx + M bpm eE2I dx +ceM pm e dx (7.61)E2IAvaldise (7.61) esimesed kaks integraali arvutame Simpsoni valemi (D.17) järgi. Viimaseintegraali arvutamiseks kasutame Vereštšagini võtet (D.26). Saameφ bp = 3.0 [0 · 20.0 − 4 · 0.25 · 20.0 − 0.5 · 15.0] +6E2I+ 3.0[−0.5 · 15.0 + 4 · 0.75 · 12.5 + 1 · 40.0] +6E2I(︂ )︂ 12 40.0 · 4 · 1 =+ 1.0EI= 90.625 1.0 1.0rad ≈ 90.6 rad (7.62)EI EI

7.8 Siirete arvutamise näited 185Sümmeetriliste ristlõigetega varraste puhul arvutatakse temperatuuri muutus varda telgjoonelvalemiga (7.47):T 01 = 1 )︁(︁T2 (+) + T (−) = 1 2 (10 + 20) = 15 ∘ C (7.63)T 02 = T 01 = 15 ∘ C (7.64)T 03 = 1 2 (10 + 10) = 10 ∘ C (7.65)Temperatuuri muutused varraste alumiste ja ülemiste kiudude vahel on järgmised (7.50):)︁ΔT 1 = ΔT 2 =(︁T (+) − T (+) = 10 − 20 = −10 ∘ C (7.66)ΔT 3 = 10 − 10 = 0 ∘ C (7.67)Siirded temperatuuri muutusest arvutatakse valemitega (7.51), (7.52)Δ iT =∫︁ ban i α T · T 0 dx +∫︁ bRistlõike c vertikaalsiire temperatuuri muutusestw ct = 1.2 · 10[︂15(︂− −5 1 )︂2 · 4 [︂+1.2 · 10 −5 − 100.6a1m i α T ΔT dx (7.68)h· 1.5 · 6.02+ 10(︂− 1 )︂]︂2 · 4 ]︂== −15 · 10 −4 m = −1.5 mm (7.69)Toeristlõike a horisontaalsiire temperatuuri muutusestu at = 1.2 · 10 −5 [15 (0 · 4) + 15 (−1 · 6) + 10 (0 · 4)] +[︂+1.2 · 10 −5 − 10 (︂− 4 · 4.0 )︂+ −10]︂0(−4 · 6.0) +0.5 2 0.6 0.5 (4 · 4.0) == 564 · 10 −5 m = 5.64 mm (7.70)Toeristlõike b pööre temperatuuri muutusest(︂ )︂ 1φ bt = 1.2 · 10[︂15−5 6 · 4 [︂+1.2 · 10 −5 − 10 (︂0.6+]︂+ 15 (0 · 6) + 10 (0 · 4)− 1 · 6.02)︂+ 00.5 (−1 · 4.0) ]︂== 64 · 10 −5 rad = 0.00064 rad (7.71)Siirded tugede nihkumisest arvutatakse valemitega (7.44), (7.45):Δ ic = −C (N)b−C (Qz)b· u b − C (N)a· w b − C (Qz)a· u a −· w a − C (My)b· φ b − C (My)a · φ a (7.72)w cr = − (−2 · 0.5 − 1 · 0.5) = 1.5 cm (7.73)u ar = − (−0.5 · 1) = 0.5 cm (7.74)(︂)︂1φ cr = − 2 ·600 − 1 · 1= − 1 rad (7.75)600 600

186 7. Siirete arvutus7.8.3 Murdjoonelise teljega varda siirete arvutamise näide 7.3Näide 7.3 Vaatleme eelmist näidet 7.2. Arvutused teostame programmiga siireNAB.m 6 .Numbrilisel integreerimisel kasutame Simpsoni valemit (D.22 lk 666). Moodustame ühikepüüridest(vt joonis 7.11 c), d) ja e)) maatriksi Mx ja koormusest põhjustatud paindemomendiepüürist maatriksi Mp⎡Mx =⎢⎣0 0 00 −1.0 00 −2.0 0. . . . . . . . .0 −2.0 00 −3.0 00 −4.0 0. . . . . . . . .0 −4.0 0.00.75 −4.0 −0.251.5 −4.0 −0.5. . . . . . . . .1.5 −4.0 −0.50.75 −4.0 −0.750 −4.0 −1.0. . . . . . . . .0 −4.0 −1.00 −2.0 −1.00 0.0 −1.0⎤;⎥⎦post 1 (pool postist 1). . .post 1 (pool postist 1). . .riiv (pool riivist). . .riiv (pool riivist). . .post 2⎡Mp =⎢⎣000. . .0−10−20. . .−202015. . .15−12.5−40. . .−40−200⎤⎥⎦(7.76)Võtame kasutusele Simpsoni valemi kordajaid sisaldava vektori smps ja varda telgjooneltemperatuuri kirjeldava vektori T o , mille transponeeritud kuju on esitatud avaldisega (7.77)⎡⎤⎡ ⎤h2/I2154 · h2/I2post 1 (pool postist 1)15h2/I215. . .. . .. . .h2/I2154 · h2/I2post 1 (pool postist 1)15h2/I215. . .. . .. . .smps = 1 6 ·L05/I1154 · L05/I1riiv (pool riivist) ; T o = 1.2 · 10 −5 15(7.77)L05/I115. . .. . .. . .L05/I1154 · L05/I1riiv (pool riivist)15L05/I115. . .. . .. . .⎢ h2/I2⎥⎢ 10⎥⎣ 4 · h2/I2 ⎦ post 2⎣ 10 ⎦h2/I2106 ./octaveProgrammid/siireNAB.m

7.8 Siirete arvutamise näited 187siinh = 4; h2 = h/2;L = 6; L05 = L/2;I1 = 2; I2 = 1;Simpsoni valemi abil pindala integreerides ei ole vaja ristlõike inertsimomente I1, I2.Järgnevalt avaldame Simpsoni valemi kordajaid sisaldava vektori smps0 ′ (7.78)⎡smps0 ′ = 1 6 ·⎣h2 ⏟ 4 · ⏞ h2 h2pool posti 1L05 ⏟ 4 · L05 ⏞ L05pool riivih2 ⏟ 4 · ⏞ h2 h2pool posti 1L05 ⏟ 4 · L05 ⏞ L05pool riivi⎤h⏟ 4 · ⏞ h hpost 2⎦ (7.78)Ühikjõust põhjustatud normaaljõu epüüridest (vt joonis 7.11 f), g) ja j)) moodustame maatriksiNx ja temperatuuri muutusi alumiste ja ülemiste kiudude vahel kirjeldava vektori Tp(7.79) (paine temperatuurist)⎡Nx =⎢⎣−0.5 0.0 1/6−0.5 0.0 1/6−0.5 0.0 1/6. . . . . . . . .−0.5 0.0 1/6−0.5 0.0 1/6−0.5 0.0 1/6. . . . . . . . .0 −1.0 0.00 −1.0 0.00 −1.0 0.0. . . . . . . . .0 −1.0 0.00 −1.0 0.00 −1.0 0.0. . . . . . . . .−0.5 0.0 −1/6−0.5 0.0 −1/6−0.5 0.0 −1/6⎤;⎥⎦post 1 (pool postist 1). . .post 1 (pool postist 1). . .riiv (pool riivist). . .riiv (pool riivist). . .post 2⎡Tp =⎢⎣−10 ∖ Hpost−10 ∖ Hpost−10 ∖ Hpost. . .−10 ∖ Hpost−10 ∖ Hpost−10 ∖ Hpost. . .−10 ∖ Hriiv−10 ∖ Hriiv−10 ∖ Hriiv. . .−10 ∖ Hriiv−10 ∖ Hriiv−10 ∖ Hriiv. . .0 ∖ Hpost0 ∖ Hpost0 ∖ Hpost⎤(7.79)⎥⎦siinHpost – posti ristlõike kõrgus,Hriiv – riivi ristlõike kõrgus.Vektorite Mx ′ (7.76) ja Mp (7.76) korrutamiseks kasutame element-element korrutamist (vtparagrahvi A.5 avaldist (A.24) lk 631). Tulemuse korrutame veel vektoriga smps (7.77)W = Mx ′ . · [︀Mp ′ ; Mp ′ ; Mp ′]︀ · smps =⎡⎢⎣16.875280.00090.625⎤⎥⎦ (7.80)

188 7. Siirete arvutusSaadud tulemus langeb kokku avaldistega (7.58), (7.60) ja (7.62).Siirete arvutamiseks temperatuurist transponeerime ning korrutame Tp ja To avaldised (7.79)ja (7.77) joonpaisumisteguriga (talpha = 2.1·10 −5 ) läbi:Korrutame epüürid temperatuuri ja temperatuuri erinevustegaLeiame siirded temperatuuristTpT = talpha · Tp ′ (7.81)ToT = talpha · To ′ (7.82)MxTTp = Mx ′ .· [TpT; TpT; TpT] (7.83)NxTTo = Nx ′ .· [ToT; ToT; ToT] (7.84)WT = MxTTp · smps0 + NxTTo · smps0 =Leitud tulemus (7.85) ühtib tulemustega (7.69), (7.70) ja (7.71).Arvutuspäevik 7.1 octave:1> diary siireNA.outoctave:2> diary onoctave:3> siireNAIntegreerimisPiirkondadeArv = 5Joonpaisumistegur_talpha = 1.2000e-05h = 4h2 = 2L = 6L05 = 3I1 = 2I2 = 1Hpost = 0.50000Hriiv = 0.60000=========================================Ühikepüüride ordinaadidIntegreerimis-Jrk piirkond m1 m2 m3-----------------------------------------1 1 0.0000 0.0000 0.00002 1 0.0000 0.0000 0.00003 1 0.0000 0.0000 0.00004 2 0.0000 0.0000 0.00005 2 0.0000 0.0000 0.00006 2 0.0000 0.0000 0.00007 3 0.0000 0.0000 0.00008 3 0.7500 -0.2500 -0.25009 3 1.5000 -0.5000 -0.500010 4 1.5000 -0.5000 -0.500011 4 0.7500 -0.7500 -0.750012 4 0.0000 -1.0000 -1.000013 5 0.0000 -1.0000 -1.0000⎡⎢⎣−1.5000e −035.6400e −036.4000e −04⎤⎥⎦ (7.85)

7.8 Siirete arvutamise näited 18914 5 0.0000 -1.0000 -1.000015 5 0.0000 -1.0000 -1.0000-----------------------------------------=========================================Ühikepüüride ordinaadidIntegreerimis-Jrk piirkond n1 n2 n3-----------------------------------------1 1 -0.5000 0.1667 0.16672 1 -0.5000 0.1667 0.16673 1 -0.5000 0.1667 0.16674 2 -0.5000 0.1667 0.16675 2 -0.5000 0.1667 0.16676 2 -0.5000 0.1667 0.16677 3 0.0000 0.0000 0.00008 3 0.0000 0.0000 0.00009 3 0.0000 0.0000 0.000010 4 0.0000 0.0000 0.000011 4 0.0000 0.0000 0.000012 4 0.0000 0.0000 0.000013 5 -0.5000 -0.1667 -0.166714 5 -0.5000 -0.1667 -0.166715 5 -0.5000 -0.1667 -0.1667-----------------------------------------============================================Mp epüüri ordinaadidIntegree-rimispiir-Jrk kond Mp--------------------------------------------1 1 0.00002 1 0.00003 1 0.00004 2 0.00005 2 -10.00006 2 -20.00007 3 -20.00008 3 20.00009 3 15.000010 4 15.000011 4 -12.500012 4 -40.000013 5 -40.000014 5 -20.000015 5 0.0000--------------------------------------------============================================W - siirded koormusest--------------------------------------------1.6875e+01 2.8000e+02 9.0625e+01============================================

190 7. Siirete arvutusWT - siirded temperatuurist---------------------------------------------1.5000e-03 5.6400e-03 6.4000e-04octave:4> diary off7.8.4 Raami siirete arvutamise näide 7.4Näide 7.4 Leida joonisel 7.12 a) näidatud raami ristlõikes k vertikaalsiire ja pööre:1) antud koormusest;2) temperatuuri tõusust 15 ∘ C väljaspool raami ja 25 ∘ C raami sisemisel poolel.Koormusest põhjustatud siirete leidmisel arvestada ainult paindemomendi mõju. Temperatuurimuutusest tingitud siirded arvutada kahes osas – vastavalt ühtlasele ja mitteühtlaseletemperatuuri muutusele. I-tala profiil valida koormusest põhjustatud suurimapaindemomendi järgi, võttes lubatavaks pingeks [σ] = 0.16 GPa. Kõnesolevas näites onraami varraste jäikused võrdsed, EI = const.a )0000000000000000000000001111111111111111111111118 kN/m0000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111114 kN/m0101010101010101010101010101IF = 12 kNIIk4 m01010000000000000000000000001111111111111111111111118 kN/m0101I000000000000000000000000111111111111111111111111010000000000000000000000001111111111111111111111110000 1111I000 1116 m 6 mII5 m 2 malgulkeskelb )+ IIIlõpus IIalgulkeskelIVlõpusalgul+ −Integreerimispiirkondkeskel+keskelIVVIalgul +lõpuslõpusalgulkeskelkeskellõpusalgulalgulkeskellõpuslõpus+VIIIVII+keskelalgulkeskel+IXlõpus0000 1111 000 111algulJoonis 7.12. Raami siirete arvutamineRaami (joonis 7.12) toereaktsioonide arvutamiseks vaatleme joonist 7.13. Arvutuseteostame programmi GNU Octave’i abil (vaata arvutuse päevikut 7.2).Arvutuspäevik 7.2 Toereaktsioonide arvutus koormusest q, Foctave:1> diary raamiSi1toeR.outoctave:2> diary onoctave:3> % momentide summa toe ’a’ suhtesoctave:3> % -12*Vb+(4*5*2.5+8*6*3+12*4+8*6*9)=0octave:3> Vb=(4*5*2.5+8*6*3+12*4+8*6*9)/12Vb = 56.167octave:4> % momentide summa toe ’b’ suhtesoctave:4> % -12*Va+(-4*5*2.5+8*6*9-12*4+8*6*3)=0octave:4> Va=(-4*5*2.5+8*6*9-12*4+8*6*3)/12Va = 39.833octave:5> % konroll sumY

7.8 Siirete arvutamise näited 191octave:5> sumY=8*6+8*6-Va-VbsumY = 0octave:6> % horisontaalne toereaktsioonoctave:6> Ha=4*5+12Ha = 32octave:7> % leiame Na vardas ’af’, selleksoctave:7> % momentide summa punkti ’d’ suhtesoctave:7> Na=(Ha*5-4*5*2.5)/5Na = 22octave:8> % leiame Qa vardas ’af’, selleksoctave:8> % momentide summa punkti ’c’ suhtesoctave:8> Qa=(Ha*7+Va*6-Na*7-4*5*4.5-8*6*3)/6Qa = 12.500octave:9> % leiame horisontaalse j~ou Hc s~olmes ’c’octave:9> Hc=-Ha+Na+4*5Hc = 10octave:10> % leiame vertikaalse j~ou Vc s~olmes ’c’octave:10> Vc=-Va+Qa+8*6Vc = 20.667octave:11> diary offLeitud toereaktsioonid kanname joonisele 7.13.Arvutuspäevik 7.3 Paindemomentide M p arvutusoctave:1> diary raamiMSi1.outoctave:2> diary onoctave:3> % arvutame momendi punktis ’i’octave:3> Mi=10*3Mi = 30octave:4> % moment punktis ’f’octave:4> Mfi=10*7+12*4Mfi = 118octave:5> Mfa=12.5*6Mfa = 75octave:6> Mfb=56.167*6-8*6^2/2Mfb = 193.00octave:7> Mfb_keskel=56.167*3-8*3^2/2Mfb_keskel = 132.50octave:8> Mad_keskel=4*5^2/8Mad_keskel = 12.500octave:9> Mdc_keskel=8*6^2/8Mdc_keskel = 36octave:10> Mkc_keskel=20.66667*1.5+10*0.5-8*1.5^2/2Mkc_keskel = 27.000octave:11> diary offLeitud paindemomendid kanname joonisele 7.13.Maksimaalne moment on 193.0 kN·m = 1.93e+05 N · m. 1.93e+05 tähendab, et 1.93 onkorrutatud 10 5 (kümme astmes viis). Sellist arvu esitamise kuju nimetatakse inseneriformaadiks.

192 7. Siirete arvutusValime ristlõikeks I-tala. Terase elastsusmoodul (E=210GPa) E = 2.1e+11 [Pa] ja lubatavpinge [σ] = 0.16 GPa = 1.6e+08 [Pa].W z ≥ M [σ] = 1.93e+05[1.6e+08] = 1.2063e−04 N · m3 (7.86)Valime I-18 , mille I = 1290 cm 4 = 1.29e+03 cm 4 = 1.29e−05 m 4 , W = 143 cm 3 .Pikijõu arvutamiseks vaatleme esmalt koordinaatteisendust (1.45). Arvestades seostcos β = cos (90 ∘ + α) = − sin α, võime seosed (1.45) kirjutada kujul[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃F ·x cos α − sin α Fx=(7.87)sin α cos αF ·zArvutuspäevik 7.4 Pikijõu N p arvutusoctave:1> diary raamiNSi1.outoctave:2> diary onoctave:3> Lk=sqrt(6^2+2^2)Lk = 6.3246octave:4> cosA=6/LkcosA = 0.94868octave:5> sinA=2/LksinA = 0.31623octave:6> % teisendusmaatriks Toctave:6> T=[cosA -sinA; sinA cosA]T =0.94868 -0.316230.31623 0.94868octave:7> % j~ouvektori komponendid globaalsetes koordinaatides, punktis ’c’octave:7> % x-telje suunal Fx=-10.0 ja z-telje suunal Fz=-20.6667octave:7> % z-telg on suunatud allaoctave:7> F=[-10.0; -20.666666667]F =-10.000-20.667octave:8> % Fx_lokaalne=Floc(1,1) ja Fz_lokaalne=Floc(2,1)octave:8> % N_lokaalne=Fx_lokaalne ja Q_lokaalne=Fz_lokaalneoctave:8> Floc=T*FFloc =-2.9513-22.7687octave:9> % Qc=-22.7687 ja Nc=-2.9513octave:9> Qc=Floc(2,1)Qc = -22.7687octave:10> Nc=Floc(1,1)Nc = -2.9513F z

7.8 Siirete arvutamise näited 193octave:11> Ndc=Nc-8*6*sinANdc = -18.130octave:12> Qdc=Qc+8*6*cosAQdc = 22.768octave:13> Va=39.833Va = 39.833octave:14> Qa=12.5Qa = 12.500octave:15> Nad=-Va+QaNad = -27.333octave:16> Nfc=-20.667Nfc = -20.667octave:17> Naf=22.0Naf = 22octave:18> diary offLeitud pikijõud kanname joonisele 7.16.N Q c cQ ca )N c8 kN/mc000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111d000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111ke12 kNi000 111000 1118 kN/m111H 0000000000000000000000011111111111111111111111a = 32 kN000111000 111af 0000000000000000000000011111111111111111111111b000 1110000000000000000000000011111111111111111111111000 111 000 111N NV = 39.833 kN a a Qaa V b = 56.167 kNQaH ab )4 kN/m= 32 kN20.667 kN8 kN/mc N c000000000000000000000001111111111111111111111110.0 kN0000000000000000000000011111111111111111111111Q cdΣ M c= 000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11 a00 11N = 22.0 kN a0000 1111 Q a = 12.5 kNV a = 39.833 kNΣ M = 0 dc )e )N a= 22.0 kNR10.0 kNvN cQ a = 12.5 kNQ cv12 kN20.667 kNpN c = 0pQ c = 08 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111N b = 0Q b = 56.167 kNd )00000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111127.000000000000000000000000011111111111111111111111115.000000000000000000000000011111111111111111111111127.036.000 1100 11000 11130.000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1112.574.0000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111M [kN.p m]118.0 000 111000 1110000000000000000000000011111111111111111111111 0000000000000000000000001111111111111111111111110000 1111 000000000000000000000001111111111111111111111137.500000000000000000000000011111111111111111111111100 1175.00000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111193.0132.5Joonis 7.13. Siirete arvutamine. Raami paindemoment M pRaami (joonis 7.12) punkti k siirete arvutamiseks vaatleme joonist 7.14. Leiameraami toereaktsioonid. Arvutuse teeme programmi GNU Octave,i abil (vaata arvutuspäevikut7.5).

194 7. Siirete arvutusa )dH a = 0 a000 111000 111V a = 0.75N Q c cN Q cc 0.5cc N1c10.0Q ckedΣ M c= 0QaN a Na QafV b = 0.25b00 1100 11H a = 0V ab )= 0.75a N = 0.0 a000 111000 111 Q a= 0.25Σ M = 0 dc ) 0.0e )RvN cQ cv0.5pN c = 0pQ c = 0d )0000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111 0.7500000000000000000000000111111111111111111111110.75 1.5m 1N aQ a= 0.25N b = 0Q b= 0.2500000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111000 111 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 00 11000 11100 110.751.5Joonis 7.14. Siirete arvutamine. Raami paindemoment m 1Arvutuspäevik 7.5 Toereaktsioonide arvutus ühikjõustoctave:1> diary raamiSi2toeR.outoctave:2> diary onoctave:3> % momentide summa toe ’a’ suhtesoctave:3> % -12*Vb+1*3=0octave:3> Vb=1*3/12Vb = 0.25000octave:4> % momentide summa toe ’b’ suhtesoctave:4> % -12*Va+1*9=0octave:4> Va=1*9/12Va = 0.75000octave:5> % reaktsioon s~olmes ’a’ Qaoctave:5> Qa=(Va*6-1*3)/6Qa = 0.25000octave:6> % reaktsioon s~olmes ’c’ sum Yoctave:6> Vc=1+Qa-VaVc = 0.50000octave:7> diary offLeitud toereaktsioonid kanname joonisele 7.14.

7.8 Siirete arvutamise näited 195Arvutuspäevik 7.6 Paindemomentide m 1 arvutusoctave:8> diary raamiMSi2.outoctave:9> diary onoctave:10> VaVa = 0.75000octave:11> VbVb = 0.25000octave:12> VcVc = 0.50000octave:13> QaQa = 0.25000octave:14> F=1F = 1octave:15> L=6L = 6octave:16> % paindemoment punktis ’k’octave:16> Mk=F*L/4Mk = 1.5000octave:17> % paindemoment punktis ’f’octave:17> Mfa=Qa*6Mfa = 1.5000octave:18> diary offLeitud paindemomendid kanname joonisele 7.14.Arvutuspäevik 7.7 Pikijõu n 1 arvutusoctave:1> diary raamiNSi2.outoctave:2> diary onoctave:3> Lk=sqrt(6^2+2^2)Lk = 6.3246octave:4> cosA=6/LkcosA = 0.94868octave:5> sinA=2/LksinA = 0.31623octave:6> % teisendusmaatriks Toctave:6> T=[cosA sinA; -sinA cosA]T =0.94868 -0.316230.31623 0.94868octave:7> % J~ouvektori komponendid globaalsetes koordinaatidesoctave:7> % x-telje suunal Fx=0.0 ja z-telje suunal Fz=-0.5octave:7> % z-telg on suunatud allaoctave:7> F=[0.0; -0.5]F =0.00000-0.50000octave:8> % Fx_lokaalne=Floc(1,1) ja Fz_lokaalne=Floc(2,1)

196 7. Siirete arvutusoctave:8> % N_lokaalne=Fx_lokaalne ja Q_lokaalne=Fz_lokaalneoctave:8> Floc=T*FFloc =0.15811-0.47434octave:9> % kontrollin p~oikj~oudu Qcoctave:9> Qc=-0.5*cosAQc = -0.47434octave:10> Nc=Floc(1,1)Nc = 0.15811octave:11> Nk_vasakul=Nc-1*sinANk_vasakul = -0.15811octave:12> Nad= -0.5Nad = -0.50000octave:13> Ncf=-0.5Ncf = -0.50000octave:14> diary offLeitud pikijõud kanname joonisele 7.16.a )Q cN cN cQ ccb )c= 1/6N c0.0dk1 ed1Q cΣ M = 0 cΣ M = 0 dH a = 0 a000 111000 111= 1/12fN a Na Qab00 1100 11V b = 1/12H a = 0 a N = 0.0 a000 111000 111 Q a = 1/12V a = 1/12Qac ) 0.0e )RvN cQ cv= 1/6pN c = 0pQ c = 0d )0.5000000000000111111111111 0000000000001111111111110000000000001111111111110.25000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111 0.25000000000000111111111111 0000000000001111111111110.5V a2mN aQ a = 1/12N b = 0Q b = 1/1200000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111000 111 00000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111 00 11000 111 00000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111 00 11000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111110.250.5Joonis 7.15. Siirete arvutamine. Raami paindemoment m 2

7.8 Siirete arvutamise näited 197a )10.5412.9513b )c 0.518.1300000000000000000000000000111111111111111111111111100000011111120.6670000000000001111111111110000001111110000000000000000000000000000000111111000000111111000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000111111111111000000111111000000000000111111111111 000000111111c000000111111000000000000111111111111000000111111000000000000111111111111 00000011111100000011111100000011111127.333 00000000000000000000000001111111111111111111111111k 0000001111110.5000000000000111111111111000000111111000000111111k00000000000011111111111100000011111100000 11111000000111111 0000000000000000000000000111111111111111111111111100000011111100000000000011111111111100000011111100000000000011111111111100000 11111000000111111e00000011111100000011111100000 11111000000111111000000111111d000000111111de00000000000011111111111100000 11111000000111111000000111111000000111111N000000111111p [kN]00000 1111100000011111100000011111100000 11111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111i00000 11111i00000011111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000 11111000000111111000000111111n 00000011111122.000000 111110000001111110000001111111 00000011111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000000000000000000000011111111111111111111111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000000000000000000000011111111111111111111111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000000000000000000000011111111111111111111111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000 11111000000111111000000111111000000111111 b00000000000000000000000011111111111111111111111100000 1111100000011111100000011111100000011111100000 11111000000111111b00000011111127.333000000000000000000000000111111111111111111111111af 20.6670.5 a0000 1111 000 111000 111 f 0.500 110.158110.15811c )zQz*Nαx*Fx, z − üldkoordinaadidx*,z* − kohalikud koordinaadidxd )000000000000000000000000011111111111111111111111110.05270500000000000000000000000001111111111111111111111111c0000000000000000000000000111111111111111111111111100000000000000000000000001111111111111111111111111k000000000000000000000000011111111111111111111111110.16667d 0000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111a000 111000 111 0.16667in 2f0.166670000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110.16667eb00 1100 11Joonis 7.16. Siirete arvutamine. Normaaljõu epüüridRaami (joonis7.12) punkti k pöörde arvutamiseks vaatleme joonist 7.15. Leiame raamitoereaktsioonid. Arvutuse teeme programmi GNU Octave,i abil (vaata arvutuspäevikut7.8).Arvutuspäevik 7.8 Toereaktsioonide arvutus ühikmomendistoctave:1> diary raamiSi3toeR.outoctave:2> diary onoctave:3> % raami toereaktsioonid ühikmomendistoctave:3> % momentide summa toe ’b’ suhtesoctave:3> % -12*Va-1=0octave:3> Va=-1/12Va = -0.083333octave:4> % momentide summa toe ’a’ suhtesoctave:4> % -12*Vb+1=0octave:4> Vb=1/12Vb = 0.083333octave:5> Ha=0Ha = 0octave:6> % momentide summa liigendi ’d’ suhtesoctave:6> Na=0Na = 0octave:7> % momentide summa liigendi ’c’ suhtesoctave:7> % -6*Qa+(1/12*6-1)=0octave:7> Qa=(1/12*6-1)/6Qa = -0.083333octave:8> % seega Qa=-1/12octave:8> % reaktsioon liigendis ’c’octave:8> Vc=-Va-Qa

198 7. Siirete arvutusVc = 0.16667octave:9> % seega Nc=1/6octave:9> diary offLeitud toereaktsioonid kanname joonisele 7.15.Arvutuspäevik 7.9 Paindemomendi m 2 arvutusoctave:1> diary raamiMSi3.outoctave:2> diary onoctave:3> Va=-1/12Va = -0.083333octave:4> Vb=1/12Vb = 0.083333octave:5> Qa=-1/12Qa = -0.083333octave:6> Vc=1/6Vc = 0.16667octave:7> % moment Mkcoctave:7> Mkc=1/6*3Mkc = 0.50000octave:8> Mkd=(Va+Qa)*3Mkd = -0.50000octave:9> % moment talas ’ab’ j~oust Nc=1/6 vt joonistoctave:9> % Mfa=Mfb=Nc*L/4, kus L=12octave:9> Mfa=1/6*12/4Mfa = 0.50000octave:10> diary offLeitud paindemomendid kanname joonisele 7.15.Arvutuspäevik 7.10 Pikijõu n 2 arvutusoctave:1> diary raamiNSi3.outoctave:2> diary onoctave:3> Lk=sqrt(2^2+6^2)Lk = 6.3246octave:4> cosA=6/LkcosA = 0.94868octave:5> sinA=2/LksinA = 0.31623octave:6> % teisendusmaatriks Toctave:6> T=[cosA sinA; -sinA cosA]T =0.94868 -0.316230.31623 0.94868octave:7> F=[0.0; -1/6]F =0.00000-0.16667

7.8 Siirete arvutamise näited 199octave:8> Floc=T*FFloc =0.052705-0.158114octave:9> Nc=Floc(1,1)Nc = 0.052705octave:10> % pikij~oud vardas ’ad’ Nad=-Va-Qaoctave:10> Nad=1/12+1/12Nad = 0.16667octave:11> Nfc=-1/6Nfc = -0.16667octave:12> diary offLeitud pikijõud kanname joonisele 7.16.Siirded koormusest leiame momendi epüüride korrutamise ja numbrilise integreerimiseteel Simpsoni valemiga (D.17). Kasutame Mohri valemit∆ i,p =n∑︁∫︁ li=10m i M pds (7.88)EISiin võetakse summa Σ üle kõigi varraste. Integreerimisel jälgige integreerimise piirkondi.Kui funktsioon muutub, tuleb alustada uue integreerimise piirkonnaga.Leiame vertikaalse siirde w 1 .Arvutuspäevik 7.11 Siirde w 1 arvutusoctave:5> diary siireInt1.outoctave:6> diary onoctave:7> Ld=sqrt(6^2+2^2)Ld = 6.3246octave:8> L2=Ld/2L2 = 3.1623octave:9> % integreerimispiirkond 2. - Sd1octave:9> Sd1=(L2/6)*(4*0.75*27.0+1.5*36.0)Sd1 = 71.151octave:10> % integreerimispiirkond 3. - Sd2octave:10> Sd2=Sd1Sd2 = 71.151octave:11> % integreerimispiirkond 6. - Sd3octave:11> Sd3=(6/6)*(4*0.75*37.5+1.5*75.0)Sd3 = 225octave:12> % integreerimispiirkond 7. - Sd4octave:12> Sd4=(6/6)*(4*0.75*132.5+1.50*193.0)Sd4 = 687octave:13> Sd=Sd1+Sd2+Sd3+Sd4Sd = 1054.3octave:14> E=2.1E+11E = 2.1000e+11

200 7. Siirete arvutusoctave:15> I=1.29E-05I = 1.2900e-05octave:16> EI=E*IEI = 2709000octave:17> w1=Sd*1000/EIw1 = 0.38919octave:18> diary offLeiame pöörde φ 1 .Arvutuspäevik 7.12 Pöörde w 2 = φ 1 arvutusoctave:5> diary siireInt2.outoctave:2> diary onoctave:3> I=1.29E-05I = 1.2900e-05octave:4> E=2.1E+11E = 2.1000e+11octave:5> EI=E*IEI = 2709000octave:6> Ld=sqrt(6^2+2^2)Ld = 6.3246octave:7> L2=Ld/2L2 = 3.1623octave:8> % integreerimispiirkond 2. - Sd1octave:8> Sd1=(L2/6)*(-4*0.25*27.0-0.5*36.0)Sd1 = -23.717octave:9> % integreerimispiirkond 3. - Sd2octave:9> Sd2=-Sd1Sd2 = 23.717octave:10> % integreerimispiirkond 6. - Sd3octave:10> Sd3=(6/6)*(4*0.25*37.5+0.5*75.0)Sd3 = 75octave:11> % integreerimispiirkond 7. - Sd4octave:11> Sd4=(6/6)*(4*0.25*132.5+0.5*193.0)Sd4 = 229octave:12> Sd=Sd1+Sd2+Sd3+Sd4Sd = 304octave:13> w1=Sd*1000/EIw1 = 0.11222octave:14> diary offLeitud siire (Arvutuspäevik 7.11) ja pööre (Arvutuspäevik 7.12) langevad kokku programmigasiireNAD.m arvutatud siirde ja pöördega (Arvutuspäevik 7.14). Siirded temperatuurimuutusest arvutatakse valemitega (7.51), (7.52)n∑︁∫︁ bn∑︁∫︁ b∆ iT = n i α T · T 0 dx +i=1ai=1a1m i α T ∆T dx (7.89)h

7.8 Siirete arvutamise näited 201Arvutuspäevik 7.13 Siirde w t ja pöörde φ t . arvutus temperatuuristoctave-3.0.1:1> diary siireInt2.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> % joonpaisumistegur talpha=1.2*10^5octave-3.0.1:3> talpha=1.2*0.00001talpha = 1.2000e-05octave-3.0.1:4> % Ristl~oike inertsimoment [m4]octave-3.0.1:4> I=1.29E-05I = 1.2900e-05octave-3.0.1:5> % Elastsusmoodul (E=210GPa) E=2.1E+11 [Pa]octave-3.0.1:5> E=2.1E+11E = 2.1000e+11octave-3.0.1:6> % Ristl~oike jäikus EIoctave-3.0.1:6> EI=E*IEI = 2709000octave-3.0.1:7> % Profiili ristl~oike k~orgusoctave-3.0.1:7> Hristloige=0.18Hristloige = 0.18000octave-3.0.1:8> % Temperatuur teljel Tooctave-3.0.1:8> To=(25+15)/2To = 20octave-3.0.1:9> % Temperatuur teljel post Tokoctave-3.0.1:9> Tok=(25+25)/2Tok = 25octave-3.0.1:10> % Temperatuuri erinevus deltaT=Ta-Tyoctave-3.0.1:10> deltaT=25-15deltaT = 10octave-3.0.1:11> %Temperatuuri erinevus deltaTk=Ta-Tyoctave-3.0.1:11> deltaTk=25-25deltaTk = 0octave-3.0.1:12> lp=sqrt(6^2+2^2)lp = 6.3246octave-3.0.1:13> l2=lp/2l2 = 3.1623octave-3.0.1:14> % So=talpha*To*ni+talpha*deltaT*mioctave-3.0.1:14> wkt=talpha*To*(-0.5*5-0.15811*l2+0.15811*l2)-talpha*Tok*(0.5*7)+ ...> talpha*deltaT*1/Hristloige*(1.5*lp/2-1.5*12/2)wkt = -0.0044877octave-3.0.1:15> fikt=talpha*To*(1/6*5+0.052705*lp)-talpha*Tok*(1/6*7)+ ...> talpha*deltaT*1/Hristloige*(-0.5*l2/2+0.5*l2/2-0.5*12/2)fikt = -0.0020700octave-3.0.1:16> diary offLeitud siire ja pööre temperatuurist (Arvutuspäevik 7.13) langevad kokku programmigasiireNAD.m arvutatud siirde ja pöördega temperatuurist (Arvutuspäevik 7.14).Arvutuspäevik 7.14 Siirete arvutus programmiga siireNAD.moctave-3.0.1:1> diary siireNAD.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> siireNAD%siireN74.m Jaan Mets

202 7. Siirete arvutusIntegreerimisPiirkondadeArv = 7Joonpaisumistegur_talpha = 1.2000e-05IntegreerimisPiirkondadePikkused =5.0000 3.1623 3.1623 3.0000 4.0000 6.0000 6.0000I = 1.2900e-05E = 2.1000e+11EI = 2709000Hristloige = 0.18000===============================Ühikepüüride ordinaadidIntegreerimis-Jrk piirkond m1 m2-------------------------------1 1 0.0000 0.00002 1 0.0000 0.00003 1 0.0000 0.00004 2 0.0000 0.00005 2 0.7500 -0.25006 2 1.5000 -0.50007 3 1.5000 0.50008 3 0.7500 0.25009 3 0.0000 0.000010 4 0.0000 0.000011 4 0.0000 0.000012 4 0.0000 0.000013 5 0.0000 0.000014 5 0.0000 0.000015 5 0.0000 0.000016 6 -1.5000 -0.500017 6 -0.7500 -0.250018 6 0.0000 0.000019 7 0.0000 0.000020 7 -0.7500 -0.250021 7 -1.5000 -0.5000-------------------------------===============================Ühikepüüride ordinaadidIntegreerimis-Jrk piirkond n1 n2-------------------------------1 1 -0.5000 0.16672 1 -0.5000 0.16673 1 -0.5000 0.16674 2 -0.1581 0.05275 2 -0.1581 0.05276 2 -0.1581 0.05277 3 0.1581 0.05278 3 0.1581 0.05279 3 0.1581 0.052710 4 -0.5000 -0.166711 4 -0.5000 -0.166712 4 -0.5000 -0.166713 5 -0.5000 -0.166714 5 -0.5000 -0.166715 5 -0.5000 -0.166716 6 0.0000 0.000017 6 0.0000 0.000018 6 0.0000 0.000019 7 0.0000 0.000020 7 0.0000 0.000021 7 0.0000 0.0000-------------------------------===============================Mp epüüri ordinaadidIntegree-rimispiir-Jrk kond Mp [N*m]-------------------------------1 1 0.0000e+002 1 1.2500e+043 1 0.0000e+004 2 0.0000e+005 2 2.7000e+046 2 3.6000e+047 3 3.6000e+048 3 2.7000e+049 3 0.0000e+0010 4 0.0000e+0011 4 1.5000e+0412 4 3.0000e+0413 5 3.0000e+0414 5 7.4000e+0415 5 1.1800e+0516 6 -7.5000e+0417 6 -3.7500e+0418 6 0.0000e+0019 7 0.0000e+0020 7 -1.3250e+0521 7 -1.9300e+05-------------------------------

7.8 Siirete arvutamise näited 203===============================W - siirded koormusest-------------------------------3.8919e-01 1.1222e-01===============================WT - siirded temperatuurist--------------------------------4.4877e-03 -2.0700e-03octave-3.0.1:4> diary off

204 7. Siirete arvutus

Osa IIStaatikaga määramatud süsteemid205

8. Staatikaga määramatudkonstruktsioonid8.1 Staatikaga määramatu konstruktsioonKonstruktsiooni arvutusskeem on staatikaga määramatu, kui kõik sisejõud ja toereaktsioonidei ole arvutatavad ainult tasakaaluvõrranditest.Jooniselt 8.1 d) on näidatud, et talal on neli toereaktsiooni C 1 , C 2 , C 3 ja C 4 . Nendetoereaktsioonide leidmiseks on kaks tasakaaluvõrrandit (ilma horisontaalse toereaktsioonitakaks tasakaaluvõrrandit).a )b )c )d )F = 3 kNq = 1 kN/m000 111 01 000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111000 111 011 000 111 0000000000000000000000001111111111111111111111112 3000 11100 11010101000 111 0100 1101012.0 012.06.001010 1 00 101 01000 1110000 111110000 1111 010 10101MQ 2vM 31Q 2pM 1Q 2vϕ 2vw1w v20000000000000000011111111111111111ϕ 1CQ M000 111000 1110014 10101110100 1100 11 0101C 1e )M 2v Q v2Q 2p000 111000 11101 0 0 11010 1C 2M 2pQ 3w 2pw 3000000000000000000000000111111111111111111111111ϕ 2pM 2pM 3 Q 00 31100 11 010101000 111 010101C 3w 000000000 1111ϕ 1 w wϕ2v 2p2pw0111100 11 301111000 111 0100 11 010101000 11101000 111 01Φ1000 111 01000 111 01 010101010 1ϕ 301ϕ 2vW1 WW23Joonis 8.1. Toereaktsioonid ja toesiirdedϕ 3Joonisel 8.1 a) näidatud tala sisejõududeja toereaktsioonide leidmiseks ei piisastaatika tasakaaluvõrranditest.Staatikaga määramatu konstruktsiooniarvutamisel esineb kahte liiki tundmatuid:staatilised tundmatud ja kinemaatilisedtundmatud. Nendele vastavalton staatilised rajatingimused ja kinemaatilisedrajatingimused. Kui kinemaatilinerajatingimus on ette antud, siis vastavstaatiline suurus on tundmatu (vt Toed jatoereaktsioonid joonis 3.1) ja vastupidi.Toereaktsioonidele (joonis 8.1 d)) vastavadtoesiirded on W 1 , W 2 , W 3 ja Φ 1 (joonis 8.1e)).Joonistel 8.1 b), c) näidatud kontaktjõududeQ 1 , M 1 , Q 2v , M 2v ja Q 2p , M 2p , Q 3 ,M 3p ning vastavate siirete w 1 , φ 1 , w 2v , φ 2vja w 2p , φ 2p , w 3 , φ 3p leidmiseks koostametalade tasakaaluvõrrandid (1.63).Joonisel 8.1 näidatud talal on 8 tundmatut kontaktjõudu Q 1 , M 1 , Q 2v , M 2v , Q 2p ,M 2p , Q 3 , M 3p ja 8 rajasiiret w 1 , φ 1 , w 2v , φ 2v , w 2p , φ 2p , w 3 , φ 3p ning 4 toereaktsiooniC 1 , C 2 , C 3 ja C 4 . Nende jõudude suunad vastavad esimesele märgikokkuleppele (vt207

208 8. Staatikaga määramatud konstruktsioonidmärgikokkulepe lk 48). Kokku 20 tundmatut. Tähistame tundmatute arvu n-iga. Siisn = r + t (8.1)kus r on kontaktjõudude arv,t – toesidemete arv.Sarnaselt rajaelementide meetodile (REM) [Har87] kasutatakse EST-meetodis [Lah97a],[Lah97b], [Lah98a], [Lah98b] staatilisi ja kinemaatilisi tundmatuid. Rajaelementidemeetodi puhul rahuldatakse diferentsiaalvõrrandid määramispiirkondades (varrastes)täpselt (ülekandevõrrandid). Rajatingimused (kontaktjõud ja siirded) rahuldatakseligikaudselt (kontaktjõud ja siirded leitakse võrrandisüsteemi lahendamisega).Varraste otstes esinevad kontaktjõud ja siirded ühendame sõlmpunktides kinemaatilisteja staatiliste kontaktitingimustega. Toetingimused (vt joonis 3.1) jagunevadtoereaktsioonideks ja toesiireteks. Kontakti- ja toetingimusi nimetatakse üldiselt rajatingimusteks.Rajatingimused jagunevad staatilisteks rajatingimusteks ja kinemaatilisteksrajatingimusteks.Joonisel 8.1 näidatud kontaktjõudude ja siirete ning toereaktsioonide ja toesiiretesuunad vastavad esimesele märgikokkuleppele.Kahekümne tundmatu leidmiseks saame kasutada ülekandemaatriksi abil saadudtasakaaluvõrrandeid (1.63). Ühe tala kohta saame koostada 4 võrrandit. Joonisel 8.1esitatud jätkuvtala koosneb kahest talast. Saamev˜orrandeid = 4 v˜orrandit × 2 tala = 8 v˜orrandit8.1.1 Rajatingimused ja esimene märgikokkulepeÜlejäänud 12 võrrandit saame rajatingimustest. Vaatleme joonisel 8.1 d) esimesttoesõlme ja kirjutame välja tasakaalutingimused (staatilised rajatingimused)ja pidevuse tingimused (kinemaatilised rajatingimused)Q 1 − C 1 = 0 (8.2)M 1 − C 4 = 0 (8.3)w 1 = 0 (8.4)φ 1 = 0 (8.5)Joonisel 8.1 d) teise toesõlme kohta kirjutame välja tasakaalutingimused (staatilisedrajatingimused)ja pidevuse tingimused (kinemaatilised rajatingimused)Q 2v + C 2 − Q 2p = 0 (8.6)M 2v − M 2p = 0 (8.7)w 2v = 0 (8.8)w 2p = 0 (8.9)φ 2v − φ 2p = 0 (8.10)

8.1 Staatikaga määramatu konstruktsioon 209Joonisel 8.1 d) kirjutame kolmanda toesõlme kohta välja tasakaalutingimused(staatilised rajatingimused)ja pidevuse tingimuse (kinemaatiline rajatingimus)Q 3 + C 3 = 0 (8.11)M 3 = 0 (8.12)w 3 = 0 (8.13)Need 12 võrrandit lisame 8 tasakaaluvõrrandile. Seega on meil vajalik arv võrrandeidtundmatute leidmiseks.Väljavõttes 8.1 programmist spTundmatudVorrandid.m 1 on toodud maatriks tundmatud.Väljavõte programmist 8.1 Võrrandisüsteemi tundmatud EST-programmistundmatud=[’- 1 - siire 1.tala l~opus ’;’- 2 - pööre 1.tala l~opus ’;’- 3 - p~oikj~oud 1.tala l~opus ’;’- 4 - paindemoment 1.tala l~opus ’;’- 5 - siire 1.tala algul ’;’- 6 - pööre 1.tala algul ’;’- 7 - p~oikj~oud 1.tala algul ’;’- 8 - paindemoment 1.tala algul ’;’- 9 - siire 2.tala l~opus ’;’- 10 - pööre 2.tala l~opus ’;’- 11 - p~oikj~oud 2.tala l~opus ’;’- 12 - paindemoment 2.tala l~opus ’;’- 13 - siire 2.tala algul ’;’- 14 - pööre 2.tala algul ’;’- 15 - p~oikj~oud 2.tala algul ’;’- 16 - paindemoment 2.tala algul ’;’- 17 - 1. toereaktsioon ’;’- 18 - 2. toereaktsioon ’;’- 19 - 3. toereaktsioon ’;’- 20 - 4. toereaktsioon ’];Väljavõttes 8.2 programmist spTundmatudVorrandid.m on koostatud rajatingimused,kus funktsiooniga spIN(N,M,Av) sisestatakse võrrandisüsteemi N rea, Mveeru väärtus Av ja vastav vabaliige ZoS(N,1)Väljavõte programmist 8.2 I märgikokkuleppe 12 rajatingimust% Esimese märgikokkuleppe puhul v~orrandisse:% + (Q tala l~opus) + (toereaktsioon) - (Q tala algul) = 0%.1. tugi% tasakaalutingimus% 9. v~orrand (17 - 1. toereaktsioon) - (7 - p~oikj~oud 1.tala algul) = 01 ./octaveProgrammid/spTundmatudVorrandid.m

210 8. Staatikaga määramatud konstruktsioonidspUal=spIN(9,17,1.0);spUal=spIN(9,7,-1.0);ZoS(9,1)=0;% 10. v~orrand -(8 - paindemoment 1.tala algul) + (20 - 4. toereaktsioon) = 0spUal=spIN(10,8,-1.0);spUal=spIN(10,20,1.0);ZoS(10,1)=0;% siirded/pöörded% 11. v~orrand (5 - siire 1.tala algul) = 0spUal=spIN(11,5,1.0);ZoS(11,1)=0;% 12. v~orrand (6 - pööre 1.tala algul) = 0spUal=spIN(12,6,1.0);ZoS(12,1)=0;%.2. tugi% tasakaalutingimus% 13. v~orrand (4 - paindemoment 1.tala l~opu) - (16 - paindemoment 2.tala algul) = 0spUal=spIN(13,4,1.0);spUal=spIN(13,16,-1.0);ZoS(13,1)=0;% 14. v~orrand +(3 - p~oikj~oud 1.tala l~opus) - (15 - p~oikj~oud 2.tala algul) + ...(18 - 2. toereaktsioon) = 0spUal=spIN(14,3,1.0);spUal=spIN(14,15,-1.0);spUal=spIN(14,18,1.0);ZoS(14,1)=0;% siirded/pöörded% 15. v~orrand (2 - pööre 1.tala l~opus) - (14 - pööre 2.tala algul) = 0spUal=spIN(15,2,1.0);spUal=spIN(15,14,-1.0);ZoS(15,1)=0;% 16. v~orrand (1 - siire 1.tala l~opus) = 0spUal=spIN(16,1,1.0);ZoS(16,1)=0;% 17. v~orrand (13 - siire 2.tala algul) = 0spUal=spIN(17,13,1.0);ZoS(17,1)=0;%.3. tugi% tasakaalutingimus% 18. v~orrand +(11 - p~oikj~oud 2.tala l~opus) + (19 - 3. toereaktsioon) = 0spUal=spIN(18,11,1.0);spUal=spIN(18,19,1.0);ZoS(18,1)=0;% 19. v~orrand (12 - paindemoment 2.tala l~opus) = 0spUal=spIN(19,12,1.0);ZoS(19,1)=0;% siirded/pöörded% 20. v~orrand (9 - siire 2.tala l~opus) = 0spUal=spIN(20,9,1.0);ZoS(20,1)=0;Ülekandemaatriksi abil saadud varda hõredad tasakaaluvõrrandid kirjeldame funktsioonispUlintala ImkSc abil. Hõreda maatriksiga kirjeldatud tasakaaluvõrrandid ja ra-

8.1 Staatikaga määramatu konstruktsioon 211EIw [Nm 3 ]−20246810Jätkuvtala Sp siire w0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x [m](a) Siire wQ [kN]Jätkuvtala Sp põikjõud Q−3−2−10123450 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x [m](b) Põikjõud QEIfi [Nm 2 rad]−4−20246Jätkuvtala Sp pöördenurk fi0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x [m]M [kNm]−4−3−2−101234Jätkuvtala Sp paindemoment M0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x [m](c) Pöördenurk fi(d) Paindemoment MJoonis 8.2. Jätkuvtala sisejõud ja siirded EST-meetodigajatingimused koosnevad 47 nullist erinevast elemendist (rows = 20, cols = 20, nnz =47). Suurte hõredate mittesümmeetriliste võrrandisüsteemide lahendamiseks on loodudhäid meetodeid.Joonisel 8.2 on näidatud programmiga spTundmatudVorrandid.m arvutatud talasisejõudude graafikud.Joonisel 8.1 ja väljavõttes 8.2 programmist vaatlesime rajatingimusi Imärgikokkuleppe puhul.8.1.2 Rajatingimused ja teine märgikokkulepeI märgikokkuleppe puhul rajatingimuste kirjutamine sõlmedes mitme varda ühendamiselon keerukas. Lihtsam on need tingimused välja kirjutada II märgikokkuleppepuhul.Rajajõududele tasakaaluvõrrandi koostamisel liidame kõik suurused. Siirete võrdusekorral, kirjutades nad ühele poole võrdusmärki, on üks neist miinusmärgiga.Teise märgikokkuleppe puhul kirjutame 12 rajatingimust. Vaatleme joonisel 8.3 d)esimest toesõlme ja kirjutame välja tasakaalutingimused (staatilised rajatingimused)ja pidevuse tingimused (kinemaatilised rajatingimused)Q 1 − C 1 = 0 (8.14)M 1 − C 4 = 0 (8.15)w 1 = 0 (8.16)φ 1 = 0 (8.17)Joonisel 8.3 d) teise toesõlme kohta kirjutame välja tasakaalutingimused (staatilisedrajatingimused)Q 2v − C 2 + Q 2p = 0 (8.18)

212 8. Staatikaga määramatud konstruktsioonidb )c )ϕ 1a )F = 3 kNq = 1 kN/m000 111 01 000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111000 111 011 000 111 0000000000000000000000001111111111111111111111112 3000 11100 11010101000 11100 1101012.0 012.06.001010 0 1 100 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1000 1110000 11110000 11110101MQ 2vM 31Q 2pQM 2v1M 2pQ 3ϕ 2vϕ 3w1w v2w 2pw 30000000000000000011111111111111111 000000000000000000000000111111111111111111111111ϕ 2pd )Q000011000 1110111100 1101000 111 0101M 1C 4C 1e )w000 1111ϕ 1000 0111101000 111Φ 011 000 111000 111 0101W1M 2vQ 3Q v20000 111100 110000 1111 0 0 Q 2p00 110 1 11 010 1 1M 12pM 3 000 111C C 32w wϕ2v 2p2pw 3000 11100 1100 11 0101000 111 01 0 0010 1 11ϕϕ 3 01000 111 012vW2W3Joonis 8.3. Tundmatud tala arvutamiseks. II märgikokkulepeja pidevuse tingimused (kinemaatilised rajatingimused)M 2v + M 2p = 0 (8.19)w 2v = 0 (8.20)w 2p = 0 (8.21)φ 2v − φ 2p = 0 (8.22)Joonisel 8.3 d) kolmanda toesõlme kohta kirjutame välja tasakaalutingimused(staatilised rajatingimused)ja pidevuse tingimuse (kinemaatiline rajatingimus):Q 3 − C 3 = 0 (8.23)M 3 = 0 (8.24)w 3 = 0 (8.25)Need 12 võrrandit lisame 8-le tasakaaluvõrrandile. Seega on meil vajalik arv võrrandeidtundmatute leidmiseks.Joonisel 8.3 ja väljavõttes 8.3 programmist spTundmatudVorrandidII.m on koostatudrajatingimused II märgikokkuleppel, kus funktsiooniga spIN(N,M,Av) sisestatakse võrrandisüsteemiN rea, M veeru väärtus Av ja vastav vabaliige ZoS(N,1)

8.1 Staatikaga määramatu konstruktsioon 213Väljavõte programmist 8.3 II märgikokkuleppe 12 rajatingimust% Teise märgikokkuleppe puhul v~orrandisse:% (Q tala l~opus) - (toereaktsioon) + (Q tala algul) = 0% (siirete1) - (siire2)= 0 - on v~ordsed%.1. tugi% tasakaalutingimus% 9. v~orrand (17 - 1. toereaktsioon) + (7 - p~oikj~oud 1.tala algul) = 0spUal=spIN(9,17,1.0);spUal=spIN(9,7,1.0);ZoS(9,1)=0;% 10. v~orrand (8 - paindemoment 1.tala algul) - (20 - 4. toereaktsioon) = 0spUal=spIN(10,8,1.0);spUal=spIN(10,20,-1.0);ZoS(10,1)=0;% siirded/pöörded% 11. v~orrand (5 - siire 1.tala algul) = 0spUal=spIN(11,5,1.0);ZoS(11,1)=0;% 12. v~orrand (6 - pööre 1.tala algul) = 0spUal=spIN(12,6,1.0);ZoS(12,1)=0;%.2. tugi% tasakaalutingimus% 13. v~orrand (4 - paindemoment 1.tala l~opu) + (16 - paindemoment 2.tala algul) = 0spUal=spIN(13,4,1.0);spUal=spIN(13,16,1.0);ZoS(13,1)=0;% 14. v~orrand +(3 - p~oikj~oud 1.tala l~opus) + (15 - p~oikj~oud 2.tala algul) - ...(18 - 2. toereaktsioon) = 0spUal=spIN(14,3,1.0);spUal=spIN(14,15,1.0);spUal=spIN(14,18,-1.0);ZoS(14,1)=0;% siirded/pöörded% 15. v~orrand (2 - pööre 1.tala l~opus) - (14 - pööre 2.tala algul) = 0spUal=spIN(15,2,1.0);spUal=spIN(15,14,-1.0);ZoS(15,1)=0;% 16. v~orrand (1 - siire 1.tala l~opus) = 0spUal=spIN(16,1,1.0);ZoS(16,1)=0;% 17. v~orrand (13 - siire 2.tala algul) = 0spUal=spIN(17,13,1.0);ZoS(17,1)=0;%.3. tugi% tasakaalutingimus% 18. v~orrand +(11 - p~oikj~oud 2.tala l~opus) - (19 - 3. toereaktsioon) = 0spUal=spIN(18,11,1.0);spUal=spIN(18,19,-1.0);ZoS(18,1)=0;% 19. v~orrand (12 - paindemoment 2.tala l~opus) = 0spUal=spIN(19,12,1.0);

214 8. Staatikaga määramatud konstruktsioonidZoS(19,1)=0;% siirded/pöörded% 20. v~orrand (9 - siire 2.tala l~opus) = 0spUal=spIN(20,9,1.0);ZoS(20,1)=0;==============================================Programmiga spTundmatudVorrandidII.m tehtud arvutused on toodud arvutuspäevikus8.1Arvutuspäevik 8.1 Jätkuvtala arvutus EST-meetodigaoctave-3.0.1:2> diary spTundmatudVorrandidII.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spTundmatudVorrandidIII = 1.9020e-05E = 2.1000e+11EI = 3994200GAr = 4.5036e+15F1 = 3aF1 = 2L = 10L1 = 4L2 = 6qz = 1II märgikokkuleppeSkaleerimise tegurid EIsuhe = EIo/EI GArsuhe=EIo/GArEIsuhe1 = 1GArsuhe1 = 8.8689e-10EIsuhe2 = 1GArsuhe2 = 8.8689e-10siirded ja pöörded on nüüd EIo kordsedV~orrandisüsteemi vasak pool spUSspUS =Compressed Column Sparse (rows = 20, cols = 20, nnz = 47)(1, 1) -> -1(16, 1) -> 1(2, 2) -> -1(15, 2) -> 1(3, 3) -> -1(14, 3) -> 1(4, 4) -> -1(13, 4) -> 1(1, 5) -> 1(11, 5) -> 1(1, 6) -> -4(2, 6) -> 1(12, 6) -> 1(1, 7) -> 10.667(2, 7) -> -8(3, 7) -> -1(4, 7) -> -4(9, 7) -> 1(1, 8) -> 8(2, 8) -> -4(4, 8) -> -1(10, 8) -> 1(5, 9) -> -1(20, 9) -> 1(6, 10) -> -1(7, 11) -> -1

8.1 Staatikaga määramatu konstruktsioon 215(18, 11) -> 1(8, 12) -> -1(19, 12) -> 1(5, 13) -> 1(17, 13) -> 1(5, 14) -> -6(6, 14) -> 1(15, 14) -> -1(5, 15) -> 36.000(6, 15) -> -18(7, 15) -> -1(8, 15) -> -6(14, 15) -> 1(5, 16) -> 18(6, 16) -> -6(8, 16) -> -1(13, 16) -> 1(9, 17) -> 1(14, 18) -> -1(18, 19) -> -1(10, 20) -> -1-------------------V~orrandisüsteemi parem pool ZoSZoS =-4636-5436618000000000000----------------V~orrandisüsteemi lahendamineX=spUS\ZoS;====================================================Toereaktsioonid ja kontaktj~oud X II märgikokkulepe====================================================0.000000e+00 - 1 - siire 1.tala l~opus-2.000000e+00 - 2 - pööre 1.tala l~opus-2.250000e+00 - 3 - p~oikj~oud 1.tala l~opus-3.500000e+00 - 4 - paindemoment 1.tala l~opus0.000000e+00 - 5 - siire 1.tala algul0.000000e+00 - 6 - pööre 1.tala algul-7.500000e-01 - 7 - p~oikj~oud 1.tala algul5.000000e-01 - 8 - paindemoment 1.tala algul0.000000e+00 - 9 - siire 2.tala l~opus5.500000e+00 - 10 - pööre 2.tala l~opus-2.416667e+00 - 11 - p~oikj~oud 2.tala l~opus0.000000e+00 - 12 - paindemoment 2.tala l~opus0.000000e+00 - 13 - siire 2.tala algul-2.000000e+00 - 14 - pööre 2.tala algul-3.583333e+00 - 15 - p~oikj~oud 2.tala algul3.500000e+00 - 16 - paindemoment 2.tala algul7.500000e-01 - 17 - 1. toereaktsioon-5.833333e+00 - 18 - 2. toereaktsioon-2.416667e+00 - 19 - 3. toereaktsioon5.000000e-01 - 20 - 4. toereaktsioon-----------------------------------

216 8. Staatikaga määramatud konstruktsioonidsiirded ja pöörded on EIo kordsedWalg =0.00000 -0.00000 0.75000 -0.50000tegur = 2minimaalne jaotuste arv - jaotusi = L/tegurNT=jaotusi*KordaNT; % jaotusi suurendatakse KordaNT kordaNT = 25=========================================================Siirded ja sisej~oud lihttalas=========================================================Jrk x w fi Q M---------------------------------------------------------1 0.00 0.000 0.000 0.750 -0.5002 0.40 0.032 -0.140 0.750 -0.2003 0.80 0.096 -0.160 0.750 0.1004 1.20 0.144 -0.060 0.750 0.4005 1.60 0.128 0.160 0.750 0.7006 2.00 0.000 0.500 0.750 1.0007 2.00 0.000 0.500 -2.250 1.0008 2.40 -0.256 0.720 -2.250 0.1009 2.80 -0.528 0.580 -2.250 -0.80010 3.20 -0.672 0.080 -2.250 -1.70011 3.60 -0.544 -0.780 -2.250 -2.60012 4.00 -0.000 -2.000 -2.250 -3.50013 4.00 -0.000 -2.000 3.583 -3.50014 4.40 1.043 -3.124 3.183 -2.14715 4.80 2.431 -3.739 2.783 -0.95316 5.20 3.974 -3.908 2.383 0.08017 5.60 5.507 -3.696 1.983 0.95318 6.00 6.889 -3.167 1.583 1.66719 6.40 8.006 -2.384 1.183 2.22020 6.80 8.771 -1.412 0.783 2.61321 7.20 9.119 -0.315 0.383 2.84722 7.60 9.014 0.844 -0.017 2.92023 8.00 8.444 2.000 -0.417 2.83324 8.40 7.423 3.089 -0.817 2.58725 8.80 5.990 4.048 -1.217 2.18026 9.20 4.211 4.812 -1.617 1.61327 9.60 2.175 5.317 -2.017 0.88728 10.00 -0.000 5.500 -2.417 -0.000---------------------------------------------------------Siin siire w ja ristl~oike pööre fi on EIo kordsedTegelik siire w/EIo ja ristl~oike pööre fi/EIooctave-3.0.1:4> diary off

8.2 Konstruktsioonide arvutamise meetodid 2178.2 Konstruktsioonide arvutamise meetodidKui kõiki tundmatuid ei arvutata ühel ajal, koostatakse võrrandisüsteem esialgu leitavatetundmatute ehk lisatundmatute jaoks. Ülejäänud tundmatud arvutatakse koormuseja lisatundmatute funktsioonidena. Olenevalt sellest, missugused tundmatud võetakselisatundmatuteks, jagatakse arvutusmeetodid järgmiselt:∙ Jõumeetodi puhul valitakse lisatundmatuteks varraste otstes olevad rajajõud.Lisatundmatute leidmiseks koostatakse võrrandisüsteem pidevustingimustealusel.∙ Siirde- ehk deformatsioonimeetodi puhul valitakse lisatundmatuteks raamisõlmede siirded. Kinemaatiliste lisatundmatute leidmiseks koostatakse võrrandisüsteemsõlmede tasakaalutingimuste alusel.∙ Segameetodi puhul võetakse lisatundmatuteks osalt siirded ja osalt jõud.∙ Tervikmeetodi (sks Gesamtmatrixverfaren GMV ) (ingl Complete Matrix Method(CMM)) [Ebl90] puhul koostatakse võrrandisüsteem kõigi tundmatute kohta (eitehta vahet lisatundmatute ja ülejäänud tundmatute vahel) korraga.Staatiliselt määramatute konstruktsioonide üheks iseloomulikuks iseärasuseks on see,et nende sisejõudude jaotus oleneb varraste ristlõike jäikusest. Tugede siirded ja katemperatuuri muutus kutsuvad esile sisejõude.8.3 Staatikaga määramatute konstruktsioonideomadusedLoetelu on võetud raamatust [Rää75].1. Staatikaga määramatul konstruktsioonil on lõpmata palju lahendeid, mis rahuldavadtasakaalutingimusi, kuid ainult üks neist rahuldab ka deformatsioonide pidevusetingimusi.2. Staatikaga määramatul konstruktsioonil on liigsidemeid. Liigside on niisuguneelement, mille eemaldamisel ülejäänud konstruktsiooniosa on ikka geomeetriliseltmuutumatu.3. Tingimata vajalikes sidemetes saab sisejõude leida tasakaalutingimustega. Tingimatavajaliku sideme eemaldamisel muutub osa konstruktsioonist geomeetriliseltmuutuvaks.4. Temperatuuri muutus, tugede siirded ja konstruktsiooni elementide mõõtmeteebatäpsus võib põhjustada staatikaga määramatus konstruktsioonis sisejõudusid.Tingimata vajalikes sidemetes need mõjud sisejõudusid ei põhjusta.

218 8. Staatikaga määramatud konstruktsioonid5. Staatikaga määramatu konstruktsiooni sisejõud olenevad varraste jäikusest.6. Staatikaga määramatus konstruktsioonis võivad esineda pinged ka ilma koormuseta.Neid pingeid nimetatakse eelpingeteks.

9. JõumeetodLoeng 1 1 : Jõumeetodi kanooniline võrrandisüsteem. Näide 9.1. Raam. Loeng 2 2 : Näite 9.1arvutiprogramm. Näide 9.2. Loeng 3 3 : Näite 9.2 arvutiprogramm. Näide 9.3.Konstruktsiooni varraste arv v (vt joonis 9.1) koosneb kolmest osast:v = v 6 + v 5 + v 4 (9.1)kus v 6 on mõlemast otsast jäigalt kinnitatud varraste arv, v 5 ühest otsast jäigalt jateises otsas liigendiga kinnitatud varraste arv, v 4 mõlemast otsast liigendiga kinnitatudvarraste arv.a )d000000000000000000000000111111111111111111111111 e000000000000000000000000111111111111111111111111fb )ss 32 s2defkt = 2000 111 a000 111 bc0011 a0011000 111000 11100 11 00 11vc )5v 5d e e f00000000000000000001111111111111111111vardaidv 4 = 1ve5 = 3v 4v 6vvk6 = 15v = 5bca000000 11100 1100 1111100 1100 11000 111 bc0011000 11100 11sõlmi (jäikade sõlmede arv ei sisalda toesõlmi)s 2 = 3s 3 = 1s = 4sõlmede tundmatud3s 3+ 2s 2− tvarraste tundmatud6v6+ 5v5+4v + t 4Joonis 9.1. Tundmatute üldarvVarraste otstes olevaid rajajõude koos toereaktsioonidega onkus on t liigendtugede toesidemete arv.Konstruktsiooni sõlmede arv s1 ./videod/jouMetLoeng1.html2 ./videod/jouMetLoeng2.html3 ./videod/jouMetLoeng3.html6v 6 + 5v 5 + 4v 4 + t (9.2)s = s 3 + s 2 (9.3)219

220 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]kus s 2 on liigendsõlmede arv ja s 3 jäikade sõlmede arv, mis ei sisalda jäiku toesõlmi.Varraste ja sõlmede kohta saab kirjutada3v + 3s 3 + 2s 2 (9.4)tasakaaluvõrrandit. Lisatundmatute arv n on võrdne staatiliste tundmatute üldarvu(9.2) ja tasakaaluvõrrandite (9.4) arvu vahegan = 6v 6 + 5v 5 + 4v 4 + t − 3v − 3s 3 − 2s 2 (9.5)mida nimetatakse staatikaga määramatuse astmeks. Kui asetada avaldisse (9.5) varrasteüldarv v (9.1), saabn = 3v 6 + 2v 5 + v 4 + t − 3s 3 − 2s 2 (9.6)Valemis (9.6) tähistab t ainult liigendtugede toesidemete arvu. Ülesannet nimetataksen-kordselt staatikaga määramatuks.9.1 Raamid9.1.1 Staatilise määramatuse asteAvaldis (9.6) kehtib kõigi varrastest moodustatud konstruktsioonide kohta. Raamidestaatilise määramatuse astet saab arvutada lihtsamate valemitega.Kui konstruktsioonis on nii liigendita kui ka liigenditega suletud kontuure, siis saabstaatilise määramatuse astet arvutada valemigan = 3m 1 − l 1 (9.7)siin on m 1 suletud (nii liigendita kui ka liigenditega) kontuuride arv,l 1 – lihtliigendite arv.Näiteks raamil (joonis 9.1 a)) on suletud kontuuride arv m 1 = 2 ja lihtliigendeid l 1 = 3.Seega on staatilise määramatuse aste nn = 3m 1 − l 1 = 3 · 2 − 3 = 3. (9.8)Joonisel 9.2 näidatud raamil on 8 kinnist kontuuri ja 20 lihtliigendit. Seega,n = 3m 1 − l 1 = 3 · 8 − 20 = 4 (9.9)Lihtliigendite arv on ühe võrra väiksem selles liigendis kinnitatud varraste arvust.Näiteks on joonisel 9.2 all vasakus nurgas üks lihtliigend (kinnitatud üks jäik nurkja toe varras). Samal joonisel üleval keskel olevas liigendis on ühendatud varrast jalihtliigendite arv on kolm.

9.1 Raamid 2213 lihtliigenditIIIII8 kinnist kontuuri3I kontuur320 lihtliigenditn = 3*8 − 20 = 4IVV41VIVII1 11lihtliigend¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢£ £ £ ££ £ £ £¤ ¤¤ ¤¥ ¥¥ ¥ ¢ ¡ ¡¡ ¡21VIIIJoonis 9.2. Kinnised kontuurid ja lihtliigendid9.1.2 Põhiskeem ja lisatundmatudStaatikaga määramatust raamist saadakse liigsidemete eemaldamisel staatikagamääratav raam. Selliselt saadud uut staatikaga määratavat skeemi nimetataksepõhiskeemiks. Jõumeetodi puhul on eemaldatud sidemete asemel rakendatud jõud lisatundmatuteks.Liigsidemeteks võib valida sidemed, mille eemaldamisel ei ole skeemgeomeetriliselt muutuv (vt joonis 9.3 a) ja b)) või hetkmuutuv (joonis 9.3 c)).a)defb)defc)defa b c¡ £ £ ¤ ¤ ¤ ¡a b cabc ¢ ¢¥ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦§ § ¨ ¨ ¨ Joonis 9.3. Geomeetriliselt muutuvad ja hetkmuutuvad skeemid© © Joonisel 9.4(a) ja 9.4(b) on toodud raam, mis on kahekordselt staatikaga määramatu.Lisatundmatuteks on momendid X 1 ja X 2 . Joonisel 9.4(a) oleva raami sõlme fpöördumisel pöördenurga φ fe võrra, pöörduvad ka varraste fe ja fc otste ristlõiked nurgaφ fe ning φ fc võrra. Deformatsiooni pidevuse tingimuseks on nende pöördenurkadevõrdsus φ fe = φ fc , s.oToe c ristlõike pöördenurk võrdub nulliga.φ fe − φ fc = 0 (9.10)φ cf = 0 (9.11)Sarnased tingimused saame kirjutada ka joonisel 9.4(b) oleva raami kohta.Lisaks pöördenurkade pidevuse tingimusele võib lõigata ristlõike läbi ja võtta pikisiirete,põikisiirete ning paindemomentide võrdsuse (vt joonis 9.4(c)). Erinevate põhiskeemidepuhul on arvutuste maht erinev.Järgnevalt vaatleme, kuidas nende tingimuste põhjal saada võrrandid lisatundmatute(X i ) leidmiseks.

222 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]28 kN0000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111124 kN/mX 100000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111X 1d 2Ie 2I f 000000000000000111111111111111defIIIXPõhiskeem2abcabc00 11 00 11 00 1100 1100 11 00 116 m6 m 2 m3 m(a) Põhiskeem a0000000000000000000000011111111111111111111111q = 8 kN/m0000000000000000000000011111111111111111111111 efF = 12 kNd2I2I4 mIII5 ma0000 11110000 11110000 11110000 1111 b8 m0000 11110000 11118 m0000 1111 c0000 11110000 1111X 1X 1X 2Põhiskeem0000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111(b) Põhiskeem b24 kN/m0000000000000000000000011111111111111111111111a 2I b0000000000000011111111111111aX 2 X 3 X 3X 1bI00 11c00 116 mI3 md000 111000 1112 mc00 1100 11X 1X 2Põhiskeem00 11d00 11(c) Põhiskeem cJoonis 9.4. Raamide põhiskeeme9.1.3 Lisatundmatute arvutamise võrrandidLisatundmatute X i leidmiseks koostatakse võrrandid staatikaga määramatu skeemi siiretepidevustingimuste alusel. Arvutusskeemi suvalise punkti siire arvutatakse jõududesõltumatuse printsiibi (vt jaotis 1.2) alusel:∆ k = δ k1 X 1 + δ k2 X 2 + . . . + δ kn X n + ∆ k0 (9.12)kus ∆ k0 on koormusest, temperatuurist ja tugede vajumisest põhjustatud ristlõike ksiire põhiskeemis; δ ki on ristlõike k siire lisatundmatust X i = 1.Võrrandid tundmatute arvutamiseks saame, kui kirjutame tingimused (9.10), (9.11)avaldise (9.12) abil lahti. Kui arvutusskeem on n korda staatikaga määramatu, siis ntingimuse kohta koostatakse n võrrandit:∆ 1 = δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + . . . + δ 1n X n + ∆ 10 = 0∆ 2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + . . . + δ 2n X n + ∆ 20 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∆ k = δ k1 X 1 + δ k2 X 2 + . . . + δ kn X n + ∆ k0 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∆ n = δ n1 X 1 + δ n2 X 2 + . . . + δ nn X n + ∆ n0 = 0(9.13)

9.1 Raamid 223ehk∆ k = δ ki X i + ∆ k0 = 0, (k, i = 1, 2, . . . , n) (9.14)Võrrandisüsteemi (9.14) nimetatakse jõumeetodi kanooniliseks võrrandisüsteemiks.Võrrandisüsteemi (9.13), (9.14) kordajad δ ij ja vabaliige ∆ i0 leitakse valemitegaδ ij = ∑︀ ∫︀ l j0∆ ip = ∑︀ ∫︀ l j0(︁mi m jEI(︂mi M 0 pEI+ n in jEA+ n iN 0 pEA+ k j q iq jEA)︁dx (9.15))︂+ kq i Q 0 pj dx (9.16)EA∆ it = ∑︀ ∫︀ l j0 α j(︁ Δtjh jm i + t 0j n i)︁dx (9.17)∆ ir = − ∑︀ ∆c j r ′ ji (9.18)∆ i0 = ∆ ip + ∆ it + ∆ ir (9.19)kus α j – varda j materjali joonpaisumistegur;k j – tegur, mis arvestab nihkepingete ebaühtlast jaotumist varda j ristlõikes, näiteksristkülikulise ristlõike puhul k j = 1.2.Võrrandisüsteemi (9.13), (9.14) kordajate δ ij ja vabaliikme ∆ i0 leidmiseks kasutamenumbrilist integreerimist (Simpsoni valemit vt lõik D.2.1 lk 665 ja Vereštšagini võtetvt lõik D.2.3 lk 666). Numbriliset integreerimist kasutatakse näites (9.1), (9.2) ja arvutiprogrammisI.61 lk 733.9.1.4 Sisejõudude arvutusKonstruktsiooni varda mis tahes vabalt valitud ristlõikes k arvutatakse sisejõud M kjõudude mõjumise sõltumatuse printsiibi põhjal:M k = m k1 X 1 + m k2 X 2 + . . . + m kj X j + . . . + m kn X n + M 0 kp (9.20)siin m kj on paindemoment ühikepüüri m j ristlõikes k,M 0 kp – paindemoment koormusepüüri M 0 p ristlõikes k,X j – lisatundmatu.9.1.5 Raami arvutus jõumeetodiga. Näide 9.1Näide 9.1Koostada joonisel 9.5 staatikaga määramatu raami paindemomendi, põikjõu ja normaaljõuepüürid.Joonise 9.5 raamil on üks kinnine kontuur (m 1 = 1) ja üks lihtliigend (l 1 = 1). Raamistaatilise määramatuse astet arvutame valemiga (9.7). Saamen = 3m 1 − l 1 = 3 · 1 − 1 = 2 (9.21)

224 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]4 mq = 20 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111a I f bF = 40 kNe3 mI EI = constcd00 116 m00 113 mIJoonis 9.5. Kahekordselt staatiliselt määramatu raam 1st raami staatilise määramatuse aste on kaks. Kirjutame välja jõumeetodi kanoonilised võrrandidkahekordselt staatikaga määramatu raami jaoks:δ 11 X 1 + δ 12 X 2 = −Δ 1pδ 21 X 1 + δ 22 X 2 = −Δ 2p(9.22)Jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemi kordajate arvutamise valemites (9.15) ja (9.16) arvestameainult paindemomendi mõju:∫︁ lE o I o δ i,j = Σ0m i m j E o I ods,EI∫︁ lE o I o Δ i,p = Σ0m i Mp 0 E o I ods (9.23)EISiin summa Σ võetakse üle kõigi varraste. Integreerimisel jälgime integreerimispiirkondi. Kuifunktsioon muutub, tuleb alustada uue integreerimispiirkonnaga nii, nagu toimisime siiretenumbrilisel arvutamisel (näide 7.1). Integraalide arvutamisel kasutame Vereštšagini võtet(D.26) ja Simpsoni valemit (D.17).Järgnevaid arvutusi saame korrata, kui kopeerime tekstist R3kasud.txt 4 käsu/käsud ja asetameGNU Octave’i käsureale.Koostame m i ja Mp0ning vabaliikmeepüürid (joonis 9.6) ja arvutame võrrandisüsteemi (9.22) kordajadEIδ 11 = 4 3 · 12 + 6 3 · 12 + 5 3 · 1.52 = 7.0833 mEIδ 22 = 6 3 · 12 + 5 6(1.0 · 1.0 + 4 · 1.25 · 1.25 + 1.5 · 1.5) = 9.9167 mEIδ 12 = EIδ 21 = 6 6 · 12 + 5 6(0 · 1.0 − 4 · 0.75 · 1.25 − 1.5 · 1.5) = −4.0000 mEIΔ 1p = 1 3 · 0.75 · 30.0 · 3.0 + (9.24)16(0.75 · 30.0 + 4 · 0.875 · 15.0 + 1.0 · 0) ++ 2 3 · 90 · 6.0 · 0.5 + 1 3 · 1.5 · 60.0 · 5.0 = 365.000 kN·m2EIΔ 2p = 2 3 · 90 · 6.0 · 0.5 + 5 6 · (1.0 · 0 − 4 · 1.25 · 30.0 − 1.5 · 60) = −20.000 kN·m2Saadud võrrandisüsteemi7.0833X 1 − 4.0000X 2 = −365.000−4.0000X 1 + 9.9167X 2 = 20.000(9.25)4 ./octaveProgrammid/R3kasud.txt

9.1 Raamid 225X = 11X Xq 2 1000000000000000000000000111111111111111111111111bX 2a000000000000000000000000111111111111111111111111a 1bX 1 X 0000000000000000000000011111111111111111111111 00000000111111111= 10.875F1 00000000000000000000000111111111111111111111110.5 00000000111111110000 1111e0000 11110.7500000000111111110000 11110.750000 11110000000011111111Põhiskeem0000 1111 0.3750000 1111m 00000000111111110000 111110000 111100000000111111110000 11110000 1111000000000000 11110000000011111111111111111.5000 111c00 11dc0011d 00 11000 11100 11 00 111/m1/m00 111/41/41/6 1/m1.51/6 1/mX 2= 1 X 20 kN/mab 2= 10000000011111111 ab0000000000000000000000011111111111111111111111 0000000011111111000000000000000000000000111111111111111111111111 00000000011111111100000000000000000000000111111111111111111111110.5 0000000011111111 40 kN00000000000000000000000011111111111111111111111115.00000000001111111111.000000000111111111.00000000000000000000000001111111111111111111111110000000011111111e 30.0000000000111111111 30.0000000000000000000000000111111111111111111111111 00000000011111111100000000000000000001111111111111111 000000 111111111 90.0m 215.000000000011111111160.01.25000 111000 111c0000000011111111d111c000111d000 111 000000001111111100 11 kN 000000000000000000000000000111111111M p 0 111111111[kN.m]1.510.0 11111111100 11 30.0 kN00000000111111111/6 1/m00000000111111111.5 1/6 1/m60.0 kN60.0 kNm60.0 kNJoonis 9.6. Raami 1 põhiskeem ja paindemomentide epüüridlahendame GNU Octave’iga:octave:1> VasakPool=[7.0833 -4.0000; -4.0000 9.9167]VasakPool =7.0833 -4.0000-4.0000 9.9167octave:2> ParemPool=[-365.000;20.0]ParemPool =-36520octave:3> X=VasakPool\ParemPoolX =-65.254-24.304octave:4>Väikest süsteemi saame lahendada ka determinantidega (vt lisa A.10)D = 7.0833 · 9.9167 − 4.0000 2 = 54.243D 1 = −365.000 · 9.9167 + 4.0000 · 20.0 = −3539.6D 2 = 7.0833 · 20.0 − 4.0000 · 365.000 = −1318.3(9.26)

226 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]000001111165.254 000001111124.3040000011111000000011111110000011111 000000000000000000000111111111111111111111 f0000 1111000000011111110000 1111 a000000000000000000000111111111111111111111 00000001111111b0000 11110000 1111 e00000000000000000000011111111111111111111118.941000000011111110000 11110000 1111 000000000000000000000111111111111111111111 000000011111110000 111145.2210000 1111000000011111110000 11110000 1111000000011111110000 11110000 1111000000011111110000 1111 M [kN.m]0000 1111 c00000001111111d0000 1111000 111 00000001111111 1.42500000000000000000000000011111111111111111111111146.31400000000111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000011110000000000000000000000001111111111111111111111110000 1111a0000 1111b000000001111111170.3280000 11110000 11110000 111100000000111111110000 111100000000111111110000 11110000 111100000000111111110000 11110000 1111000000001111111100000000N [kN] 000000000000000011111111111111110000 1111cd0000 11110000 111100 11 00 1166.285000000000001111111111153.17500000000000111111111110000000000000011111111111111a000000 111111 0000000000000011111111111111000000000000000000000011111111111b1111111111100000001111111000 111000 111e0000000000000011111111111111 00000001111111110000000000000011111111111111 0000000111111100 1166.8255.14600 110000000111111100 1100 110000000111111100 1100 110000000111111100Q [kN]00 11c00000001111111d00 1100000001111111000 111 00 1146.3146.31465.254 24.304Momendid varraste otstes1.425Joonis 9.7. Raami 1 sisejõudude epüüridX 1 = D 1 /D = −3539.6/54.243 = −65.254 kN·mX 2 = D 2 /D = −1318.3/54.243 = −24.304 kN·m(9.27)Konstruktsiooni varda sisejõu arvutamisel kasutame avaldist (9.20). Saame:M a = 1 · X 1 = −65.254 kN·mM b = 1 · X 2 = −24.304 kN·mM d = −1.5 · (−65.254) + 1.5 · (−24.304) − 60.0 = 1.425 kN·mM e = 0.75 · (−65.254) + 0.0 · (−24.304) + 30.0 = −18.941 kN·mM f = 0.5 · (−65.254) + 0.5 · (−24.304) + 90.0 = 45.221 kN·m(9.28)Varda ac ristlõikes e momendi M e ja varda ab ristlõikes f momendi M f võime leida epüürideliitmisel, kasutades nn superpositsiooniprintsiipi. Vaatleme esmalt mõõduta koordinaateξ ja η (vt joonis 9.8)ξ e = 3 4 ; η e = 1 4(9.29)ξ f = 3 6 ; η f = 3 6(9.30)Joonisel 9.8 b) oleva momendi M f e ja M f fleiame järgmiselt:M f e = ξ e · M ac + η e · M ca = 0.75 · (−65.254) + 0.25 · 0.0 = −48.941 [kNm (9.31)M f f = ξ f · M ba + η f · M ab = 0.5 · (−24.304) + 0.5 · (−65.254) = −44.779 kN·m (9.32)

9.1 Raamid 227a)20 kN/ma 0000000000000000000000011111111111111111111111 b000000000000000000000001111111111111111111111140 kN00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111115.0e 30.000 11 90.000 11 15.000 1100 11000 11M00 11cp [kN.m]00 11 00 1100 11c)60.0d 00 1100 1130.065.2540000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111000001111100000111110000011111000001111100 110000011111 00000000000000000000011111111111111111111190.000 11a000000000000000000000111111111111111111111 be00000000000000000000011111111111111111111118.941 00000000000000000000011111111111111111111145.221 f00 11c00 11M [kN.m]24.3041.42500 11d00 11b)44.77965.254 24.304abfe48.941Mf[kN.m]cd00 11 ξ fη f1.42500 116 mη eξe4 mξ η,ξ eξ f− mõõduta koordinaadid= 3m/4m = 0.75,= 3m/6m = 0.5,η eη f= 1m/4m = 0.25= 3m/6m = 0.5Joonis 9.8. Raam 1. Epüüride liitmineLiidame varda ac momendid M 0 e ja M f e ning momendid M 0 f ja M f fvarda ab keskelM e = M 0 e + M f e = 30.0 − 48.941 = −18.941 kN·m (9.33)M f = M 0 f + M f f= 90.0 − 44.779 = 45.221 kN·m (9.34)Leitud paindemomentide (9.28) põhjal koostame paindemomentide epüüri (joonis 9.7).Põikjõu epüüri ordinaatide arvutamisel kasutame diferentsiaalseoseid (vt jaotis 1.10). Siinvalime koordinaattelje x suuna vasakult paremale nii, et varda positiivsed kiud (joonisel 9.7 näidatudpunktiirjoonega) jäävad allapoole. Momendi juurdekasvu ΔM arvutamisel parempoolsestmomendist M paremal lahutame vasakpoolse momendi M vasakul (ΔM = M paremal − M vasakul ).Raami varda ce põikjõu Q ce arvutamisel kasutame diferentssuhet Q = ΔMΔx(1.31). Saame:Q ce = Q ec = M e3.0 = −18.941 = −6.314 kN3.0Q ae = Q ea = M a − M e1.0Q ab = Q o ab + M b − M a=6.0= 20 · 6 −24.304 − (−65.254)+26.0=−65.254 − (−18.941)1.0= −46.313 kN= 60.0 + 6.825 = 66.825 kN (9.35)Q ba = Q o ba + M b − M a=6.0= − 20 · 6 −24.304 − (−65.254)+ = −60.0 + 6.825 = −53.175 kN26.0Q bd = Q db = M d − M b 1.425 − (−24.304)= = −5.146 kN5.05.0

228 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]N aba66.825 kN46.313 kNxN acz(a) Sõlme a tasakaalN baZαsin α = 0.8cos α = 0.6tb53.175X5.146t(b) Sõlme b tasakaalαN bdJoonis 9.9. Raami 1 sõlmede tasakaalLeitud põikjõudude (9.35) põhjal koostame põikjõu epüüri (joonis 9.7).Raami varrastes mõjuvate normaaljõudude määramiseks lõikame välja raami sõlme a jasõlme b (vt joonis 9.9). Tundmatud normaaljõud N kanname joonisele 9.9 positiivses suunas (Imärgikokkuleppe järgi tõmbele). Põikjõu kanname joonisele vastavalt I märgikokkuleppe märgile(vt lõik 1.12).Sõlme a (joonis 9.9(a) (a)) tasakaalust saameΣX = 0 −N ab − 46.313 = 0N ab = −46.313 kNΣZ = 0 −N ac − 66.825 = 0N ac = −66.825 kN(9.36)(9.37)Koostame sõlmes b (joonis 9.9(b) (b)) tasakaaluvõrrandi teljele t–t ja Z:Σt = 0 : −N ba · sin α − 53.175 · cos α − 5.146 = 0N ba = (−53.175 · cos α − 5.146) / sin α = −46.314 kNΣZ = 0 : −N bd · sin α − 5.146 · cos α − 53.175 = 0N bd = (−5.146 · cos α − 53.175) / sin α = −70.328 kN(9.38)(9.39)Teostame raami staatilise kontrolli.zxa40 kNe20 kN/mfb000 111 c000 1116.314 kN000 111 d46.314 kN 000 1111.425 kN . m66.825 kN 53.175 kNJoonis 9.10. Raami 1 toereaktsioonid

9.1 Raamid 229Projitseerime kõik jõud horisontaalteljele x (joonis 9.10)ΣX = 0; 40.0 + 6.314 − 46.314 = 0 (9.40)Projitseerime kõik jõud vertikaalteljele Z (joonis 9.10):ΣZ = 0; 20.0 · 6.0 − 66.825 − 53.175 = 0 (9.41)Momentide summaga kontrollimine on väga oluline kontroll. Paljudel juhtudel avastataksearvutustes tehtud viga alles selle kontrolliga.Momentide summa toe c suhtes:ΣM c = 0; −40.0 · 3.0 − 20.0 · 6.0 · 3.0 + 53.175 · 9.0 + 1.425 = −1.1 · 10 −14 ≈ 0 (9.42)Lahendamiseks saab kasutada ka programmi joumNR3.m 5 6 .9.1.6 Raami arvutus jõumeetodiga. Näide 9.2Näide 9.2 (Kolmekordselt staatikaga määramatu raam)Koostada joonisel 9.11 a) näidatud raamile paindemomendi epüür, kasutades arvutusprogrammiOctave (programm I.61 lk 733). Raami kõrgus h = 4 m ja avad l = 6 m. Raami riivile d-eon rakendatud ühtlaselt jaotatud koormus q = 8 kN/m ja posti b–e keskele koondatud jõudF = 10 kN. Raami postide ristlõike jäikus I 2 = I ja riivide ristlõike jäikus I 1 = 2I.a)8 kN/md000000000000000000000000111111111111111111111111 e0000000000000000000000001111111111111111111111112I iI2 mf2I10 kN kIIabc00 116 m00 116 m00 11h = 4 mX 2b)000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111X 1 X 3def000000000000000000000001111111111111111111111110 kN X 1X 3abc000 111 00 11000 111PõhiskeemJoonis 9.11. Kolmekordselt staatiliselt määramatu raam 2 ja põhiskeemJoonisel 9.11 a) näidatud raamil on 2 suletud kontuuri ja 3 lihtliigendit. Staatilise määramatuseastet arvutame valemiga (9.7):n = 3 · m 1 − l 1 = 3 · 2 − 3 = 3 (9.43)siin on m 1 = 2 suletud (nii liigendita kui ka liigenditega) kontuuride arv, l 1 = 3 lihtliigenditearv. Seega on staatikaga määramatuse aste n = 3.5 ./octaveProgrammid/joumNR3.m6 ./octaveProgrammid/joumNR3.Kommentaarid.pdf

230 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]d 1 e0.500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000 11110000 1111 00 110000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111f d e 1 f000000000000000000000001000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000 11110000 11110000 1111000000000000 1111111111110000 11110000 1111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111ab c abc000 111000 11100 11 00 1100 1111000 111000 111000 11100 11 00 1100 11000 11111/61/61/6 1/6d ef0000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111m 1m 30000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111de000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111136m 2 M o p000000000000 111111111111 000000000000 111111111111abc ab 10 [kN.m] c0000 1111 0000 11111 120000 111 000 11100 11 00 11 00 11000 1111 1/4 1/42024 24fJoonis 9.12. Põhiskeemi epüüridJoonisel 9.11 b) on näidatud valitud põhiskeem. Sellele põhiskeemile vastavad ühikjõududestja koormusest põhjustatud momendid on näidatud joonisel 9.12.Jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemi avaldame järgmisel kujul:⎡⎢⎣⎤δ 11 δ 12 δ 13⎥δ 21 δ 22 δ 23 ⎦δ 31 δ 32 δ 33⎡⎢⎣⎤X 1⎥X 2X 3⎦ =⎡⎢⎣⎤−Δ 1p⎥−Δ 2p−Δ 3p⎦ (9.44)ehkδ ij X j = −Δ ip (i, j = 1, 2, 3) (9.45)Jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemi (9.44) kordajad leitakse momendi epüüride korrutamiseja integreerimise teel. Võrrandisüsteemi kordajate arvutamise valemites (9.15) ja(9.16) arvestame ainult paindemomendi mõju. Võrrandisüsteemi vasaku ja parema poole võibkorrutada ristlõike baasjäikusega E o I o . Võrrandisüsteemi tundmatud sellest ei muutu. Võrrandisüsteemikordajatesse jäävad ainult ristlõigete jäikuste suhted. Kui materjal on ühesugune(E = E o ), jääb ainult inertsimomentide suhe (vaata kordajate (9.47) ja (9.48) arvutust).Saame∫︁ lE o I o δ i,j = Σ0m i m j E o I ods,EI∫︁ lE o I o Δ i,p = Σ0m i Mp 0 E o I ods (9.46)EISiin summa Σ võetakse üle kõigi varraste. Integreerimisel jälgige integreerimise piirkondi. Kuifunktsioon muutub, tuleb alustada uue integreerimispiirkonnaga. Arvutame võrrandisüsteemi

9.1 Raamid 231(9.44) vasaku poole kordajad:E o I o δ 11 = 1·1·6.03·⏟ 2+ 1.0 · 4.0 · 1.0 = 5.000 m⏞I=2E o I o δ 22 = 2 · 1·1·43= 2.6667 mE o I o δ 33 = E o I o δ 11 = 5.000 mE o I o δ 12 = E o I o δ 21 = − 1.0·4.02· 1.0 = −2.000 mE o I o δ 13 = E o I o δ 31 = −1.0 · 4.0 · 1.0 = −4.000 mE o I o δ 2,3 = E o I o δ 32 = 1.0·4.02· 1.0 = 2.000 m(9.47)Võrrandisüsteemi (9.44) vabaliikmed Δ i,p leiame integreerimisega:E o I o Δ 1p = 2 3 36.0 · 6.0 · 0.5 1 ⏟ 2⏞I=2E o I o Δ 2p = 2.0E o I o Δ 3p = −6+20.0 · 2.02· 1 = 56.000 kN·m 2[−0 · 0.5 − 4 · 10.0 · 0.75 − 20 · 1.0] = −16.667 kN·m220.0 · 2.02Võrrandisüsteem on arvuliselt järgmine:⎡⎢⎣5.000 −2.000 −4.000−2.000 2.6667 2.000−4.000 2.000 5.000· 1 = −20.000 kN·m 2 (9.48)⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤X 1⎥X 2X 3⎦ =mille lahend (võrrandisüsteemi lahendamist vt lisa A.10) onX =⎡⎢⎣−22.250−0.125−13.750⎤⎡⎢⎣−56.00016.66720.000⎤⎥⎦ (9.49)⎥⎦ kN·m (9.50)Saadud lahendit X i (i=1,2,3) kasutame paindemomentide arvutamiseks.Paindemomendid arvutatakse ühikepüüride m 1 , m 2 , m 3 (joonis 9.12) korrutamisega vastavateX i -dega ja koormusepüüri M 0 p lisamisega:M p = m 1 · X 1 + m 2 · X 2 + m 3 · X 3 + M 0 p (9.51)Arvutame paindemomendid varraste ristlõigetes:M ed = 1 · x 1 = 1 · (−22.250) = −22.25 kN·mM i = 0.5 · x 1 + 8 · 8 2 /8 = 0.5 · (−22.25) + 36.0 = 24.880 kN·mM eb = 1 · x 1 − 1 · x 3 = 1 · (−22.25) − 1 · (−13.750) = −8.50 kN·mM ef = 1 · x 3 = 1 · (−13.750) = −13.750 kN·mM k = 1.0 · x 1 − 0.5 · x 2 − 1.0 · x 3 == 1.0 · (−22.25) − 0.5 · (−0.125) − 1.0 · (−13.750) = −8.44 kN·mM be = 1.0 · x 1 − 1.0 · x 2 − 1.0 · x 3 + Mbe 0 == 1.0 · (−22.25) − 1.0 · (−0.125) − 1.0 · (−13.750) + 20.0 = 11.63 kN·mM cf = 1 · x 2 = 1 · (−0.125) = −0.125 kN·m(9.52)

232 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]de22.2513.758.50f24.888.44ab M [kN.m]11.63 c 0.12500 11 00 11000 111Joonis 9.13. Raami 2 paindemomendi epüürLeitud paindemomentide järgi koostame paindemomentide epüüri (joonis 9.13).Põikjõu epüüri ordinaatide arvutamisel kasutame diferentsiaalseoseid (vt jaotis 1.10). Siinvalime koordinaattelje x suuna vasakult paremale nii, et varda positiivsed kiud (joonisel 9.11näidatud punktiirjoonega) jäävad allapoole. Momendi juurdekasvu ΔM arvutamisel parempoolsestmomendist M paremal lahutame vasakpoolse momendi M vasakul (ΔM = M paremal −M vasakul ).Raami varda ce põikjõu Q ce arvutamisel kasutame diferentssuhet Q = ΔMΔxQ ef = Q fe = − M f6.0 = −−13.75 = −2.29 kN6.0Q fc = Q cf = M cf − M fc4.0Q de = Q o de + M ed − M de6.0= 8.0 · 62= −0.125 − 04.0=+ −22.25 − 06.0Q ed = Q o ed + M ed − M de=6.0= − 8.0 · 6 + −22.25 − 02 6.0Q ek = Q ke = M ke − M ek2.0== −0.31 kN(1.31). Saame:= 24.0 − 3.7083 = 20.2917 kN (9.53)= −24.0 − 3.7083 = −27.708 kN−8.44 − (−8.50)2.0= 0.031 kN000000000000000000000001111111111111111111111127.71000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111120.2900000000000000000000000111111111111111111111110000011111 00000000000000000000000011111111111111111111111101 0000011111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111101000000000 1111110.031 1110000011111 00000000000000000000000011111111111111111111111101000 11100000111110000000000000000000000011111111111111111111111 2.290.031 2.2901000 111000001111101000 11100000111110000000000000000000000011111111111111111111111 0.03101000 111000001111101000 1110000011111000000000000000000000001111111111111111111111101000 111000001111101000 11100000111110000000000000000000000011111111111111111111111 10.03101000 111000001111101000 1110000011111000000000000000000000001111111111111111111111120.2901000 11100000111110000 111101000 11100000111110000 1111 Q [kN] 01000 1110000011111000 1110000011111 N [kN]0000011111000001111100000111110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110100011100000 1111100000 1111100000 11111000 111000 111000 11100000 1111100000 1111130.0Joonis 9.14. Raami 2 N ja Q epüürid0000011111000001111100000111110000 11110000 111100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 110000 11110000 1111

9.1 Raamid 233a )dN deb )N ed = 0.0eN efc )N fef20.2927.71 2.292.290.00.0310.031N daN ebN fcJoonis 9.15. Raami 2 sõlmedQ bk = Q kb = M bk − M kb2.0=11.63 − (−8.44)2.0= 10.0316 kNLeitud põikjõudude (9.53) põhjal koostame põikjõu epüüri (joonis 9.14).Raami varrastes mõjuvate normaaljõudude määramiseks lõikame välja raami sõlmed d, eja f (vt joonis 9.15). Tundmatud normaaljõud N kanname joonisele 9.15 positiivses suunas (Imärgikokkuleppe järgi tõmbele). Põikjõu kanname joonisele vastavalt I märgikokkuleppe märgile(vt jaotis 1.12).Sõlme d (joonis 9.15 a)) tasakaalust saameΣX = 0 : −N de − 0.0 = 0, N de = 0.0 kN, N ed = N de (9.54)ΣZ = 0 : −N da − 20.29 = 0, N da = −20.29 kN, N ad = N da (9.55)Sõlme f (joonis 9.15 c)) tasakaalust saameΣX = 0 : −N fe + 0.031 = 0, N fe = 0.031 kN, N ef = N fe (9.56)ΣZ = 0 : −N fc + 2.29 = 0, N fc = 2.29 kN, N cf = N fc (9.57)Sõlme e (joonis 9.15 b)) tasakaalust saameΣX = 0 : −N ef + 0.031 = 0, N ef = 0.031 kN, N fe = N ef (9.58)ΣZ = 0 : −N eb − 27.71 − 2.29 = 0, N eb = −30.0 kN, N be = N eb (9.59)Leitud normaaljõud kanname normaaljõu epüürile (joonis 9.14).Põikjõu ja normaaljõu epüürilt (joonis 9.14) leiame raami toereaktsioonid. Kanname needjoonisele 9.16.Raami staatiline kontroll.Projitseerime kõik jõud horisontaalteljele X (joonis 9.16):ΣX = 0 : 10.0 − 10.031 + 0.031 = −5.8287 · 10 −16 ≈ 0 (9.60)Projitseerime kõik jõud vertikaalteljele Z (joonis 9.16):ΣZ = 0 : 8.0 · 6.0 − 20.29 − 30.62 + 2.91 = 8.8818 · 10 −16 ≈ 0 (9.61)Momentide summaga kontrollimine on väga oluline kontroll. Paljudel juhtudel avastataksearvutustes tehtud viga alles selle kontrolliga.Momentide summa toe a suhtes:ΣM a = 0 :−8.0 · 6.0 · 3.0 − 10.0 · 2.0 + 30.0 · 6.0 + 11.63 − 2.29 · 12.0 − 0.125 = 0.025 kN·m(9.62)

234 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]8 kN/mde000000000000000000000000111111111111111111111111i10 kN kf000 111 a000 11120.29kN000 111 b10.031 kN00011130.0 kN11.63c00110.031kN00 110.125 kN . mkN . m2.29 kNJoonis 9.16. Raami 2 toereaktsioonidErinevus nullist on siin 0.025 kN·m. Täpsustame toe c toereaktsiooni, mille õlg on 12 mΣM a = 0 :−8.0 · 6.0 · 3.0 − 10.0 · 2.0 + 30.0 · 6.0 + 11.625 − 2.291667 · 12.0 − 0.125 == −4.0000 · 10 −6 kN·m(9.63)Kui toereaktsioonide arvutamisel hoiame rohkem kohti M b = 11.625 ja V c = 2.291667, onmomentide tasakaalutingimus rahuldatud täpsuseni −4.0000 · 10 −6 kN·m.Jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemi koostamiseks ja lahendamiseks maatrikskujul esitamevõrrandi (9.51) järgmisel kujul:M = Mx · x + Mp (9.64)kus Mx ja M p on ühikjõududest ja koormusest põhjustatud maatriksid (vt avaldised (9.65) ja(9.66)). Nendes avaldistes sõltub elementide arv (ridade arv) integreerimispiirkondade arvust(integreerimiseks kasutame Simpsoni valemit (D.17), kus on momendi väärtused alguses,keskel ja lõpus). Paremaks jälgimiseks on maatriksites (9.65) ja (9.66 integreerimispiirkonnaderaldatud punktiiriga.Vaatleme põhiskeemi epüüre joonisel 9.12. Valime raami varrastel kokkuleppeliselt positiivsepoole ja tähistame selle poole punktiirjoonega (vt joonis 9.12). Raami varras, millel onkoondatud jõud, on jagatud punktis k kaheks integreerimispiirkonnaks. Orienteerime vardanii, et varda positiivsed kiud jäävad allapoole. Varda d–e algul, keskel ja lõpus oleva momendikanname maatriksi (9.66) veergu. Maatriksis Mx ja M p (9.66) on ühepalju ridu ja nendesseon kantud momendid ülevalt alla järjekorras algul, keskel ja lõpus. Vaadeldud raamil on6 integreerimispiirkonda. Igas piirkonnas on kirjeldatud 3 ordinaati (alguses, keskel, lõpus).Kokku 3 · 6 = 18 väärtust (18 rida maatriksis (9.65) ja (9.66)).Maatriksi Mx esimeses veerus on momentide väärtused epüürilt m 1 , teises veerus momentideväärtused epüürilt m 2 ja kolmandas veerus momentide väärtused epüürilt m 3 .Maatriksis Mp (9.65), (9.66) on põhiskeemi koormusepüüri M 0 p (joonis 9.12) ordinaadid.Ordinaadid on kantud järjekorras ülevalt alla: algul, keskel ja lõpus, kokku 3 · 6 = 18 ordinaati.Numbrilisel integreerimisel kasutame Simpsoni valemit (D.17). Ühe integreerimispiirkonnajaoks on Simpsoni valemi kordajad esitatud vektorina (D.21). Vaadeldaval raamil on kuus integreerimispiirkonda.Nende piirkondade jaoks moodustame Simpsoni valemi kordajate vektorismps T (9.67).

9.1 Raamid 235Koostatud maatriksid Mx, Mp (9.66) ja smps T (9.67) on kantud ka programmijoumNAq.m 7 8 .Jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemi kordajate leidmisel kasutame Simpsoni valemit(D.17), kus ühikepüüri ordinaatide element-element korrutamisega saadud tulemuse (D.20)korrutame skalaarselt läbi vektoriga (D.21). Saadud avaldist (D.22) kasutame võrrandisüsteemikordajate ja vabaliikmete leidmiseks.⎡M =⎢⎣M adM adkM da. . .M deM dekM ed. . .M ekM ekkM ke. . .M kbM kbkM bk. . .M feM fekM ef. . .M fcM fckM cf⎤⎡; Mx =⎥ ⎢⎦ ⎣m 1 ad m 2 ad m 3 adm 1 adk m 2 adk m 3 adkm 1 da m 2 da m 3 da. . . . . . . . .m 1 de m 2 de m 3 dem 1 dek m 2 dek m 3 dekm 1 ed m 2 ed m 3 ed. . . . . . . . .m 1 ek m 2 ek m 3 ekm 1 ekk m 2 ekk m 3 ekkm 1 ke m 2 ke m 3 ke. . . . . . . . .m 1 kb m 2 kb m 3 kbm 1 kbk m 2 kbk m 3 kbkm 1 bk m 2 bk m 3 bk. . . . . . . . .m 1 ef m 2 ef m 3 efm 1 efk m 2 efk m 3 efkm 1 fe m 2 fe m 3 fe. . . . . . . . .m 1 fc m 2 cfc m 3 fcm 1 fck m 2 fck m 3 fckm 1 cf m 2 cf m 3 cf⎤⎥⎦⎡post 1. . .riiv 1. . .pool postist 2. . . ; Mp =pool postist 2. . .riiv 2. . .⎢post 3⎣M 0 adM 0 adkM 0 da. . .M 0 edM 0 edkM 0 de. . .M 0 ekM 0 ekkM 0 ke. . .M 0 kbM 0 kbkM 0 bk. . .M 0 efM 0 efkM 0 fe. . .M 0 fcM 0 fckM 0 cf⎤⎥⎦(9.65)Avaldise (D.22) kasutamine arvutiprogrammis näeb välja järgmiselt:%============% V~orrandisüsteemi kordajate maatriksi ’a’ leidmine%============b1=MxT.*[MxT(1,:); MxT(1,:); MxT(1,:)]*smpsT;b2=MxT.*[MxT(2,:); MxT(2,:); MxT(2,:)]*smpsT;b3=MxT.*[MxT(3,:); MxT(3,:); MxT(3,:)]*smpsT;%===========a=[b1 b2 b3]%===========7 ./octaveProgrammid/joumNAq.m8 ./octaveProgrammid/joumNAq.Kommentaarid.pdf

236 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]%===========% V~orrandisüsteemi vabaliikmete vektori ’b’ leidmine%===========================b=MxT.*[MpT; MpT; MpT]*smpsT%===========================⎡Mx =⎢⎣0 0 00 0 00 0 0. . . . . . . . .0 0 00.5 0 01 0 0. . . . . . . . .1 0.0 −11 −0.25 −11 −0.5 −1. . . . . . . . .1 −0.5 −11 −0.75 −11 −1.0 −1. . . . . . . . .0 0 1.00 0 0.50 0 0. . . . . . . . .0 0 00 0.5 00 1.0 0⎤;⎥⎦post 1. . .riiv 1. . .pool postist 2. . .pool postist 2. . .riiv 2. . .post 3⎡Mp =⎢⎣000. . .0360. . .000. . .01020. . .000. . .000⎤⎥⎦post 1. . .riiv 1. . .pool postist 2. . .pool postist 2. . .riiv 2. . .post 3(9.66)Arvutiprogrammiga joumNAq.m arvutame jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemikordajad a ja vabaliikmed b.Arvutuspäevik 9.1 octave:1> diary joumNAq.outoctave:2> diary onoctave:3> joumNAqIntegreerimisPiirkondadeArv = 6a =b =5.0000 -2.0000 -4.0000-2.0000 2.6667 2.0000-4.0000 2.0000 5.000056.000

9.1 Raamid 237x =-16.667-20.000-22.25000-0.12500-13.75000%octave:4> diary off⎡smps T = 1 6 ·⎢⎣h/I24 · h/I2h/I2. . .L/I14 · L/I1L/I1. . .h2/I24 · h2/I2h2/I2. . .h2/I24 · h2/I2h2/I2. . .L/I14 · L/I1L/I1. . .h2/I24 · h2/I2h2/I2⎤⎥⎦post 1. . .riiv 1. . .pool postist 2. . .pool postist 2. . .riiv 2. . .post 3(9.67)siinh = 4; h2 = h/2;L = 6; L05 = L/2;I1 = 2; I2 = 1;Arvutuspäevik 9.2 Momendid varraste integreerimispiirkondades.====================================Jrk M-alguses M-keskel M-l~opus------------------------------------1 0.00 0.00 0.00

238 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]2 0.00 24.88 -22.253 -8.50 -8.47 -8.444 -8.44 1.59 11.625 -13.75 -6.88 0.006 0.00 -0.06 -0.13------------------------------------P~oikj~oud varraste integreerimispiirkondades( siin DeltaQ = DeltaM/DeltaX).======================================================Jrk Q_o-algul Q_o-l~opus DeltaQ Q-algul Q-l~opus------------------------------------------------------1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.00002 24.0000 -24.0000 -3.7083 20.2917 -27.70833 0.0000 0.0000 0.0313 0.0313 0.03134 0.0000 0.0000 10.0312 10.0312 10.03125 0.0000 0.0000 2.2917 2.2917 2.29176 0.0000 0.0000 -0.0313 -0.0313 -0.0313------------------------------------------------------octave:4> diary off9.1.7 Raami arvutus jõumeetodiga. Näide 9.3Näide 9.3Koostada joonisel 9.17 näidatud staatikaga määramatu raami paindemomendi, põikjõu ja normaaljõuepüürid.Raam (joonis 9.17) on staatikaga neljakordselt määramatu:n = 3 · k − l = 3 * 2 − 2 = 4 (9.68)kus k on kinniste kontuuride arv ja l – lihtliigendite arv.Joonisel 9.18 selgitatakse ühikepüüri m 1 ordinaatide arvutamist. Esmalt leiame X 1 = 1 toereaktsioonid(joonis 9.18 a)). Seejärel lõikame välja varda a–d (joonis 9.18 b)). Koostamemomentide summa (ΣM d = 0) ristlõike d kohta:ΣM d = 0, X 1 + N a · 5 = 0N a = − X 15 = −1 5Seejärel koostame momentide summa (ΣM c = 0) ristlõike c kohta:(9.69)ΣM c = 0, X 1 − X 1 − 1 5 · 7 + Q a · 6 = 0Q a = X 1 − X 1 + 1/5 · 76= 1 · 7 = 0.2333... (9.70)5 · 6Varrastes c–e ja b–e saab olla ainult normaaljõud (sõrestikuvarras). Kui sõlmes on ainultkaks sõrestikuvarrast, mis ei asu ühel sirgel, siis nende sisejõud on võrdsed nulliga N ce = 0 jaN be = 0. Siit järeldub, et Q b = 0 ja N b = 0 (joonis 9.18 c)).Vardas a–f moment M fe sõlmes f onM fe = Q b · 6 = 0.2333 · 6 = 1.4 (9.71)

9.1 Raamid 239a )8 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111c0000000000000000000000001111111111111111111111114 kN/Md010101010101010101010101010101I = 1gI = 3heF = 12 kN kI = 1I = 14 mI = 301010000000000000000000000001111111111111111111111118 kN/m0101a I = 3000000000000000000000000111111111111111111111111 b01f000000000000000000000000111111111111111111111111I = 3 i0000 1111 00 116 m 6 m5 m 2 mc )algul+IIlõpuskeskel+Ialgullõpuskeskelalgulkeskellõpusalgul+ −IntegreerimispiirkondkeskelIVVIIlõpus+keskelalgulalgulkeskellõpuslõpus+VVIII+keskelalgulkeskel+VIlõpus0000 1111 00 11algul8 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111X c3X 4b )hX 1X 2+X 3+deX 4X F = 12 kN k1X+ −2000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000000 111 g000 111+000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111 a4 kN/mPõhiskeem +0000000000000000000000001111111111111111111111118 kN/m+000000000000000000000000111111111111111111111111+b0000000000000000000000001111111111111111111111110000 1111f i00 11Joonis 9.17. Neljakordselt staatiliselt määramatu raam 3 ja põhiskeemVarraste a–d ja d–c tasakaalust (joonis 9.18 b)) saame H c = 1/5 ja V c = 0.2333. Rakendameneed jõud vardale c–f vastupidistes suundades (joonis 9.18 c)). Nüüd leiame momendi M fcM fc = H c · 7 = (1/5) · 7 = 1.4 (9.72)Need momendi väärtused on kantud m 1 epüürile (joonis 9.18 d)).Momendi epüürile m 1 kanname momendid integreerimispiirkondade (vt joonist 9.17 b)) algul,keskel ja lõpus. Kolmnurkse epüüri puhul on nende väärtuste leidmine lihtne. Trapetsikujuliseepüüri puhul kasutame interpoleerimist (vt joonist 9.19). Joonisel 9.19 selgitatakse momendiinterpoleerimist. SaamesiinM x (x) = M v (x) · ξ ′ + M p (x) · ξ (9.73)ξ = x l ,ξ′ =l − xl(9.74)Paindemomendi m 2 epüüri saame kui paindemomendi m 1 epüüri peegelpildi. Paindemomendim 2 epüür on näidatud joonisel 9.21.Ühikjõust X 3 = 1 paindemomendi epüüri m 3 koostamiseks leiame esmalt toereaktsioonid jasiis teeme lõiked sarnaselt paindemomendi epüüri m 1 koostamisel tehtud lõigetele. Paindemomendim 3 epüür on näidatud joonisel 9.20.Paindemomendi m 4 epüüri saame kui paindemomendi m 3 epüüri peegelpildi. Paindemomendim 4 epüür on näidatud joonisel 9.21.

240 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]a )Q cN cN cQ ccb )c0.2333...N c1/5dX 1X 1kedX 1 = 1X = 1 1Σ M = 0 dQ cΣ M = 0 cH a = 0a0000 1111 000 111V a = 0N a Na QaV b = 0QafbH a = 0 a N a = −1/5000 111 Q = 0.2333...aV a = 0c )e )N aR1/5vN cQ a =0.2333...Q cv0.2333...pN c = 0pQ c = 0Q b = 0N b = 0d ) 0000000000000000000000011111111111111111111111c000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111111.0h0000000000000000000000011111111111111111111111 0.3d 0000000000000000000000011111111111111111111111000 1110000000000000000000000011111111111111111111111000 1110000000000000000000000011111111111111111111111000 1110.61.0kg000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111m 10000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111 1.00000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111a0000000000000000000000001111111111111111111111110100000000000000000000000011111111111111111111111101f00000000000000000000000011111111111111111111111101000000000000000000000000111111111111111111111111 0.701000000000000000000000000111111111111111111111111 1.4011.4ieb00 1100 11Joonis 9.18. Raam 3. Ühikmomendi m 1 epüürJoonisel 9.22 on paindemomendi M 0 p epüür.Jõumeetodi kanoonilised võrrandidδ 1 1 X 1 + δ 1 2 X 2 + δ 1 3 X 3 + δ 1 4 X 4 = −Δ 1 pδ 2 1 X 1 + δ 2 2 X 2 + δ 2 3 X 3 + δ 2 4 X 4 = −Δ 2 p(9.75)δ 3 1 X 1 + δ 3 2 X 2 + δ 3 3 X 3 + δ 3 4 X 4 = −Δ 3 pδ 4 1 X 1 + δ 4 2 X 2 + δ 4 3 X 3 + δ 4 4 X 4 = −Δ 4 pa )1.4¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡0.3 ¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡0.6¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡1.0¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡= 2/7 = 5/7ξ1 ξ’1= 1.5/72ξ’= 6,5/7ξ2= 4/7 = 3/73ξ3ξ’l−x = 3mx = 4ml = 7 mb )¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢M V¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤M xξξ’x x − llξ = x/l ξ’ = (l − x)/lM x= M V * ξ’ + M P * ξM PJoonis 9.19. Interpoleerimine

9.1 Raamid 241ehkδ i j X j = Δ i p (i, j = 1, 2, 3, 4) (9.76)Võrrandisüsteemi (9.76) kordajad leitakse momendi epüüride korrutamise ja integreerimiseteel. Võrrandisüsteemi vasaku ja parema poole võib korrutada ristlõike baasjäikusega E o I o .Võrrandisüsteemi tundmatud sellest ei muutu. Võrrandisüsteemi kordajatesse jäävad ainultristlõigete jäikuste suhted. Kui materjal on ühesugune (E = E o ), jääb ainult inertsimomentidesuhe (vaata kordajate (9.78) ja (9.79) arvutust). Saame∫︁ lE o I o δ i j = Σ0m i m j E o I ods,EI∫︁ lE o I o Δ i p = Σ0m i Mp 0 E o I ods (9.77)EISiin summa Σ võetakse üle kõigi varraste. Integreerimisel jälgige integreerimise piirkondi. Kuifunktsioon muutub, tuleb alustada uue integreerimispiirkonnaga. Arvutame võrrandisüsteemi(9.76) vasaku poole kordajad:E o I o δ 1 1 = 1 · 1 · 53E o I o δ 1 2 = E o I o δ 2 1 = −+ 1 · 1 · 6.3246 +3 · ⏟ 3⏞I=31.4 · 1.4 · 731.4 · 1.4 · 73= −4.5733 m+1.4 · 1.4 · 63 · 3 ⏟ ⏞I=3= 8.2494 ma )Q cN cN cX3Q ccb )X = 13c1/6N c0.0dkX3edΣ M = 0 dQ cΣ M = 0 cH a = 0afbH a = 0aN a = 00000 1111 000 111V a = 0N a Na QaV b = 0Qa000 111 Q a = − 1/6V a = 0c )e )N aRQ a = 1/60.0vN cQ cv1/6X 3 = 1 pN c = 0pQ c = 0N b = 0Q b = 01.0d ) 00000000000000000000000001111111111111111111111111 c00000000000000000000000001111111111111111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111111.0d 0000000000000000000000000111111111111111111111111100000000000000000000000001111111111111111111111111kgm3000000000000 1111111111110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000000000000000000000011111111111111111111111 1.000000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111a 0000000000000000000000011111111111111111111111000 111 0000000000000000000000011111111111111111111111 1.0000 111fieb00 1100 11Joonis 9.20. Raam 3. Ühikmomendi m 3 epüür

242 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]a )b )1cc0000 1111 0000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111110000 11110000 1111 0000000000000000000000000000 11110000 1111 0000000000000000000000000000 11110000 1111 00000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000001111111111111111111111111h1h11000000000000000000000000011111111111111111111111110.3000000000000000000000000011111111111111111111111111d0000 11110000 1111 000000000000000000000000111111111111111111111111ed00000000000000000000000001111111111111111111111111e0000 11110000 11110000 1111 0000000000000000000000001111111111111111111111110000 11110000 11110000 11110.60000 1111 000000000000000000000000111111111111111111111111k1 10000 1111 k0000 11110000 11110000 1111 0000000000000000000000001111111111111111111111110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111g0000 1111 m 0000 1111 gm0000 1111 40000 11110000 11110000 11111.020000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11111 0000000000000000000000001111111111111111111111110000 11110000 11110000000000000000000000001111111111111111111111110000 11110000 11110000 11110000 1111ai b0000000000000000000000001111111111111111111111110000 11110000 1111 ab0000 11110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111111.4 ff0000 11111 i000000000000000000000000111111111111111111111111 000 111 0000 1111 000 1110000000000000000000000001111111111111111111111111.4000000000000000000000000111111111111111111111111Joonis 9.21. Raam 3. Ühikmomentide m 2 ja m 4 epüüridE o I o δ 2 2 = 1 · 1 · 53E o I o δ 3 3 = 1 · 1 · 6.32463 · 3 ⏟ ⏞I=3+ 1 · 1 · 6.32463 · 3 ⏟ ⏞I=3++ 1.0 · 1.0 · 7 +1.4 · 1.4 · 73+1.0 · 1.0 · 63 · 3 ⏟ ⏞I=31.4 · 1.4 · 63 · 3 ⏟ ⏞I=3= 8.3694 m= 8.2494 mN Q c cQ ca )N c8 kN/mc00000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111de000 111000 111000 111000 11112 kN000 111000 111k000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 1118 kN/m000 1110000000000000000000000011111111111111111111111000 111000 111af 0000000000000000000000011111111111111111111111b000 1110000000000000000000000011111111111111111111111H a = 32 kN 000 111 00 11N a Na QaV a = 39.833 kNV = 56.167Qb kNab )4 kN/m00 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11 a00 11H a = 32 kN20.667 kN8 kN/mc N c00000000000000000000000011111111111111111111111110.0 kN000000000000000000000000111111111111111111111111Q cdΣ M c= 0N = 22.0 kN a0000 1111 Q a = 12.5 kNV a = 39.833 kNΣ M = 0 dc )e )N aRvQ c10.0 kN= 22.0 kN Q a = 12.5 kNvN c12 kN20.667kNpN c = 0pQ c = 08 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111N b = 0Q b = 56.167 kNd )gc0000000000000000000000011111111111111111111111 00 11h 010000000000000000000000011111111111111111111111 01010000000000000000000000011111111111111111111111 01010000000000000000000000011111111111111111111111 15.001010100000000000000000000000111111111111111111111110136.0 01010101010130.00000 1111 01k01010101010101010101010101010112.574.00000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111oM p [kN.m]0000 1111118.000001111fi ba0000 11110000000000000000000000011111111111111111111111 0000000000000000000000001111111111111111111111110000 1111 000000000000000000000001111111111111111111111137.500000000000000000000000075.0000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 000 111193.0132.50000000000000000000000011111111111111111111111Joonis 9.22. Raam 3. Paindemomendi M 0 p epüüre

9.1 Raamid 243E o I o δ 1 3 = E o I o δ 3 1 = 1 · 1 · 6.32466 · 3 ⏟ ⏞I=3E o I o δ 2 3 = E o I o δ 3 2 =E o I o δ 4 4 = 1 · 1 · 6.32463 · 3 ⏟ ⏞I=3E o I o δ 1 4 = E o I o δ 4 1 =1.0 · 1.4 · 72−1.4 · 1.0 · 72= 4.900 m+ 1.0 · 1.0 · 7 +1.0 · 1.4 · 72= 4.900 m−1.0 · 1.0 · 63 · 3 ⏟ ⏞I=31.4 · 1.0 · 63 · 3 ⏟ ⏞I=3= 8.3694 m= −5.4820 mE o I o δ 2 4 = E o I o δ 4 2 = 1 · 1 · 6.3246 1.4 · 1.0 · 7 1.4 · 1.0 · 6− − = −5.4820 m6 · ⏟ 3⏞2 3 · ⏟ 3⏞I=3I=3E o I o δ 3 4 = E o I o δ 4 3 = −1.0 · 1.0 · 7 = −7.0000 m (9.78)Võrrandisüsteemi (9.76) vabaliikmed Δ i p leiame integreerimisegaE o I o Δ 1 p = 2 3 12.5 · 5 · 0.5 + 2 3 36.0 · 6.3246 · 0.5 1 3 ⏟ ⏞I=3+ 4.06−30.0 · 0.6 · 3.03(−30 · 0.6 − 4 · 74.0 · 1.0 − 118 · 1.4) +75.0 · 1.4 · 63 · 3 ⏟ ⏞I=3+= −221.33 kN·m 2a )00000000000000000000000001111111111111111111111111b )14.31600000000000000000000000001111111111111111111111111000000001111111118.775c00000000000000000000000001111111111111111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111110000000000000011111111111111 26.49200000000000000000 01101000000000000000011111111111111111111111111111111 00000000000000001111111100000000000000000000000001111111111111111111111111000000000111111111 000000000000000011111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111111111111h000000000000001111111111111100000000000000000000000001111111111111111111111111000000000111111111 000000000000000011111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111100000000111111110000000000000011111111111111c0100000000000000000000000001111111111111111111111111000000000111111111 00000000000000001111111111111111 56.510010000000000000011111111111111d00000000000000001111111111111111 0100000000000000000000000001111111111111111111111111000 11100000000000000001111111111111111000 1110100000000000000001111111111111111 0100000000000000000000000001111111111111111111111111000 1110000 1111000 111 00000000000000000000000000111111111111111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111117.71100000000011111111162.236 35.744 00000 11111 13.542e00 11 000000000000000011111111111111111111100 11e0000011111 000 111010000 11110000000000000000000000000011111111111111111111111111d11111111111111112.24000 1100000 11111 000 111010000 111100 11010000 11110100000 1111111100000000000000001111111111111111 k000 111 0010000 1111010000000000000000000000000011111111111111111111111111k00000 1111114.24110000 11110100000000011111111100000 1111145.0161111111111111111000 1110000 111101000 1110000 11110111100000000000000001111111111111111000 111 [kN] 0000 11110100000000000000000000000000011111111119.77111.30200000 1111111111111100000 1111111111111100000 11111gQ000 1110000 1111013.644 00000000011111111100000 11111[kN m]1111111111111111000 1110000 111101000000000111111111M . 00000 11111000 11131.220000 1110000 11110100000000011111111100000 1111115.392000 111000 1110000 11110100000000011111111100000 11111000 111000 1110000 11110100000000011111111100000 11111000 111000000000111111111000 1110000 11110100000000011111111100000 11111000 1110000 111101000000000111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000001111111110000 1111a 01000000000111111111a0000 111101000000000111111111fb000001111137.191i2.41000000 11111000000000000000000000000111111111111111111111111000000000111111111 ib0000 11110100000000011111111100000 111110000000000000000000000011111111111111111111111 0000000000000000000000001111111111111111111111116.458000000000111111111 f0000000000000001111111111111110000 1111 0000000000000000000000011111111111111111111111 000000000000000000000000111111111111111111111111000 111 0000 1111 000000000000000111111111111111 000 11114.45900000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000011111111111111151.650 000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111161.8250000000000000001111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111132.6089.502600000000000000000000000001111111111111111111111111c )d ) 000000000000000000000000111111111111111111111111hc00000000000000000000000001111111111111111111111111 18.17224.68200000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111118 kN/m0000000000000000000000000111111111111111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111135.74400000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000001111111111111111111111111sinα = 0.31623Q cd1111000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111110000 1111 d0000 1111e0000 11110000 1111cos α = 0.948680000 11110000 1111αc12.9820000 11110000 11110000 11110000 1111 kQ dc0000 11110000 11110000 1111 g0000 1111 N [kN]0000 11110000 111137.423 0000 11110000 1111d25.541 0000 111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000 11110000 111117.711111111111111111111111111 11.3020000 11110000 11111111000000000000000000000000111111111111111111111111l = 6 m0000 1111 0000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111110000 11110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000 1111H 000000000000000000000000111111111111111111111111 000a = 32.0 a1110000 1111f i b000111l2 = 6.3246 mV a =39.833Joonis 9.23. Raam 3. Paindemomendi M p , Q ja N epüürid000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 11123.558V b= 56.167

244 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]E o I o Δ 2 p =+30.0 · 0.6 · 3.0(30 · 0.6 + 4 · 74.0 · 1.0 + 118 · 1.4) +36.0(193.0 · 1.4 + 4 · 132.5 · 0.7 + 0 · 0) = 551.20 kN·m 26 · ⏟ 3⏞I=3+ 4.06E o I o Δ 3 p = 2 3 36.0 · 6.3246 · 0.5 1 ⏟ 3⏞I=3(30.0 + 118.0)+230.0 · 3.0E o I o Δ 4 p = −2+· 1.0 −+· 4.0 · 1.0 −30.0 · 3.0275.0 · 1.0 · 63 · 3 ⏟ ⏞I=3(30.0 + 118.0)2· 1.0 +· 4.0 · 1.0 += 316.30 kN·m 26.0(−193.0 · 1.00 − 4 · 132.5 · 0.5 − 0 · 0) = −493.67 kN·m 2 (9.79)6 · ⏟ 3⏞I=3Jõumeetodi kanoonilised võrrandid (9.75) esitame numbrilisel kujul:8.2494X 1 + −4.5733X 2 + −5.4820X 3 + 4.9000X 4 = −221.34−4.5733X 1 + 8.2494X 2 + 4.9000X 3 + −5.4820X 4 = 551.20−5.4820X 1 + 4.9000X 2 + 8.3694X 3 + −7.0000X 4 = 316.304.9000X 1 + −5.4820X 2 + −7.0000X 3 + 8.3694X 4 = −493.67(9.80)Võrrandisüsteemi (9.80) kordajate maatriksi a ja vabaliikmete vektori b sisestame arvutiprogrammiGNU Octave ja lahendame (vt joonis 9.24).Leitud momentideX 1 = −17.710 kN·mX 2 = −56.509 kN·mX 3 = 35.744 kN·mX 4 = 62.236 kN·m(9.81)ja põhiskeemi epüüride (9.18), (9.20), (9.21), (9.22) abil arvutame raami varraste ristlõigetespaindemomendid. Paindemomentide epüüri (joonis 9.23) ordinaadid saame, kui ühikjõududeepüüride m i ordinaadid korrutame tundmatute X i -dega ja liidame koormusest põhjustatudpaindemomendi M 0 p epüüri ordinaatidega.M = m 1 · X 1 + m 2 · X 2 + m 3 · X 3 + m 4 · X 4 + M 0 p (9.82)Arvutame paindemomendid varraste ristlõigetes:M dc = 1 · x 1 = 1 · (−17.710) = −17.710 kN·mM da = 1 · x 1 = 1 · (−17.710) = −17.710 kN·mM ec = 1 · x 2 = 1 · (−56.509) = −56.509 kN·mM eb = 1 · x 2 = 1 · (−56.509) = −56.509 kN·mM cd = 1 · x 3 = 1 · 35.744 = 35.744 kN·mM ce = 1 · x 4 = 1 · 62.236 = 62.236 kN·mM ck = 1 · x 3 − 1 · x 4 = 1 · 35.744 − 1 · 62.236 = −26.492 kN·mM k = −0.6 · x 1 + 0.6 · x 2 + 1.0 · x 3 − 1.0 · x 4 + 30.0 == −0.6 · (−17.710) + 0.6 · (−56.509) + 1.0 · 35.744−−1.0 · 62.236 + 30.0 = −19.771 kN·m

9.1 Raamid 245Joonis 9.24. Kanoonilise võrrandisüsteemi lahendamineM fk = −1.4 · x 1 + 1.4 · x 2 + 1.0 · x 3 − 1.0 · x 4 + 118.0 == −1.4 · (−17.710) + 1.4 · (−56.509) + 1.0 · 35.744−−1.0 · 62.236 + 118.0 = 37.191 kN·mM fa = −1.4 · x 1 + 1.0 · x 3 − 75.0 == −1.4 · (−17.710) + 1.0 · 35.744 − 75.0 = −14.459 kN·mM fb = −1.4 · x 2 + 1.0 · x 4 − 193.0 == −1.4 · (−56.509) + 1.0 · 62.236 − 193.0 = −51.650 kN·mM i = −0.7 · x 2 + 0.5 · x 4 − 132.5 == −0.7 · (−56.509) + 0.5 · 62.236 − 132.5 = −61.825 kN·mM g = 0.5 · x 1 + 12.5 = 0.5 · (−17.710) + 12.5 = 3.644 kN·mM h = 0.5 · x 1 + 0.5 · x 3 + 36.0 == 0.5 · (−17.710) + 0.5 · 35.744 + 36.0 = 45.016 kN·m(9.83)Leitud paindemomendid (9.83) kanname joonisele 9.23 a).Kontrollime raami sõlme f tasakaalu. Jooniselt 9.23 a) näeme, et momendid M fa , M fk mõjuvadkellaosutite liikumise suunas ja moment M fb vastupidises suunas. Kui sõlm on tasakaalus,

246 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]siis nende momentide summa võrdub nulliga:∑︁Mf = 14.459 + 37.191 − 51.650 = 0 (9.84)Avaldisest (9.84) näeme, et sõlm f on tasakaalus.Põikjõu epüüri ordinaatide arvutamisel kasutame diferentsiaalseoseid (vt jaotis 1.10). Siinvalime koordinaattelje x suuna vasakult paremale nii, et varda positiivsed kiud (joonisel 9.23a) näidatud punktiirjoonega) jäävad allapoole. Momendi juurdekasvu ΔM arvutamisel parempoolsestmomendist M paremal lahutame vasakpoolse momendi M vasakul (ΔM = M paremal −M vasakul ).Raami kaldvarda dc põikjõu Q dc ja Q cd arvutamisel kasutame avaldisi (1.34) ja (1.36) (vtjaotis 1.11). Raami kaldvarda pikkus on l· = 6.3246 m ja cos α = 0.94868 ning sin α = 0.31623(vt joonis 9.23 c)).Raami varda af põikjõu Q ce arvutamisel kasutame diferentssuhet Q = ΔMΔxQ dc = Q o dc cos α + M cd − M dc=6.3246= 8.0 · 635.744 − (−17.711)· 0.94868 +26.3246= 22.77 + 8.45 = 31.22 kN(1.31). SaameQ cd = Q o cd cos α + M cd − M dc=6.3246= − 8.0 · 635.744 − (−17.711)· 0.94868 + = −22.77 + 8.45 = −14.32 kN26.3246Q ce = Q ec = M ec − M ce −56.510 − 62.336= − = −18.775 kN6.32466.3246Q ad = Q o ad + M da − M ad5.0Q da = Q o da + M da − M ad5.0Q af = Q fa = M fa − M at6.0Q ck = Q kc = M kc − M ck3.0Q fk = Q kf = M fk − M kf4.0Q bf = Q o bf + M fb − M bf6.0Q fb = Q o fb + M fb − M bf6.0Q eb = Q be = M be − M eb5.0= 4.0 · 52+ −17.711 − 05.0= − 4.0 · 52= − 0 − (−14.459)+ −17.711 − 05.0= 10.0 − 3.54 = 6.46 kN= −10.0 − 3.54 = −13.54 kN= 2.410 kN (9.85)6.0−19.771 − (−26.492)= = 2.24 kN3.0−19.771 − (−26.492)= = 14.24 kN4.0= 8.0 · 62= − 8.0 · 82= 0 − (−56.510)5.0+ −193.0. − 06.0+ −193.0 − 06.0= 11.30 kN= −24.0 − 8.61 = −32.61 kN= 24.0 − 8.61 = 15.39 kNLeitud põikjõudude (9.85) põhjal koostame põikjõu epüüri (joonis 9.23 b)). Järgnevaid arvutusisaame korrata, kui kopeerime tekstist Raam4QjaN.txt 9 käsu/käsud ja asetame GNU Octave’ikäsureale.Raami varrastes mõjuvate normaaljõudude määramiseks lõikame välja raami sõlmed d, c,e, a, f ja a (vt joonis 9.25). Tundmatud normaaljõud N kanname joonisele 9.25 positiivses suunas(I märgikokkuleppe järgi tõmbele). Põikjõu kanname joonisele vastavalt I märgikokkuleppe9 ./octaveProgrammid/Raam4QjaN.txt

9.1 Raamid 247a )13.542dN daαtα31.220N dctxb )t αc 18.775N cd14.316 t2.240N ck18.172c )tαN ec18.775 et11.302N ebd ) e )f )NN fkad6.45814.241N be11.302H a= 32.0V a =39.833aN afN fa2.410¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ £ £2.41015.392fN fb32.608N bfbV b= 56.167Joonis 9.25. Raam 9.1. Raami sõlmede tasakaalmärgile (vt jaotis 1.12).Kaldvarda pikkus l = 6.3246 m ja cos α = 0.94868, sin α = 0.31623 (vt joonis 9.23 c)).Sõlme d (joonis 9.25 a)) tasakaalust saameΣt = 0 : −N da cos α − 31.220 − 13.542 sin α = 0N da = (−31.220 − 13.542 sin α) / cos α = −37.423 kN(9.86)N ad = N daΣX = 0 : −N dc cos α − 13.542 − 31.220 sin α = 0N dc = (−13.542 − 31.220 sin α) / cos α = −24.681 kNN cd = N dc + 8.0 · 6 · sin α = −24.681 + 15.179 = −9.5023 kN(9.87)Sõlme e (joonis 9.25 c)) tasakaalust saameΣt = 0 : −N eb cos α − 18.775 − 11.302 sin α = 0N eb = (−18.775 − 11.302 sin α) / cos α = −23.558 kN(9.88)N be = N ebΣX = 0 : −N ec cos α − 11.302 − 18.775 sin α = 0N ec = (−11.302 − 18.775 sin α) / cos α = −18.172 kN(9.89)N ce = N ecSõlme b (joonis 9.25 f)) tasakaalust saameΣX = 0 : −N bf + 11.302 = 0N bf = 11.302 kN(9.90)N fb = N bfΣZ = 0 : −N be + 32.608 − 56.167 = 0N be = 32.608 − 56.167 = −23.559 kNN eb − N be = −23.558 + 23.559 = 0.001 ≃ 0(9.91)

248 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Sõlme a (joonis 9.25 d)) tasakaalust saameΣX = 0 : −N af + 32 − 6.45878 = 0N af = 32 − 6.45878 = 25.541 kN(9.92)N fa = N afΣZ = 0 : −N ad + 2.410 − 39.833 = 0N ad = 2.410 − 39.833 = −37.423 kNN da − N ad = −37.423 + 37.423 = 0(9.93)Sõlme f (joonis 9.25 e)) tasakaalust saameΣZ = 0 : −N fc + 15.392 − 2.4098 = 0N fc = 15.392 − 2.4098 = 12.982 kN(9.94)N cf = N fcΣX = 0 : −N fa + N fb + 14.241 = 0−25.541 + 11.302 + 14.341 = 0.002 ≃ 0(9.95)Sõlme c (joonis 9.25 b)) tasakaalust saameΣZ = 0 :−N ck − 14.316 cos α + 18.775 cos α + 9.5023 sin α++18.172 sin α = 0N ck = (−14.316 cos α + 18.775 cos α + 9.5023 sin α+(9.96)N cf = N ck+18.172 sin α) / cos α = 12.982 kNΣX = 0 :−N cd cos α − 2.240 + 14.316 sin α + 18.775 sin α−−18.17 cos α = 0N cd = (−2.240 + 14.316 sin α + 18.775 sin α−−18.17 cos α) / cos α = −9.5028 kN(9.97)Leitud normaaljõud kanname normaaljõu epüürile (joonis 9.23).Raami staatiline kontroll.Raami staatiliseks kontrolliks vaatleme joonist 9.26. Koostame tasakaaluvõrrandid (9.98) vertikaalteljeleja horisontaalteljele, ning momendi võrrandid (9.98) tugede a ja b kohta:ΣX = 0; −32.0 + 25.541 + 4 · 5 − 2.240 − 32.608 = −1.0 · 10 −3 ∼ = 0ΣY = 0; 39.833 − 2.410 − 8 · 6 − 12.982 − 32.608 + 56.167 = 7.1 · 10 −15 ∼ = 0ΣM a = 0; −4 · 5 · 2.5 − 8 · 6 · 3 − 12.982 · 6 + 2.240 · 7 ++ (−32.608 + 56.167) · 12 − 26.492 = 4.0 · 10 −3 ∼ = 0 (9.98)Staatilise kontrolli teeme ka väljalõigatud osa (joonis 9.26 b)) kohta.ΣX = 0; −25.541 + 12 + 2.240 + 11.302 = −1.0 · 10 −3 ∼ = 0ΣY = 0; +2.4103 + 12.982 − 8 · 6 + 32.608 = −7.1 · 10 −15 ∼ = 0ΣM a = 0; −2.240 · 7 + 12.982 · 6 + 26.492 − 12 · 4 −− 8 · 6 · 9 + 32.608 · 12 = −5.68 · 10 −14 ∼ = 0 (9.99)

9.1 Raamid 249a )0000000000000000000000001111111111111111111111118 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111 c00000000000000000000000011111111111111111111111126.492 kN . md 2.240 kNe00 1100 1100 1112.982 kN00 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 112.410kNH a = 32 kN 0000 11a11.302 kN b25.541 kN0000 1111000 1110000 111132.608 kN 000 111V a = 39.833 kNV b = 56.167 kN4 kN/mb )26.492 kN . m12 kN2.410 kN25.541 kNa12.982 kNc2.240 kNk8 kN/m 32.608 kN00000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111 11.302 kNfbJoonis 9.26. Raam 9.1. Raami staatiline kontrollArvutuste tegemisel kasutame enesekontrolliks arvutiprogrammi joumNA4q.m 10 11 Arvutiprogrammigaarvutamisel kasutame Simpsoni järgi integreerimist. Ühikjõu epüürilt kannameväärtused maatriksisse Mx ülevalt alla integreerimispiirkondade järjekorras: moment algul,moment keskel, moment lõpus. Varrast integreerimispiirkonnas vaatleme nii, et positiivsedkiud oleksid alumised (vaata joonist 9.17 c)). Samas järjekorras sisestame momendid epüüriltM 0 p (joonis 9.22) arvutiprogrammis joumNA4q.m olevasse vektorisse Mp.Samas järjekorras saame lõpliku paindemomentide ordinaadi varraste integreerimispiirkondades:M-algul, M-keskel ja M-lõpus (vt Päevik 9.3).Põikjõu arvutamiseks on vaja vaadelda varrast nii, et positiivsed kiud oleksid alumised.Vajaliku cos α saame varda pikkuse projektsiooni ja tema pikkuse jagatisena cos α =lm (1, 2) /l (1, 2) = 6.0000/6.3246.Arvutuspäevik 9.3 octave:1> diary joumNA4q.outoctave:2> diary onoctave:3> joumNA4ql = 5.0000 6.3246 3.0000 4.0000 6.3246 5.0000 6.0000 6.0000lm = 5 6 3 4 6 5 6 6a =8.2494 -4.5733 -5.4820 4.9000-4.5733 8.2494 4.9000 -5.4820-5.4820 4.9000 8.3694 -7.00004.9000 -5.4820 -7.0000 8.3694-17.712-56.51035.74462.236b =x =-221.34551.20316.30-493.67Momendid varraste integreerimispiirkondades.===================================10 ./octaveProgrammid/joumNA4q.m11 ./octaveProgrammid/joumNA4q.Kommentaarid.pdf

250 9. Jõumeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Jrk M-alguses M-keskel M-l~opus-----------------------------------1 0.0000 3.6441 -17.71182 -17.7118 45.0162 35.74423 -26.4919 -23.1313 -19.77074 -19.7707 8.7100 37.19085 62.2361 2.8631 -56.50996 -56.5099 -28.2549 0.00007 -14.4593 -7.2296 0.00008 0.0000 -61.8251 -51.6501-----------------------------------------------------------------------------------------P~oikj~oud varraste integreerimispiirkondades(siin DeltaQ = DeltaM/DeltaX).======================================================Jrk Q_o-algul Q_o-l~opus DeltaQ Q-algul Q-l~opus------------------------------------------------------1 10.0000 -10.0000 -3.5424 6.4576 -13.54242 22.7684 -22.7684 8.4521 31.2205 -14.31633 0.0000 0.0000 2.2404 2.2404 2.24044 0.0000 0.0000 14.2404 14.2404 14.24045 0.0000 0.0000 -18.7754 -18.7754 -18.77546 0.0000 0.0000 11.3020 11.3020 11.30207 0.0000 0.0000 2.4099 2.4099 2.40998 -24.0000 24.0000 -8.6084 -32.6084 15.3916------------------------------------------------------octave:4> diary offArvutiprogrammiga joumNA4q.m leitakse põikjõud varraste integreerimispiirkondades (vt Päevik9.3) avaldisegaSiinQ algul = Q o algul + M paremal − M vasakullQ l˜opus = Q o l˜opus + M paremal − M vasakullQ o q · l (1, 2) q · l (1, 2) lm (1, 2)algul = + cos α = +22 l (1, 2)Q o q · l (1, 2) q · l (1, 2) lm (1, 2)l˜opus = − cos α = −22 l (1, 2)(9.100)(9.101)Põikjõu arvutamist vaata ka jaotisest 1.10 ja 1.11.Arvutiprogrammi joumNA4q.m abil leitud momendid varraste integreerimispiirkondadeson toodud arvutuspäevikus 9.3.Leitud momentide põhjal koostame paindemomentide epüüri (vt joonist 9.23). Kasutadesdiferentsiaalseoseid ja põikjõu arvutust kaldvardas (vt lõik 1.11), koostame põikjõu epüüri(joonis 9.25). Normaaljõu arvutusi saame korrata, kui kopeerime tekstist Raam4QjaN.txt 12käsu/käsud ja asetame GNU Octave’i käsureale.12 ./octaveProgrammid/Raam4QjaN.txt

10. JätkuvtaladLoeng 1 1 : Kolme momendi võrrand. Näide 10.1. Loeng 2 2 : Fookussuhted. Näide 10.2.Loeng 3 3 : Näide 10.3. Arvutiprogramm.Jätkuvtalaks nimetatakse liigenditeta mitmesildelist tala. Tasapinnalise geomeetriliseltmuutumatu kujundi kinnitamiseks on vaja kolme toesidet. Jätkuvtalal on toesidemeidrohkem kui kolm, seepärast on ta staatikaga määramatu. Staatilise määramatuseaste leitakse valemigakus t on toesidemete arv10.1 Põhiskeem ja lisatundmatudn = t − 3 (10.1)Põhiskeem ja lisatundmatud tuleb valida nii, et jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemiδ ij X j + ∆ ip = 0, (i, j = 1, 2, 3, ..., n) (10.2)kordajaid oleks lihtne arvutada.Joonisel 10.1 on lisatundmatuteks valitud toemomendid.a)01 2 3 4 5 b)X X X XX1 1X 2 2X X3 3 4 40 1 2 3 4 5 ¦ ¦ ¦¢ ¢ ¢¤ ¤ ¤¨ ¨ ¨Joonis 10.1. Jätkuvtala põhiskeem ¡ ¡£ £ £¥ ¥§ § §© © © ¡ ¢ ¢ ¢ £ £ £ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦ § § § ¨ ¨ ¨ © © ©¡10.2 Kanoonilised võrrandidValime jätkuvtala (joonis 10.2 a)) põhiskeemi nii, et tundmatuteks on toemomendid X i(joonis 10.2 b)).1 ./videod/jatkvTaladLoeng1.html2 ./videod/jatkvTaladLoeng2.html3 ./videod/jatkvTaladLoeng3.html251

252 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]a)b)i−2 i−1000000000000000000111111111111111111 i000000000000000000111111111111111111000 11100 1100 11000 11100 1100 11l i−1 i= 1 = 1lX i−2X i−2X i−1X i−1l i+1i+1 00000000001111111111 i+20000000000111111111100 1100 1100 1100 11l i+2X X X X X X i i i+1 i+1 i+2 i+2c)000 111000 11100 1100 11X i−1 X i−100 1100 1100 1100 1100 1100 11d)e)f)g)000 11100000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111100 1100 1100 11000 11100000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111100 1100 1100 11000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111 X = 1 X = 11i i000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111000 11100 110000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100 1100 11000 11100 1100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 = 1 = 1000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100 1100 11X X1i+1 i+1000 11100 1100 1100 1100 110000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100 11 00 110000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100 11 00 1100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111i−2 i−1 i000000000000000000111111111111111111i+1 i+200000000001111111111000 11100 1100 1100 1100 11000 11100 11000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111 00 1100000000000000001111111111111111000000000000000000111111111111111111 00000000000000000011111111111111111100000000000000001111111111111111000000000000000000111111111111111111 0000000000000000001111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111 00 111111111111111111000000000011111111110000000000000000111111111111111100000000000000000011111111111111111100000000001111111111a i+1 ba b i+1i i00000000000000001111111111111111000000000000000000111111111111111111i−200000000000000001111111111111111000000000000000000111111111111111111 000000000000000000111111111111111111 0000000000111111111100000000000000001111111111111111Ω i−1 i i+1 i−1 Ω iΩ i+1 00000000000000001111111111111111 i+2000000000000000000111111111111111111 000000000000000000111111111111111111Ω i+2000 11100 1100 110000000000000000111111111111111100000000000000001111111111111111 00 11000 11100 1100 1100 1100 11Af i−1 Bf i−1 Af i Bf Af B fi i+1 i+1 Ai+2f Bfi+2m i−1m im i+1M o pJoonis 10.2. Jätkuvtala põhiskeemi epüüridVõrrandisüsteemi (10.2) kordajad leiame avaldisegaδ i j =n∑︁∫︁ li=1siin on n varraste arv ja EI ristlõike jäikus.Vabaliikmed arvutame valemiga∆ i p =0n∑︁∫︁ li=10m i m jds (10.3)EIm i M o pEIds (10.4)Ühikepüüride (joonis 10.2 c), d), e)) korrutamisel ja integreerimisel saame järgmisednullist erinevad kordajad δ i j :EI o δ i i−1 = 1 · 1 · l iI o6I i(10.5)

10.2 Kanoonilised võrrandid 253EI o δ i i = 1 · 1 · l iI o3I i+ 1 · 1 · l i+13I i+1(10.6)EI o δ i i+1 = 1 · 1 · l i+1I o6I i+1(10.7)Koormusliikme ∆ i p integreerimisel kasutame Vereštšagini võtet D.2.3 lk 666.EI o ∆ i p = Ω i1 · a i I ol i I i+ Ω i+11 · b i+1 I ol i+1 I i+1(10.8)Toe i kohta koostatud pidevusvõrrand on. . . + δ i i−1 X i−1 + δ i i X i + δ i i+1 X i+1 + . . . + ∆ i p = 0 (10.9)Avaldistes (10.5), (10.6), (10.7) ja (10.8) võtame kasutusele järgmised tähistused:l ′ i = l iI 0I i(10.10)B f i = Ω ia il i(10.11)A f i+1 = Ω i+1b i+1l i+1(10.12)ning asetame võrrandisse (10.9). Saame kolme momendi võrrandil ′ iX i−1 + 2 (︁ l ′ i + l ′ i+1)︁Xi + l ′ i+1X i+1 = −6B f iI 0I 0− 6A f i+1(10.13)I i I i+1kus l ′ i = l iI 0Iining A f i+1, B f i on fiktiivsed koormused. Fiktiivsed koormused A f i , B f i ontoodud tabelis 10.1. Ühtlaselt jaotatud koormuse q, ühtlase ristlõike jäikuse (I i = I 0 )puhul ning koondatud jõu F k puhul kehtivad avaldised:6A f i = 6B f i = ql3 i4(10.14)6A f i = F k li 2 ·ξ k·ξ k ′ (1 + ξ k) ′ (10.15)6B f i = F k li 2 ·ξ k·ξ k ′ (1 + ξk) (10.16)Siin ξ k = a klija ξ ′ k = b kli(vt joonis 10.3).

254 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Fk0000 1111 i−20000 1111i−1 000 111 k 0000 1111 i i+1a 000 111000 111 k b k0000 1111 000 111l i−1l il i+1ξ k=ξ’ k=a kl ibl ik0000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111000 1110000 1111000 111ξ 010000 111111111111100000000000001k l ξ’i 111111111111 k l i0101Af01fiB iJoonis 10.3. Jätkuvtala tähised10.3 Kolme momendi võrrandiga jätkuvtalaarvutus10.3.1 Kolme momendi võrrand. Näide 10.1Näide 10.1 Arvutada joonisel 10.4 a) esitatud jätkuvtala toemomendid kolme momendi võrrandiganing koostada paindemomendi ja põikjõu epüürid. Andmed: l 1 = 8 m, l 2 = 10 m,l 3 = 9 m; F 1 = 20 kN, F 2 = 20 kN, F 3 = 50 kN, F 4 = 40 kN, q = 10 kN/m; EI = const.Staatikaga määramatuse aste n = 3. Lisatundmatuteks on toemomendid X 1 , X 2 ja X 3 (joonis10.4 b)).Kolme momendi võrrandi (10.13) vabaliikmed koondatud jõu puhul leiame avaldistega(10.15) ja (10.16). Ühtlasest koormusest põhjustatud vabaliikmed leiame avaldisega (10.14).F 1= 20 kN F 2= 20 kN F 3= 50 kN F 4= 40 kNq = 10 kN/m00000000000000001111111111111111010000000000000000111111111111111101000 1110 a 000 1111b c 00 112d 3 01000 111 2 4 m 4 m0001113 m 3 m 4 m00114.5 m 4.5 m 012 l 1= 8 m l 2= 10 m l 3= 9 mX 1X 2 X 3000 11100 11000 111 000 11100 110 12 3010101l 4 = 0400 1120000 111 0000000000000000000011111111111111111111000000000000000001111111111111111100 11000 111000 111 000000000000000000001111111111111111111100000000000000000111111111111111110000 111100 11000 111000 111000 111 000000000000000000001111111111111111111100000000000000000111111111111111110000 1111000000000111111111 00 1100000000000000000000111111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000000001111111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000000011111111111111111111400000000011111111000000011111110000 1111 000000000000000011111111111111110000000000111111111100000001111111000000011111111111111 00000001111111 0000000011111111 000000000000000000111111111111111111000000000011111111110000 11110000000000111111111100000000001111111111000000001111111100000000111111110000000000111111111100000000001111111111000000001111111135.823.173.834.444.229.472.614.469.724.135.637.815.9Joonis 10.4. Jätkuvtala epüürid32.6M [kN.m]Q [kN]

10.3 Kolme momendi võrrandiga jätkuvtala arvutus 255Joonis 10.5. Fiktiivsete koormuste leidmineTugede 1, 2 ja 3 kohta koostatud kolme momendi võrrandid on järgmised:l 1 X 0 + 2 (l 1 + l 2 ) X 1 + l 2 X 2 = −6B f 1 − 6Af 2l 2 X 1 + 2 (l 2 + l 3 ) X 2 + l 3 X 3 = −6B f 2 − 6Af 3+ l 3 X 2 + 2l 3 X 3 = −6B f 3(10.17)kus toemoment X 0 ja koormusliikmed 6A f i , 6Bf ionX 0 = −F 1 · 2 = −20·2 = −40 kN · m6B f 1 = ql3 14 = 10·83 = 1280 kN · m 246A f 2 = F 2 l2·ξ 2 2·ξ 2′ (︀ 1 + ξ′ )︀2 + F3 l2·ξ 2 3·ξ 3′ (︀ 1 + ξ′ )︀3 == 20 · 10 2 · 0.3 · 0.7 · (1 + 0.7) + 50 · 10 2 · 0.6 · 0.4 · (1 + 0.4) == 2394 kN · m 26B f 2 = F 2 l 2 2·ξ 2·ξ ′ 2 (1 + ξ 2 ) + F 3 l 2 2·ξ 3·ξ ′ 3 (1 + ξ 3 ) == 20 · 10 2 · 0.3 · 0.7 · (1 + 0.3) + 50 · 10 2 · 0.6 · 0.4 · (1 + 0.6) == 2466 kN · m 26A f 3 = 6B f 3 = 40 · 92 · 0.5 · 0.5 · (1 + 0.5) = 1215 kN · m 2 (10.18)Vabaliikmete arvutamiseks võib kasutada GNU Octave’i funktsiooni afbfikt1.m lk 734. Funktsiooniafbfikt1.m kasutamist jälgi joonisel 10.5.

256 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Pärast toemomendi X 0 ja vabaliikmete 6A f i , 6Bf i arvväärtuste (10.18) asetamist võrrandisse(10.13) saame järgmise võrrandisüsteemi:⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤36 10 0 X 1 3354⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ 10 38 9 ⎦ ⎣ X 2 ⎦ = − ⎣ 3681 ⎦ (10.19)0 9 18 X 3 1215ehkkusA =⎡⎢⎣36 10 010 38 90 9 18⎤⎥⎦ ; X =AX = B (10.20)⎡ ⎤X 1⎢ ⎥⎣ X 2 ⎦ ;X 3Võrrandisüsteemi lahendamist vaata jaotisest A.10 lk 635.Võrrandisüsteemi (10.19) lahend on⎡⎢B = − ⎣335436811215⎤⎥⎦ (10.21)X 1 = −73.801 kN · m; X 2 = −69.716 kN · m; X 3 = −32.642 kN · m (10.22)Paindemomendi ja põikjõu epüüri (joonis 10.4) lõigetes a, b, c ja d leiame järgmiste avaldistega:M k = Mk 0 + X i−1 · ξ k ′ + X i · ξ k (10.23)Q k = Q 0 k + ΔMΔx = Q0 k + M paremal − M vasakul(10.24)lkus ξ k ja ξ k ′ on ristlõike k mõõduta kaugused vasakust ja paremast toest (vt joonis 10.3 lk 254).Põikjõu Q k ja ΔM/Δx kohta on selgitus joonisel 1.17 (vt lk 47). SaameM a = Ma o + M konsool ξ a ′ 10 · 82+ X 1 ξ a = − 40 · 0.5 − 73.80 · 0.5 = 23.100 kN · m8M b = A 2 ξ b l 2 + X 2 ξ b ′ + X 1 ξ b = (20 · 0.7 + 50 · 0.4) · 0.3 · 10 − 0.7 · 73.80 − 0.3 · 69.72 == 29.424 kN · mM c = B 2 ξ ′ cl 2 + X 2 ξ ′ c + X 1 ξ c = (20 · 0.3 + 50 · 0.6) · 0.4 · 10 − 0.4 · 73.80 − 0.6 · 69.72 == 72.648 kN · mM d = M o d + X 2 ξ ′ d + X 3 ξ d = 20 · 4.5 − 0.5 · 69.72 − 0.5 · 32.64 = 37.82 kN · m (10.25)−73.78 + 40Q 0 1 = 40 + = 35.78 kN8Q 1 0 =−73.78 + 40−40 + = 44.225 kN8Q 1 2 =−69.78 + 73.7820 · 0.7 + 50 · 0.4 + = 34.41 kN10Q 2 1 =−69.78 + 73.78−20 · 0.3 − 50 · 0.6 + = −35.59 kN10Q 2 3 =−32.61 + 69.7820 + = 24.12 kN9Q 3 2 =−32.61 + 69.78−20 + = −15.88 kN9(10.26)

10.3 Kolme momendi võrrandiga jätkuvtala arvutus 257F 1= 20 kNq = 10 kN/mF 2= 20 kN F 3= 50 kN F 4= 40 kN0 1232 4 m 4 m 3 m 3 m 4 m 4.5 m 4.5 m2 al 1= 8 m bl 2= 10 mc dl 3= 9 m ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ 35.7834.414.424.1Q [kN]¡¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢£¡£¡£¡£¡£¡£¡£ ¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ £¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ £¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦ §¡§¡§¡§¡§¡§ ¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨ #¡# §¡§¡§¡§¡§¡§$¡$¡¡¡¡¡2044.2¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨ §¡§¡§¡§¡§¡§¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡35.6¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡15.9¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡2035.7844.22¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡ 34.4035.60 ! !! !V 0 = 55.78 kN V 1= 78. 62 kN V 2= 59.73 kN V 3= 15.87 kN" "24.1315.87Q = +" "Joonis 10.6. Jätkuvtala põikjõu epüür ja toereaktsioonidTabel 10.1. Valemid vabaliikmete arvutamiseksJrk Skeem 6 I 0IiA f i 6 I 0IiB f iF1i−1ξlξ’l¢ ¢ ¢ ¢¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ ££ £ £¡¡ ¡ ¡ ¡iF l i l ′ i ξξ′ (1 + ξ ′ )F l i l ′ i ξξ′ (1 + ξ)A f iB f i2¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢i−1i£ £ £ ££ £ £ £¥ ¥ ¥ ¥¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦ 1¦ ¤ ¤ ¤ ¤ ¦ ¦4 ql2 i l′ iA f iqlB f i14 ql2 i l′ i34q¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡i−1i£ ¡ £ ¡ £ ¡ £¥ ¥ ¥ ¥¡¡¡¡ ¤ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¥¡¡¡ ¦ ¦ ¦ 5¡¡¡¡¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡32 ql2 i l′ i¦ ¦ ¦ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £A f l/2iqA f il/2B f i¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ § § § §¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡i−1¨ ¨ ¨ § § § § ¦ ¦ ¦ ¦ ¥¥ ¥ ¥ i7¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢60 ql2 i l′ i¨ ¨ ¨ ¦ ¦ ¦ ¦ ¥ ¥ ¥ ¥l¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£B f i532 ql2 i l′ i215 ql2 i l′ i5¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡ £ £ ¡ £ ¡ £ ¡ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥¤ ¤ ¡ ¤ ¡ ¤ ¡ ¥ ¡ ¥ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦ ¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢i−1¦ ¦ ¦ ¤ ¤ ¤ ¤ £ £ £ £ i 1fA iξlqξ’ lfB i4 ql2 i l′ i ξ′2 (︀ 2 − ξ ′2)︀ 14 ql2 i l′ i ξ′2 (2 − ξ ′ ) 26i−1A f iξlMξ’l¢ ¢ ¢ ¢¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ ££ £ £¡¡ ¡ ¡ ¡iB f i−Ml i′ (︀ 1 − 3ξ′2 )︀Ml i′ (︀ 1 − 3ξ2 )︀

258 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Konsoolis on põikjõud Q (v)a = −20 kN.Jätkuvtala vertikaalsed toereaktsioonid V i (vt joonis 10.6) leiame põikjõu epüüri abil:V 0 = 20 + 35.78 = 55.78 kNV 1 = 44.25 + 34.41 = 78.66 kNV 2 = 35.59 + 24.12 = 59.71 kNStaatilise kontrolliga kontrollime jätkuvtala tasakaalu:V 3 = 15.88 kN (10.27)ΣZ = 0 : 20 + 10 · 8 + 20 + 50 + 40 − 55.78 − 78.66 − 59.71 − 15.88 = −0.03 ≈ 0 (10.28)10.4 Jätkuvtalade arvutus fookussuhtega10.4.1 FookussuhtedJätkuvtala arvutamisel fookussuhtega koormatakse ainult ühte sillet (joonis 10.7).Koormatud sildest kaugemal asetseval toel on toemoment väiksem kui koormatudsildele lähemal asetseval toel. Kuna koormamata silde paindemomendid on erinevatemärkidega, siis on igas koormamata sildes paindemomendi epüüris üks nullpunkt. Sedanullpunkti nimetatakse fookuseks. Fookus asub koormatud sildest kaugemal asetsevale¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ £¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡ ¡ £¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡ ¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ f 1 f ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ 2 2 f ¡ 3 f’ 5 5 f’§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§6f’ 7 01 3 4 6¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡ ¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§7¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥l 1l 2l 3l 4l 5l 6l 7¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ £¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡Joonis 10.7. Jätkuvtala fookusedtoele lähemal. Koormatud sildest vasakul asetsevaid nullpunkte (joonisel 10.7 f 1 , f 2ja f 3 ) nimetatakse vasakpoolseteks fookusteks. Koormatud sildest paremal asetsevaidnullpunkte (joonisel 10.7 f ′ 5, f ′ 6 ja f ′ 7) nimetatakse parempoolseteks fookusteks.Fookuste asukohad ei olene koormusest. Koormatud silde paindemomendi epüürinullpunktid olenevad koormusest ega ole seepärast fookused.Sildes on kaks fookust: vasakpoolne fookus f i ja parempoolne fookus f ′ i.Vasakpoolseks fookussuhteks nimetatakse vasakpoolse fookuse kauguste suhet parem- javasakpoolsest toest (vt joonis 10.8 d)),k i−1 = l i−1 − c i−1c i−1(10.29)kus vasakpoolne kaugus on c i−1 ja parempoolne kaugus (l i−1 − c i−1 )).Parempoolseks fookussuhteks nimetatakse parempoolse fookuse kauguste suhet vasakjaparempoolsest toest (vt joonist 10.8 d)),k ′ i+1 = l i+1 − c ′ i+1c ′ i+1(10.30)

10.4 Jätkuvtalade arvutus fookussuhtega 259a)0 1 23 i−2 i−1 i i+1 i+2l 1 l 2 l 3l i−1 l i l i+1 l i+2¡¢ ¢ £ £ ¤ ¤ ¤ ¥ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦ § § ¨ ¨ © © ¡b)c) c 2 f 2X 1X 2X1X 2c 3 f2f3 d) X i−1 c c’ X ii+1c’ i−1i+2 X i+2 o oi−2 i+1 f i−1 o o i−1 i f’ f’ i+1 i+2X i−2Xi+1 X 3Joonis 10.8. Jätkuvtala fookussuhtedkus vasakpoolne kaugus on (︁ l i+1 − c i+1)︁ ′ ja parempoolne kaugus c′i+1 ).Kuna koormatud sildest kaugemal asetseval toel on toemoment väiksem kui koormatudsildele lähemal asetseval toel, siis vasak- ja parempoolse fookussuhte k i−1 jak i+1 ′ arvväärtus on suurem kui üks.Joonise 10.8 sarnastest kolmnurkadest △X i−1 o i−1 f i−1 ja △X i−2 o i−2 f i−1 saameja kolmnurkadest △X i1 o i f ′ i−1 ja △X i+1 o i+1 f ′ i−1X i−1X i−2= − l i−1 − c i−1c i−1= −k i−1 (10.31)X iX i+1= − l i+1 − c ′ i+1c ′ i+1= −k ′ i+1 (10.32)Fookussuhete avaldiste saamiseks vaatleme joonist 10.8 b) ja sõlm 1 kohta kirjutamevälja kolme momendi võrrandi (10.13), arvestades, et avad on koormamata. Saamesiin X 0 = 0 janingl ′ 1X 0 + 2 (l ′ 1 + l ′ 2) X 1 + l ′ 2X 2 = 0 (10.33)2 (l ′ 1 + l ′ 2) X 1 + l ′ 2X 2 = 0 (10.34)X 2X 1= − 2 (l′ 1 + l ′ 2)l ′ 2Sõlme 2 kohta on kolme momendi võrrand= −k 2 (10.35)l ′ 2X 1 + 2 (l ′ 2 + l ′ 3) X 2 + l ′ 3X 3 = 0 (10.36)

260 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Võrrandist (10.35) avaldame X 1 = − X 2k 2ja asetame võrrandisse (10.36):Siit saameSõlme 3 kohta saame− l 2′ X 2+ 2 (l 2 ′ + lk3) ′ X 2 + l 3X ′ 3 = 0 (10.37)2[︃ (︂X 3= − 2 + l′ 22 − 1 )︂ ]︃ = −kX 2 l 3′ 3 (10.38)k 2l ′ 3X 2 + 2 (l ′ 3 + l ′ 4) X 3 + l ′ 4X 4 = 0 (10.39)Võrrandist (10.38) avaldame X 2 = − X 3k 3ja asetame võrrandisse (10.39):Siit saame− l 3′ X 3+ 2 (l 3 ′ + lk4) ′ X 3 + l 4X ′ 4 = 0 (10.40)3[︃ (︂X 4= − 2 + l′ 32 − 1 )︂ ]︃ = −kX 3 l 4′ 4 (10.41)k 3Üldistame saadud avaldised (10.35), (10.38) ja (10.41). Vasakpoolseteks fookussuhetekson avaldisk j = 2 + l′ j−1l ′ j(︃2 − 1k j−1)︃, X j−1 = − X jk j(10.42)Samamoodi saadakse valem ka parempoolsete fookussuhete arvutamiseksk ′ j = 2 + l′ j+1l ′ j(︃2 − 1k ′ j+1)︃, X j = − X j−1k ′ j(10.43)10.4.2 Koormatud silde toemomendidJoonisel 10.9 esitatud tala tugede i-1 ja i kohta kirjutame kolme momendi võrrandi(10.13):l ′ i−1X i−2 + 2 (︁ l ′ i−1 + l ′ i)︁Xi−1 + l ′ iX i = −6A f il ′ iX i−1 + 2 (︁ l ′ i + l ′ i+1)︁Xi + l ′ i+1X i+1 = −6B f iI 0I iI 0I i(10.44)

10.4 Jätkuvtalade arvutus fookussuhtega 261i−3i−2 i−1 i i+1 i+2li−2l i−1 l i l i+1 l i+2¥ ¥ ¦ ¦ ¦ ¡ ¢ ¢ ¢ £ £ ¤ ¤¡§ ¨ ¨ ¨ © © © §X i−1 X i−3fi−2 fi−1X if’ i+1X i−2Xi+1Xi+2 f’ i+2 Ω i A ifa ib iB ifJoonis 10.9. Jätkuvtala toemomendidVõrranditest (10.44) elimineerime valemite (10.42) ja (10.43) abil momendid X i−2 jaX i+1 :X i−2 = − X i−1k i−1,X i+1 = − X ik ′ i+1(10.45)Arvestades seoseid (10.45), esitame võrrandisüsteemi (10.44) järgmisel kujul:⎡ (︁ )︁⎤2 + l′ i−1⎢ l 2 −1[︃ ]︃ ⎡ ⎤i′ k i−11⎣(︂ )︂ ⎥ Xi−11 2 + l′ i+12 − 1 ⎦ = − ⎣ 6Af I 0i I i l i′X i 6B f ⎦I 0(10.46)l i′ k i+1′ i I i l i′ehksiin[︃ki 11 k ′ i]︃ [︃Xi−1X i]︃1l i= I 0I i l ′ i⎡= − ⎣s.t koormusliikmetes ei ole redutseeritud pikkused.Võrrandisüsteemi (10.47) lahend ja toemomendid on6A f il i6B f il i⎤⎦ (10.47)(10.48)

262 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]X i−1 = − 6Af i k ′ i − 6B f il i (k i k ′ i − 1)(10.49)X i = − 6Bf i k i − 6A f il i (k i k ′ i − 1)(10.50)Kui äärmised toed on liigendtoed (s.t k i = ∞, k i ′ = ∞), siis avaldiste (10.49), (10.50)kasutamisel tekib määramatus ∞ ning see tuleb avada∞k ′ n = ∞; X n = 0; X n−1 = − 6Af nk ′ n − 6B f nl n (k n k ′ n − 1) ·1k n ′ 1k ′ n== − 6Af n − 6Bf nk n(︁ ′ )︁ = − 6Af n(10.51)l n kn − 1 l n k nk n′k 1 = ∞; X 0 = 0; X 1 = − 6Bf 1 k 1 − 6A f 1l 1 (k 1 k ′ 1 − 1) ·1k 11k 1== − 6Bf 1 − 6Af 1k(︁ 1)︁ = − 6Bf 1l 1 k′1 − 1 l 1 kk1′ 1(10.52)10.4.3 Jätkuvtala fookussuhetega. Näide 10.2 [slaidid]Näide 10.2 Arvutada joonisel 10.10 c) esitatud jätkuvtala toemomendid fookussuhetega ningkujutada paindemomendi ja põikjõu epüürid. Andmed: l 1 = 8 m, l 2 = 10 m, l 3 = 9 m. Tala onkoormatud ajutise koormusega sillete kaupa:1. Koormusvariant: koormatud on kolmas sille F 4 = 40 kN (joonis 10.10 a)).2. Koormusvariant: koormatud on teine sille F 2 = 20 kN ja F 3 = 50 kN (joonis 10.10 b)).3. Koormusvariant: koormatud on konsool F 1 = 20 kN (joonis 10.10 c)).4. Koormusvariant: koormatud on esimene sille q = 10 kN/m (joonis 10.10 d)).Sillete ristlõikejäikused EI = const.Näites 10.1 lk 254 oli kasutatud kolme momendi võrrandit.Fookussuhted joonisel 10.10 c) esitatud tala jaoks arvutame valemitega (10.42) ja (10.43):k 1 = ∞k 2 = 2 + l 1l 2(︂2 − 1 k 1)︂= 2 + 810k 3 = 2 + l 2l 3(︂2 − 1 k 2)︂= 2 + 10 9(︂2 − 1 )︂= 3.6∞(︂2 − 1 )︂= 3.9136 (10.53)3.6

10.4 Jätkuvtalade arvutus fookussuhtega 263a)F 4= 40 kNb)F 2= 20 kNF 3= 50 kNc)F 1= 20 kNd)©©©©©©©©©©©©©© q = 10 kN/m¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨©¨c)ab cd2 4 m 4 m 3 m 3 m 4 m 4.5 m 4.5 m¡¡¡ ¡¡£ ¤ ¤ ¥ ¥ ¦ ¦ ¦ § § § 0 123£ ¢ ¢ ¡2 l 1= 8 m l 2= 10 m l 3= 9 m¡ ¡d) 0 1 2k 1 = oo k 2 = 3.6k’ = 4.12691k’ = 3.352k 3 = 3.9136k’ = 233 Joonis 10.10. Jätkuvtala. FookussuhtedSamamoodi arvutame ka parempoolsed fookussuhted:k 3 ′ = 2k 2 ′ = 2 + l 3(︂2 − 1 )︂l 2 k 3′ = 2 + 9 (︂2 − 1 )︂= 3.3510 2k 1 ′ = 2 + l 2(︂2 − 1 )︂l 1 k 2′ = 2 + 10 (︂2 − 1 )︂= 4.1269 (10.54)8 3.35Fookussuhteid võib arvutada GNU Octave’i funktsiooni fooksuhe.m (vt 734) abil. Arvutamisenäide on joonisel 10.11, kus esimese ava fookussuhe k 1 = ∞ ∼ 1eps. Siin on eps arvutilJoonis 10.11. Fookussuhete arvutamine

264 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Joonis 10.12. Toemomentide arvutaminelõpmatult väike suurus (arvutinull). Tema pöördväärtus on lõpmatult suur arv (arvutilõpmatus).Tulemused näitame joonisel 10.10 d).Fookussuhetega leiame toemomendid eraldi iga silde koormusest. Alustame kolmandast sildest(vt joonis 10.10 a) ja 10.13). Kolmanda silde koormamisel tekkinud toemomendid arvutamevalemitega (10.49) ja (10.50). Nendes esinevad koormusliikmed 6A f i , 6Bf i on juba leitud näites10.1 lk 254 (vt avaldis 10.18 lk 255). SaameX 2 3 = − 6Af 3 k′ 3 − 6Bf 3 1215 · 2 − 1215l 3 (k 3 k 3 ′ = − = −19.774 kN · m (10.55)− 1) 9 · (3.9136 · 2 − 1)X 3 3 = − 6Bf 3 k 3 − 6A f 3 · 3.9136 − 1215l 3 (k 3 k 3 ′ = −1215 = −57.613 kN · m (10.56)− 1) 9 · (3.9136 · 2 − 1)Toemomente võib arvutada GNU Octave’i funktsiooni toemom1.m (vt 734) abil. Arvutamisenäide on joonisel 10.12, kus esimese ava fookussuhe k 1 = ∞ ∼ 1eps. Siin on eps arvutil lõpmatultväike suurus (arvutinull). Tema pöördväärtus on lõpmatult suur arv (arvuti lõpmatus).

10.4 Jätkuvtalade arvutus fookussuhtega 265F 4= 40 kN01000 1110 a 000 1111b c 00 112d 3 01000 111 2 4 m 4 m0001113 m 3 m 4 m00114.5 m 4.5 m 012 l 1= 8 m l 2= 10 m l 3= 9 mX 2 3Toe number Koormatud silde number0000000000000000011111111111111111 X0000000000000000011111111111111111 3 30000000000000000011111111111111111X 2 3000000000000000001111111111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000000111111111111111100000000000000000111111111111111110000000000000000000011111111111111111111M [kN.m]000000000000000011111111111111110000000000000000011111111111111111X 00000000000000000000111111111111111111111 3 00000000000000000111111111111111110000000000000000011111111111111111000000000000000001111111111111111100000000001111111111000000000011111111110000000000111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000111111111100000000000000001111111111111111 0000000000000000000011111111111111111111000000000Q [kN]00000000001111111111000000000000000011111111111111110000000001111111110.6870000000001111111110000000001111111115.4932.527Joonis 10.13. Fookussuhted. Koormus kolmandal sildel19.77415.79651.30624.20457.613Toemomendi X 1 3 leiame vasakpoolse fookussuhtega (10.42):X 1 3 = − X 2 3= 19.774 = 5.493 kN · m (10.57)k 2 3.6Leitud toemomendid X i 3 kanname epüürile (joonis 10.13).Kolmanda ava keskel oleva paindemomendi epüüri ordinaadi arvutamiseks kasutame valemit(10.23):M d = M o d + X 2 · ξ ′ d + X 3 · ξ d = 20 · 4.5 − 19.774 · 0.5 − 57.613 · 0.5 == 51.306 kN · m (10.58)Teise silde koormamisel tekkinud toemomendid arvutame valemitega (10.49) ja (10.50).Nendes esinevad koormusliikmed 6A f i , 6Bf i on juba leitud näites 10.1 lk 254 (vt avaldis 10.18lk 255):X 1 2 = − 6Af 2 k′ 2 − 6Bf 2 2394 · 3.35 − 2468l 2 (k 2 k 2 ′ = − = −50.198 kN · m (10.59)− 1) 10 · (3.6 · 3.35 − 1)X 2 2 = − 6Bf 2 k 2 − 6A f 2 2468 · 3.6 − 2394l 2 (k 2 k 2 ′ = − = −58.687 kN · m (10.60)− 1) 10 · (3.6 · 3.35 − 1)Parempoolse toemomendi X 3 2 leiame parempoolse fookussuhtega (10.43):X 3 2 = − X 2 2k ′ 3= 58.6872= 29.343 kN · m (10.61)

266 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]F 2= 20 kN F 3= 50 kN0101000 1110 a 000 1111b c 00 112d 3 01000 111 2 4 m 4 m0001113 m 3 m 4 m00114.5 m 4.5 m 012 l 1= 8 m l 2= 10 m l 3= 9 mX 2 3Koormatud silde numberToe numberX00000000000000001111111111111111 12X0000000000000000000011111111111111111111000000000000000002 200000000000000001111111111111111 00000000000000000000111111111111111111110000000000000000000000000000000001111111111111111 00000000000000000000111111111111111111110000000000000000000000000000000001111111111111111 00000000000000000000111111111111111111110000000000000000000000000000000001111111111111111 000000000000000000001111111111111111111100000000000000000M [kN.m]00000000000000001111111111111111 000000000000000000001111111111111111111100000000000000000000000000000000000001111111111111111111100000000000000000000000000000000000001111111111111111111100000000000000000X0000000000000000000011111111111111111111000000000000000003 20000000000000000000011111111111111111111000000000000000000001111111111111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000000000011111111111111111111000000000000000000001111111111111111111150.1980000000011111111000000001111111100000000000000001111111111111111 6.2750000000000000000111111111111111100000001111111 000000000000001111111 000000011111111111111 00000000111111110000000011111111000000000000000000111111111111111111Q [kN]00000000000000000011111111111111111100000001111111 000000011111116.521000000011111110000000111111133.15149.25588.70936.84913.151Joonis 10.14. Fookussuhted. Koormus teisel sildelF 1= 20 kN010100 110 a 00 111b c 00 112d 3 01200114 m 4 m 00 113 m 3 m 4 m00114.5 m 4.5 m 012 l 1= 8 m l 2= 10 m l 3= 9 m58.68729.343X 3kToe number Koormatud silde numberX 0k1111100000000000000011111111111111111111000000000000000111111111111111X 111110000000000000001111111111111112k 11111000000000000000111111111111111M [kN.m]00000000000000000001111111111111111111 00000000000000000011111111111111111100000000000000011111111111111100000000000000000001111111111111111111XX 3k1k40.09.6932.8931.44620.00000 11110000 11110000 11111.2590000 1111000000000000000111111111111111 000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111100000000000000000111111111111111110.4820000000000000001111111111111116.212Q [kN]Joonis 10.15. Fookussuhted. Koormus konsoolil

10.4 Jätkuvtalade arvutus fookussuhtega 267Arvutame teise ava lihttala toereaktsioonid V 1 ja V 2 koormusest F 2 ja F 3 . Kasutame toereaktsioonidemõjujooni (vt avaldist (2.12)), siin on toereaktsiooni A i jaoks η i = ξ i ′ ja toereaktsiooniB i jaoks – η i = ξ i ). SaameV 1 = F 2 · ξ ′ b + F 3 · ξ ′ c = 20 · 0.7 + 50 · 0.4 = 34 kNV 2 = F 2 · ξ b + F 3 · ξ c = 20 · 0.3 + 50 · 0.6 = 36 kN (10.62)Teise ava ristlõigetes b ja c olevate paindemomendi epüüri ordinaatide arvutamiseks kasutamevalemit (10.23):M b = M o b + X 1 · ξ ′ b + X 2 · ξ b = 34 · 0.3 · 10 − 50.198 · 0.7 − 58.687 · 0.3 == 49.255 kN · mM c = M o s + X 1 · ξ ′ b + X 2 · ξ b = 36 · 0.4 · 10 − 50.198 · 0.7 − 58.687 · 0.3 == 88.709 kN · m (10.63)Konsoolil mõjuv koormus tekitab toel 0 momendi X 0 k = −40 kN · m (joonis 10.15)q = 10 kN/m010100 110000000000000001111111111111110 a 00 111b c 00 112d 3 01200114 m 4 m 00 113 m 3 m 4 m00114.5 m 4.5 m 012 l 1= 8 m l 2= 10 m l 3= 9 m35.154X 3 1Toe number Koormatud silde number00 11X 1 111000000000000000000011111111111111111111100000000000000000001111111111111111111XX 000000000000000000011111111111111111110000000000000000000000000000000000001111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111 0000 113 10 11100000000000000000001111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111 00000000000000000001111111111111111111 X 2 1000000000000001111111111111100000000000000111111111111110000000000000011111111111111000000000000001111111111111100000000000000111111111111110000000000000011111111111111000000000000000111111111111111000000000000001111111111111100000000000000011111111111111100000000000000011111111111111100000000000000011111111111111100000000000000011111111111111100000000000000000001111111111111111111 000000000000000000000000000000000011111111111111111192900000000000000011111111111111111111111111111111000000000000000111111111111111 5.01900000000000000011111111111111100000000000000011111111111111160.61538.77044.84611.5735.786M [kN.m]Q [kN]Joonis 10.16. Fookussuhted. Koormus esimesel sildelParempoolsed toemomendid X i k leiame parempoolse fookussuhtega (10.43):X 1 k = − X 0 kk ′ 1X 2 k = − X 1 kk ′ 2X 3 k = − X 2 kk ′ 3= − −40.0 = 9.693 kN · m4.1269= − 9.693 = −2.893 kN · m3.35= − −2.893 = 1.446 kN · m (10.64)2

268 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Esimese ava koormamisel leiame momendi toel 1 X 1 1 . Toel 0 on moment X 0 1 = 0 javasakpoolne fookussuhe k 1 = ∞. Toereaktsiooni X 1 1 määramiseks kasutame valemit (10.52).Fiktiivne toereaktsioon 6B f 1 = 1280 kN·m2 on leitud varem (vt avaldisi (10.18) lk 255). SaameX 1 1 = − 6Bf 1l 1 k ′ 1= − 1280 = −38.770 kN · m (10.65)8 · 4.1269Parempoolsed toemomendid leiame parempoolsete fookussuhetega (10.43):X 2 1 = − X 1 1k ′ 2X 3 1 = − X 2 1k ′ 3= − −38.770 = 11.573 kN · m3.35= − 11.573 = −5.786 kN · m (10.66)2Esimese ava ristlõikes a oleva paindemomendi epüüri ordinaadi leidmiseks kasutame valemit(10.23):M a = Ma o + X 0 · ξ a ′ 10 · 82+ X 1 · ξ a = − 0.0 · 0.5 − 38.770 · 0.5 =8= 60.515 kN · m (10.67)Saadud tulemused kanname joonisele 10.16.Järgnevalt liidame toemomendid, mis on tekkinud sillete koormamisel (10.65), (10.66),(10.59), (10.60), (10.61), (10.55), (10.56), (10.57) ja konsooli koormamisel (10.64). Võrdlemesaadud tulemust kolme momendi võrrandiga leituga (näide 10.1 lk 254).Võrdleme GNU Octave’iga, sisestades järgmised käsud 4 :% Toemomendid silde kaupa koormamiselTM1(1,1)=0.0; TM1(1,2)=-38.770;TM2(1,1)=-50.198; TM2(1,2)=-58.687;TM3(1,1)=-19.774; TM3(1,2)=-57.613;knsM=-40.0;% Fookussuhtedk1v=1/eps; k2v=3.6; k3v=3.9136;k1p=4.1269; k2p=3.35; k3p=2.0;% ToemomendidmomT1= [TM1(1,1) TM1(1,2) -TM1(1,2)/k2p -(-TM1(1,2)/k2p)/k3p]momT2= [-TM2(1,1)/k1v TM2(1,1) TM2(1,2) -TM2(1,2)/k3p]momT3= [-(-TM3(1,1)/k2v)/k1v -TM3(1,1)/k2v TM3(1,1) TM3(1,2)]momTk=[knsM -knsM/k1p -(-knsM/k1p)/k2p -(-(-knsM/k1p)/k2p)/k3p]% Toemomentide summadTMS=momT1+momT2+momT3+momTk% Kolme momendi v~orrandiga leitud toemomendidToeM=[-40.0 -73.801 -69.716 -32.642]Sillete koormamisel fookussuhetega ja siis liidetud toemomendid langevad kokku kolme momendivõrrandiga leitud toemomentidega.4 ./octaveProgrammid/Toemomendid.txt

10.5 Jätkuvtala arvutus. Näide 10.3 26910.5 Jätkuvtala arvutus. Näide 10.3Näide 10.3 Koostada jätkuvtala (joonis 10.17) paindemomendi M ja põikjõu Q epüüridning suurimate paindemomentide epüür.Andmed. Tala jäikus on konstantne. Tala omakaal q = 12 kN/m ja ajutise koormuse koondatudjõudude F a = 80 kN, F b = 60 kN, F c = 40 kN asukohad (lõiked a = 26, b = 12 ja c = 16)on näidatud joonisel. Tala silded on jagatud kümneks võrdseks osaks. Ühel sildel asuvad jõudF b ja F c mõjuvad samal ajal.a)ajutine koormusb) ajutine koormusF b= 60 kNF c= 40 kNF a= 80 kNc) alaline koormusq = 12 kN/m00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111101011 5 000 1112 12 15 16 000 1113 2526000 111401000 111000 111000 1111.6 m3.6 m4.8 m8 m 8 m 6 m 2 mLeida1. Tala staatikaga määramatuse aste.Joonis 10.17. Jätkuvtala näide 10.32. Omakaalust põhjustatud toemomendid kolme momendi võrrandiga.3. Sisejõudude epüürid omakaalust.4. Sisejõudude epüürid sillete kaupa mõjuvast ajutisest koormusest. Toemomendid arvutadafookussuhetega.5. Suurimate paindemomentide epüür sildele, kus on lõige a.Jätkuvtala staatikaga määramatuse astme leiame valemiga (10.1):n = t − 3 = 6 − 3 = 3 (10.68)kus t = 6 on toesidemete arv.Sisejõudude leidmisel vaatleme kolme (arvutiprogrammis jtalaNBA.m lk 734 nelja) koormusvarianti:∙ omakaalust põhjustatud toemomendid arvutame kolme momendi võrrandiga (vt joonist10.17 c))∙ ajutisest koormusest teises sildes, kus jõud F b ja F c mõjuvad samal ajal (vt joonist 10.17b))

270 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]∙ ajutisest koormusest F a kolmandas sildes (vt joonist 10.17 a))∙ arvutiprogrammis jtalaNBA on esimeses sildes võimalik lisada ajutine koormus.Nii nagu näites 10.1 oli lisatud sille l 4 = 0 ja moment X 4 = 0, lisame käesolevas näites sildel 1 = 0 ja momendi X 0 = 0. Konsooli moment on X 4 = −12 · 2 · 1 = −24.0 kN · m. Nüüdkasutame kolme momendi võrrandit (10.13) tugede 1, 2 ja 3 (vt joonist 10.18) kohta:2 (0 + l 2 ) · X 1 + l 2 · X 2 = −6A f 2l 2 · X 1 + 2 (l 2 + l 3 ) · X 2 + l 3 · X 3 = −6B f 2 − 6Af 3l 3 · X 2 + 2 (l 3 + l 4 ) · X 3 = −l 4 · (−24.0) −−6B f 3 − 6Af 4(10.69)kus koormusliikmed 6A f i , 6Bf ion6A f 2 = 6B f 2 = ql3 24 = 12·834= 1536 kN · m 2q = 12 kN/m01000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 5 2 12 15 16 3 2526401000 111000 111000 111l 2 = 8 m l 3 = 8 ml 4 = 6 m 2 m0124.0016 A f 000000011111112 01000000000000000000000000000111111111111111111111111111= 1536 6 B f 2= 1536 6 A f 3= 1536 6 B f 3= 1536 6 A f 4 = 64800000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111 00000000000000000000000011111111111111111111111100000000000 111 000000000000000000000000000111111111111111111111111111 000 111 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111 000 111 000000000000000000000000111111111111111111111111 000 1116 B f 4 = 648000 111 000000000000000000000000000111111111111111111111111111 000 111 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111 000 111 000000000000000000000000111111111111111111111111 000 111000000000000000000000000000111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111540000000000000000000000000001111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111112 3969664.73862.53000000111111 66.930000000111111160.33811111100000001111111000000011111110000000000011111111111 53.7338.86511111100000001111111000000011111110000000000011111111111241111110000000111111100000001111111000000000001111111111111111100000001111111000000011111110000000111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111100000001111111 0000000000000000000011111111111111111111000000000001111111111100000000000001111111111111 00000000 11111111 M [kN.m]000000001111111100000000000000000011111111111111111100000000000000000000111111111111111111110000000000000111111111111115.135000000000000000000111111111111111111 31.27 000000000000000000001111111111111111111135.6748.55000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111146.3531.04500000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000111111111111111111111111 24.0 00000000111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111 40.955 000000000000000000000000111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111147.4549.650000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111Q [kN]47.45 48.55 49.6546.35 40.955 31.045 24.0R 1 R 2 R 3 R 4Joonis 10.18. Jätkuvtala omakaalust põhjustatud M, Q epüürid ja toereaktsioonid

10.5 Jätkuvtala arvutus. Näide 10.3 2716A f 3 = 6B f 3 = 6Af 2 = 6Af 2 = 1536 kN · m2 (10.70)6A f 4 = 6B f 4 = ql3 44 = 12·634= 648 kN · m 2Vabaliikmete arvutamiseks võib kasutada GNU Octave’i funktsiooni afbfikt1.m lk 734. Pärasttoemomendi X 0 ja vabaliikmete 6A f i , 6Bf i arvväärtuste (10.70) asetamist võrrandisse (10.17)saame järgmise võrrandisüsteemi:ehk⎡⎢⎣16 8 08 32 80 8 28⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤X 1⎥X 2X 3⎡⎢⎦ = − ⎣153630722040⎤⎥⎦ (10.71)A * X = B (10.72)kusA =⎡⎢⎣16 8 08 32 80 8 28⎤⎥⎦ ; X =⎡ ⎤X 1⎢ ⎥⎣ X 2 ⎦ ;X 3⎡⎢B = − ⎣153630722040⎤⎥⎦ (10.73)Võrrandisüsteemi lahendamist vaata lisast A.10 lk 635.Võrrandisüsteemi (10.71) lahend onX 1 = −62.533 kN · m; X 2 = −66.933 kN · m; X 3 = −53.733 kN · m (10.74)Paindemomendi ja põikjõu epüüri (joonis 10.18) lõigetes 5, 15 ja 25 leiame järgmiste avaldistega:M k = Mk 0 + X i−1 · ξ k ′ + X i · ξ k (10.75)Q k = Q 0 k + ΔMΔx = Q0 k + M paremal − M vasakul(10.76)lkus ξ k ja ξ k ′ on ristlõike k mõõduta kaugused vasakust ja paremast toest (vt joonis 10.3 lk 254).Põikjõu Q k ja ΔM/Δx kohta on selgitus joonisel 1.17 (vt lk 47). SaameM 5 =M 15 =M 25 =12 · 82− 62.53 · 0.5 − 66.93 · 0.5 = 31.27 kN · m812 · 82− 66.93 · 0.5 − 53.73 · 0.5 = 35.67 kN · m812 · 62− 53.73 · 0.5 − 24.0 · 0.5 = 15.135 kN · m (10.77)8Toel 4 on konsooli moment M 4 = −12·2·1 = −24 kN·m. Põikjõud arvutame valemiga (10.76):Q 1 2 = 12 · 82Q 2 1 = − 12 · 82Q 2 3 = 12 · 82−66.93 − (−62.53)+ = 48.0 − 0.55 = 47.45 kN8−66.93 − (−62.53)+ = −48.0 − 0.55 = −48.55 kN8−53.73 − (−66.93)+ = 48.0 + 1.65 = 49.65 kN8

272 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Q 3 2 = − 12 · 82Q 3 4 = 12 · 62Q 4 3 = − 12 · 62−53.73 − (−66.93)+ = −48.0 + 1.65 = −46.35 kN8−24.0 − (−53.73)+ = 36.0 + 4.955 = 40.955 kN6−24.0 − (−53.73)+6= −36.0 + 4.955 = −31.045 kN (10.78)Konsoolis on põikjõud Q (p)4 = 2 · 12 = 24 kN.Jätkuvtala vertikaalsed toereaktsioonid V i (vt joonis 10.18) leiame põikjõu epüüri abil:R 1 = 47.45 = 47.45 kNR 2 = 48.55 + 49.65 = 98.20 kNR 3 = 46.35 + 40.955 = 87.305 kNStaatilise kontrolliga kontrollime jätkuvtala tasakaalu:R 4 = 31.045 + 24.0 = 55.045 kN (10.79)ΣZ = 0; 12 · 24 − 47.451 − 98.20 − 87.305 − 55.045 = 0 (10.80)Järgnevalt vaatleme jätkuvtala (joonis 10.19), kus teine sille on koormatud ajutise koormusega.Sille on koormatud jõududega F b ja F c , mis mõjuvad samaaegselt. Arvutame jätkuvtala(joonis 10.19) vasakpoolsed fookussuhted (10.81), kasutades avaldist (10.42). Saamek 2 = 2k 3 = 2 + l 2l 3(︂2 − 1 k 2)︂= 2 + 8 8k 4 = 2 + l 3l 4(︂2 − 1 k 3)︂= 2 + 8 6(︂2 − 1 )︂= 3.52.0(︂2 − 1 )︂= 4.2857 (10.81)3.5Parempoolsete fookussuhete arvutamiseks kasutame avaldist (10.43). Saamek 4 ′ = ∞k 3 ′ = 2 + l 4(︂2 − 1 )︂= 2 + 6 (2 − 0.0) = 3.5l 3 ∞ 8k 2 ′ = 2 + l 3(︂2 − 1 )︂l 2 k 3′ = 2 + 8 (︂2 − 1 )︂= 3.7143 (10.82)8 3.5Koormusliikmete 6A f 3 , 6Bf 310.1. Leiamearvutamisel kasutame avaldisi (10.15) ja (10.16), mis on ka tabelis6A f 3 = F b l3·ξ 2 b·ξ b′ (︀ 1 + ξ′ )︀b + Fc l3·ξ 2 c·ξ c′ (︀ 1 + ξ′ )︀c == 60 · 8.0 2 · 0.2 · 0.8 · (1 + 0.8) + 40 · 8.0 2 · 0.6 · 0.4 · (1 + 0.4) == 1966.1 kN · m 2 (10.83)6B f 3 = F b l 2 3·ξ b·ξ ′ b (1 + ξ b ) + F c l 2 3·ξ c·ξ ′ c (1 + ξ c ) == 60 · 8.0 2 · 0.2 · 0.8 · (1 + 0.2) + 40 · 8.0 2 · 0.6 · 0.4 · (1 + 0.6) == 1720.3 kN · m 2 (10.84)

10.5 Jätkuvtala arvutus. Näide 10.3 273b)ajutine koormusF b = 60 kNF c = 40 kN10 2000 1100 111 000 1112 12 16 000 1113 26 00 11400 11 k 000 111k3= 3.5 000 111 k =00 112= 24 4.28571.6 mk’ =k’ =4.8 m33.5 k’4=23.71458= 8 m = 8 m = 6 m2 mF b = 60 kNF c = 40 kN0000 11110000 1111V a = 64 kN000 111000 111ξ= 0.2ξ , = 0.8l 2 l 3 l 4.ξξ , = 0.6 000 111000 111= 0.4V b = 36 kN00 1100 116 A f = 1966.1000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 6 B f = 1720.3000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111102.40 115.2057.344 54.886 49.971 45.0600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111128.672000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111147.51465.2290000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111M ep [kN m]000000000000111111111111 34.4610.7500000000000011111111111100000000000000000000000000001111111111111111111111111111000000000000000000011111111111110000000000001111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000111111 00000000000001111111111111 5.5411111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000001111117.5100000011111100000011111165.54Q ep [kN]10.7510.7565.5434.467.517.51R 1 R 2 R 3 R 4Joonis 10.19. Jätkuvtala ajutine koormus teises avasTeise silde koormamisel tekkinud toemomendid arvutame valemitega (10.49) ja (10.50). Nendesesinevad koormusliikmed 6A f i , 6Bf i on juba leitud (vt avaldised (10.83) ja (10.84)). SaameX 2 2 = − 6Af 3 k′ 3 − 6Bf 3· 3.5 − 1720.3l 3 (k 3 k 3 ′ = −1966.1 = −57.344 kN · m (10.85)− 1) 8 · (3.5 · 3.5 − 1)X 3 2 = − 6Bf 3 k 3 − 6A f 3· 3.5 − 1720.3l 3 (k 3 k 3 ′ = −1966.1 = −45.056 kN · m (10.86)− 1) 8 · (3.5 · 3.5 − 1)siin toemomentide X i 2 esimene indeks i näitab toe numbrit, teine indeks 2 näitab, et koormuson teises sildes.Toemomendi X 1 2 saame vasakpoolse fookussuhte k 2 (10.81), (10.42) abilX 1 2 = − X 2 2= − −57.344 = 28.672 kN · m (10.87)k 2 2.0

274 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Toemomenti X 4 2 pole vaja parempoolse fookussuhtega arvutada, sest tugi 4 on liikuv liigendtugi(3.2), milles moment on null X 4 2 = 0.0.Leitud toemomendid kanname joonisele 10.19.Paindemomendi ja põikjõu epüüri (joonis 10.19) lõigetes b ja c leiame järgmiste avaldistega:M k = Mk 0 + X i−1 · ξ k ′ + X i · ξ k (10.88)Q k = Q 0 k + ΔMΔx = Q0 k + M paremal − M vasakul(10.89)lkus ξ k ja ξ k ′ on ristlõike k mõõduta kaugused vasakust ja paremast toest (vt joonis 10.3 lk 254).Põikjõu Q k ja ΔM/Δx kohta on selgitus joonisel 1.17 (vt lk 47). Leiame:M b = M 0 b + X 2 2 · ξ ′ b + X 3 2 · ξ b == 102.40 − 57.344 · 0.8 − 45.06 · 0.2 = 47.514 kN · mM c = M 0 c + X 2 2 · ξ ′ c + X 3 2 · ξ c == 115.20 − 57.344 · 0.4 − 45.06 · 0.6 = 65.229 kN · m (10.90)Q 1 2 =−57.44 − 28.672= −10.75 kN8Q 2 1 = Q 1 2 = −10.75 kNQ 2 b =47.514 − (−57.44)= 65.54 kN1.6Q b 2 = Q 2 b = 65.54 kNQ b c =65.229 − 47.514= 5.54 kN3.2Q c b = Q b c = 5.54 kNQ c 3 =−45.06 − 65.229= −34.46 kN3.2Q 3 c = Q c 3 = −34.46 kNQ 3 4 =0.0 − (−45.06)= 7.516Q 4 3 = Q 3 4 = 7.51 kN (10.91)Jätkuvtala vertikaalsed toereaktsioonid R i (vt joonis 10.19) leiame põikjõu epüüri abil:R 1 = −10.75 kNR 2 = 10.75 + 65.54 = 76.29 kNR 3 = 34.46 + 7.51 = 41.97 kNStaatilise kontrolliga kontrollime jätkuvtala tasakaalu:R 4 = −7.51 kN (10.92)ΣZ = 0; ΣZ = 60.0 + 40.0 + 10.75 − 76.29 − 41.97 + 7.51 = 0 (10.93)Järgnevalt vaatleme jätkuvtala (joonis 10.20), kus kolmas sille on koormatud ajutise koormusega.Sille on koormatud jõuga F a .

10.5 Jätkuvtala arvutus. Näide 10.3 275a)ajutine koormusF a = 80 kN01011 000 111212 16 000 1113 26 000 111401k 000 111000 111000 1112= 2k3.6 m3= 3.5k’2= 3.7145k’3= 3.5k4= 4.2857 k’4=l 2= 8 m l 3 = 8 m l 4 = 6 m 2 m8F a = 80 kN0000 11110000 1111000 111000 11112 16 000 111000 111V a = 32 kNξ = 0.626ξ , 000 111000 111= 0.4V b = 48 kN0000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111116A f = 967.68 000000000000000000000000111111111111111111111111 6B f = 1105.9000000000000000000000000111111111111111111111111115.2037.632000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111115.37600000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110.75200000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100.15M ep [kN.m]00000000001111111111 41.72800000000001111111111000000000011111111116.0480000000000111111111100000000000000000000000000001111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111 000000000000000111111111111111 00000000001111111111Q ep [kN]00000000000000000000000000001111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111112.01600000000000000011111111111111100000000000000011111111111111100000000000000011111111111111138.2720000000000000001111111111111112.016 2.016 6.048 6.048 38.272 41.728R 1 R 2 R 3 R 4Joonis 10.20. Jätkuvtala ajutine koormus kolmandas avasKoormusliikmete 6A f 4 , 6Bf 4toodud ka tabelis 10.1. Saame:arvutamisel kasutame avaldisi (10.15) ja (10.16), mis on6A f 4 = F a l4·ξ 2 a·ξ a′ (︀ 1 + ξ′ )︀a = 80 · 6.02 · 0.4 · 0.6 · (1 + 0.4) = 967.68 kN · m 2 (10.94)6B f 4 = F a l 2 4·ξ a·ξ ′ a (1 + ξ a ) = 80 · 6.0 2 · 0.4 · 0.6 · (1 + 0.6) = 1105.9 kN · m 2 (10.95)Kolmanda silde koormamisel tekkinud vasakpoolse toemomendi arvutame valemiga (10.51),sest selle ava parempoolne fookussuhe on lõpmatus (k 4 ′ = ∞). Parempoolne toemoment onnull (X 3 3 = 0). Koormusliige 6A f 4 on juba leitud (vt avaldis (10.94). Leiame:X 3 3 = − 6Af 4= − 967.68 = −37.632 kN · m (10.96)l 4 · k 4 6 · 4.2857

276 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]siin toemomentide X i 2 esimene indeks i näitab toe numbrit, teine indeks 3 näitab, et koormuson kolmandas sildes.Toemomendid X 2 3 ja X 1 3 saame vasakpoolse fookussuhte k 2 (10.81)abilX 2 3 = − X 3 3= − −37.632 = 10.752 kN · mk 3 3.5(10.97)X 1 3 = − X 2 3= − 10.752 = −5.376 kN · mk 2 2.0(10.98)Leitud toemomendid kanname joonisele 10.20.Paindemomendi ja põikjõu epüüri (joonis 10.20) lõikes 26 leiame järgmiste avaldistega:M 26 = M26 o + X 3 · ξ 26 ′ + X 4 · ξ 26 (10.99)Q k = ΔMΔx = M paremal − M vasakul(10.100)lkus ξ 26 ja ξ 26 ′ on ristlõike 26 mõõduta kaugused vasakust ja paremast toest (vt joonis 10.3 lk254). Põikjõu Q k ja ΔM/Δx kohta on selgitus joonisel 1.32 (vt lk 46). SaameM 26 = M 0 26 + X 3 3 · ξ ′ 26 = 115.20 − 37.632 · 0.4 = 100.15 kN · m (10.101)Q 1 2 =10.752 − (−5.376)= 2.016 kN8.0Q 2 1 = Q 1 2 = 2.016 kNQ 2 3 =−37.632 − 10.752= −6.048 kN8.0Q 3 2 = Q 2 3 = −6.048 kNQ 3 26 =100.15 − (−37.632)= 38.273 kN3.6Q 26 3 = Q 3 26 = 38.273 kNQ 26 4 =0.0 − 100.15= −41.279 kN2.4Q 4 26 = Q 26 4 = −41.279 kN (10.102)Jätkuvtala vertikaalsed toereaktsioonid R i (vt joonis 10.20) leiame põikjõu epüüri abil:R 1 = 2.016 kNR 2 = −2.016 − 6.048 = −8.0640 kNR 3 = 6.048 + 38.272 = 44.320 kNR 4 = 41.278 kN (10.103)Staatilise kontrolliga kontrollime jätkuvtala tasakaalu:ΣZ = 0; ΣZ = 80 − 2.016 + 8.0640 − 44.320 − 41.728 = 0 (10.104)Tehtud arvutusi saab kontrollida arvutiprogrammiga jtalaNBA.m 5 lk 734.5 ./octaveProgrammid/jtalaNBA.Kommentaarid.pdf

10.5 Jätkuvtala arvutus. Näide 10.3 277Järgnevates tabelites on programmiga jtalaNBA.m arvutatud sisejõud alalisest koormusest( ”Sisejõud talas jaotatud koormusest”), sisejõud ajutisest koormusest kolmandas sildes ( ”Sisejõudtalas jõust Fa”) ja sisejõud ajutisest koormusest teises sildes ( ”Sisejõud talas jõududestFb ja Fc”). Nendes tabelites toodud paindemomendi väärtuste põhjal on koostatud suurimateja vähimate paindemomentide tabel ( ”Suurimad ja vähimad paindemomendid”).===================================Sisej~oud talas jaotatud koormusest===================================Jrk x Q M-----------------------------------1 0.00 47.450 -62.5332 0.80 37.850 -28.4133 1.60 28.250 -1.9734 2.40 18.650 16.7875 3.20 9.050 27.8676 4.00 -0.550 31.2677 4.80 -10.150 26.9878 5.60 -19.750 15.0279 6.40 -29.350 -4.61310 7.20 -38.950 -31.93311 8.00 -48.550 -66.93312 8.00 49.650 -66.93313 8.80 40.050 -31.05314 9.60 30.450 -2.85315 10.40 20.850 17.66716 11.20 11.250 30.507===================================Sisej~oud talas j~oust Fa===================================Jrk x Q M-----------------------------------1 0.00 2.016 -5.3762 0.80 2.016 -3.7633 1.60 2.016 -2.1504 2.40 2.016 -0.5385 3.20 2.016 1.0756 4.00 2.016 2.6887 4.80 2.016 4.3018 5.60 2.016 5.9149 6.40 2.016 7.52610 7.20 2.016 9.13911 8.00 2.016 10.75212 8.00 -6.048 10.75213 8.80 -6.048 5.91417 12.00 1.650 35.66718 12.80 -7.950 33.14719 13.60 -17.550 22.94720 14.40 -27.150 5.06721 15.20 -36.750 -20.49322 16.00 -46.350 -53.73323 16.00 40.956 -53.73324 16.60 33.756 -31.32025 17.20 26.556 -13.22726 17.80 19.356 0.54727 18.40 12.156 10.00028 19.00 4.956 15.13329 19.60 -2.244 15.94730 20.20 -9.444 12.44031 20.80 -16.644 4.61332 21.40 -23.844 -7.53333 22.00 -31.044 -24.00034 22.00 24.000 -24.00035 24.00 0.000 0.000-----------------------------------14 9.60 -6.048 1.07515 10.40 -6.048 -3.76316 11.20 -6.048 -8.60217 12.00 -6.048 -13.44018 12.80 -6.048 -18.27819 13.60 -6.048 -23.11720 14.40 -6.048 -27.95521 15.20 -6.048 -32.79422 16.00 -6.048 -37.63223 16.00 38.272 -37.63224 16.60 38.272 -14.66925 17.20 38.272 8.29426 17.80 38.272 31.25827 18.40 38.272 54.22128 19.00 38.272 77.18429 19.60 38.272 100.14730 19.60 -41.728 100.14731 20.20 -41.728 75.11032 20.80 -41.728 50.074

278 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]M [kNm]Jätkuvtala suurimad ja vähimad paindemomendid−15000000000000000000000000001111111111111111111111111ülemine kiud on tõmmatud1111111111111111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111110000000000000000000−100minM1111111111111111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111110000000000000000000−501111111111111111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111110000000000000000000111111111111111111111111100000000000000000000000001111111111111111111111111000000000000000000011111111111111111111111110000000000000000000000000111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111100000000000000000000Mq50maxM000000000000000000000000011111111111111111111111110000000000000000000100alumine kiud on tõmmatud000000000000000000011111111111111111111500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25x [m]Joonis 10.21. Jätkuvtala suurimad ja vähimad paindemomendid33 21.40 -41.728 25.03734 22.00 -41.728 0.00035 22.00 0.000 0.00036 24.00 0.000 0.000-----------------------------------===================================Sisej~oud talas j~oududest Fb ja Fc===================================Jrk x Q M-----------------------------------1 0.00 -10.752 28.6722 0.80 -10.752 20.0703 1.60 -10.752 11.4694 2.40 -10.752 2.8675 3.20 -10.752 -5.7346 4.00 -10.752 -14.3367 4.80 -10.752 -22.9388 5.60 -10.752 -31.5399 6.40 -10.752 -40.14110 7.20 -10.752 -48.74211 8.00 -10.752 -57.34412 8.00 65.536 -57.34413 8.80 65.536 -4.91514 9.60 65.536 47.51415 9.60 5.536 47.51416 10.40 5.536 51.94217 11.20 5.536 56.37118 12.00 5.536 60.80019 12.80 5.536 65.22920 12.80 -34.464 65.22921 13.60 -34.464 37.65822 14.40 -34.464 10.08623 15.20 -34.464 -17.48524 16.00 -34.464 -45.05625 16.00 7.509 -45.05626 16.60 7.509 -40.55027 17.20 7.509 -36.04528 17.80 7.509 -31.53929 18.40 7.509 -27.03430 19.00 7.509 -22.52831 19.60 7.509 -18.02232 20.20 7.509 -13.51733 20.80 7.509 -9.01134 21.40 7.509 -4.50635 22.00 7.509 -0.00036 22.00 0.000 0.00037 24.00 0.000 0.000-----------------------------------Suurimate ja vähimate paindemomentide tabelis ( ”Suurimad ja vähimad paindemomendid”)on alalise koormuse paindemomentidele M q lisatud või lisamata jäetud paindemomendidajutisest koormusest F a ja F b , F c .Tabeli ”Suurimad ja vähimad paindemomendid” andmete põhjal on koostatud suurimate javähimate paindemomentide epüür (joonis 10.21). Epüüril miinusmärgi puhul on tõmmatudtala ülemised kiud ja plussmärgi puhul tala alumised kiud. Tala mõnes ristlõikes on võimalik,et tõmmatud on nii ülemised kiud kui ka alumised kiud.==============================================

10.5 Jätkuvtala arvutus. Näide 10.3 279Suurimad ja vähimad paindemomendid==============================================Jrk x Mq Mmax Min----------------------------------------------1 0.00 -62.53 -33.86 -67.912 0.80 -28.41 -8.34 -32.183 1.60 -1.97 9.50 -4.124 2.40 16.79 19.65 16.255 3.20 27.87 28.94 22.136 4.00 31.27 33.95 16.937 4.80 26.99 31.29 4.058 5.60 15.03 20.94 -16.519 6.40 -4.61 2.91 -44.7510 7.20 -31.93 -22.79 -80.6811 8.00 -66.93 -56.18 -124.2812 8.80 -31.05 -25.14 -35.9713 9.60 -2.85 45.74 -2.8514 10.40 17.67 69.61 13.9015 11.20 30.51 86.88 21.9116 12.00 35.67 96.47 22.2317 12.80 33.15 98.38 14.8718 13.60 22.95 60.60 -0.1719 14.40 5.07 15.15 -22.8920 15.20 -20.49 -20.49 -70.7721 16.00 -53.73 -53.73 -136.4222 16.60 -31.32 -31.32 -86.5423 17.20 -13.23 -4.93 -49.2724 17.80 0.55 31.80 -30.9925 18.40 10.00 64.22 -17.0326 19.00 15.13 92.32 -7.3927 19.60 15.95 116.09 -2.0828 20.20 12.44 87.55 -1.0829 20.80 4.61 54.69 -4.4030 21.40 -7.53 17.50 -12.0431 22.00 -24.00 -24.00 -24.0032 24.00 0.00 0.00 0.00----------------------------------------------

280 10. Jätkuvtalad [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]

11. DeformatsioonimeetodLoeng 1 1 : Kinnitusmomendid. Deformatsioonimeetodi võrrandid.epüürid. Näide 11.1. Loeng 3 3 : Näide. Arvutiprogramm lk 308.Loeng 2 2 : SisejõududeArvutusskeeme, kus sisejõudude leidmiseks ei piisa tasakaaluvõrranditest,nimetatakse staatikaga määramatuteks. Sisejõudude jaotus staatiliselt määramatus varrassüsteemissõltub süsteemi elementide (varraste) elastsetest omadustest. Sisejõududemääramiseks valitakse põhiskeem, kus näidatakse põhiskeemi muutujad. Jõumeetodipuhul olid põhiskeemi muutujateks lisatundmatud (sisejõud kindlates ristlõigetes).Nende lisatundmatute leidmiseks koostati pidevustingimused. Deformatsioonimeetodipuhul on põhiskeemi muutujateks sõlmede pöörded, siirded ja varraste pöörded. Geomeetriliseltmääratud põhiskeemi sõltumatute muutujate arvu nimetatakse geomeetrilisemääramatuse astmeks. Põhiskeemi sõltumatud muutujad leitakse nende sõlmede ja varrastekohta koostatud tasakaaluvõrranditest.Eelmise sajandi 20-ndatel aastatel arendas Asger Skovgaard Ostenfeld 4 deformatsioonimeetodistaatikaga määramatute raamide arvutamiseks. Deformatsioonimeetoditarendas edasi Ludwig Mann 5 ruumiliste raamide arvutamiseks. L. Mann võttis kasutuselepöördenurgameetodi (sks Drehwinkelverfahren), kus tundmatuteks on jäikade sõlmedepöörded ja varraste pöörded. Pöördenurgameetodina käsitletakse deformatsioonimeetoditõpikus [Rää75]. Hiljem arendasid deformatsioonimeetodit Hardy Crossi ja GasparKani. Crossi ja Kani nime all tuntud meetod on iteratiivne meetod ja on seoses arvutustehnikaarenguga vananenud.Järgnevas peatükis vaatleme deformatsioonimeetodit, kus tundmatuteks on jäikadesõlmede pöörded ja siirded. Vaatleme ka pöördenurgameetodit, kus tundmatuteks onjäikade sõlmede ja varraste pöörded. Erinevalt õpikus [Rää75] käsitletust võtame kasutuseleteise märgikokkuleppe (1.19).Teise märgikokkuleppe puhul∙ jäikade sõlmede pöörded φ j , φ k (joonis 11.2) on positiivsed kellaosutite liikumissuunalevastassuunas∙ varda pöörde (sks der Stabdrehwinkel) θ jk (joonis 11.2) positiivne suund on kellaosutiteliikumissuunas [KM04] lk 199, [ME09].1 ./videod/defMetLoeng1.html2 ./videod/defMetLoeng2.html3 ./videod/defMetLoeng3.html4 Asger Skovgaard Ostenfeld, taani ehitusinsener ja Kopenhaageni (Lyngby) Tehnikaülikooli professor,1866–1931.5 Ludwig Mann, mehaanika ja ehituskonstruktsioonide staatika professor Breslau Tehnikakõrgkoolis,1871–1959.281

282 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Vaatleme konstruktsiooni varrast AB (joonis 11.1 a)). Sellele mõjuvate jõududemõjul liigub varras uude asendisse A ′ B ′ . Varda asendi A ′ B ′ saame järgmiste sõltumatutea)c)d)A∆ AAAb)B∆ A ∆ AB∆BABe)BAϕ Af)ϕ BB AL∆ BAϑ AB = ϑ BA= LB∆ A∆ BABBAliikumiste tulemusena:Joonis 11.1. Varda deformatsioon∙ varda mõlemad otsad siirduvad ühe ja sama suuruse võrra ∆ A (joonis 11.1 b))∙ ühe varda otsa siire on risti varda teljega, näiteks varda otsa B ′′ siirdumine punktiB ′ (joonis 11.1 e)). Varda otsa siire on ∆ BA ja pööre θ AB∙ varda otsa A ′ pööre nurga φ A võrra. Varda elastse joone kuju on joonisel (joonis11.1 c))∙ varda otsa B ′ pööre nurga φ B võrra. Varda elastse joone kuju on joonisel (joonis11.1 d))∙ varda telje punktide siirded. Varda otsad ei siirdu ega pöördu (joonis 11.1 f)).Paindemomendid M jk ja M kj arvutatakse varda otste ristlõigetes koormusest tekkivapaindemomendi M (p) (p)jk , M kj ja sõlmede j , k pöörete φ j , φ k ning varda pöördest θ jktekkivate paindemomentide summeerimisega.Varda mõlemad otsad j ja k on jäigalt kinnitatud:siin i jk on varda j–k jäikusM jk = 4 · i jk · φ j + 2 · i jk · φ k + 6 · i jk · θ jk + M (p)jkM kj = 2 · i jk · φ j + 4 · i jk · φ k + 6 · i jk · θ jk + M (p)kj(11.1)i jk = EIl jk(11.2)

11.1 Kinnitusmoment sõlme ja varda pöördest 283kus EI on ristlõikejäikus,l jk – varda pikkus.Siin ei ole summeerimist indeksite j ja k järgi.Kinnitusmomendid on toodud tabelites H.1, 11.2 (II märgikokkulepe).Varda ots j on jäigalt kinnitatud, otsas k on liigend:M jk = 3 · i jk · φ j + 3 · i jk · θ jk + M (p)jkM kj = 0(11.3)Siin ei ole summeerimist indeksite j ja k järgi.Kinnitusmomendid on toodud tabelites H.1, 11.2Varda jäikade sõlmede pöörded τ j ja τ k avaldame pöörete φ j , φ k ning θ jk kaudu (vtjoonis 11.2):[︃ ]︃ [︃ ]︃ ⎡ ⎤φτj 1 0 1j⎢ ⎥=⎣ φτ k 0 1 1 k ⎦ (11.4)θ jkkus varda j–k pöördenurk θ jk avaldub varda otste siirete w k ja w j kaudu:θ jk = w k − w jl(11.5)11.1 Kinnitusmoment sõlme ja varda pöördestKinnitusmomentide leidmiseks lähtume tala diferentsiaalvõrrandist (11.6)d 4 wdx = q4 EI(11.6)ϕ, Mz, wϑa)x, uwj0101010101jϕ jϕ jM kj000 111000 111000 111 000 111000 111 000 111000 11100 1100 111100110000 1100 11k00 1100 1100 1100 11lϕ k−ϑ kjτ j−ϑjk τkϕ kϕ jM w w =jk ϑk jjk =+l ϕ k=ϑ jkϑ kj−ϑ jk−ϑ kj+τ j+τkxwkb)wjϕ j 000 111τj−ϑjk00 1100 1100 11w w ϕ j= −ϑ jk+τϑk jjjk =+l00 1100 1100 1100 11M jk0101010101jlϕ jk000 111000 111wxk=Joonis 11.2. Momentide ja varraste pöördesuunad

284 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Sõlmede ja varraste pööretest tekkinud kinnitusmomentide leidmiseks integreerime homogeensetdiferentsiaalvõrrandit (q/EI = 0):d 4 wdx 4 = 0 (11.7)d 3 wdx 3 = C 1 (11.8)d 2 wdx 2 = C 1 x + C 2 (11.9)dwdx = C x 212 + C 2x + C 3 (11.10)x 3w = C 16 + C x 222 + C 3x + C 4 (11.11)Meid huvitavad rajatingimused on toodud tabelis 11.1. Neli konstanti (C i , i = 1, 2, 3, 4)määrame neljast rajatingimustest.Tabel 11.1. Rajatingimused sõlme ja varda pööretestSkeem x = 0 x = l00 11 M00 11 j jk00 1100 1100 11x=0EI = constlM kj0101010101x=lkw = w jdwdx = −φ jw = w kdwdx = −φ k00 1100 11j00 1100 1100 11x=0M jkEI = constlk000 111x=lw = w jw = w kdw= −φ dx j M kj = 011.1.1 Mõlemast otsast jäigalt kinnitatud varrasTala, mille mõlemad otsad on jäigalt kinnitatud, rajatingimused on tabelis 11.1. Homogeensediferentsiaalvõrrandi lahendeid (11.7) – (11.11) kasutades saame konstantide(C i , i = 1, 2, 3, 4) määramiseks järgmised võrrandid:w j = C 4 (11.12)−φ j = C 3 (11.13)w k = C 1l 3 6 + C 2l 2 2 + C 3l + C 4 (11.14)−φ k = C 1l 2 2 + C 2l + C 3 (11.15)

11.1 Kinnitusmoment sõlme ja varda pöördest 285Võrrandid (11.12) – (11.15) esitame võrrandisüsteemina⎡l 3 6⎢⎣l 2 l 12l 2 l 1 020 0 1 00 0 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎡⎦ = ⎢⎣w k−φ k−φ jw j⎤⎥⎦(11.16)Võrrandisüsteemi saame teisendada kujule⎡⎢⎣− l3 0 0 0120 l 0 00 0 1 00 0 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎡⎦ = ⎢⎣w k − w j + l φ 2 j + l φ 2 k6 w k−w j+ 4φlj + 2φ k−φ jw j⎤⎥⎦(11.17)Nüüd avaldame konstandid C i⎡⎢⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎡⎦ = ⎢⎣(︁− 12 wk −w jl(︁ 2 l1l 6w k −w jl)︁+ 1φ 2 j + 1φ 2 k)︁+ 4φ j + 2φ k−φ jw j⎤⎥⎦(11.18)Arvestades seost (11.5), saame⎡⎢⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎡⎦ = ⎢⎣(︁θjk + 1φ 2 j + 1φ 2 k(6θ l jk + 4φ j + 2φ k )−φ jw j− 12l 21)︁⎤⎥⎦(11.19)Paindemomendi avaldisest (1.53) saame= 12EI yl 2d 2 wM y (x) = −EI ydx = −EI 2 y (C 1 x + C 2 ) =(︂θ jk + 1 2 φ j + 1 2 φ k)︂x − EI y(6θ jk + 4φ j + 2φ k ) (11.20)lKinnitusmomendi M jk avaldamisel kohal x = 0 arvestame II märgikokkuleppegaM jk = −M y (x = 0) = EI yl(4φ j + 2φ k + 6θ jk ) (11.21)M kj = M y (x = l) = EI yl(2φ j + 4φ k + 6θ jk ) (11.22)Tabelis 11.2 ”Kinnitusmomendid ja põikjõud. II märgikokkulepe” on need momendidesitatud kinnitusmomentidena M jk ja M kj .

286 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]11.1.2 Ühest otsast jäigalt kinnitatud varrasTala, mille vasak ots on jäigalt kinnitatud ja paremal pool otsas on liigend, rajatingimusedon toodud tabelis 11.1. Homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendeid (11.7)– (11.11) kasutades saame konstantide (C i , i = 1, 2, 3, 4) määramiseks järgmised võrrandidw j = C 4 (11.23)−φ j = C 3 (11.24)w k = C 1l 3 6 + C 2l 2 2 + C 3l + C 4 (11.25)M kj = EI y (C 1 l + C 2 ) = 0 (11.26)Võrrandid (11.23) – (11.26) esitame võrrandisüsteemina⎡l 3 6⎢⎣l 2 l 12l 1 0 00 0 1 00 0 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎡⎦ = ⎢⎣w k0−φ jw j⎤⎥⎦(11.27)Võrrandisüsteemi saame teisendada kujule⎡⎢⎣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎡⎦ = ⎢⎣3 w j−w k+ 3 1 φl 3 l 2 j− 3 1φ l 2 l j−φ jw j−3 w j−w k⎤⎥⎦(11.28)Konstandid C i on järgmised⎡⎢⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎡⎦ = ⎢⎣3 w j−w k+ 3 1 φl 3 l 2 j− 3 1φ l 2 l j−φ jw j−3 w j−w k⎤⎥⎦(11.29)Arvestades seost (11.5), saame⎡⎢⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎡⎦ = ⎢⎣3 θ jk+ 3 1 φl 2 l 2 j−3 θ jk− 3 1φ l l j−φ jw j⎤⎥⎦(11.30)Paindemomendi avaldisest (1.53) saameM y (x) = −EI yd 2 wdx 2 = −EI y (C 1 x + C 2 ) == − 3EI yl 2(θ jk + φ j ) x + 3EI yl(θ jk + φ j ) (11.31)

11.2 Varda kinnitusmomendid koormustest 287Kinnitusmomendi M jk avaldamisel kohal x = 0 arvestame II märgikokkuleppegaM jk = −M y (x = 0) = EI yl(3φ j + 3θ jk ) (11.32)M kj = M y (x = l) = 0 (11.33)Tabelis 11.2 ”Kinnitusmomendid ja põikjõud. II märgikokkulepe” on need momendidesitatud kinnitusmomentidena M jk ja M kj .11.2 Varda kinnitusmomendid koormustestVarda kinnitusmomentide arvutamiseks koormustest kasutame jõumeetodit.11.2.1 Ühtlane koormus q. Jäigad sõlmedJoonisel 11.3 on mõlemast otsast jäigalt kinnitatud tala, mis on koormatud ühtlaseltjaotatud koormusega q. Tala ristlõikejäikus EI on konstantne. Valime põhiskeemi, kustundmatuteks on toemomendid X 1 ja X 2 .q0100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 00 1101010000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111112l0000 1111q X 200000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 2000 111 l00 11X 1q00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110000 1111 000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 2 00 110000 111100 11o0000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 M p00000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111ql 28000 11112 00 11000 11100 11X 1 = 110000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 m 10000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111X 2 = 11 2000 111 00 11m00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 20000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111Joonis 11.3. Ühtlane koormus q. Jäigad sõlmedArvutame jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemi[︃δ11 δ 12δ 21δ 22]︃ [︃X1X 2]︃+[︃ ]︃ [︃∆1p 0=∆ 2p 0]︃(11.34)kordajad:EIδ 11 =∫︁ l0m 1 m 1 ds = l 3

288 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Võrrandisüsteemilahend onEIδ 22 =∫︁ l0∫︁ lm 2 m 2 ds = l 3EIδ 12 = m 1 m 2 ds = − l06EIδ 21 = EIδ 12∫︁ lEI∆ 1p = m 1 Mp 0 ds = − 2 ql 203 8 l1 2 = −ql3 24∫︁ lEI∆ 2p = m 2 Mp 0 ds = 2 ql 203 8 l1 2 = ql324[︃l− l ]︃ [︃ ]︃ [︃ ql 3 ]︃X13 6− l l =24X6 3 2 − ql324[︃ ]︃X1X 2=[︃ ql 212− ql212Kinnitusmomendi kanname tabelitesse H.2, 11.2.]︃(11.35)(11.36)(11.37)11.2.2 Ühtlane koormus q. Jäik sõlm vasakulJoonisel 11.4 on vasakust otsast jäigalt kinnitatud tala, mis on koormatud ühtlaseltjaotatud koormusega q. Tala ristlõikejäikus EI on konstantne. Valime põhiskeemi, kustundmatuks on toemoment X 1 .qq010000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111010000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111121 201l 00 11 000 111 l00 11X 1q00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110000 1111 000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 2 00 110000 111100 11o0000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 M p00000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111ql 28000 11112 00 11000 11100 11X 1 = 1 1 0000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 m 10000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111Joonis 11.4. Ühtlane koormus q. Jäik sõlm vasakulJõumeetodi kanoonilise võrrandikordajad onEIδ 11 =EI∆ 1p =δ 11 X 1 + ∆ 1p = 0 (11.38)∫︁ l0∫︁ l0m 1 m 1 ds = l 3m 1 Mp 0 ds = − 2 ql 23 8 l1 2 = −ql3 24(11.39)(11.40)

11.2 Varda kinnitusmomendid koormustest 289Võrrandilahend onl3 X 1 = ql324X 1 = ql28Kinnitusmomendi kanname tabelitesse H.3, 11.2.(11.41)(11.42)11.2.3 Ühtlane koormus q. Jäik sõlm paremalJoonisel 11.5 on paremast otsast jäigalt kinnitatud tala, mis on koormatud ühtlaseltjaotatud koormusega q. Tala ristlõikejäikus EI on konstantne. Valime põhiskeemi, kustundmatuks on toemoment X 1 .qq X 100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111121 2l000000 111100 1111000 111 l00 11qX000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 = 1000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110000 1111 000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 2 00 11000 1111 2 00 110000 111100 11000 11100 11o 000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 M m 1 p 00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111ql 21000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111118Joonis 11.5. Ühtlane koormus q. Jäik sõlm paremalJõumeetodi kanoonilise võrrandikordajad onδ 11 X 1 + ∆ 1p = 0 (11.43)Võrrandilahend onEIδ 11 =EI∆ 1p =∫︁ l0∫︁ l0m 1 m 1 ds = l 3m 1 Mp o ds = 2 ql 23 8 l1 2 = ql324l3 X 1 = − ql324X 1 = − ql28Kinnitusmomendi kanname tabelitesse H.4, 11.2.(11.44)(11.45)(11.46)(11.47)

290 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]11.2.4 Koondatud jõud F. Jäigad sõlmedJoonisel 11.6 on mõlemast otsast jäigalt kinnitatud tala, mis on koormatud jõuga F.Tala ristlõikejäikus EI on konstantne. Valime põhiskeemi, kus tundmatuteks on toemomendidX 1 ja X 2 .0101011a = ξ lFlb = η l2000000 111111F X 21 2000 111 l00 11X 1F0000 11111 2 00 110000 111100 1100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 o00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111M p0000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111ξη Fl000 11112 00 11000 11100 11X 1 = 1100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111η00000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 m 10000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111X 2 = 11 2000 111 00 11m000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 2ξ100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111Joonis 11.6. Koondatud jõud F. Jäigad sõlmedArvutame jõumeetodi kanoonilise võrrandisüsteemi[︃δ11 δ 12δ 21δ 22]︃ [︃X1X 2]︃+[︃ ]︃ [︃∆1p 0=∆ 2p 0]︃(11.48)kordajad:EIδ 11 = ∫︀ l0 m 1m 1 ds = l 3EIδ 22 = ∫︀ l0 m 2m 2 ds = l 3EIδ 12 = ∫︀ l0 m 1m 2 ds = − l 6EIδ 21 = EIδ 12EI∆ 1p = ∫︀ l0 m 1Mp o ds == − ξl6(︁0 · 1 + 4ξηF l 1+η2= − 1 3 ξηF l2 ⎛⎜⎝ 1 2+ ξηF lη )︁ − ηl2⎞⎟ξ + η (ξ + η) ⎠⏟ ⏞=1ξηF l3 η =(11.49)

11.2 Varda kinnitusmomendid koormustest 291VõrrandisüsteemiEI∆ 2p = ∫︀ l0 m 2Mp o ds == ξlξηF l ηlξ +3 6⎛(︂= 1ξηF 3 l2 ⎜⎝ ξ(︁ξηF lξ + 4ξηF l 1+ξ+ 0 · 1 )︁ =2 2⎞ξ + 1 )︂2 η + 1η ⎟2⏟ ⏞=1⎠[︃l− l 3 6− l l6 3]︃ [︃ ]︃ ⎡X1= ⎣X 21ξηF (︁ ⎤3 l2 1ξ + η)︁2− 1ξηF (︁ 3 l2 ξ + 1 2 η)︁⎦ (11.50)lahend onX 1= ξη2 F lX 2 −ξ 2 ηF l(11.51)Kinnitusmomendi kanname tabelitesse H.2, 11.2.11.2.5 Koondatud jõud F. Jäik sõlm vasakulJoonisel 11.7 on vasakult otsast jäigalt kinnitatud tala, mis on koormatud jõuga F. Talaristlõikejäikus EI on konstantne. Valime põhiskeemi, kus tundmatuks on toemomentX 1 .0101011a = ξ lFlb = η l200 11F1 2000 111 l00 11X 1F0000 11111 2 00 110000 111100 1100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 o00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 M p0000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111ξη Fl000 11112 00 11000 11100 11X 1 = 1 1 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111η00000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111 m 10000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111Joonis 11.7. Koondatud jõud F. Jäik sõlm vasakulJõumeetodi kanoonilise võrrandiδ 11 X 1 + ∆ 1p = 0 (11.52)

292 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]kordajad:EIδ 11 = ∫︀ l0 m 1m 1 ds = l 3EI∆ 1p = ∫︀ l0 m 1Mp o ds == − ξl6(︁0 · 1 + 4ξηF l 1+η2= − 1 3 ξηF l2 ⎛⎜⎝ 1 2+ ξηF lη )︁ − ηl2⎞⎟ξ + η (ξ + η) ⎠⏟ ⏞=1Võrrandisl3 X 1 = 1 (︂ )︂ 13 ξηF l2 2 ξ + ηteeme asenduse ξ = 1 − η. Nüüd saame lahendiksξηF l3 η =(11.53)(11.54)Kinnitusmomendi kanname tabelitesse H.3, 11.2.X 1 = 1 2 η (︁ 1 − η 2)︁ F l (11.55)11.2.6 Koondatud jõud F. Jäik sõlm paremalJoonisel 11.8 on paremalt otsast jäigalt kinnitatud tala, mis on koormatud jõuga F. Talaristlõikejäikus EI on konstantne. Valime põhiskeemi, kus tundmatuks on toemomentX 1 .FFX 11a = ξ l2b = η l0000 11111 200 1100 11000 111 l00 11lF0000 11111 2 00 110000 111100 1100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 o00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 M p0000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111ξη FlX 1 = 1000 1111 2 00 11000 11100 1100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 m0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1ξ00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111 100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111Joonis 11.8. Koondatud jõud F. Jäik sõlm paremalJõumeetodi kanoonilise võrrandikordajad:δ 11 X 1 + ∆ 1p = 0 (11.56)EIδ 11 = ∫︀ l0 m 1m 1 ds = l 3EI∆ 1p = ∫︀ l0 m 2Mp o ds =(︁ξηF l ηl= ξl ξ +3 6 ξηF lξ + 4ξηF l 1+ξ+ 0 · 1 )︁ (11.57)=2 2= 1ξηF (︁ 3 l2 ξ + 1 2 η)︁

11.3 Geomeetrilise määramatuse aste 293Võrrandis⎛⎞l3 X 1 = − 1 (︂3 ξηF l2 ⎜⎝ ξ ξ + 1 )︂2 η + 1 ⏟ ⏞2 η ⎟⎠=1teeme asenduse η = 1 − ξ. Nüüd saame lahendiks(11.58)Kinnitusmomendi kanname tabelitesse H.4, 11.2.X 1 = − 1 2 ξ (︁ 1 − ξ 2)︁ F l (11.59)11.3 Geomeetrilise määramatuse asteSirgetest varrastest moodustatud raami geomeetrilise määramatuse aste, st lisatundmatutearv, leitakse valemigan = n s + n v (11.60)kus n s on arvutusskeemi vabade jäikade sõlmede (need ei ole toesõlmed) arv,n v – varraste pööret takistavate sidemete arv (üksteisest sõltumatud, pööret takistavadsidemed) varrasahelas. Geomeetrilise määramatuse aste (11.60) võrdub jäikade sõlmede(ilma toesõlmedeta) arvuga.Raamide varrasahela pöörded leitakse poolusplaanist (joonis 3.12). Näites 3.1 (lk89) on leitud raami varrasahela varraste pöördenurkade vahelised seosed.11.4 Geomeetriliselt määratud põhiskeemGeomeetriliselt määratud põhiskeem saadakse lisasidemete asetamisega arvutusskeemile.Näiteks asetatakse raami jäika sõlme, mis ei ole toesõlm, pööret takistav side.See side ei takista sõlme siiret, st on nn ujuvside. Raami varraste pöördumist takistavside pannakse varrasahela ühele vardale.11.5 Deformatsioonimeetodi võrrandidLähtume teisest märgikokkuleppest, kus∙ jäikade sõlmede pöörded φ j , φ k (joonis 11.2) on positiivsed vastupidi kellaosutiteliikumissuunale∙ varda pöörde (sks der Stabdrehwinkel) θ jk (joonis 11.2) positiivne suund on kellaosutiteliikumissuunas 6 [KM04] lk 199, [ME09].6 http://www.uni-siegen.de/fb10/subdomains/baustatik/lehre/bst/unterlagen_unvertieft/wgv/wgv_stabendkraftgroessen_062009.pdf

294 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Ühe vabadusastmega varrasahelas (joonis 11.10) avaldame varraste pöörded θ jk ühevarda pöörde kaudu (näit varda a–c pööre θ a−−c kaudu). Nimetame selle varda pööretbaasvarda pöördeks.Võrrandisüsteemis tundmatu pöörde ψ 1 positiivse suuna võtame kellaosutite liikumissuunas(joonis 11.10). Varrasahela varraste pöörded avaldame baasvarda pöördeθ ac = ψ 1 kaudu:θ ac = ψ 1 , θ ab = −0.5θ ac = −0.5ψ 1 , θ bd = θ ac = ψ 1 (11.61)Virtuaaltöö δW koosneb sisejõudude virtuaaltööst δW s , välisjõudude virtuaaltööstδW v ja rajajõudude virtuaaltööst δW r . Energia teoreemi põhjal (vt 7.1) on nende töödesumma võrdne nulliga:δW = δW s + δW v + δW r = 0 (11.62)Piirdume juhuga, kui rajajõudude virtuaaltöö δW r = 0, st puudub toe vajumine:δv T i s i + δv T i S i = 0 (11.63)siin v i on geomeetriliselt määratud põhiskeemi (joonis 11.9) sidemete siirded φ j japöörded θ k . Näitekss i on sidemes i mõjuv reaktsioonimoment. Näiteksv T i = [φ a φ b ψ 1 ] (11.64)s i = r ia φ a + r ib φ b + r i1 ψ 1 (11.65)S i on sidemes i mõjuv moment väliskoormusesest. NäiteksAvaldis (11.63) kehtib ka sel juhul, kui δv i ≠ 0. Seega,Võrrand (11.67) lahtikirjutatult onS i = r ip (11.66)s i + S i = 0 (11.67)(a) r aa φ a + r ab φ b + . . . + r a1 ψ 1 + . . . + r ap = 0(b) r ba φ a + r bb φ b + . . . + r b1 ψ 1 + . . . + r bp = 0(i) . . . + . . . + . . . + . . . + . . . + . . . = 0(1) r 1a φ a + r 1b φ b + . . . + r 11 ψ 1 + . . . + r 1p = 0(2) . . . + . . . + . . . + . . . + . . . + . . . = 0(11.68)Vaatleme joonisel 11.11 sideme (a) reaktsioonijõudude virtuaaltööd δW (a) virtuaalpöördelδφ aδW (a) = (r aa φ a + r ab φ b + r a1 ψ 1 + r ap ) δφ a = 0 (11.69)

11.5 Deformatsioonimeetodi võrrandid 2954 m20 kN/m0000000000000000000000011111111111111111111111a IbF = 40 kNe3 mI EI = constcd00 116 m00 113 mI10000 11110000 11110000 11110000 1111abPõhiskeemcd00 11 00 11Joonis 11.9. Kaldpostiga raami põhiskeemVõtame raami varda a–c jäikuse i ac baasjäikuseks i 0 , mille kaudu avaldame teiste varrastejäikused. Raami varda baaspöördenurgaks θ 0 võtame varda pöördenurga θ ac = ψ 1 ,mille kaudu avaldame teiste varraste pöördenurgad varrasahelas:i ac = i 0 = 3.0θ ac = θ 0 = ψ 1(11.70)Arvestades seoseid (11.70) ja joonist 11.11, leiame võrrandi (11.69) kordajate r aa , r ab ,r a1 ja r ap väärtused:r aa = Mac a + Mab a = 3i ac + 4i ab = 3 · 3.0 + 4 · 2.0 = 17.000 kN·mr ab = Mab b = 2i ab = 3 · 2.0 = 4.000 [m](11.71)Peapoolus(ab,0)i ovarda baasjäikusϑ ac= ψ 1 baasvarda pöörea) b)ai abi = i = 3ac= 2/3 i o=2obϑ ab= −0.5ϑ acϑ ac= ψ 1ϑ bd= ϑ aci bd = 4/5 i o = 2.4cd cϑ = +d000 111 000 111 000 111 00 11Peapoolus (ac,0)Peapoolus (bd,0)Joonis 11.10. Kaldpostiga raami varrasahelaa’bb’

296 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]r a1 = M 1 ac + M 1 ab = 3i ac θ ac + 6i ab θ ab == 3 · 3.0 · 1.0 − 6.0 · 2.0 · 0.5 = 3.000 kN·mr ap = Mac o + Mab o = − 1ξ (1 − 2 ξ2 ) F h + ql2 12= − 1 · 0.75 (1 − 2 0.752 ) 40 · 4.0 + 20.0·6212= 33.750 kN·m(11.72)Sideme (b) reaktsioonijõudude (joonis 11.11) virtuaaltöö δW (b) virtuaalpöördel δφ bδW (b) = (r ba φ a + r bb φ b + r b1 ψ 1 + r bp ) δφ b = 0 (11.73)Arvestades seoseid (11.70) ja joonist 11.11, leiame võrrandi (11.69) kordajate r ba , r bb ,r b1 ja r bp väärtused:r ba = Mba a = 2i ab = 3 · 2.0 = r ab = 4.000 kN·mr bb = Mba a + Mad b = 4i ab + 4i ad == 4 · 2.0 + 4 · 2.4 = 17.600 kN·mr b1 = Mba 1 + Mad 1 = 6i ab θ ab + 6i ad θ ad == −6 · 2.0 · 0.5 + 6.0 · 2.4 · 1.0 = 8.400 kN·mr bp = M o ba + M o bd = − 20.0·6212+ 0 = −60.000 kN·m(11.74)Sideme (1) reaktsioonijõudude (joonis 11.11) virtuaaltöö δW (1) virtuaalpöördel δψ 1δW (1) = (r 1a φ a + r 1b φ b + r 11 ψ 1 + r 1p ) δψ 1 = 0 (11.75)Arvestades seoseid (11.70) ja joonist 11.11, leiame võrrandi (11.69) kordajate r 1a ,r 1b , r 11 ja r 1p väärtused:r 1a = Macθ ac + Mabθ ab = 3i ac θ ac + 6i ab θ ab =(11.76)= 3 · 3.0 · 1.0 − 6.0 · 2.0 · 0.5 = 3.000 kN·mr 1b = M baθ ab + M b adθ ad = 6i ab θ ab + 6i ad θ ad == −6 · 2.0 · 0.5 + 6.0 · 2.4 · 1.0 = 8.400 kN·m(11.77)r 11 = 3i ac θ 2 ac + 12i ab θ 2 ab + 12i bd θ 2 bd == 3 · 3.0 · 1.0 2 + 12 · 2.0 · (−0.5) 2 + 12 · 2.4 · 1.0 2 = 43.800 kN·m (11.78)r 1p = (Mac o + Mca o − F a·) θ ac + (︁ Mab o + Mba o − 1 2 ql2)︁ θ ab == (︁ − 1ξ (1 − 2 ξ2 ) F h + 0 − F a·)︁θ ac + (︁ ql 2− ql2 − 1 12 12 2 ql2)︁ θ ab == (︁ − 1 · 0.75 (1 − 2 0.752 ) 40 · 4.0 + 0 − 40.0 · 3.0 )︁ · 1.0++ (︁ 20.0·6 212− 20.0·6212− 1 2 20 · 6.02)︁ · (−0.5) = 33.750 [kNm 2 ](11.79)Võrrandisüsteemi kordaja r 11 leidmiseks kasutasime avaldistn∑︁m∑︁r 11 = 3i jk θ 2 jk + 12i jk θ 2 jk (11.80)jk=1jk=1

11.5 Deformatsioonimeetodi võrrandid 297kus n on pöördunud varraste arv, mille ühes otsas on liigend (kordaja on 3),m – varraste arv, mille mõlemad otsad on jäigalt kinnitatud (kordaja on 12).Avaldises 11.80 varraste pöördenurgad θ jk avaldatakse baasvarda pöördenurga (vt avaldist(11.61)) kaudu.r aar aba1000 111000 111000 111000 111000 111ϕ a= 1r bacd00 11 000 111a000 111000 111000 111000 111000 1111r bbbbr aaaM aca(a) Sõlme a pööreϕ = 1bϕ = 1baM ab0000 11110000 111110000 11110000 11110000 1111ϕ a= 1aM ab = 4i abM a ba = 2i abM a bacaM ac=3i acd000 111 000 111cdc M b bd = 4i bdd00 11 000 111 000 111 M b 000 111db = 2i bdr aba(b) Sõlme b pöörebM ab0000 11110000 111110000 11110000 11110000 1111= 1 ϕ bbM ab = 2i abbM ba= 4iabr b1ψ 1= 11r a1b r1 Ma1aM ba rabb1baϑ ab= − 0.5ϑ ac11M Mϑ ac= ψac ab= 6i abϑ ab1110000 11110000 1111 M M0000 1111 10000 11110000 1111 ϑ bd= ϑ1 ba= 6i abϑ ab bd0000 11110000 1111ac0000 11111r10000 111111 0000 1111M bd = 6i bd ϑ bdM dbcdc1M db = 6i bd ϑ bd d00 11 000 111 00 11 1000 111M ac= 3i acϑ ac(c) Varda a–c pööreM a babM b bdbr bar bbM b dbh = 4 mr ap000000000000000000000000111111111111111111111111q = 20 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111F = 40 kN aber 1p0000 1a* = 3 m00 11c00 11ξ = a*/hrbp00 11d00 11r0apa0M ac0000 11110000 111111111 0000 11110000 11110000 11110000 1111r 1p 0000 11110000 1111000 111c000 111M ab0 2M ab=ql /120 20M baM ba= − ql /120M bd = 0M 0 = 0db0Mac0M bd2b= − 1/2ξ(1 − ξ )(d) NullolukordJoonis 11.11. Kaldpostiga raami koormusolukorradrbpFh0M dbd000111000 111

298 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Võrrandisüsteemi kordaja r 1p leiame avaldisestr 1p =n∑︁ (︁ )︁M0jk + Mkj 0 + S kj θjk (11.81)jksiin on n koormatud (jõuga F, koormusega q) ja pöördunud varraste arv,M 0 jk ja M 0 kjk – varda j–k otstes olevad kontaktjõud,θ jk – varraste pöördenurgad, mis avaldatakse baasvarda pöördenurga (vt avaldi (11.61))kaudu,S kj – staatiline moment, mis on vardale j–k mõjuva koormuse (jõud F, koormus q)moment varda peapooluse (joonis 11.10) suhtes. Staatilise momendi positiivne suund onvastupidine kellaosutite liikumissuunale.Joonisel 11.9 näidatud raami deformatsioonimeetodi kanooniline võrrandisüsteemon toodud avaldisega:⎡⎢⎣⎤r aa r ab r a1⎥r ba r bb r b1 ⎦r 1a r 1b r 11⎡⎢⎣⎤φ a⎥φ bψ 1⎦ +⎡⎢⎣⎤r ap⎥r bpr 1p⎦ = 0 (11.82)Võrrandisüsteemi (11.82) esimese võrrandi kordajate arvulised väärtused on leitud avaldisega(11.71), teise võrrandi kordajate arvulised väärtused on leitud avaldisega (11.74),kolmanda võrrandi kordajate arvulised väärtused on leitud avaldistega (11.76), (11.77),(11.78) ja (11.79). Need arvulised väärtused kanname võrrandisüsteemi (11.82):⎡⎢⎣17.000 4.000 3.0004.000 17.600 8.4003.000 8.400 43.800⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤φ a⎥φ bψ 1⎦ +⎡⎢⎣33.750−60.00033.750⎤⎥⎦ = 0 (11.83)Võrrandisüsteemi (11.83) vabaliikmete kordajad moodustavad sümmeetrilise maatriksi.Võrrandisüsteemi (11.83) lahend (vt lisa A.10) on toodud avaldisega⎡⎢⎣⎤φ a⎥φ bψ 1⎦ =⎡⎢⎣−2.84394.7665−1.4899⎤⎥⎦ (11.84)Koostatud võrrandisüsteemi kontrollimiseks kasutame GNU Octave’i programmidefRaamN.m 7 8 .7 ./octaveProgrammid/defRaamN.m8 ./octaveProgrammid/defRaamN.Kommentaarid.pdf

11.6 Sisejõudude epüüride konstrueerimine 29911.6 Sisejõudude epüüride konstrueeriminePärast lisatundmatute φ a , φ b ja ψ 1 leidmist arvutatakse varda mõlemas otsas paindemomendid.Näiteks joonisel 11.9 toodud raami paindemomendid varraste otstes arvutataksejärgmiselt:M ac = Macφ a + Macφ b b + Macψ 1 1 + Mac o == 3 · i ac · φ a + 0 · φ b + 3 · i ac · θ ac · ψ 1 − 1 · 0.75 (1 − 2 0.752 ) · 40 · 4.0 =(11.85)= 3 · 3.0 · (−2.8439) + 0 · 4.7665 + 3 · 3.0 · 1.0 · (−1.4899) − 26.250 == −65.254 kN·mM ab = Mabφ a + Mabφ b b + Mabψ 1 1 + Mab o == 4 · i ab · φ a + 2 · i ab · φ b + 6 · i ab · θ ab · ψ 1 + 1 12 6.02 =(11.86)= 4 · 2.0 · (−2.8439) + 2 · 2.0 · 4.7665 + 6 · 2.0 · (−0.5) · (−1.4899) + 60.0 == 65.254 kN·mM ba = Mbaφ a a + Mbaφ b + Mbaψ 1 1 + Mba o == 2 · i ab · φ a + 4 · i ab · φ b + 6 · i ab · θ ab · ψ 1 − 1 12 6.02 =(11.87)= 2 · 2.0 · (−2.8439) + 4 · 2.0 · 4.7665 + 6 · 2.0 · (−0.5) · (−1.4899) − 60.0 == −24.304 kN·mM bd = Mbdφ a a + Mbdφ b + Mbdψ 1 1 + Mbd o == 0 · φ a + 4 · i bd · φ b + 6 · i bd · θ bd · ψ 1 + 0.0 =(11.88)= 0 · (−2.8439) + 4 · 2.4 · 4.7665 + 6 · 2.4 · 1.0 · (−1.4899) + 0.0 == 24.304 kN·mM db = Mdbφ a a + Mdbφ b b + Mdbψ 1 1 + Mdb o == 0 · φ a + 2 · i bd · φ b + 6 · i bd · θ bd · ψ 1 + 0.0 =(11.89)= 0 · (−2.8439) + 2 · 2.4 · 4.7665 + 6 · 2.4 · 1.0 · (−1.4899) + 0.0 == 1.4246 kN·mLeitud paindemomendid varraste otstes on vastavuses teise märgikokkuleppega. Esmaltmärgime varraste otstes tõmmatud kiud (vt joonis 9.7) ja sellele järgnevalt koostamepaindemomentide epüüri M (joonis 9.7).Varda a–c momendi Me f ja varda a–b keskel oleva M f f leiame järgmiselt (vt joonis9.8 ja avaldis (9.32)):Me f = ξ e · M ac + η e · M ca = 0.75 · (−65.254) + 0.25 · 0.0 == −48.941 kN·mM f f = ξ f · M ba + η f · M ab = 0.5 · (−24.304) + 0.5 · (−65.254) == −44.779 kN·m(11.90)Liidame varda a–c momendid Me o ja Mef ning varda a–b keskel oleva momendi momendidMf o ja M f f (vt joonis 9.8):M e = M o e + M f e = 30.0 − 48.941 = −18.941 kN·m (11.91)M f = M o f + M f f= 90.0 − 44.779 = 45.221 kN·m (11.92)Põikjõu ja normaaljõudude epüüri koostamine on toodud näites 9.1 lk 223.Staatiline kontroll (joonis 9.10) on samas näites tehtud avaldistega (9.40), (9.41), (9.42).

¨300 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited11.7.1 Raami arvutamine pöördenurgameetodiga. Näide 11.1Näide 11.1 Leiame joonisel 11.12 näidatud kolmekordselt geomeetriliselt määramatu raamisisejõudude jaotuse deformatsioonimeetodiga. Raami riivide ristlõike jäikus EI r on kolm kordasuurem kui postidel EI r = 3 · EI p . Raami vertikaalne koormus q = 8 kN/m ja horisontaalnekoormus keskmisele postile F = 30 kN.q = 8 kN/m¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢a 3 I 3 IF = 30 kN bIkI1.8 md e £ £ ¤ ¤ ¥ ¥ ¦ ¦ f§ § ¨1 6 m 6 mc1I3 mJoonis 11.12. Kolmekordselt geomeetriliselt määramatu raam 2Kõnesolevas näites on kasutusel pöördenurgameetod (sks Drehwinkelverfahren) ja teinemärgikokkulepe (vt jaotis lk 281). Joonisel 11.13 on näidatud vaadeldava raami varrasahel.Raami kõigi varraste pöörded θ ij avaldame esimese varda a–d pöörde θ ad kaudu. Varda b–cpöörde leidmisel (vt pooluste plaan ja varraste pöörded lk 89) kasutame avaldist:θ bc = − H H· · θ ad = − 318 · 1 (11.93)Raami varraste jäikuste i = EIlarvutamisel võtame varda a–d jäikuse i ad = EI adl adaluseks, stai ad = 1H* = 18 mHH* = − 3 18 = − 0.1666...ϑi ab = 1.5bc = − 0.1667a’ b’c’bi bc= 1.5 ciϑ be= 1ad = 1 ϑ ϑ cfbe = 1 = 1i cf = 0..94868d e f¤ ¥ ¥ ¤¡ ¢ ¢ £ £¡Joonis 11.13. Kolmekordselt geomeetriliselt määramatu raami 2 varrasahel

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 301baasjäikuseks. Baasjäikusega jagame läbi kõikide varraste jäikused:i o = EI adl ad= 1 3i ad = EI adl ad1i ab = EI abl ab1i bc = EI bcl bc1i be = EI bel be1i o= 1 33i o= 3 36i o= 3 36i o= 1 33i cf = EI cfl cf1i o= 11 = 11 = 1.51 = 1.51 = 133.1623Raami geomeetriliselt määratud põhiskeem on joonisel 11.14.1 = 0.94868 (11.94)ϕ000111 a 2 ϕ000111 b000 111000 1114000 111ai = 1.5000 111b000 111 1000 111000 111ψ 1i= 1000 1113000 11100 11d00 11ef00 1100 11i= 1i = 1.5i = 0.94868c5000 111000 111Joonis 11.14. Raam 2. Geomeetriliselt määratud põhiskeemKoostame geomeetriliselt määratud põhiskeemile vastava võrrandisüsteemi:r aa φ a + r ab φ b + r a1 ψ 1 + r ap = 0r ba φ a + r bb φ b + r b1 ψ 1 + r bp = 0r 1a φ a + r 1b φ b + r 11 ψ 1 + r 1p = 0(11.95)ehkr · x + r p = 0 (11.96)Raami sõlme a pööramisel ühikulise nurga võrra φ a = 1 tekkivad momendid on arvutatudtabelis 11.2 toodud valemite alusel. Tulemused on kantud joonisele 11.15(a).Joonisel 11.15(a) on lisatud momendiliigendid varraste jäikade sõlmede vahetusse lähedusse.Momendiliigendi mõlemale poole on lisatud varda selles ristlõikes mõjunud paindemoment.Joonisel 11.15(a) on näidatud sõlme a ühikpöördest tekkinud reaktsioonimomendidr aa = 3i ad + 4i abr ba = 2i ab(11.97)Raami sõlme b pööramisel ühikulise nurga võrra φ b = 1 tekkivad momendid on arvutatudtabelis 11.2 toodud valemitega. Tulemused on kantud joonisele 11.15(b).Joonisel 11.15(b) on lisatud momendiliigendid varraste jäikade sõlmede vahetusse lähedusse.Momendiliigendi mõlemale poole on lisatud varda selles ristlõikes mõjunud paindemoment.Joonisel 11.15(b) on näidatud sõlme b ühikpöördest tekkinud reaktsioonimomendidr bb = 4i ab + 4i be + 3i bcr ab = 2i ab(11.98)r ab = r ba

302 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]r aaam ad = 3i00 11a000111000 111000 11100 1100 1100 11d000 111ra bam ba = 2ib000 111000 111000 111am be= 0ϕ a = 1 ϕ a = 1am ab = 4iam bc = 0ame eb= 0= 0f000 111 000 111(a) Sõlme a pööre φ am fcacr ab= 0bm ad000 111000 111 a000 111000 111 bm000 111 ab= 2i000 111000 111000 111000 111d000 111ϕ = 1b b rm 00 11ba= 4i bbϕb= 1000 111000 111bc000 111bbmm be= 4ibc= 3ibm eb= 2i bem fc= 000 1100 11(b) Sõlme b pööre φ b00 11f00 11r a11m00 11 abm 1r= 0ba= 0 000 111 b1a000 111 b00 11000 111c00 11000 111 1m bc=3i ϑbc1m 00 11 m ad= 3i ϑad1 = 6i000000000 111111111ψ beϑ be 1 = 1m 1 eb= 6iϑ eb m 1 fc= 3i ϑ dfce=f00 1100 11 Σ12iϑ 2 Σ 3iϑ 2 00 11(c) Varda a–d pööre ψ 1+r 11ψ 1 = 1rr bp m oapoo00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111a m ba bom mbck = 00000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100 11000 11100 11 o000 111o 00 11 mm aboad= 0 000 111c000 111000000 111111d00 11r 1p=m beomoeb m fc=0000 111 e000 111fo 000 111 o000 111Σ ( m alguses + mlõpus+ S) ϑ(d) NullolukordJoonis 11.15. Raami 2 koormusolukorradRaami varda a–d pööramisel ühikulise nurga võrra ψ 1 = 1 tekkivad momendid on arvutatudtabelis 11.2 toodud valemitega. Tulemused on kantud joonisele 11.15(c).Joonisel 11.15(c) on lisatud momendiliigendid varraste jäikade sõlmede vahetusse lähedusse.Momendiliigendi mõlemale poole on lisatud varda selles ristlõikes mõjunud paindemoment.

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 303Joonisel 11.15(c) on näidatud varraste a–d, b–e, b–c ja c–f pöördest tekkinud reaktsioonimomendidr a1 = 3i ad θ adr 1a = r a1r b1 = 6i be θ be + 3i bc θ bcr 1b = r b1r 11 = 3i ad θ 2 ad + 12i beθ 2 be + 3i bcθ 2 bc + 3i cf θ 2 cf(11.99)Jaotatud ja koondatud koormusest tekkivad kinnitusmomendid on arvutatud tabelis 11.2toodud valemitega. Tulemused on kantud joonisele 11.15(d).Joonisel 11.15(d) on lisatud momendiliigendid varraste jäikade sõlmede vahetusse lähedusse.Momendiliigendi mõlemale poole on lisatud varda selles ristlõikes mõjunud paindemoment.Joonisel 11.15(d) on näidatud koormusest tekkinud reaktsioonimomendidr ap = Mab o + M k o = ql212 − ql2 k2r bp = Mba o + M be o = − ql212 − ξ2 ηF lr 1p = (Meb o + M be o − F 1.8) θ be = (︀ ξη 2 F l − ξ 2 ηF l − F 1.8 )︀ (11.100)θ beArvutame võrrandisüsteemi (11.95) kordajad. Saame⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡9.0000 3.0000 3.0000 φ a⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3.0000 14.5000 5.2499 ⎦ ⎣ φ b ⎦ = − ⎣3.0000 5.2499 17.9711 ψ1Võrrandisüsteemi (11.101) lahend on⎡φ a⎢⎣ φ bψ1⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣−4.04822.19953.2785⎤20.000−36.960−58.320⎤⎥⎦ (11.101)⎥⎦ (11.102)Joonistel 11.15(a) – 11.15(c) kasutatakse järgmisi tähistusi momentide m k ij märkimiseks:indeks k kirjeldab deformeerunud olukorda (k = a, b, 1); i ja j tähistavad varda algust ja lõppu.Momentide m k ij avaldised, mis on joonistel 11.15(a)– 11.15(c), kanname veergudena maatriksissemx:⎡ ⎤ ⎡M dam a da m b da m 1 ⎤⎡da varras 1 post m o ⎤M adm a . . .ad m b ad m 1 daadm o ad. . . . . . . . .M abm a ab m b ab m 1 . . .. . .abvarras 2 riivm o M bam a ba m b ba m 1 abbam o ba. . .. . . . . . . . .. . .. . .M M = be; mx =m a be m b be m 1 beM ebm a eb m b eb m 1 varras 3 postmp =m o beebm o (11.103)eb. . .. . . . . . . . .. . . ;. . .M bcm a bc m b bc m 1 bcvarras 4 riivm M cbm a cb m b cb m 1 o bccbm o cb. . .⎢ ⎥. . . . . . . . .. . .. . .⎣ M cf ⎦ ⎢⎣ m a cf m b cf m 1 ⎥⎢cf ⎦ varras 5 post ⎣ m o ⎥M fc m a fc m b fc m 1 cf ⎦fcm o fc

304 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]kus⎡mx =⎢⎣⎤0 · i ad 0 · i ad 0 · i ad θ ad3 · i ad 0 · i ad 3 · i ad θ ad. . . . . . . . .4 · i ab 2 · i ab 0 · i ab θ ab2 · i ab 4 · i ab 0 · i ab θ ab. . . . . . . . .0 · i be 4 · i be 6 · i be θ be0 · i be 2 · i be 6 · i be θ be. . . . . . . . .0 · i bc 3 · i bc 3 · i bc θ bc0 · i bc 0 · i bc 0 · i bc θ bc. . . . . . . . .⎥0 · i cf 0 · i cf 0 · i cf θ cf ⎦0 · i cf 0 · i cf 3 · i cf θ cfvarras 1 post. . .varras 2 riiv. . .varras 3 post. . .varras 4 riiv. . .varras 5 post⎡mp =⎢⎣00. . .MabMba. . .MbeMeb. . .00. . .00⎤⎥⎦(11.104)Arvutame mx ja mp numbrilised suurused, siis saame varraste otstes mõjuvad kontaktjõudM võrrandist⎡ ⎤φ a⎢ ⎥M = mx · ⎣ φ b ⎦ + mp =ψ1⎡=⎢⎣0.00000 0.00000 0.000003.00000 0.00000 3.000006.00000 3.00000 0.000003.00000 6.00000 0.000000.00000 4.00000 6.000000.00000 2.00000 6.000000.00000 4.50000 −0.750150.00000 0.00000 −0.000000.00000 0.00000 0.000000.00000 0.00000 2.84605⎤⎡⎢⎣⎥⎦−4.04822.19953.2785⎡⎤⎥⎦ +⎢⎣0.000000.0000024.00000−24.00000−12.960008.640000.000000.000000.000000.00000⎤⎡=⎥ ⎢⎦ ⎣0.00000−2.309296.30929−22.9474415.5088732.709807.438580.000000.000009.33064⎤(11.105)⎥⎦Arvutusega saadud momendid varraste otstes (11.105) kanname joonisele 11.16 a) vastavaltII märgikokkuleppele (1.19). Joonise 11.16 a) põhjal joonestame momendi epüüri 11.16 b).Epüüri ordinaadid on tõmmatud kiu poolel. Leitud sisejõudude M kontrollimiseks kasutameGNU Octave’i programmi defNBA.m.Põikjõu epüüri ordinaatide arvutamisel kasutame diferentsiaalseoseid (joonis 1.17).Arvutusteks kasutame GNU Octave’it kui kalkulaatorit (vt jaotis 1.16.1). Käsud võime eelnevaltvalmis kirjutada tekstina 9 , siis kopeerida ja asetada GNU Octave’isse. GNU Octave’igaarvutame põikjõu epüüri ordinaadid:octave:2> Qda=Qad=-2.309/3Qda = -0.76967octave:3> Qab=8*6/2-(22.947-6.309)/6Qab = 21.2279 ./octaveProgrammid/Raami_II_NjaQ.txt

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 305a)4.06.309 22.947 7.439a2.309b15.509cb)2.30932.710d9.330e00 11f000 111 000 111 00 114.06.309a14.628b22.9477.43915.50917.821c000 111d000 11121.37232.710000 111e000 111M ep[kN.m]9.330f00 1100 11Joonis 11.16. Raam 2. Momendid varraste otstesoctave:4> Qba=-8*6/2-(22.947-6.309)/6Qba = -26.773octave:5> Qeb=(17.821+32.710)/1.8Qeb = 28.073octave:6> Qbe=-(17.821-15.509)/1.2Qbe = -1.9267octave:7> Qbc=Qcb=7.439/6Qbc = 1.2398octave:8> lcf=sqrt(1^2+3^2)lcf = 3.1623octave:9> Qcf=Qfc=9.330/lcfQcf = 2.9504Arvutatud põikjõu väärtused kanname joonisele 11.17.Pikijõu arvutamiseks vaatleme koordinaatteisendust (1.45). Arvestades seost cos β =cos (90 ∘ + α) = − sin α, võime seosed (1.45) kirjutada kujul[︃F*xF * z]︃ [︃cos α=sin α− sin α]︃ [︃ ]︃Fxcos α F z(11.106)Raami varraste normaaljõudude leidmiseks vaatleme raami sõlmede tasakaalu (joonis 11.18).Koostame tasakaaluvõrrandid sõlmele a vertikaalteljele z ja horisontaalteljele x. Sõlmele c jateljele t–t ja vertikaalteljele z. Sõlmele b horisontaalteljele x.ja vertikaalteljele z.Arvutusteks kasutame GNU Octave’it kui kalkulaatorit (vt jaotis 1.16.1). Käsud võimeeelnevalt valmis kirjutada tekstina 10 , siis kopeerida ja asetada GNU Octave’isse.10 ./octaveProgrammid/Raami_II_NjaQ.txt

¦¦¦¦306 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]26.778.00.77©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡ ¡ ¡ ¢¡¢¡¢¡¢ ¡¥ ¥ ¥ ¥ ¥ §¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¢¡¢¡¢¡¢ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¥ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡© ¥ ¥ ¥ ¥21.23ad£ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ££ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £ £¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ £28.07b1.93eQ ep1.24[kN]c2.95 f¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡© Joonis 11.17. Raami 2 põikjõu epüüroctave:1> % Kaldvarda pikkus -lvoctave:1> lv=sqrt(1^2+3^2)lv = 3.1623octave:2> sinA=1/lvsinA = 0.31623octave:3> sinA = 0.31623sinA = 0.31623octave:4> cosA=3/lvcosA = 0.94868octave:5> cosA = 0.94868cosA = 0.94868octave:6> % S~olm a sumX=0; -Nab-0.77=0octave:6> Nab=-0.77Nab = -0.77000octave:7> % sumZ=0; -Nad-21.23-8.0=0octave:7> Nad=-21.23-8.0Nad = -29.230octave:8> % S~olm c sumt-t=0; -Ncb*cosA+(1.24*sinA-2.95)=0octave:8> Ncb=(1.24*sinA-2.95)/cosANcb = -2.6962octave:9> %sumZ=0; -Ncf*cosA+(1.24-2.95*sinA)=0octave:9> Ncf=(1.24-2.95*sinA)/cosANcf = 0.32374octave:10> % S~olm b; sumX=0; -Nbc-0.77-1.93=0octave:10> Nbc=-0.77-1.93Nbc = -2.7000octave:11> % sumZ=0; -Nbe-26.77-1.24=0octave:11> Nbe=-26.77-1.24Nbe = -28.010octave:12> % Kontrollime sisej~oude s~olmes coctave:12> % Teisendusmaatriks Toctave:12> T=[cosA -sinA; sinA cosA]T =0.94868 -0.316230.31623 0.94868

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 307a )8.0aN ad0.77N ab21.23b )0.7726.77bN be1.931.24Nbcc )Ncbt1.24αcαt2.95N cfJoonis 11.18. Raami 2 sõlmede tasakaaloctave:13> % S~olmes c j~oud F=[X; Z]=[-Ncb; Qcb]octave:13> F=[1.24; 2.7]F =1.24002.7000octave:14> % Fs=[Ncf; Qcf]octave:14> Fs=T*FFs =0.322542.95356octave:15> % Kontrollime Nbc-Ncboctave:15> Nbc-Ncbans = -0.0037538octave:16> % P~oikj~ou väärtustel oli hoitud kaks kohta peale komaoctave:16>Leitud normaaljõudude väärtused kanname joonisele 11.19.000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 11129.23000000000000000000000000111111111111111111111111 0.77 00000000000000000000000111111111111111111111112.7000000000000000000000000011111111111111111111111100000000000000000000000abcd00 1128.0100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11N [kN]000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111 f000 111e00 11 00 11Joonis 11.19. Raami 2 normaaljõu epüür7.99Põikjõu epüürilt (joonis 11.17) ja normaaljõu epüürilt (joonis 11.19) saame toereaktsioonideväärtused, mis kanname joonisele 11.20.Raami staatiline kontroll.Jõudude summa x teljele, summa z teljele ja momentide summa toe d kohta. Toereaktsioonidon joonisel 11.20.Arvutusteks kasutame GNU Octave’it kui kalkulaatorit (vt jaotis 1.16.1). Käsud võimeeelnevalt valmis kirjutada tekstina 11 , siis kopeerida ja asetada GNU Octave’isse.11 ./octaveProgrammid/Raami_II_NjaQ.txt

308 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]000000000000000000000000000111111111111111111111111111q = 8 kN/m000000000000000000000000000111111111111111111111111111a 3I F = 30 kN b 3IcIIkI00 11d e f0.77 kN00 112.70 kN 00 1100 11 28.07 kN 00 1132.71kN . m00 119.33 kN . m1 6 m 6 m 11.8 m3 m29.23 kN28.01 kN 1.24 kNJoonis 11.20. Raami 2 toereaktsioonidoctave:1> % Raami staatiline kontrolloctave:1> % sumX=0; sumX=0.77+30-28.07-2.70octave:1> sumX=0.77+30-28.07-2.70sumX = -8.8818e-16octave:2> % sumZ=0; sumZ=7*8.0-29.23-28.01+1.24octave:2> sumZ=7*8.0-29.23-28.01+1.24sumZ = -1.9984e-15octave:3> % sumMd=0; sumMd=(7*8.0)*2.5+30*1.8-32.71-28.01*6.0-9.33+1.24*13.0octave:3> sumMd=(7*8.0)*2.5+30*1.8-32.71-28.01*6.0-9.33+1.24*13.0sumMd = 0.020000octave:4> % Suurendame täpsust (kohtade arvu)octave:4> % sumMd=0; sumMd_tapsem=(7*8.0)*2.5+30*1.8-32.70980-28.013*6.0-...9.3306+1.2398*13.0octave:4> sumMd_tapsem=(7*8.0)*2.5+30*1.8-32.70980-28.013*6.0-9.3306+ ...1.2398*13.0sumMd_tapsem = -0.0010000octave:5>Leitud toereaktsioonid läbisid staatilise kontrolli. Kui toereaktsioonid on leitud täpsusega kakskohta peale koma, siis momentide summa kontrollis korrutame õlaga ∼10 meetrit ja kontrollisvõime hinnata üks koht peale koma. Arvutustes on täiendavalt näidatud momentide summakontroll suurema täpsusega (sumMd tapsem).Leitud sisejõudude M ja Q kontrollimiseks kasutame GNU Octave’i programmi defN-BA.m 12 13 . Momentide avaldised, mis on joonistel 11.15(a)– 11.15(c), kanname veergudenamaatriksisse mx, kus vardajäikus i ad on tähistatud eli (1) (varraste tähistuses k = ad, ab, be,bc, cf ≡ k = 1, 2, 3, 4, 5).12 ./octaveProgrammid/defNBA.m13 ./octaveProgrammid/defNBA.Kommentaarid.pdf

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 309⎡mx =⎢⎣0 · eli (1) 0 · eli (1) 0 · eli (1) · deta (1)3 · eli (1) 0 · eli (1) 3 · eli (1) · deta (1). . . . . . . . .4 · eli (2) 2 · eli (2) 0 · eli (2) · deta (2)2 · eli (2) 4 · eli (2) 0 · eli (2) · deta (2). . . . . . . . .0 · eli (3) 4 · eli (3) 6 · eli (3) · deta (1)0 · eli (3) 2 · eli (3) 6 · eli (3) · deta (1). . . . . . . . .0 · eli (4) 3 · eli (4) 3 · eli (4) · deta (4)0 · eli (4) 0 · eli (4) 0 · eli (4) · deta (4). . . . . . . . .0 · eli (5) 0 · eli (5) 0 · eli (5) · deta (5)0 · eli (5) 0 · eli (5) 3 · eli (5) · deta (5)⎤⎥⎦⎡varras 1 post. . .varras 2 riiv. . .varras 3 postmp =. . .varras 4 riiv. . .⎢varras 5 post ⎣00. . .MabMba. . .MbeMeb. . .00. . .00⎤⎥⎦(11.107)Võrrandisüsteemi vasaku poole kordajad arvutame GNU Octave’iga järgmiselt:(11.108)r (1, 1) = 3 · eli (1) + 4 · eli (2)r (1, 2) = 2 · eli (2)r (2, 1) = r (1, 2)r (2, 2) = 4 · eli (2) + 4 · eli (3) + 3 · eli (4)r (1, 3) = 3 · eli (1) · deta (1)r (3, 1) = r (1, 3)+3 · eli (5) · deta (5) 2r (2, 3) = 6 · eli (3) · deta (3) + 3 · eli (4) · deta (4)r (3, 2) = r (2, 3)r (3, 3) = 3 · eli (1) · deta (1) 2 + 12 · eli (3) · deta (3) 2 + 3 · eli (4) · deta (4) 2 +Võrrandisüsteemi parema poole kordajate leidmiseks võime kasutada GNU Octave’i funktsioonekinnmom1.m, kinnmom2.m, kinnmom3.m lk 736, mis on kirjutatud tabeli 11.2 alusel.Need programmid väljastavad momendid, mille positiivne suund on kellaosutite liikumissuunas.Teise märgikokkuleppe puhul on positiivne suund vastupidi kellaosutite liikumissuunale janende funktsioonide poolt väljastatavatele momentidele tuleb ette kirjutada miinusmärk.r (1p) = Mab − 4r (2p) = Mba + Mber (3p) = (Meb + Mbe − 30 · 1.8) · deta (3)(11.109)Saame võrrandisüsteemiehk⎡⎢⎣⎤r 11 r 12 r 13⎥r 21 r 22 r 23 ⎦r 31 r 32 r 33⎡⎢⎣φ aφ bψ1⎤⎡⎥ ⎢⎦ = − ⎣⎤r 1p⎥r 2pr 3p⎦ (11.110)r · x = r p (11.111)

310 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Arvutuste kontrollimiseks GNU Octave’i programmiga defNBA.m 14diary defNBA.out” (vt Päevik 11.1).”Arvutuspäevik 11.1 octave:1> diary defNBA.outoctave:2> diary onoctave:3> defNBAvarraste_pikkused_l =avame arvutuspäeviku3.0000 6.0000 3.0000 6.0000 3.1623varraste_ristloigete_jaikused_EI =1 3 1 3 1varraste_poordenurgad_deta =1.00000 0.00000 1.00000 -0.16670 1.00000varraste_jaikused_i =mx =1.000001.500001.000001.500000.948680.00000 0.00000 0.000003.00000 0.00000 3.000006.00000 3.00000 0.000003.00000 6.00000 0.000000.00000 4.00000 6.000000.00000 2.00000 6.000000.00000 4.50000 -0.750150.00000 0.00000 -0.000000.00000 0.00000 0.000000.00000 0.00000 2.84605Aab=kinnmom1(l(2),0,l(2),0,l(2),8) %kinni vasakul ja paremalVa = 24Vb = 24Aab =-24 24Aeb=kinnmom1(l(3),30,1.8,0,l(3),0) %kinni vasakul ja paremalVa = 12Vb = 18Aeb =-8.6400 12.960014 ./octaveProgrammid/defNBA.Kommentaarid.pdf

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 311Mab = 24Mba = -24Meb = 8.6400Mbe = -12.960mp =r =0.000000.0000024.00000-24.00000-12.960008.640000.000000.000000.000000.000009.0000 3.0000 3.00003.0000 14.5000 5.24993.0000 5.2499 17.9711rp =x =M =20.000-36.960-58.320-4.04822.19953.27850.00000-2.309296.30929-22.9474415.5088732.709807.438580.000000.000009.33064M1A = -0M1L = -2.3093M2A = -6.3093M2L = -22.947Vahetame vardal b--e alguse ja l~opu. Sellega muutus kamomendi plusspool. See on allpool.M3A = -32.710M3L = 15.509M4A = -7.4386M4L = 0M5A = -0M5L = 9.3306NT = 10Varda 2 toereaktsioonidlihttala_Va = 24lihttala_Vb = 24Varda 3 toereaktsioonidlihttala_Va = 12lihttala_Vb = 18------------------------------------------------------------------------------====================================Sisej~oudude jaotus 1. vardas.===================================Jrk x Q M-----------------------------------1 0.00 -0.770 0.0002 0.30 -0.770 -0.2313 0.60 -0.770 -0.4624 0.90 -0.770 -0.6935 1.20 -0.770 -0.9246 1.50 -0.770 -1.1557 1.80 -0.770 -1.386

312 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]8 2.10 -0.770 -1.6179 2.40 -0.770 -1.84710 2.70 -0.770 -2.07811 3.00 -0.770 -2.309====================================Sisej~oudude jaotus 2. vardas.===================================Jrk x Q M-----------------------------------1 0.00 21.227 -6.3092 0.60 16.427 4.9873 1.20 11.627 13.4034 1.80 6.827 18.9395 2.40 2.027 21.5956 3.00 -2.773 21.3727 3.60 -7.573 18.2688 4.20 -12.373 12.2849 4.80 -17.173 3.42010 5.40 -21.973 -8.32411 6.00 -26.773 -22.947====================================Sisej~oudude jaotus 3. vardas.3. varda momendi plusspool on paremal===================================Jrk x Q M-----------------------------------1 0.00 28.073 -32.7102 0.30 28.073 -24.2883 0.60 28.073 -15.8664 0.90 28.073 -7.4445 1.20 28.073 0.9786 1.50 28.073 9.4007 1.80 28.073 17.8218 1.80 -1.927 17.8219 2.10 -1.927 17.24310 2.40 -1.927 16.66511 2.70 -1.927 16.08712 3.00 -1.927 15.509====================================Sisej~oudude jaotus 4. vardas.===================================Jrk x Q M-----------------------------------1 0.00 1.240 -7.4392 0.60 1.240 -6.6953 1.20 1.240 -5.9514 1.80 1.240 -5.2075 2.40 1.240 -4.4636 3.00 1.240 -3.7197 3.60 1.240 -2.9758 4.20 1.240 -2.2329 4.80 1.240 -1.48810 5.40 1.240 -0.74411 6.00 1.240 -0.000====================================Sisej~oudude jaotus 5. vardas.===================================Jrk x Q M-----------------------------------1 0.00 2.951 0.0002 0.32 2.951 0.9333 0.63 2.951 1.8664 0.95 2.951 2.7995 1.26 2.951 3.7326 1.58 2.951 4.6657 1.90 2.951 5.5988 2.21 2.951 6.5319 2.53 2.951 7.46510 2.85 2.951 8.39811 3.16 2.951 9.331====================================octave:4> diary off11.7.2 Raami arvutamine deformatsioonimeetodiga. Näide11.2Näide 11.2 Leiame joonisel 11.21 näidatud kolmekordselt geomeetriliselt määramatu raamisisejõudude jaotuse deformatsioonimeetodiga. Raam on koormatud ühtlaselt jaotatud koormusegaq z = 20 kN/m ning horisontaalse jõuga H = 90 kN. Raami posti ristlõike jäikusEI p = 2 * 10 4 kN·m 2 ja raami riivi ristlõike jäikus EI r = 1.5EI p . Raami ava on 6 m, postidepikkused 5 m ja 2.5 m. Lisaks vaadeldud koormusele on postidele rakendatud kaks vertikaalsetjõudu F = 800 kN.Kõnesolevas näites on kasutusel teine märgikokkulepe (vt jaotis lk 281).

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 3135 mF=800 kN F=800 kNq = 20 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111 H = 90 kN0000000000000000000000001111111111111111111111111EI2 r2.5 mEI pEI 00 11p00 11EI = 2*1000 11400 11 6 m3pEIEIrp= 1.54. 2kN mJoonis 11.21. RaamRaami geomeetriliselt määratud põhiskeem ja siirdeolukorda määravad sõlmede pöördedξ 1 , ξ 2 ja varda pööre ξ 3 (φ 1 , φ 2 ja ψ 1 ) on näidatud joonisel 11.22 a). Joonisel 11.22 b) ontakistatud varda pöörde asemel takistatud sõlme siire.Jäikade sõlmede pöörded ξ 1 , ξ 2 (joonised 11.22, 11.23) on positiivsed vastupidi kellaosutiteliikumissuunale. Varda pöörde ξ 3 (joonis 11.22, 11.23) positiivne suund on kellaosutite liikumissuunas.Jäikade sõlmede reaktsioonimomendid Z1 i, Zi 2 (joonis 11.24(a), 11.24(b)) onpositiivsed vastupidi kellaosutite liikumissuunale. Varda pööret takistavas sidemes tekkiv reaktsioonimomendiZ3 i (joonis 11.24(a), 11.24(b)) positiivne suund on kellaosutite liikumissuunas.Raami virtuaalsiirded (varrasahel) on joonisel 11.23.Deformatsioonimeetodi koormusliikmete arvutamiseks vaatleme joonist 11.24(a) ja kasutametabelit 11.2 lk 324. SaameM o 12 = −M o 21 = q zl 21262= 20 = 60 kN·m (11.112)12M o 14 = −M o 41 = M o 23 = 0 (11.113)a) b)00 11ξ 1 ξ 21 2 00 11 1 200 11ξ 1 ξ 2 ξ 30000 11110000 1111 ξ 30000 1111300 113000 111400 114000 111Joonis 11.22. Geomeetriliselt määratud põhiskeem

314 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]l 14 ϑ 14l 23 ϑ 23¡¡1 2l 14ϑ ξ 314= 2ϑ ξ 3 314= = 1l 234¦£¦ ¥£¥Joonis 11.23. Varrasahel¤£¤ ¢£¢¤£¤ ¢£¢Esitame varraste kinnitusmomendid veeruvektorina⎡M o ⎤ ⎡12 60M o M o 21−60=M o ⎢ 14=0⎣ M41o ⎥ ⎢⎦ ⎣ 0M23o 0⎤kN·m (11.114)⎥⎦Koormusliikme Z 0 1leiame sõlme 1 tasakaalust:Z 0 1 = M o 12 + M o 14 = 60 + 0 = 60 kN·m (11.115)Koormusliikme Z 0 2leiame sõlme 2 tasakaalust:Z 0 2 = M o 21 + M o 23 = −60 + 0 = −60 kN·m (11.116)Koormusliikme Z3 0 leidmiseks vaatleme jõudude ja momentide virtuaaltööd varrasahela (joonis11.23) virtuaalsiiretel. Posti pööret ξ 3 takistavas sidemes tekkiva reaktsioonimomendi Z30esitame jõupaarina. Jõud on rakendatud varda mõlemas otsas risti varda teljega ja jõududesuurusteks on reaktsioonimoment Z3 0 jagatud varda pikkusega 5 (joonis 11.24(a) lk 317).Varrasahela virtuaaltööZ 0 3δθ 14 − Hδ (l 23 θ 23 ) = 0 (11.117)Kinnitusmomentide M12 o , M 21 o virtuaaltöö on null, sest varras 1 − 2 ei pöördu.Virtuaalpööre δθ 14 ja virtuaalsiire δ (l 23 θ 23 ) avalduvad virtuaalpöörde δξ 3 kauduδθ 14 = δξ 3 , δ (l 23 θ 23 ) = 2.5·2δξ 3 (11.118)Arvestades virtuaalsiirete avaldisi (11.118), saame varrasahela virtuaaltöö[︁ ]︁Z3 0 − H·5 δξ 3 = 0 (11.119)millest avaldame koormusliikme Z 0 3Z 0 3 = H·5 = 90·5 = 450 kN·m (11.120)

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 315Koormusliikmed esitame veeruvektorina Z 0 .⎡Z 0 ⎤Z 0 1⎢= ⎣ Z20 ⎥⎦ =Z30⎡⎢⎣60−60450⎤⎥⎦ kN·m (11.121)Varraste reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest (joonis 11.24(b)):M 1 12 = 4 EI rl 12,1M12 1 = 4 1.50 = 1.0 (11.122)EI p 6M 1 21 = 2 EI rl 12,1M21 1 = 2 1.50 = 0.5 (11.123)EI p 6M 1 14 = 4 EI pl 14,1M14 1 = 4 1.0 = 0.8 (11.124)EI p 5M 1 41 = 2 EI pl 14,1M41 1 = 2 1.0 = 0.4 (11.125)EI p 5M 1 23 = 0 (11.126)Esitame varraste reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest ξ 1 5×3 maatriksi M 123 veeruna⎡M 123 =⎢⎣M12 1 . .M21 1 . .M14 1 . .M41 1 . .M23 1 . .⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎡⎦ = EI p ⎢⎣1.0 . .0.5 . .0.8 . .0.4 . .0 . .⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ (11.127)Sõlmede reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest (joonis 11.24(b)) saame vastavasõlme tasakaalust. Sõlme 1 tasakaalust (joonis 11.24(b)) saameSõlme 2 tasakaalustZ 1 1 = M 1 12 + M 1 14 = EI p (1.0 + 0.8) = 1.8EI p (11.128)Z 1 2 = M 1 21 + M 1 23 = EI p (0.5 + 0) = 0.5EI p (11.129)Reaktsioonimomendi Z3 1 leidmiseks vaatleme varraste reaktsioonimomentide virtuaaltööd varrasahela(joonis 11.23) virtuaalsiiretel. Posti pööret ξ 3 takistavas sidemes tekkiva reaktsioonimomendiZ3 1 esitame jõupaarina. Jõud on rakendatud varda mõlemas otsas risti varda teljegaja jõudude suurusteks on reaktsioonimoment Z3 1 jagatud varda pikkusega 5 (joonis 11.24(b)).Varraste reaktsioonimomentide virtuaaltöö sõlme 1 pöördest(︁)︁ [︁ (︁)︁]︁Z3δθ 1 14 − M14 1 + M411 δθ 14 = Z3 1 − M14 1 + M411 δθ 14 = 0 (11.130)

316 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Võrrandi (11.130) esimese liikme virtuaaltöö on positiivne, sest reaktsioonimomendi ja vardapöördesuunad ühtivad. Võrrandi teise liikme virtuaaltöö on negatiivne, sest momentide suunderineb varda pöördesuunast.Võrrandist (11.130) saame(︁)︁Z3 1 = M14 1 + M411 = EI p (0.8 + 0.4) = 1.2EI p (11.131)Sõlmede ja varraste pöörete leidmiseks alustame võrrandisüsteemi koostamist. Võrrandisüsteemitundmatute ees olevatest kordajatest moodustame 3×3 maatriksi A, mille esimene veergon⎡ ⎤ ⎡ξ 1 ⎡⎤ ⎡ξ 1⎢ ⎥ ⎢A = ⎣ ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎦ = EI p ⎣⎦ ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (11.132)Z1 1 . .Z2 1 . .Z3 1 . .ξ 3 ⎤1.8 . .0.5 . .1.2 . .ξ 3 ⎤Varraste reaktsioonimomendid sõlme 2 pöördest (joonis 11.24(c))M 2 12 = 2 EI rl 12,M 2 21 = 4 EI rl 12,1M12 2 = 2 1.5 = 0.5 (11.133)EI p 61M21 2 = 4 1.5 = 1.0 (11.134)EI p 6M 2 14 = M 2 41 = 0 (11.135)M 2 23 = 3 EI pl 23,1M23 2 = 3 1.0 = 1.2 (11.136)EI p 2.5Esitame varraste reaktsioonimomendid sõlme 2 pöördest ξ 2 5×3 maatriksi M 123 teise veeruna⎡M 123 =⎢⎣M 1 12 M 2 12 .M 1 21 M 2 21 .M 1 14 M 2 14 .M 1 41 M 2 41 .M 1 23 M 2 23 .⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎡⎦ = EI p ⎢⎣1.0 0.5 .0.5 1 .0.8 0 .0.4 0 .0 1.2 .⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ (11.137)Sõlmede reaktsioonimomendid sõlme 2 pöördest (joonis 11.24(c)) saame vastavasõlme tasakaalust. Sõlme 1 tasakaalust (joonis 11.24(c)) saameja sõlme 2 tasakaalustZ 2 1 = M 2 12 + M 2 14 = EI p (0.5 + 0) = 0.5EI p (11.138)Z 2 2 = M 2 21 + M 2 23 = EI p (1.0 + 1.2) = 2.2EI p (11.139)Reaktsioonimomendi Z2 2 leidmiseks vaatleme varraste reaktsioonimomentide virtuaaltööd varrasahela(joonis 11.23) virtuaalsiiretel. Posti pööret ξ 3 takistavas sidemes tekkiva reaktsioonimomendiZ3 1 esitame jõupaarina. Jõud on rakendatud varda mõlemas otsas risti varda teljega

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 317a) Z 0 F=800 kN F=800 kN10b)q = 20 kN/m Z 0Z 0 F=800 kN F=800 kNM 1 0M 012000000000000000000000000111111111111111111111111 2M q = 20 kN/m21 Z 0H = 90 kN 010000000000000000000000011111111111111111111111122000000000000000000000000111111111111111111111111010000000000000000000000011111111111111111111111H = 90 kN120M 0 010Z 0 1 23M 1421 M 2300M5 M 1423000 111000 11100 11000 111Z 0 33000 1113000 11100 11000 111000 111000 111Z 03500 11 04 00 11 0400 11M M4100 11 41(a) Kinnitusmomendida)11111 ξ 1 1M 1Z 12b)M = 1 Z M1 121 121 ZM221 Z01220121Z10M 13141M1235 M14M 23000 1111000000111111000 111000 111 33Z00 113000000111111000 111000 11100 11000000111111000 1111Z311M 5 M41 000 11144 00 11 41000 11100 111(b) Reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest1a) 2ξ 2 b) 2Z1 22 2 = 1 Z1 2M M 21Z2M 1201121011Z2013222M M 14M 235 14000 111 2000 111 300000 11111000 111 Z3000 11100000 11111000 1112 00000 11111Z32M2000 111 415 400 11M 441000 11100 11(c) Reaktsioonimomendid sõlme 2 pöördest22M 2122M 23Z300 1100 1122a)Z31130000 1111Z30000 11110000 1111300 11 M4 4100 113M 123M 14M 3 213 Z223M 233001100 11ξ 3 = 1(d) Reaktsioonimomendid varda pöördestZ335b) 3Z 3313M M1221 Z200 11 1 2Z300 113335M M 142300000 1111100000 11111000 111 300000 11111000 11100000 11111000 111 43000 111M 41Joonis 11.24. Raami koormusolukorrad

318 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]ja jõudude suurusteks on reaktsioonimoment Z2 2 jagatud varda pikkusega 5 (joonis 11.23).Varraste reaktsioonimomentide virtuaaltöö sõlme 2 pöördest (θ 23 = 2θ 14 ) (joonis 11.23)Võrrandist(11.130) saameZ 2 3δθ 14 − M 2 23δθ 23 =[︁]︁Z3 2 − 2M232 δθ 14 = 0 (11.140)Z 2 3 = M 2 23 = EI p 2·1.2 = 2.4EI p (11.141)Lisame võrrandisüsteemi tundmatute ees olevate kordajate maatriksile A (11.132) teise veeru⎡Z1 1 Z 2 ⎤ ⎡1 . ξ 1 ⎤ ⎡⎤ ⎡1.8 0.5 . ξ 1 ⎤⎢A = ⎣ Z2 1 Z2 2 ⎥ ⎢. ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎦ = EI p ⎣ 0.5 2.2 . ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (11.142)Z3 1 Z3 2 . ξ 3 1.2 2.4 . ξ 3Varraste reaktsioonimomendid varda 1–2 siirdest (joonis 11.24(d))M 3 12 = M 3 21 = 0 (11.143)M 3 14 = 6 EI pl 14θ 14 ,1EI pM 3 14 = 6 1 5 1ξ3 = 1.2ξ 3 (11.144)M 3 41 = M 3 14 = 1.2ξ 3 (11.145)M 3 23 = 3 EI pl 23θ 23 ,1M23 3 = 3 1EI p 2.5 2ξ3 = 2.4ξ 3 (11.146)Esitame varraste reaktsioonimomendid varda pöördest ξ 3 5×3 maatriksi M 123 kolmandaveeruna⎡M12 1 M12 2 M 3 ⎤⎡⎤12MM 123 21 1 M21 2 M 3 ⎡21ξ 1 ⎤ 1.0 0.5 0 ⎡0.5 1 0ξ 1 ⎤=M 1 ⎢ 14 M14 2 M143 ⎢⎣ ξ 2 ⎥⎢⎦ = EI⎣ M41 1 M41 2 M413 ⎥p 0.8 0 1.2⎣ ξ 2 ⎥⎦⎦ ξ 3 ⎢⎥⎣ 0.4 0 1.2 ⎦ ξ 3M23 1 M23 2 M233 0 1.2 2.4(11.147)Sõlmede reaktsioonimomendid varda 1–2 siirdest (joonis 11.24(d)) saame vastavasõlme tasakaalust. Sõlme 1 tasakaalust (joonis 11.24(d)) saameja sõlme 2 tasakaalustZ 3 1 = M 3 12 + M 3 14 = EI p (0 + 1.2) = 1.2EI p (11.148)Z 3 2 = M 3 21 + M 3 23 = EI p (0 + 2.4) = 2.4EI p (11.149)Reaktsioonimomendi Z2 3 leidmiseks vaatleme varraste reaktsioonimomentide virtuaaltööd varrasahela(joonis 11.23) virtuaalsiiretel. Posti pööret ξ 3 takistavas sidemes tekkiva reaktsioonimomendiZ2 3 esitame jõupaarina. Jõud on rakendatud varda mõlemas otsas risti varda teljega

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 319ja jõudude suuruseks on reaktsioonimoment Z2 3 jagatud varda pikkusega 5 (joonis 11.24(d)).Varraste reaktsioonimomentide virtuaaltöö varda 3 pöördest (θ 23 = 2θ 14 = ξ 3 ) (joonis 11.23)(︁)︁[︁]︁Z3δθ 3 14 − M14 3 − M143 δθ 14 + M23δθ 3 23 = Z3 3 − M14 3 − M41 3 − 2M233 δθ 14 = 0 (11.150)Võrrandist (11.150) saame(︁)︁Z3 3 = M14 3 + M413 + 2M23 3 = EI p [1.2·1 + 1.2·1 + 2·1.2] = 7.2EI p (11.151)Lisame võrrandisüsteemi tundmatute ees olevate kordajate maatriksile A (11.130) kolmandaveeru⎡Z1 1 Z1 2 Z 3 ⎤ ⎡1 ξ 1 ⎤ ⎡⎤ ⎡1.8 0.5 1.2 ξ 1 ⎤⎢A = ⎣ Z2 1 Z2 2 Z23 ⎥ ⎢⎦ ⎣ ξ 2 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎦ = EI p ⎣ 0.5 2.2 2.4 ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (11.152)Z3 1 Z3 2 Z33 ξ 3 1.2 2.4 7.2 ξ 3Sõlmede ja varraste pöörete leidmiseks koostasime võrrandisüsteemiAξ = Z 0 (11.153)kus maatriks A on leitud avaldisega (11.152) ja vektor Z 0 (11.121) ning vektor ξ⎡ξ 1 ⎤⎢ξ = ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (11.154)ξ 3Võtame kasutusele uue muutuja X = EI p ξ ja maatriksi a = EI p A ning esitame võrrandisüsteemi(11.153) järgmisel kujul:aX = Z 0 (11.155)ehk⎡⎢⎣1.8 0.5 1.20.5 2.2 2.41.2 2.4 7.2⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ =⎡⎢⎣−6060−450⎤⎥⎦ (11.156)Arvutiprogrammiga GNU Octave lahendame võrrandisüsteemi (11.156) Gaussi elimineerimismeetodiga(vt avaldist (A.44)).kus z = Z 0 .Võrrandisüsteemi (11.155) lahend⎡X 1 ⎤ ⎡⎢⎣ X 2 ⎥ ⎢⎦ = EI p ⎣X 3Momendid varraste otstes leiame avaldisegaX = a ∖ z (11.157)ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ =⎡⎢⎣−0.000150.000−112.500⎤⎥⎦ (11.158)M = M o + M 123 ξ (11.159)

320 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]ehk⎡⎢⎣⎤M 12M 21M 14⎥M 41 ⎦M 23⎡=⎢⎣M o 12M o 21M o 14M o 41M o 23⎤⎡+⎥ ⎢⎦ ⎣M12 1 M12 2 M123M21 1 M21 2 M213M14 1 M14 2 M143M41 1 M41 2 M413M23 1 M23 2 M233⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ (11.160)kus maatriks M o on toodud avaldisega (11.114) ja maatriks M 123 avaldisega (11.147). Momentideavaldise (11.159), (11.160) esitame leitud X kauduM = M o + 1EI pM 123 X (11.161)⎡⎢⎣⎤M 12M 21M 14⎥M 41 ⎦M 23⎡=⎢⎣60−60000⎤⎡+⎥ ⎢⎦ ⎣⎡⎢⎣1.0 0.5 00.5 1 00.8 0 1.20.4 0 1.20 1.2 2.4⎤M 12M 21M 14⎥M 41 ⎦M 23⎡=⎢⎣⎤⎡⎢⎣⎥⎦135.00090.000−135.000−135.000−90.000−0.000150.000−112.500⎤⎥⎦⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣135.00090.000−135.000−135.000−90.000⎤⎥⎦(11.162)(11.163)Leitud momendid varraste otstes (11.163) kanname joonisele 11.25 b). Momendi positiivne janegatiivne suund on näidatud joonisel 11.25 c). Joonisel 11.25 a) on varda 1–2 lihttala paindemomendiepüür jaotatud koormusest q z . Joonisel 11.25 b) on raami paindemomendi epüür.Joonisel 11.25 c) on paindemomendi positiivne ja negatiivne suund. Raami varraste põikjõumärgi määramiseks vaatleme joonist 1.16 lk 46. Paindemomendi tuletise geomeetrilisekstõlgenduseks punktis on selles punktis paindemomendi epüüri puutuja tõusunurga tangensa) b)000000000000000000000011111111111111111111110000000000000000000000111111111111111111111100000000000000000000001111111111111111111111ql290.000135.00= 90.08135.00090.000}135.00067.50[kN.m]90.090.0090.00000 111000 111135.000c) M00 1100 11135.00Joonis 11.25. Momendid varda otstes ja paindemomendi epüür

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 321(tan α). Põikjõu märk oleneb puutuja (joonis 1.16) pööramise suunast (puutujat pöörame nii,et see ühtiks varda teljega, seejuures α < π 2): vastupäeva pöörates on põikjõud positiivne japäripäeva pöörates negatiivne.Raami varda 1–4 paindemomendi epüüri (joonis 11.25) puutuja ühtimiseks varda teljega tulebseda pöörata päripäeva, st põikjõu märk on miinus (joonis 1.16 lk 46). Kanname põikjõu märgijoonisele 11.26 a). Raami varda 2–3 paindemomendi epüüri (joonis 11.25) puutuja ühtimiseksvarda teljega tuleb seda pöörata päripäeva, st põikjõu märk on miinus (joonis 1.16). Raamivarda 1–2 paindemomendi epüüri alguses (joonis 11.25) puutuja ühtimiseks varda teljega tulebseda pöörata vastupäeva, st põikjõu märk on pluss (joonis 1.16).Põikjõu arvutamiseks vaatleme joonist 11.25 ja 1.17. Varda 1–4 põikjõud, mille märk peabtulema miinus:Q 14 = Q 41 = ΔMΔx=−135.0 − 135.05Varda 2–3 põikjõud, mille märk peab tulema miinus= −54.0 kN (11.164)Q 23 = Q 32 = ΔMΔx = −90.0 − 0 = −36.04 kN (11.165)2.5Varda 1–2 põikjõu arvutamisel leiame vastava lihttala põikjõu Q 0 ja põikjõu momentidestQ M = ΔMΔxQ 12 = Q 0 + ΔMΔx = 20·6 90.0 + 135.0+ = 60.0 + 37.5 = 97.5 kN (11.166)2 6.0Q 21 = Q 0 + ΔMΔx = −20·6 90.0 + 135.0+ = −60 + 37.5 = −22.5 kN (11.167)2 6.0Leitud põikjõud on kantud joonisele 11.26 b).Raami varrastes mõjuva normaaljõu leidmiseks lõikame välja sõlmed 1 ja 2 (joonis 11.27ja 11.28). Kanname joonisele kõik sõlmele mõjuvad jõud. Normaaljõud N 12 , N 14 , N 21 , N 23 ,mida me otsime, näitame positiivses suunas. Põikjõud kanname joonisele nende mõjumisesuunas. Positiivne põikjõud pöörab vaadeldavat elementi päripäeva (joonised 11.27 ja 11.28).Leitud normaaljõud kanname joonisele 11.29.a)00 1100 11Q [kN]000 111000 111b)54.0000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 11154.00000000000000000000000011111111111111111111111 22.50000000000000000000000011111111111111111111111001136.000 1100000000000000000000000111111111111111111111110000 1100000000000000000000000111111111111111111111110000 1100000000000000000000000111111111111111111111110000 1197.500 11000 11100 1136.0000 11100 1100 11Q [kN]Joonis 11.26. Raami põikjõu märk ja epüür

322 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]800.0197.5N 1254.0N 14Joonis 11.27. Sõlme 1tasakaalJoonisel 11.27 on näidatud sõlmele 1 mõjuvad jõud.Tasakaalutingimusest leiame:∑︁X = 0, N12 = −54.0 kN (11.168)∑︁Z = 0,N 14 = −897.5 kN (11.169)Joonisel 11.28 on näidatud sõlmele 2 mõjuvad jõud.Tasakaalutingimusest leiame:22.5N 212800.090∑︁X = 0,N 21 = −90 + 36.0 = −54.0 kN (11.170)36.0N 23∑︁Z = 0,N 23 = −822.5 kN (11.171)Joonis 11.28. Sõlme 2tasakaalRaami staatiline kontroll.Projitseerime kõik jõud horisontaalteljele X (joonis 11.30):ΣX = 0; 54.000 + 36.000 − 90 = 0.0 (11.172)Projitseerime kõik jõud vertikaalteljele Z (joonis 11.30):ΣZ = 0; −897.500 − 822.500 + 6 · 20 + 2 · 800 = 0.0 (11.173)Momentide summaga kontrollimine on väga oluline kontroll. Paljudel juhtudel avastataksearvutustes tehtud viga alles selle kontrolliga.Momentide summa toe 3 suhtes:ΣM 3 = 0; −135.0 − 897.500 · 6.0 + 54.000 · 2.5 + 800 · 6.0++20 · 6.0 · 3.0 + 90 * 2.5 = 0.0 kN·m(11.174)897.5897.554.00000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111000000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 11100 11N [kN]0000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 111100 11822.5822.5Joonis 11.29. Raami normaaljõu epüür

11.7 Deformatsioonimeetodiga arvutamise näited 323F=800 kN F=800 kNq = 20 kN/m00000000000000000000000011111111111111111111111112H = 90 kN5 m300 112.5 m36.00 kN400 1154.0 kN6 m822.50 kN135.00kN . m897.50 kNJoonis 11.30. Raami toereaktsioonidStaatiline kontroll näitab, et raam on temale mõjuvate jõudude toimel tasakaalus.

8 ¡ ¡324 11. Deformatsioonimeetod [Loeng 1] [Loeng 2] [Loeng 3]Tabel 11.2. Kinnitusmomendid ja põikjõud. II märgikokkulepeJrk nr Skeem M JK M KJ Q JK Q KJAϕ y=1JJB ϕ y=1llKK4iφ j 2iφ j − 6il φ j2iφ k 4iφ k − 6il φ k6il φ j6il φ kCJϑlK6iθ jk 6iθ jk − 12ilθ jk12ilθ jkDϕ y=1JlK3iφ j − − 3il φ j3il φ jEJlϑ 2K3iθ jk − − 3iθ jkl3iθ jkl1¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ q ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡J Kql 212− ql2 − ql12 2− ql22JaFbKξη 2 F l −ξ 2 ηF l (2ξ − 1) η 2 F ξ 2 (2η − 1) F3JaM¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤4 ¡ ¡lJJ¡ ¡5a b6qFbKKKη (3ξ − 1) M ξ (3η − 1) M − 6 l ξηM 6l ξηMql 28−η (︀ 1 − η 2)︀ F l2−J M K(︀ 1 − 3η2 )︀ Ma b000 111q¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢J¡ ¡ ¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢£¢¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤£¤¡ ¡ 7K2−− 5ql8− 3ql8η (︀2 η 2 − 3 )︀ F(︀ η 2 − 1 )︀ 3M2lξ 2 2(ξ − 3) F(︀ 1 − η2 )︀ 3M2l−l− ql2 − 3ql8 8− 5ql8JaFbK−ξ (︀ ξ 2 − 1 )︀ F l2η 22 (η − 3) F ξ (︀2 ξ 2 − 3 )︀ F9J00 11aMbK−(︀ 1 − 3ξ2 )︀ M2(︀ ξ 2 − 1 )︀ 3M2l(︀ 1 − ξ2 )︀ 3M2lξ = a l , η = b EIl, i =l

12. Kaared ja võlvidLoeng 1 1 : Vedrusüsteem. Näide 12.1. Näide 12.2.12.1 KaarkonstruktsioonidOlenevalt liigendite arvust nimetatakse kaarkonstruktsioone kolme, kahe, ühe liigendigavõi liigenditeta kaarteks (joonis 12.1). Kolme liigendiga kaar on staatikaga määratav,teised kaared on staatikaga määramatud.Kaarkonstruktsiooni, mille laius on tunduvalt suurem kui sille, nimetatakse võlviks.a)b)c)§¡§¡§¡§¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¨¡¨¡¨¡¨¦¡¦¡¦¡¦¡¦ §¡§¡§¡§ ¨¡¨¡¨¡¨¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¡¡¡¡¡ ©¡©¡©¡©¡¡¡ ©¡©¡©¡©¡¡¡¡ ¡¡¡¡d)e)¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡ £¡£¡£¡£¡¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢ £¡£¡£¡£ ¤¡¤¡¤¡¤¡ Joonis 12.1. Kaared¤¡¤¡¤¡¤ Staatikaga määramatu kaare sisejõud olenevad kaare telje kujust ja ka ristlõike mõõtmetest.Kaare ristlõike esialgsed mõõtmed valitakse ligikaudsete valemitega või kogemustepõhjal. Lõplikud ristlõike mõõtmed ja telje kuju peavad vastama arvutuslikesisejõudude jaotusele (insener valib ja siis kontrollib arvutustega).Sümmeetriliste kaarte puhul võib ristlõike inertsimomendi muutuse piki kaare telge validajärgmiste avaldistega [Rää75], [DK62]:∙ liigenditeta kaare jaoks∙ kahe liigendiga kaare jaoksI cI = 1 − (1 − n) (︂ xl 1)︂ r(12.1)I cI= 1 + (1 − n)(︂ xl 1)︂ r(12.2)1 ./videod/STmtuKaarLoeng1.html325

326 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]kusI = I c cos φ (12.3)n =I cI k cos φ k(12.4)x – kaare telje abstsiss (koordinaatide alguspunkt lukuristlõike raskuskeskmes);φ – nurk kaare telje puutuja ja horisontaali vahel;I c – lukuristlõike inertsimoment;I – ristlõike, mille abstsiss on x, inertsimoment;l 1 – pool sillet;I k – kaare kannaristlõike inertsimoment;φ k – nurk telje puutuja ja horisontaali vahel kaare kannas.Enamikul juhtudel võetakse valemites (12.1), (12.2), r = 1 ja valemis (12.2) sageli kan = 1.Lamedate kaarte puhul, kus kaare tõus (kaare kõrguse f ja silde l suhe) f/l ≤ 1/8, võibvõtta cos φ k∼ = 1.0 ja arvutused lihtsustuvad.Väikese kõverusega kaarkonstruktsioonides ( ρ > 5, milles ρ on kõverusraadius ja hhkaare ristlõike kõrgus) arvutatakse siirded järgmise avaldisega:∫︁ (︃lj mi M p∆ ip =+ n iN p0 EI EA − m iN pEAρ − n iM pEAρ + k j)︃q i Q pds (12.5)GAAvaldises (12.5) on kolmanda ja neljanda liikme ees miinus, sest kaarskeemis võetaksetõmbejõud negatiivsena.Suure kõverusega kaare siirded arvutatatakse avaldisega [Kis86]∆ ip =∫︁ lj0(︃mi M pEI12.2 Kahe liigendiga kaar+ n iN pEA − m iN pEAρ − n iM pEAρ + k q i Q pjGA + m )︃iM pds (12.6)EAρ 2Kahe liigendiga kaar (joonis 12.2 a) on staatikaga ühekordselt määramatu. Põhiskeemiksvõetakse kõver tala (joonis 12.2 b). Lisatundmatuks võetakse toe b toereaktsiooni horisontaalnekomponent X 1 = H.Ühiktundmatust X 1 tekivad sisejõudm 1 = −y (12.7)q 1 = − sin φ (12.8)n 1 = cos φ (12.9)mille epüürid on joonistel 12.2 c), 12.2 d), 12.2 e).Vertikaalsest koormusest põhjustatud sisejõud põhiskeemis arvutatakse valemitegaM 0 p = M 0 (12.10)Q 0 p = Q 0 cos φ (12.11)N 0 p = Q 0 sin φ (12.12)

12.2 Kahe liigendiga kaar 327a) b)yϕalf£¡£¡£¡£¥¡¥¡¥¡¥¡¥¤¡¤¡¤¡¤ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¦¡¦¡¦¡¦¡¦¤¡¤¡¤¡¤ £¡£¡£¡£c)¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡fbm 1epd) sin ϕ kxxyl ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡sin ϕ kX 1 = Hq 1ep¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡e)cos ϕ k1¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§cos ϕ kn 1ep¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©Joonis 12.2. Kahe liigendiga kaar¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©kus M 0 ja Q 0 on paindemoment ja põikjõud kaarele vastavas lihttalas.Jõumeetodi kanooniline võrrandδ 1 1 X 1 + ∆ 1 p + ∆ 1 t + ∆ 1 r = 0 (12.13)kus δ 1 1 ja ∆ 1 p leidmisel arvestatakse pikijõu ja põikjõu mõju:∫︁ l∫︁ l∫︁m 1 · m 1 n 1 · n l1δ 1 1 = ds +0 EI0 EA ds + k q 1 · q 1ds (12.14)0 GA∫︁ l m 1 · M 0 ∫︁ lp n 1 · N 0 ∫︁ lp∆ 1 p =ds +0 EI0 EAds + k q 1 · Q 0 pds (12.15)0 GASiirded temperatuuri muutusest arvutatakse valemiga (7.68)∫︁ b1∆ it = n i α T · T 0 dx + m i α T ∆T dx (12.16)aa hKaare silde suurenemisest ∆l võrra on ∆ 1 r = ∆l.Avaldistes (12.14) ja (12.15) ei ole arvestatud kõveruse 1 mõju. ρArvutuste lihtsustamiseks avaldatakse kõik integreeritavad funktsioonid abstsissi xkaudu, kusjuures ds = dx/ cos φ. Kui avaldiste (12.14), (12.15) analüütiline integreerimineosutub tülikaks, kasutatakse numbrilist integreerimist.Pärast lisatundmatu X 1 leidmist arvutatakse sisejõud järgmiste avaldistega:∙ koormusest∫︁ bM p = M 0 p − y · X 1 p (12.17)Q p = Q 0 p − sin φ · X 1 p (12.18)N p = Q 0 p + cos φ · X 1 p (12.19)

328 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]∙ temperatuuri muutusestM t = −y · X 1 t (12.20)Q t = − sin φ · X 1 t (12.21)N t = cos φ · X 1 t (12.22)∙ tugede siiretestM r = −y · X 1 r (12.23)Q r = − sin φ · X 1 r (12.24)N r = cos φ · X 1 r (12.25)Tõmbiga kahe liigendiga kaare (vt joonis 12.2 e) arvutamisel võib võtta tundmatukstõmbis tekkiva tõmbejõu X 1 . Võrreldes kahe liigendiga kaare arvutamisega on erinevussiirete δ 1 1 ja ∆ 1 t arvutamisel. Arvesse tuleb võtta temperatuuri muutus:δ 1 1 =∫︁ l0∫︁m 1 · m l∫︁ 1 n 1 · n l1ds +EI0 EA ds + k q 1 · q 1 1 · lds + (12.26)0 GA E t A t∫︁ (︃ )︃l y∆ 1 t = − (α − α t ) t 0 l − α∆ t dx (12.27)0 h cos φsiin E t A t on tõmbi jäikus.Avaldistes (12.26) ja (12.27) ei ole arvestatud kõveruse 1 ρ mõju.12.3 Kahe liigendiga kaare arvutamise näited12.3.1 Kahe liigendiga kaar. Näide 12.1Näide 12.1 Arvutada kahe liigendiga kaare (joonis 12.3), mille telgjooneks on parabool jamille pool sillet on koormatud ühtlaselt jaotatud koormusega p, horisontaalreaktsioon H jasisejõudude M, Q ja N ordinaadid. Andmed: l = 32 m; l 1 = 16 m; f = 4 m; A c = 0.845 m 2(h c = 1.3 m; b c = 0.65 m); I c = 0.12 m 4 I; cI cos φ = 1; y = 4fξξ′ ; ξ = x l; p = 80 kN/m (Ülesanneon võetud raamatust [Rää75] lk 521 ja 524 ja lahendatud GNU Octave’i programmigakaarSjPr1.m lk 737).Kaare ristlõike muutusI cI= cos φ ;AcA = 3√ cos φ (12.28)Jõumeetodi kanoonilise võrrandi (12.29)EI c δ 1 1 X 1 + EI c Δ 1 p = 0 (12.29)

12.3 Kahe liigendiga kaare arvutamise näited 329p = 80 kN/m0000000000000000000111111111111111111100000000000000000001111111111111111111c00000000000000000001111111111111111111HVaal 1 = 16 mf = 4 ml = 32 mbVbHp = 80 kN/m00000000000000000001111111111111111111000 111 00000000000000000001111111111111111111000 111 = 16 ml 1.l = 32 m000 111000 111296849128212999008400000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111 M [kN.m] M o [kN m]000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111100000000000000000001111111111111111111 0000000000000000000011111111111111111111000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111100000000000000000001111111111111111111 000000000000000000001111111111111111111100000000000000000001111111111111111111 0000000000000000000011111111111111111111739000000000000000000011111111111111111110000000000111111111100000000000000000001111111111111111111 00000000000111111111110000000000Q [kN]00000000000000000001111111111111111111 000000000001111111111100000000000000000001111111111111111111 000000000001111111111100000000000000000001111111111111111111 000000000001111111111100000000000000000001111111111111111111186675918932019311586711755578917015561430133512721246125912851297129812881269277N [kN]960.02662.44505.65529.65734.45120.04096.0000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111 Q o [kN]000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111704.0448.0192.064.0320.03072.02048.01024.0320.0Joonis 12.3. Kahe liigendiga kaare M, Q, N epüüridkordajad EI c δ 1 1 ja EI c Δ 1 p arvutatakse järgmiste integraalidega:EI c δ 1 1 ==∫︁ s0∫︁ sEI c Δ 1 p = −y 2 I cI ds + I cIy 2 dx + I cI0∫︁ syM 0 I cp0∫︁ l0∫︁ l0cos 2 φ A cA ds =cos φ 3√ cos φ dx (12.30)I ds = − ∫︁ s0∫︁ lyMp 0 cos φ ds = −0yMp 0 dx (12.31)siin ds = dx/ cos φ.Simpsoni valemiga (D.16 lk 665) numbriliseks integreerimiseks vajalikud suurused on näidatudGNU Octave’iga lahendamise päevikus 12.1, kus EI c δ 1 1 = 277.39 ja EI c Δ 1 p = −3.4953e+05.H = X 1 = − EI c Δ 1 p 3.4953e + 05= = 1260.1 kN (12.32)EI c δ 1 1 277.39Numbriliselt leitud lahend H = 1260.1 kN (vt programm I.73) langeb kokku analüütiliselt leitudtoereaktsiooniga H = 1259 kNLahendamisel saadud tulemused on toodud arvutuspäevikus ”diary kaarSjPr1.out” (vt Päevik12.1).

330 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]Arvutuspäevik 12.1 octave:27> diary kaarSjPr1.outoctave:28> diary onoctave:29> kaarSjPr1l = 32f = 4F1 = 0F2 = 0qz = 80aF1 = 32aF2 = 32aqA = 0aqL = 16NT = 20NN = 22Ic = 0.12000Ac = 0.84500Vb = 320Va = 960EIcDelta=-(samm/3)*(yMo(1,1)+4*yMo4+2*yMo2+yMo(1,NN))EIcDelta = -3.4953e+05EIcdelta=(samm/3)*(y2(1,1)+4*dy14+2*dy12+y2(1,1))+...Ic/Ac)*(samm/3)*(cj3csFi(1,1)+4*dy24+2*dy22+cj3csFi(1,1))EIcdelta = 277.39H=-EIcDelta/EIcdeltaH = 1260.-----Kahe liigendiga kaar---------------------------------------------------------------------x y y^2 cosFi cosFi^(1/3) cosFi*cosFi^(1/3)---------------------------------------------------------------------0.00000 0.00000 0.00000 0.89443 0.96349 0.861771.60000 0.76000 0.57760 0.91192 0.96973 0.884323.20000 1.44000 2.07360 0.92848 0.97557 0.905794.80000 2.04000 4.16160 0.94386 0.98092 0.925856.40000 2.56000 6.55360 0.95783 0.98574 0.944178.00000 3.00000 9.00000 0.97014 0.98995 0.960399.60000 3.36000 11.28960 0.98058 0.99348 0.9741911.20000 3.64000 13.24960 0.98894 0.99630 0.9852812.80000 3.84000 14.74560 0.99504 0.99834 0.9933914.40000 3.96000 15.68160 0.99875 0.99958 0.9983416.00000 4.00000 16.00000 1.00000 1.00000 1.0000017.60000 3.96000 15.68160 0.99875 0.99958 0.9983419.20000 3.84000 14.74560 0.99504 0.99834 0.9933920.80000 3.64000 13.24960 0.98894 0.99630 0.9852822.40000 3.36000 11.28960 0.98058 0.99348 0.9741924.00000 3.00000 9.00000 0.97014 0.98995 0.9603925.60000 2.56000 6.55360 0.95783 0.98574 0.9441727.20000 2.04000 4.16160 0.94386 0.98092 0.9258528.80000 1.44000 2.07360 0.92848 0.97557 0.9057930.40000 0.76000 0.57760 0.91192 0.96973 0.8843232.00000 -0.00000 0.00000 0.89443 0.96349 0.8617732.00000 -0.00000 0.00000 0.89443 0.96349 0.86177---------------------------------------------------------------------Lihttala sisej~oud ja kahe liigendiga kaar------------------------------------------------------------------------x y Qo Mo y*Mo------------------------------------------------------------------------0.0000e+00 0.0000e+00 9.6000e+02 0.0000e+00 0.0000e+001.6000e+00 7.6000e-01 8.3200e+02 1.4336e+03 1.0895e+03

12.3 Kahe liigendiga kaare arvutamise näited 3313.2000e+00 1.4400e+00 7.0400e+02 2.6624e+03 3.8339e+034.8000e+00 2.0400e+00 5.7600e+02 3.6864e+03 7.5203e+036.4000e+00 2.5600e+00 4.4800e+02 4.5056e+03 1.1534e+048.0000e+00 3.0000e+00 3.2000e+02 5.1200e+03 1.5360e+049.6000e+00 3.3600e+00 1.9200e+02 5.5296e+03 1.8579e+041.1200e+01 3.6400e+00 6.4000e+01 5.7344e+03 2.0873e+041.2800e+01 3.8400e+00 -6.4000e+01 5.7344e+03 2.2020e+041.4400e+01 3.9600e+00 -1.9200e+02 5.5296e+03 2.1897e+041.6000e+01 4.0000e+00 -3.2000e+02 5.1200e+03 2.0480e+041.7600e+01 3.9600e+00 -3.2000e+02 4.6080e+03 1.8248e+041.9200e+01 3.8400e+00 -3.2000e+02 4.0960e+03 1.5729e+042.0800e+01 3.6400e+00 -3.2000e+02 3.5840e+03 1.3046e+042.2400e+01 3.3600e+00 -3.2000e+02 3.0720e+03 1.0322e+042.4000e+01 3.0000e+00 -3.2000e+02 2.5600e+03 7.6800e+032.5600e+01 2.5600e+00 -3.2000e+02 2.0480e+03 5.2429e+032.7200e+01 2.0400e+00 -3.2000e+02 1.5360e+03 3.1334e+032.8800e+01 1.4400e+00 -3.2000e+02 1.0240e+03 1.4746e+033.0400e+01 7.6000e-01 -3.2000e+02 5.1200e+02 3.8912e+023.2000e+01 -3.5527e-15 -3.2000e+02 0.0000e+00 0.0000e+003.2000e+01 -3.5527e-15 -3.2000e+02 0.0000e+00 0.0000e+00-----------------------------------------------------------------------Kaare sisej~oud------------------------------------------------------------N Q M x------------------------------------------------------------1.5564e+03 2.9513e+02 0.0000e+00 0.0000e+001.4905e+03 2.4163e+02 4.7595e+02 1.6000e+001.4314e+03 1.8567e+02 8.4790e+02 3.2000e+001.3796e+03 1.2740e+02 1.1159e+03 4.8000e+001.3357e+03 6.7028e+01 1.2798e+03 6.4000e+001.3001e+03 4.8339e+00 1.3398e+03 8.0000e+001.2733e+03 -5.8848e+01 1.2958e+03 9.6000e+001.2556e+03 -1.2363e+02 1.1477e+03 1.1200e+011.2474e+03 -1.8906e+02 8.9573e+02 1.2800e+011.2489e+03 -2.5469e+02 5.3973e+02 1.4400e+011.2601e+03 -3.2000e+02 7.9722e+01 1.6000e+011.2745e+03 -2.5668e+02 -3.8187e+02 1.7600e+011.2857e+03 -1.9303e+02 -7.4267e+02 1.9200e+011.2936e+03 -1.2954e+02 -1.0027e+03 2.0800e+011.2984e+03 -6.6666e+01 -1.1618e+03 2.2400e+011.3001e+03 -4.8339e+00 -1.2202e+03 2.4000e+011.2989e+03 5.5574e+01 -1.1778e+03 2.5600e+011.2950e+03 1.1423e+02 -1.0345e+03 2.7200e+011.2888e+03 1.7087e+02 -7.9050e+02 2.8800e+011.2804e+03 2.2527e+02 -4.4565e+02 3.0400e+011.2701e+03 2.7730e+02 4.4767e-12 3.2000e+011.2701e+03 2.7730e+02 4.4767e-12 3.2000e+01-----------------------------------------------------------octave:30> diary off

332 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]12.4 Liigendita sümmeetriline kaarLiigendita sümmeetriline kaar on kolmekordselt staatikaga määramatu (joonis 12.4).a)xcb)x 1ϕcx 2 x 3x cy cfaba¡¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡ ¡ ¡¢¡¢¡¢¡¢ £¡£¡£¡£¡£b¦¡¦¡¦¡¦ ¥¡¥¡¥¡¥§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¥¡¥¡¥¡¥¨¡¨¡¨¡¨¡¨¦¡¦¡¦¡¦ §¡§¡§¡§¡§l/2xyl/2c)d)cycx 1x 2x 3x 1x 1x 1y cx 2x 2ax 3x 3¡¡¡¡b¡¡¡ ©¡©¡©¡©¡©¡¡¡¡Joonis 12.4. Liigendita sümmeetriline kaar¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ©¡©¡©¡©¡©Lisatundmatu valikul on soovitatav, et võrrandisüsteemis⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤δ 11 δ 12 δ 13 X 1 ∆ 1p⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ δ 21 δ 22 δ 23 ⎦ ⎣ X 2 ⎦ + ⎣ ∆ 2p ⎦ = 0 (12.33)δ 31 δ 32 δ 33 X 3 ∆ 3pvõrduksid kõik kõrvalsiirded nulliga ja δ 13 = δ 31 = δ 23 = δ 32 = 0. Arvutusskeemides,joonistel 12.4 c) ja 12.4 d), kasutatakse jäiku konsoole. Jäiku konsoole kasutatakseliigendita suletud kontuuride arvutamisel. Arvutusskeem asendatakse kinemaatiliselt jastaatiliselt ekvivalentse arvutusskeemiga [Rää75] (vt lõik lk 440 (lk 222)).Kui põhiskeemis on jäikade konsoolide otsad kaare elastsuskeskmes, siis kõrvalsiire δ 12 =δ 21 = 0.⎡⎢⎣⎤δ 11 . .⎥. δ 22 . ⎦. . δ 33ja võrrandisüsteemi lahendid onVõtame kasutusele järgmised tundmatud:⎡⎢⎣⎤X 1⎥X 2X 3⎦ +⎡⎢⎣⎤∆ 1p⎥∆ 2p∆ 3p⎦ = 0 (12.34)X 1 = − Δ 1pδ 11X 2 = − Δ 2pδ 22(12.35)X 3 = − Δ 3pδ 33

12.4 Liigendita sümmeetriline kaar 333∙ kolme liigendiga kaares sümmeetriline tundmatu X 1 = y c (vt joonis 12.5 a)), sümmeetrilinegrupptundmatu X 2 = 1 (joonis 12.6 a)) ja antisümmeetriline grupptundmatuX 3 = x c (joonis 12.7 a))∙ kõvera tala puhul sümmeetrilised grupptundmatud X 1 = 1 (vt joonis 12.5 b)),X 2 = 1 (vt joonis 12.6 b)) ja antisümmeetriline grupptundmatu X 3 = l (vt joonis212.7 b))∙ kahe konsooliga põhiskeemis X 1 = 1 (vt joonis 12.5 c)), X 2 = 1(vt joonis 12.6 c)),X 3 = 1 (joonis 12.7 c)).a)a00000 1111100000 11111a00000 1111100000 1111100000 11111 a00000 1111100000 11111dc= y c X 1eb00000111110000011111b)cX 1 = 1 X 1 = 1c)cX 1 = 1b000 111000 1110000011111 b00000111110000011111d)e)f − yccos ϕ kf)sin ϕ kyc0000000000000000001111111111111111110000000000000000001111111111111111111.00m 1 ep000000000000000000000000000111111111111111111111111111000000000000000000000000000111111111111111111111111111000000000000000000000000000111111111111111111111111111000000000000000000000000000111111111111111111111111111000000000000000000000000000111111111111111111111111111n 1 ep000000000000001111111111111100000000000000111111111111110000000000000011111111111111 00000000000000000000000000001111111111111111111111111111q 0000000000000011111111111111 1 ep0000000000000011111111111111sin ϕ k cos ϕ k f − ycJoonis 12.5. Liigendita kaar. Tundmatu X 1Kõigi kolme põhiskeemi jaoks on nendest tundmatutest põhjustatud sisejõudude avaldisedühesugused:m 1 = y − y c ; n 1 = cos φ; q 1 = − sin φm 2 = 1; n 2 = 0; q 1 = 0m 3 = −x; n 3 = sin φ; q 3 = cos φ(12.36)Kaare elastsuskeskme ordinaat y c määratakse tingimusest EI c δ 1 2 = 0. Avaldise (12.5)abil saameEI c δ 1 2 =∫︁m 1 m 2I cI ds + I cA c∫︁− I ∫︁c m1 n 2A c ρ+k E ∫︁I cG A cn 1 n 2A cA ds −A cds − I ∫︁c n1 m 2A c A c ρA cA cds +A cq 1 q 2 ds = 0 (12.37)A

334 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]Arvestades avaldisi (12.36), kirjutame valemi (12.37) ringiEI c δ 1 2 =∫︁(y − y c ) I cI ds − I ∫︁cIVõrrandist (12.38) avaldame elastsuskeskme ordinaadi y cy c =∫︀ yI c∫︀Ids − Ic cos φ A cA c ρ A cds∫︀ IcIdscos φ A cds = 0 (12.38)ρ A c(12.39)Koormusest põhjustatud siirete ∆ 1 p , ∆ 2 p ja ∆ 3 p arvutamiseks on soovitatav lahutadakoormus sümmeetriliseks ja antisümmeetriliseks. Sümmeetrilisest koormusest saamesiirded ∆ 1 p ja ∆ 2 p ning antisümmeetrilisest koormusest siirde ∆ 3 p . Siirded arvutataksejärgmiste avaldistega:EI c δ i j =∫︁m i m jI cI ds + I cA c∫︁−2 I cA c∫︁mi n jρA cA cds + k E GA cn i n jA ds −∫︁I c A cq i q j ds (12.40)A c Asiin i = j , (j = 1, 2, 3) ja joone y = y (x) kõverusraadius ρ = 1 ψ (joone kõverus ψ j –avaldis (1.17))ρ = 1 ψ = [︁1 + (y ′ ) 2]︁ 3 2y ′′ (12.41)X = 1a)2X 2 = 1cda¡¡¢¡¢¡¢¡¢ £¡£¡£¡£¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡eX 2 = 1b£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤d )m 2 ep¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡b)e)n 2 epa¥¡¥¡¥¡¥ ¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¦¡¦¡¦¡¦X 2 = 1 X 2 = 1bf)q 2 ep c)caX 2 = 1 X 2 = 1b©¡©¡©¡©¨¡¨¡¨¡¨ §¡§¡§¡§¡¡¡¨¡¨¡¨¡¨ ©¡©¡©¡© ¡¡¡§¡§¡§¡§Joonis 12.6. Liigendita kaar. Tundmatu X 2

12.4 Liigendita sümmeetriline kaar 335a)dced)0000 1111 a0000 11110000 1111b)a0000 11110000 1111c)a0000 11110000 1111X3= xX = l/23ccX 3 = 1X3= xX = l/2300000 11111 bc00000 1111100000 11111b000 111b00000 1111100000 11111e)f)l2cos ϕ ksin ϕ k000000000000000000000000000011111111111111111111111111110000000000000000000000000000111111111111111111111111111100000000000000000000000000001111111111111111111111111111000000000000000000000000000011111111111111111111111111110000000000000000000000000000111111111111111111111111111100000000000000000000000000001111111111111111111111111111m 3ep00000000000000000000000000001111111111111111111111111111000000000000000000000000000011111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111n 3ep1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000011111111111111111111111111110000000000000000000000000000111111111111111111111111111100000000000000000000000000001111111111111111111111111111q 3epl2sin ϕ kcos ϕ kJoonis 12.7. Liigendita kaar. Tundmatu X 3EI c ∆ ip =∫︁m i M 0 pI cI ds + I cA c∫︁n i N 0 p− I ∫︁c mi Np0 A cA c ρ A ds − I ∫︁cA c+k E ∫︁I cq i Q 0 pG A cA cA ds −ni M 0 pρA cA ds +A cds (12.42)Akus M 0 p , Q 0 p, N 0 p on paindemoment, põik- ja pikijõud staatikaga määratavas põhiskeemis,mis saadakse liigendita kaarest kolme sideme eemaldamisega.Kui valemites (12.40) ja (12.42) kasutada sisejõudude avaldisi (12.36), saameEI c δ 11 =EI c δ 22 =EI c δ 33 =∫︁(y − y c ) 2 I cI ds + I cA c∫︁−2 I cA c∫︁+k E ∫︁I cG A c∫︁∫︁(y − yc ) cos φρcos 2 φ A cA ds −A cA ds +sin 2 φ A cds (12.43)AIcds (12.44)Ix 2 I cI ds + I cA c∫︁+2 I cA c∫︁+k E ∫︁I cG A cx sin φρsin 2 φ A cA ds +A cA ds +cos 2 φ A cds (12.45)A

336 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]EI c ∆ 1p =EI c ∆ 2p =∫︁(y − y c ) M 0 p− I cA c∫︁− I cA c∫︁∫︁EI c ∆ 3p = −(y − yc ) Np0ρM0p cos φρI cI ds + I cA c∫︁A cA ds −A cA ds −N 0 p cos φ A cA ds −−k E ∫︁I cQ 0 p sin φ A cds (12.46)G A c A∫︁Mp0 I cI ds − I ∫︁c N0p A cds (12.47)A c ρ A+ I cA c∫︁xM 0 pI cI ds + I cA c∫︁xN0pρ+k E ∫︁I cG A cA cA ds − I cA c∫︁N 0 p sin φ A cA ds +M0p sin φρA cA ds +Q 0 p cos φ A cds (12.48)APärast tundmatute leidmist (vt avaldised (12.35) arvutatakse sisejõudM p = M 0 p + (y − y c ) X 1 + X 2 − xX 3N p = N 0 p + X 1 cos φ + X 3 sin φ (12.49)Q p = Q 0 p − X 1 sin φ + X 3 cos φ12.5 Liigenditeta kaare arvutamise näited12.5.1 Liigenditeta kaar. Näide 12.2Näide 12.2 Arvutada liigenditeta kaare (joonis 12.8), mis on koormatud jaotatud koormusegaq (q c = 1 kN/m, q k = 5 kN/m), sisejõudude M, Q ja N ordinaadid. Andmed: l = 32 m;l 1 = 16 m; f = 4 m; A c = 0.845 m 2 (h c = 1.3 m; b c = 0.65 m); I c = 0.12 m 4 ; G = 0.425E;I cA c= 0.142 m 2 . Kaare telgjooneks on ruutparabooly = 4fx2l 2 (12.50)(Ülesanne on võetud raamatust [Rää75] lk 536 ja lahendatud GNU Octave’i programmigakaarPrbSTMSjPr.m lk 737). Kaare ristlõige on jääva laiusega ja kõrgus muutub selliselt, etI =A =I ccos φ3A c(12.51)√ cos φ(12.52)

12.5 Liigenditeta kaare arvutamise näited 337a) qkq c qk b) q kx6 8 10 c 8’ 6’44’4a 22’ 00000 11111 b a 200’00000 1111100000 1111100000 111100000 11111 l y 1 l 1 00000 111110000 1111d)q kc)lfξq c6 8 10c8’q cq k6’4’2’ 0000 1111 b 0’0000 11110000 1111q k000 111 η 00 11ξ = 1 ξ = 0 ξ = −131.661.067.445.330.781.28M ep [kN.m]f)N ep [kN]Q ep [kN]12.945.040.470.785.337.441.0631.66e)1.361.200.000.475.0412.941.201.3657.6051.2847.8946.3745.8545.7445.8546.3747.8951.2857.60Joonis 12.8. Liigenditeta kaarKaare elastsuskeskme ordinaat y c arvutatakse avaldisega (12.39), kusI cIy c == cos φ,∫︀ l/20 y dx − IcKaare kõveruse ρ leiame valemiga (12.41)A cA = 3√ cos φ, ds = dxcos φ∫︀ l/2A c 0∫︀ l/20 dx1ρ 3√ cos φ dx(12.53)(12.54)ρ =[︁1 + (y ′ ) 2]︁ 3 2y ′′ =√︂ (︁1 + 64f 2 x 2l 4 )︁ 3(12.55)8fl 2Vastava lihttala paraboolse jaotusega koormuse saame kirjeldada avaldisegaq (ξ) = N 1 · q k + N 2 · q c + N 3 · q k == 1 (︁2 ξ (ξ − 1) · q k + 1 − ξ 2)︁ · q c + 1 2 ξ (ξ + 1) · q k == q c + (q k − q c ) ξ 2 (12.56)siin on ξ =xl/2 mõõduta koordinaat, mille null on tala keskel, N i on kujufunktsioonid (Lagrange’iinterpolatsioonipolünoomi kordajad C.16, C.17, C.18 lk 655).Lihttala (joonis 12.8 d) paindemomendi ja põikjõu epüüri ordinaadid paraboolsest koormusest

338 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]M 0 (ξ k ) = V a ·(︂ l2 − x k= V a ·(︂ l2 − l 2 ξ k)︂ ∫︁ l/2−)︂−x k(x − x k ) · q dx =∫︁ 1= V a · l2 (1 − ξ k) − q c ·q (ξ) · (1 − ξ k ) l2ξ k4 dξ =(︃ )︃12 − ξ k + ξ2 k l22 4 − (q k − q c )(︃14 − ξ )︃k3 + ξ4 k l212 4 (12.57)∫︁ l/2∫︁ 1Q 0 (ξ k ) = V a − q dx = V a − q lx kξ k2 dξ == V a − q c · (1 − ξ k ) l 2 − (q k − q c )(︃13 − ξ3 k3)︃l2(12.58)kus V a on lihttala toereaktsioon antud koormusestV a = q cl2 + (q k − q c ) l2 6(12.59)Lihttala paindemomendi ja põikjõu epüüri ordinaatide arvutamiseks paraboolsest koormusestsaame kasutada funktsiooni lihttalaPrbKSj.m (I.74 vt lk 737) ja programmilihttalaPrbKSjPr.m vt lk 719).Koormusest põhjustatud siirete leidmiseks arvutatakse sisejõudude M 0 p , N 0 p , Q 0 p epüüride ordinaadidkolme liigendiga kaare (joonis 12.8 b) jaoks, mille kaks liigendit on kannaristlõigetes.Nende sisejõudude leidmiseks kaares (paraboolse telgjoone kujuga) kasutame GNU Octave’ifunktsiooni kaarPrbSTMSj.m (I.74 vt lk (737) ja programmi kaarPrbSTMSjPr.m (I.74 vt lk737). See programm arvutab ka elastsuskeskme ordinaadi (vt avaldist(12.39)), kusja∫︁y I cI ds ≈ 21.33333 m2 (12.60)∫︁I c cos φ A cds ≈ 0.62765 m 2 (12.61)A c ρ A c∫︁ Icds = 16 m (12.62)Iy c =21, 33333 − 0.6276516= 1.3294 m (12.63)Programmiga kaarPrbSTMSjPr.m lk 737 leitud tulemused ühtivad õpikus [Rää75] lk 538 toodudtulemustega. Toereaktsioonid:Vap 0 l= q c2 + 1 3 (q k − q c ) l 16= 1 · 16 +2 3 · 4 = 1120 kN (12.64)[︂3Hp 0 = 1120 · 163 − 16 · 8.0 − 3 4 · 4 · 16 ]︂/4 = 1600 kN (12.65)3 3

12.5 Liigenditeta kaare arvutamise näited 339Pikijõud lukuliigendis on N 0 cp = H 0 p.Sisejõud staatikaga määratavas põhiskeemis:M 0 xp = N 0 cpy − q cx 2= 16003N 0 xp = N 0 cp cos φ += 16003Q 0 xp = − 160032 − 4 (q x − q c )x2y −2 − x4[︃768q c x + 4 (q x − q c )x 412 · l 2 =]︃x33 · l 2 sin φ =(12.66)(︃ )︃cos φ + x + x3sin φ (12.67)192(︃ )︃sin φ + x + x3cos φ (12.68)192Siirete EI c δ 11 ja EI c δ 22 arvutamisel avaldistega (12.43), (12.44) ja (12.46), (12.47) kasutameseoseid (12.53)12 EI cδ 11 =12 EI cδ 22 =12 EI cΔ 1p =12 EI cΔ 2p =∫︁ l/20+k E G∫︁ l/20∫︁ l/20−k E G∫︁ l/20(y − y c ) 2 dx + I ∫︁ l/2ccos φA 3√ cos φ dx +cI cA c∫︁ l/200sin 2 φ tg φ 3√ cos φ dx (12.69)dx = 16 m (12.70)(y − y c ) Mp 0 dx + I ∫︁ l/2cN 0A 3√ p cos φ dx −cI cA c∫︁ l/200Q 0 ptg φ 3√ cos φ dx (12.71)M 0 p dx (12.72)Avaldistes (12.69)–(12.72) ei ole arvestatud kõveruse 1 ρ mõju.Programmiga kaarPrbSTMSjPr.m I.74 arvutatud võrrandisüsteemi kordajadVõrrandisüsteemi lahend12 EI cδ 11 = 25.407 m12 EI cδ 22 = 16 m12 EI cΔ 1p = 1929.9 kN·m 2(12.73)12 EI cΔ 2p = 1820.3 kN·m 2X 1 = −75.959 kN·m; X 2 = −113.77 kN·m; X 3 = 0 (12.74)Liigenditeta kaare paindemomendi M p , normaaljõu N p ja põikjõu Q p epüüri ordinaadid arvutamejärgmiste valemite abil:M p = M 0 p + (y − y c ) X 1 + X 2 − xX 3N p = N 0 p + X 1 cos φ + X 3 sin φ (12.75)Q p = Q 0 p − X 1 sin φ + X 3 cos φ

340 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]Liigendita kaare (joonis 12.8) arvutuspäevik 12.2.Arvutuspäevik 12.2 octave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> kaarPrbSTMSjPrLiigenditeta kaare sisej~oudude arvutaminel = 32f = 4qk = 5qc = 1NN = 20Ic = 0.12000Ac = 0.84500G = 0.42500krist = 1.2000l1 = 16samm = 1.6000Va = 37.333Vb = 37.333Lihttala sisej~oud; x-koordinaat vasakult toelt------------------------------------------Q M x------------------------------------------37.33333 0.00000 0.0000023.72267 96.46080 3.2000014.20800 156.19413 6.400007.76533 190.66880 9.600003.37067 208.07680 12.800000.00000 213.33333 16.00000-3.37067 208.07680 19.20000-7.76533 190.66880 22.40000-14.20800 156.19413 25.60000-23.72267 96.46080 28.80000-37.33333 0.00000 32.00000------------------------------------------Mk = 213.33H = 53.333Staatikaga määratud kaare sisej~oud;x-koordinaat vasakust kannast--------------------------------------------------N Q M x--------------------------------------------------64.39876 9.54056 0.00000 0.0000058.32913 2.21844 19.66080 3.2000055.16671 -1.71642 19.66080 6.4000053.82054 -2.84499 11.46880 9.6000053.40404 -1.95293 3.27680 12.8000053.33333 -0.00000 0.00000 16.0000053.40404 1.95293 3.27680 19.2000053.82054 2.84499 11.46880 22.4000055.16671 1.71642 19.66080 25.60000

12.5 Liigenditeta kaare arvutamise näited 34158.32913 -2.21844 19.66080 28.8000064.39876 -9.54056 0.00000 32.00000---------------------------------------------------y-koordinaadi algus lukuliigendis----------------------------------------------------y sinFi cosFi roo----------------------------------------------------4.0000e+00 4.4721e-01 8.9443e-01 4.4721e+012.5600e+00 3.7139e-01 9.2848e-01 3.9979e+011.4400e+00 2.8735e-01 9.5783e-01 3.6416e+016.4000e-01 1.9612e-01 9.8058e-01 3.3939e+011.6000e-01 9.9504e-02 9.9504e-01 3.2481e+014.4409e-16 5.5511e-17 1.0000e+00 3.2000e+011.6000e-01 -9.9504e-02 9.9504e-01 3.2481e+016.4000e-01 -1.9612e-01 9.8058e-01 3.3939e+011.4400e+00 -2.8735e-01 9.5783e-01 3.6416e+012.5600e+00 -3.7139e-01 9.2848e-01 3.9979e+014.0000e+00 -4.4721e-01 8.9443e-01 4.4721e+01----------------------------------------------------Elastsuskeskme ordinaat Yc:Yc = 1.3294V~orrandisüsteemi kordajad:EIdelta11p = 25.407EIdelta22p = 16EIDelta1p = 192.99EIDelta2p = 182.03V~orrandisüsteemi lahend:X1 = -7.5959X2 = -11.377X3 = 0Liigendita kaare epüüride ordinaadid--------------------------------------------------x Mep Qep Nep--------------------------------------------------0.00000 -31.66216 12.93755 57.604783.20000 -1.06327 5.03949 51.276526.40000 7.44413 0.46624 47.891169.60000 5.32885 -1.35531 46.3721512.80000 0.78288 -1.19711 45.8458416.00000 -1.27857 -0.00000 45.7374419.20000 0.78288 1.19711 45.8458422.40000 5.32885 1.35531 46.3721525.60000 7.44413 -0.46624 47.8911628.80000 -1.06327 -5.03949 51.2765232.00000 -31.66216 -12.93755 57.60478--------------------------------------------------octave-3.0.1:4> diary off

342 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]Tabel 12.1. Liigendita kaare sisejõudude võrdlusx M (Octave) M (R.R) Q (Octave) Q (R.R) N (Octave) N (R.R)m kN·m t·m kN t kN t0.0 −31.66216 −31.560 12.93755 12.97 57.60478 57.633.2 −1.06327 −1.001 5.03949 5.03 51.27652 51.306.4 7.44413 7.477 0.46624 0.46 47.89116 47.929.6 5.32885 5.340 −1.35531 −1.37 46.37215 46.4012.8 0.78288 0.781 −1.19711 −1.20 45.84584 45.8916.0 −1.27857 −1.284 −0.00000 −0.00 45.73744 45.7619.2 0.78288 0.781 1.19711 1.20 45.84584 45.8922.4 5.32885 5.340 1.35531 1.37 46.37215 46.4025.6 7.44413 7.477 −0.46624 −0.46 47.89116 47.9228.8 −1.06327 −1.001 −5.03949 −5.03 51.27652 51.3032.0 −31.66216 −31.560 −12.93755 −12.97 57.60478 57.63Tabelis 12.1 on GNU Octave’i programmiga kaarPrbSTMSjPr.m arvutatud liigenditetakaare sisejõud (tähistus (Octave)) ja õpikus [Rää75] lk 540 toodud sisejõud (tähistus (R.R)).Nende sisejõudude erinevus on tingitud arvutustäpsusest.12.6 Rõnga arvutusRõngast arvutame, kui suure kõverusega kaart (12.6). Olgu rõnga keskpinna kõverusraadiusρ = r (joonis 12.9(a)). Nii nagu näidatud õpikus [Kis86], saab taandada konstantsesuure kõverusega varda koormusliikme (12.6) arvutamise avaldise kolmeliikmegaavaldiseks.Koostame joonisel 12.9 toodud rõnga elemendi tasakaaluvõrrandid∑︁Mo = 0;∑︁Mk = 0;∑︁U = 0;dNds + 1 dMρ ds = (ρ + h 2 ) 2qv t = q tρ + mρ 2 ρ(12.76)dMds = Q + ρ + h 2qv t h 2 = Q + mρ(12.77)dQds − N ρ = ρ + h 2qv ρ = q ρρ(12.78)siinm = qtv ρ + h 2h 2ρ(12.79)q t = qtv ρ + h 2ρ(12.80)

12.6 Rõnga arvutus 343q ρ vvqtQMNhykdsUds yh 2q ρh Q+dQ 1M+dMN+dNMNQdsmkqtQ+dQM+dMN+dNρdϕO(a) Rõnga elementTühikq ρ=q ρ vqt=m =vqtvqtTühikρ+ρρ+ρρ+ρh 2h 2h 2h 2(b) Rõnga keskpindJoonis 12.9. Rõnga koormusedAvaldisest (12.76) saame (ρ = r)Avaldist (12.81) integreerides saamedM = −dN · r + (q t r + m) ds (12.81)M = −N · r +∫︁ s0(q t r + m) ds + D (12.82)Avaldises (12.82) integreerimiskonstandi D avaldame algtingimuste kaudu. Kui s = 0,M = M 0 ja N = N 0 , siis D = M 0 + N 0 r.Nüüd saamesiinC =Ühikjõust F i = 1 korral saameM = −N · r + C (12.83)∫︁ s0(q t r + m) ds + D (12.84)D = M 0 + N 0 r (12.85)m i = −n i · r + d i (12.86)Koormusest siirde arvutamisel kasutame valemit (12.6), kus ρ = r ja normaaljõu positiivnesuund on survel (joonis 12.9)∫︁ lj(︂ mi M p∆ ip =+ n iN p0 EI EA + k q i Q pjGA + m iN pEAr + n iM pEAr + m )︂iM pds (12.87)EAr 2

344 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]Avaldise (12.87) neljandasse ja kuuendasse liikmesse asetame m i avaldise (12.86), saame∆ ip =∫︁ lj0(︂ mi M pEI+ n iN pEA + k q i Q pjGA + (−n ir + d i ) N pEAr ++ n iM pEAr + (−n ir + d i ))︂M pds (12.88)EAr 2Pärast avaldise (12.88) lihtsustamist saame∫︁ lj(︂ )︂ ∫︁ mi M p q i Q lj(︂pNp r + M p∆ ip =+ k j ds + d i0 EI GA0 EAr 2Avaldise (12.83) arvestamisel saame∫︁ lj(︂ )︂ ∫︁ mi M p q i Q ljp∆ ip =+ k j ds + d i0 EI GA0)︂ds (12.89)C pds (12.90)EAr2 Ühikjõududest siirete arvutamisel võtame c i = C p ja c i = d i . Ühikjõududest siiretearvutamiseks saame avaldise∫︁ lj(︂ )︂mi m j q i q jδ ij =+ k j ds + d ∫︁id lj j ds(12.91)0 EI GA r 2 0 EARõnga arvutamisel põhiskeemi moodustamisel kasutame jäiku konsoole (joonis12.10). Jäikade konsoolide elastsuskese langeb kokku rõnga geomeetrilise keskpunktiga.Jäikade konsoolide kasutamisel põhiskeemis saame järgmise jõumeetodi kanoonilisevõrrandisüsteemiδ 1 1 + ∆ 1 p = 0δ 2 2 + ∆ 2 p = 0 (12.92)δ 3 3 + ∆ 3 p = 0PõhiskeemϕQFX 1X 1FX 2= 1 X 2= 1NX 3 X 2X 2X 3ϕQϕQX 1 = 1 X 1 = 1NX 3= 1 X 3= 1NJoonis 12.10. Rõngas. Põhiskeem

12.6 Rõnga arvutus 345Ühikkoormused on näidatud joonisel 12.10. Nende skeemide abil leiame ühikjõududestpõhjustatud sisejõud:m 1 = −r cos φ; m 2 = r sin φ; m 3 = 1;q 1 = sin φ; q 2 = cos φ; q 3 = 0;n 1 = cos φ; n 2 = − sin φ; n 3 = 0;d 1 = 0; d 2 = 0; d 3 = 1;(12.93)Kanoonilise võrrandisüsteemi (12.92) kordajate leidmisel kasutame avaldisi (12.91),(12.93)δ 1 12δ 2 22δ 3 32===∫︁ π0∫︁ π0∫︁ π0r 2 cos 2 ∫︁φ · rdφ π sin 2 φ · rdφ+ k jEI0 GAr 2 sin 2 ∫︁φ · rdφ π cos 2 φ · rdφ+ k jEI0 GA1 2 · rdφ+ 1 ∫︁ π rdφEI r 2 0 EA = πrEI + πrEA= πr32EI + k jπ2GA= πr32EI + k jπ2GA(12.94)Kanoonilise võrrandisüsteemi (12.92) vabaliikmete arvutamisel kasutame avaldist(12.90).

346 12. Kaared ja võlvid [Loeng 1]

13. Lõplike elementide meetodLoeng 1 1 : Vedrusüsteem. Näide 13.1.Näide 13.5 Tala.Loeng 2 2 : Varrassüsteem. Näide 13.2. Sõrestik.13.1 Elastse vedru jäikusmaatriksVaatleme elastse vedru (joonis 13.1) tasakaalu. Vedru otste siirded on u 1 ja u 2 . Vedrulemõjuvad jõud F (1)1 ja F (1)1 . Vedru jäikus on c (1) .1(1)cF (1) , u 2 , F (1)12u 12Joonis 13.1. VedruVedru otstes mõjuvate jõudude ja siirete vahel on järgmine seos (13.1):[︃F(1)1F (1)2]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃k11 k=12 u1k 21 k 22 u 2(13.1)Kinnitame vedru sõlmpunktis 2 nii, et u 2 = 0. Võrrandist (13.1) saab järgmise seose(13.2):Tasakaalutingimusest saameF (1)1 = k 11 u 1 = c (1) u 1 (13.2)F (1)2 = −F (1)1 = −c (1) u 1 , k 21 = −c (1) (13.3)Kinnitame vedru sõlmpunktis 1 nii, et u 1 = 0. Võrrandist (13.1) saame seose (13.4):Tasakaalutingimusest saame1 ./videod/LemLoeng1.html2 ./videod/LemLoeng2.htmlF (2)1 = k 22 u 2 = c (1) u 2 (13.4)F (1)1 = −F (1)2 = −c (1) u 2 , k 12 = −c (1) (13.5)347

348 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Nüüd võib avaldise (13.1) kirjutada kujul[︃c(1)−c (1) ]︃ [︃ ]︃ [︃(1)u1 F−c (1) c (1) 1=u 2 F (1)2Tasakaaluvõrrandi (13.6) vasakul pool on vedru jäikusmaatriks.]︃(13.6)13.2 Konstruktsiooni jäikusmaatriksVaatleme kahest vedrust (joonis 13.2 a)) koosnevat süsteemi, mis on koormatud kolmejõuga F 1 , F 2 , F 3 sõlmpunktides 1 , 2 , 3 . Vedrude jäikused olgu c (1) , c (2) .a)1(1) (2)cc23F , u1 1F 2 , u 2F 3, u 3b)1(1) (2)c(1)cF 1 , u1F (1) (2)(2), u 2 F , u F , u2 21 22 33F , u1 1F 2 , u 2F 3, u 3Joonis 13.2. VedrusüsteemEraldame sõlmed ja vedrud (joonis 13.2 b)). Koostame sõlmede kohta tasakaalutingimusedF 1 = F (1)1F 2 = F (1)2 + F (2)1 (13.7)F 3 = F (2)2Vedru otste siirete ja otstes mõjuvate jõudude vahelised seosed võib kirjutada maatrikskujul[︃ ]︃ [︃(1) F 1 c(1)−cF (1) =(1) ]︃ [︃ ]︃u1−c (1) c (1) (13.8)u22[︃F(2)1F (2)2]︃=[︃c(2)−c (2)−c (2) c (2) ]︃ [︃u2u 3]︃(13.9)Seose (13.8) ja (13.9) paremal pool asetsevaid maatrikseid nimetatakse vedru jäikusmaatriksiks.Asetades seosed (13.8) ja (13.9) võrrandisüsteemi (13.7), saame⎡⎢⎣⎤F 1⎥F 2F 3⎦ =⎡⎢⎣c (1) −c (1) ⎤0−c (1) c (1) + c (2) −c (2) ⎥⎦0 −c (2) c (2)⎡⎢⎣⎤u 1⎥u 2u 3⎦ (13.10)

13.2 Konstruktsiooni jäikusmaatriks 349Võrrandisüsteemi (13.10) üldkuju⎡⎢⎣⎤F 1⎥F 2F 3⎦ =⎡⎢⎣⎤k 11 k 12 k 13⎥k 21 k 22 k 23 ⎦k 31 k 32 k 33⎡⎢⎣⎤u 1⎥u 2u 3⎦ (13.11)Võrrandisüsteemi (13.11) paremal pool asetsevat maatriksit nimetatakse konstruktsioonijäikusmaatriksiks. Vaatleme võrrandisüsteemi (13.11) koostamiseks vajalikketabeleid. Esmalt kirjeldame vedrusüsteemi elementide asetust (tabel 13.1).Tabel 13.1. Vedrusüsteemi topoloogiaVedru nr Algus Lõpp(1) 1 2(2) 2 3Seejärel koostame elementide indekstabelid (tabel 13.2), mis annavad üldise jäikusmaatriksiaadressid (tabel 13.3).Tabel 13.2. Elementide indekstabelidElement nr 1Sõlm 1 21 11 122 21 22Element nr 2Sõlm 2 32 22 233 32 33Tabel 13.3. Konstruktsiooni jäikusmaatriksi aadressidSõlm nr 1 2 31 11 12 132 21 22 233 31 32 33Indekstabelite alusel kantakse elementide jäikusmaatriksid konstruktsiooni jäikusmaatriksisse⎡⎢⎣⎤F 1⎥F 2F 3⎦ =⎡⎢⎣k (1)11 k (1)12 0k (1)21 k (1)22 + k (2)11 k (2)230 k (2)32 k (2)33⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤u 1⎥u 2u 3⎦ (13.12)

350 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]13.3 Elastse vedru virtuaaltööVaatleme elastse vedru sisejõudude tööd. Vedru otsa ristlõikes Ω mõjuvad jõud F + jaF − (joonis 13.3), mis on võrdsed ja vastupidi suunatud. Olgu välispind pinnanormaaligan + ja sisepind pinnanormaaliga n − . Siis on välispinnal mõjuv jõud F + rajajõud jasisepinnal mõjuv jõud F − sisejõud. Ristlõike siiret tähistab u.n −F − F + n +uΩRajajõu F + töö W r siirdel u onSisejõu F − töö W s siirdel u onJoonis 13.3. Rajajõud ja sisejõudW r = F + · u (13.13)W s = −F − · u (13.14)Eristatakse aktiivtööd W (a) ja passiivtööd W (p) . Aktiivtöö jõud teevad tööd nende endipõhjustatud siiretel (joonis 13.4 a). Passiivtöö puhul on jõudude töö virtuaalsiiretel (neidsiirdeid ei kutsu esile vaadeldavad jõud)(joonis 13.4 b).a)F000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111 W (a)000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111∆b)F000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111δ W000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111000000000000000000111111111111111111∆∆ = u−2u 1Joonis 13.4. VirtuaaltööOlgu vedru otste siirded u 1 , u 2 ja vedru pikenemine ∆Sisejõudude virtuaaltöö δW s on∆ = u 2 − u 1 (13.15)δW s = −F (δ∆) = −F (δu 2 − δu 1 ) (13.16)

13.3 Elastse vedru virtuaaltöö 351Arvestades jõu F ja vedru pikenemise ∆ vahelist seostF = c · ∆ = c · (u 2 − u 1 ) (13.17)saameδW s = −c · (u 2 − u 1 ) (δ∆) = − [δu 1 (cu 1 − cu 2 ) + δu 2 (cu 2 − cu 1 )] (13.18)Avaldise (13.18) võib kirjutada maatrikskujulδW s = − [︁ ]︁ [︃ c −cδu 1 δu 2−c c]︃ [︃u1u 2]︃(13.19)Välisjõudude virtuaaltöö δW v onδW v = [︁ δu 1 δu 2]︁ [︃ F 1F 2]︃(13.20)Energiateoreemi põhjal on välisjõudude töö W v ja sisejõudude töö W s summa nullδW v + δW s = 0 (13.21)Arvestades välisjõudude virtuaaltööd (13.20) ja sisejõudude virtuaaltööd (13.19), saame[︁δu1 δu 2]︁ [︃ F 1F 2]︃= [︁ δu 1 δu ]︁ [︃ c −c2 −c cAvaldise (13.22) võib esitada ka lühemalt indekskujul]︃ [︃u1u 2]︃(13.22)δu i · F i = δu i · k ij · u j (i, j = 1, 2) (13.23)siin k ij on jäikusmaatriksi k elemendid[︃c −ck =−c c]︃(13.24)Jättes ära võrrandisüsteemis (13.22) δu 1 ja δu 2 , saame tasakaaluvõrrandi[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃F1 c −c u1=F 2 −c c u 2(13.25)või indekskujulF i = k ij · u j (i, j = 1, 2) (13.26)

352 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]13.4 Võrrandisüsteemi lahendamineVaatleme võrrandisüsteemi (13.27) lahendamist⎡⎢⎣mille maatrikskuju onc (1) −c (1) ⎤0−c (1) c (1) + c (2) −c (2) ⎥⎦0 −c (2) c (2)Võrrandisüsteemi (13.27) determinant⎡⎢⎣⎤u 1⎥u 2u 3⎦ =⎡⎢⎣⎤F 1⎥F 2F 3⎦ (13.27)Ku = F (13.28)detK = 0 (13.29)Determinandi null on tingitud sellest, et vedrusüsteemil (joonis 13.2) ei ole kirjeldatudrajatingimusi.Kinnitame vedrusüsteemi sõlmpunktis 1 (u 1 = 0), siis saame võrrandisüsteemi⎡⎢⎣⎤c (1) . −c (1) 0. . . · · · . . . . . .−c (1) . c (1) + c (2) −c (2)⎥⎦0 −c (2) . c (2)⎡⎢⎣u 1 = 0. . .u 2u 3⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣F 1. . .F 2F 3⎤⎥⎦(13.30)Tundmatuteks on u 2 , u 3 ja F 1 . Leiame esmalt u 2 ja u 3 võrrandisüsteemi (13.30) kahestviimasest võrrandist[︃c (1) + c (2) −c (2) ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃u2 F2−c (2) c (2) =u 3 F 3(13.31)Võrrandisüsteemi (13.30) esimesest võrrandist (13.32)[︁−c(1)0 ]︁ [︃ u 2u 3]︃= [︁ F 1]︁(13.32)arvutame tundmatu F 1 leitud u 2 ja u 3 abil.13.4.1 Vedrusüsteemi arvutamine. Näide 13.1Näide 13.1 Leida joonisel 13.5 näidatud vedrusüsteemi toereaktsioonid F 1 , F 2 ja sõlmpunktide2 , 3 siirded u 2 , u 3 . Vedrusüsteem on koormatud jõududega F 2 = 15 kN ja F 3 = 25 kN.Vedrude jäikused on c (1) = 3 MN/m ja c (2) = 1.5 MN/m ja c (3) = 2 MN/m.

13.4 Võrrandisüsteemi lahendamine 353(1)(2)c = 3 MN/m c = 1.5 MN/m c (3) = 2 MN/m000 11100 11000 111 1 23400 11000 11100 11000 11100 11000 11100 11F 1= ?F 2= 15 kNF 3= 25 kNF 4= ?u = 0u = ?1u = ?u 4= 023Joonis 13.5. Vedrusüsteemi arvutusskeemVedrusüsteemi taskaaluvõrrand on⎡⎤K 11 . K 12 K 13 . K 14 ⎡. . . · · · . . . . . . · · · . . .K 21 . K 22 K 23 . K 24K 31 . K 32 K 33 . K 34⎢⎣⎢⎣. . . · · · . . . . . . · · · . . . ⎥⎦K 41 . K 42 K 43 . K 44u 1 = 0. . .u 2u 3. . .u 4 = 0⎤⎡=⎥ ⎢⎦ ⎣⎤F 1. . .F 2F 3⎥. . . ⎦F 4(13.33)Jäikusmaatriksi (13.33) koostamiseks kirjeldame süsteemi topoloogiat (tabel 13.4). KoostameTabel 13.4. Süsteemi topoloogiaVedru nr Algus Lõpp(1) 1 2(2) 2 3(3) 3 4elementide indekstabelid (tabel 13.5) ja elementidede jäikusmaatriksid (tabel 13.6)Element nr 1Sõlm 1 21 11 122 21 22Tabel 13.5. Vedrude indekstabelidElement nr 2Sõlm 2 32 22 233 32 33Element nr 3Sõlm 3 43 33 344 43 44Tabel 13.6. Vedrude jäikusmaatriksidElement nr 1Sõlm 1 21 3.0 -3.02 -3.0 3.0Element nr 2Sõlm 2 32 1.5 -1.53 -1.5 1.5Element nr 3Sõlm 3 43 2.0 -2.04 -2.0 2.0

354 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Tabelist 13.5 näeme, missugustele aadressidele tuleb kanda elementide jäikusmaatriksi elemendid(tabel 13.6). Konstruktsiooni jäikusmaatriksi elemendid onK 11 = k (1)11K 12 = k (1)12K 13 = 0= 3.0 MN/m= −3.0 MN/mK 14 = 0K 22 = k (1)22 + k(2) 11 = 3.0 + 1.5 = 4.5 MN/mK 23 = k (2)12 = −1.5 MN/m (13.34)K 24 = 0K 33 = k (2)22 + k(3) 11 = 1.5 + 2.0 = 3.5 MN/mK 34 = k (3)12 = −2.0 MN/mK 44 = k (3)22 = 3.0 MN/mJäikusmaatriks K on sümmeetriline (K ij = K ji ).Esmalt koostame tasakaaluvõrrandisüsteemi (13.33) teise ja kolmanda võrrandi[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃K22 K 23 u2 F2=K 33 u 3 F 3K 32Võrrandisüsteemi (13.35) arvuline kuju[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃4.5 −1.5 u2 15 · 10−3=−1.5 3.5 u 3 25 · 10 −3Võrrandisüsteemi (13.36) determinantVõrrandisüsteemi (13.35) lahendiks saamekus K −12 on maatriksi K 2 (13.35) pöördmaatriks(13.35)(13.36)detK 2 = 13.5 MN 2 /m 2 (13.37)K −12 = 1[︃ ]︃K33 −K 23= 1detK 2 −K 32 K 22 13.5Võrrandisüsteemi(13.36) lahendiks saame[︃ ]︃u2= 1[︃3.5 1.5u 3 13.5 1.5 4.5u = K −12 F (13.38)]︃ [︃ ]︃15 · 10−325 · 10 −3 =[︃3.5 1.51.5 4.5]︃(13.39)[︃ ]︃6.666... · 10−31.0 · 10 −2 m (13.40)Tasakaaluvõrrandisüsteemi (13.33) esimesest ja neljandast võrrandist saame[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃F1 K12 K=13 u2=F 4 K 42 K 43 u 3[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃−3.2 0.0 6.666... · 10−3 −20.0=0.0 −2.0 1.0 · 10 −2 =kN (13.41)−20.0Kontrollime vedrusüsteemi tasakaaluF 1 + F 2 + F 3 + F 4 = −20.0 + 15.0 + 25.0 − 20.0 = 0 (13.42)

13.5 Varda pikke jäikusmaatriks 35513.5 Varda pikke jäikusmaatriksVaatleme varda elementi (joonis 13.6) pikkusega l ja jäikusega c (1) = EA . Varda teljegalseome kohalikud koordinaadid x * ja z * . Kohalikes koordinaatides varda jäikusmaatriksija tasakaaluvõrrandi saame sarnaselt vedru tasakaaluvõrrandile (13.6).(1)1c = EA/l2F (1) u u1, 1 l2 , F (1)2xzJoonis 13.6. Varda elementVarda tasakaaluvõrrand onehk maatrikskujulEAl[︃1 −1−1 1]︃ [︃u1u 2]︃=[︃F(1)1F (1)2]︃(13.43)Ku = F (13.44)kus varda jäikusmaatriks KK = EAl[︃1 −1−1 1]︃(13.45)13.6 Jäikusmaatriks üldkoordinaatidesRajajõudude (kontaktjõudude) positiivse suuna määramisel on kasutusel kaksmärgikokkulepet (joonis 1.19, kus on kasutusel parema käe teljestik, vt joonis 1.20).Esimene märgikokkulepe (joonis 1.19 b)) on tuttav tehnilisest mehaanikast. Teine märgikokkulepe(joonis 1.19 a)) on vajalik varrassüsteemide tasakaaluvõrrandite algoritmidekoostamiseks.Võrreldes I märgikokkulepet II märgikokkuleppega, näeme, et varda lõpus olevad rajajõudude(kontaktjõudude) suunad langevad kokku. Varda alguses on rajajõudude suunadvastasmärgilised. Sisejõude leitakse rajajõudude kaudu. Sisejõudude märgid ei tohisõltuda rajajõudude märgikokkuleppest.Sisejõudude märgireeglid I märgikokkuleppe puhul on raamatus [MR96] lk 35 ”Tõmbejõuloeme positiivseks”, ”Survejõu loeme negatiivseks”; lk 45 ”Põikjõu range märgireegel:positiivseks loeme põikjõudu, mis positiivset sisepinda nihutab koordinaatteljepositiivses suunas või negatiivset sisepinda koordinaattelje negatiivses suunas”, ”Põikjõu

356 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]märgi tööreegel: positiivseks loeme põikjõudu, mis nihutab positiivset sisepinda päripäeva”;lk 43 ”Paindemomendi loeme positiivseks, kui varda positiivsed kiud on tõmmatud”.Tehnilises mehaanikas (tugevusõpetuses) langevad sisejõudude märgireeglid ja rajajõudude(kontaktjõudude) märgireeglid (I märgikokkulepe) kokku. Kasutades IImärgikokkulepet, tuleb sisejõudude märgi määramisel rajajõudude (kontaktjõudude)kaudu varda alguses arvestada nende erinevaid märke. Rõhutame, et sisejõud on vardasisepinnal ja rajajõud (kontaktjõud) mõjuvad varda välispinnal. Lisame vardatasakaaluvõrranditele (13.43) kohalikes koordinaatides tühjad read, mis vastavad z *koordinaadileehk maatrikskujulEAl⎡⎢⎣1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣u * 1v * 1u * 2v * 2⎤ ⎡⎥⎦ = ⎢⎣F * x1F * z1F * x2F * z2⎤⎥⎦(13.46)K * u * = F * (13.47)Teisendame jõud üldkoordinaatidest kohalikesse koordinaatidesse (13.48). Ühe jõuteisendus üldkoordinaatidest kohalikesse koordinaatidesse on toodud avaldisega (1.45).⎡⎢⎣ehk maatrikskujulF *)x1F * z1F * x2F * z2⎤ ⎡⎥ = ⎢⎦ ⎣cos α cos β 0 0− cos β cos α 0 00 0 cos α cos β0 0 − cos β cos α⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤F x1F z1⎥F x2 ⎦F z2(13.48)F * = TF (13.49)siin on T pikkele töötava varda jõudude teisendusmaatriks⎡T = ⎢⎣cos α cos β 0 0− cos β cos α 0 00 0 cos α cos β0 0 − cos β cos α⎤⎥⎦(13.50)Teisendusmaatriksi T abil avaldame siirded kohalikes koordinaatides d * , siirete kauduüldkoordinaatides dTeisendusmaatriks (13.50) on ortogonaalne, s.od * = Td (13.51)T (−1) = T (T ) (13.52)

13.6 Jäikusmaatriks üldkoordinaatides 357kusT (T ) – transponeeritud maatriksT (−1) – maatriksi T pöördmaatriksTeisenduste (13.49), (13.51) pöördteisendused onF = T T F * (13.53)d = T T d * (13.54)Jäikusmaatriksi K üldkoordinaatides saame avaldiste (13.53), (13.47) ja (13.51) abilF = T T F * = T T K * d * = ⏟ T T K ⏞* T d (13.55)KkusT T K * T on jäikusmaatriks K üldkoordinaatidesK = T T K * T (13.56)Teostame maatriksi T T ja maatriksi K * korrutamise, tähistades c = cos α, s = cos β.Korrutise elementideks on maatriksi T T i-nda rea ja maatriksi K * j-nda veeru vastavateelementide korrutiste summad⎡T T = ⎢⎣c −s 0 0s c 0 00 0 c −s0 0 s c⎤EAl⎡⎢⎣⎥⎦ ; EA⎢l ⎣1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0⎡c 0 −c 0s 0 −s 0−c 0 c 0−s 0 s 0⎤⎥ = ⎦ K*⎤⎥⎦ = TT K * (13.57)Korrutame saadud tulemust T T K * teisendusmaatriksiga TT T K * = EAl⎡⎢⎣c 0 −c 0s 0 −s 0−c 0 c 0−s 0 s 0⎡⎢⎣c s 0 0−s c 0 00 0 c s0 0 −s c⎤⎥ = T ⎦⎤ ⎡c 2 cs −c 2 ⎤−cs⎥⎦ ; EAcs s 2 −cs −s 2⎢l ⎣ −c 2 −cs c 2 ⎥cs= K (13.58)⎦−cs −s 2 cs s 2

358 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Varda elemendi jäikusmaatriks üldkoordinaatidesK = EAl⎡⎢⎣⎤c 2 cs . −c 2 −cscs s 2 . −cs −s 2−c 2 −cs . c 2 cs ⎥⎦−cs −s 2 . cs s 2Saadud jäikusmaatriksi esitame alammaatriksi kk = EAl[︃c2cs]︃css 2(13.59)(13.60)kaudu[︃k −kK =−k k]︃(13.61)13.7 Elemendis mõjuv pikkejõudTasakaaluvõrrandisüsteemi lahendamise tulemusel saadakse sõlmpunktide siirded u 1 ,v 1 , u 2 , v 2 . Varda elemendis tuleb leida sisejõud. Sisejõudude leidmiseks vaatleme vardatasakaaluvõrrandit kohalikes koordinaatides (13.47)Korrutise F * T saame järgmiselt:F * = K * d * = K * Td (13.62)K * = EAl⎡⎢⎣1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0⎤⎡⎢⎣⎥⎦ ; EA⎢l ⎣c s 0 0−s c 0 00 0 c s0 0 −s c⎡c s −c −s0 0 0 0−c −s c s0 0 0 0⎤⎥ = T ⎦⎤⎥⎦ = K* T (13.63)võrrandist (13.62) saame korrutise (A.25) abil[︃F*x1F * x2]︃= EAl[︃c s −c −s−c −s c s⎡]︃⎢⎢⎣u 1v 1u 2v 2⎤⎥⎦(13.64)

l13.7 Elemendis mõjuv pikkejõud 359Arvestades, et varda lõpus olev rajajõu märk langeb kokku sisejõu märgiga, saameN = [F * x2] = EAl⎡[︁ ]︁−c −s c s ⎢⎣13.7.1 Varrassüsteemi arvutamine. Näide 13.2u 1v 1u 2v 2⎤⎥⎦(13.65)Näide 13.2 Leida varrassüsteemi (joonis 13.7) sõlmpunkti 3 siirded u 3 ja v 3 . Koormus F x3ja F z3 on rakendatud sõlme 3 . Varraste ✞ ☎✝1 ✆, ✞ ☎✝2 ✆, ✞ ☎✝3 ✆pikkused on l, l √ 2 ja l.0101011u 1lV 2xv 1u 2u 332010101v 212 3v 3F x3lF z3zJoonis 13.7. Varrassüsteemi arvutusskeemVarrassüsteemi sõlmpunktide siirete vektor d ja jõudude vektor F on⎡d =⎢⎣⎤u 1v 1u 2v 2⎥u 3 ⎦v 3⎡, F =⎢⎣⎤F x1F z1F x2F z2⎥F x3 ⎦F z3(13.66)Jäikusmaatriksi K ij (i, j = 1, 2, ..., 6) koostamiseks kirjeldame süsteemi topoloogiat (tabel13.7).Võttes arvesse varraste suunda (tabel 13.7), esitame varraste suunakoosinused tabelis (tabel13.8). Koostame elementide indekstabelid (tabel 13.9) ja jäikusmaatriksid (tabel 13.10), kusk (n)ijon alammaatriksid (13.67), (13.68), (13.69), (vaata avaldist 13.60). Saamek (1)11 = k (1)22 = k(1) = EA[︃1.0 0.0l 0.0 0.0k (1)12 = k (1)21 = −k(1) (13.67)]︃

360 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Tabel 13.7. Varrassüsteemi topoloogiaVarras nr Algus Lõpp(1) 2 3(2) 1 3(3) 1 2Tabel 13.8. Varraste suunakoosinusedVarras cos α cos βnr c s(1) 1.0 0.0√ √(2)2 22 2(3) 0.0 1.0Element nr 1Sõlm 2 32 22 233 32 33Tabel 13.9. Varraste indekstabelidElement nr 2Sõlm 1 31 11 133 31 33Element nr 3Sõlm 1 21 11 122 21 22Tabel 13.10. Varraste jäikusmaatriksidElement nr 1Sõlm 2 32 k (1)11 k (1)123 k (1)21 k (1)22Element nr 2Sõlm 1 31 k (2)11 k (2)123 k (2)21 k (2)22Element nr 3Sõlm 1 21 k (3)11 k (3)122 k (3)21 k (3)22k (2)11 = k (2)22 = k(2) = EA[︃l12 √ 212 √ 2]︃12 √ 212 √ 2k (2)12 = k (2)21 = −k(2) (13.68)k (3)11 = k (3)22 = k(3) = EA[︃0.0 0.0l 0.0 1.0k (3)12 = k (3)21 = −k(3) (13.69)]︃

13.7 Elemendis mõjuv pikkejõud 361Koostame tasakaaluvõrrandite süsteemi alammaatriksite abil⎡⎡⎤ u 1 = 0k (2)11 + k(3) 11 . k (3)12 . k (2)v 1 = 012. . . · · · . . . · · · . . .. . .k (3)21 . k (1)11 + k(3) 22 . k (1)u 2 = 012v 2 = 0⎢ . . . · · · . . . · · · . . . ⎥⎣⎦. . .k (2)21 . k (1)21 . k (1)22 + ⎢k(2) ⎣ u223v 3⎤⎡=⎥ ⎢⎦ ⎣⎤F x1F z1. . .F x2F z2. . .⎥F x3 ⎦F z3(13.70)Võrrandisüsteem (13.70) on sümmeetriline. Võttes arvesse alammaatriksite avaldised (13.67),(13.68) ja (13.69), saameEAl⎡⎢⎣12 √ 212 √ 0 0 − 122 √ 2· 1 + 12 √ 0 −1 − 122 √ 2· · 1 0 −1 0· · · 1 0 0· · · · 1 + 12 √ 12 2 √ 21· · · · ·2 √ 2− 12 √ 2− 12 √ 2⎤⎡⎢⎥ ⎣⎦u 1 = 0v 1 = 0u 2 = 0v 2 = 0u 3v 3⎤⎡=⎥ ⎢⎦ ⎣⎤F x1F z1F x2F z2⎥F x3 ⎦F z3(13.71)Siirded u 3 , v 3 leiame võrrandisüsteemi (13.71) kahest viimasest võrrandist:EAl[︃ 1 +12 √ 212 √ 2Võrrandisüsteemi (13.72) lahend on[︃u3v 3]︃]︃ [︃12 √ 2 u312 √ 2v 3]︃= l[︃1 −1EA −1 1 + 2 √ 2=[︃ ]︃Fx3F z3]︃ [︃ ]︃Fx3F z3(13.72)(13.73)Jõud sõlmedes 1 ja 2 leiame võrrandisüsteemi (13.71) esimesest neljast võrrandist:⎡⎢⎣⎤F x1F z1⎥F x2F z2⎡⎦ = EA⎢l ⎣− 12 √ 2− 12 √ 2− 12 √ 2− 12 √ 2−1 00 0Varda ✞ ☎✝1 ✆sisejõud N 1⎡N 1 = EA [︁]︁−c −s c s ⎢l⎣[︁1.0 0.0]︁ [︃ 1 −1−1 1 + 2 √ 2⎤[︃ ]︃u3⎥⎦ v 3u 2 = 0v 2 = 0u 3v 3⎤⎥⎦ =(13.74)]︃ [︃Fx3F z3]︃= F x3 − F z3 (13.75)

362 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Varda ✞ ☎✝2 ✆sisejõud N 2⎡N 2 = EAl √ [︁]︁−c −s c s ⎢2⎣1√2[︁ √22√22Kolmanda varda ✞ ☎✝3 ✆sisejõud N 3 = 0.]︁ [︃ 1 −1−1 1 + 2 √ 213.8 Sõlmede nummerdamisestu 2 = 0v 2 = 0u 3v 3⎤⎥⎦ =]︃ [︃ ]︃Fx3= √ 2FF z3 (13.76)z3Tasakaaluvõrrandite vasaku poole maatriksid on hõredad maatriksid, s.o sisaldavadpalju nullelemente. Sõlmede nummerdamise järjekorrast sõltub varraste jäikusmaat-a)246810121416180000 11111 3 5 7 9 11 13 150000 111100 111700 11b)1011121413 151617181 2 3 4 5 6 7 8 90000 1111 00 11Joonis 13.8. Sõlmede nummerdamineriksi elementide asukoht tasakaaluvõrrandisüsteemis. Joonisel 13.8 on näidatud kahtesõlmede nummerdamisviisi.Joonisel 13.8 a) näidatud nummerdamise tulemusel saadakse lintvõrrandisüsteemimaatriks (joonis 13.9 a)). Joonisel 13.8 b) on konstruktsiooni jäikusmaatriksis hõremaatriks (vt lisa B lk 647). Võrrandisüsteemi lahendamiseks, mille vasak pool on hõremaatriks, kasutatakse hõredate võrrandisüsteemide lahendamise programme.

13.9 Sõrestiku arvutamise näited 363a)1 2 3435 36b)1 2 3435 361234x x x xx x x x 0x x x x x xx x x x x x 00 x x x x x xx x x x x x0 x x x x0xx x0x x x x 0x x x x x x01234x xx x0 00 00 00 0x x 0 0x x 0 00 00 0 x xx xxx xx xxxxxx xx xxxxxLindi laius035360 x x x x x xx x x x x x0 x x x xx x x x3536xxxx x 0 0x x 0 00 0 x x0 0 x xJoonis 13.9. Võrrandisüsteemi kuju13.9 Sõrestiku arvutamise näited13.9.1 Sõrestiku arvutamine. Näide 13.3Näide 13.3 Arvutada pikijõud joonisel 13.10 näidatud staatikaga määramatus sõrestikus.Sõrestiku kõrgus H = 2.25 m ja sille L = 12 m. Sõrestiku ülemise vöö sõlmedes mõjub koormusF = 12 kN.Staatikaga määramatus tasandsõrestikus arvutame liigsidemete arvu valemiga (6.1):n = n v + n t − 2 * n s = 17 + 4 − 2 * 10 = 1 (13.77)kus n v = 17 on sõrestikuvarraste arv, n t = 4 toesidemete arv, n s = 10 sõrestikusõlmede arv.Lõplike elementide puhul peab jälgima, et arvutusskeem ei oleks hetkmuutuv (vt lk 86) võimehhanism. Lõplike elementide meetodiga saab arvutada, kui staatikaga määramatuse aste onn ≥ 0.A ülemine vöö20.75 m0.75 m 10.75 m 10000 11110000 1111= 1.4 A A alumine vöö= 1 A A diagonaal = 1.2 AF/2 F = 12 kN F F F/24 4 6 6 10 8 14 1095 7111335158171237 9216000 111d d = 3m d d 000 111L = 12 mJoonis 13.10. Staatikaga määramatu sõrestikH = 2.25 m

364 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Ülesande lahendamisel kasutame GNU Octave’i programmi srstkLemPY.m 3 lk 738. Lõplikeelementide meetod (LEM) arvutab esmalt siirded, siis leiab sisejõud. Arvutamiseks on vajateada sõrestiku varraste ristlõike jäikust EA. Esmakordseks arvutamiseks võib valida ristlõikepindalaks A = 1. Arvutiprogrammiga leiame maksimaalse jõu N 2 = N 16 = −38.622 N. Edasileiame vajaliku ristlõike pindala. Terase elastsusmoodul (E=210GPa) E = 2.1E + 11 Pa jalubatav pinge [σ] = 0.16 GPa = 1.6E + 08Pa. Vajalik ristlõike pindalaA ≥N 3.862E + 04=φ [σ] 0.28 [1.6E + 08] = 8.621E − 04 m2 = 8.621 cm 2 (13.78)siin φ on nõtketegur (vt [Jür85] lk 368, .djvu lk 186).Valime A = 2x4.79 = 9.58 cm 2 ≥ 8.621 cm 2 (2x60x40x5 Ruuki erikülgsed nurkrauad i x =1.89 cm). Varda saledus λλ = l 2= 309.23 = 163.6 ⇒ φ = 0.28 (13.79)i x 1.89Pärast ristlõike valimist arvutame sõrestiku sõlmpunktide siirded ja varraste sisejõud. Lahendamiselsaadud tulemused on toodud päevikus 13.1.Arvutuspäevik 13.1 octave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> srstkLemPY==============================Järgnev on s~orestiku arvutus:A = 9.5800e-04Aa = 9.5800e-04Ay = 0.0013412Ad = 0.0011496E = 2.1000e+11EAa = 201180000EAy = 2.8165e+08EAd = 241416000SolmedeArv = 10ElementideArv = 17===============================S~olmede koordinaadidJrk X Z-----------------------------1 0.0000 0.00002 0.0000 -2.25003 3.0000 -0.75004 3.0000 -2.25005 6.0000 -1.50006 6.0000 -2.25007 9.0000 -0.75008 9.0000 -2.25009 12.0000 0.000010 12.0000 -2.2500-----------------------------3 ./octaveProgrammid/srstkLemPY.Kommentaarid.pdf

13.9 Sõrestiku arvutamise näited 365==============================================Elementide topoloogiaNr Algus L~opp A E----------------------------------------------1 1 2 1.150e-03 2.100e+112 1 3 9.580e-04 2.100e+113 2 3 1.150e-03 2.100e+114 2 4 1.341e-03 2.100e+115 3 4 1.150e-03 2.100e+116 4 6 1.341e-03 2.100e+117 4 5 1.150e-03 2.100e+118 3 5 9.580e-04 2.100e+119 5 6 1.150e-03 2.100e+1110 6 8 1.341e-03 2.100e+1111 5 8 1.150e-03 2.100e+1112 5 7 9.580e-04 2.100e+1113 7 8 1.150e-03 2.100e+1114 8 10 1.341e-03 2.100e+1115 7 10 1.150e-03 2.100e+1116 7 9 9.580e-04 2.100e+1117 9 10 1.150e-03 2.100e+11----------------------------------------------===============================Toes~olmedJrk X-suunas Z-suunas-----------------------------1 1 12 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 1 110 0 0-----------------------------================================S~olmede vabadusastmete numbridJrk X-suunas Z-suunas--------------------------------1 17 182 1 23 3 44 5 65 7 86 9 107 11 128 13 149 19 2010 15 16-----------------------------==============================Elementide suunakoosinusedJrkNr cosAlpha cosBeta-----------------------------1 0.0000 -1.00002 0.9701 -0.24253 0.8944 0.44724 1.0000 0.00005 0.0000 -1.00006 1.0000 0.00007 0.9701 0.24258 0.9701 -0.24259 0.0000 -1.000010 1.0000 0.000011 0.9701 -0.242512 0.9701 0.242513 0.0000 -1.000014 1.0000 0.000015 0.8944 -0.447216 0.9701 0.242517 0.0000 -1.0000-----------------------------=============================J~oud s~olmedes [kN]Jrk X-suunas Z-suunas-----------------------------1 0.0000 0.0000

366 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]2 0.0000 6.00003 0.0000 0.00004 0.0000 12.00005 0.0000 0.00006 0.0000 12.00007 0.0000 0.00008 0.0000 12.00009 0.0000 0.000010 0.0000 6.0000-----------------------------================================S~olmede siirded [cm] (LEM)Jrk x-suunas z-suunas--------------------------------1 0.000e+00 0.000e+002 4.625e-02 1.411e-023 -1.022e-02 1.906e-014 2.677e-02 1.991e-015 -1.133e-16 3.435e-016 -1.196e-16 3.472e-017 1.022e-02 1.906e-018 -2.677e-02 1.991e-019 0.000e+00 0.000e+0010 -4.625e-02 1.411e-02-----------------------------===========================================================================Varraste sisej~oud (LEM)Jrk N [kN]-----------------------------1 -15.14202 -36.52233 20.44224 -18.28415 -13.71316 -25.13637 7.06318 -17.67559 -12.000010 -25.136311 7.063112 -17.675513 -13.713114 -18.284115 20.442216 -36.522317 -15.1420-----------------------------==================================S~orestiku toereaktsioonid [kN]S~olme nr Kinni nr Toereaktsioon-----------------------------------1 17 35.43181 18 -24.00009 19 -35.43189 20 -24.0000-----------------------------------octave-3.0.1:4> diary off

13.9 Sõrestiku arvutamise näited 36713.9.2 Sõrestiku arvutamine. Näide 13.4Näide 13.4 [Sõrestiku arvutus] Arvutada näites 6.2 lk 158 toodud staatikaga määratudsõrestik sõrestik lõplike elementide meetodiga.GNU Octave’i programm srstkLEM.m lk 738 arvutab staatiliselt määratud sõrestiku varrastesisejõud võrdluseks programmiga srstkNBA.m lk 720.Lahendamisel saadud tulemused on toodud päevikus 13.2.Arvutuspäevik 13.2octave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> srstkLEM===============================Järgnev on s~orestiku arvutus:Aa = 1Ay = 1Ad = 1E = 210000SolmedeArv = 16ElementideArv = 29===============================Varraste sisej~oud (LEM)Jrk N [kN]-----------------------------1 -32.61592 5.00003 25.46884 -32.08665 5.53606 25.46887 7.94448 -30.05539 -1.753510 30.843711 4.000012 -31.875013 1.718814 30.843715 0.000016 -31.875017 8.281218 -4.218719 26.906220 -24.590721 -0.000022 26.906223 6.500024 -26.252725 1.400726 23.281327 8.000028 -29.814529 23.2812==================================S~orestiku toereaktsioonid [kN]S~olme nr Kinni nr Toereaktsioon-----------------------------------1 30 0.00001 31 -20.375016 32 -18.6250-----------------------------------octave-3.0.1:4> diary offLeitud varraste sisejõud langevad kokku lk 160, 161 esitatutega.

368 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]13.10 Tala paineVirtuaalsiirete printsiip varda elemendi (joonis 13.11) jaoks on toodud avaldisega (D.36lk 669). Virtuaalsiirete printsiip väidab: kui tala element on sellele rakendatud koormusemõjul tasakaalus, siis tala elemendi mis tahes väikestel võimalikel siiretel sise-, kontaktjavälisjõudude tööde summa on null. Sisejõudude töö – [︁ δd ]︁ T [K] [d] on negatiivne jaon toodud teisele poole võrdusmärki:[︁ ]︁ δdT[K] [d] = [︁ δd ]︁ T [F] + [︁ δd ]︁ T [F q ] (13.80)Joonisel 13.11 esitatud jõudude ja siirete suunad vastavad teisele märgikokkuleppele.FqM Lϕ LxM Aϕ AQ AwAA, 1zMLL, 2Q Lw LJoonis 13.11. Tala elemendi jõudude ja siirete positiivsed suunadVirtuaalsiirete printsiibist (13.80) saame varda elemendi tasakaaluvõrrandi (13.81).kus K (e) on tala elemendi jäikusmaatriks,F (e) – tala elemendi kontaktjõud (rajajõud),F q(e) – tala elemendi koormus,d (e) – tala elemendi otsade siirded ja pöörded.13.10.1 Tala painde jäikusmaatriksK (e) d (e) = F (e) + F (e)q (13.81)Lõplike elementide meetodi (LEM) rakendamiseks vaatleme toodud lõplikku elementi(joonis 13.11).Tala otstes mõjuvatest kontaktjõududest ja siiretest moodustame vektorid⎡F (e) = ⎢⎣⎤Q AM A⎥Q LM L⎡⎦ , d(e) = ⎢⎣w Aφ Aw Lφ L⎤⎥⎦(13.82)Moodustame tala alguses ja lõpus olevatest siiretest vastavad vektorid[︃ ]︃[︃ ]︃wAwLv A = , vφ L =A φ L(13.83)

13.10 Tala paine 369ning tala alguses ja lõpus olevatest kontaktjõududest vektorids A =[︃ ]︃QAM A, s L =[︃ ]︃QLM L(13.84)Jäikusmaatriksi leidmiseks vaatleme ülekandemaatriksit U (F.33) ja võrrandit(F.31), mille struktuur on[︃vLs L]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃U11 U=12 vA+U 21 U 22 s A[︃f1f 2]︃(13.85)Võrrandisüsteemi (13.85) teisendame kujule[︃sAs L]︃=[︃−U −112 U 11 U −112U 21 − U 22 U −112 U 11 U 22 U −112]︃ [︃ ]︃ [︃vA+v L−U −1 ]︃12 f 1−U 22 U −112 f 2(13.86)ehkKirjutame võrrandi (13.87) kujulF (e) = K (e) · d (e) − F (e)q (13.87)K (e) · d (e) = F (e) + F (e)q (13.88)kus K (e) on toodud avaldisegaK (e) = EIl 3⎡⎢⎣⎤12 −6l −12 −6l−6l 4l 2 6l 2l 2⎥−12 6l 12 6l ⎦−6l 2l 2 6l 4l 2(13.89)elemendi kontaktjõud F (e) ja sõlmpunkti siirded d (e) on toodud avaldisega (13.82) ningelemendile mõjuv koormusvektor F q(e) – avaldisega[︁F(e)q⎡]︁ = ⎢⎣⎤f qAf mA⎥f qLf mL⎡⎦ = ql⎢12 ⎣6−l6l⎤⎥⎦(13.90)Tala elemendi, millel on momendiliigend paremal, jäikusmaatriksi arvutame maatriksikondensatsiooni valemiga (13.92) (vt jaotised A.12.1 ja A.12.2 valemid (A.69), (A.74)ja (A.75):K (e)par =⎡⎢⎣⎤k 11 k 12 k 13⎥k 21 k 22 k 23k 31 k 32 k 33⎡⎦ − 1 ⎢⎣k 44⎤k 14k 24k 34[︁ ]︁⎥⎦ k41 k 42 k 43(13.91)

370 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]K (e)par = EI yl 3⎡⎢⎣12 −6l −12−6l 4l 2 6l−12 6l 12⎤⎥⎦ − EI yl 3l4⎡⎢⎣−6l2l 26l⎤⎥⎦[︁−6l 2l26l ]︁ (13.92)K (e)par = EI yl 3⎡⎢⎣3 −3l −3−3l 3l 2 3l−3l 3l 3Koormusvektoriks f e par kondensatsiooni valemiga (A.70).⎡f par (e) ⎢= ⎣˜f qA˜f mA˜f qL⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣f qAf mAf qL⎤⎥⎦ − 1⎡⎢⎣k 44⎤⎥⎦ (13.93)⎤k 14⎥k 24k 34⎦ f mL (13.94)f (e)par = q zl12⎡⎢⎣6−l6⎤⎥⎦ − 1 ll 3 4⎡⎢⎣−6l2l 26l⎤⎥ q zl 2⎦12 = q zl8⎡⎢⎣5−l3⎤⎥⎦ (13.95)13.10.2 LEM. Tala arvutus. Näide 13.5Näide 13.5 Leida joonisel 13.12 tala põikjõud ja paindemomendid lõplike elementide meetodiga.Tala on koormatud ühtlaselt jaotatud koormusega q z = 30 kN/m. Tala ristlõike jäikuson EI = 2 * 10 4 kN·m 2 . Tala silded on 4 m.Ülesande lahendamiseks saab kasutada GNU Octave’is koostatud programmi LemTalaNaide1.mlk 738.01q = 30 kN/m0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111101000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111a b c01EI =20000 [kN.00 11000 111m]00 11L = 4 mL = 8 md 1d[ 3d 4] = v d 5d2 [ = v 7dd 3 [ = v 9d 4 [ = vd 5[ ] = v 1d 26]1 2 1 2 1 2 1 21 2 3 4 5Element1 Element2 Element3 Element42 m 2 m 2 m 2 m8]10]Joonis 13.12. Tala arvutus LEM-iga

13.10 Tala paine 371Vaadeldava tala jagame elementideks pikkusega 2 m. Tala elemendi jäikusmaatriksi arvutameavaldisele (13.89) järgi:⎡⎤30.0 −30.0 . −30.0 −30.0−30.0 40.0 . 30.0 20.0K (e) =. . . . . . . . . . . . . . .*10 3 (13.96)⎢ −30.0 30.0 . 30.0 30.0 ⎥⎣⎦−30.0 20.0 . 30.0 40.0Koormusvektori F (e)q(13.97) leiame avaldise (13.90) järgi:⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡f qA6[︁ ]︁F (e)f q = mA⎢ ⎥⎣ f qL ⎦ = ql−l⎢ ⎥12 ⎣ 6 ⎦ = ⎢⎣f mL l30.0−10.030.010.0⎤⎥⎦(13.97)Tala elemendi, momendiliigendiga paremal, jäikusmaatriksi moodustame valemi (13.93) järgi:⎡⎤7.5 −15.0 −7.5K (e) ⎢⎥par = ⎣ −15.0 30.0 15.0 ⎦ *10 3 (13.98)−7.5 15.0 7.5Tala elemendi, momendiliigendiga paremal, koormusvektori moodustame valemi (13.95) järgi:⎡ ⎤ ⎡ ⎤f par (e) = q 5zl ⎢ ⎥⎣ −l ⎦ = 15 5⎢ ⎥⎣ −2 ⎦ (13.99)8233Tala tasakaaluvõrrand:K · d = F + F q (13.100)kus K on toodud avaldisega (13.102)ja siirete d, sõlmkoormuse F ja koormuse vektorid F q on kirjeldatud (13.101):d =⎢⎣⎡ ⎤d 1d 2. . .d 3d 4. . .d 5d 6. . .d 7d 8. . .⎥d 9 ⎦d 10⎡=⎢⎣w 1 = 0φ 1 = 0. . .w 2φ 2. . .w 3 = 0φ 3. . .w 4φ 4. . .w 5 = 0φ 5⎤⎡, F =⎥⎢⎦⎣F 1 =?F 2 =?. . .F 3F 4. . .F 5 =?F 6. . .F 7F 8. . .F 9 =?F 10 = 0⎤⎡ ⎤f 1f 2. . .f 3f 4. . .f , F q = 5f 6. . .f 7f 8. . .⎥⎢ ⎥⎦⎣ f 9 ⎦f 10(13.101)

372 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Kd =⎡1 1 k (1)1 2 k (1)1 3 k (1)1 4 · · · · · ·k (1)⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣k (1)2 1 k (1)2 2 k (1)k (1)3 1 k (1)2 3 k (1)2 4 · · · · · ·3 2 k (1)3 3 + k(2) 1 1 k (1)3 4 + k(2) 1 2 k (2)1 3 k (2)1 4 · · · ·k (1)4 1 k (1)4 2 k (1)4 3 + k(2) 2 1 k (1)4 4 + k(2) 2 2 k (2)2 3 k (2)2 4 · · · ·· · k (2)3 1 k (2)3 2 k (2)3 3 + k(3) 1 1 k (2)3 4 + k(3) 1 2 k (3)1 3 k (3)1 4 · ·· · k (2)4 1 k (2)4 2 k (2)4 3 + k(3) 2 1 k (2)4 4 + k(3) 2 2 k (3)2 3 k (3)2 4 · ·· · · · k (3)3 1 k (4)3 2 k (3)3 3 + k(4) 1 1 k (3)3 4 + k(4) 1 2 k (4)1 3 k (4)1 4· · · · k (3)4 1 k (3)4 2 k (3)4 3 + k(4) 2 1 k (3)4 4 + k(4) 2 2 k (4)2 3 k (4)2 4· · · · · · k (4)3 1 k (4)3 2 k (4)3 3 k (4)3 4· · · · · · k (4)4 1 k (4)4 2 k (4)4 3 k (4)4 4⎤⎡⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦d1⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ d2. . .d3d4. . .d5d6. . .d7d8. . .d9d10⎤⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(13.102)k (1) | 1 2 3 4−− −− −− −− −−1 | 1,1 1, 2 1, 3 1, 42 | 2, 1 2, 2 2, 3 2, 43 | 3, 1 3, 2 3, 3 3, 44 | 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4k (2) | 3 4 5 6−− −− −− −− −−3 | 3,3 3, 4 3, 5 3, 64 | 4, 3 4, 4 4, 5 4, 65 | 5, 3 5, 4 5, 5 5, 66 | 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6k (3) | 5 6 7 8−− −− −− −− −−5 | 5,5 5, 6 5, 7 5, 86 | 6, 5 6, 6 6, 7 6, 87 | 7, 5 7, 6 7, 7 7, 88 | 8, 5 8, 6 8, 7 8, 8k (4) | 7 8 9 10−− −− −− −− −−7 | 7,7 7, 8 7, 9 7, 108 | 8, 7 8, 8 8, 9 8, 109 | 9, 7 9, 8 9, 9 9, 1010 | 10, 7 10, 8 10, 9 10, 10(13.103)K * =InsertBtoA(K * ,10,10,1,1,Ke,4,4), K * =InsertBtoA(K * ,10,10,3,3,Ke,4,4), K * =InsertBtoA(K * ,10,10,5,5,Ke,4,4),K * =InsertBtoA(K * ,10,10,7,7,Ke,4,4), funktsioon InsertBtoA.m lk 726 .

13.10 Tala paine 373Tala elemendi jäikusmaatriksitest moodustame vaadeldava tala jäikusmaatriksi (13.102).Selle jäikusmaatriksi (13.102) koostamiseks kasutame indekstabeleid (13.103). Need saameelemendi alguse ja lõpu siirete indeksitest koostatud vektorite diaad- ehk otsekorrutisena (vtjaotis A.4 avaldis (A.14)). Elemendi indekstabel näitab tala jäikusmaatriksi rea ja veeru indekseid,kuhu tuleb lisada varda elemendi vastav jäikusmaatriksi element.Tala jäikusmaatriksi koostamiseks saab kasutada GNU Octave’is koostatud funktsiooni InsertBtoA.mlk 726. Indekstabelite (13.103) vasakust ülemisest nurgast saame aadressid ((1,1),(3,3), (5,5), (7,7)), kust alates tuleb lisada (liita) vastava tala jäikusmaatriksi elemendid.Lõplike elementide meetodi (LEM) puhul antakse kinemaatilised rajatingimused (vt jaotis3.2 ja joonis 3.1) täpselt ette. Kõnesolevas näites anname ette tala sõlmpunktis 1 siirde japöörde w 1 = 0, φ 1 = 0, sõlmpunktis 3 siirde w 3 = 0 ja sõlmpunktis 5 siirde w 5 = 0. Staatilistrajatingimust F 10 ≡ M 5 = 0 kasutame siirde φ 5 leidmiseks.Võrrandisüsteemi moodustamisel kasutame neljanda elemendi puhul kondenseeritud jäikusmaatriksit.Nii saame 10 × 10 võrrandisüsteemi asemel 9 × 9 võrrandisüsteemi. Sellest võrrandisüsteemisteemaldame 1., 2., 5. ja 9. võrrandi ja nendele vastavad veerud. Neid võrrandeidkasutame hiljem toereaktsioonide F 1 , F 2 , F 5 ja F 9 leidmiseks. Tala jäikusmaatriksist rea javeeru eemaldamiseks saab kasutada GNU Octave’is koostatud funktsiooni remRowIRfromA.mlk 726 ning remColJRfromA.m lk 727. Pärast nelja võrrandi ja nelja veeru eemaldamist võrrandisüsteemist9 × 9 saame võrrandisüsteemi 5 × 5⎡⎢⎣60.0 0.0 −30.9 0.0 0.00.0 80.0 20.0 0.0 0.0−30.0 20.0 80.0 30.0 20.00.0 0.0 30.0 37.5 15.00.0 0.0 20.0 15.0 70.0⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤d 3d 4d 6⎥d 7 ⎦d 8⎡=⎢⎣0.06000.00000.00000.0675−0.0050⎤⎥⎦(13.104)Võrrandisüsteemi (13.104) lahend on⎡⎢⎣⎤d 3d 4d 6⎥d 7 ⎦d 8⎡=⎢⎣7.1429e − 041.4286e − 04−5.7143e − 042.4286e − 03−4.2857e − 04⎤⎥⎦(13.105)Võrrandisüsteemi 10 × 10 (13.100) viimasest võrrandist (ühtib tala elemendi võrrandiga(13.81) (vt avaldist (13.102)) avaldame sõlme 5 pöördenurga φ 5 (13.106):φ 5 = − 1 [︁k (4)4 4k (4)4 1 k (4)4 2 k (4)4 3= − 1.0 [︁40.0⎡]︁⎢⎣d 7d 8d 9 ≡ w 5 = 0−30.0 20.0 30.0⎤⎥⎦ + 1⎡]︁⎢⎣k (4)4 4(F 10 + f 10 ) =0.0024286−0.000428570.0⎤⎥⎦ +1+ (0.0 + 10.0) = 0.0020357 (13.106)4.0e + 04

374 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Viie sõlmpunkti siirded ja pöörded on toodud avaldisega:⎡ ⎤ ⎡⎤d 1 0.0000e + 00d 20.0000e + 00. . .. . .d 37.1429e − 04d 41.4286e − 04. . .. . .d d = 50.0000e + 00=d 6−5.7143e − 04. . .. . .d 72.4286e − 03d 8−4.2857e − 04. . .. . .⎢ ⎥ ⎢⎥⎣ d 9 ⎦ ⎣ 0.0000e + 00 ⎦d 10 2.0357e − 03(13.107)Võrrandisüsteemi (13.100) 1., 2., 5. ja 9. võrrandist toereaktsioonide (sõlmkoormuse F) leidmisekskirjutame võrrandisüsteemi kujul:F = −K · d + F q (13.108)Tala toereaktsioonid leiame avaldisega (13.109):⎡⎡⎢⎣⎤F 1F 2⎥F 5F 9⎡⎦ = − ⎢⎣K (1, :)K (2, :)K (5, :)K (9, :)⎤⎥⎦⎢⎣⎤d 1d 2d 3d 4d 5d 6d 7d 8⎥d 9 ⎦d 10⎡+ ⎢⎣kus K (i, :) on maatriksi K i-ndas rida.Toereaktsioonide arvutuse tulemused on toodud avaldisega:⎡ ⎤ ⎡ ⎤F 1 −55.714F 2⎢ ⎥⎣ F 5 ⎦ = 34.286⎢ ⎥⎣ −137.14 ⎦F 9 −47.143Teostame staatilise kontrolli:⎤f 1f 2⎥f 5 ⎦f 9(13.109)(13.110)∑︁Z = 30 * 8 + F1 + F 2 + F 5 + F 9 = 0.000∑︁Ma = F 2 − 30 * 8 * 4 − 4.0 * F 5 − 8.0 * F 9 = −2.2737e − 13 (13.111)Leitud toereaktsioonid rahuldavad staatilist kontrolli.Arvutused on tehtud GNU Octave’is koostatud programmiga LemTalaNaide1.m lk 738. Selleprogrammiga saadud tulemusi näeme arvutuspäevikust 13.3 lk 376.

13.10 Tala paine 375Tala elementide otstes olevad kontaktjõudude (sisejõudude) leidmiseks kasutame elemenditasakaaluvõrrandit (13.87)F (e) = K (e) · d (e) − F (e)q (13.112)Tala elementide otstes olevad kontaktjõud on leitud vastavalt II märgikokkuleppele (vt jaotis1.12 lk 47) ja ärgmiste avaldistega:⎡⎢⎣Q (1)AM (1)AQ (1)LM (1)L⎤ ⎡⎥ = ⎢⎦ ⎣−55.71434.286−4.285717.143⎤⎥⎦ ,⎡⎢⎣Q (2)AM (2)AQ (2)LM (2)L⎤ ⎡⎥ = ⎢⎦ ⎣4.2857−17.143−64.286−51.429⎤⎥⎦(13.113)01q = 30 kN/m0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111101000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111a b c01EI =20000 [kN.00 11000 111m]00 11L = 4 mL = 8 md 1d[ 3d 4] = v d 5dd22[ = v 7dd 3 [ = v 9d 4 [ = vd 10] 5[ ] = v 16]1 2 1 2 1 2 1 21 2 3 4 5Element1 Element2 Element3 Element42 m 2 m 2 m 2 m(a) Tala arvutusskeem64.28647.1430000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111114.28600000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000012.8570000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000055.71472.857000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111Q ep [kN](b) Põikjõud Q00000001111111 000000111111 51.4290000000111111100000001111111 00000011111134.2860000000111111100000001111111 0000001111110000000111111100000000000000000000001111111111111111111111 000000000000001111111 000000111111000000011111111111111 00000011111100000001111111111111000000000000000000000000000001111111111111111111111111111100000001111111 00000000000000000000001111111111111111111111000000000000000000000000000001111111111111111111111111111100000000000000000000001111111111111111111111000000000000000000000000000001111111111111111111111111111117.14300000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111M ep [kN.m] 34.286(c) Paindemoment MJoonis 13.13. Tala sisejõude epüürid LEM-meetodiga8]

376 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]⎡⎢⎣Q (3)AM (3)AQ (3)LM (3)L⎤ ⎡⎥ = ⎢⎦ ⎣−72.85751.42912.85734.286⎤⎥⎦ ,⎡⎢⎣Q (4)AM (4)AQ (4)LM (4)L⎤ ⎡⎥ = ⎢⎦ ⎣−12.857−34.286−47.1430.000⎤⎥⎦(13.114)Leitud kontaktjõudude (13.113) ja (13.114) abil joonistame põikjõu ja paindemomendi epüürid(joonised 13.13(b) ja 13.13(c)).Arvutuspäevik 13.3 octave-3.0.1:1> diary LemTalaNaide1.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> LemTalaNaide1Tala arvutamise lähteandmedL - tala sille, EI - ristl~oike jäikus,Se - pikij~oud, q - ühtlaselt jaotatud koormusII märgikokkulepeL = 2EI = 20000Se = 1000q = 30Tala elemendi jäikusmaatriks KK = lemTalaKe4x4(L,EI)/1.0e+03 =30 -30 -30 -30-30 40 30 20-30 30 30 30-30 20 30 40Tala liigendiga elemendi jäikusmaatriksKl = lemTalaK3x3lpar(Se,L,EI)/1.0e+03 =7.5000 -15.0000 -7.5000-15.0000 30.0000 15.0000-7.5000 15.0000 7.5000Elemendi koormusvektor S1S1=lemTalafq4x1(L,q,EI)/1.0e+03 =0.030000-0.0100000.0300000.010000Elemendi, liigend paremal, koormusvektorS2=lemTalafq3x1Lp(L,q,EI)/1.0e+03 =0.037500-0.0150000.022500Tala v~orrandisüsteem A 9x9.A9x9 =Columns 1 through 7:30.00000 -30.00000 -30.00000 -30.00000 0.00000 0.00000 0.00000-30.00000 40.00000 30.00000 20.00000 0.00000 0.00000 0.00000-30.00000 30.00000 60.00000 0.00000 -30.00000 -30.00000 0.00000-30.00000 20.00000 0.00000 80.00000 30.00000 20.00000 0.000000.00000 0.00000 -30.00000 30.00000 60.00000 0.00000 -30.000000.00000 0.00000 -30.00000 20.00000 0.00000 80.00000 30.000000.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -30.00000 30.00000 37.500000.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -30.00000 20.00000 15.000000.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -7.50000

13.10 Tala paine 377Columns 8 and 9:0.00000 0.000000.00000 0.000000.00000 0.000000.00000 0.00000-30.00000 0.0000020.00000 0.0000015.00000 -7.5000070.00000 15.0000015.00000 7.50000Tala v~orrandisüsteemi parem pool S9x1S9x1 =0.030000-0.0100000.0600000.0000000.0600000.0000000.067500-0.0050000.022500Tala v~orrandisüsteemi vasak pool A 5x5.1., 2., 5. ja 9. read ja veerud puuduvad rajatingimustet~ottu.Anew =60.00000 0.00000 -30.00000 0.00000 0.000000.00000 80.00000 20.00000 0.00000 0.00000-30.00000 20.00000 80.00000 30.00000 20.000000.00000 0.00000 30.00000 37.50000 15.000000.00000 0.00000 20.00000 15.00000 70.00000Tala v~orrandisüsteemi parem pool Ss 5x1Ss =0.0600000.0000000.0000000.067500-0.005000V~orrandisüsteemi lahend X=A\SsXX =7.1429e-041.4286e-04-5.7143e-042.4286e-03-4.2857e-044. elemendi vasaku otsa siire, pööreXl45=XX(4:5,1)Xl45 =2.4286e-03-4.2857e-044. elemendi jäikusmaatriksi K viimasesv~orrandis pöördenurga kordajaks 1Vor4=-K(4,:)/K(4,4)Vor4 =0.75000 -0.50000 -0.75000 -1.00000valin esimesed kaks Kord=Vor4(1,1:2)Kord =0.75000 -0.500004. elemendi parema otsa pööre XxxXxx = Kord*Xl45Xxx = 0.0020357

378 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]=============================Siirded s~olmpunktidesJrk Siire-----------------------------1 0.0000e+002 0.0000e+003 7.1429e-044 1.4286e-045 0.0000e+006 -5.7143e-047 2.4286e-038 -4.2857e-049 0.0000e+0010 2.0357e-03-----------------------------Toereaktsioonid F1, F2, F5 ja F9.F1 = -55.714F2 = 34.286F5 = -137.14F9 = -47.143Staatiline kontroll: SumF=q*8+F1+F5+F9SumF = 5.6843e-14Element 1. Siirded, pöörded ja momendidXL1 =0.0000e+000.0000e+007.1429e-041.4286e-04Q1 = -55.714M1 = 34.286Q2 = -4.2857M2 = 17.143Element 2. Siirded, pöörded ja momendidXL2 =7.1429e-041.4286e-040.0000e+00-5.7143e-04Q2a = 4.2857M2a = -17.143Q2 = -64.286M3 = -51.429Element 3. Siirded, pöörded ja momendidXL3 =0.0000000-0.00057140.0024286-0.0004286Q3a = -72.857M3a = 51.429Q3 = 12.857M4 = 34.286Element 4. Siirded, pöörded ja momendidXL4 =0.0024286-0.00042860.00000000.0020357Q4a = -12.857M4a = -34.286Q4b = -47.143M5 = 0.0Momendid s~olmes arvutatakse aritmeetilise keskmisena I märgikokkuleppe järgi

13.11 Varda paine 379Moment 1. s~olmesM1k = -34.286Moment 2. s~olmesM2k = 17.143Moment 3. s~olmesM3k = -51.429Moment 4. s~olmesM4k = 34.286Moment 5. s~olmesM5 = 0octave-3.0.1:4> diary offSama ülesande saab lahendada kolme momendi võrrandiga GNU Octave’is koostatud programmigajtala1kLEM.m lk 735.13.11 Varda paineJoonisel 13.14 on toodud varda elemendi kontaktjõudude ja siirete positiivsed suunad.NAF q M Lϕ Lu u L N LAM Aϕ AQ AwAA, 1zMLL, 2Q Lw LJoonis 13.14. Varda jõudude ja siirete positiivsed suunadx13.11.1 Varda painde jäikusmaatriksTeisendame ülekandevõrrandid (G.18) sarnaselt tala ülekandevõrrandite teisendusele(13.85) lk 369. Saadud tasakaaluvõrrand (13.115) erineb tala ülekandevõrranditest(13.88) selle poolest, et varda puhul on arvesse võetud pikijõudu N A , N L ja pikisiiretu A , u L kirjeldavad liikmedkusK * d * = F * + ∘F * (13.115)⎡d * =⎢⎣u Aw Aφ Au Lw Lφ L⎤⎡, F * =⎥⎢⎦⎣⎤N AQ AM AN L⎥Q L ⎦M L(13.116)

380 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Tabel 13.11. Kinnitusjõud. II märgikokkulepeSkeem N j / N k Skeem N j / N kjnLk−nL/2 / −nL/2jaFLbk−F b/L / −F a/LjL/2FL/2k−F/2 / −F/2jTkEAα T T / −EAα T Tja jäikusmaatriks K * (13.117) vastab II märgikokkuleppele⎡K * =⎢⎣EAl0 0 − EA012EIl 30 − 6EIl 2− 6EI0 0l0 − 12EIl 2 l 34EI6EI0l l 2− 6EIl 22EIl− EAEA0 0 0 0l l0 − 12EI 6EI12EI0l 3 l 2 l 3 l 20 − 6EIl 24EI6EI0l l 26EI2EIl⎤⎥⎦(13.117)ning elemendile rakendatud jõud ∘F *∘F * =⎡⎢⎣∘N A∘Q A ∘M A∘N L∘Q L∘M L⎤⎥⎦(13.118)∘ ∘ ∘ ∘kus elementide Q A , M A, Q L , M L avaldised saame tala kinnitusmomentide japõikjõudude tabelist 11.2 lk 324 (II märgikokkulepe) ning elementide N ∘ ∘A, N L avaldisedtabelist 13.11.Koordinaatide teisendamiseks (1.45) täiendame sõrestiku varda teisendusmaatriksit(13.50) paindeelemendiga. Varda teisendusmaatriks T on toodud avaldisega⎡T =⎢⎣c s 0 0 0 0−s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 −s c 00 0 0 0 0 1⎤⎥⎦(13.119)

13.11 Varda paine 381kus c = cos α (1.42) ja s = cos β (1.43) lk 50.Jäikusmaatriks üldkoordinaatides KVarda elemendile rakendatud jõud ∘ F üldkoordinaatidesVarda elemendi tasakaaluvõrrand üldkoordinaatidesK = T T K * T (13.120)∘∘F = T T F * (13.121)Kd = F + ∘ F (13.122)

382 13. Lõplike elementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]

14. Rajaelementide meetodLoeng 1 1 : Sõrestik. Näide 14.1. Loeng 2 2 : EST-meetodi võrrandisüsteem. Näide 14.2.Raam.14.1 Rajaelementide meetodistRajaelementide meetodi (REM) koht teiste lahendusmeetodite hulgas (vt joonis E.2Lahendusmeetodite klassifikatsioon”) seisneb selles, et diferentsiaalvõrrand rahuldataksetäpselt ning olulised ehk kinemaatilised rajatingimused (E.27) ja loomulikud”ehk staatilised rajatingimused (E.28) rahuldatakse teatava täpsusega [BW80].Rajaelementide meetodi puhul leitakse varda fundamentaalne lahend [Har87] [Str89]lõpmatu varda jaoks ja siis sobitatakse rajatingimustele.Algparameetrite meetod (vt jaotis G.1) on matemaatikas tuntud Cauchy meetodina.Ehitusmehaanikasse tõi selle meetodi 1862. a A. Clebsch. Algparameetrid poleenamasti teada, vaid need tuleb määrata rajatingimustest. Rajatingimused võib jagadatoe- ja kontaktitingimusteks. Toetingimused (vt jaotis 3.2 joonis 3.1) jagunevad toereaktsioonideksja toesiireteks. Kontaktitingimused (vt jaotis 3.3 joonis 3.2) jagunevadkontaktjõududeks ja vastastikusteks siireteks. Rajatingimused jagunevad staatilisteksrajatingimusteks ja kinemaatilisteks rajatingimusteks.Üks algparameetrite meetodi rakendusi on ülekandemaatriksmeetod (sks Übertragungsverfahren)(ingl transfer matrix method). Ülekandemaatriksmeetodit nimetatakseka reduktsiooni meetodiks (sks Reduktionsverfahren) [Krä91b] lk 286 ja [RH95] lk241. Arvutite kasutuselevõtuga leidis see meetod laialdast rakendamist [PL63], [LT80],kus ühe elemendi lõpu suurused (siirded, kontaktjõud) olid teise elemendi alguse suurused.Konstruktsiooni arvutamisel liiguti maatriksite korrutamisega edasi. Kuid peagiselgus, et sellisel korrutamisel viga kasvas ja loobuti selle meetodi kasutamisest. Ülekandemaatrikseidkasutatakse LEM-i jäikusmaatriksite saamiseks [RH95], [Krä91b],[WR95]. Tervikmeetodist (sks Gesamtmatrixverfaren GMV ) (ingl Complete MatrixMethod (CMM)) jõumeetodi saamist vaadeldakse töödes [Ebl90a], [Ebl90].1 ./videod/ESTMetLoeng1.html2 ./videod/ESTMetLoeng2.html383

384 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]14.2 EST-meetodEST-meetod [Lah97a], [Lah97b],[Lah98a], [Lah98b] on rajaelementide meetod, kus vardadiferentsiaalvõrrandi (DV ) fundamentaallahendi [GaW96] asemel kasutatakse algparameetritegakirjeldatud diferentsiaalvõrrandi DV lahendit (14.12). Siin ̂︂IU · ̂︀Z onvarda homogeense DV lahend ja Z ∘ on mittehomogeense DV erilahend. Siin kasutatakseülekandemaatriksit. Võrrandisüsteemi koostamisel saadakse pooled võrrandidvarda põhivõrranditest ja ülejäänud pooled võrrandid rajatingimustest. Rajatingimusedjagunevad toe- ja kontaktitingimusteks (vt joonis 3.1, 3.2). Varraste otstes olevad kontaktjõudja siirded leitakse võrrandisüsteemi lahendamisega. Võrrandisüsteemis on siireteja sisejõudude arvväärtuste erinevus ca 10 3 korda. Korrutame siirete võrrandidbaasjäikusega i 0 = maxEI . Nüüd võtame uued siirded, mis on iminl 0 = maxEI korda suuremad.minlSeoses sellega tuleb jäikusmaatriksi (G.17) alammaatriksi U sv nullist erinevad liikmedkorrutada baasjäikusega i 0 = maxEI . Sellist võrrandisüsteemi teisendust nimetatakseminlvõrrandisüsteemi skaleerimiseks (ingl k scaling). Tegelike siirete saamiseks pärast võrrandisüsteemilahendamist jagame siirded baasjäikusega. Nii oli ka deformatsioonimeetodis,kus siirded ja pöörded saadi võrrandisüsteemi lahendamisel i 0 korda suuremad.Nüüd suurendame ainult siirdeid, kontaktjõud jätame samaks.EST-meetodiga koostatud võrrandisüsteemis on nullist erinevaid võrrandisüsteemi kordajaidvähem kui 5% (nt 60 × 60 võrrandisüsteemis 152 nullist erinevat kordajat). Etmitte tegelda nullidega, võtame kasutusele hõredad maatriksid (vt lisa B lk 647).14.2.1 Sissejuhatus EST-meetodisseSissejuhatuseks EST-meetodisse vaatleme staatiliselt määramatu sõrestiku arvutamist.Sõrestiku varda elemendi kirjeldamisel võtame kasutusele parema käe teljestiku ja IImärgikokkuleppe.NAu AϕAw AA, 1zA’, 1’L− ϕAϕ LL, 2ϕ LNu LLϕ A= −NAxLN= u A +EAw L= w L A− ϕ A=LL’, 2’Joonis 14.1. Sõrestiku varrasSõrestiku varda (joonis 14.1) alguse ja lõpu siirdeid kohalikes koordinaatides kirjeldamevõrranditegau L = u A + ∆u = u L + LN(14.1)EAw L = w A − Lφ A (14.2)φ L = φ A (14.3)

14.2 EST-meetod 385siin u A , u L – varda alguse ja lõpu siire x-telje suunas,w A , w L – varda alguse ja lõpu siire z-telje suunas,φ A , φ L – varda alguse ja lõpu pööre ümber z-telje (sisemine vabadusaste),∆u = LN – pikkuse muut (joonis 1.3),EAkus EA – varda ristlõike pikkejäikus,N – pikkejõud,L – varda pikkus.Varda tasakaalu kirjeldame seosegaEsitame eespool vaadeldud seosed maatrikskujulN L = −N A (14.4)I · Z L − U · Z A = 0 (14.5)kus Z L , Z A – varda lõpus ja alguses olevad siirded ning kontaktjõud⎡ ⎤⎡ ⎤u Lu Aw Lw AZ L =φ L, Z A =φ A, (14.6)⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ . . . ⎦⎣ . . . ⎦N L N Aja maatriks U on toodud avaldisega (14.7)⎡x1 0 0 . −i 0 EA0 1 −x . 0U =0 0 1 . 0⎢ . . . . . . . . . . . . .⎣0 0 0 . −1⎤⎥⎦(14.7)siin i 0 on baasjäikus.Maatriks (14.7) koosneb järgmistest alammaatriksitest⎡j¨aiga keha liikumist . p˜ohideformatsioonekirjeldav alammaatriks . kirjeldav alammaatriksU =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎢. tasakaaluv˜orrandeid⎣. kirjeldav alammaatriks⎤⎥⎦(14.8)Maatriksit (14.7), (14.8) nimetatakse ülekandemaatriksiks (sks Übertragungsmatrix)(ingl transfer matrix). Kirjeldus (14.8) kehtib ka painde ülekandemaatriksi (14.20) kohta.

386 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Nimetame võrrandeid (14.5) sõrestiku varda põhivõrranditeksjärgmisel maatrikskujul:ja esitame nad̂︂IU · ̂︀Z = 0 (14.9)kus ̂︀Z (14.10) koosneb sõrestiku varda lõpus ja alguses olevatest siiretest ning kontaktjõududest̂︀Z =[︃ ]︃ZLZ A, (14.10)Maatriks ̂︂IU on 4 × 8 maatriks. Võrrandisüsteem (14.9) koosneb 4 võrrandist 8 tundmatuga.Maatriksi koostame hõreda maatriksina GNU Octave’i funktsiooniga ysp-SRmhvI.m lk 725. Hõre maatriks yspSRmhvI.m sisaldab 10 nullist erinevat elementi.yspSRmhvI =Compressed Column Sparse (rows = 4, cols = 8, nnz = 10)Funktsioon yspSRmhvI.m kasutab GNU Octave’i funktsiooni yspSRhlin.m lk 725maatriksi (14.7) sisestamiseks.14.2.2 Sõrestiku arvutus EST-meetodiga. Näide 14.1Lahendame näites 13.3 (lk 363) toodud ülesande EST-meetodiga.Näide 14.1 Arvutada pikijõud joonisel 14.2 näidatud staatikaga määramatus sõrestikusEST-meetodiga. Sõrestiku kõrgus H = 2.25 m ja sille L = 12 m. Sõrestiku ülemise vöö sõlmedesmõjub koormus F = 12 kN.A ülemine vöö0.75 m0.75 m0.75 m 10000 11110000 1111= 1.4 AA alumine vöö= 1 A A diagonaal = 1.2 AF/2 F = 12 kN F F F/2124 4 6 6 10 8 14 1095 7111335158171237 9216000 111d d = 3m d d 000 111L = 12 mJoonis 14.2. SõrestikSõrestiku sõlmede, varraste ja toereaktsioonide nummerdus on toodud joonisel 14.3.EST-meetodiga leiame sõrestiku varraste otste siirded, kontaktjõud ja toereaktsioonid.H = 2.25 m

14.2 EST-meetod 387F/2 F F F F/221C1 10000 11110000 1111C24324 6 6 10 8 14 1095 7 11135158171237 9 C416EST−meetodi võrrandid:000 111000 1111. Varda põhivõrrandidC32. Sõlmedes varraste siirded on võrdsed3. Sõlmed on tasakaalus4. Tugedel siirded puuduvadJoonis 14.3. Sõrestiku arvutusskeemi nummerdus4 x 8Põhivõrrandid (n x 2n)4 x 8Varda põhivõrrandid4 x 84 x 8Rajatingimuste võrrandid (n + toed) x (2n + toed) :Siirete pidevusvõrrandid sõlmedesSõlmede tasakaaluvõrrandidKõrvaltingimusedToetingimusedJoonis 14.4. Sõrestiku võrrandite spA·Z = B struktuur

388 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Väljavõte programmist 14.1 (Sisejõud. srstkESTPY.m lk 725)%%%%%%%%%%%%%%spA=s p a r s e (NNK,NNK) ; % n u l l i s t a n v õ r r a n d i s ü s t e e m i k o r d a j a dB=z e r o s (NNK, 1 ) ; % n u l l i s t a n v õ r r a n d i s ü s t e e m i v a b a l i i k m e d%%%%%%%%%%%%%%I I v =0;I J v =0;%%%%%%%%%%%%%%%krda =0;f o r i =1:NEARVkrda=krda +1;%EA=selemEA ( i , 1 ) ;Li=l v a r r a s ( i , 1 ) ;spvFs=yspSRmhvI ( b a a s i 0 , Li ,EA) ;vBs=z e r o s ( 4 , 1 ) ; % varda koormus puudub vB=vBs ;I I v=krda *4 −3;I J v=krda *8 −7;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , I I v , IJv , spvFs ) ;B=I nsertBtoA (B,NNK, 1 , I I v , 1 , vBs , 4 , 1 ) ;%e n d f o r%% s i i n NEARV on e l e m e n t i d e ( v a r r a s t e ) arv%%%%%%%%%%%%%%% v õ r r a n d e i d on 136/2=68EST-meetodiga leiame sõrestiku varraste otste siirded, kontaktjõud ja toereaktsioonid. Nendenummerdus on toodud joonisel 14.5.Siirete, kontaktjõudude ja toereaktsioonide leidmiseks koostatud võrrandisüsteem koosnebjärgmistest osadest:1. Varraste põhivõrrandid (14.9).p~ohiv~orrandid =Compressed Column Sparse (rows = 68, cols = 136, nnz = 170 [1.8%])2. Sõlmedes varraste otste siirete võrdsustamise võrrandid (pidevusvõrrandid).pidevusv~orrandid =Compressed Column Sparse (rows = 116-68, cols = 134, nnz = 142 [0.91%])3. Sõlmede tasakaaluvõrrandid. Sõlmkoormus kantakse võrrandi vabaliikmesse. Toereaktsioonidsõlmedes kantakse võrrandisüsteemi tundmatute poolele miinusmärgiga.tasakaaluv~orrandid =Compressed Column Sparse (rows = 136-116, cols = 140, nnz = 54 [0.28%])4. Toetingimuste võrrandid, kus toereaktsioonidele vastavad siirded antakse ette (nullitakse).toetingimused =Compressed Column Sparse (rows = 140-136, cols = 134, nnz = 4 [0.043%])

14.2 EST-meetod 389[29 32]2 4 4 6 6 10 8 14 10[65 68][1 4][33 36][69 72] 9[97 100]5 711[129 132]1313 [37 40]5[101 104] 15 178123[133 136][5 8] 17 92[u N]16137[u w ϕ N]140138139[21 24][13 16][17 20][25 28][9 12][45 48][61 64][53 56][49 52][57 60][41 44][93 96][77 80][ 85 88][81 84][89 92][73 76][125 128][109 112][117 120][121 124][105 108][113 116]Joonis 14.5. Varraste siirete ja kontaktjõudude nummerdusVõrrandisüsteemis on nullist erinevaid kordajaid kokku=170+142+54+4=370,spA =Compressed Column Sparse (rows = 140, cols = 140, nnz = 370 [1.9%])Väljavõte programmist 14.2 (Rajatingimused. srstkESTPY.m lk 725)%%%%%%%%%%%%%%% p õ h i v õ r r a n d e i d on 136/2=68%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%S i i r e t e p i d e v u s e v õ r r a n d i d 69−116 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlm 1spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 6 9 , 5 , spT1x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 6 9 , 1 3 , spT2x2m ) ;% sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 1 , 1 , spT1x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 1 , 2 9 , spT4x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 3 , 1 , spT1x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 3 , 2 1 , spT3x2m ) ;% sõlm 3spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 5 , 9 , spT2x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 5 , 1 7 , spT3x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 7 , 9 , spT2x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 7 , 3 7 , spT5x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 9 , 9 , spT2x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 9 , 6 1 , spT8x2m ) ;% sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 1 , 2 5 , spT4x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 1 , 4 5 , spT6x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 3 , 2 5 , spT4x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 3 , 5 3 , spT7x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 5 , 2 5 , spT4x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 5 , 3 3 , spT5x2m ) ;% sõlm 5spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 7 , 5 7 , spT8x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 7 , 4 9 , spT7x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 9 , 5 7 , spT8x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 8 9 , 6 9 , spT9x2m ) ;% sõlm 5 ( j ä r g )spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 1 , 5 7 , spT8x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 1 , 8 5 , spT11x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 3 , 5 7 , spT8x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 3 , 9 3 , spT12x2m ) ;% sõlm 6spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 5 , 4 1 , spT6x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 5 , 7 7 , spT10x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 7 , 4 1 , spT6x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 7 , 6 5 , spT9x2m ) ;% sõlm 7spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 9 , 8 9 , spT12x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 9 9 , 1 0 1 , spT13x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 1 , 8 9 , spT12x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 1 , 1 1 7 , spT15x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 3 , 8 9 , spT12x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 3 , 1 2 5 , spT16x2m ) ;% sõlm 8%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlme 8 s i i r d e p i d e v u s e v õ r r a n d i d j ä r g n e v a d v õ r r a n d i g a 105%%%%%%%%%%%%%%%

390 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Väljavõte programmist 14.3 (Rajatingimused. srstkESTPY.m lk 725)%%%%%%%%%%%%%%% v õ r r a n d e i d s i s e s t a t u d 104 , e d a s i 105 võrrand :%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%S i i r e t e p i d e v u s e v õ r r a n d i d 69−116 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlm 8 ( j ä r g )spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 5 , 7 3 , spT10x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 5 , 1 0 9 , spT14x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 7 , 7 3 , spT10x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 7 , 9 7 , spT13x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 9 , 7 3 , spT10x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 0 9 , 8 1 , spT11x2m ) ;% sõlm 9spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 1 , 1 2 1 , spT16x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 1 , 1 3 3 , spT17x2m ) ;% sõlm 10spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 3 , 1 0 5 , spT14x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 3 , 1 2 9 , spT17x2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 5 , 1 0 5 , spT14x2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 5 , 1 1 3 , spT15x2m ) ;%%%%%%%%%%%%%%% viimane s i i r d e p i d e v u s e võrrand 116%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Sõlmede t a s a k a a l u v õ r r a n d i d 117−136%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sõlm 1spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 7 , 8 , spT1x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 7 , 1 6 , spT2x2n ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 1 7 , 1 3 7 , − 1); % t o e r e a k t s i o o n C1 ( x− t e l j e suunas +)spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 1 8 , 1 3 8 , 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C2 ( z− t e l j e l v a s t u p i d i n e −)% sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 9 , 4 , spT1x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 9 , 3 2 , spT4x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 1 9 , 2 4 , spT3x2n ) ;B(119:120 ,1)= s2F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 2 koormus% sõlm 3spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 1 , 1 2 , spT2x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 1 , 2 0 , spT3x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 1 , 4 0 , spT5x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 1 , 6 4 , spT8x2n ) ;% sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 3 , 2 8 , spT4x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 3 , 4 8 , spT6x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 3 , 5 6 , spT7x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 3 , 3 6 , spT5x2n ) ;B(123:124 ,1)= s4F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 4 koormus% sõlm 5spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 5 , 6 0 , spT8x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 5 , 5 2 , spT7x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 5 , 7 2 , spT9x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 5 , 8 8 , spT11x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 5 , 9 6 , spT12x2n ) ;% sõlm 6spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 7 , 4 4 , spT6x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 7 , 8 0 , spT10x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 7 , 6 8 , spT9x2n ) ;B(127:128 ,1)= s6F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 6 koormus% sõlm 7spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 9 , 9 2 , spT12x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 9 , 1 0 4 , spT13x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 9 , 1 2 0 , spT15x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 2 9 , 1 2 8 , spT16x2n ) ;% sõlm 8spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 1 , 7 6 , spT10x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 1 , 1 1 2 , spT14x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 1 , 1 0 0 , spT13x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 1 , 8 4 , spT11x2n ) ;B(131:132 ,1)= s8F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 8 koormus% sõlm 9spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 3 , 1 2 4 , spT16x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 3 , 1 3 6 , spT17x2n ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 3 3 , 1 3 9 , 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C3spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 3 4 , 1 4 0 , 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C4% sõlm 10spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 5 , 1 0 8 , spT14x2n ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 5 , 1 3 2 , spT17x2n ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 5 , 1 1 6 , spT15x2n ) ;B(135:136 ,1)= s10F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 10 koormus%%%%%%%%%%%%%%% viimane t a s a k a a l u v õ r r a n d 136% kokku peab olema 140%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%K õ r v a l t i n g i m u s e d s õ r e s t i k u l e i o l e%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%T o e r e a k t s i o o n i d 137−140 j ä r g n e v a d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

14.2 EST-meetod 391Väljavõte programmist 14.4 (Rajatingimused. srstkESTPY.m lk 725)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%T o e r e a k t s i o o n i d 137−140%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% t o e r e a k t s i o o n C1 ( x− t e l j e suunas +)% t o e r e a k t s i o o n C2 ( z− t e l j e l v a s t u p i d i n e −)% t o e r e a k t s i o o n C3% t o e r e a k t s i o o n C4% T o e r e a k t s i o o n i d e l e v a s t a v a d s i i r d e d on n u l l i dspA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 3 7 , 6 , 1 ) ; %u1=0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 3 8 , 5 , 1 ) ; % w1=0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 3 9 , 1 3 4 , 1 ) ; % u9=0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 4 0 , 1 3 3 , 1 ) ; % w9=0B( 1 3 7 , 1 ) = 0 . 0 ;B( 1 3 8 , 1 ) = 0 . 0 ;B( 1 3 9 , 1 ) = 0 . 0 ;B( 1 4 0 , 1 ) = 0 . 0 ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Rajatingimustes kasutatud GNU Octave’i funktsioon spA=spInsertBtoA(spA,69,5,spT1x2) – sisestab varda 1 hõreda (2x2) teisendusmaatriksi spT1x2 maatriksisse spA algusega69 ritta ja 5 veergu.GNU Octave’i funktsioon spA=spInsertBtoA(spA,69,13,spT2x2m) – sisestab varda2 hõreda (2 × 2) teisendusmaatriksi spT1x2m miinusmärgiga maatriksisse spA, algusega 69ritta ja 13 veergu.Sõrestiku arvutamist saab teha GNU Octave’i programmiga srstkESTPY.m 3 lk 725. Arvutusetulemused on toodud arvutuspäevikus 14.1.Arvutuspäevik 14.1 octave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> srstkLemPY========================================================================Varda alguse/l~opu siirded (skaleerimata) kontaktj~oud. I märgikokkulepeVarda Nr u w fi N------------------------------------------------------------------------1 0.000e+00 0.000e+00 -2.056e-04 -15142.0381 -1.411e-04 4.625e-04 -2.056e-04 -15142.0382 -0.000e+00 -0.000e+00 -5.898e-04 -36522.3152 -5.614e-04 1.824e-03 -5.898e-04 -36522.3153 4.768e-04 -8.061e-05 -5.458e-04 20442.2183 7.608e-04 1.750e-03 -5.458e-04 20442.2184 4.625e-04 1.411e-04 -6.166e-04 -18284.0754 2.677e-04 1.991e-03 -6.166e-04 -18284.0755 -1.906e-03 -1.022e-04 -2.467e-04 -13713.0565 -1.991e-03 2.677e-04 -2.467e-04 -13713.0566 2.677e-04 1.991e-03 -4.938e-04 -25136.3016 6.221e-21 3.472e-03 -4.938e-04 -25136.3017 7.426e-04 1.866e-03 -4.740e-04 7063.1137 8.331e-04 3.332e-03 -4.740e-04 7063.1138 -5.614e-04 1.824e-03 -4.878e-04 -17675.5218 -8.331e-04 3.332e-03 -4.878e-04 -17675.5219 -3.435e-03 9.168e-20 1.139e-19 -12000.0009 -3.472e-03 6.221e-21 1.139e-19 -12000.00010 6.221e-21 3.472e-03 4.938e-04 -25136.30110 -2.677e-04 1.991e-03 4.938e-04 -25136.3013 ./octaveProgrammid/srstkESTPY.Kommentaarid.m

392 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]11 -8.331e-04 3.332e-03 4.740e-04 7063.11311 -7.426e-04 1.866e-03 4.740e-04 7063.11312 8.331e-04 3.332e-03 4.878e-04 -17675.52112 5.614e-04 1.824e-03 4.878e-04 -17675.52113 -1.906e-03 1.022e-04 2.467e-04 -13713.05613 -1.991e-03 -2.677e-04 2.467e-04 -13713.05614 -2.677e-04 1.991e-03 6.166e-04 -18284.07514 -4.625e-04 1.411e-04 6.166e-04 -18284.07515 -7.608e-04 1.750e-03 5.458e-04 20442.21815 -4.768e-04 -8.061e-05 5.458e-04 20442.21816 5.614e-04 1.824e-03 5.898e-04 -36522.31516 0.000e+00 0.000e+00 5.898e-04 -36522.31517 0.000e+00 0.000e+00 2.056e-04 -15142.03817 -1.411e-04 -4.625e-04 2.056e-04 -15142.038=============================================================ToereaktsioonidC1 = 3.5432e+04C2 = 24000C3 = 3.5432e+04C4 = 24000---------------N5 = -1.3713e+04H1 = 3.5432e+04Va = 24000-1.371306e+04 3.543185e+04 2.400000e+04Staatiline kontroll. Moment M8L~oige on tehtud läbi varraste 4, 5 ja 8Momentpunktiks on valitud s~olm 8M8=(Va-6000.0)*9.0+N5*6.0-H1*2.25M8 = -1.4552e-11octave-3.2.4:4> diary offSiin arvutuspäevikus 14.1 ja joonisel 14.6 on tähistus fi. See tähistus vastab joonisel14.1 jäiga keha pöördele φ. Jäiga keha pööre φ on sõrestiku varda sisemine parameeterega mõjuta sõrestiku varda deformatsioone. Sõrestiku programmi sisestatud elementide,siirete ja kontaktjõudude järjekorranumbrid on joonisel 14.6. Koostatud võrrandisüsteemivasaku poole hõreda maatriksi nullist erinevate elementide asukohad on toodudjoonisel 14.7.Tabelis 14.1 on staatikaga määramatu sõrestiku sisejõudude ja siirete võrdlus, mison leitud EST- ja LEM-meetodiga näites 13.3 (vt lk 363). EST- meetodiga arvutatudsõrestiku (vt joonis 14.2) siirded u * , w * ja sisejõud on kohalikes koordinaatides. LEMmeetodigaleitakse sõlmpunktide siirded u, w üldkoordinaatides. Nii võrreldakse varraste1, 5, 9, 13 ja 17 varraste otstes olevaid siirdeid nende varraste otstes olevate sõlmpunktide1, 2, 3, .., 10 siiretega. Siin peame arvestama kohalike ja üldkoordinaatidetelgede suunaga. Tabelist 14.1 näeme, et nende erinevate meetoditega leitud sõrestikusiirded ja sisejõud ühtuvad.

14.2 EST-meetod 393Sõrestikskeem−10−8−6−4−20u5= 0w6= 0Siirete, kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdusu w fi N varraste alguses5 6 7 813 14 15 1621 22 23 2429 30 31 3237 38 39 4045 46 47 4853 54 55 5661 62 63 6469 70 71 7277 78 79 8085 86 87 8893 94 95 96101 102 103 104109 110 111 112117 118 119 120125 126 127 128133 134 135 136Toereaktsioonid: 137 138 139 1402113u w fi N varraste lõpus1 2 3 49 10 11 1217 18 19 2025 26 27 2833 34 35 3641 42 43 4449 50 51 5257 58 59 6065 66 67 6873 74 75 7681 82 83 8489 90 91 9297 98 99 100105 106 107 108113 114 115 116121 122 123 124129 130 131 1324 6 10 1447689 113 58 513 1512271610179u133= 0w134= 00 3 6 9 12Joonis 14.6. Sõrestikskeemi elemendid0spy(spA) − hõreda maatriksi spA(140,140) nullist erinevad elemendid [1.9%]Põhivõrrandid 1 − 68204060Pidevustingimused sõlmedes 69 − 11680100120Sõlmede tasakaal 117 − 136140 Toetingimused 137 − 1400 20 40 60 80 100 120 140Joonis 14.7. Sõrestikskeemi spA nullist erinevate elementide asukohad

394 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Tabel 14.1. Sõrestiku sisejõudude võrdlusEST-meetodiga. I märgikokkulepeLEM – üldkoordinaadidV arda u * w * N u w Nnr a/l [m] [m] [N] [m] [m] [kN]1 alg. 0.000e+00 0.000e+00 −15142.038 0.000e+00 0.000e+001 l˜opp -1.411e-04 4.625e-04 -15142.038 4.625e-02 1.411e-02 -15.14202 alg. -0.000e+00 -0.000e+00 -36522.3152 l˜opp -5.614e-04 1.824e-03 -36522.315 -36.52233 alg. 4.768e-04 -8.061e-05 20442.2183 l˜opp 7.608e-04 1.750e-03 20442.218 20.44224 alg. 4.625e-04 1.411e-04 -18284.0754 l˜opp 2.677e-04 1.991e-03 -18284.075 -18.28415 alg. -1.906e-03 -1.022e-04 -13713.056 -1.022e-02 1.906e-015 l˜opp -1.991e-03 2.677e-04 -13713.056 2.677e-02 1.991e-01 -13.71316 alg. 2.677e-04 1.991e-03 -25136.3016 l˜opp 3.056e-20 3.472e-03 -25136.301 -25.13637 alg. 7.426e-04 1.866e-03 7063.1137 l˜opp 8.331e-04 3.332e-03 7063.113 7.06318 alg. -5.614e-04 1.824e-03 -17675.5218 l˜opp -8.331e-04 3.332e-03 -17675.521 -17.67559 alg. -3.435e-03 1.540e-21 -12000.000 -1.133e-16 3.435e-019 l˜opp -3.472e-03 3.056e-20 -12000.000 -1.196e-16 3.472e-01 -12.000010 alg. 3.056e-20 3.472e-03 -25136.30110 l˜opp -2.677e-04 1.991e-03 -25136.301 -25.136311 alg. -8.331e-04 3.332e-03 7063.11311 l˜opp -7.426e-04 1.866e-03 7063.113 7.063112 alg. 8.331e-04 3.332e-03 -17675.52112 l˜opp 5.614e-04 1.824e-03 -17675.521 -17.675513 alg. -1.906e-03 1.022e-04 -13713.056 1.022e-02 1.906e-0113 l˜opp -1.991e-03 -2.677e-04 -13713.056 -2.677e-02 1.991e-01 -13.713114 alg. -2.677e-04 1.991e-03 -18284.07514 l˜opp -4.625e-04 1.411e-04 -18284.075 -18.284115 alg. -7.608e-04 1.750e-03 20442.21815 l˜opp -4.768e-04 -8.061e-05 20442.218 20.442216 alg. 5.614e-04 1.824e-03 -36522.31516 l˜opp 0.000e+00 0.000e+00 -36522.315 -36.522317 alg. 0.000e+00 0.000e+00 -15142.038 0.000e+00 0.000e+0017 l˜opp -1.411e-04 -4.625e-04 -15142.038 -4.625e-02 1.411e-02 -15.1420

14.3 Varda põhivõrrandid 39514.3 Varda põhivõrrandidElemendi kirjeldamisel võtame kasutusele parema käe teljestiku ja II märgikokkuleppe.NAu AM Aϕ AQ AwAA, 1zMFLqL, 2MϕLLQ Lw LNLu LxJoonis 14.8. Varda jõudude ja siirete positiivsed suunadKasutades varda elemendi ülekandevõrrandit (G.11), kirjutame selle ringi 6×12 vardapõhivõrranditeks (14.11), mis kirjeldavad varda põhiseoseid (G.17). Varda põhivõrrandid(14.11) saab koostada GNU Octave’i funktsiooniga ysplvfmhvI.m lk 724ehk̂︂IU · ̂︀Z = ∘ Z (14.11)I · Z L − U · Z A = ∘ Z, (14.12)kus I on ühikmaatriks (vardal 6 × 6 ),̂︀Z (14.13) koosneb varda lõpus ja alguses olevatest siiretest ning kontaktjõududest̂︀Z =[︃ ]︃ZLZ A, (14.13)siin Z L , Z A – varda lõpus ja alguses olevad siirded ning kontaktjõud⎡Z L =⎢⎣⎤u Lw Lφ L. . .N LQ⎥ L ⎦M L⎡, Z A =⎢⎣⎤u Aw Aφ A. . .N AQ⎥ A ⎦M A, (14.14)ehkZ L =⎡⎢⎣v L. . .s L⎤⎥⎦ , Z A =⎡⎢⎣v A. . .s A⎤⎥⎦ , (14.15)

396 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]kus v L , v A on varda lõpus ja alguses olevad siirdedv L =⎡⎢⎣⎤u L⎥w Lφ L⎦ , v A =⎡⎢⎣⎤u A⎥w Aφ A⎦ (14.16)s L , s A varda lõpus ja alguses olevad kontaktjõuds L =⎡⎢⎣⎤N L⎥Q LM L⎦ , s A =⎡⎢⎣⎤N A⎥Q AM A⎦ (14.17)Koormusvektor ∘ Z on summa mitmest koormusvektorist (vt ∘ Zq (G.22), ∘ ZF (G.23)). Korrutamesiirete read baasjäikusega (i 0 =baasio), mis on selle varda jäikus i= EJ/l, milleganormeeritakse varraste jäikused.Ühtlaselt jaotatud koormuse q (projektsioonid q xjärgmine:∘Zq =⎡⎢⎣−i 0q x*x 22*EAi 0q z·x 424EI y−i 0q z·x 36EI y−q x · x−q z · x−q z · x 2 /2⎤⎥⎦ja q z ) puhul on koormusliige ∘ Zq(14.18)Koormusvektorit ∘ Zq arvutame GNU Octave’i funktsiooniga yzhqz.m lk 721.Koondatud jõu korral, kus x a on koondatud jõu koordinaat, saame järgmise koormusliikme∘ ZF⎡⎤F−i x*(x−x a) +0 EAF i z·(x−x a) 3 +0 6EI y∘FZF =−i z·(x−x a) 2 +0 2EI y−F x · (x − x a ) o +⎢⎣ −F z · (x − x a ) o ⎥+ ⎦−F z · (x − x a ) +(14.19)Koormusvektorit ∘ ZF arvutame GNU Octave’i funktsiooniga yzfzv.m lk 722.

14.4 Põhivõrrandite koostamine 397Ülekandemaatriksi U (G.20) siirete read korrutame baasjäikusega (i 0 =baasio)⎡⎤x1 0 0 . −i 0 0 0EA x 0 1 −x . 0 i 3x x0 6EI y− i 0 GA redi 20 2EI yx0 0 1 . 0 −i 2x0 2EI y−i 0 EI yU =. . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . −1 0 0⎢ 0 0 0 . 0 −1 0 ⎥⎣⎦0 0 0 . 0 −x −1(14.20)Maatriks (14.20) koosneb, nii nagu maatriks (14.7), järgmistest alammaatriksitest⎡⎤j¨aiga keha liikumist . p˜ohideformatsioonekirjeldav alammaatriks . kirjeldav alammaatriksU =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎢. tasakaaluv˜orrandeid ⎥⎣⎦. kirjeldav alammaatriks(14.21)Ülekandemaatriksit U (14.20) saame arvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylfhlin.mlk 721 või hõreda maatriksina ysplfhlin.m lk 723.Varraste otstes olevate siirete ja kontaktjõudude (14.14)-(14.17) määramiseks koostatudvõrrandisüsteem koosneb (joonis 14.9):∙ varraste põhivõrranditest,∙ sõlmedes varraste otste siirete pidevuse võrranditest,∙ sõlmede tasakaaluvõrranditest,∙ varraste kõrvaltingimustest (momendiliigendid),∙ toesõlmede toetingimustest (varraste momendiliigendeid ei näidata topelt).14.4 Põhivõrrandite koostamineVarraskonstruktsiooni arvutusskeemi koostamisel võtame kasutusele parema käe teljestikuja II märgikokkuleppe. Üldteljestiku tähistame X, Y , Z ja kohalikud teljestikudx, y, z-ga.Võrrandisüsteemi koostamisel EST-meetodiga on tundmatuteks siirded ja kontaktjõudvarraste otstes (14.14)–(14.17). Kontaktjõudude ja siirete arv sõltub varraste

398 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]6 x 12Põhivõrrandid (n x 2n)6 x 12Varda põhivõrrandid6 x 126 x 12Rajatingimuste võrrandid (n + toed) x (2n + toed) :Siirete pidevusvõrrandid sõlmedesSõlmede tasakaaluvõrrandidKõrvaltingimusedToetingimusedJoonis 14.9. Võrrandisüsteemi spA·Z = B struktuurarvust. Ühel vardal on otstes 6 siiret (14.16) ja 6 kontaktjõudu (14.17). Nende arvudtuleb korrutada varraste arvuga, siis saame otsitavate suuruste arvu. Koostame võrrandisüsteemi:spA·Z = B (14.22)kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Konstruktsiooni põhivõrranditeks nimetame neid võrrandisüsteemi (14.22) võrrandeid,mida koostame varda põhivõrranditega (14.11). Võrrandisüsteemi (14.22) ülejäänudvõrrandid kirjeldavad konstruktsiooni rajatingimusi, mis omakorda jagunevadkontakti- ja toetingimusi kirjeldavateks võrranditeks.Konstruktsiooni põhivõrrandite koostamisel GNU Octave’i programmid ysplvfmhvI.mlk 724, yzhqz.m lk 721, yzfzv.m lk 722, spInsertBtoA.m lk 726, InsertBtoA.m lk 726arvutavad ja paigutavad võrrandisüsteemi (14.22) varraste põhivõrrandid (14.11)järgmise tsükliga.

14.5 Vastastikused siirded 399Väljavõte programmist 14.5 (Põhivõrrandid. spRaamEST.m lk 728)I I v =0;I J v =0;%f o r i =1:NEARVkrda=i ;EI=selem ( i , 1 3 ) ; % t o p o l o o g i l i s e s t k i r j e l d u s e s tEA=selem ( i , 1 4 ) ; %GAr=selem ( i , 1 5 ) ; %Li=l v a r r a s ( i , 1 ) ;qx=qxZ ( i , 1 ) ;q z=qzZ ( i , 1 ) ;aLx=aLXx ( i , 1 ) ;Fz=FZz ( i , 1 ) ;Fx=FZx ( i , 1 ) ;spvF=y s p l v f m h v I ( b a a s i 0 , Li , Li ,EA, GAr, EI ) ;vB=y z h q z ( b a a s i 0 , Li , qx , qz ,EA, EI ) ;vFz=y z f z v ( b a a s i 0 , Li , aLx , Fx , Fz ,EA, EI ) ;vB=vB+vFz ;I I v=krda *6 −5;I J v=krda *12 −11;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , I I v , IJv , spvF ) ;B=I nsertBtoA (B,NNK, 1 , I I v , 1 , vB , 6 , 1 ) ;e n d f o r% s i i n NEARV on e l e m e n t i d e arv14.5 Vastastikused siirdedKui sõlme on ühendatud mitu varrast, siis varraste omavaheliste siirete võrdsuse kirjeldamiselpeame jälgima transitiivsust 4 .1 32Transitiivsus on seose omadus, kui varda 1 siirded onseoses varda 2 siiretega ja varda 3 siirded on seosesvarda 2 siiretega, siis ka varda 3 ja 1 vahel on seos.See viimane on järeldus ja seda transitiivset seost pidevusvõrranditesseei lisa.Joonis 14.10. TransitiivsusTransitiivsuse mõistega oleme tuttavad jõumeetodist, kus ühikepüüride koostamiselvaatlesime lihtliigendeid, et vajalikul hulgal vastastikuseid pöördeid kirjeldada.Kontaktitingimustest (vt jaotis 3.3 joonis 3.2) vaatame esmalt vastastikuseid siirdeid.Kui kaks varrast ühendada, kus ühe varda (i) lõpus olevad siirded ja pöörded v (i)L (14.16)ühendatakse teise varda (j) alguses olevate siiretega ja pööretega v (j)A , kusv (i)L =⎡⎢⎣u (i)Lw (i)Lφ (i)L⎤⎥⎦, ehk v(j) A =4 http://et.wikipedia.org/wiki/Transitiivsus⎡⎢⎣u (j)Aw (j)Aφ (j)A⎤⎥⎦ , (14.23)

400 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]siis kohalikes koordinaatides olevad siirded teisendame üldkoordinaatidesse (vtteisendust 1.46) varda teisendusmaatriksigaT i = Ti =⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎤⎥⎦ (14.24)Kui on tegemist momendiliigendiga, siis ühendataks ainult siirded.[︃v (i)(i) u LL =w (i)L]︃[︃, ehk v (j)(j) u AA =w (j)A]︃(14.25)ning teisendusmaatriks T i2 on järgmine:[︃cos αT i2 = Ti2 =cos β− cos βcos α]︃(14.26)Varraste otstes olevad momendiliigendid kirjeldatakse kõrvaltingimustega. Kõrvaltingimustegavarda otsas olevat momendiliigendit ja toetingimusega antavat momendiliigendittopelt ei kirjeldata.Järgnevalt vaatleme sõlmedes ühendatud varraste vastastikuseid siirdeid ja pöördeid.Sõlme A3 pidevustingimused (vt joonis 14.11). Siin on 2 varrast omavahel jäigaltühendatud.⎡⎢⎣ehk0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (1)Lw (1)Lφ (1)L⎤⎡⎥⎦ − ⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (2)Aw (2)Aφ (2)A⎤⎥⎦ = 0 (14.27)T 1 · v (1)L − T 2 · v (2)A = 0 (14.28)(1) (1) (1)[ u w ϕ ]zA31x(2) (2) (2)[ u w ϕ ]x2xJoonis 14.11. Sõlme A3 pidevusSõlme A2 pidevustingimused (vt joonis 14.12). Siin on 2 varrast omavahel ühendatudmomendiliigendiga.

14.5 Vastastikused siirded 401(1) (1) (1)[ u w ϕ ]zA21x(2) (2) (2)[ u w ϕ ]M (1) = 0x2Joonis 14.12. Sõlme A2 pidevusx[︃0 1−1 0ehkT 12 v (1)˙2L − T 2]︃ [︃u(1)Lw (1)L]︃−[︃1 00 1]︃ [︃u(2)Aw (2)A]︃= 0 (14.29)˙2A = 0 (14.30)Varraste 1 ja 2 otstes olevad momendiliigendid antakse kõrvaltingimustegav (2)M (1)L = 0 (14.31)M (2)A = 0 (14.32)Sõlme B3 pidevustingimused (vt joonis 14.13). Siin on 3 varrast omavahel jäigaltühendatud. Varraste 1–2 omavahelised seosed on toodud võrrandigaehk⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (1)Lw (1)Lφ (1)L⎤⎡⎥⎦ − ⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (2)Aw (2)Aφ (2)A⎤⎥⎦ = 0 (14.33)T 1 · v (1)L − T 2 · v (2)A = 0 (14.34)Varraste 2–3 omavahelised seosed on toodud võrrandiga (14.35). Varraste 1–3 side onjuba järeldus (transitiivne side):(1) (1) (1)[ u w ϕ ]zxxx(2) (2) (2)[ u w ] ϕ(3) (3) (3)[ u w ϕ ]1 B3 32Joonis 14.13. Sõlme B3 pidevusxehk⎡⎢− ⎣⎡⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 11 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (3)Aw (3)Aφ (3)A⎤u (2)Lw (2)Lφ (2)L⎤⎥⎦ −⎥⎦ = 0 (14.35)T 2 · v (2)L − T 3 · v (3)A = 0 (14.36)

402 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Sõlme B32 pidevustingimused (vt joonis 14.14). Siin on 3 varrast omavahelühendatud. Vardad 1–2 on omavahel jäigalt ühendatud. Seosed on toodud võrrandigaehk⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (1)Lw (1)Lφ (1)L⎤⎡⎥⎦ − ⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (2)Lw (2)Lφ (2)L⎤⎥⎦ = 0 (14.37)T 1 · v (1)L − T 2 · v (2)L = 0 (14.38)Vardad 2–3 on omavahel ühendatud liigendiga.Seosed on toodud võrrandiga (14.39).Varraste 1–3 side on juba järeldus (transitiivneside):[︃0 1−1 0ehk]︃ [︃u(2)Lw (2)L]︃−[︃1 00 1]︃ [︃u(3)Aw (3)A]︃= 0 (14.39)T 22 · v (2)2L − T 32 · v (3)2A = 0 (14.40)Kolmana varda otsas olev momendiliigend kirjeldataksekõrvaltingimusegaz(1) (1) (1)[ u w ϕ ]xxx(2) (2) (2)[ u w ] ϕ(3) (3) (3)[ u w ϕ ]M (3) = 01 B32 32Joonis 14.14. Sõlme B32 pidevusM (3)A = 0 (14.41)Sõlme B2 pidevustingimused (vt joonis 14.15). Siin on 3 varrast omavahel ühendatudliigenditega. Vardad 1–2 on omavahel ühendatud liigendiga. Seosed on toodudvõrrandiga:ehk[︃1 00 1]︃ [︃u(1)Lw (1)L]︃−[︃0 1−1 0]︃ [︃u(2)Aw (2)A]︃= 0 (14.42)T 1 · v (1)2L − T 2 · v (2)2A = 0 (14.43)Varraste 1, 2 ja 3 otstes olevaid momendiliigendeid kirjeldame kõrvaltingimustegaM (1)L = 0 (14.44)M (2)L = 0 (14.45)M (3)A = 0 (14.46)x

14.6 Sõlme tasakaaluvõrrandid 403(1) (1) (1)[ u w ϕ ]zxx(2) (2) (2)[ u w ] ϕ(3) (3) (3)[ u w ϕ ]xM (1) = 01 B2 32M (2) = 0Joonis 14.15. Sõlme B2 pidevusxVardad 2–3 on omavahel ühendatud liigendiga.Seosed on toodud võrrandiga (14.47). Varraste 1–3side on juba järeldus (transitiivne side):[︃0 1−1 0ehk]︃ [︃u(2)Lw (2)L]︃−[︃1 00 1]︃ [︃u(3)Aw (3)A]︃= 0 (14.47)T 22 · v (2)2L − T 32 · v (3)2A = 0 (14.48)Teisendusmaatriksid T i = Ti saab muuta hõredaks maatriksiks käsuga spT i =sparse(T i). Need teisendatud hõredad maatriksid asetame võrrandisüsteemi kordajatemaatriksisse spA käsuga spA=spInsertBtoA(spA,M,N,spTi). Siin on Mja N rea ja veeru indeks. Võrrandisüsteemi (14.22) vabaliikme B nullime eelnevaltja pidevustingimuste puhul nulle ei ole vaja sisestada. Kõrvaltingimusekontaktjõu kordaja 1 asetame võrrandisüsteemi kordajate maatriksisse käsugaspA=spSisestaArv(spA,M,N,1).Järgnevalt vaatame kontaktitingimusi (vt jaotis 3.3 joonis 3.2) ja sõlmede tasakaalu.14.6 Sõlme tasakaaluvõrrandidSõlmede tasakaaluvõrrandite koostamisel kasutame samu teisendusmaatrikseid T i(14.24) nagu siirete pidevusvõrrandite koostamisel. Kui siirete pidevusvõrrandite koostamiseloli ühe varda teisendusmaatriks T j plussmärgiga ja teise varda teisendusmaatriksistT i miinusmärgiga, siis tasakaaluvõrrandite koostamisel on nad plussmärgiga.Sõlme A3 tasakaaluvõrrandid (vt joonis 14.16). Siin peab sõlm A3 olematasakaalus varda 1, 2 kontaktjõudude ja sõlmele rakendatud jõudude F x , F z , M y mõjulF xM Y(1)zA3(1) (1)[ N Q M ]1F zx(2) (2) (2)[ N Q M ]x2Joonis 14.16. Sõlme A3tasakaalx⎡⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1ehk⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣N (1)LQ (1)LM (1)L⎤⎡⎥⎦ + ⎢⎣1 0 00 1 00 0 1=⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣⎡⎢⎣N (2)AQ (2)AM (2)A⎤F x⎥F zM y⎤⎥⎦ =⎦ (14.49)T 1 · s (1)L + T 2 · s (2)A = F A3 (14.50)

404 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Sõlme A2 tasakaaluvõrrandid (vt joonis 14.17). Siin on omavahel ühendatud 2varrast momendiliigendiga:[︃0 1−1 0]︃ [︃N(1)LQ (1)L]︃+[︃1 00 1]︃ [︃(2) N AQ (2)A[︃Fx=F z]︃]︃=(14.51)ehk T 12 · s (1)2L + T 22 · s (2)2A = F A2 (14.52)Varraste otstes olevad momendiliigendid kirjeldataksekõrvaltingimustega.F x(1)zA2(1) (1)[ N Q M ]1F zM (2) = 0x(2) (2) (2)[ N Q M ]x2Joonis 14.17. Sõlme A2tasakaalSõlme B3 tasakaaluvõrrandid (vt joonis 14.18). Siin on kolm varrast omavaheljäigalt ühendatud:xehk⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣⎡⎢+ ⎣N (1)LQ (1)LM (1)L⎤ ⎡⎥⎦ + ⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1N (3)AQ (3)AM (3)A⎤⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣⎡⎥⎦ = ⎢⎣N (2)LQ (2)LM (2)L⎤F x⎥F zM y⎤⎥⎦ +⎦ (14.53)T 1 · s (1)L + T 2 · s (2)L + T 3 · s (3)A = F B3 (14.54)(1) (1) (1)[ N Q M ]M YxF zxx(2) (2) (2)[ N Q M ](3) (3) (3)[ N Q M ]F1 x B3 3xz2Joonis 14.18. Sõlme B3 tasakaalSõlme B2 tasakaaluvõrrandid (vt joonis 14.19). Siin on kolm varrast omavahelühendatud momendiliigendiga:

14.6 Sõlme tasakaaluvõrrandid 405z[ N Q M ](1) (1)(1)xx(2) (2) (2)[ N Q M ]x(3) (3) (3)[ N Q M ]1 B2 M (3)= 0 32ehkJoonis 14.19. Sõlme B2 tasakaalx[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃(1)(2)1 0 N L 0 1 N0 1 Q (1)L+−1 0LQ (2) +L[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃(3)1 0 N A Fx+0 1 Q (3) = (14.55)FAzT 12 · s (1)2L + T 22 · s (2)2L ++T 32 · s (3)2A = F B2 (14.56)Varraste otstes olevad momendiliigendid kirjeldatakse kõrvaltingimustega.Sõlme B32 tasakaaluvõrrandid (vt joonis 14.20). Siin on omavahel ühendatudkolm varrast, kaks jäigalt ja üks momendiliigendiga:⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣N (1)LQ (1)LM (1)L⎤⎡⎥⎦ + ⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣N (2)LQ (2)LM (2)L⎤⎡⎥⎦ + ⎢⎣1 00 10 0⎤⎥⎦[︃N(3)AQ (3)A]︃=⎡⎢⎣⎤F x⎥F z ⎦ (14.57)M yehkF zM xYF1 x B32 3(1) (1)(1)z[ N Q M ]xx(2) (2) (2)[ N Q M ]2(3) (3) (3)[ N Q M ]Joonis 14.20. Sõlme B32tasakaalxT 1 · s (1)L + T 2 · s (2)L + T 32 · s (3)2A = F B32 (14.58)Siin on kolm tasakaaluvõrrandit. Tasakaaluvõrranditeteisendusmaatriksid T i asetame võrrandisüsteemi kordajatemaatriksisse spA nii nagu siirete pidevusvõrrandite puhul(vt lk 403). Sõlmkoormused sisestame võrrandisüsteemi vabaliikmetevektorisse B. Kui sõlmes on ühendatud rohkemkui kolm varrast, siis sõlmes tasakaaluvõrrandite arv ei suurene.Sõlme AF3s tasakaaluvõrrandid (vt joonis 14.21). Joonisel 14.21 on näidatudtoereaktsioonide C x , C z ja C y lisamine tasakaaluvõrranditesse:

406 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2](1)zx(1) (1)[ N Q M ]1 αC YA3sC z(2) (2) (2)[ N Q M ]C xz2zβxxJoonis 14.21. Toesõlm⎡⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣N (1)AQ (1)AM (1)A⎤⎡⎥⎦ + ⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎡⎢− ⎣⎤C x⎥C zC y⎦ =⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣⎡⎢⎣N (2)AQ (2)AM (2)A⎤F x⎥F zM y⎤⎥⎦ −⎦ (14.59)Joonisel ei ole näidatud võrrandis (14.59) toodud sõlmkoormustF x , F z ja M y .14.7 KõrvaltingimusedKõrvaltingimustes näidatakse varraste otstes olevad momendiliigendid. Avaldistega(14.31), (14.32), (14.41), (14.44), (14.45) ja (14.46) on kirjeldatud momendiliigendeid.14.8 ToetingimusedToetingimused (vt jaotis 3.2 joonis 3.1) jagunevad toereaktsioonideks ja toesiireteks.Räägitakse ka staatilistest rajatingimustest ja kinemaatilistest rajatingimustest.Jooniselt 3.1 lk 80 näeme, et ühel toel olevast kuuest rajatingimusest antakse ette kolmrajatingimust. Kinemaatilised ja staatilised rajatingimused on paarikaupa. Kui üks onette antud, siis teine tuleb leida võrrandisüsteemi lahendamisega. Ehitusmehaanikason diferentsiaalvõrrandi lahend ja rajatingimused ühesuguse tähtsusega. Arvutustehnikaarenguga ja programmide kasutamisega on muutunud veelgi olulisemaks õigete rajatingimustevalimine. Eksimine rajatingimuste valimisel põhjustab programmi mittetöötamisevõi, mis on veelgi halvem, valede tulemuste saamise.Rajatingimuse sisestamiseks võrrandisüsteemi kordajate maatriksisse spA peameteadma varda otsas, mis on toel, kontaktjõu või siirde järjekorranumbrit N ja võrrandinumbrit M, kuhu me selle tingimuse kirjutame. Toetingimuse sisestamiseks kasutameGNU Octave’i funktsiooni spA=spSisestaArv(spA,M,N,1). Toetingimusesisestamist näeme programmis spRaamEST.m lk 728.14.9 Siirete ja sisejõudude arvutamineKoostatud võrrandisüsteemi (14.22) kordajad moodustavad hõreda maatriksi spA(Hõredad maatriksid vt lisa B lk 647). See võrrandisüsteem (14.60) on skaleeritud,st siirded on korrutatud baasjäikusega i 0 = maxEIminlspA·Z = B (14.60)

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 407Lahendame võrrandisüsteemi (14.60).X = spA∖B % lahend v˜orrandis¨usteemile spA * X = B (14.61)Võrrandisüsteemi lahendist (14.61) tegelike siirete saamiseks jagame leitud siirdedbaasjäikusega i 0 . Algparameetrid varrastele saame, kui valime välja varraste algusesolevad tegelikud siirded ja kontaktjõud. Leitud algparameetrid vastavad II märgikokkuleppele.Varda lõpus olevad sisejõudude suunad langevad I ja II märgikokkuleppe puhulkokku (vt jaotis 1.12 lk 47).Võrrandisüsteemi (14.12) kirjutame kujul (14.62), kus Z A on algparameetrite vektorja Z L varda lõpus olevate siirete ja sisejõudude vektorZ L = U · Z A + ∘ Z (14.62)siin koormusvektor Z ∘ on summa mitmest koormusvektorist (vt ∘ Zq (14.18), ∘ ZF (14.19)),kus baasjäikuse (i 0 = 1.0) valime üheks, kuna vaatleme normaliseeritud (tegelikke)siirdeid.Ülekandemaatriks U avaldises (14.62) on kirjeldatud avaldisega (14.20) ja seda saamearvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylfhlin.m lk 721.Koormusvektorit ∘ Zq arvutame GNU Octave’i funktsiooniga yzhqz.m lk 721 ja koormusvektorit∘ ZF – funktsiooniga yzfzv.m lk 722.Väljavõte programmist 14.6 (Sisejõud. spRaamEST.m lk 728)f o r i =1:NEARVkrda=i ;vF=z e r o s ( 6 , 1 2 ) ;EI=selem ( i , 1 3 ) ; % t o p o l o o g i l i s e s t k i r j e l d u s e s tEA=selem ( i , 1 4 ) ; %GAr=selem ( i , 1 5 ) ; %Li=l v a r r a s ( i , 1 ) ;qx=qxZ ( i , 1 ) ;q z=qzZ ( i , 1 ) ;aLx=aLXx ( i , 1 ) ;Fz=FZz ( i , 1 ) ;Fx=FZx ( i , 1 ) ;xsamm=Li / 4 ; % varda n e l j a n d i k e l s i s e j õ u dxx =0; % s i i s s i i n 1 . j a 2 . märgi k o k k u l e p eAP=AlgPar ( i , : ) ’ ; %f o r i j =1:5 % 5 − s i s e j õ u d ka varda a l g u lvvF= y l f h l i n ( 1 . 0 , xx ,EA, GAr, EI ) ;vvB=y z h q z ( 1 . 0 , xx , qx , qz ,EA, EI ) ;vvFz=y z f z v ( 1 . 0 , xx , aLx , Fx , Fz ,EA, EI ) ;Fvv ( : , i j )=vvF *AP+vvB+vvFz ; % ü l e k a n d e v õ r r a n dxx=xx+xsamm ;e n d f o re n d f o r% s i i n NEARV on e l e m e n t i d e ( v a r r a s t e ) arv14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga14.10.1 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 14.2 [slaidid]Näide 14.2 Koostada joonisel 14.22 näidatud raamile sisejõudude epüürid. Raami kõrgush = 4 m ja avad l = 6 m. Raami riivile 2–4 on rakendatud ühtlaselt jaotatud koormusq = 8 kN/m ja posti 3–4 keskele koondatud jõud F = 10 kN.

408 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]q = 8 kN/m00000000000000000000000111111111111111111111112 4 64 mEI pEIEI p r = 2.0EI r EI rEIF p1= 10 kNEI p4EI = 2*10 [kN.pm]135000 111 000 111000 1116 m6 m2 mJoonis 14.22. Kahe avaga raamRaami posti ristlõike paindejäikus on EI p = 2 * 10 4 kN·m 2 ja raami riivi ristlõike paindejäikusEI r = 2.0EI p , posti ristlõike pikijäikus EA p = 4.6 * 10 6 kN, EA r = 8.8 * 10 6 kN, postiristlõike lõikejäikus GA rp = 0.4EA p , GA rr = 0.4EA r .Arvutuse tulemusi võrrelda näites 9.2 jõumeetodiga lahendatud ülesandega.Võrrandisüsteemi koostamisel EST-meetodiga on tundmatuteks siirded ja kontaktjõudvarraste otstes (joonised 14.23 ja 14.24). Kontaktjõudude ja siirete arv on 60. Kontaktjõududeja siirete arv sõltub varraste arvust. Kontaktjõudude ja siirete leidmiseks koostame võrrandisüsteemi(14.63)spA·Z = B (14.63)kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Põhivõrrandid moodustavad poole võrrandisüsteemist (14.63) (vt joonis 14.9). Põhivõrranditegatutvusime lõigus 14.4 (lk 398). Samal leheküljel tutvusime funktsioonidega ja programmitsükliga, mille abil saab moodustada põhivõrrandid. Põhivõrrandite arv on 30. Varrasteotste siirete sidumise ( siirete pidevusvõrrandid) alustame võrrandist 31 (vt Rajatingimusi 14.7lk 410).Varraste siirete pidevusvõrrandid seovad sõlmedes vardaid paarikaupa. Jooniselt14.23 näeme, et sõlmes 2 on seotud vardad 1–2, sõlmes 4 on seotud vardad 2–3 ja 3–4 ningsõlmes 6 vardad 4–5. Erinevat tüüpi sõlmedes varraste ühendamist vaatlesime lõigus 14.5lk 399. Varraste kohalikes koordinaatides olevad siirded teisendame üldkoordinaatidesse (vtteisendust 1.46) varda teisendusmaatriksiga T i (14.24) ja T i2 (14.26)). Hõredate maatriksitenatähistame neid maatrikseid järgmiselt:spTi – varda i 3x3 teisendusmaatriks,spTim – varda i 3x3 teisendusmaatriks korrutatud miinus ühega,spTi2 – varda i 2x2 teisendusmaatriks,spTi2m – varda i 2x2 teisendusmaatriks korrutatud miinus ühega.Sõlmes 2 on kaks varrast ühendatud momendiliigendiga. Sellist tüüpi ühendust vaatlesime kirjelduses”Sõlme A2 pidevustingimused” lk 400 joonis 14.12. Jooniselt 14.23 näeme, et sõlmes2 on ühendatud 1. ja 2. varda siirded, mille järjekorranumbrid algavad 1-st ja 19-st. Kannameneed arvud ”Rajatingimustesse 14.7”.Sõlmes 4 on kolm varrast ühendatud jäigalt. Siin varraste ühenduste kirjeldamisel jälgimevarraste transitiivsust (lk 399). Sellist tüüpi ühendust vaatlesime kirjelduses ”Sõlme B3 pidevustingimused”lk 401 joonis 14.13. Jooniselt 14.23 näeme, et sõlmes 4 on ühendatud 2. ja

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 409zx2 x4 x 6[1 2 3] z[25 26 27]z[55 56 57]135[7 8 9][31 32 33][49 50 51]1 [u w ϕ]35000 111[19 20 21]z x2[13 14 15][43 44 45]000 111z x4[37 38 39]Joonis 14.23. Raami siirete nummerduszx000 1113. varda siirded, mille järjekorranumbrid algavad 13-st ja 25-st. Veel on sõlmes 4 ühendatud3. ja 4. varda siirded, mille järjekorranumbrid algavad 25-st ja 43-st. Kanname need arvudRajatingimustesse 14.7”.”Sõlmes 6 on kaks varrast ühendatud momendiliigendiga. Sõlm 6 on sarnane sõlmega 2.Jooniselt 14.23 näeme, et sõlmes 6 on ühendatud 4. ja 5. varda siirded, mille järjekorranumbridalgavad 37-st ja 55-st. Kanname need arvud Rajatingimustesse 14.7”.”Sõlmede tasakaaluvõrrandid. Erinevat tüüpi sõlmede tasakaaluvõrrandeid vaatlesimelõigus 14.6 lk 403. Siin kasutame kontaktjõudude teisendamiseks samu teisendusmaatrikseid,mida kirjeldasime siirete teisendamisel.Sõlmes 2 lähevad tasakaaluvõrrandisse varraste 1 ja 2 suunakoosinustest moodustatudteisendusmaatriksid T 12 ja T 22 (14.51) lk 404. Jooniselt 14.24 näeme, et sõlmes 2 on varraste1 ja 2 kontaktjõud, mille järjekorranumbrid algavad 4-st ja 22-st. Kanname need arvudRajatingimustesse 14.7”.”Sõlme 4 tasakaaluvõrrandid. Sellist tüüpi sõlme tasakaaluvõrrandeid vaatlesime kirjeldusesSõlme B3 tasakaaluvõrrandid” (lk 404). Sõlmes 4 lähevad tasakaaluvõrrandisse varraste”2, 4 ja 6 suunakoosinustest moodustatud teisendusmaatriksid T 2 , T 3 ja T 4 (14.53) lk 404.Jooniselt 14.24 näeme, et sõlmes 4 on varraste 2, 3 ja 4 kontaktjõud, mille järjekorranumbridalgavad 16-st, 28-st, ja 46-st. Kanname need arvud Rajatingimustesse 14.7”.”xz[22 23 24]22 x4 x 6[4 5 6] z [28 29 30] z[58 59 60]13[N Q M]5[10 11 12][34 35 36][52 53 54]1 C 3 [63] C36 [66]5C 000 111000 1111[61]C5[65]C 8 [68] 000 111C2[62]C4[64]C 7 [67]z x[16 17 18]Joonis 14.24. Raami kontaktjõudude nummerdus[46 47 48]z x4[40 41 42]zx

410 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Väljavõte programmist 14.7 (Rajatingimused. spRaamEST.m lk 728)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% S i i r e t e p i d e v u s e v õ r r a n d i d 31−40 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 1 , 1 , spT12 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 1 , 1 9 , spT22m ) ;% Sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 3 , 1 3 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 3 , 2 5 , spT3m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 6 , 2 5 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 6 , 4 3 , spT4m ) ;% Sõlm 6spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 9 , 3 7 , spT42 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 9 , 5 5 , spT52m ) ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sõlmede t a s a k a a l u v õ r r a n d i d 41−55%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 1 , 4 , spT12 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 1 , 2 2 , spT22 ) ;B(41:42 ,1)= s2F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 2 koormus% Sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 3 , 1 6 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 3 , 2 8 , spT3 ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 3 , 4 6 , spT4 ) ; % s i i n o l i kolm v a r r a s tB(43:45 ,1)= s4F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 4 koormus% Sõlm 6spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 6 , 4 0 , spT42 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 6 , 5 8 , spT52 ) ;B(46:47 ,1)= s6F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 6 koormus% Sõlm 1spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 8 , 1 0 , spT12 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 8 , 6 1 , spTy2m ) ;B( 4 8 : 4 9 , 1 ) = 0 . 0 ; % sõlm 1 t . r e a k t s . C1−61 , C2−62% Sõlm 3spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 0 , 3 4 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 0 , 6 3 , spTym ) ;B( 5 0 : 5 2 , 1 ) = 0 . 0 ; % sõlm 3 t . r e a k t s . C3−63 , C4−64 , C5−65% Sõlm 5spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 3 , 5 2 , spT5 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 3 , 6 6 , spTym ) ;B( 5 3 : 5 5 , 1 ) = 0 . 0 ; % sõlm 5 t . r e a k t s . C6−66 , C7−67 , C8−68%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% K õ r v a l t i n g i m u s e d 56−59 % m o m e n d i l i i g e n d i d v a r r a s t e o t s t e s%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% v a b a l i i k m e t e v e k t o r B on n u l l i t u dspA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 5 6 , 6 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s M6=0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 5 7 , 2 4 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s M24=0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 5 8 , 4 2 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s M42=0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 5 9 , 6 0 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s M60=0%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% T o e r e a k t s i o o n i d 60−68 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 0 , 1 2 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s − t o e t i n g i m u s M60=0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 1 , 7 , 1 ) ; % t o e s õ l m 1 , uspA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 2 , 8 , 1 ) ; % wspA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 3 , 3 1 , 1 ) ; % t o e s õ l m 3 , u , w , f ispA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 4 , 3 2 , 1 ) ; spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 5 , 3 3 , 1 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 6 , 4 9 , 1 ) ; % t o e s õ l m 5 , u , w , f ispA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 7 , 5 0 , 1 ) ; spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 8 , 5 1 , 1 ) ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Sõlme 6 tasakaaluvõrrandid. Sõlme tasakaaluvõrrandite koostamine on sarnane sõlme2 tasakaaluvõrrandite koostamisele. Varraste 4 ja 5 kontaktjõud, mille järjekorranumbrid algavad40-st ja 58-st. Kanname need arvud ”Rajatingimustesse 14.7”.Kõrvaltingimused. Nendeks on varraste otstes olevad momendiliigendid. Jooniselt 14.24näeme, et sõlmes 2 on varda 1 lõpus ja varda 2 algul momendiliigend M (1)L6 = 0 ningM (1)(4)(5)A24 = 0. Varda 4 lõpus ja varda 5 algul on momendiliigend ML42 = 0 ning MA60 = 0.Kanname need arvud Rajatingimustesse 14.7”. Varda 1 algul oleva momendiliigendi võtame”arvesse toetingimustes.

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 411Toetingimused (vt jaotis 3.2 joonis 3.1) jagunevad toereaktsioonideks ja toesiireteks. Neidnimetatakse ka staatilisteks rajatingimusteks ja kinemaatilisteks rajatingimusteks. Jooniselt3.1 lk 80 näeme, et igal toel on 3 siiret ja 3 toereaktsiooni. Kolm antakse ette ja kolm tulebarvutada. Joonistelt 14.23 ja 14.24 näeme, et toesõlmes 1 on siire 7 ja 8 ning moment 12nullid. Toesõlmes 3 on siirded 31, 32 ja 33 nullid. Toesõlmes 5 on siirded 49, 50 ja 51 nullid.Kanname need Rajatingimustesse 14.7”.”Rajatingimuste sisestamisel võrrandisüsteemi (14.63) kasutame GNU Octave’i funktsioonespInsertBtoA(spA,M,N,spTi), InsertBtoA(A,I,J,M,N,B,M,N) ja spSisestaArv(spA,M,N,sv), siin M on rea ja N veeru number. Sisestatavate suuruste ja rea M ning veeru N numbridon näidatud Rajatingimustes 14.7”. Rajatingimuste sisestamist näeme programmi väljavõttes”14.7 lk 410. Koordinaatide teisendusel tähistame 3x3 teisendusmaatriksi T i = Ti-ina (14.24,lk 400), 2x2 teisendusmaatriksi T i2 = Ti2-na (14.26, lk 400). Miinusega läbi korrutatudteisendusmaatriksitele lisame tähe m T im = Tim, T i2m = Ti2m. Nendest teisendusmaatriksiteston moodustatud hõredad maatriksid käsuga sparse (näit spTi=sparse(Ti)).Lahendame võrrandisüsteemi (14.63) GNU Octave’igaX = spA∖B % lahend v˜orrandis¨usteemile spA * X = B (14.64)Sellele järgnevalt jagame siirded baasjäikusega i 0 . Nüüd saame avaldada varraste algparameetrid,mis vastavad II märgikokkuleppele (varda algul olevate kontaktjõudude märgidII märgikokkuleppe puhul on vastupidised I märgikokkuleppe omadega).Väljavõte arvutuse päevikust 14.1 (Arvutuspäevik 14.2 lk 413)============================================================================Algparameetrid (skaleerimata). II märgikokkulepeVarda Nr u w fi N Q M----------------------------------------------------------------------------1 0.000e+00 0.000e+00 8.881e-06 20.301 0.000 0.0002 -3.552e-05 1.765e-05 -1.247e-03 0.000 -20.301 0.0003 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 29.980 -10.033 11.6224 -3.552e-05 2.607e-05 6.889e-04 -0.033 -2.281 13.6845 -1.983e-06 3.549e-05 1.331e-05 -2.281 0.033 0.000----------------------------------------------------------------------------Sisejõudude arvutamiseks kasutame ülekandevõrrandit (14.62).Z L (x) = U · Z A + ∘ Z (14.65)Selle võrrandi kasutamist arvutiprogrammis on näidatud programmi väljavõttes 14.6 lk 407.Siin võrrandite skaleerimist ei toimu, programmides on baasjäikus võetud üheks (i 0 = 1.0).Sisejõudude arvutuse tulemusi näeme arvutuspäevikus 14.2, kus siirded ja sisejõud on leitudvarraste neljandikel. Arvutustulemuste põhjal koostame sisejõudude epüürid.Paindemomendi (joonis 14.26), põikjõu ja normaaljõu epüürilt (joonis 14.27) leiame raamitoereaktsioonid. Kanname need joonisele 14.28.

412 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Ristlõike "−" ja "+" pool "+" poolel2. ja 1. märgikokkulepeühtivadAlgparameetrid on "−" poolel2. märgikokkuleppegan −N −M −"−" poolel on2. ja 1. märgikokkulepevastupidiste märkidegaQ − M +Q +ZN +n +Joonis 14.25. Positiivne pindXVarda algul on algparameetrid negatiivsel”pinnal” (vt joonis 14.25) ja nende märkvastab 2. märgikokkuleppele. Sellel pinnalon sisejõud 1. ja 2. märgikokkuleppe puhulerinevad. Pluss”-pinnal on sisejõud 1. ja 2.”märgikokkuleppe puhul ühesuguste märkidega.Avaldisega (14.65) arvutatakse sisejõudparempoolsel pluss”-pinnal. Seega arvutame”avaldisega (14.65) sisejõud ka varda ristlõikealgul (x = 0) pluss”-poolel, siis saame varda”algul kontaktjõud (sisejõud), mille märgid onühesugused nii 1. kui ka 2. märgikokkuleppepuhul.(EA p = 4.6*10 15 )(22.25) (13.75)EA p = 4.6*10 6 22.19 13.68dfe 8.51(8.50)24.908.44(24.88) (8.44)a11.62 b c 0.13300 11 00 11M [kN.m](11.63)000 111(0.125)Joonis 14.26. Raami EST paindemomendiepüürJoonistel 14.26 ja 14.27 sulgudes olevadsisejõudude väärtused on arvutatud raamiposti ristlõike pikijäikusega EA p =4.6 · 10 15 kN (jäik post ja riiv). Tulemusedlangevat ühte jõumeetodiga leitud tulemustega(joon. 9.13 lk 232). Raami posti ristlõikepikijäikusega EA p = 4.6 · 10 6 kN arvutatudtulemused on kantud samale joonisele.Raami staatiline kontroll.Projitseerime kõik jõud horisontaalteljele X (joonis 14.28)ΣX = 0; 10.0 − 10.033 + 0.033 = 0 (14.66)00000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111(27.71)(EA r = 4.6*10 15 )0000000000000000000000011111111111111111111111 27.700000000000000000000000011111111111111111111111EA r = 4.6*10 60000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000001111111111111111111111100000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110.03300000000000000000000000111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110.033(0.031)0000000000000000000000011111111111111111111111 2.2800 11(0.031)00 110000000000000000000000011111111111111111111111 (2.29)00 1100 1100 11000000000000000000000001111111111111111111111100 1100000000000000000000000001111111111111111111111110.0331100 1100 11000000000000000000000001111111111111111111111120.30 (10.031)00 11000 11100 11(20.29)000 111 Q [kN] 00 110000 11110000 1111000 111000 111000 111000 1110000 11110000 111100 1100 1100 1100 110000 11110000 1111(20.29)20.30000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 1110000 11110000 1111(30.00)29.98Joonis 14.27. Raami EST Q ja N0000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 1111(2.29)2.28000000000000000000000001111111111111111111111101010000000000000000000000011111111111111111111111010.0330101(0.031)010000 11110000 1111N[kN]010101010101010101010101010000 11110000 1111

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 4138 kN/md e000000000000000000000000111111111111111111111111fi10 kN k000 111 a 000 111 b c0011000 111 x 10.033000111 0.033 00 1111.62 0.133z20.3029.982.28Joonis 14.28. Raami EST toereaktsioonidProjitseerime kõik jõud vertikaalteljele Z (joonis 14.28)ΣZ = 0; 8.0 * 6.0 − 20.30 − 29.98 + 2.28 = 0 (14.67)Momentide summaga kontrollimine on väga oluline kontroll. Paljudel juhtudel avastataksearvutustes tehtud viga alles selle kontrolliga.Momentide summa toe a suhtes (vt joonis 14.28).ΣM a = 0; −8.0 * 6.0 * 3.0 − 10.0 * 2.0++29.98 * 6.0 + 11.62 − 2.28 * 12.0 − 0.133 = 0.007 kN·m ≈ 0(14.68)Leitud toereaktsioonid läbisid staatilise kontrolli.Arvutuspäevik 14.2 (Programm spRaamEST.m lk 728)Octave-3.0.1:1> diary spRaamEST.outOctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spRaamEST=================================================================Järgnev on staatiliselt määramatu raami arvutus: GNU Octave’igaNmitmeks = 4Ntoerkts = 8EIp = 20000EIr = 40000EAp = 4600000EAr = 6800000GAp = 1840000GAr = 2720000baasi0 = 5000Elemendi koormus kohalikes koordinaatidesqz =0 8 0 0 0qx =0 0 0 0 0aL =4 6 2 6 4Fx =0 0 10 0 0Fz =0 0 0 0 0S~olme 2 koormus üldkoordinaatidesans =0 0 0S~olme 4 koormus üldkoordinaatidesans =0 0 0

414 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]RaamEST−15−10Siirete, kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdusu w fi N Q M varraste alguses7 8 9 10 11 1219 20 21 22 23 2431 32 33 34 35 3643 44 45 46 47 4855 56 57 58 59 60u w fi N Q M varraste lõpus1 2 3 4 5 613 14 15 16 17 1825 26 27 28 29 3037 38 39 40 41 4249 50 51 52 53 54Toereaktsioonid: 61 62 63 64 65 66 67 68−5zxM24= 0 2M6= 0 2z x1 3z x4z x4z xM42= 06M60= 0z x50u7= 0w8= 01 u31= 0 3u49= 0 5M12= 0 w32= 0w50= 000 11 000 111000 111ϕ33= 0 ϕ51= 0−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16Joonis 14.29. Raami EST elemendidS~olme 6 koormus üldkoordinaatidesans =0 0 0SolmedeArv = 6ElementideArv = 5spA =Compressed Column Sparse (rows = 68, cols = 68, nnz = 161 [3.5%])(1, 1) -> 1(32, 1) -> -1(2, 2) -> 1(31, 2) -> 1(3, 3) -> 1(4, 4) -> 1(42, 4) -> -1(5, 5) -> 1(41, 5) -> 1(6, 6) -> 1(56, 6) -> 1(1, 7) -> -1(61, 7) -> 1(2, 8) -> -1(62, 8) -> 1(2, 9) -> 4(3, 9) -> -1(1, 10) -> 0.0043478(4, 10) -> 1(49, 10) -> -1(2, 11) -> -2.6667(3, 11) -> 2(5, 11) -> 1(6, 11) -> 4(48, 11) -> 1(2, 12) -> -2(3, 12) -> 1(6, 12) -> 1(60, 12) -> 1(7, 13) -> 1(33, 13) -> 1(8, 14) -> 1(34, 14) -> 1(9, 15) -> 1(35, 15) -> 1(10, 16) -> 1(43, 16) -> 1(11, 17) -> 1(44, 17) -> 1(12, 18) -> 1(45, 18) -> 1(7, 19) -> -1(31, 19) -> -1(8, 20) -> -1(32, 20) -> -1(8, 21) -> 6(9, 21) -> -1(7, 22) -> 0.0044118

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 415(10, 22) -> 1(41, 22) -> 1(8, 23) -> -4.5000(9, 23) -> 2.2500(11, 23) -> 1(12, 23) -> 6(42, 23) -> 1(8, 24) -> -2.2500(9, 24) -> 0.75000(12, 24) -> 1(57, 24) -> 1(13, 25) -> 1(34, 25) -> 1(37, 25) -> -1(14, 26) -> 1(33, 26) -> -1(36, 26) -> 1(15, 27) -> 1(35, 27) -> -1(38, 27) -> 1(16, 28) -> 1(44, 28) -> -1(17, 29) -> 1(43, 29) -> 1(18, 30) -> 1(45, 30) -> 1(13, 31) -> -1(63, 31) -> 1(14, 32) -> -1(64, 32) -> 1(14, 33) -> 4(15, 33) -> -1(65, 33) -> 1(13, 34) -> 0.0043478(16, 34) -> 1(51, 34) -> -1(14, 35) -> -2.6667(15, 35) -> 2(17, 35) -> 1(18, 35) -> 4(50, 35) -> 1(14, 36) -> -2(15, 36) -> 1(18, 36) -> 1(52, 36) -> 1(19, 37) -> 1(39, 37) -> 1(20, 38) -> 1(40, 38) -> 1(21, 39) -> 1(22, 40) -> 1(46, 40) -> 1(23, 41) -> 1(47, 41) -> 1(24, 42) -> 1(58, 42) -> 1(19, 43) -> -1(36, 43) -> -1(20, 44) -> -1(37, 44) -> -1(20, 45) -> 6(21, 45) -> -1(38, 45) -> -1(19, 46) -> 0.0044118(22, 46) -> 1(43, 46) -> 1(20, 47) -> -4.5000(21, 47) -> 2.2500(23, 47) -> 1(24, 47) -> 6(44, 47) -> 1(20, 48) -> -2.2500(21, 48) -> 0.75000(24, 48) -> 1(45, 48) -> 1(25, 49) -> 1(66, 49) -> 1(26, 50) -> 10spy(spA) − hõreda maatriksi spA(68,68) nullist erinevad elemendid [3.5%]Põhivõrrandid 1 − 30102030Pidevustingimused sõlmedes 31 − 4040Sõlmede tasakaal 41 − 5550Kõrvaltingimused 56 − 5960Toetingimused 60 − 680 10 20 30 40 50 60Joonis 14.30. Raami EST spA nullist erinevate elementide asukohad

416 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]B =(67, 50) -> 1(27, 51) -> 1(68, 51) -> 1(28, 52) -> 1(54, 52) -> 1(29, 53) -> 1(53, 53) -> -1(30, 54) -> 1(55, 54) -> 1(25, 55) -> -1(40, 55) -> -1(26, 56) -> -1(39, 56) -> 1(26, 57) -> 4(27, 57) -> -1(25, 58) -> 0.0043478(28, 58) -> 1(47, 58) -> 1(26, 59) -> -2.6667(27, 59) -> 2(29, 59) -> 1(30, 59) -> 4(46, 59) -> -1(26, 60) -> -2(27, 60) -> 1(30, 60) -> 1(59, 60) -> 1(48, 61) -> -1(49, 62) -> -1(50, 63) -> -1(51, 64) -> -1(52, 65) -> -1(53, 66) -> -1(54, 67) -> -1(55, 68) -> -11 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005 0.0006 0.0007 0.0008 54.0009 -36.00010 0.00011 -48.00012 -144.00013 0.00014 3.33315 -5.00016 0.00017 -10.00018 -20.00019 0.00020 0.00021 0.00022 0.00023 0.00024 0.00025 0.00026 0.00027 0.00028 0.00029 0.00030 0.00031 0.00032 0.00033 0.00034 0.00035 0.00036 0.00037 0.00038 0.00039 0.00040 0.00041 0.00042 0.00043 0.00044 0.00045 0.00046 0.00047 0.00048 0.00049 0.00050 0.00051 0.00052 0.00053 0.00054 0.00055 0.00056 0.00057 0.00058 0.00059 0.00060 0.00061 0.00062 0.00063 0.00064 0.00065 0.00066 0.00067 0.00068 0.000X =1 -8.826e-022 -1.776e-013 4.440e-024 -2.030e+015 0.000e+006 0.000e+007 0.000e+008 0.000e+009 4.440e-0210 2.030e+0111 0.000e+0012 0.000e+0013 -1.776e-0114 1.303e-0115 3.444e+0016 0.000e+0017 -2.770e+0118 -2.219e+0119 -1.776e-0120 8.826e-0221 -6.233e+0022 0.000e+0023 -2.030e+0124 0.000e+0025 -1.303e-0126 -1.776e-0127 3.444e+0028 -2.998e+0129 3.327e-0230 8.511e+0031 0.000e+0032 0.000e+0033 0.000e+0034 2.998e+0135 -1.003e+0136 1.162e+0137 -1.775e-0138 -9.916e-0339 -1.687e+0040 3.327e-0241 2.281e+0042 0.000e+0043 -1.776e-0144 1.303e-0145 3.444e+0046 -3.327e-0247 -2.281e+0048 1.368e+0149 0.000e+0050 0.000e+0051 0.000e+0052 2.281e+0053 -3.327e-0254 -1.331e-0155 -9.916e-0356 1.775e-0157 6.655e-0258 -2.281e+0059 3.327e-0260 0.000e+00Toereaktsioonid61 -0.000e+0062 -2.030e+0163 -1.003e+0164 -2.998e+0165 1.162e+0166 3.327e-0267 2.281e+0068 -1.331e-01

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 417============================================================================Algparameetrid skaleerimata. II märgikokkulepeVarda Nr u w fi N Q M----------------------------------------------------------------------------1 0.000e+00 0.000e+00 8.881e-06 20.301 0.000 0.0002 -3.552e-05 1.765e-05 -1.247e-03 0.000 -20.301 0.0003 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 29.980 -10.033 11.6224 -3.552e-05 2.607e-05 6.889e-04 -0.033 -2.281 13.6845 -1.983e-06 3.549e-05 1.331e-05 -2.281 0.033 0.000----------------------------------------------------------------------------====================================================================================Varras 1. Li on jaotatud neljaksLi = 4siire u - 0.00000e+00 -4.41324e-06 -8.82647e-06 -1.32397e-05 -1.76529e-05siire w - 0.00000e+00 -8.88062e-06 -1.77612e-05 -2.66418e-05 -3.55225e-05pööre fi - 8.88062e-06 8.88062e-06 8.88062e-06 8.88062e-06 8.88062e-06normaalj~oud N - -20.30089 -20.30089 -20.30089 -20.30089 -20.30089p~oikj~oud Q - 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000moment M - 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000------------------------------------------------------------------------------------Varras 2. Li on jaotatud neljaksLi = 6siire u - -3.55225e-05 -3.55225e-05 -3.55225e-05 -3.55225e-05 -3.55225e-05siire w - 1.76529e-05 1.64416e-03 2.14841e-03 1.33626e-03 2.60693e-05pööre fi - -1.24654e-03 -7.88074e-04 1.37314e-04 8.54627e-04 6.88865e-04normaalj~oud N - 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000p~oikj~oud Q - 20.30089 8.30089 -3.69911 -15.69911 -27.69911moment M - 0.00000 21.45134 24.90267 10.35401 -22.19465------------------------------------------------------------------------------------Varras 3. Li on jaotatud neljaksLi = 4siire u - 0.00000e+00 -6.51733e-06 -1.30347e-05 -1.95520e-05 -2.60693e-05siire w - 0.00000e+00 2.06945e-04 4.93338e-04 4.40848e-04 -3.55225e-05pööre fi - 0.00000e+00 -3.30279e-04 -1.58895e-04 2.64153e-04 6.88865e-04normaalj~oud N - -29.97974 -29.97974 -29.97974 -29.97974 -29.97974p~oikj~oud Q - 10.03327 10.03327 0.03327 0.03327 0.03327moment M - -11.62223 -1.58895 8.44432 8.47760 8.51087------------------------------------------------------------------------------------Varras 4. Li on jaotatud neljaksLi = 6siire u - -3.55225e-05 -3.55151e-05 -3.55078e-05 -3.55004e-05 -3.54931e-05siire w - 2.60693e-05 -6.54442e-04 -7.57670e-04 -4.76041e-04 -1.98316e-06pööre fi - 6.88865e-04 2.39865e-04 -8.08482e-05 -2.73276e-04 -3.37419e-04normaalj~oud N - 0.03327 0.03327 0.03327 0.03327 0.03327p~oikj~oud Q - 2.28063 2.28063 2.28063 2.28063 2.28063moment M - -13.68378 -10.26284 -6.84189 -3.42095 0.00000------------------------------------------------------------------------------------Varras 5. Li on jaotatud neljaksLi = 4siire u - -1.98316e-06 -1.48737e-06 -9.91578e-07 -4.95789e-07 2.41950e-23siire w - 3.54931e-05 2.24605e-05 1.10916e-05 3.05019e-06 7.34536e-22pööre fi - 1.33099e-05 1.24780e-05 9.98244e-06 5.82309e-06 0.00000e+00

418 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]normaalj~oud N - 2.28063 2.28063 2.28063 2.28063 2.28063p~oikj~oud Q - -0.03327 -0.03327 -0.03327 -0.03327 -0.03327moment M - 0.00000 -0.03327 -0.06655 -0.09982 -0.13310------------------------------------------------------------------------------------octave-3.0.1:4> diary offRaami arvutuse programmi sisestatud elementide, siirete ja kontaktjõudude järjekorranumbridon joonisel 14.29. Koostatud võrrandisüsteemi vasaku poole hõreda maatriksi nullisterinevate elementide asukohad on joonisel 14.30.Tabel 14.2. Raami EST sisejõudude võrdlus jõumeetodiga leitutegaEST-meetodiga. I märgikokkulepe JõumeetodV arda N * Q * M * Q Mnr a/l [kN] [kN] [kN·m] [kN] [kN·m]1 alg. -20.301 0.000 0.000 0.0000 0.001 l˜opp -20.301 0.000 0.000 0.0000 0.002 alg. 0.000 20.301 0.000 20.2917 0.002 l˜opp 0.000 -27.699 -22.195 -27.7083 -22.253 alg. -29.980 10.033 11.622 10.0312 11.623k l˜opp -29.980 10.033 -8.444 10.0312 -8.443k alg. -29.980 0.033 -8.444 0.0313 -8.443 l˜opp -29.980 0.033 -8.511 0.0313 -8.504 alg. 0.033 2.281 -13.684 2.291 -13.754 l˜opp 0.033 2.281 0.000 2.291 0.005 alg. 2.281 -0.033 0.000 -0.0313 0.005 l˜opp 2.281 -0.033 -0.133 -0.0313 -0.13Tabelis 14.2 on RaamEST sisejõudude võrdlus, mis on leitud EST- ja jõumeetodiganäites 9.2 (vt lk 229). Jõumeetodiga lahendatud ülesande sisejõude M ja Q on kontrollitudka programmiga joumNAq.m 5 . Koondatud jõu kohal on varras 3 on jagatudkaheks. Tabelis on selle punkti tähiseks 3k. Momentide märk keskmises postis on tabeliskooskõlas joonisel 14.26 näidatud kriipsjoonega. Tabelist 14.2 on näha, et sisejõud ühtivad.Joonistel 14.26 ja 14.27 on jõumeetodiga leitud sisejõudude väärtused toodudsulgudes.EST-meetodiga arvutades on võetud varraste ristlõigete pikijäikuseks EAp = 4600000.Suur jäikus lubab võrrelda tulemusi jõumeetodiga, kus pikijäikust ei arvestata (vardadon jäigad).5 ./octaveProgrammid/joumNAq.m

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 41914.10.2 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 14.3 [slaidid]Näide 14.3 Koostada joonisel 14.31 näidatud raamile sisejõudude epüürid. Raami kõrgush = 7 m ja avad l = 9 m. Raami riivile 2–4 on rakendatud koondatud jõud F = 16 kN japostile 3–4 jaotatud koormus q = 16 kN/m. Raami posti ristlõike paindejäikus on EI p =2 * 10 4 kN·m 2 ja raami riivi ristlõike paindejäikus EI r = 2.0EI p (I 1 = 2.0I 2 ), posti ristlõikepikijäikus EA p = 4.6 * 10 6 kN, EA r = 8.8 * 10 6 kN, posti ristlõike lõikejäikus GA rp = 0.4 EA p ,GA rr = 0.4 EA r .b)− F xFαF zzxa)F = 16 kN4Iα 1I 126q = 16 kN/mI 2I 2 I 20101010101000111010101010101010113 500 11 4.5 m 0000 111100 119 m 9 m5.6 m7 mJoonis 14.31. Kahe avaga raam EST93Kõnesolevas näites lahutame koormuse F (vt joonis 14.31 b)) komponentideks (F x –projektsioon kohalikule teljele x ja F z – projektsioon kohalikule teljele z) ja laseme arvutadaarvutil, siis saame suurema täpsuse. Ka jõu F rakenduspunkti kauguse arvutame arvutigakohalikus teljestikus. Avaldisega (14.69) on toodud jõu F projektsioonid kohalikus teljestikus(vt joonis 14.32):F x = −F * sin α, kus sin α = 1.4/l 2F z = F * cos α, kus cos α = 9.0/l 2aF = l 2 /2, kus l 2 = √ 9 2 + 1.4 2 (14.69)Ülesande lahendame nagu näite 14.2 puhul. Koostame väljavõtte programmist 14.8, millelisame arvutiprogrammi spRaamEST93.m.Teeme GNU Octave’is kirjutatud programmiga spRaamEST93.m lk 731 arvutused. Arvutusetulemust näeme arvutuspäevikus 14.3 lk 421. Selles päevikus toodud varraste sisejõududepõhjal koostame sisejõudude epüürid (vt joonis 14.34(a), 14.34(b) ja 14.34(c)).Raami staatiliseks kontrolliks koostame joonise 14.33, kus toereaktsioonid saame paindemomendi(joonis 14.34(a)), põikjõu (joonis 14.34(b)) ja normaaljõu epüürilt (joonis 14.34(c)).

420 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Väljavõte programmist 14.8 (Rajatingimused. spRaamEST93.m lk 731)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%S i i r e t e p i d e v u s e v õ r r a n d i d 31−42 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 1 , 1 , spT1 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 1 , 1 9 , spT2m ) ;% Sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 4 , 1 3 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 4 , 2 5 , spT3m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 7 , 2 5 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 7 , 4 3 , spT4m ) ;% Sõlm 6spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 0 , 3 7 , spT4 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 0 , 5 5 , spT5m ) ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Sõlmede t a s a k a a l u v õ r r a n d i d 43−58%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 3 , 4 , spT1 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 3 , 2 2 , spT2 ) ;B(43:45 ,1)= s2F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 2 koormus s2F ( 1 : 2 , 1 )% Sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 6 , 1 6 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 6 , 2 8 , spT3 ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 6 , 4 6 , spT4 ) ; % s i i n o l i kolm v a r r a s tB(46:48 ,1)= s4F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 4 koormus% Sõlm 6spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 9 , 4 0 , spT4 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 9 , 5 8 , spT5 ) ;B(49:51 ,1)= s6F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 6 koormus s6F ( 1 : 2 , 1 ) ;% Sõlm 1spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 2 , 1 0 , spT12 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 2 , 6 1 , spTy2m ) ;B( 5 2 : 5 3 , 1 ) = 0 . 0 ; % sõlme 1 koormus C1−61 , C2−62% Sõlm 3spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 4 , 3 4 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 4 , 6 3 , spTym ) ;B( 5 4 : 5 6 , 1 ) = 0 . 0 ; % sõlme 3 koormus% Sõlm 5spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 7 , 5 2 , spT52 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 7 , 6 6 , spTy2m ) ;B( 5 7 : 5 8 , 1 ) = 0 . 0 ; % sõlme 5 koormus%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%K õ r v a l t i n g i m u s e d 59 −60 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Varras 1spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 5 9 , 1 2 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s / t o e t i n g i m u sB( 5 9 , 1 ) = 0 . 0 ; % M12=0% Varras 5spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 0 , 5 4 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s / t o e t i n g i m u sB( 6 0 , 1 ) = 0 . 0 ; % M54=0%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Toetingimused 61−67 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 1 , 7 , 1 ) ; % t o e s õ l m 1spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 2 , 8 , 1 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 3 , 3 1 , 1 ) ; % t o e s õ l m 3spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 4 , 3 2 , 1 ) ; spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 5 , 3 3 , 1 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 6 , 4 9 , 1 ) ; % t o e s õ l m 5spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 7 , 5 0 , 1 ) ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Raami staatiline kontroll.Projitseerime kõik jõud horisontaalteljele X (joonis 14.33).ΣX = 0; 12.85 + 27.275 + 49.475 − 16 * 5.6 = 0 (14.70)Projitseerime kõik jõud vertikaalteljele Z (joonis 14.33).ΣZ = 0; 16.0 − 22.67 + 4.87 + 1.80 = 0 (14.71)Momentide summaga kontrollimine on väga oluline kontroll. Paljudel juhtudel avastataksearvutustes tehtud viga alles selle kontrolliga.

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 421[19 20 21 22 23 24]x24z2[25 26 27 28 29 30][1 2 3 4 5 6]31z xzx[13 14 15 16 17 18]6[55 56 57 58 59 60][7 8 9 10 11 12] [31 32 33 34 35 36][49 50 51 52 53 54]13 5C 000 111 000 1111[61][u w ϕ N Q M]C 3 [63] C 6 [66] 000 111C5[65]C2[62]C4[64]C 7 [67]Joonis 14.32. Raami EST93 tundmatute nummerdus[43 44 45 46 47 48]z xz4x[37 38 39 40 41 42]zx5Momentide summa toe 1 suhtes.ΣM 1 = 0; −16.0 * 4.5 − 4.8701 * 9.0 − 102.64244−−1.800378 * 18.0 + 16.0 * 5.6 * 2.8 = −1.44 * 10 −14 [kNm] ≈ 0(14.72)Leitud toereaktsioonid läbisid staatilise kontrolli.Arvutuspäevik 14.3 (Programm spRaamEST93.m lk 731)Octave-3.0.1:1> diary spRaamEST93.outOctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spRaamEST93=================================================================Järgnev on staatikaga määramatu raami arvutus: GNU Octave’igaEIp = 20000EIr = 40000EAp = 4.6000e+15F = 16 kN12.85200 11100 11α4.5 m401010101010101010101010101000111q = 16 kN/m102.6400001111 3 500110000 111100 119 m27.275 9 m 49.47522.67 4.87 1.8065.6 m7 mJoonis 14.33. Raami EST93 toereaktsioonid

422 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]46.20000000000000000000000000000111111111111111111111111111 88.28 000000000000000000000000111111111111111111111111000000111111000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111 000000111111000000111111000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111 00000011111100000011111100000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111171.9626.1842.0900000000000000000000000000011111111111111111111111111121.06 00000011111100000000000000000000000011111111111111111111111100 11000 111 00 11000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111M [kNm]000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111000000111111 000 11175.810000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 010000 1111 00000 1111 00000 1111 01110000 1111000 111102.64 000 111000 111000 111000 111(a) Raami EST93 paindemomendi epüür27.2750000000000000011111111111111 000000000000000111111111111111 00000000000000000000000001111111111111111111111111 40.12512.850 0000000000000011111111111111 000000000000000111111111111111 4.616 000000000000000000000000011111111111111111111111110000000000000011111111111111000000000000000000000000011111111111111111111111117.496000000000000001111111111111120.4260101010101010101010101010100 1101000 11112.850000111Q [kN]000000000000000000 111111111111111111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111(b) Raami EST93 põikjõu epüür000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000 111000000001111111127.275 000 11149.47522.67022.670000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 11139.3710000000000000000000000000011111111111111111111111111 39.371000000000000000000000000001111111111111111111111111113.72200000000000011111111111116.18100000000000000000000000000111111111111111111111111110000000000000111111111111100000000000011111111111100000000000000000000000000111111111111111111111111110000000000000111111111111100000000000011111111111100000000000000000000000000111111111111111111111111110000000000001111111111110000000000000000000000000011111111111111111111111111N [kN]01010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101014.8701.80000 11 000 11100 11(c) Raami EST93 normaaljõu epüürJoonis 14.34. Raami EST93 sisejõudude epüüridEAr = 6.8000e+15baasi0 = 3571.4Elemendi koormus kohalikes koordinaatidesqz =0 0 0 0 16qx =0 0 0 0 0aFL =5.6000 4.5541 7.0000 9.1082 5.6000Fx =0.00000 -2.45931 0.00000 0.00000 0.00000Fz =0.00000 15.80986 0.00000 0.00000 0.00000SolmedeArv = 6ElementideArv = 5spA =

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 423RaamEST93Siirete, kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdus−15−10u w fi N Q M varraste alguses7 8 9 10 11 1219 20 21 22 23 2431 32 33 34 35 3643 44 45 46 47 4855 56 57 58 59 60Toereaktsioonid: 61 62 63 64 65 66 67u w fi N Q M varraste lõpus1 2 3 4 5 613 14 15 16 17 1825 26 27 28 29 3037 38 39 40 41 4249 50 51 52 53 54−5xz M24= 0M6= 0 22z x44z x61z x3z xz x50u7= 0w8= 0M12= 0u31= 0u49= 0 M54= 01 w32= 03 w50= 0 5ϕ 33= 0−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22Joonis 14.35. Raami EST93 elemendidCompressed Column Sparse (rows = 67, cols = 67, nnz = 179 [4%])(1, 1) -> 1(32, 1) -> -1(2, 2) -> 1(31, 2) -> 1...Nr B1 0.0002 0.0003 0.000....X =1 -0.000002 -170.627453 6.48300......60 -2.618e+01Toereaktsioonid61 1.285e+01 - C162 -2.267e+01 - C263 2.728e+01 - C364 4.870e+00 - C465 -1.026e+02 - C566 4.948e+01 - C667 1.800e+00 - C7============================================================================Algparameetrid skaleerimataVarda Nr u w fi N Q M----------------------------------------------------------------------------1 0.000e+00 0.000e+00 1.189e-02 22.670 12.850 0.0002 -4.721e-02 -7.343e-03 1.815e-03 16.182 -20.426 71.959

424 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]3 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 -4.870 27.275 -102.6424 -4.721e-02 7.343e-03 2.513e-03 39.371 -7.946 46.1975 -2.192e-15 4.778e-02 2.340e-04 -1.800 -40.125 -26.181----------------------------------------------------------------------------Varraste siirded ja sisej~oud==================================================================================Varras 1. Li on jaotatud neljaksLi = 5.6000siire u - 0.00000e+00 -6.89971e-15 -1.37994e-14 -2.06991e-14 -2.75988e-14siire w - 0.00000e+00 -1.63514e-02 -3.09398e-02 -4.20022e-02 -4.77757e-02pööre fi - 1.18894e-02 1.12598e-02 9.37089e-03 6.22270e-03 1.81524e-03normaalj~oud N - -22.67047 -22.67047 -22.67047 -22.67047 -22.67047p~oikj~oud Q - -12.84975 -12.84975 -12.84975 -12.84975 -12.84975moment M - 0.00000 -17.98964 -35.97929 -53.96893 -71.95857----------------------------------------------------------------------------------Varras 2. Li on jaotatud neljaksLi = 9.1082siire u - -4.72079e-02 -4.72079e-02 -4.72079e-02 -4.72079e-02 -4.72079e-02siire w - -7.34346e-03 -7.81788e-03 -4.99369e-03 -4.12213e-03 -7.34346e-03pööre fi - 1.81524e-03 -9.57252e-04 -1.08203e-03 4.16239e-04 2.51287e-03normaalj~oud N - -16.18166 -16.18166 -13.72234 -13.72234 -13.72234p~oikj~oud Q - 20.42597 20.42597 4.61611 4.61611 4.61611moment M - -71.95857 -25.44743 21.06372 31.57487 42.08602----------------------------------------------------------------------------------0spy(spA) − hõreda maatriksi spA(67,67) nullist erinevad elemendid [4%]Põhivõrrandid 1 − 30102030Pidevustingimused sõlmedes 31 − 4240Sõlmede tasakaal 43 − 585060Kõrvaltingimused 59 − 60Toetingimused 61 − 670 10 20 30 40 50 60Joonis 14.36. Raami EST93 spA nullist erinevate elementide asukohad

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 425Varras 3. Li on jaotatud neljaksLi = 7siire u - 0.00000e+00 1.85276e-15 3.70551e-15 5.55827e-15 7.41102e-15siire w - 0.00000e+00 -6.64042e-03 -2.16891e-02 -3.78371e-02 -4.77757e-02pööre fi - 0.00000e+00 6.89296e-03 9.60943e-03 8.14940e-03 2.51287e-03normaalj~oud N - 4.87010 4.87010 4.87010 4.87010 4.87010p~oikj~oud Q - -27.27509 -27.27509 -27.27509 -27.27509 -27.27509moment M - 102.64244 54.91103 7.17962 -40.55179 -88.28320----------------------------------------------------------------------------------Varras 4. Li on jaotatud neljaksLi = 9.1082siire u - -4.72079e-02 -4.72079e-02 -4.72079e-02 -4.72079e-02 -4.72079e-02siire w - 7.34346e-03 4.22475e-03 4.74885e-03 6.57025e-03 7.34346e-03pööre fi - 2.51287e-03 3.98052e-04 -6.86705e-04 -7.41404e-04 2.33954e-04normaalj~oud N - -39.37128 -39.37128 -39.37128 -39.37128 -39.37128p~oikj~oud Q - 7.94644 7.94644 7.94644 7.94644 7.94644moment M - -46.19719 -28.10266 -10.00814 8.08639 26.18091----------------------------------------------------------------------------------Varras 5. Li on jaotatud neljaksLi = 5.6000siire u - -2.19175e-15 -1.64382e-15 -1.09588e-15 -5.47939e-16 -1.79882e-31siire w - 4.77757e-02 4.53758e-02 3.66978e-02 2.08465e-02 -6.93889e-18pööre fi - 2.33954e-04 3.66687e-03 8.83682e-03 1.35486e-02 1.56070e-02normaalj~oud N - 1.80037 1.80037 1.80037 1.80037 1.80037p~oikj~oud Q - 40.12484 17.72484 -4.67516 -27.07516 -49.47516moment M - 26.18091 66.67568 75.81046 53.58523 0.00000----------------------------------------------------------------------------------octave-3.0.1:4> diary offRaami arvutuse programmi sisestatud elementide, siirete ja kontaktjõudude järjekorranumbridon joonisel 14.35. Koostatud võrrandisüsteemi vasaku poole hõreda maatriksinullist erinevate elementide asukohad on toodud joonisel 14.36.14.10.3 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 14.4 [slaidid]Näide 14.4 Koostada joonisel 14.37 näidatud raamile sisejõudude epüürid. Raami kõrgush = 7 m ja avad l = 6 m. Raami postidele on rakendatud koormused q 1 = 4 kN/m ja F =12 kN. Raami riividele on rakendatud koormused q 2 = 8 kN/m ja q 3 = 8 kN/m.Raami posti ristlõike paindejäikus on EI p = 2 · 10 4 kN · m 2 ja raami riivi ristlõikepaindejäikus EI r = 3.0EI p (I 1 = 3.0 · I 2 ), posti ristlõike pikijäikus EA p = 4.6 · 10 16 kN,EA r = 8.8 · 10 16 kN, posti ristlõike lõikejäikus GA rp = 0.4EA p , GA rr = 0.4EA r .Valime varraste suure piki- ja lõikejäikuse, et võrrelda arvutuse tulemusi jõumeetodil (näide9.3 lk 238) leitutega. Koostame GNU Octave’is programmi spRaamEST77.m lk 728.Kõnesolevas näites on jaotatud koormus q 2 (vt joonis 14.37) antud varda projektsioonile(6 m). Teisendame jaotatud koormuse q 2 koormuseks q 2k kaldu oleva varda pikkusele l 2 (14.73).Lahutame koormuse q 2k komponentideks (q 2x – projektsioon kohalikule teljele x ja q 2z – projektsioonkohalikule teljele z) ja arvutame arvutiga, siis saame täpsema tulemuse.

426 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]q 2= 8 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111 4000000000000000000000000111111111111111111111111I00 11 1 I 100 1100 11 200 11 F = 12 kN k600 1100 1100 1100 1100 1100 11I 00 11 2I 2 I200 1100 1100 1100 1100 11q00 113= 8 kN/m00 1100 111 I 1 3 00000000000000000000000011111111111111111111111150000 11110000000000000000000000001111111111111111111111110000 1111I 1000 1116 m 6 mq 1 = 4 kN/m4 mI = 35 m 2 mJoonis 14.37. Raami EST77q 2x = −q 2k · sin α, kus sin α = 2.0/l 2q 2z = q 2k · cos α, kus cos α = 6.0/l 2q 2k = q 2 · 6.0/l 2 , kus l 2 = √ 6 2 + 2.0 2 (14.73)Võrrandisüsteemi koostamisel EST-meetodiga on tundmatuteks siirded ja kontaktjõudvarraste otstes. Kontaktjõudude ja siirete arv on 84. Kõnesolevas näites lisanduvad veel toereaktsioonidC 1 , C 2 ja C 3 (joonis 14.38). Nii on võrrandisüsteemis otsitavaid 87. Kontaktjõududeja siirete arv sõltub varraste arvust. Kontaktjõudude ja siirete leidmiseks koostamevõrrandisüsteemi (14.74)spA·Z = B, (14.74)xz[19 20 21 22 23 24]2[13 14 15 16 17 18][25 26 27 28 29 30]2[1 2 3 4 5 6][u w ϕ N Q M]31[31 32 33 34 35 36]z xzx[7 8 9 10 11 12][49 50 51 52 53 54]1675C 1[85]0000 1111 zx 3zx 000 111[67 68 69 70 71 72][61 62 63 64 65 66]C 2 [86] C 3 [87]4[43 44 45 46 47 48]z x[79 80 81 82 83 84]4xz[37 38 39 40 41 42]6[55 56 57 58 59 60][73 74 75 76 77 78]xz5Joonis 14.38. Raami EST77 tundmatute nummerdus

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 427kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Võrrandisüsteemi koostamise võib jagada järgmisteks osadeks:1. Konstruktsiooni põhivõrrandite koostamine.2. Siirete pidevusvõrrandite koostamine.3. Sõlmede tasakaaluvõrrandite (kontaktjõud, toereaktsioonid, sõlmkoormus) koostamine.4. Kõrvaltingimuste lisamine.5. Toetingimuste lisamine.Toesõlmed.xF zx[ C ] (1)z(1) (1) (1)[ N Q M ]F x1A2v[ C ] (2)M (6) = 06(6) (6) (6)[ N Q M ]x[︃0 1−1 0]︃ [︃N(1)LQ (1)L]︃ [︃1 0+0 1−[︃C1C 2]︃]︃ [︃(6) NAQ (6)A[︃Fx=F z]︃]︃−(14.75)Joonis 14.39. Sõlme A2vtasakaalehkT 12 · s (1)2L + T 62 · s (6)2A − C A2v = F A2v (14.76)F zx(5) (5) (5)[ N Q M ]z(7) (7) (7)[ N Q M ]7M (7) = 0[ C ](3)xx1A2pF x[︃0 −11 0]︃ [︃N(5)LQ (5)L]︃ [︃1 0+0 1−[︃. . .C 3]︃=]︃ [︃(7) NAQ (7)]︃A[︃ ]︃FxF z−(14.77)Joonis 14.40. Sõlme A2ptasakaalehkT 52 · s (5)2L + T 72 · s (7)2A − C A2p = F A2p (14.78)Konstruktsiooni põhivõrrandid. Kõnesolevas programmis, nii nagu programmidesspRaamEST.m, spRaamEST93.m, kasutame konstruktsiooni põhivõrrandite koostamiseksprogrammi tsüklit 14.5 lk 399.

428 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Siirete pidevusvõrrandid. Varraste ühendamist erinevat tüüpi sõlmedes vaatlesime lõigus14.5 lk 399. Kõnesolevas näites on siirete pidevusvõrrandite koostamine ja kõrvaltingimustelisamine sarnane näidetes 14.2 ja 14.3 toodutele.Sõlmede tasakaaluvõrrandid. Lisaks varem lõigus ”Sõlme tasakaaluvõrrandid” 14.6 lk 403vaadeldud sõlmede tüüpidele vaatame sõlmi koos toereaktsioonidega (joonis 14.38). Kõrvaltingimused.Kõrvaltingimusteks on varraste 1, 6 alguses ja varraste 5, 7 lõpus olevad momendiliigendid:M (1)A = 0 (14.79)M (6)A = 0 (14.80)M (5)L = 0 (14.81)M (7)L = 0 (14.82)Toetingimused. Toetingimustes anname üldkoordinaatides toel 1 horisontaalseks ja vertikaalsekssiirdeks nulli (etteantud suuruse). Valime selleks varda 6 alguse siirded u ja w (67ja 68), toel 5 vertikaalseks siirdeks varda 7 lõpus oleva siirde w (74) (vt joonist 14.38).Toetingimused on paarikaupa (joonis 3.1 lk 80). Kui kinemaatiline rajatingimus on etteantud, siis vastav staatiline rajatingimus tuleb leida võrrandisüsteemi lahendamisega.Toereaktsioonidele C 1 , C 2 ja C 3 vastavad siirded üldkoordinaatides on sõlmes 1 varda 6 algulRaamEST77−15−10Siirete, kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdusu w fi N Q M varraste alguses7 8 9 10 11 1219 20 21 22 23 2431 32 33 34 35 3643 44 45 46 47 4855 56 57 58 59 6067 68 69 70 71 7279 80 81 82 83 84Toereaktsioonid: 85 86 87u w fi N Q M varraste lõpus1 2 3 4 5 613 14 15 16 17 1825 26 27 28 29 3037 38 39 40 41 4249 50 51 52 53 5461 62 63 64 65 6673 74 75 76 77 78xz2 44−52z xz x601z x z xM12= 0M72= 03M54= 0M78= 067u67= 0w68= 0 1 w74= 0z x3z x5z x5−4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16Joonis 14.41. Raami EST77 elemendid

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 429olevad siirded u, w (joonisel 14.38 siirded 67 ja 68) ning sõlmes 5 varda 7 lõpus olev siire w(joonisel 14.38 siire 74 ). Toetingimused on kirjeldatud väljavõttes programmist 14.9.Väljavõtet programmist 14.9 kasutame GNU Octave’is koostatud programmis spRaam-EST77.m lk 728. Arvutuse tulemused langevad ühte näites 9.3 lk 238 jõumeetodiga saadutega(võrdle sisejõudude epüüre joonisel 9.23 lk 243 ja programmiga spRaamEST77.m arvutatudtulemusi arvutuspäevikus 14.4 lk 429). Arvutuspäevikus on sisejõud arvutatud varraste neljandikel.Vardal 3 koondatud jõu F all sisejõud arvutame eraldi GNU Octave’is kirjutatudfunktsiooniga SisejoudPunktis.m lk 727.Väljavõte programmist 14.9 (Rajatingimused. spRaamEST77.m lk 728)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% S i i r e t e p i d e v u s e v õ r r a n d i d 43−64 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 3 , 7 , spT12 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 3 , 6 7 , spT62m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 5 , 1 , spT1 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 5 , 1 9 , spT2m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 8 , 1 3 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 4 8 , 2 5 , spT3m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 1 , 2 5 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 1 , 4 3 , spT4m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 4 , 3 7 , spT4 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 4 , 5 5 , spT5m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 7 , 4 9 , spT52 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 7 , 7 3 , spT72m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 9 , 6 1 , spT6 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 5 9 , 3 1 , spT3m ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 6 2 , 3 1 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 6 2 , 7 9 , spT7m ) ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sõlmede t a s a k a a l u v õ r r a n d i d 65−80%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 6 5 , 1 0 , spT12 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 6 5 , 7 0 , spT62 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 5 , 8 5 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C1spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 6 6 , 8 6 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C2B(65:66 ,1)= s1F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 1 koormus s1F ( 1 : 2 , 1 )spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 6 7 , 4 , spT1 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 6 7 , 2 2 , spT2 ) ;B(67:69 ,1)= s2F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 2 koormusspA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 0 , 6 4 , spT6 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 0 , 3 4 , spT3 ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 0 , 8 2 , spT7 ) ; % s i i n o l i kolm v a r r a s tB(70:72 ,1)= s3F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 3 koormusspA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 3 , 1 6 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 3 , 2 8 , spT3 ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 3 , 4 6 , spT4 ) ; % s i i n o l i kolm v a r r a s tB(73:75 ,1)= s4F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 4 koormusspA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 6 , 4 0 , spT4 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 6 , 5 8 , spT5 ) ;B(76:78 ,1)= s6F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 6 koormus s6F ( 1 : 2 , 1 ) ;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 9 , 7 6 , spT72 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 7 9 , 5 2 , spT52 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 8 0 , 8 7 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C3B(79:80 ,1)= s5F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 5 koormus s5F ( 1 : 2 , 1 )%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% K õ r v a l t i n g i m u s e d 81−84 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 8 1 , 1 2 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 1spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 8 2 , 7 2 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 1spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 8 3 , 5 4 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 5spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 8 4 , 7 8 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 5%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Toetingimused 85−87 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 8 5 , 6 7 , 1 ) ; % C1−l e v a s t a v s i i r e on 0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 8 6 , 6 8 , 1 ) ; % C2−l e v a s t a v s i i r e on 0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 8 7 , 7 4 , 1 ) ; % C2−l e v a s t a v s i i r e on 0%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Arvutuspäevik 14.4 (Programm spRaamEST77.m lk 728)Octave-3.0.1:1> diary spRaamEST77.outOctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spRaamEST77

430 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]=================================================================Järgnev on staatikaga määramatu raami arvutus: GNU Octave’igaNtoerkts = 3EIp = 20000EIr = 60000EAp = 4.6000e+15EAr = 6.8000e+15baasi0 = 4000Elemendi koormus kohalikes koordinaatidesqz =4.00000 7.20000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 8.00000qx =0.00000 -2.40000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000aFL =5.0000 6.3246 4.0000 6.3246 5.0000 6.0000 6.0000Fx =0 0 0 0 0 0 0Fz =0 0 12 0 0 0 0SolmedeArv = 6ElementideArv = 7spA =Compressed Column Sparse (rows = 87, cols = 87, nnz = 241)0spy(spA) − hõreda maatriksi spA(87,87) nullist erinevad elemendid [3.2%]Põhivõrrandid 1 − 421020304050Pidevustingimused sõlmedes 43 − 646070Sõlmede tasakaal 65 − 8080Kõrvaltingimused 81 − 84Toetingimused 85 − 870 10 20 30 40 50 60 70 80Joonis 14.42. Raami EST77 spA nullist erinevate elementide asukohad

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 431(1, 1) -> 1(46, 1) -> -1(2, 2) -> 1(45, 2) -> 1...NrB1 0.0002 20.8333 -16.667...NrX1 -1.627e-102 5.076e+013 -1.189e+01...85 -3.200e+01 % C1 - toereaktsioon86 -3.983e+01 % C2 - toereaktsioon87 -5.617e+01 % C3 - toereaktsioon...============================================================================Algparameetrid skaleerimataVarda Nr u w fi N Q M----------------------------------------------------------------------------1 -0.000e+00 0.000e+00 -2.842e-03 37.423 -6.458 0.0002 1.204e-02 4.013e-03 -2.972e-03 24.682 -31.221 17.7123 -1.021e-02 2.254e-14 -1.220e-03 -12.982 -14.240 37.1914 1.850e-02 4.598e-03 5.078e-04 18.172 18.775 -62.2365 2.561e-14 -1.950e-02 8.096e-04 23.558 -11.302 56.5106 0.000e+00 0.000e+00 -1.943e-03 -25.542 -2.410 0.0007 2.254e-14 1.021e-02 -1.220e-03 -11.302 -15.392 -51.650----------------------------------------------------------------------------============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 5.00000 varras on jaotatud neljakssiire u - 0.00000e+00 -1.01694e-14 -2.03388e-14 -3.05082e-14 -4.06777e-14siire w - 0.00000e+00 3.46740e-03 6.58899e-03 9.46659e-03 1.26902e-02pööre fi - -2.84172e-03 -2.65458e-03 -2.35355e-03 -2.32927e-03 -2.97237e-03normaalj~oud N - -37.42345 -37.42345 -37.42345 -37.42345 -37.42345p~oikj~oud Q - 6.45764 1.45764 -3.54236 -8.54236 -13.54236moment M - 0.00000 4.94705 3.64410 -3.90885 -17.71180----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 6.32456 varras on jaotatud neljakssiire u - 1.20390e-02 1.20390e-02 1.20390e-02 1.20390e-02 1.20390e-02siire w - 4.01301e-03 8.77017e-03 1.26460e-02 1.47086e-02 1.47763e-02pööre fi - -2.97237e-03 -2.86774e-03 -1.93660e-03 -6.53295e-04 5.07846e-04normaalj~oud N - -24.68175 -20.88701 -17.09228 -13.29755 -9.50281p~oikj~oud Q - 31.22053 19.83633 8.45213 -2.93207 -14.31626moment M - -17.71180 22.65220 45.01619 49.38019 35.74419

432 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 7.00000 varras on jaotatud neljakssiire u - -1.02109e-02 -1.02109e-02 -1.02109e-02 -1.02109e-02 -1.02109e-02siire w - 2.25374e-14 4.34616e-03 1.05712e-02 1.50544e-02 1.60939e-02pööre fi - -1.21985e-03 -3.38376e-03 -3.36712e-03 -1.63867e-03 5.07846e-04normaalj~oud N - 12.98177 12.98177 12.98177 12.98177 12.98177p~oikj~oud Q - 14.24039 14.24039 14.24039 2.24039 2.24039moment M - -37.19081 -12.27013 12.65055 22.57123 26.49192----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 6.32456 varras on jaotatud neljakssiire u - 1.84970e-02 1.84970e-02 1.84970e-02 1.84970e-02 1.84970e-02siire w - 4.59761e-03 2.70421e-03 -5.45432e-04 -3.91437e-03 -6.16566e-03pööre fi - 5.07846e-04 1.75676e-03 2.22336e-03 1.90766e-03 8.09646e-04normaalj~oud N - -18.17178 -18.17178 -18.17178 -18.17178 -18.17178p~oikj~oud Q - -18.77538 -18.77538 -18.77538 -18.77538 -18.77538moment M - 62.23611 32.54962 2.86313 -26.82336 -56.50985----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 5 varda pikkus on 5.00000 varras on jaotatud neljakssiire u - 2.56069e-14 1.92051e-14 1.28034e-14 6.40172e-15 -1.15402e-30siire w - -1.94975e-02 -1.84861e-02 -1.41636e-02 -7.63366e-03 -3.25101e-14pööre fi - 8.09646e-04 -2.28074e-03 -4.48815e-03 -5.81260e-03 -6.25409e-03normaalj~oud N - -23.55832 -23.55832 -23.55832 -23.55832 -23.55832p~oikj~oud Q - 11.30197 11.30197 11.30197 11.30197 11.30197moment M - -56.50985 -42.38239 -28.25493 -14.12746 0.00000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 6 varda pikkus on 6.00000 varras on jaotatud neljakssiire u - 0.00000e+00 5.63434e-15 1.12687e-14 1.69030e-14 2.25374e-14siire w - 0.00000e+00 2.89162e-03 5.64769e-03 8.13265e-03 1.02109e-02pööre fi - -1.94281e-03 -1.89763e-03 -1.76207e-03 -1.53614e-03 -1.21985e-03normaalj~oud N - 25.54236 25.54236 25.54236 25.54236 25.54236p~oikj~oud Q - 2.40988 2.40988 2.40988 2.40988 2.40988moment M - 0.00000 3.61482 7.22964 10.84447 14.45929----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 7 varda pikkus on 6.00000 varras on jaotatud neljakssiire u - 2.25374e-14 2.50305e-14 2.75235e-14 3.00166e-14 3.25097e-14siire w - 1.02109e-02 1.09561e-02 9.29235e-03 5.36641e-03 8.67362e-19pööre fi - -1.21985e-03 2.84999e-04 1.91703e-03 3.22625e-03 3.76266e-03normaalj~oud N - 11.30197 11.30197 11.30197 11.30197 11.30197p~oikj~oud Q - 15.39165 3.39165 -8.60835 -20.60835 -32.60835moment M - 51.65010 65.73758 61.82505 39.91253 0.00000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 kohal x = 4.000000siire u - -1.02109e-02siire w - 1.21608e-02pööre fi - -2.96185e-03normaalj~oud N - 12.98177p~oikj~oud Q - 2.24039moment M - 19.77075Sisej~oud vardas 3 kohal x = 3.999999siire u - -1.02109e-02siire w - 1.21608e-02pööre fi - -2.96185e-03

14.10 Raami arvutuse näited EST-meetodiga 433normaalj~oud N - 12.98177p~oikj~oud Q - 14.24039moment M - 19.77073-----------------------------------octave-3.0.1:4> diary offTabel 14.3. Raami EST77 sisejõudude võrdlusEST-meetodiga. I märgikokkulepe JõumeetodV arda N * Q * M * Q Mnr a/l [kN] [kN] [kN·m] [kN] [kN·m]1 alg. -37.423 6.458 0.000 6.46 0.00001 l˜opp -37.423 -13.542 -17.712 -13.54 -17.71182 alg. -24.682 31.221 -17.712 31.22 -17.71182 l˜opp -9.503 -14.316 35.744 -14.32 35.74423 alg. 12.982 14.240 -37.191 14.24 -37.19083k alg. 12.982 14.240 19.771 14.24 19.77073k l˜opp 12.982 2.240 19.771 2.24 19.77073 l˜opp 12.982 2.240 26.492 2.24 26.49194 alg. -18.172 -18.775 62.236 -18.78 62.23614 l˜opp -18.172 -18.775 -56.510 -18.78 -56.50995 alg. -23.558 11.302 -56.510 11.30 -56.50995 l˜opp -23.558 11.302 0.000 11.30 0.00006 alg. 25.542 2.410 0.000 2.41 0.00006 l˜opp 25.542 2.410 14.459 2.41 14.45937 alg. 11.302 15.392 51.650 15.39 51.65017 l˜opp 11.302 -32.608 0.000 -32.61 0.0000Tabelis 14.3 on toodud Raami EST77 sisejõudude võrdlus, mis on leitud EST- ja jõumeetodiganäites 9.3 (vt lk 238). Jõumeetodiga lahendatud ülesande sisejõude M ja Q on kontrollitudka programmiga joumNA4q.m 6 . Koondatud jõu kohal on varras 3 on jagatud kaheks.Tabelis on selle punkti tähiseks 3k. Tabelist 14.3 on näha, et sisejõud ühtivad. Epüürid onkoostatud joonisel 9.23 (lk 243) ja on jõumeetodiga ühised.6 ./octaveProgrammid/joumNA4q.m

434 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]14.11 Jätkuvtalade arvutus EST-meetodigaTala arvutamisel koostame võrrandisüsteemispA·Z = B, (14.83)kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Võrrandisüsteemi koostamise võib jagada järgmisteks osadeks:1. Tala põhivõrrandite koostamine.2. Siirete pidevusvõrrandite koostamine.3. Sõlmede tasakaaluvõrrandite (kontaktjõud, toereaktsioonid, sõlmkoormus) koostamine.4. Kõrvaltingimuste lisamine.5. Toetingimuste lisamine.Pärast võrrandisüsteemi lahendamist arvutame sisejõud talades.Tala põhivõrrandid.Sarnaselt varda arvutusel konstruktsiooni põhivõrrandite koostamisel kasutatavaleprogrammi tsüklile 14.5 lk 399 kasutame tala arvutamisel tsüklit 14.10 lk 434.Väljavõte programmist 14.10 (Põhivõrrandid. spTalaEST.m lk 732)I I v =0;I J v =0;%f o r i =1:NEARVqkoormus=z e r o s ( 1 , 3 ) ;Fjoud=z e r o s ( 1 , 2 ) ;spvF=z e r o s ( 4 , 8 ) ;vB=z e r o s ( 4 , 1 ) ;krda=i ;EI=selem ( i , 9 ) ;GAr=selem ( i , 1 0 ) ;Li=l v a r r a s ( i , 1 ) ;%Fjoud=esFjoud ( : , 1 : 2 , i ) ;qkoormus=esQkoormus ( : , 1 : 3 , i ) ;%spvF= y s p T l v f m h v I ( b a a s i 0 , Li , Li , GAr, EI ) ;vB=ESTtalaKrmus ( b a a s i 0 , Li , Li , Fjoud , qkoormus , EI ) ;I I v=krda *4 −3;I J v=krda *8 −7;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , I I v , IJv , spvF ) ;B=I nsertBtoA (B,NNK, 1 , I I v , 1 , vB , 4 , 1 ) ;%e n d f o r% s i i n NEARV on e l e m e n t i d e arvTala põhivõrrandi saame varda põhivõrrandist (14.12), kui varda ülekandemaatriksistU (14.20), Zq (14.18) ja ∘ ZF (14.19) eemaldame pikisiirdele u ja normaaljõule∘N

14.11 Jätkuvtalade arvutus EST-meetodiga 435vastavad elemendid. Koostame talale maatriksi ̂︂IU (14.11) arvutamiseks GNU Octave’ifunktsiooni yspTlvfmhvI.m lk 724 (koostatakse funktsiooni yspTlfhlin.m lk 723 abil).Koormusvektori ∘ Z (14.11) arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioon ESTtalaKrmus.m∘ZFlk 727, mis omakorda kasutab koormusvektorite Zq,∘yzThqz.m ja yzTfzv.m lk 722.Mitmesildelise tala põhivõrrandite arv on neljakordne varraste arv.arvutamiseks funktsiooneSiirete pidevusvõrrandid. Varraste ühendamist erinevat tüüpi sõlmedes vaatlesimelõigus 14.5 lk 399. Kui sõlme oli ühendatud mitu varrast, siis pidime siirete pidevusekirjeldamisel jälgima transitiivsust.Tala sõlmpunktis on ühendatud kaks tala ja siirete pidevuse kirjeldamine on lihtsam.Joonisel 14.43 on sõlmes ühendatud kaks tala. Nende tala otste siirded on võrdsed.Võrrandis (14.84) on mõlema varda teisendusmaatriks 2 ühikmaatriks.x1(1)[w ϕ (1) ]xT2[w(2) ϕ(2)]2x[︃1 00 1]︃ [︃w(1)Lφ (1)L]︃−[︃1 00 1]︃ [︃w(2)Aφ (2)A]︃= 0 (14.84)zehkJoonis 14.43. Sõlme T2 pidevusT 1 · v (1)L − T 2 · v (2)A = 0 (14.85)x1z(1)[w ϕ (1) ]xT1M (1) = 0[w(2) ϕ(2)]2x[︃1 00 0ehk]︃ [︃w(1)Lφ (1)L]︃−[︃1 00 0]︃ [︃w(2)Aφ (2)A]︃= 0 (14.86)Joonis 14.44. Sõlme T1 pidevusT o 1 · v (1)L − To 2 · v (2)A = 0 (14.87)Siin teine võrrand puudub, on nullid.Esimese ja teise vardaotsa momendiliigendeid (M (1) ja M (2) )kirjeldame kõrvaltingimustes.Sõlmede tasakaaluvõrrandid. Lisaks varem lõigus ”Sõlme tasakaaluvõrrandid”14.6 lk 403 vaadeldud sõlmede tüüpidele vaatame sõlmi koos toereaktsioonidega (joonis14.45). Joonisel 14.45 on näidatud sõlm, kus sõlmkoormusele F T2s lisaks kirjeldataksetoereaktsiooni C T2s . (14.89)

436 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]1(1) (1)[ Q M ]T2sxF z(2) (2)[ Q M ]x2x[︃1 00 1]︃ [︃Q(1)LM (1)L]︃ [︃1 0+0 1[︃ ]︃Cz− =. . .]︃ [︃(2) QAM (2)A[︃Fz. . .]︃]︃−(14.88)z[ C ](z)ehkJoonis 14.45. Sõlme T2stasakaalT 1 · s (1)2L + T 2 · s (2)2A − C T2s = F T2s (14.89)x1(1)[ Q ]zxT1s(2)[ Q ]M (1) = 0 M (2) = 0[ C ](z)2x[︃1 00 0]︃ [︃Q(1)LM (1)L]︃ [︃1 0+0 0[︃ ]︃Cz− =. . .]︃ [︃(2) QAM (2)A[︃Fz. . .]︃]︃−(14.90)Joonis 14.46. Sõlme T1stasakaalehkT o 1 · s (1)2L + To 2 · s (2)2A − C T1s = F T1s (14.91)Siin teine võrrand puudub, on nullid.Esimese ja teise vardaotsa momendiliigendeid (M (1) ja M (2) )kirjeldame kõrvaltingimustes.Toetingimused (vt jaotis 3.2 joonis 3.1) jagunevad toereaktsioonideks ja toesiireteks.Neid nimetatakse ka staatilisteks rajatingimusteks ja kinemaatilisteks rajatingimusteks.Mitmesildelise tala otstes antakse ette kas siire või kontaktjõud (toereaktsioon). Näitekskonsooli otsas anname ette Q L ja otsime w L ’id (M L ∨φ L ). Jäigal toel anname ette siirdeja pöörde. Otsime põikjõudu ja paindemomenti.Kui lisame sõlme tasakaaluvõrranditele (14.88) toereaktsiooni, siis peame sellele toereaktsioonilevastava siirde lisavõrrandis ette andma.Pidevustingimuste, tasakaaluvõrrandite ja toetingimuste rakendamist vaatamejärgnevas näites.

14.11 Jätkuvtalade arvutus EST-meetodiga 43714.11.1 Tala arvutus EST-meetodiga. Näide 14.5 [slaidid]Näide 14.5 Leida joonisel 14.47 näidatud jätkuvtala sisejõud ja toereaktsioonid ning võrreldanäites 10.3 lk 269 saadud tulemustega. Tala jäikus on konstantne. Tala omakaalq = 12 kN/m (koormusvariant, 1 vt joonis 14.47) ja ajutise koormuse koondatud jõududeF 1 = 60 kN, F 2 = 40 kN (koormusvariant 2), F a = 80 kN (koormusvariant 3), asukohad onnäidatud joonisel. Ühel sildel asuvad jõud F 1 ja F 2 mõjuvad samal ajal.3)2)ajutine koormusajutine koormusF 1= 60 kNF 2= 40 kNF 3= 80 kN1) alaline koormusq = 12 kN/m00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111101011 5 000 1112 12 15 16 000 1113 2526000 111401000 111000 111000 1111.6 m3.6 m4.8 m8 m 8 m 6 m 2 mJoonis 14.47. Jätkuvtala ESTVõrrandisüsteemi koostamisel EST-meetodiga on tundmatuteks siirded ja kontaktjõudvarraste otstes. Talal on 8 siiret ja kontaktjõudu ning tala elemente on 4, seega kokku on 32siiret ja kontaktjõudu. Kõnesolevas näites lisanduvad veel toereaktsioonid C 1 , C 2 ja C 3 (joonis14.48). Nii on võrrandisüsteemis 35 otsitavat. Kontaktjõudude ja siirete leidmiseks koostamevõrrandisüsteemi (14.92)spA·Z = B, (14.92)kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Võrrandisüsteemi koostamise võib jagada järgmisteks osadeks:1. Konstruktsiooni põhivõrrandite koostamine.2. Siirete pidevusvõrrandite koostamine.3. Sõlmede tasakaaluvõrrandite (kontaktjõud, toereaktsioonid) koostamine.4. Kõrvaltingimuste lisamine.5. Toetingimuste lisamine.Konstruktsiooni põhivõrrandid. Tala põhivõrrandite koostamise tsüklit näeme programmispTalaEST.m väljavõttes 14.10 lk 434.

438 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]xz12 3401501100 1100 1100 1101z x 200 11z x 300 11 z x 400 11 z xC 2[34][w ϕ Q M]C1[33] C 3 [35] C 4[36] C5[37][5 6 7 8][1 2 3 4][13 14 15 16]Joonis 14.48. Jätkuvtala EST nummerdusVäljavõte programmist 14.11 (Rajatingimused. spTalaEST.m lk 732)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%S i i r e t e p i d e v u s e v õ r r a n d i d 17−22 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 7 , 1 , spT1 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 7 , 1 3 , spT2m ) ;% sõlm 3spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 9 , 9 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 9 , 2 1 , spT3m ) ;% sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 1 , 1 7 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 1 , 2 9 , spT4m ) ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Sõlmede t a s a k a a l u v õ r r a n d i d 23−30%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlm 1spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 3 , 7 , spT1 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 3 , 3 3 , spT1m ) ;% t o e r e a k t s i o o n C1 , C2B( 2 3 : 2 4 , 1 ) = 0 . 0 ; % sõlme 1 koormus% sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 5 , 3 , spT1 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 5 , 1 5 , spT2 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 5 , 3 5 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C3B(25:26 ,1)= s2F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 2 koormus% sõlm 3spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 7 , 1 1 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 7 , 2 3 , spT3 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 7 , 3 6 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C4B(27:28 ,1)= s3F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 3 koormus% sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 9 , 1 9 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 9 , 3 1 , spT4 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 9 , 3 7 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C5B(29:30 ,1)= s4F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 4 koormus%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%K õ r v a l t i n g i m u s e d 31−32%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlm 5spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 3 1 , 2 7 , spT4 ) ;B( 3 1 : 3 2 , 1 ) = 0 . 0 ; % sõlme 5 koormus%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Toetingimused 33−37%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 3 , 5 , 1 ) ; % C1−l e v a s t a v s i i r e on 0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 4 , 6 , 1 ) ; % C2−l e v a s t a v pööre on 0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 5 , 1 , 1 ) ; % C3−l e v a s t a v s i i r e on 0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 6 , 9 , 1 ) ; % C4−l e v a s t a v s i i r e on 0spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 7 , 1 7 , 1 ) ; % C5−l e v a s t a v s i i r e on 0B( 3 3 : 3 7 , 1 ) = 0 . 0 ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%[9 10 11 12][21 22 23 24][17 18 19 20][29 30 31 32][25 26 27 28]Siirete pidevusvõrrandid. Erinevat tüüpi tala elementide ühendamist sõlmedes on kirjeldatudlõigus ”Siirete pidevusvõrrandid“ lk 435. Joonisel 14.48 näidatud siirete nummerdusepõhjal koostame siirete pidevuse võrrandid (vt väljavõtet programmist 14.11).Sõlmede tasakaaluvõrrandid. Erinevat tüüpi tala sõlmede tasakaalu on kirjeldatud lõi-

14.11 Jätkuvtalade arvutus EST-meetodiga 439gus ”Sõlmede tasakaaluvõrrandid“ lk 435. Joonisel 14.48 näidatud kontaktjõudude nummerdusepõhjal koostame sõlmede tasakaaluvõrrandid (vt väljavõtet programmist 14.11).Toetingimused. Tala algul on siire w ja pööre φ nullid. Tala lõpus (konsooli otsas) onpõikjõud Q ja paindemoment M null. Toereaktsioonidele C 1 , C 3 , C 4 ja C 5 vastavad vertikaalsedsiirded w on nullid. Joonisel 14.48 näidatud siirete ja kontaktjõudude nummerduse põhjalkoostame toetingimused (vt väljavõtet programmist 14.11).Väljavõtte programmist 14.11 lisame GNU Octave’i programmile spTalaEST.m lk 732.Arvutuspäevikus on sisejõu arvutamisel kasutatud GNU Octave’is kirjutatud funktsiooniSisejoudTalaPunktis.m lk 727. GNU Octave’i programmiga spTalaEST.m lk 732 arvutamisetulemust näeme arvutuspäevikus:1. Koormusvarianti 1 (joonis 14.47) – arvutuspäevik lk 439. Näites 10.3 lk 269 toodud sisejõududeväärtused (joonis 10.18 lk 270) ja toereaktsioonid (10.79) ühtivad kõnesolevasnäites saadud tulemustega.2. Koormusvariandi 2 (joonis 14.47) käivitamisel programmiga ühtivad sisejõudude väärtusedja toereaktsioonid näites 10.3 lk 269 toodud sisejõudude (joonis 10.19 lk 273) jatoereaktsioonidega (10.92).3. Koormusvarianti 3 (joonis 14.47) käivitamisel programmiga ühtivad sisejõudude väärtusedja toereaktsioonid näites 10.3 lk 269 toodud sisejõudude (joonis 10.20 lk 275) jatoereaktsioonidega (10.103).Arvutuspäevik 14.5 (Koormusvariant 1. Programm spTalaEST.m lk 732)octave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spTalaEST=============================================Järgnev on jätkuvtala arvutus: GNU Octave’igaspTalaEST.mSolmedeArv=5ElementideArv=4Nmitmeks = 5Ntoerkts = 5EI = 20000baasi0 = 2500koormusvariant = 1Elemendi koormus kohalikes koordinaatidesesQkoormus =ans(:,:,1) =12 0 8ans(:,:,2) =12 0 8ans(:,:,3) =12 0 6ans(:,:,4) =12 0 2spA =Compressed Column Sparse (rows = 37, cols = 37, nnz = 94 [6.9%])

440 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]−10TalaEST−8−6−4−20Siirete, kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdusw fi Q M varraste algusesw fi Q M varraste lõpus5 6 7 813 14 15 1621 22 23 2429 30 31 321 2 3 49 10 11 1217 18 19 2025 26 27 28Toereaktsioonid: 33 34 35 36 37xzQ27= 0M28= 01 2 3 4w5 = 0 1ϕ6 = 0 z x 2w1= 0 z x 3w9= 0 z x 4 5w17= 0 z x24 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28Joonis 14.49. Tala EST elemendid0TalaEST spy(spA) − hõreda maatriksi spA(37,37) nullist erinevad elemendid [6.9%]Põhivõrrandid 1 − 1651015Pidevustingimused sõlmedes 17 − 232025Sõlmede tasakaal 23 − 303035Kõrvaltingimused 31 − 32Toetingimused 33 − 370 5 10 15 20 25 30 35Joonis 14.50. Tala EST spA nullist erinevate elementide asukohad

14.11 Jätkuvtalade arvutus EST-meetodiga 441NrX1 0.000e+00...33 -4.745e+01 % C1 - toereaktsioon34 6.253e+01 % C2 - toereaktsioon35 -9.820e+01 % C3 - toereaktsioon36 -8.731e+01 % C4 - toereaktsioon37 -5.504e+01 % C5 - toereaktsioon============================================================================Algparameetrid skaleerimataVarda Nr w fi Q M----------------------------------------------------------------------------1 0.000e+00 0.000e+00 -4.745e+01 62.5332 -0.000e+00 -2.933e-04 -4.965e+01 66.9333 -0.000e+00 1.173e-03 -4.096e+01 53.7334 -0.000e+00 3.133e-04 -2.400e+01 24.000----------------------------------------------------------------------------============================================================================Koormusvariant Nr 1---------------------Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 8.00000 varras on jaotatud viiekssiire w - 0.000e+00 2.546e-03 5.673e-03 5.560e-03 2.321e-03 0.000e+00pööre fi - 0.000e+00 -2.375e-03 -1.135e-03 1.264e-03 2.364e-03 -2.933e-04p~oikj~oud Q - 47.450 28.250 9.050 -10.150 -29.350 -48.550moment M - -62.533 -1.973 27.867 26.987 -4.613 -66.933----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 8.00000 varras on jaotatud viiekssiire w - 0.000e+00 3.222e-03 7.137e-03 7.475e-03 3.898e-03 0.000e+00pööre fi --2.933e-04 -2.880e-03 -1.569e-03 1.182e-03 2.915e-03 1.173e-03p~oikj~oud Q - 49.650 30.450 11.250 -7.950 -27.150 -46.350moment M - -66.933 -2.853 30.507 33.147 5.067 -53.733----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 6.00000 varras on jaotatud viiekssiire w - 0.000e+00 -1.152e-05 1.033e-03 1.461e-03 8.448e-04 6.939e-18pööre fi - 1.173e-03 -7.491e-04 -7.595e-04 1.053e-04 8.085e-04 3.133e-04p~oikj~oud Q - 40.956 26.556 12.156 -2.244 -16.644 -31.044moment M - -53.733 -13.227 10.000 15.947 4.613 -24.000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 2.00000 varras on jaotatud viiekssiire w - 0.000e+00 -4.149e-05 4.117e-05 1.942e-04 3.793e-04 5.733e-04pööre fi - 3.133e-04 -7.707e-05 -3.139e-04 -4.355e-04 -4.803e-04 -4.867e-04p~oikj~oud Q - 24.000 19.200 14.400 9.600 4.800 0.000moment M - -24.000 -15.360 -8.640 -3.840 -0.960 0.000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 1 kohal x = 4.00siire w - 6.10667e-03pööre fi - 7.33333e-05p~oikj~oud Q - -0.55000moment M - 31.26667------------------------------------

442 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Sisej~oud vardas 2 kohal x = 4.00siire w - 7.86667e-03pööre fi - -2.20000e-04p~oikj~oud Q - 1.65000moment M - 35.66667------------------------------------Sisej~oud vardas 3 kohal x = 3.00siire w - 1.38000e-03pööre fi - -3.71667e-04p~oikj~oud Q - 4.95556moment M - 15.13333------------------------------------octave-3.0.1:4> diary offTabel 14.4. Tala EST sisejõudude võrdlusEST-meetodiga. I märgikokkulepeJõumeetodElemendi w * φ * Q * M * Q Mnr a/l [m] [rad] [kN] [kN·m] [kN] [kN·m]1 alg. 0.000e+00 0.000e+00 47.450 -62.533 47.45 -62.531k kesk. 6.107e-03 7.333e-05 -0.550 31.267 31.271 l˜opp 0.000e+00 -2.933e-04 -48.550 -66.933 -48.55 -66.932 alg. 0.000e+00 -2.933e-04 49.650 -66.933 49.65 -66.932k kesk. 7.867e-03 -2.200e-04 1.650 35.667 35.672 l˜opp 0.000e+00 1.173e-03 -46.350 -53.733 -46.35 -53.733 alg. 0.000e+00 1.173e-03 40.956 -53.733 40.955 -53.733k kesk. 1.380e-03 -3.717e-04 4.956 15.133 15.1353 l˜opp 0.000e+00 3.133e-04 -31.044 -24.000 -31.045 -24.004 alg. 0.000e+00 3.133e-04 24.000 -24.000 24.00 -24.004 l˜opp 5.733e-04 -4.867e-04 0.000 0.000 0.00 0.00Tabelis 14.4 on Tala EST sisejõudude võrdlus, mis on arvutatud EST-meetodiga ja kolmemomendi võrrandiga näites 10.3 (lk 269). Jätkuvtala avade keskel olevad momendid on näidatudtabeli 14.4 ridades 1k kesk., 2k kesk., 3k kesk. Tabelist 14.4 on näha, et sisejõud ühtivad.Jätkuvtala omakaalust põhjustatud M, Q epüürid ja toereaktsioonid on joonisel 10.18 (lk270).

14.12 Staatikaga määratud raami arvutus EST-meetodiga 44314.12 Staatikaga määratud raami arvutus ESTmeetodigaStaatikaga määratud raamskeemi puhul vaatleme ainult varraste (i) kontaktjõude N (i)L ,Q (i)L , M (i)L , N (i)A , Q (i)A , M (i)A . Nende kontaktjõudude leidmiseks koostame võrrandisüsteemi(14.93)spA·Z = B, (14.93)kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Võrrandisüsteemi koostamise võib jagada järgmisteks osadeks:1. Konstruktsiooni põhivõrrandite koostamine.2. Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamine.3. Kõrvaltingimuste lisamine.4. Toetingimuste lisamine.Konstruktsiooni põhivõrrandid.Kolme liigendiga raami põhivõrrandi saame varda põhivõrrandist (14.12), kui varda∘ülekandemaatriksist U (14.20), Zq (14.18) ja ∘ ZF (14.19) eemaldame siiretele u, v japöördele φ vastavad elemendid.Koostame kolme liigendiga raamile maatriksi ̂︂IU (14.11) arvutamiseks GNUOctave’i funktsiooni yspSlvfmhvI.m lk 724 (koostatakse funktsiooni yspSlfhlin.m lk 724∘abil). Koormusvektori Z (14.11) arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioon ESTSKrmus.mlk 727, mis omakorda kasutab koormusvektorite Zq, ∘ ∘ ZF arvutamiseks funktsiooneyzShqz.m ja yzSfzv.m lk 722.Sarnaselt varda arvutusel konstruktsiooni põhivõrrandite koostamisel kasutatavaleprogrammi tsüklile 14.5 lk 399 kasutame tala arvutamisel tsüklit 14.12 lk 444.Kolme liigendiga raami põhivõrrandite arv on kolmekordne varraste (3 x 3 elementide)arv. Need moodustavad pooled võrrandid võrrandisüsteemist (14.93). Teisepoole võrranditest peame saama sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamisega ja kõrvaltingimustelisamisega.Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamine. Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamisegatutvusime lõigus 14.6 lk 403. Siin kasutame neid eespool vaadatud sõlmetüüpe.

444 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Väljavõte programmist 14.12 (Põhivõrrandid. sp3liigendRaamEST.m lk 729)I I v =0;I J v =0;%f o r i =1:NEARVqkoormus=z e r o s ( 1 , 4 ) ;Fjoud=z e r o s ( 1 , 3 ) ;spvF=z e r o s ( 3 , 6 ) ;vB=z e r o s ( 3 , 1 ) ;krda=i ;Li=l v a r r a s ( i , 1 ) ;Fjoud=esFjoud ( : , 1 : 3 , i ) ;qkoormus=esQkoormus ( : , 1 : 4 , i ) ;%spvF=y s p S l v f m h v I ( Li , Li ) ;vB=ESTSKrmus( Li , Li , Fjoud , qkoormus ) ;%I I v=krda *3 −2;I J v=krda *6 −5;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , I I v , IJv , spvF ) ;B=I nsertBtoA (B,NNK, 1 , I I v , 1 , vB , 3 , 1 ) ;e n d f o r%% s i i n NEARV on e l e m e n t i d e arvKõrvaltingimuste lisamine. Staatikaga määratud konstruktsiooni puhul kirjeldamevarraste otstes olevad momendiliigendid kõrvaltingimustega. Kui kaks varrast onühendatud momendiliigendiga, siis on siin kaks kõrvaltingimust.Väljavõte programmist 14.13 (Sisejõud. sp3liigendRaamEST.m lk 729)f o r i =1:NEARVqkoormus=z e r o s ( 1 , 4 ) ;Fjoud=z e r o s ( 1 , 3 ) ;krda=i ;Li=l v a r r a s ( i , 1 ) ;%Fjoud=esFjoud ( : , 1 : 3 , i ) ;qkoormus=esQkoormus ( : , 1 : 4 , i ) ;xsamm=Li /Nmitmeks ; % varda v i i e n d i k e l s i s e j õ u dxx =0;AP=AlgPar ( i , : ) ’ ;%f o r i j =1: Nmitmeks+1 % +1 − s i s e j õ u d ka varda a l g u lvvF=y l S f h l i n ( xx ) ;vvB=ESTSKrmus( xx , Li , Fjoud , qkoormus ) ;%Fvv ( : , i j )=vvF *AP+vvB ;xx=xx+xsamm ;e n d f o r%VardaNr=i ;. . .. . .e n d f o r% s i i n NEARV on e l e m e n t i d e ( v a r r a s t e ) arvSisejõudude arvutamine. Sisejõudude arvutamiseks kasutame ülekandevõrrandit:Z L (x) = U · Z A + ∘ Z (14.94)siin arvutame ülekandemaatriksi U funktsiooniga ylSfhlin.m lk 721. Koormusvektori∘Z arvutame funktsiooniga ESTSKrmus.m lk 727. Selles funktsioonis koondatud jõudu

14.12 Staatikaga määratud raami arvutus EST-meetodiga 445arvutatakse funktsiooniga yzSfzv.m ja jaotatud koormust funktsiooniga yzShqz.m. Needfunktsioonid aitavad võrrandit (14.94) kasutada arvutiprogrammis, mis on näidatudprogrammi väljavõttes 14.13 lk 444.14.12.1 Kolme liigendiga raam. Näide 14.6 [slaidid]Näide 14.6Leida joonisel 14.51 kujutatud kolme liigendiga raami sisejõud EST-meetodiga ja võrreldaarvutuse tulemusi näites 5.4 lk 136 leitutega.q = 2 kN/ma) b)000000000000000111111111111111F1= 3 kNF = 1 kN22 α4α2 m15000 111 000 1114 m 4 m3h = 4 m 1 mF z F 1zF xxJoonis 14.51. Kolme liigendiga raamKõnesolevas näites on jaotatud koormus q (vt joonis 14.51) antud varda projektsioonile (4m). Teisendame jaotatud koormuse q koormuseks q k kaldu oleva varda pikkusele l 2 (14.95).Lahutame koormuse q k komponentideks (q x – projektsioon kohalikule teljele x ja q z – projektsioonkohalikule teljele z) ja arvutame arvutiga, siis saame suurema täpsuse.q x = −q k * sin α, kus sin α = 1.0/l 2q z = q k * cos α, kus cos α = 4.0/l 2q k = q * 4.0/l 2 , kus l 2 = √ 4 2 + 1.0 2 (14.95)Koormuse F 1 (vt joonis 14.51 b)) lahutame komponentideks (F x – projektsioon kohalikule teljelex ja F z – projektsioon kohalikule teljele z) ja laseme arvutada arvutil, siis saame suurematäpsuse. Ka jõu F rakenduspunkti kauguse arvutame arvutiga, kohalikus teljestikus. Avaldisega(14.96) on toodud jõu F projektsioonid kohalikus teljestikus (vt joonis 14.52).F x = F 1 * sin α, kus sin α = 1.0/l 2F z = F 1 * cos α, kus cos α = 4.0/l 2aF = l 3 /2, kus l 3 = √ 4 2 + 1.0 2 (14.96)Joonisel 14.52 näidatud kontaktjõudude nummerduse põhjal koostame väljavõtte programmist14.14. Väljavõtte programmist lisame GNU Octave’i programmile sp3liigendRaamEST.mlk 729.

446 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Väljavõte programmist 14.14 (Rajatingimused. sp3liigendRaamEST.m lk 729)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%S i i r e t e p i d e v u s e v õ r r a n d i d puuduvad%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Sõlmede t a s a k a a l u v õ r r a n d i d 13−21%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlm 1spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 , 4 , spT12 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 3 , 2 5 , spTY2m ) ;% t o e r e a k t s i o o n C1 , C2% sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 5 , 1 , spT1 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 5 , 1 0 , spT2 ) ;B(15:17 ,1)= s2F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 2 koormus% sõlm 3spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 8 , 7 , spT22 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 8 , 1 6 , spT32 ) ;B(18:19 ,1)= s3F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 3 koormus% sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 0 , 1 3 , spT3 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 0 , 2 2 , spT4 ) ;B(20:22 ,1)= s4F ( 1 : 3 , 1 ) ; % sõlme 4 koormus% sõlm 5spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 3 , 1 9 , spT42 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 3 , 2 7 , spTY2m ) ;% t o e r e a k t s i o o n C3 , C4%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%K õ r v a l t i n g i m u s e d 25−28 % v a b a l i i k m e t e v e k t o r on n u l l i t u d%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 5 , 9 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 3spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 6 , 1 8 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 3spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 7 , 6 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 1spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 8 , 2 1 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 5B( 2 5 : 2 8 , 1 ) = 0 . 0 ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Arvutuse tulemusi näeme arvutuspäevikus 14.6 lk 447. Nende põhjal kanname kolme liigendigaraami toereaktsioonid joonisele 14.53 ja teostame staatilise tasakaalu kontrolli (14.97).Sisejõud on leitud varda viiendikel (alguspunkt sealhulgas), siin I ja II märgikokkuleppepuhul on sisejõudude märgid ühesugused. Leitud sisejõud langevad kokku näites 5.4 lk 136toodutega. Arvutuspäevikus on raami riivi keskel sisejõud välja toodud programmiga Sisejoud3LraamiPnktis.mlk 728.zx[10 11 12 ]22 4[1 2 3 ][22 23 24 ]zx[7 8 9 ]3[16 17 18 ]z3x[13 14 15 ]1z xzx4C1[25][4 5 6 ]000 1111000 111C2[26][N Q M ]C 3 [27][19 20 21 ]000 1115000 111C4[28]Joonis 14.52. Kolme liigendiga raami kontaktjõudude nummerdus

14.12 Staatikaga määratud raami arvutus EST-meetodiga 447ΣX = 0; 1.6 + 1.0 − 2.6 = 0ΣZ = 0; 6.25 + 4.75 − 2 * 4 − 3 = 0ΣM 1 = 0; 4.75 * 8 − 1 * 4 − 2 * 4 * 2 = 0(14.97)Arvutuspäevik 14.6 (Programm sp3liigendRaamEST.m lk 729)octave-3.0.1:1> diary sp3liigendRaamEST.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> sp3liigendRaamEST=========================================================Järgnev on kolme liigendiga raami arvutus: GNU Octave’igasp3liigendRaamEST.mNmitmeks = 5koormusvariant = 1Koormusvariant 1Elemendi koormus kohalikes koordinaatides%esQkoormus(1,1:4,i)=[qz qx aqA aqL];esQkoormus =ans(:,:,1) =0 0 0 4ans(:,:,2) =1.88235 -0.47059 0.00000 4.12311ans(:,:,3) =0.00000 0.00000 0.00000 4.12311ans(:,:,4) =0 0 0 4esFjoud(1,1:3,i)=[Fz Fx aF];esFjoud =ans(:,:,1) =0 0 0ans(:,:,2) =0 0 0F = 1 kN2q = 2 kN/m0000000000000001111111111111112α3F = 3 kN12 m4h = 4 m 1 m151.6 000 111 000 111 2.64 m 4 m6.25 4.75Joonis 14.53. Kolme liigendiga raami toereaktsioonid

448 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]RaamEST3liigendiga−10−8Kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdusN Q M varraste alguses4 5 610 11 1216 17 1822 23 24N Q M varraste lõpus1 2 37 8 913 14 1519 20 21−6−4zxToereaktsioonid: 25 26 27 282M9= 0 M18= 023 3z xz x4−21z xz x40M6= 0 M21= 01 52−7 −5 −3 −1 1 3 5 7 9 11 13 15Joonis 14.54. Kolme liigendiga raami EST-meetodi elemendidans(:,:,3) =2.91043 0.72761 2.06155S~olme 1 koormus üldkoordinaatidesans =0 0 0S~olme 3 koormus üldkoordinaatidesans =0 0 0ans(:,:,4) =0 0 0S~olme 2 koormus üldkoordinaatidesans =1 0 0S~olme 4 koormus üldkoordinaatidesans =0 0 0S~olme 5 koormus üldkoordinaatidesans =0 0 0SolmedeArv = 5ElementideArv = 4%spA =Compressed Column Sparse (rows = 28, cols = 28, nnz = 64 [8.2%])NrX

14.12 Staatikaga määratud raami arvutus EST-meetodiga 4491 -6.250e+002 -1.600e+003 -6.400e+004 6.250e+005 1.600e+006 0.000e+007 -2.098e+008 -2.328e+009 0.000e+0010 4.038e+0011 -5.433e+0012 6.400e+0013 -3.674e+0014 -3.978e+0015 -1.040e+0116 2.947e+0017 1.067e+0018 0.000e+0019 -4.750e+0020 2.600e+0021 0.000e+0022 4.750e+0023 -2.600e+0024 1.040e+01% Toereaktsioonid25 1.600e+00 % - C126 -6.250e+00 % - C227 -2.600e+00 % - C328 -4.750e+00 % - C4========================================AlgparameetridVarda Nr N Q M----------------------------------------1 6.250 1.600 0.0002 4.038 -5.433 6.4003 2.947 1.067 0.0004 4.750 -2.600 10.400----------------------------------------========================================Koormusvariant Nr 1---------------------Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud viiekspikij~oud N - -6.250 -6.250 -6.250 -6.250 -6.250 -6.250p~oikj~oud Q - -1.600 -1.600 -1.600 -1.600 -1.600 -1.6000spy(spA) − hõreda maatriksi spA(28,28) nullist erinevad elemendid [8.2%]Põhivõrrandid 1 − 12510Sõlmede tasakaal 13 − 24152025Kõrvaltingimused 25 − 280 5 10 15 20 25Joonis 14.55. Kolme liigendiga raami nullist erinevate elementide asukohad

450 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]moment M - 0.000 -1.280 -2.560 -3.840 -5.120 -6.400----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.12311 varras on jaotatud viiekspikij~oud N - -4.038 -3.650 -3.262 -2.874 -2.486 -2.098p~oikj~oud Q - 5.433 3.881 2.328 0.776 -0.776 -2.328moment M - -6.400 -2.560 -0.000 1.280 1.280 0.000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.12311 varras on jaotatud viiekspikij~oud N - -2.947 -2.947 -2.947 -3.674 -3.674 -3.674p~oikj~oud Q - -1.067 -1.067 -1.067 -3.978 -3.978 -3.978moment M - 0.000 -0.880 -1.760 -3.840 -7.120 -10.400----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud viiekspikij~oud N - -4.750 -4.750 -4.750 -4.750 -4.750 -4.750p~oikj~oud Q - 2.600 2.600 2.600 2.600 2.600 2.600moment M - -10.400 -8.320 -6.240 -4.160 -2.080 -0.000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 kohal x = 2.061552pikij~oud N - -2.947p~oikj~oud Q - -1.067moment M - -2.200Sisej~oud vardas 3 kohal x = 2.061553pikij~oud N - -3.674p~oikj~oud Q - -3.978moment M - -2.200----------------------------------------octave-3.0.1:4> diary offTabel 14.5. Kolme liigendiga raami sisejõudude võrdlusEST-meetodiga. I märgikokkulepeLõikemeetodigaV arda N * Q * M * N Q Mnr a/l [kN] [kN] [kN·m] [kN] [kN] [kN·m]1 alg. -6.250 -1.600 0.000 -6.250 -1.600 0.0001 l˜opp -6.250 -1.600 -6.400 -6.250 -1.600 -6.4002 alg. -4.038 5.433 -6.400 -4.038 5.433 -6.4002k kesk. -3.068 1.552 0.800 -3.068 1.552 0.8002 l˜opp -2.098 -2.328 0.000 -2.098 -2.328 0.0003 alg. -2.947 -1.067 0.000 -2.947 -1.067 0.0003kv kesk.v -2.947 -1.067 -2.200 -2.947 -1.067 -2.2003kp kesk.p -3.674 -3.978 -2.200 -3.674 -3.978 -2.2003 l˜opp -3.674 -3.978 -10.400 -3.674 -3.978 -10.4004 alg. -4.750 2.600 -10.400 -4.750 2.600 -10.4004 l˜opp -4.750 2.600 0.000 -4.750 2.600 0.000Tabelis 14.5 on toodud EST-meetodiga määratud kolme liigendiga raami sisejõudude võrdlusnäites näites 5.4 (vt lk 136) leitutega. Tabelis on toodud raami riivi keskel olevad sise-

14.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodiga 451jõudude ridades 2k kesk., 3kv kesk.v ja 3kp kesk.p. Tabelist 14.5 on näha, et sisejõud ühtivad.Paindemomendi epüür on toodud joonisel 5.15 (lk 136), põikjõu ja normaaljõu epüüridon joonisel 5.20 (lk 139).14.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodigaStaatikaga määratud talaskeemi puhul vaatleme ainult talade (i) kontaktjõude Q (i)M (i)L , Q (i)A , M (i)A . Nende kontaktjõudude leidmiseks koostame võrrandisüsteemi (14.98)L ,spA·Z = B, (14.98)kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Võrrandisüsteemi koostamise võib jagada järgmisteks osadeks:1. Konstruktsiooni põhivõrrandite koostamine.2. Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamine.3. Kõrvaltingimuste lisamine.4. Toetingimuste lisamine.Väljavõte programmist 14.15 (Põhivõrrandid. spGerberTalaEST.m lk 730)I I v =0;I J v =0;%f o r i =1:NEARVqkoormus=z e r o s ( 1 , 3 ) ;Fjoud=z e r o s ( 1 , 2 ) ;spvF=z e r o s ( 2 , 4 ) ;vB=z e r o s ( 2 , 1 ) ;krda=i ;Li=l v a r r a s ( i , 1 ) ;%Fjoud=esFjoud ( : , 1 : 2 , i ) ;qkoormus=esQkoormus ( : , 1 : 3 , i ) ;%spvF=yspSTlvfmhvI ( Li , Li ) ;vB=ESTSTKrmus( Li , Li , Fjoud , qkoormus ) ;I I v=krda *2 −1;I J v=krda *4 −3;spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , I I v , IJv , spvF ) ;B=I nsertBtoA (B,NNK, 1 , I I v , 1 , vB , 2 , 1 ) ;e n d f o r%% s i i n NEARV on e l e m e n t i d e arvKonstruktsiooni põhivõrrandid.Staatikaga määratud tala põhivõrrandi saame varda põhivõrrandist (14.12), kui vardaülekandemaatriksist U (14.20), Zq (14.18) ja ∘ ZF (14.19) eemaldame siiretele u, v,∘pöördele φ ja normaaljõule N vastavad elemendid.

452 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Koostame staatiliselt määratud tala maatriksi ̂︂IU (14.11) arvutamiseks GNUOctave’i funktsiooni yspSTlvfmhvI.m lk 725 (koostatakse funktsiooni yspSTlfhlin.m∘lk 724 abil). Koormusvektori Z (14.11) arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioonESTSTKrmus.m lk 727, mis omakorda kasutab koormusvektorite Zq, ∘ ∘ ZF arvutamiseksfunktsioone yzSThqz.m ja yzSTfzv.m lk 722.Sarnaselt varda arvutusel konstruktsiooni põhivõrrandite koostamisel kasutatavaleprogrammi tsüklile 14.5 lk 399, kasutame tala arvutamisel tsüklit 14.15 lk 451.Staatikaga määratud tala põhivõrrandite arv on kahekordne varraste (2xelementide)arv. Need moodustavad pooled võrrandid võrrandisüsteemist (14.98). Teise poole võrranditestpeame saama sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamisega ja kõrvaltingimustelisamisega.Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamine. Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamisegatutvusime lõigus lk 435. Siin kasutame neid eespool vaadatud sõlmetüüpe.Väljavõte programmist 14.16 (Sisejõud. spGerberTalaEST.m lk 730)f o r i =1:NEARVqkoormus=z e r o s ( 1 , 3 ) ;Fjoud=z e r o s ( 1 , 2 ) ;%krda=i ;vF=z e r o s ( 2 , 4 ) ;Li=l v a r r a s ( i , 1 ) ;%Fjoud=esFjoud ( : , 1 : 2 , i ) ;qkoormus=esQkoormus ( : , 1 : 3 , i ) ;xsamm=Li /Nmitmeks ; % varda m e l j a n d i k e l s i s e j õ u dxx =0;AP=AlgPar ( i , : ) ’ ;%f o r i j =1: Nmitmeks+1 % 5 − s i s e j õ u d ka varda a l g u lvvF=y l S T f h l i n ( xx ) ;vvB=ESTSTKrmus( xx , Li , Fjoud , qkoormus ) ;%Fvv ( : , i j )=vvF *AP+vvB ;xx=xx+xsamm ;e n d f o r%V a l i J a o t u s=Nmitmeks ;VardaNr=i ;. . .. . .e n d f o r% s i i n NEARV on e l e m e n t i d e ( v a r r a s t e ) arvKõrvaltingimuste lisamine. Staatikaga määratud konstruktsiooni puhul kirjeldamevarraste otstes olevad momendiliigendid kõrvaltingimustega. Kui kaks varrast onühendatud momendiliigendiga, siis on siin kaks kõrvaltingimust. Ühe nendest varda otsasolevast momendiliigendit kirjeldavast kõrvaltingimusest kirjutame sõlme tasakaaluvõrranditelelisaks. Teise varda otsas oleva momendiliigendit kirjeldava kõrvaltingimusekirjutame eraldi.

14.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodiga 453Sisejõudude arvutamine. Sisejõudude arvutamist ülekandevõrranditega vaatasimelõigus ” Ülekandemaatriks paindel” 1.17 lk 56. Sisejõudude arvutamiseks kasutameülekandevõrranditZ L (x) = U · Z A + ∘ Z (14.99)siin ülekandemaatriksi U arvutame funktsiooniga ylSTfhlin.m lk 721. Koormusvektori∘Z arvutame funktsiooniga ESTSTKrmus.m lk 727. Selles funktsioonis koondatud jõuduarvutatakse funktsiooniga yzSTfzv.m ja jaotatud koormust funktsiooniga yzSThqz.m.Need funktsioonid aitavad võrrandit (14.99) kasutada arvutiprogrammis, mis on näidatudprogrammi väljavõttes 14.16 lk 452.14.13.1 Mitmesildeline tala EST-meetodiga. Näide 14.7[slaidid]Näide 14.7Leida joonisel 14.56 näidatud staatikaga määratud tala sisejõud EST-meetodiga ja võrreldatulemusi näites 4.1 lk 96 leitutega.01000 1110101000 1110101000 1110101000 1110101000 1110101000 1110101000 111010101000 11101000 11101014 mF = 20 kN F = 40 kN F = 30 kN1 2 3 F 4 = 100 kN F5= 20 kNq = 8 kN/m0000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111112 3 4 5 6 7 801010100000111110100000111110101000001111101010100000 1111100000 1111101111111 0000000110000001111110100000001014 m 4 m 2 m 2 m 4 m 2 m 4 m 4 m01010100000 1111100000 1111101000000111111 00111 mJoonis 14.56. Gerberi tala arvutus EST-meetodigaGerberi tala jagame elementideks, mille otspunktides olevad kontaktjõud nummerdame (vtjoonis 14.57). Nende kontaktjõudude leidmiseks koostame võrrandisüsteemi (14.100)spA·Z = B, (14.100)kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Võrrandisüsteemi koostamise võib jagada järgmisteks osadeks:1. Konstruktsiooni põhivõrrandite koostamine.2. Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamine.3. Kõrvaltingimuste lisamine.4. Toetingimuste lisamine.Konstruktsiooni põhivõrrandid. Gerberi tala põhivõrrandid arvutame GNU Octave’ifunktsiooni yspSTlvfmhvI.m lk 725 abil. Koormusvektori arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioonESTSTKrmus.m lk 727. Gerberi tala põhivõrrandite arvutamist näeme programmi väljavõttes14.15 lk 451.

454 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]Gerberi tala on jagatud 7 elemendiks, millede otstes on kokku 28 kontaktjõudu (vt joonis14.57). Staatikaga määratud tala põhivõrrandite arv on kahekordne varraste (2 x 7 = 14)arv. Need moodustavad pooled võrrandid (14 võrrandit) võrrandisüsteemist (14.98). Ülejäänud17 võrrandit (14 + 3 toereaktsiooni võrrandit) leiame sõlmede tasakaaluvõrrandite ja kõrvaltingimusteabil.Sõlmede tasakaaluvõrrandid. Sõlmede tasakaaluvõrrandite koostamisega tutvusime lõiguslk 435. Siin kasutame neid eespool vaadatud sõlmetüüpe. Toesõlmedes saame lisada katoereaktsioonid (14.52) (vt. joonis 14.45 lk 436 ja joonis 14.57).Joonisel 14.57 näidatud kontaktjõudude nummerduse põhjal koostame väljavõtte programmist14.17.Väljavõte programmist 14.17 (Rajatingimused. spGerberTalaEST.m lk 730)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%S i i r e t e p i d e v u s e v õ r r a n d i d puuduvad%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Sõlmede t a s a k a a l u v õ r r a n d i d 15−25%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlm 1spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 5 , 3 , spT1 ) ; % t a l a 1 a l g u sspA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 5 , 2 9 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C1spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 6 , 3 0 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C2B(15:16 ,1)= s1F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 1 koormus% sõlm 2spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 7 , 1 , spT12 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 7 , 7 , spT22 ) ;B(17:17 ,1)= s2F ( 1 : 1 , 1 ) ; % sõlme 2 koormus% sõlm 3spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 8 , 5 , spT2 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 1 8 , 1 1 , spT3 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 1 8 , 3 1 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C3B(18:19 ,1)= s3F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 3 koormus% sõlm 4spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 0 , 9 , spT32 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 0 , 1 5 , spT42 ) ;B(20:20 ,1)= s4F ( 1 : 1 , 1 ) ; % sõlme 4 koormus% sõlm 5spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 1 , 1 3 , spT42 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 1 , 1 9 , spT52 ) ;B(21:21 ,1)= s5F ( 1 : 1 , 1 ) ; % sõlme 5 koormus% sõlm 6spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 2 , 1 7 , spT5 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 2 , 2 3 , spT6 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 2 , 3 2 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C4B(22:23 ,1)= s6F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 6 koormus% sõlm 7spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 4 , 2 1 , spT6 ) ; spA=s p I n s e r t B t o A ( spA , 2 4 , 2 7 , spT7 ) ;spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 4 , 3 3 , − 1 ) ; % t o e r e a k t s i o o n C5B(24:25 ,1)= s3F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 7 koormus%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%K õ r v a l t i n g i m u s e d 26−33%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% sõlm 8spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 6 , 2 5 , 1 ) ; % k o n t a k t j õ u d s õ l m e s 8spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 7 , 2 6 , 1 ) ; % k o n t a k t j õ u d s õ l m e s 8B(26:27 ,1)= s8F ( 1 : 2 , 1 ) ; % sõlme 8 koormusspA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 8 , 2 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 2spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 2 9 , 8 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 2spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 0 , 1 0 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 4spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 1 , 1 6 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 4spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 2 , 1 4 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 5spA=s p S i s e s t a A r v ( spA , 3 3 , 2 0 , 1 ) ; % k õ r v a l t i n g i m u s s õ l m e s 5B( 2 8 : 3 3 , 1 ) = 0 . 0 ;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

14.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodiga 455Väljavõtte programmist 14.17 lisame GNU Octave’i programmile spGerberTalaEST.mlk 730.Kõrvaltingimused. Kõrvaltingimustega iseloomustame varraste otstes olevaid momendiliigendeid.Kõrvaltingimuste kaudu on võimalik varda otsas anda ka nullist erinev moment,kui see on rakendatud selle varda otsa ja ei ole seotud teise vardaga.Sisejõudude arvutamine. Gerberi tala sisejõudude arvutamiseks kasutame ülekandevõrrandit(14.99) lk 453. Sisejõudude arvutamist ülekandevõrranditega vaatasime ka varem lõiguspaindel” 1.17 lk 56. Arvutuspäevikus on sisejõu arvutamisel koondatud jõu”ÜlekandemaatriksF all kasutatud GNU Octave’is kirjutatud funktsiooni SsjoudGrbrTalaPnktis.m lk 728.Arvutuste tulemusi programmiga spGerberTalaEST.m lk 730 näeme arvutuste päevikus. Arvutustetulemused langevad kokku näites 4.1 lk 96 leitud tulemustega. Varem lahendatud ülesandeepüüre näeme joonisel 4.7 lk 104 ja toereaktsioone väljavõttes Toereaktsioonid ja kontaktjõud””lk 107. Toe 1 toereaktsioonid langevad kokku varda 1 algul olevate kontaktjõududega.Arvutuspäevik 14.7 ( Programm spGerberTalaEST.m lk 730)octave-3.0.1:1> diary spGerberTalaEST.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spGerberTalaEST==========================================================Järgnev on Gerberi tala arvutus: GNU Octave’igaspGerberTalaEST.mNmitmeks = 4Ntoerkts = 5koormusvariant = 1Elemendi koormus kohalikes koordinaatides%esQkoormus(1,1:3,i)=[qz aqA aqL];esQkoormus =ans(:,:,1) =0 0 4ans(:,:,2) =8 0 8ans(:,:,3) =8 0 2ans(:,:,4) =8 0 6ans(:,:,5) =0 0 2ans(:,:,6) =0 0 8ans(:,:,7) =0 0 1%esFjoud(1,1:2,i)=[Fz aF];esFjoud =01000 11101000 1110101000 1110101000 1110101000 1110101000 1110101000 111010101000 11101000 1110101zC 2[30 ]x1 2 3 4 5671 2 3 4 5 6 78010101010101z x z x 0000011111 z x z x z x 0000011111 z x 0000011111zx[3 4 ][1 2 ][7 8 ][5 6 ][11 12 ]01000001111101000000111111 010 011[9 10 ]0101000001111101010000001111110101000001111101000000111111 010 011C1[29 ][Q M ]C 3 [31 ] C4[32 ] C5[33 ]Joonis 14.57. Gerberi tala EST nummerdus[15 16 ][13 14 ][19 20 ][17 18 ][23 24 ][21 22 ][27 28 ][25 26 ]

456 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]−20Tala EST00−15−10−5Kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdusQ M varraste alguses3 47 811 1215 1619 2023 2427 28Toereaktsioonid: 29 30 31 32 33Q M varraste lõpus1 25 69 1013 1417 1821 2225 26x0z1M2= 0 M8= 0 M10= 0 M16= 0 M14= 0 M20= 01223 3 445 5 667 7 8Q25= 0M26= 05−10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35 40Joonis 14.58. EST-meetod. Gerberi tala elemendidans(:,:,1) =0 4ans(:,:,2) =40 4ans(:,:,3) =0 2ans(:,:,4) =30 2ans(:,:,5) =0 2ans(:,:,6) =100 4ans(:,:,7) =0 1S~olme 1 koormus üldkoordinaatidesans =0 0S~olme 2 koormus üldkoordinaatidesans =20 0S~olme 3 koormus üldkoordinaatidesans =0 0S~olme 4 koormus üldkoordinaatidesans =0 0S~olme 5 koormus üldkoordinaatidesans =0 0S~olme 6 koormus üldkoordinaatidesans =0 0S~olme 7 koormus üldkoordinaatidesans =0 0S~olme 8 koormus üldkoordinaatidesans =20 0SolmedeArv = 8ElementideArv = 7spA =Compressed Column Sparse (rows = 33, cols = 33, nnz = 68)

14.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodiga 457(1, 1) -> 1(17, 1) -> 1(2, 2) -> 1(28, 2) -> 1(1, 3) -> 1(2, 3) -> 4(15, 3) -> 1(2, 4) -> 1(16, 4) -> 1(3, 5) -> 1(18, 5) -> 1...NrX1 5.900e+012 0.000e+003 -5.900e+01...29 -5.900e+01 - toereaktsioon C130 2.360e+02 - toereaktsioon C231 -1.250e+02 - toereaktsioon C332 -9.000e+01 - toereaktsioon C433 -6.400e+01 - toereaktsioon C5==================================Algparameetrid; II märgikokkulepeVarda Nr Q M----------------------------------1 -59.000 236.0002 -39.000 0.0003 -60.000 104.0004 -44.000 0.0005 34.000 0.0006 -56.000 68.0000Gerberi tala spy(spA) − hõreda maatriksi spA(33,33) nullist erinevad elemendid [6.2%]Põhivõrrandid 1 − 1451015Sõlmede tasakaal 15 − 252025Kõrvaltingimused 26 − 33300 5 10 15 20 25 30Joonis 14.59. Gerberi tala. Nullist erinevate elementide asukohad

458 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]7 -20.000 20.000----------------------------------=============================================Koormusvariant Nr 1; I ja II märgikokkulepe---------------------------------------------Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksp~oikj~oud Q - 59.000 59.000 59.000 59.000 59.000moment M - -236.000 -177.000 -118.000 -59.000 0.000-------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 8.00000 varras on jaotatud neljaksp~oikj~oud Q - 39.000 23.000 -33.000 -49.000 -65.000moment M - 0.000 62.000 92.000 10.000 -104.000-------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 2.00000 varras on jaotatud neljaksp~oikj~oud Q - 60.000 56.000 52.000 48.000 44.000moment M - -104.000 -75.000 -48.000 -23.000 0.000-------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 6.00000 varras on jaotatud neljaksp~oikj~oud Q - 44.000 32.000 -10.000 -22.000 -34.000moment M - 0.000 57.000 66.000 42.000 0.000-------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 5 varda pikkus on 2.00000 varras on jaotatud neljaksp~oikj~oud Q - -34.000 -34.000 -34.000 -34.000 -34.000moment M - 0.000 -17.000 -34.000 -51.000 -68.000-------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 6 varda pikkus on 8.00000 varras on jaotatud neljaksp~oikj~oud Q - 56.000 56.000 -44.000 -44.000 -44.000moment M - -68.000 44.000 156.000 68.000 -20.000-------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 7 varda pikkus on 1.00000 varras on jaotatud neljaksp~oikj~oud Q - 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000moment M - -20.000 -15.000 -10.000 -5.000 0.000-------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 kohal x = 1.999999p~oikj~oud Q - 28.000moment M - 72.000Sisej~oud vardas 4 kohal x = 2.000000p~oikj~oud Q - -2.000moment M - 72.000-------------------------------------Sisej~oud vardas 2 kohal x = 3.999999p~oikj~oud Q - 7.000moment M - 92.000-------------------------------------Sisej~oud vardas 6 kohal x = 3.999999p~oikj~oud Q - 56.000moment M - 156.000-------------------------------------octave-3.0.1:4> diary offTabelis 14.6 on toodud Gerberi tala sisejõudude võrdlus, mis on määratud EST-meetodigaja lõikemeetodiga näites 4.1 (vt lk 96). Koondatud jõudude kohal on tabelis sisejõudude väär-

14.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodiga 459Tabel 14.6. EST-meetod. Gerberi tala sisejõudude võrdlusEST-meetodiga. I märgikokkulepe LõikemeetodV arda Q * M * Q Mnr a/l [kN] [kN·m] [kN] [kN·m]1 alg. 59.000 -236.000 59.0 -236.01 l˜opp 59.000 0.000 59.0 0.02 alg. 39.000 0.000 39.0 0.02kv avas 7.000 92.000 7.0 92.02kp avas -33.000 92.000 -33.0 92.02 l˜opp -65.000 -104.000 -65.0 -104.03 alg. 60.000 -104.000 60.0 -104.03 l˜opp 44.000 0.000 44.0 0.04 alg. 44.000 0.000 44.0 0.04kv avas 28.000 72.000 28.0 72.04kp avas -2.000 72.000 -2.0 72.04 l˜opp -34.000 0.000 -34.0 0.05 alg. -34.000 0.000 -34.0 0.05 l˜opp -34.000 -68.000 -34.0 -68.06 alg. 56.000 -68.000 56.0 -68.06kv avas 56.000 156.000 56.0 156.06kp avas -44.000 156.000 -44.0 156.06 l˜opp -44.000 -20.000 -44.0 -20.07 alg. 20.000 -20.000 20.0 -20.07 l˜opp 20.000 0.000 20.0 0.0tused toodud ridades 2kv avas, 2kp avas, 4kv avas, 4kp avas ja 6kv avas, 6kp avas. Tabelist14.6 on näha, et sisejõud ühtivad. Joonisel 4.7 (lk 104) on nende sisejõudude väärtused.14.13.2 Sõrestiktala arvutusskeem. Näide 14.8Näide 14.8Leida joonisel 14.60 näidatud sõrestiktala arvutuskeemi sisejõud EST-meetodiga. Arvutusskeemistala sille on 16 m. Arvutusskeemi ülemises osas on vardad, mis töötavad ainultpikkele. Sõrestiku sõlmede asukohad on näidatud joonisel.Talal on ühtlaselt jaotatud koormus 10 kN/m. Tala ja sõrestiku arvutamisel on elastsusmoodulE = 2.1E + 11 kN/m 2 , tala inertsimoment I = 1.9021E − 05 m 4 , tala ristlõike pindalaA = 7.26E − 05 m 2 , sõrestiku varraste ristlõike pindala As = 1.2E − 05 m 2

460 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]2 m8 m10 kN/m 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000 1111 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 00 110000 11112 m00 1116 m2 mJoonis 14.60. Sõrestiktala arvutusskeem EST-meetodigaTala on jaotatud kaheksaks elemendiks. Sõlmede ja elementide numbrid ning kohalikudteljestikud on joonisel 14.61.Joonisel 14.62 on varda elementide siirete ja kontaktjõudude nummerdus varda lõpus jaalguses.Arvutused teeme GNU Octave’i programmiga spTalaVarrasESTR.m lk 726. Arvutuse tulemusedon toodud väljavõttes arvutuspäevikust 14.2.Väljavõte arvutuse päevikust 14.2==========================================================spTalaVarrasESTR.mRaami varras koos s~orestikuga:Nmitmeks = 4Ntoerkts = 3E = 2.1000e+11xz16 sõlme1629 varrastq = 10 kN/m28 2914 1524 25 26101116 12122013111315 17 19 2192300000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111014182200000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 2 3 4 5 6 7 8190000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000 111 2 3 4 5 6 7 8 000z x z x z x z x z x z x z x 111zxz x z xz xz xz x z xz xz x z x z xz xx z xz xz x z x27z x z x z xJoonis 14.61. Sõrestiktala arvutusskeemi sõlmed ja elemendidz x

14.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodiga 461z16 sõlmex1629 varrast28 [153 156]2914 15264 siiret ja kontaktjõudu[u w ϕ N] [u N][u w ϕ N Q M]q = 10 kN/m2425 2627[121 124][185 188]101116201212[157 160][189 192]131115179[105 108]19 211013[137 140][169 172]2318[201 204] 22265 1 [109 112] [125 128] [141 144][173 176][205 208]000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 91223344556 6 778 80000 1111 00 11267266[101 104][7 8 9 10 11 12][97 100][1 2 3 4 5 6][221 224][117 120][19 20 21 22 23 24][217 220][113 116][13 14 15 16 17 18][229 232][133 136][31 32 33 34 35 36][253 256][129 132][25 26 27 28 29 30][225 228][149 152][43 44 45 46 47 48][249 252][145 148][37 38 39 40 41 42][165 168][55 56 57 58 59 60][261 264][161 164][237 240][49 50 51 52 53 54][67 68 69 70 71 72][257 260][233 236][193 196][181 184] [245 248][61 62 63 64 65 66][177 180][197 200][79 80 81 82 83 84][241 244][73 74 75 76 77 78][213 216][91 92 93 94 95 96][209 212][85 86 87 88 89 90]Joonis 14.62. Sõrestiktala arvutusskeemi siirded ja kontaktjõudI = 1.9021e-05 % raami varda (tala) ristl~oigeA = 7.2600e-05 % raami varda (tala) ristl~oigeAs = 1.2000e-05 % s~orestiku varda ristl~oigeqtala = 10Elemendi koormus kohalikes koordinaatidesqz =10 10 10 10 10 10 10 10spA =Compressed Column Sparse (rows = 267, cols = 267, nnz = 750 [1.1%])(1, 1) -> 1(135, 1) -> 1(138, 1) -> 1(2, 2) -> 1(136, 2) -> 1(139, 2) -> 1(3, 3) -> 1(137, 3) -> 1(4, 4) -> 1(226, 4) -> 1(5, 5) -> 1...NrX1 3.586e+012 1.849e+033 -8.311e+02...265 -8.882e-16 % Horisontaalne toereaktsioon266 -8.000e+01 % Vasakpoolne vertikaalne toereaktsioon267 -8.000e+01 % Parempoolme vertikaalne toereaktsioon

462 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2]============================================================================Varda alguse/l~opu siirded (skaleerimata) kontaktj~oud. I märgikokkulepeVarda Nr u w fi N Q M----------------------------------------------------------------------------1 0.000e+00 0.000e+00 -1.278e-04 35.860 44.140 -0.0001 4.704e-06 2.425e-04 -1.090e-04 35.860 24.140 68.2812 4.704e-06 2.425e-04 -1.090e-04 35.860 13.674 68.2812 9.408e-06 4.235e-04 -7.133e-05 35.860 -6.326 75.6293 9.408e-06 4.235e-04 -7.133e-05 46.779 8.293 75.6293 1.554e-05 5.272e-04 -3.265e-05 46.779 -11.707 72.2154 1.554e-05 5.272e-04 -3.265e-05 46.779 -0.334 72.2154 2.168e-05 5.581e-04 6.859e-21 46.779 -20.334 51.5485 2.168e-05 5.581e-04 6.859e-21 46.779 20.334 51.5485 2.782e-05 5.272e-04 3.265e-05 46.779 0.334 72.2156 2.782e-05 5.272e-04 3.265e-05 46.779 11.707 72.2156 3.395e-05 4.235e-04 7.133e-05 46.779 -8.293 75.6297 3.395e-05 4.235e-04 7.133e-05 35.860 6.326 75.6297 3.866e-05 2.425e-04 1.090e-04 35.860 -13.674 68.2818 3.866e-05 2.425e-04 1.090e-04 35.860 -24.140 68.2818 4.336e-05 0.000e+00 1.278e-04 35.860 -44.140 0.0009 0.000e+00 -0.000e+00 -1.053e-04 -50.7139 -5.692e-05 2.978e-04 -1.053e-04 -50.71310 -2.425e-04 4.704e-06 -8.281e-05 -10.46610 -2.508e-04 1.703e-04 -8.281e-05 -10.46611 2.978e-04 5.692e-05 -8.340e-05 7.40111 3.061e-04 2.928e-04 -8.340e-05 7.40112 -4.235e-04 9.408e-06 -5.436e-05 15.07312 -3.996e-04 2.268e-04 -5.436e-05 15.07313 -2.928e-04 3.061e-04 -4.415e-05 -8.04213 -3.018e-04 4.310e-04 -4.415e-05 -8.042============================================================================Varda alguse/l~opu siirded (skaleerimata) kontaktj~oud. I märgikokkulepeVarda Nr u w fi N Q M----------------------------------------------------------------------------14 -5.272e-04 1.554e-05 -3.789e-05 11.37314 -5.182e-04 9.132e-05 -3.789e-05 11.37315 4.310e-04 3.018e-04 -2.740e-05 -18.70015 4.100e-04 3.793e-04 -2.740e-05 -18.70016 -5.581e-04 2.168e-05 3.965e-22 67.11316 -3.451e-04 2.168e-05 3.965e-22 67.11317 -3.793e-04 4.100e-04 2.740e-05 -18.70017 -4.003e-04 3.325e-04 2.740e-05 -18.70018 -5.272e-04 2.782e-05 3.789e-05 11.37318 -5.182e-04 -4.796e-05 3.789e-05 11.37319 3.325e-04 4.003e-04 4.415e-05 -8.04219 3.235e-04 2.755e-04 4.415e-05 -8.04220 -4.235e-04 3.395e-05 5.436e-05 15.07320 -3.996e-04 -1.835e-04 5.436e-05 15.07321 -2.755e-04 3.235e-04 8.340e-05 7.40121 -2.671e-04 8.758e-05 8.340e-05 7.401

14.13 Staatikaga määratud tala EST-meetodiga 4630Tala−varras spy(spA) − hõreda maatriksi spA(267,267) nullist erinevad elemendid [1.1%]501001502002500 50 100 150 200 250Joonis 14.63. Sõrestiktala spA nullist erinevate elementide asukohad22 -2.425e-04 3.866e-05 8.281e-05 -10.46622 -2.508e-04 -1.270e-04 8.281e-05 -10.46623 8.758e-05 2.671e-04 1.053e-04 -50.71323 3.066e-05 -3.066e-05 1.053e-04 -50.71324 -5.692e-05 2.978e-04 -5.131e-05 -58.11424 -1.221e-04 4.429e-04 -5.131e-05 -58.11425 4.429e-04 1.221e-04 -6.353e-05 -10.65825 4.310e-04 3.018e-04 -6.353e-05 -10.65826 -4.003e-04 3.325e-04 6.353e-05 -10.65826 -4.123e-04 1.528e-04 6.353e-05 -10.65827 1.528e-04 4.123e-04 5.131e-05 -58.11427 8.758e-05 2.671e-04 5.131e-05 -58.11428 -1.221e-04 4.429e-04 3.246e-05 -47.45628 -2.287e-04 2.593e-04 3.246e-05 -47.45629 2.593e-04 2.287e-04 -3.246e-05 -47.45629 1.528e-04 4.123e-04 -3.246e-05 -47.456----------------------------------------------------------------------------Arvutuspäevikus on sõrestiktala siirded ja sisejõud. Tala (raami) elemendi puhul erinebpöördenurk fi ≡ φ elemendi alguses ja lõpus paindeprinkuse tõttu (vt põhideformatsioonid(14.21)). Sõrestiku elemendil on pöördenurgad elemendi alguses ja lõpus samad, kuna siinvaadeldakse pööret jäiga keha pöördena (vt avaldist (14.3 lk 384). See pööre jääb sisemiseksvabadusastmeks ( sks innere Freiheitsgrade) ( ingl internal degrees of freedom).Joonisel 14.64 on tala osa sisejõudude N, Q ja M epüürid.

464 14. Rajaelementide meetod [Loeng 1] [Loeng 2].50.713 kN10.460 kN7.401 kN15.073 kN8.042 kN11.373 kN18.700 kN67.113 kN18.700 kN11.373 kN8.042 kN15.073 kN7.401 kN10.460 kN50.713 kN0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111119 1012 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 230000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 2 3 4 5 6 7 8190000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000 1111 2 3 4 5 6 7 8 00 11(a) Sõrestiktala...46.77935.8635.86000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111(b) Sõrestiktala N epüür000000000001111111111100000000000111111111110000000000011111111111000000000001111111111100000000000000000000000011111111111111111111111100000000000111111111110000000000011111111111 0000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111 0000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111 0000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000000000000000001111111111111111111111110000000000000000000000011111111111111111111111 000000000000111111111111000000000001111111111100000000000000000000000000000000001111111111111111111111100000000000111111111110000000000000000000000011111111111111111111111000000000001111111111100000000000111111111110000000000011111111111000000000001111111111144.14024.14013.6746.3268.23911.70720.33420.33420.3340.33411.707(c) Sõrestiktala Q epüür8.2396.32613.67424.14044.140.N [kN]Q [kN]..68.28175.62972.21551.5480000000000001111111111110000000000011111111111 .000000000000111111111111 00000000000011111111111100000000000000000000000111111111111000000000001111111111100000000000M [kN m]0000000000001111111111110000000000011111111111000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111000000000000000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000011111111111000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111000000000000000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000011111111111 .000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111000000000000000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000011111111111000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111000000000000000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000011111111111000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111000000000000000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000011111111111000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111000000000000000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000011111111111000000000000111111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111000000000000000000000001111111111110000000000011111111111000000000000000000000011111111111000000000000111111111111 000000000000111111111111111111111110000000000072.215(d) Sõrestiktala M epüür75.62968.281Joonis 14.64. Sõrestiktala sisejõudude epüürid

15. Arvutus piirkoormuse järgiLoeng 1 1 : Piirkoormus.Kõnesolevas peatükis vaatleme varraskonstruktsiooni arvutust kandepiirseisundi järgi.Kandepiirseisund on varraskonstruktsiooni seisund, mille ületamisel konstruktsioonei rahulda temale esitatavaid nõudeid.Piirkoormuseks nimetatakse koormust, mille puhul konstruktsiooni kandevõime ontäielikult ammendatud (konstruktsiooni avarii). Piirkoormuse määramisel võtamealuseks ideaalselt elastoplastse materjali pinge ja deformatsiooni diagrammi, mis ontoodud joonisel 15.1(b). Oletame, et voolavuspiir tõmbel ja survel on ühesugune.σÜlemine elastsuspiirσ YεσU −DeformatsioonienergiaD −DissipatsioonienergiaVoolavuspiir00000001111111010000000111111101Lossimine000000011111110100000001111111 D01D >= 000000001111111000000001111111Π0110000000111111101εσ Yε Y ε pLineaarne osa Voolamine.(a) Elastne materjalPlastne deformatsioon(b) Ideaalselt elastoplastne materjalJoonis 15.1. TõmbediagrammIdeaalselt elastoplastse materjali diagramm koosneb kahest sirgjoonest, millest esimenevastab pingetega proportsionaalsetele deformatsioonidele, teine aga konstantsetelepingetele – voolavuspiirile. Seda diagrammi nimetatakse ka Prandtli 2 diagrammiks. Kunivoolavuspiirini (ε ≤ ε Y ) kehtib Hooke’i seadusKui deformatsioonid ε > ε Y , jäävad pinged konstantseks.σ = Eε (15.1)σ = σ Y (15.2)Selles peatükis on kasutatud näiteid õpikutest [Rää75], [Beer04], [EP67].1 ./videod/PiirkoormusLoeng1.html2 Ludwig Prandtl, saksa füüsik, 1875–1953.465

466 15. Arvutus piirkoormuse järgi15.1 Konstruktsiooni elastoplastne töötamineSstaatikaga määramatu varraskonstruktsiooni arvutus piirolukorra järgi annab erinevatulemuse, võrreldes lubatavate pingete meetodiga. Võrdsete varutegurite puhul lubabpiirkoormuse järgi arvutus rakendada suuremat koormust kui lubatavate pingete meetodigaarvutus. Võrdleme seda järgnevas näites (vt näiteid [MR99] lk 32 ja [Beer04] lk64).Näide 15.1 Leida joonisel 15.2 näidatud varrassüsteemile rakendatud jõu F piirväärtusF lim . Vardad 1, 2, 3 on samast materjalist ja ristlõiked on võrdsed A 1 = A 2 = A 3 = A.Väikestel deformatsioonidel on nurk β väike ja cos (α + β) ≈ cos α. Vaatleme ka juhtu, kuiα = 60 ∘ .Elastsed deformatsioonid. Vaadeldav ülesanne on ühekordselt staatikaga määramatu.a)234000 111 000 111 00 11L2EA 2 1EA 1 EA 2α2 3 Lα∆ LβF 1F 2F 21 1∆ L = wb)αFα2Sõlme 1 tasakaaluvõrrandFJoonis 15.2. Staatikaga määramatu süsteemF = 2F 2 cos α + F 1 (15.3)Sõlmes 1 siirete pidevuse võrrand. Siin vaatame väikseid deformatsioone, kus cos (α + β) ≈cos α. SaameehkΔL cos (α + β) = ΔL 2 , ΔL cos α = ΔL 2 , (15.4)siit saameF 1 LEA cos α = F 2L 2EA ,F 1 LEA cos α = F 2L/ cos αEA(15.5)F 2 = F 1 cos 2 α (15.6)Nüüd saame sõlme 1 tasakaaluvõrrandist (15.3))︁F = 2F 2 cos α + F 1 = 2F 1 cos 3 α + F 1 = F 1(︁1 + 2 cos 3 α(15.7)

15.1 Konstruktsiooni elastoplastne töötamine 467000 111 00 112 32 3000 111 00 1100 11F 1Y= A σ Y1∆ F 2∆ F 2∆ w1’∆ F(a) Staatikaga määratud süsteem2F(b) Deformatsiooni kõrvaldamine1YJoonis 15.3. VarrassüsteemidJärgnevalt leiame pinged varrastes tingimusel, et σ 1 < σ Y , σ 2 = σ 3 < σ Y :σ 1 =FA (1 + 2 cos 3 α) , σ 2 = σ 3 =F cos 2 αA (1 + 2 cos 3 α)(15.8)Siit näeme, et vardas 1 on pinge suurem kui varrastes 2 ja 3. Jõu suurenedes saavutab 1.varda pinge esimesena voolavuspiiri.Mitteelastsed deformatsioonid. Varras 1 voolab. Edasi vaatleme juhtu, kui vardas1 olevad pinged on saavutanud voolavuspiiri ja varrastes 2 ja 3 on pinged väiksemad kuivoolavuspiir. Selle olukorra tekkimisel konstruktsioonile mõjuva jõu tähistame F Y -ga, vardas1 oleva jõu F 1 Y -ga ja temale vastava siirde w Y -ga. Avaldises (15.7) asendame jõu F 1 F 1 Y -ga.Saame)︁F Y = F 1 Y(︁1 + 2 cos 3 α , F Y = 5 4 F 1 Y | α=60 o (15.9)w = ΔL = F 1LEAF L 1=EA (1 + 2 cos 3 α) , w = 4 F L5 EA | α=60o (15.10)Selle punkti tähistame joonisel 15.4 punktiga A. Sellises olukorras muutub ülesanne staatiliseltmääratavaks (vt joonis 15.3(a)). Jõu juurdekasvul varras 1 jõudu enam juurde ei võta. Varrason jõu juurdekasvu suhtes passiivne. Joonpinguse puhul nimetatakse koormuse ja seegaka pingete monotoonsele suurenemisele vastavaid deformatsioone aktiivseteks; keha koormusestvabastamisel, seega pingete absoluutse suuruse vähenemisel tekkivaid deformatsioonenimetatakse passiivseteks (vt aktiivne ja passiivne deformatsioon [EP67] lk 555 (279)).Vaatame jõu juurdekasvu ΔF (vt joonis 15.3(a)). Sõlm 1 ′ on tasakaalus (vardal 1 jõu juurdekasvuei ole):ΔF − 2ΔF 2 cos α = 0, ΔF = ΔF 2 | α=60 o (15.11)Kui vardas 1 algas voolamine (F 1 Y ), siis vardas 2 saame jõu avaldisest (15.6):F 2 = F 1 Y cos 2 α F 2 = 1 4 F 1 Y | α=60 o (15.12)Jõu edasisel kasvamisel lisandub sellele ΔF 2 , mille arvutamiseks saame avaldiseΔF 2 = F 2 − F 1 Y cos 2 α (15.13)

468 15. Arvutus piirkoormuse järgiJõu edasisel kasvamisel saabub moment, millal kõigis kolmes vardas on pinged saavutanudvoolavuspiiri (F 1 Y = F 2 Y = F 3 Y ), konstruktsioon on saavutanud piirkoormuse)︁F lim = F Y + ΔF = F 1 Y(︁1 + 2 cos 3 α + 2ΔF 2 cos α =)︁ (︁)︁= F 1 Y(︁1 + 2 cos 3 α + 2 F 2 Y − F 1 Y cos 2 α cos α (15.14)Arvestades, et varrastel on ühesugused voolavuspiirid F 2 Y = F 1 Y , saame piirkoormuseksF lim = F 1 Y (1 + 2 cos α) , F lim = 2F 1 Y | α=60 o (15.15)Piirkoormusele F lim vastav siire w lim on toodud avaldisegaw lim = w Y + Δw = F 1 Y LEA + ΔF 2L 2EA= F 1 Y LEA+ (︀F2 − F 1 Y cos 2 α )︀ LEA1cos α =1cos 2 αArvestades varraste ühesuguseid voolavuspiire F 2 Y = F 1 Y , saame siirdeks(15.16)w lim = F 1 Y LEA1cos 2 α ,w lim = 4 F 1 Y LEA | α=60 o= 4w Y (15.17)Kanname selle väärtuse joonisele 15.4 punktina B.Koormusest vabastamine. Deformeerime konstruktsiooni kuni 5w Y , siis koormus on F lim .Jõule F lim vastavad elastsed deformatsioonid leiame valemi (15.10) abil. Saamew = ΔL =F L 1EA (1 + 2 cos 3 α) , w = 8 5F 1 Y LEA | α=60o (15.18)Koormusest vabastamisel ja endisesse olukorda tagasi viimisel tuleb konstruktsioonile rakendadavastupidine jõud (joonis 15.3(b)). Jääkdeformatsiooni leiame, kui deformatsioonist 5w Ylahutame elastsed deformatsioonid (15.18):w p = 5w Y − F limLEA1(1 + 2 cos 3 α) , w p = 5w Y − 8 5 w Y | α=60 o= 175 w Y | α=60 o (15.19)Näitame seda plastset deformatsiooni joonisel 15.4. Jääkdeformatsioonid põhjustavadjääkpingeid, mis konstruktsiooni sees tasakaalustavad üksteist.FF lim= 2 F 1YBC5/4F 1YAw Y17/5w Y4w Y5w YwJoonis 15.4. Koormus-siire diagramm

15.2 Piirpaindemoment ja plastne tugevusmoment 46915.2 Piirpaindemoment ja plastne tugevusmomentVaatame juhtu, kui tala (joonis 15.5 a)) on koormatud konstantse momendiga (puhaspaine) ja voolavuspiir on tõmbel ja survel ühesugune. Jälgime pingete muutumist talaristlõikes (joonis 15.5 b)) koormuse suurendamisel. Elastses olukorras muutuvad pingedlineaarselt ja on ristlõike raskuskeset läbival y teljel nullid (joonis 15.5 c)). Koormusekasvades pinged äärmistes kiududes suurenevad kuni voolavuspiirini σ Y (joonis 15.5 d),15.5 e)). Piirolukorras on pinged ülemise ja alumise tsooni ulatuses ühtlased ja võrduvadvoolavuspiiriga (joonis 15.5 f)). Neid tsoone eraldav joon (nulljoon) ei läbi enamristlõike raskuskeset. Ristlõikes on tekkinud plastne liigend. Puhtal paindel on ristlõikesa)M yM yxb) c) d) σ00000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000000000001111111y1111111000000111111zze) f)σ Yσ Yσ Yσ0000000011111111 Y11111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 000000011111111111111000000001111111111111000000111111 0000000011111111 0000000111111111111110000000011111111σ Yσ Yσ Yσ YJoonis 15.5. Ristlõige puhtal paindelg)σ Yh)normaaljõud võrdne nulliga. See tingimus on väljendatud võrrandiga (15.20). Paindemomentomab suurimat väärtust M y pl (piirpaindemoment), mida ristlõige on võimelinevastu võtma. Normaalpingete moment võrdub välismomendiga M y pl (15.21). Seega,∫︁∫︁σ Y dA − σ Y dA = 0, (15.20)A t A∫︁∫︁ szσ Y dA − zσ Y dA = M y pl , (15.21)A t A ssiin A t ja A s on tõmbe ja survetsooni pindala ning M y pl piirolukorrale vastav paindemoment.Avaldised (15.20) ja (15.21) saab ümber kirjutada järgmiselt:A t − A s = 0, (15.22)S t + S s = M y plσ Y, (15.23)kus S t ja S s on tõmbe- ja survetsooni staatilised momendid nende tsoonide eraldusjoonesuhtes (staatilised momendid on positiivsed).Piirmomendi avaldise esitame järgmisel kujul:M y pl = W y pl σ Y , (15.24)

470 15. Arvutus piirkoormuse järgikus W y pl on plastne tugevusmoment (vastupanumoment) (15.25).W y pl = S t + S s (15.25)Koormuse lossimisel normaalpinged vähenevad (joonis 15.1). Normaalpingete epüür onnäidatud joonisel 15.5 g). Koormuse täielikul eemaldamisel on jääkpingete epüür toodudjoonisel 15.5 h). Normaalpingete tekitatud moment võrdub nulliga, kuna väline koormuson eemaldatud.Näide 15.2Leiame joonisel 15.6 näidatud ristkülikulise ristlõike plastse vastupanumomendi (plastsetugevusmomendi). Elastses olukorras on vastupanumomentM y el = bh26(15.26)00000001111111000000011111110000000111111100000001111111y00000001111111000000011111110000000111111100000001111111zbhJoonis 15.6.RistkülikulineristlõigePlastseks vastupanumomendiks W y pl (15.25) saameW y pl = S t + S s = 1 2 bh (︂ h4 + h 4)︂= bh24(15.27)Ristlõike plastse vastupanumomendi (15.27) ja vastupanumomendi(15.26) suhe onα pl = W y plW y el=bh 24bh 26= 1.5 (15.28)Valtsitud I-profiilide puhul on W y pl = 1.16W y el [Rää75]. Erinevate ristlõigete (joonis15.7) puhul võib leida plastse vastupanumomendi ja vastupanumomendi suhteid α plõpikust [Beer04].010000 1111 010000011111 000000111111 0000 1111 00000 11111010000011111 000000111111 0000 1111 00000 11111010000011111 000000111111 0000 1111 00000 111110000 1111 010000011111 000000111111 0000 1111 00000 111110000 1111 0000011111 00000011111100000 11111α pl = 1.14 α pl = 1.5 α pl = 2.0 α pl = 1.7 α pl = 2.37Joonis 15.7. Vastupanumomendi suhteid α pl15.3 Piirkoormuse määramise meetodidPiirkoormuse F lim tekkimiseni peavad olema täidetud järgmised tingimused:∙ konstruktsioon peab olema tasakaalus∙ igas punktis peab olema täidetud tingimus M ≤ M pl

15.3 Piirkoormuse määramise meetodid 471∙ dissipatsioonienergia D peab olema positiivne D ≥ 0, millest järeldub, et rajajõudude(kontaktjõudude) töö sõlmes on negatiivne W (r) = −D ≤ 0 (vt joonis15.16)∙ kinemaatiline ahel peab olema võimalik.Siin on M pl täisplastne paindemoment plastses liigendis.Edaspidi vaatleme konstruktsioone, mille sõlmed on tasakaalus. Siis kontaktjõudude(rajajõudude) töö W (r) tasakaalus olevas sõlmes on null (vt avaldis (7.7)), kuid plastsesliigendis varraste pöörded ei ole võrdsed ja kontaktjõudude (rajajõudude) töö W (r) =−D on negatiivne. Siin on D dissipatsioon sõlmes (vt joonis (15.16). Energiateoreemi((7.6) lk 172)saame kirjutada kujulW (v) + W (r) + W (s) = 0 (15.29)W (v) − D − U = 0 (15.30)kus W (v) on välisjõudude töö, D ≥ 0 – dissipatsioonienergia ja U = Π s (vt avaldis(7.10)) on deformatsioonienergia (joonis 1.3) ehk potentsiaalenergia. Virtuaalsiireteprintsiibis lisaks välisjõudude tööle W (v) võetakse arvesse rajajõudude töö −D, deformatsioonienergiatU ei arvestata (vt [Beer04] lk 62 (3-57))). Piirkoormuse määramiselvõib kasutada staatilist või kinemaatilist (virtuaalsiirete printsiip) meetodit. PiirkoormuseF lim leidmisel võtame arvesse tingimuse (vt [MA99] lk 39 (lk 45), [Beer04] lk 69(3-64))) ):F stat ≤ F lim ≤ F kin (15.31)kus F stat on staatika meetoditega leitud piirkoormus ja F kin kinemaatilise (virtuaalsiireteprintsiip) meetodiga leitud piirkoormus.Staatika meetoditega piirkoormuse määramisel suurendatakse koormust erinevatelpõhiskeemidel. Põhiskeemidel staatikaga määramatuse astet vähendatakse ja koormustsuurendatakse kuni kinemaatilise ahela tekkimiseni. Siin määratud piirkoormus ei lähesuuremaks kui F lim ja täidetud on avaldise (15.31) esimene pool.Järkjärguline koormuse suurendamise meetodi puhul eeldame, et∙ n korda staatikaga määramatu konstruktsiooni koormused F i on antud∙ ristlõigete jäikused ja täisplastsed paindemomendid on teada M (i)pl .Selle meetodi rakendamisel on järgmised sammud:1. Suurendame koormust κ o korda (κ o F i ) nii, et ristlõikes tekib täisplastne paindemomentM (0)pl .∙ koostame n–1 korda staatikaga määramatu arvutusskeemi; täisplastsepainemomendiga M (0)pl momendiliigendis∙ leiame koormusparameetri κ o .

472 15. Arvutus piirkoormuse järgi2. n–1 korda staatikaga määramatus arvutusskeemis suurendame koormust κ 1 kordanii, et ristlõikes tekib teine täisplastne paindemoment M (0)pl .∙ koostame n–2 korda staatikaga määramatu arvutusskeemi, kahe täisplastsepaindemomendiga M (0)pl momendiliigendites∙ leiame koormusparameetri κ o + κ 1 .3. Edasine staatikaga määramatuse astme vähendamine ja koormuse suurendamine.4. Viimases koormuse suurendamises (n=0) staatikaga määratud arvutusskeemistekib ristlõikes täisplastne paindemoment M (0)pl ja moodustub kinemaatiline ahel.∙ edasine koormuse suurendamine pole enam võimalik ja on jõutud piirkoormuseniF lim∙ leiame koormusparameetri κ o + κ 1 + ... + κ n .Virtuaalsiirete printsiibiga piirkoormuse määramisel vaadeldakse erinevaid kinemaatilisiahelaid. Kuna kinemaatilised ahelad on juba oletatud, siis määratud piirkoormusei ole väiksem piirkoormusest F lim .Järgnevates näidetes vaatleme nende meetodite kasutamist.15.4 Staatikaga määratud talaStaatikaga määratud tala (joonis 15.8) saab kuni plastse liigendi tekkimiseni vaadataelastsena. Tala igas punktis peab olema täidetud tingimus M ≤ M pl . Talale on rakendatudjõud F . Kui normaalpinged saavutavad voolavuspiiri σ Y , tähistame jõu F Y -ga.000 111 L/2 L/2 00 11FM epFL/4w000 11100 11000 11100 11 elpl000 111 00 11M pl M plkinemaatiline ahelJoonis 15.8. Piirmoment lihttalasMomentM y el = F Y L4= σ Y W y el (15.32)Kui jõud F on saavutanud piirväärtuse F lim ,saameM y pl = F limL4= σ Y W y pl (15.33)Ristlõike plastse vastupanumomendi (15.27) javastupanumomendi (15.26) suheα pl = M y plM y el= F limF Y(15.34)

15.5 Jäikade tugedega tala 47315.5 Jäikade tugedega talaMõlemast otsast jäigalt kinnitatud tala muutub mehhanismiks kolme plastse liigenditekkimisel (joonis 15.9). Leiame piirolukorrale vastava koormuse kinemaatilise meetodiga.Anname talal, plastilise liigendi tekkimise kohal, virtuaalsiirde δw = L/2δφ. Talavälisjõudude virtuaaltöö ̂︁W v ja rajajõudude virtuaaltöö ̂︁W r summa on null (15.35)(virtuaalsiirete printsiibis sisejõudude virtuaaltööd ̂︁W s arvesse ei võeta). Saame:̂︁W v + ̂︁W r = 0 (15.35)F limL2 δφ − 4M plδφ = 0 (15.36)siin ̂︂W r = −4M pl δφ rajajõudude töö on miinusmärgiga (joonis (15.16) lk 481) (dissipatsioonienergiaD = −W r on alati positiivne). Avaldisest (15.36) saame piirkoormuseF lim jäikade tugedega talale (joonis 15.9(a))F lim = 8M plL= 8W y plσ YL(15.37)siin M pl = W y pl σ Y (15.24).Ühtlaselt jaotatud koormuse q lim puhul saame tala (joonis 15.9(b)) välisjõudude virtuaaltööW v ja rajajõudude virtuaaltöö W s summa1q lim2 LL 2 δφ −4M pl δφ = 0 (15.38)⏟ ⏞Δ − pindala00 1100 1100 1100 11FL/2 L/201010101.01q00000000000000000000000000000011111111111111111111111111111101010000000000000000000000000000001111111111111111111111111111110101010101L/2 L/2FL / 8 FL / 8000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 M ep000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111M pl 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111FL / 8M pl000 111 ϕ L ϕ /2 ϕ 000 111000 111000 111M2 ϕpl000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111M plM pl000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111M000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 pl ep000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111M pl.(a) Koondatud jõudqL2/ 12qL 000000111111 2/ 12000000111111000000111111 M000000111111ep0000000000000000000011111111111111111111000000M0000000000000000000011111111111111111111 qL2/ 24plM pl000 111 ϕ L ϕ /2 ϕ 00 11000 11100 11M2 ϕpl0000 1111 M pl0000011111 M plM0000 11110000000000000000000000001111111111111111111111110000011111 pl ep0000 11110000000000000000000000001111111111111111111111110000011111000000000000000000000000111111111111111111111111M pl.(b) Jaotatud koormusJoonis 15.9. Jäikade tugedega tala

474 15. Arvutus piirkoormuse järgiAvaldisest (15.38) leiame piirkoormuse q lim15.9(b))(15.39) jäikade tugedega talale (joonisq lim = 16M plL 2= 16W y plσ YL 2 (15.39)Jälgime ühtlaselt jaotatud koormuse kasvu ∆q jäikade tugedega talal (joonis 15.9(b)).Paindemomendi epüürilt näeme, et tala keskel on paindemoment poole väiksem kuitugedel. Kui tugedel tekivad plastsed liigendid M pl , siis tala keskel on moment 1/2M pl .Edasisel koormuse kasvul ∆q töötab tala kui lihttala kahel toel, mille otstes on momendidM pl . Momendi juurdekasv on ∆qL 2 /8. Tala keskel plastse liigendi tekkimisel onmomentM max = 1 2 M pl + ∆qL28Avaldisest (15.40) leiame koormuse juurdekasvu ∆q= M pl (15.40)∆q = 4M plL 2 (15.41)Tähistame tugedel plastse liigendi tekitanud koormuse q pl -ga, siis jooniselt 15.9(b)saamePiirkoormuse q lim leiame avaldisega (15.43)q lim = q pl + ∆q = 12M plL 2q pl = 12M plL 2 (15.42)+ 4M plL 2= 16M plL 2 (15.43)Leitud piirkoormus q lim (15.43) langeb ühte kinemaatilise meetodiga leituga (15.39).Tala 15.9(b) siirde arvutamisel kuni plastse liigendi tekkimiseni kasutame staatiliseltmääramatu tala siirde w arvutamise valemitw pl = q Y L 4384EI = M plL 232EI(15.44)Pärast plastsete liigendite tekkimist tugedel arvutame siirde juurdekasvu ∆w kui lihttalasiiret valemiga∆w pl = 5∆qL4384EI = 5q plL 43 * 384EI = 5M plL 296EI(15.45)Piirkoormusega q lim saame tala siirdeks w limw lim = w pl + ∆w pl = M plL 232EI + 5M plL 296EI= M plL 212EI(15.46)

15.5 Jäikade tugedega tala 475qq limq plq Y2000 111 011000 111 01000 111 01plastne liigend keskel000 111 01plastsed liigendid tugedel00 11 0100 11 01q plq limtan γ = , w = −γj w limγ w pltan γw j w pl w limwJoonis 15.10. Piirkoormuse q ja siirde w diagrammJoonisel 15.10 on toodud jäikade tugedega tala piirkoormuse q ja tala keskpunkti siirdew diagramm. Piirkoormuse väärtused diagrammis q pl , q lim on toodud avaldistes (15.42),(15.43) ja vastavad siirde väärtused w pl , w lim avaldistes (15.44), (15.46). Joonisel 15.10on näidatud suurus q Y . Selle väärtuse saame, kui leiame tugedel välimistes kiududesvoolavuspiiri tekitava koormuse, mis on α pl (15.28) korda väiksem w pl -stq Y = q plα pl= 12M plα pl L 2 (15.47)Vahemik q Y –q pl on ristlõike tugevusvaru ja vahemik q pl –q lim süsteemi tugevusvaru.Piirkoormuse lossimisel (joonis 15.10) leiame jääkdeformatsiooni w j avaldisega(15.48)w j = w lim − q limtan γ = M plL 212EI − M plL 224EI = M plL 224EIsiin tan γ avaldises q pl saame avaldisest (15.42) ja w pl avaldisest (15.44)(15.48)tan γ = q plw pl=12M plL 2M pl L 232EIning suhtes (15.50) q lim saame avaldisest (15.43)= 384EIL 4 (15.49)q limtan γ = 16M pl L 4L 2 384EI = M plL 224EI(15.50)Tala vasakul toel, elastse olukorra järgi arvutades, on moment qL 2 /12 ja tala keskelqL 2 /24 (joonis 15.9(b)). Tala koormuse lossimisel (joonis 15.10) ∆q = −q lim muutubmoment tala toel ja keskel (15.51).∆M vasakul toel = −q limL 212∆M keskel = −q limL 224= − 16M pl L 2L 2 12 = −4M pl3= − 16M pl L 2L 2 24 = −2M pl3(15.51)(15.52)

476 15. Arvutus piirkoormuse järgiTalas toel ja keskel oleva momendi saame, kui lähtume seal olnud momendist M pl .M vasakul toel = M pl + ∆M vasakul toel = M pl − 4M pl3M keskel = M pl + ∆M keskel = M pl − 2M pl3= − 1 3 M pl (15.53)= 1 3 M pl (15.54)Leitud momendid vastavad teisele märgikokkuleppele. Saadud tulemuste põhjal koostamejääkmomendi epüüri.0101010101010101M ep0000000000000000000000000000001111111111111111111111111111110000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111/3M 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111pl1/3M 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 plJoonis 15.11. Jääkmoment15.6 Jäiga ja liigendtoega talaVaatleme konstantse ristlõikega tala, mille ühes otsas on liigendtugi ja teises otsas jäikkinnitus (joonis 15.12(a)). Tala on koormatud koondatud jõuga F . Piirkoormusel F limmuutub tala mehhanismiks. Talas tekib kaks plastset liigendit, milles on rakendatudplastne moment M pl = W pl σ Y (15.24).Piirkoormuse F lim leiame kinemaatilise meetodiga. Anname jõu F rakenduspunktis isiirde δw i , mille lihtsuse mõttes oleme joonisel võtnud üheks. Plastse liigendi tekkimiselon punktis i võimalik murdumise nurk δφ i = (︁ 1+ )︁ 1 δwi (joonis 15.12(a)). Toel ka bsaame võimalikuks murdumise nurgaks δφ k = 1δw b i. Välisjõudude ja kontaktjõudude(rajajõudude) virtuaaltööks (kontaktjõudude töö on miinusmärgiga, joonis (15.16) lk481) saame2a + bF lim δw i − M pl δφ i − M pl δφ k = M pl δw i (15.55)abSiit saame piirkoormuseks F lim (15.56)F lim = M pl2a + bab(15.56)Joonisel 15.12(b) on sama tala koormatud ühtlaselt jaotatud koormusega q. Piirkoormuseq lim leiame kinemaatilise meetodiga. Siin ei ole teada tala avas tekkiva plastseliigendi asukoht. Tähistame selle asukoha kauguse vasakust toest x-ga. Välisjõududeja kontaktjõudude (rajajõudude) virtuaaltööks (kontaktjõudude töö on miinusmärgiga,

15.6 Jäiga ja liigendtoega tala 477M pl.F00 1100 1100 11 ikab 001100 1111Lξ = a/L1/2FL 0000000011111111 ξ(1−ξ2)0000000011111111 M ep0000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111FL / 8M pl10000 1111M ϕ = 1/b 00 11kplϕi= 1/a +1/bM000000000000111111111111 pl00000000000000000000011111111111111111111101000000000000111111111111 M00000000000000000000011111111111111111111101pl ep00000000000000000000011111111111111111111101M pl..(a) Koondatud jõud.q00000000000000000000000000000011111111111111111111111111111101ik 01000 111 xL − x 01LqL2/ 800000000111111110000000011111111 M ep0000000000000000000000011111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111M pl1M pl000 111M ϕ 00 11plk= 1/(L−x)ϕi= 1/x +1/(L−x)M pl0000000111111100000000000000000000000011111111111111111111111100000001111111M pl ep000000000000000000000000111111111111111111111111M pl.(b) Jaotatud koormusJoonis 15.12. Jäiga ja liigendtoega talajoonis (15.16) lk 481) saameq limq limPiirkoormuseks q lim saameL2 δw i⏟ ⏞Δ − pindalaL2 δw i⏟ ⏞Δ − pindalaq lim = 2M plL− M pl δφ i − M pl δφ k = 0(︂ 2= M plL − x + 1 )︂δw i (15.57)x(︂ 2L − x + 1 )︂xPlastse liigendi asukoha leiame tingimusest, et q lim oleks minimaalneAvaldisest (15.59) saame liigendi asukoha(15.58)(︂d 2dx L − x + 1 )︂= 0 (15.59)xx = L (︁ √2 − 1)︁Asetame leitud x väärtuse piirkoormuse q lim avaldisse (15.58):q lim = 2M pl 1L 2 3 √ 2 − 4 = 8.2426M plL 2(15.60)= 8.2426W plL 2 σ Y (15.61)Piirkoormusele vastav paindemomendi epüür M pl ep on toodud joonisel 15.12(b).

478 15. Arvutus piirkoormuse järgi15.7 Jätkuvtala piirkoormusKui jätkuvtalale mõjub sildes ühesuunaline koormus ja tala ristlõiked on ühesugused,siis võib piirkoormuse määramisel vaadelda iga sillet eraldi.a)00 1100 11L/2= F F1i00 11d00 11jF2 = kFL/2L/2L/2000000 111111 e00 11b)c)00 1100 1100 1100 11M pl M plϕ = 2/L00 11d00 11100 1100 1100 11M pl M pl ϕ = 4/L00 11iϕ i= 4/LM pl M plM pl100 111ϕ = 2/L00110000 11M pl M 11epld)M pl M pl ϕ i = 4/L00 11100 11M pl M ϕ = 2/L ϕ = 2/L 00 1100 11 pl d e00 11M0011 plJoonis 15.13. Jätkuvtala piirkoormusLeiame kahesildelisele talale (joonis 15.13) piirkoormuse F lim . Tala on koormatudesimese ava keskel koondatud jõuga F 1 = F ja teise ava keskel koondatud jõuga F 2 =kF . Piirkoormuse F lim leiame kinemaatilise meetodiga. Plastsete liigendite tekkimisekson võimalik kolm olukorda, mis on näidatud joonisel 15.13 b), c) ja d). Piirkoormusekson nendest väikseim koormus.Purunemispildil 15.13 b) anname esimese ava keskel punktis i siirde δw i . Siis plastseliigendi tekkimisel on punktis i võimalik murdumise nurk δφ i = 4 L δw i ja toel d δφ d =2L δw i. Välisjõudude ja kontaktjõudude (rajajõudude) virtuaaltööks (kontaktjõudude tööon miinusmärgiga, joonis (15.16) lk 481) saameF lim 1 δw i − M pl(︂ 4L + 2 L)︂δw i = 0 (15.62)Siit leiame esimesele purunemispildile vastava piirkoormuse F lim 1F lim 1 = 6M plL(15.63)Teise purunemispildi puhul (joonis 15.13 c)) on võimalik murdumise nurk punktis i,j δφ i = 4 L δw i, δφ j = 4 L δw i ja toel e δφ e = 2 L δw i. Välisjõudude ja kontaktjõudude(rajajõudude) virtuaaltööks (kontaktjõudude töö on miinusmärgiga, joonis (15.16) lk481) saame(1 + k) F lim 2 δw i − M pl(︂ 4L + 4 L + 2 L)︂δw i = 0 (15.64)

15.8 Raami piirkoormus 479Leiame teisele purunemispildile vastava piirkoormuse F lim 2F lim 2 =10M pl(1 + k) L(15.65)Kolmanda purunemispildi puhul (joonis 15.13 d)) on võimalik murdumise nurk tugedeld, e δφ d = 2 L δw j, δφ e = 2 L δw j ja punktis j δφ j = 4 L δw j. Välisjõudude ja kontaktjõudude(rajajõudude) virtuaaltööks (kontaktjõudude töö on miinusmärgiga, joonis (15.16) lk481) saamekF lim 3 δw j − M pl(︂ 2L + 4 L + 2 L)︂δw j = 0 (15.66)Siit leiame teisele purunemispildile vastava piirkoormuse F lim 3F lim 3 = 8M plkLLeitud kolme piirkoormuse väärtus sõltub parameetrist k:(15.67)∙ kui k < 2 3 annab väikseima piirkoormuse F lim 1 (15.63),∙ kui 2 3 < k < 4 annab väikseima piirkoormuse F lim 2 (15.65),∙ kui k > 4 annab väikseima piirkoormuse F lim 3 (15.67).15.8 Raami piirkoormusRaamide arvutus piirolukorra järgi on tülikas, kuna ei ole teada, kus tekivad plastsedliigendid. Plastsete liigendite asukoht võib olla erinev, kui ei võeta arvesse pikideformatsioone(normaaljõudu) (vt näidet õpikus [Beer04] lk 77–81). Järgnev näide 15.3 onlehekülgedel lk 479–494.15.8.1 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 15.3Näide 15.3 Leida joonisel 15.14 näidatud raamile piirkoormus. Raami kõrgus h = 4 m jaava l = 8 m. Raami riivile keskele on rakendatud jõud F 1 = 1.0κ kN ( siin κ on parameeter,mille muutmisega saavutatakse täisplastne paindemoment). Raami sõlme 2 on rakendatudhorisontaalne jõud F 2 = 0.5κ kN.Raami posti ristlõike paindejäikus on EI p = 2·10 4 kN·m 2 ja raami riivi ristlõike paindejäikusEI r = 3.0EI p , posti ristlõike pikijäikus EA p = 4.6·10 6 kN, EA r = 8.8·10 6 kN, posti ristlõikelõikejäikus GA rp = 0.4EA p , GA rr = 0.4EA r .Arvutame järkjärgulise koormuse suurendamise meetodiga 3 (vt lõik lk 471). Erinevatestaatikaga määäramatute ülesannete lahendamiseks kasutame EST-meetodit. Joonisel 15.153 http://www.statik.tu-berlin.de/fileadmin/a363112/Lehre/Statik3_Dipl/Vorlesung/ST3-8.pdf

480 15. Arvutus piirkoormuse järgiF 2= 0.5 κ kNF 1= 1.0 κ kNκ− koormusparameeter.4 m2EI rPunktis 3:EI pEI pM pl = 30.00 kNmEI = 3.0Punktides 1, 2, 4, 5:EI p = 15.00 kNm1000 11134 m 4 m4500 11M plJoonis 15.14. Kahe avaga raamon toodud raami siirete, kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdus. Arvutusskeemi lisameplastseid liigendeid kasutades kontaktjõude (rajajõude). Plastsetes liigendites ei oletata pöördenurgapidevust. Kontaktjõud lisame kõrvaltingimuste kaudu. EST-meetodis peame jälgimakontaktjõudude (rajajõudude) tööd W (r) plastses liigendis. Näitame, et rajajõudude töö plastsesliigendis on W (r) ≤ 0 (joonis 15.16). Plastses liigendis erinevad plastsete momentide M plsuunad kontaktjõudude M pl suundadest (vt joonis 15.16). Plastses liigendis on plastse momendiMpls˜olmes töö:M s˜olmesplΔφ = M s˜olmespl(︁ (︁signM (p)pl)︁(︁φ p + signM (v)plsiin D on dissipatsioonienergia, Mpl s˜olmes ⃒= ⃒M (p)(︁⃒pl ⃒, Δφ = sign M (p) )︁plφ p ja φ v – varda otsa pöörded vastavalt sõlmest paremal ja vasakul.)︁ )︁φ v = D ≥ 0 (15.68)(︁φ p + signM (v)pl)︁φ v ,−14RaamESTsn3−12−10−8−6Siirete, kontaktjõudude ja toereaktsioonide nummerdusu w fi N Q M varraste algusesu w fi N Q M varraste lõpus7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 619 20 21 22 23 2413 14 15 16 17 1831 32 33 34 35 3625 26 27 28 29 3043 44 45 46 47 4837 38 39 40 41 42Toereaktsioonid: 49 50 51 52 53 54−4zx22 3z x 3z x 4−21z xz x402u7= 0w8= 0ϕ 9= 015u37= 0w38= 0ϕ 39= 0−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14Joonis 15.15. Raami siirete ja kontaktjõudude numbrid

15.8 Raami piirkoormus 481pM pl ∆ϕ >= 0 M pl ∆ϕ

482 15. Arvutus piirkoormuse järgin = 2F 1= 1.0 kNκ κF 2= 0.5 kN 0.19670000 11110000 1111 00000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 1111 00000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 1111 00000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 1111 00000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11112.0984000 1110000 1111000 1110000 1111000 1110000 11110.8525 000 1110000 11111= 15.0− 12.2727 000 1110000 1111000 1110000 1111 = 3.1993000 11110.95080001110.8525(a) M epüür (F 1 = 1 kN, F 2 = 0.5 kN)00 110000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111κ = κ0+ κ1F 1= 1.0 κ kN0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111 15.000F 2= 0.5 κ kN00000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111.15370000 111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 11110000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111κ = 17.8840000 11110000 1111000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111127.69116.9228 00 1115.00000111(b) M epüür (F 1 = 17.884 kN, F 2 = 8.9422 kN)000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111Joonis 15.18. Paindemomentide epüürid staatikaga määramatus raamis (n = 2)Siirded ja sisejõud määrame EST-meetodiga – programm spRaamESTsn3.m lk 739. Siireteja sisejõudude väärtused (esimene märgikokkulepe, 2. koormusvariant) on esitatud arvutuspäevikus15.2 (lk 486). Koostame arvutustulemuse põhjal paindemomendi epüüri (joonis15.17(b)). Epüürilt (joonis 15.17(b)) näeme, et järgmine plastne liigend tekib sõlme 5(M (n=3)5 = 12.2727 kN). Sõlmes 3 on küll kõige suurem paindemoment, kuid riivis plastsesliigendis on moment M (riiv)pl= 30.0 kN·m.Koostame kahekordselt staatikaga määramatu (n = 2) arvutusskeemi (joonis 15.18(a)),kus sõlmes 3 on liigend ja sõlme 3 on rakendatud jõud F 1 = 1.0 kN ja sõlme 2 jõud F 2 = 0.5 kN.Siirded ja sisejõud määrame EST-meetodiga – programm spRaamESTsn2.m lk 740. Siireteja sisejõudude väärtused (esimene märgikokkulepe, 1. koormusvariant) on esitatud arvutuspäevikus15.3 (lk 488). Koostame arvutustulemuse põhjal paindemomendi epüüri (joonis15.18(a)). Raami postis sõlmes 5 tekib plastne liigend, kui moment saavutab väärtuseM (post)pl= 15.0 kN·m. Raami posti sõlmes 5 tuleb momenti suurendada ΔM 5 = M pl − M (n=3)5võrra.Arvutusskeemil (joonis 15.18(a)) sõlmes 5 olevat momenti (M (¨uhik)5 = 0.8525 kN) suurendameκ 1 korda, et saavutada ΔM 5M (¨uhik)15.0 − 12.27275 κ 1 = ΔM 5 , 0.8525κ 1 = 15.0 − 12.2727, κ 1 = = 3.1993 (15.72)0.8525Suurendame jõude F 1 ja F 2 κ = κ 0 + κ 1 kordaSiis saameκ = κ 0 + κ 1 = 14.685 + 3.199 = 17.884 (15.73)F 1 = 1.0κ = 1.0 · 17.884 = 17.884 kN, F 2 = 0.5κ = 0.5 · 17.884 = 8.9422 kN (15.74)Rakendame need jõud raami arvutusskeemile (joonis 15.18(b)) ja kõrvaltingimustega annamesõlme 4 momendiliigendis momendi väärtuseks M pl . Siirded ja sisejõud määrame ESTmeetodiga– programm spRaamESTsn2.m lk 740. Siirete ja sisejõudude väärtused (esimenemärgikokkulepe, 2. koormusvariant) on esitatud arvutuspäevikus 15.3 (lk 488). Koostamearvutustulemuse põhjal paindemomendi epüüri (joonis 15.18(b)). Sellelt epüürilt on näha,et koormuse suurendamisel järgmine momendiliigend tekib sõlme 3, milles on paindemoment(M (n=2)3 = 27.6917 kN).

15.8 Raami piirkoormus 483n = 1= 1.0 kNF 2= 0.5 kN0000 11110.54550000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11110000 11112.27270000 111100000000 11112.2727κ0000 1111 2= 15.0 − 27.69110000 11110000 1111 00 11 κ2= 1.01591.4545 00 11(a) M epüür (F 1 = 1 kN, F 2 = 0.5 kN)F 10000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111000 111000 111κ0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111= + κ1 + κ F2 1= 1.0 κ kN0000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111 15.00F 2= 0.5 κ kN 00000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110.6004111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 1111111111111111111111111111111111110000 1111111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 1111111111111111111111111111111111110000 1111111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 1111111111111111111111111111111111110000 1111111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 11110000 111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000 1111 κ = 18.90000 118.3988 000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111130.00 15.00001100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111000000011111110000000111111100000001111111(b) M epüür (F 1 = 18.899 kN, F 2 = 9.4496 kN)Joonis 15.19. Paindemomentide epüürid staatikaga määramatus raamis (n = 1)Koostame ühekordselt staatikaga määramatu (n = 1) arvutusskeemi (joonis 15.19(a)),kus sõlmedes 4 ja 5 on liigendid, sõlme 3 on rakendatud jõud F 1 = 1.0 kN ja sõlme 2 jõudF 2 = 0.5 kN. Siirded ja sisejõud määrame EST-meetodiga – programm spRaamESTsn1.mlk 740. Siirete ja sisejõudude väärtused (esimene märgikokkulepe, 1. koormusvariant) on esitatudarvutuspäevikus 15.4 (lk 490). Koostame arvutustulemuse põhjal paindemomendi epüüri(joonis 15.19(a)). Raami riivi sõlmes 3 tekib plastne liigend, kui moment saavutab väärtuseM (riiv)pl= 30.0 kN·m. Raami riivi sõlmes 3 tuleb momenti suurendada ΔM 3 = M pl − M (n=2)3võrra.Arvutusskeemil (joonis 15.19(a)) sõlmes 3 olevat momenti (M (¨uhik)3 = 2.2727 kN) suurendameκ 2 korda, et saavutada ΔM 3M (¨uhik)30.0 − 27.69113 κ 1 = ΔM 5 , 2.2727κ 2 = 30.0 − 27.6911, κ 2 = = 1.0159 (15.75)2.2727Suurendame jõude F 1 ja F 2 κ = κ 0 + κ 1 + κ 2 kordaSiis saameκ = κ 0 + κ 1 + κ 2 = 14.685 + 3.199 + 1.0159 = 18.900 (15.76)F 1 = 1.0κ = 1.0 · 18.900 = 18.900 kN, F 2 = 0.5 · 18.900 = 9.450 kN (15.77)Rakendame need jõud raami arvutusskeemile (joonis 15.19(b)) ja kõrvaltingimustega annamesõlme 4 ja 5 momendiliigendites momendi väärtuseks M pl . Siirded ja sisejõud määrame ESTmeetodiga– programm spRaamESTsn1.m lk 740. Siirete ja sisejõudude väärtused (esimenemärgikokkulepe, 2. koormusvariant) on esitatud arvutuspäevikus 15.2 (lk 486). Koostamearvutustulemuse põhjal paindemomendi epüüri (joonis 15.19(b)). Sellelt epüürilt on näha,et koormuse suurendamisel järgmine momendiliigend tekib sõlme 1, milles on paindemoment(M (n=1)1 = 8.3988 kN).Koostame staatikaga määratud (n = 0) arvutusskeemi (joonis 15.20(a)), kus sõlmedes 4, 5ja 3 on liigendid ja sõlme 3 on rakendatud jõud F 1 = 1.0 kN ja sõlme 2 jõud F 2 = 0.5 kN. Siirdedja sisejõud määrame EST-meetodiga – programm spRaamESTsn0.m lk 740. Siirete ja sisejõududeväärtused (esimene märgikokkulepe, 1. koormusvariant) on esitatud arvutuspäevikus15.5 (lk 492). Koostame arvutustulemuse põhjal paindemomendi epüüri (joonis 15.20(a)).Raami posti sõlmes 1 tekib plastne liigend, kui moment saavutab väärtuse M (post)pl= 15.0 kN·mja raam muutub kinemaatiliseks ahelaks. Raami posti sõlmes 1 tuleks momenti suurendadaΔM 1 = M pl − M (n=1)1 võrra. Arvutusskeemil (joonis 15.20(a)) sõlmes 1 olevat momenti

484 15. Arvutus piirkoormuse järgin = 0F 1= 1.0 kN4.00F 2= 0.5 kN00000000000000001111111111111111000 11111100000000000000001111111111111111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111000 111 6.00 κ = 15.0 − 8.3988000 111 3000 111000 111 00 11 κ3= 1.100200 116.00 00 1100 11(a) M epüür (F 1 = 1 kN, F 2 = 0.5 kN)κ = 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111κ0+ κ1 + κ2 + κ300000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111F 1= 1.0 κ kN0000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110.0015.00F 2= 0.5 κ kN11111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111κ = 20.0015.00000111 0000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111130.00 15.00 00 11000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111000000001111111100000000111111110000000011111111(b) M epüür (F 1 = 20.00 kN, F 2 = 10.00 kN)Joonis 15.20. Paindemomentide epüürid staatikaga määratus raamis (n = 0)(M (¨uhik)1 = 6.000 kN) suurendame κ 3 korda, et saavutada ΔM 1M (¨uhik)15.0 − 8.39881 κ 3 = ΔM 1 , 6.000κ 3 = 15.0 − 8.3988, κ 3 = = 1.1002 (15.78)6.000Suurendame jõude F 1 ja F 2 κ = κ 0 + κ 1 + κ 2 + κ 3 kordaSiis saameκ = κ 0 + κ 1 + κ 2 + κ 3 = 14.685 + 3.199 + 1.0159 + 1.1002 = 20.000 (15.79)F 1 = 1.0κ = 1.0 · 20.00 = 20.00 kN, F 2 = 0.5 · 20.00 = 10.00 kN (15.80)Rakendame need jõud raami arvutusskeemile (joonis 15.20(b)) ja kõrvaltingimustega annamesõlme 4, 5 ja 3 momendiliigendites momendi väärtuseks M pl . Siirded ja sisejõud määrameEST-meetodiga – programm spRaamESTsn0.m lk 740. Siirete ja sisejõudude väärtused (esimenemärgikokkulepe, 2. koormusvariant) on esitatud arvutuspäevikus 15.2 (lk 486). Koostamearvutustulemuse põhjal paindemomendi epüüri (joonis 15.20(b)). Sellelt epüürilt on näha, etselle koormuse puhul tekib sõlme 1 plastne momendiliigend ja raam muutub kinemaatiliseksahelaks.Oleme leidnud piirkoormuse F 1 ≤ F lim = 20.00 kN.Kontrollime plastsetes liigendites dissipatsioonienergiat (D ≥ 0), mis peab olema positiivne.Selle kontrollimiseks arvutame varraste kontaktjõudude (rajajõudude) töö W (r) plastsesliigendis teise märgikokkuleppe puhul. See töö on negatiivne (vt avaldis (15.69) ja joonis 15.16lk 481)W (r) = M p(pl.liigend) φ p + M v (pl.liigend) φ v = −D ≤ 0 (15.81)siin M p(pl.liigend) ja M v(pl.liigend) on kontaktmomendid plastses liigendis ning φ p , φ v pöördenurgadvastavalt paremal ja vasakul. Need pöördenurgad plastses liigendis ei ole võrdsed, deformatsioonipidevust ei ole. Arvutuse tulemused on arvutuspäevikus 15.1. Siit näeme, etstaatiliselt määratud arvutusskeemi (n=0) sõlmedes 3, 4 ja 5 on vastavad kontaktjõududetööd: W (r)3 = −1.1667 · 10 −03 · 30.0000 + 1.2778 · 10 −03 · (−30.0000) = −0.073335 < 0W (r)4 = 1.7778 · 10 −03 · (−15.0000) + (︀ −6.6667 · 10 −04)︀ · 15.0000 = −0.036667 < 0W (r)5 = −6.6667 · 10 −04 · 15.0000 = −0.010000 < 0

15.8 Raami piirkoormus 48525Raami siire w ja jõud F sõlmes 3F [kN]201510ACBDF lim500 2 4 6 8 10w [mm]Joonis 15.21. Raami 3. sõlme siirde w ja jõu F diagrammKoostame raami 3. sõlme siirde w ja jõu F diagrammi. Vastavad siirded ja jõud saamearvutuspäevikutest 15.2, 15.3, 15.4 ja 15.5. Need suurused kanname joonisele 15.21. Esimeseplastse liigendi tekkimine on tähistatud tähega A. Järgmiste liigendite tekkimised on märgitudtähtedega B ja C. Piirkoormuseni jõudmine on märgitud tähega D.Arvutuspäevik 15.1 (Plastses liigendis dissipatsiooni arvutus )octave-3.2.4:2> diary onoctave-3.2.4:3> WplRaam=================================Kontaktj~oudude (rajaj~oudude) töö: WrArvutusteks kasutame EST-meetoditArvutame varda alguses ja l~opus olevate rajaj~oudude (kontaktj~oudude) tööTöö arvutamisel kasutame II-märgikokkulepet.I-märgikokkuleppe ja II-märgikokkuleppe puhul on varda algulsisej~oudude märgid vastupidised--------------------n = 2S~olmes 4 on k~orvaltingimustega lisatud moment M=15 kN3. l~opp ja 4. algusWr=4.9996e-04*(-15.0000)+3.0164e-08*15.0000Wr = -0.0074989--------------------n = 1S~olme 4 on k~orvaltingimustega lisatud moment M=15 kNS~olme 5 on k~orvaltingimustega lisatud moment M=15 kN3. l~opp ja 4. algusWr=5.7992e-04*(-15.0000)+(-7.9932e-05)*15.0000Wkontakt = -0.00989784. l~oppWr=-7.9932e-05*15.0000Wr = -0.0011990--------------------n = 0Wr

486 15. Arvutus piirkoormuse järgiS~olme 3 on k~orvaltingimustega lisatud moment M=30 kN2. l~opp ja 3. algusWr=-1.1667e-03*30.0000+1.2778e-03*(-30.0000)Wr = -0.073335S~olme 4 on k~orvaltingimustega lisatud moment M=15 kN3. l~opp ja 4. algusWr= 1.7778e-03*(-15.0000)+(-6.6667e-04)*15.0000Wr = -0.036667S~olme 5 on k~orvaltingimustega lisatud moment M=15 kN4. l~oppWr=-6.6667e-04*15.0000Wr = -0.010000--------------------Rajaj~oudude töö on k~oigil vaadeldud juhtudel negatiivneEnergiateoreem: Wv + Wr + Ws = 0Kui välisj~oudude töö Wv >= 0siis sel juhul Wr < 0Dissipatsioonienergia D >= 0Selles näites Wr = - D--------------------octave-3.2.4:4> diary offArvutuspäevik 15.2 (Programm spRaamESTsn3.m lk 739)octave-3.0.1:1> diary spRaamESTsn3.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spRaamESTsn3Koormusvariant 1.============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - -0.2643 -0.2286 -0.1929 -0.1571 -0.1214----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - -0.1214 0.2661 0.6536 1.0411 1.4286----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 1.4286 0.8161 0.2036 -0.4089 -1.0214----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - -1.0214 -0.5571 -0.0929 0.3714 0.8357----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 kohal x = 4.0000000moment M - -1.02143Koormusvariant 1. Staatiline kontrolltoereaktsioonid=[X(49) X(50) X(51) X(52) X(53) X(54)]toereaktsioonid =-0.035714 -0.387500 0.264286 -0.464286 -0.612500 0.835714sumZ=F3s+X(50)+X(53)sumZ = 1.1102e-16sumX=F2s+X(49)+X(52)sumX = 0Momentide summa s~olme 1 suhtes:

15.8 Raami piirkoormus 487sumM1=X(51)+ X(54)-h*F2s-l1*F3s-(l1+l2)*X(53)sumM1 = -8.8818e-16Momentide summa s~olme 5 suhtes:sumM5=X(51)+ X(54)-h*F2s+l1*F3s+(l1+l2)*X(50)sumM5 = 0Koormusvariant 1. Koormuse suurendamine DeltaF1 ja DeltaF2 v~orra,et s~olme 4 tekiks plastne liigend Mp=15.0 kNm==============Fkordaja0=15/X(48,1)Fkordaja0 = 14.685--------------DeltaF1=Fkordaja0*F3sDeltaF1 = 14.685DeltaF2=Fkordaja0*F2sDeltaF2 = 7.3427====================Koormusvariant 2.============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksnormaalj~oud N - -5.6904 -5.6904 -5.6904 -5.6904 -5.6904p~oikj~oud Q - 0.5246 0.5246 0.5246 0.5246 0.5246moment M - -3.8813 -3.3567 -2.8321 -2.3076 -1.7830----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakssiire w - 4.9482e-15 5.6548e-04 1.0658e-03 1.4062e-03 1.4918e-03normaalj~oud N - -6.8181 -6.8181 -6.8181 -6.8181 -6.8181p~oikj~oud Q - 5.6904 5.6904 5.6904 5.6904 5.6904moment M - -1.7830 3.9074 9.5978 15.2882 20.9786----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakssiire w - 4.9482e-15 5.6548e-04 1.0658e-03 1.4062e-03 1.4918e-03normaalj~oud N - -6.8181 -6.8181 -6.8181 -6.8181 -6.8181p~oikj~oud Q - -8.9946 -8.9946 -8.9946 -8.9946 -8.9946moment M - 20.9786 11.9840 2.9894 -6.0053 -14.9999----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksnormaalj~oud N - -8.9946 -8.9946 -8.9946 -8.9946 -8.9946p~oikj~oud Q - 6.8181 6.8181 6.8181 6.8181 6.8181moment M - -14.9999 -8.1817 -1.3636 5.4545 12.2727----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 kohal x = 4.0000000normaalj~oud N - -6.81814p~oikj~oud Q - -8.99461moment M - -14.99986Koormusvariant 2. Staatiline kontrolltoereaktsioonid=[X(49) X(50) X(51) X(52) X(53) X(54)]toereaktsioonid =-0.52456 -5.69039 3.88126 -6.81814 -8.99461 12.27268sumZ=F3sv2+X(50)+X(53)sumZ = 0

488 15. Arvutus piirkoormuse järgisumX=F2sv2+X(49)+X(52)sumX = 0Momentide summa s~olme 1 suhtes:sumM1=X(51)+ X(54)-h*F2sv2-l1*F3sv2-(l1+l2)*X(53)sumM1 = 0Momentide summa s~olme 5 suhtes:sumM5=X(51)+ X(54)-h*F2sv2+l1*F3sv2+(l1+l2)*X(50)sumM5 = 7.1054e-15Koormusvariant 2. Koormuse suurendamisega DeltaF1 ja DeltaF2 v~orra on nüüds~olmes 4 moment X(48,1), s~olmes 3 moment X(18,1) ja s~olmes 5 moment X(42,1)M48 = X(48,1)M48 = 15.000 % s~olme 4 tekib plastne liigend Mpl = 15.0 kNmM18 = X(18,1)M18 = 20.979M42 = X(42,1)M42 = 12.273Edaspidi näitame, et järgmine plastne liigend tekib s~olme 5octave-3.0.1:4> diary offArvutuspäevik 15.3 (Programm spRaamESTsn2.m lk 740)octave-3.0.1:1> diary spRaamESTsn2.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spRaamESTsn2Koormusvariant 1.============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - -0.9508 -0.6639 -0.3770 -0.0902 0.1967----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 0.1967 0.6721 1.1475 1.6230 2.0984----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 2.0984 1.5738 1.0492 0.5246 0.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 0.0000 0.2131 0.4262 0.6393 0.8525----------------------------------------------------------------------------Koormusvariant 1. Staatiline kontrollKoormusvariant 1. Staatiline kontrolltoereaktsioonid=[X(49) X(50) X(51) X(52) X(53) X(54)]toereaktsioonid =-0.28689 -0.47541 0.95082 -0.21311 -0.52459 0.85246sumZ=F3s+X(50)+X(53)sumZ = 0sumX=F2s+X(49)+X(52)sumX = 0Momentide summa s~olme 1 suhtes:sumM1=X(51)+ X(54)-h*F2s-l1*F3s-(l1+l2)*X(53)sumM1 = 0Momentide summa s~olme 5 suhtes:

15.8 Raami piirkoormus 489sumM5=X(51)+ X(54)-h*F2s+l1*F3s+(l1+l2)*X(50)sumM5 = 0Koormusvariant 1. Koormuse suurendamine DeltaF1 ja DeltaF2 v~orraet s~olme 5 tekiks plastne liigend Mp=15.0 kNm==============Fkordaja0=14.685 eelmisest skeemistFkordaja0 = 14.685Fkordaja1=(15.0-12.2727)/X(42,1)Fkordaja1 = 3.1993--------------DeltaF1=(Fkordaja0+Fkordaja1)*F3sDeltaF1 = 17.884DeltaF2=(Fkordaja0F+kordaja1)*F2sDeltaF2 = 8.9422==============Koormusvariant 2.============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakspööre fi - 0.0000e+00 -3.1008e-04 -5.4806e-04 -7.1391e-04 -8.0766e-04normaalj~oud N - -7.2112 -7.2112 -7.2112 -7.2112 -7.2112p~oikj~oud Q - 1.4423 1.4423 1.4423 1.4423 1.4423moment M - -6.9228 -5.4806 -4.0383 -2.5960 -1.1537----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakssiire w - 6.2706e-15 7.9724e-04 1.4935e-03 1.9687e-03 2.1025e-03pööre fi - -8.0766e-04 -7.6679e-04 -6.0574e-04 -3.2450e-04 7.6924e-05normaalj~oud N - -7.4999 -7.4999 -7.4999 -7.4999 -7.4999p~oikj~oud Q - 7.2112 7.2112 7.2112 7.2112 7.2112moment M - -1.1537 6.0575 13.2687 20.4799 27.6911----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakssiire w - 2.1025e-03 1.8244e-03 1.2628e-03 5.9531e-04 9.2800e-15pööre fi - 7.6924e-05 4.4950e-04 6.4420e-04 6.6102e-04 4.9996e-04normaalj~oud N - -7.4999 -7.4999 -7.4999 -7.4999 -7.4999p~oikj~oud Q - -10.6728 -10.6728 -10.6728 -10.6728 -10.6728moment M - 27.6911 17.0184 6.3456 -4.3272 -15.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakspööre fi - 3.0164e-08 -5.6247e-04 -7.4998e-04 -5.6249e-04 -1.0376e-19normaalj~oud N - -10.6728 -10.6728 -10.6728 -10.6728 -10.6728p~oikj~oud Q - 7.4999 7.4999 7.4999 7.4999 7.4999moment M - -15.0000 -7.5001 -0.0002 7.4998 14.9997----------------------------------------------------------------------------Koormusvariant 2. Staatiline kontrolltoereaktsioonid=[X(49) X(50) X(51) X(52) X(53) X(54)]toereaktsioonid =-1.4423 -7.2112 6.9228 -7.4999 -10.6728 14.9997sumZ=F3sv2+X(50)+X(53)sumZ = 1.7764e-15sumX=F2sv2+X(49)+X(52)

490 15. Arvutus piirkoormuse järgisumX = -8.8818e-16Momentide summa s~olme 1 suhtes:sumM1=X(51)+ X(54)-h*F2sv2-l1*F3sv2-(l1+l2)*X(53)sumM1 = 0Momentide summa s~olme 5 suhtes:sumM5=X(51)+ X(54)-h*F2sv2+l1*F3sv2+(l1+l2)*X(50)sumM5 = 7.1054e-15Koormusvariant 2. Koormuse suurendamisega DeltaF1 ja DeltaF2 v~orra on nüüds~olmes 5 moment X(42,1) ja s~olmes 3 moment X(18,1)M42 = X(42,1)M42 = 15.000 % s~olme 5 tekib plastne liigend Mpl = 15.0 kNmM18 = X(18,1)M18 = 27.691Edaspidi näitame, et järgmine plastne liigend tekib s~olme 3octave-3.0.1:4> diary offArvutuspäevik 15.4 (Programm spRaamESTsn1.m lk 740)octave-3.0.1:1> diary spRaamESTsn1.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spRaamESTsn1Koormusvariant 1.============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - -1.4545 -0.9545 -0.4545 0.0455 0.5455----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 0.5455 0.9773 1.4091 1.8409 2.2727----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 2.2727 1.7045 1.1364 0.5682 0.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000----------------------------------------------------------------------------Koormusvariant 1. Staatiline kontrolltoereaktsioonid=[X(49) X(50) X(51) X(52) X(53)]toereaktsioonid =-0.50000 -0.43182 1.45455 -0.00000 -0.56818sumZ=F3s+X(50)+X(53)sumZ = 0sumX=F2s+X(49)+X(52)sumX = 0Momentide summa s~olme 1 suhtes:sumM1=X(51)-h*F2s-l1*F3s-(l1+l2)*X(53)sumM1 = 0Momentide summa s~olme 5 suhtes:sumM5=X(51)-h*F2s+l1*F3s+(l1+l2)*X(50)sumM5 = 4.4409e-16Koormusvariant 1. Koormuse suurendamineDeltaF1 ja DeltaF2 v~orra

15.8 Raami piirkoormus 491et s~olme 3 tekiks plastne liigend Mp=30.0 kNm==============Fkordaja0=14.685 eelmisest skeemistFkordaja0 = 14.685Fkordaja1=3.1993 eelmisest skeemistFkordaja1 = 3.1993Fkordaja2=(30.0-27.6932)/X(18,1)Fkordaja2 = 1.0150--------------DeltaF1=(Fkordaja0+Fkordaja1+Fkordaja2)*F3sDeltaF1 = 18.899DeltaF2=(Fkordaja0F+kordaja1+Fkordaja2)*F2sDeltaF2 = 9.4496==============Koormusvariant 2.============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakspööre fi - 0.0000e+00 -3.7120e-04 -6.4492e-04 -8.2116e-04 -8.9992e-04normaalj~oud N - -7.6495 -7.6495 -7.6495 -7.6495 -7.6495p~oikj~oud Q - 1.9496 1.9496 1.9496 1.9496 1.9496moment M - -8.3988 -6.4492 -4.4996 -2.5500 -0.6004----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakssiire w - 6.6518e-15 8.8367e-04 1.6499e-03 2.1711e-03 2.3198e-03pööre fi - -8.9992e-04 -8.4618e-04 -6.6494e-04 -3.5622e-04 7.9998e-05normaalj~oud N - -7.5000 -7.5000 -7.5000 -7.5000 -7.5000p~oikj~oud Q - 7.6495 7.6495 7.6495 7.6495 7.6495moment M - -0.6004 7.0492 14.6987 22.3483 29.9978----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakssiire w - 2.3198e-03 2.0211e-03 1.4099e-03 6.7368e-04 9.7812e-15pööre fi - 7.9998e-05 4.8622e-04 7.0494e-04 7.3618e-04 5.7992e-04normaalj~oud N - -7.5000 -7.5000 -7.5000 -7.5000 -7.5000p~oikj~oud Q - -11.2495 -11.2495 -11.2495 -11.2495 -11.2495moment M - 29.9978 18.7484 7.4989 -3.7505 -15.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakspööre fi - -7.9932e-05 -6.4243e-04 -8.2993e-04 -6.4243e-04 -7.9932e-05normaalj~oud N - -11.2495 -11.2495 -11.2495 -11.2495 -11.2495p~oikj~oud Q - 7.5000 7.5000 7.5000 7.5000 7.5000moment M - -15.0000 -7.5000 0.0000 7.5000 15.0000----------------------------------------------------------------------------Koormusvariant 2. Staatiline kontrolltoereaktsioonid=[X(49) X(50) X(51) X(52) X(53)]toereaktsioonid =-1.9496 -7.6495 8.3988 -7.5000 -11.2495sumZ=F3sv2+X(50)+X(53)sumZ = 0sumX=F2sv2+X(49)+X(52)sumX = 0Momentide summa s~olme 1 suhtes:

492 15. Arvutus piirkoormuse järgisumM1=X(51)+15-h*F2sv2-l1*F3sv2-(l1+l2)*X(53)sumM1 = 0Momentide summa s~olme 5 suhtes:sumM5=X(51)+15-h*F2sv2+l1*F3sv2+(l1+l2)*X(50)sumM5 = 0Koormusvariant 2. Koormuse suurendamisega DeltaF1 ja DeltaF2 v~orra on nüüds~olmes 5 moment X(42,1) ja s~olmes 3 moment X(18,1)M42 = X(42,1)M42 = 15 % s~olme 5 on plastne liigend Mpl = 15.0 kNmM18 = X(18,1)M18 = 29.998 % s~olme 3 tekib plastne liigend Mpl = 30.0 kNmEdaspidi näitame, et järgmine plastne liigend tekib s~olme 1Arvutuspäevik 15.5 (Programm spRaamESTsn0.m lk 740)octave-3.0.1:1> diary spRaamESTsn0.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> spRaamESTsn0Koormusvariant 1.============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - -6.0000 -5.5000 -5.0000 -4.5000 -4.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 0.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljaksmoment M - 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000----------------------------------------------------------------------------Koormusvariant 1. Staatiline kontrolltoereaktsioonid=[X(49) X(50) X(51) X(52) X(53)]toereaktsioonid =-0.50000 -1.00000 6.00000 -0.00000 -0.00000sumZ=F3s+X(50)+X(53)sumZ = 0sumX=F2s+X(49)+X(52)sumX = 0Momentide summa s~olme 1 suhtes:sumM1=X(51)-h*F2s-l1*F3s-(l1+l2)*X(53)sumM1 = 0Momentide summa s~olme 5 suhtes:sumM5=X(51)-h*F2s+l1*F3s+(l1+l2)*X(50)sumM5 = 0Koormusvariant 1. Koormuse suurendamine DeltaF1 ja DeltaF2 v~orraet s~olme 1 tekiks plastne liigend Mp=15.0 kNm==============Fkordaja0=14.685 eelmisest skeemist

15.8 Raami piirkoormus 493Fkordaja0 = 14.685Fkordaja1=3.1993 eelmisest skeemistFkordaja1 = 3.1993Fkordaja2=1.0150 eelmisest skeemistFkordaja2 = 1.0150Fkordaja3=(-15.0-(-8.3988))/X(12,1)Fkordaja3 = 1.1002--------------DeltaF1=(Fkordaja0+Fkordaja1+Fkordaja2+Fkordaja3)*F3sDeltaF1 = 20.000DeltaF2=(Fkordaja0+Fkordaja1+Fkordaja2+Fkordaja3)*F2sDeltaF2 = 9.9998==============Koormusvariant 2.============================================================================Sisej~oud vardas 1 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakspööre fi - 0.0000e+00 -6.8750e-04 -1.2500e-03 -1.6875e-03 -2.0000e-03normaalj~oud N - -8.7500 -8.7500 -8.7500 -8.7500 -8.7500p~oikj~oud Q - 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000 2.5000moment M - -15.0000 -12.5000 -10.0000 -7.5000 -5.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 2 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakssiire w - 7.6087e-15 2.0174e-03 3.9722e-03 5.7188e-03 7.1111e-03pööre fi - -2.0000e-03 -2.0104e-03 -1.8750e-03 -1.5938e-03 -1.1667e-03normaalj~oud N - -7.5000 -7.5000 -7.5000 -7.5000 -7.5000p~oikj~oud Q - 8.7500 8.7500 8.7500 8.7500 8.7500moment M - -5.0000 3.7500 12.5000 21.2500 30.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 3 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakssiire w - 7.1111e-03 5.6146e-03 3.8056e-03 1.8715e-03 9.7838e-15pööre fi - 1.2778e-03 1.6840e-03 1.9028e-03 1.9340e-03 1.7778e-03normaalj~oud N - -7.5000 -7.5000 -7.5000 -7.5000 -7.5000p~oikj~oud Q - -11.2500 -11.2500 -11.2500 -11.2500 -11.2500moment M - 30.0000 18.7500 7.5000 -3.7500 -15.0000----------------------------------------------------------------------------Sisej~oud vardas 4 varda pikkus on 4.00000 varras on jaotatud neljakspööre fi - -6.6667e-04 -1.2292e-03 -1.4167e-03 -1.2292e-03 -6.6667e-04normaalj~oud N - -11.2500 -11.2500 -11.2500 -11.2500 -11.2500p~oikj~oud Q - 7.5000 7.5000 7.5000 7.5000 7.5000moment M - -15.0000 -7.5000 0.0000 7.5000 15.0000----------------------------------------------------------------------------Koormusvariant 2. Staatiline kontrolltoereaktsioonid=[X(49) X(50) X(51) X(52) X(53)]toereaktsioonid =-2.5000 -8.7500 15.0000 -7.5000 -11.2500sumZ=F3sv2+X(50)+X(53)sumZ = 0sumX=F2sv2+X(49)+X(52)sumX = 0Momentide summa s~olme 1 suhtes:sumM1=X(51)+15-h*F2sv2-l1*F3sv2-(l1+l2)*X(53)

494 15. Arvutus piirkoormuse järgisumM1 = 0Momentide summa s~olme 5 suhtes:sumM5=X(51)+15-h*F2sv2+l1*F3sv2+(l1+l2)*X(50)sumM5 = 0Koormusvariant 2. Koormuse suurendamisegas~olmes 5 moment X(42,1) ja s~olmes 3 momentM42 = X(42,1)M42 = 15M18 = X(18,1)M18 = 30M36 = 30S~olmes 1 tekib plastne liigendDeltaF1 ja DeltaF2 v~orra on nüüdX(18,1)Näite lõppJoonisel 15.22 on näidatud kolmekordselt staatikaga määramatu raam kahe koondatudjõuga. Raam muutub kinemaatiliseks varrasahelaks, kui on tekkinud neli plastsetliigendit (joonis 15.22 b) ja 15.22 c)). Joonisel 15.22 d) on näidatud olukord, kus piirolukordsaabub kolme plastse liigendi tekkimisel. Piirolukord sõltub jõudude F 1 /F 2 suhtest,raami mõõtudest. Ehitusinseneride täiendusõppe kursuse materjalis (vt [MA99] lk 43(lk 49) on kirjeldatud tasandraamis piirkoormuse tekkimist kahe koondatud jõuga koormamisel.Joonisel 15.23 on raami kaheparameetriline koormamine.Joonisel 15.22 b) on varrasahel, mida on analüüsitud õpikus [Beer04] arvutiprogrammiRuckZuck 4.0 kasutades. Kõik võimalikud variandid tuleb läbi vaadata ja leida väikseimpiirkoormus, sellepärast on otstarbekas kasutada arvutiprogramme. Õpikus [EP67]on loetelu asjaoludest, mida tuleb silmas pidada varraskonstruktsioonide arvutamiselpiirolukorrale:a)F1F22 3 4F1b)2F24M plMM pl plM3plM plMpl15 150000 1111 0000 1111 000 111 000 111c)F12F2M plM pl534F1d)2F2M plM pl MplM pl4M plM plM plM pl3M pl0000 1111 10000 1111M pl0000 11110000 1111000 111 1 000 111 5000 111000 111Joonis 15.22. Raami piirkoormus

15.8 Raami piirkoormus 495F 12 3 4F 21L/2 L/2000 111 000 111 5000 111L/2 L/2 000 111H−811000 111GCD, GH1100011100 11 BC, 000 111 FGFA000 111 AB, EF 00 11F L 2M lim42−6 −4 −2 0 2 4 6 8−2−4EB110000 11 DE, HA 00 11CDF L 1M limJoonis 15.23. Raami kaheparameetriline koormamine1. Kõik tegelike materjalide deformatsioonidiagrammid on piiratud pikkusega. Sellepärastvõib materjalide juures, mille purunemisega kaasnevad ainult väikeseddeformatsioonid, mõni ristlõige täielikult puruneda enne piirolukorrale vastavatedeformatsioonide väljaarenemist.2. Mitmekordsel koormamisel, eriti siis, kui koormustüübid on erinevad, võib tegelikpiirkoormus olla teoreetilisest väiksem, kuna sel juhul on deformatsioonidelkalduvus summeeruda; samuti võivad muutuda materjali mehaanilised omadusedja tekkida mikropraod.3. Surutud elemendid võivad kaotada stabiilsuse juba materjali osalisel voolamisel.Voolavusolukord survel on üldse ebastabiilne, nii näiteks I-tala, mille üks vöö onsurutud, kaotab oma tasandilise paindekuju juba enne, kui pinged surutud vöösjõuavad voolavuspiirini.4. Deformatsioonidiagrammi kuju oleneb koormamise kiirusest; kiirel koormamiselon ta lähedasem ideaalelastse materjali diagrammile (voolavuspiirkond on lühem).5. Arvutustel piirolukorrale ei arvestata materjali kalestumist, mis suurendab tegelikupiirkoormuse väärtust ja mõningal määral kompenseerib eeltoodud negatiivsetetegurite mõju.6. Raudbetoonkonstruktsioonide juures võib erisuunalisele paindemomendile vastavpiirmoment olla erinev.7. Temperatuuri muutumine ja tugede järelandmine piirolukorda ei mõjuta.

496 15. Arvutus piirkoormuse järgi

Osa IIITeist järku teooria497

16. Arvutus teist järku teooria järgiLoeng 1 1 Deformeerunud elemendi tasakaaluvõrrandid. Näide 16.1. Raami kriitiline koormus.Loeng 2 2 Näide 16.1. Näide 16.4. Raami kriitiline koormus.16.1 Deformeerunud elemendi tasakaaluvõrrandidVarda paindeteooria liigitamist esimest ja teist järku teooriaks vaatlesime lõigus 1.9lk 44. Teist järku teoorias võetakse arvesse varda deformeerunud kuju. Varda deformeerunudkuju arvestatakse pikipõikpaindel (vt [MR99] lk 22).Esimest järku teoorias vaadeldakse väikseid deformatsioone (kehtib algmõõtmeteprintsiip) ja normaaljõud langeb kokku pikijõuga ning ristjõud ühtib põikjõuga. Teistjärku teoorias tuleb nende sisejõudude puhul vahet teha. Vaatleme joonist 16.1, kus Non normaaljõud ja S pikijõud. Normaaljõud N on varda telje suunaline jõud. PikijõudzHxNSQϕ = − w’N − normaaljõudQ − põikjõudS − pikijõudH − ristjõudβ = ϕJoonis 16.1. Pikijõud, ristjõud, normaaljõud ja põikjõudS on jõud varda ristlõikes, mille suund ühtib normaaljõu N suunaga enne deformeerumist.Joonisel 16.1 on Q põikjõud, mis on risti varda teljega ja H ristjõud, mille suundühtib põikjõu suunaga enne deformeerumist.Teist järku teoorias võtame kasutusele Bernoulli 3 vardateooria, mille puhul vardakõverus ψ y onψ y =−w ′′(1 + w ′2 ) 3/2 ≈ −w′′ (16.1)1 ./videod/defOlukrdLoeng1.html2 ./videod/defOlukrdLoeng2.html3 Jacob Bernoulli, šveitsi matemaatik, 1655–1705.499

500 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Parema käe teljestiku puhul vektori projektsioonid teisenduvad järgmiselt:[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃S cos φ sin φ N=H − sin φ cos φ Q(16.2)Teist järku teoorias vaatleme väikseid pöördenurki φ nii, etcos φ ≈ 1, sin φ ≈ tanφ ≈ φ = −w ′ (16.3)Oletuse (16.3) rakendamisel seoses (16.2), saame pikijõu S ja ristjõu H (sks Transversalkraft)[RH95]) (ingl transverse force) [PW94]) seose normaaljõu N ning põikjõuga Q[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃S 1 φ N=(16.4)H −φ 1 QDeformeerunud elemendi tasakaaluvõrrandite koostamiseks vaatame joonist 16.2 c.Koostame tasakaalu avaldise z-telje sihis:a ) b )xdxMu + duSx, uβ = ϕw + dwwHM + dMq xq zS + dSH + dHuϕ = − w’c )Mq zM + dMN + dNz, wNQq xQ + dQJoonis 16.2. Deformeerunud varda elementΣZ = 0 :+ N sin φ⏟ ⏞≈ φ−Q cos φ +q⏟ ⏞ z dx −≈ 1− (N + dN) sin (φ + dφ)⏟ ⏞≈ φ+dφ+ (Q + dQ) cos (φ + dφ)⏟ ⏞≈ 1= 0 (16.5)Arvestades oletust (16.3), saameΣZ = 0 :+ Nφ − Q + q z dx −Pärast avaldise (16.6) taandamist saame−Nφ − Ndφ − dNφ − dNdφ +Q + dQ = 0 (16.6)⏟ ⏞≈ 0− N dφdx − φdN dx + dQdx + q z (x) = 0 (16.7)

16.1 Deformeerunud elemendi tasakaaluvõrrandid 501ehkddx (−Nφ + Q) + q z (x) = 0 (16.8)Vektori komponentide teisendamise avaldisest (16.4) saame− Nφ + Q = H (16.9)Kasutades saadud seost (16.9), esitame tasakaaluvõrrandi (16.8) kujulKoostame tasakaalu avaldise x-telje sihis:ddx H + q z (x) = 0 (16.10)ΣX = 0 :− N cos φ⏟ ⏞≈ 1−Q sin φ +q⏟ ⏞ x dx +≈ φ+ (N + dN) cos (φ + dφ)⏟ ⏞≈ 1+ (Q + dQ) sin (φ + dφ)⏟ ⏞≈ φ+dφ= 0 (16.11)Arvestades oletust (16.3) saame:ΣX = 0 : − N − Qφ + q x dx +Pärast taandamist avaldises (16.12) saameehk+N + dN + Qφ + dQφ + φdQ + dQdφ⏟ ⏞≈ 0= 0 (16.12)d d dN + Q φ + φdx dx dx Q + q x (x) = 0 (16.13)ddx (N + Qφ) + q x (x) = 0 (16.14)Vektori komponentide teisendamise avaldisest (16.4) saameN + Qφ⏟ ⏞≪N= S x∼ =N (16.15)Kasutades saadud seost (16.15), esitame tasakaaluvõrrandi (16.14) kujulddx S x + q x (x) = 0 (16.16)Koostame momentide tasakaaluavaldise varda elemendi lõpus y-telje suhtesΣM y = 0 : M + dM − M − Qds = 0 (16.17)

502 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]siin ds on varda elemendi telgjoone pikkus; ds ≈ dx. Pärast taandamist avaldises(16.17) saamedM − Q = 0 (16.18)dxAvaldise (16.4) pöördavaldise saamisel arvestame, et teisendusmaatriks on ortogonaalnemaatriks, st ühtib pöördmaatriks transponeeritud maatriksiga:[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃N 1 −φ S=(16.19)Q φ 1 HPõikjõu Q saame avaldada ristjõu H ja pikijõu S kaudu:Q = Sφ + H (16.20)Asetades seose (16.20) momentide tasakaaluavaldisse (16.18), saamedM − Sφ − H = 0 (16.21)dxDeformeerunud varda elemendi põhivõrrandid on esitatud tabelis 16.1. Tabelis kasutameseost (joonis 16.2)φ = β = −w ′ (16.22)Pikijõu tasakaaluvõrrandi võime asendada normaaljõu tasakaaluvõrrandiga, kunaS x∼ =N (Qφ≪N)N ′ + q x (x) = 0 (16.23)Võrrandit (16.21) diferentseerime ühe korra x järgiM ′′ − (S x φ) ′ − H ′ = 0 (16.24)Ristjõu H tuletise saame võrrandist (16.10), pöördenurga φ avaldisest (16.22). MomenditasakaaluvõrrandehkM ′′ + (S x w ′ ) ′ + q z (x) = 0 (16.25)M ′′ + S ′ xw ′ + (S x w ′ ) ′ + S x w ′ + q z (x) = 0 (16.26)Diferentsiaalvõrrandi (16.26) lahendid sõltuvad sellest, kuidas muutub pikijõud S x .Konstantse pikijõu S x korral on konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrand. Lineaarseltmuutuva pikijõu (q x = const) puhul avaldub lahend Besseli 4 funktsioonidekaudu [Vol67] (lk 133).4 Friedrich Wilhelm Bessel, saksa matemaatik, 1784–1846.

16.1 Deformeerunud elemendi tasakaaluvõrrandid 503Tabel 16.1. PõhivõrrandidStaatikaElastsusseosedGeomeetriaPiirkondS ′ x + q x = 0; N ′ + q z = 0H ′ z + q z = 0; (Q − Nβ) ′ + q z = 0M ′ y − H z − Sβ = 0; M ′ y − Q z = 0N = EAεM y = EIψ yε = u ′ + 1 2 (u′ ) 2β ′ = ψ yw ′ = −βRajaS x = S xH z = H zM y = M yu = uβ = −w ′ = βw = wJärgnevalt vaatleme juhtu, kus pikijõud S x on konstantne. Sellisel juhul on võrrand(16.26) järgmine:Paindemoment M avaldub siirde w teise tuletise kauduM ′′ + S x w ′′ + q z (x) = 0 (16.27)M = −EIw ′′ (16.28)Varda pikipõikpainde diferentsiaalvõrrand momentides, milles pikijõud on konstantne(S x = const)M ′′y ∓| S xEI |M y + q z (x) = 0 (16.29)siin tõmbel (S ≥ 0) on märk − ja survel (S ≤ 0) on märk +.Siiretes (w) avaldub võrrand (16.29) järgmiselt:Juhul kui EI = const, saame[EIw ′′ ] ′′ ∓|S x |w ′′ − q z (x) = 0 (16.30)[w ′′ ] ′′ ∓| S xEI |w′′ − q z (x)EI= 0 (16.31)siin tõmbel (S ≥ 0) on märk − ja survel (S ≤ 0) on märk +.Võrrand (16.31) on varda elastse joone diferentsiaalvõrrand pikipõikpaindel.

504 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]a )zb )xqq£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£S ¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤ ¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦SS¨ © © © ¨ ¨ § § § w¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡ ¡M = S*wM IIIM¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡MepFaxwIIMJoonis 16.3. Jõud ja deformatsiooni mõõdud∫︁M II = F a x − q (x − x) dx +Sw⏟ ⏞M ITeist järku teoorias saab paindemomendi M II avaldada esimest järku teooria paindemomendiM I pikijõu S ja siirde w (joonis 16.3) kaudu:M II = M I + S x w (16.32)Pikijõud S avaldub siirde u ja w kaudu:S≈ N = −EA[︂u ′ + 1 ]︂2 (w′ ) 2(16.33)siin kasutatakse von Kármani tüüpi deformatsiooni mõõtu [︁ u ′ + 1 2 (w′ ) 2]︁ , EA on vardapikijäikus. Varda pikipõikpainde tasakaaluvõrrand pikiteljele, siiretes [RH95][︂ {︂EA u ′ + 1 }︂]︂ ′2 (w′ ) 2 + q x (x) = 0 (16.34)Varda pikipõikpainde tasakaaluvõrrand ristiteljele, siiretes:[EIw ′′ ] ′′ −[︂EA{︂u ′ + 1 }︂ ]︂ ′2 (w′ ) 2 w ′ − q x (x) = 0 (16.35)16.2 Töö varda pikipõikpaindelJärgnevalt vaatleme virtuaaltööd pikipõikpaindel. Selleks korrutame võrrandi (16.34)virtuaalsiirdega ˆu, võrrandi (16.35) virtuaalsiirdega (− ˆw) nii, et virtuaaltöö (q z (x) ˆw)oleks positiivne ja integreerime varda pikkusel ning liidame need virtuaaltööd:∫︁ ba[︂ {︂EA u ′ + 1 }︂]︂ ′2 (w′ ) 2 ˆudx +∫︁ {︃ ba− [EIw ′′ ] ′′ ˆw +[︂EA{︂u ′ + 1 }︂ ]︂ ′2 (w′ ) 2 w ′ ˆw}︃dx +∫︁ b+ [q x (x) ˆudx + q z (x) ˆw] dx = 0 (16.36)a

16.2 Töö varda pikipõikpaindel 505Võrrandi (16.36) viimane integraal väljendab välisjõudude q x , q z virtuaaltööd virtuaalsetelsiiretelˆu ja ˆw, viimaseid võib vaadelda ka kaalufunktsioonidena. Võrrandi(16.36) esimest liiget integreerime ositi valemi∫︁ ba∫︁ budv = uv | b a −avdu (16.37)järgi, võttes u ja dv järgmiselt:Saame avaldise∫︁ ba∫︁ baˆu ⏟ ⏞u⎛d⎝EA dudx dx + 1 2⏟ ⏞dv(︃ )︃ ⎞ 2dw⎠ dxdx[︂ {︂EA u ′ + 1 }︂]︂ ′ [︂2 (w′ ) 2 ˆudx = EA{︂u ′ + 1 }︂]︂2 (w′ ) 2⏟ ⏞−∫︁ b [︂aN xEA{︂u ′ + 1 }︂]︂2 (w′ ) 2⏟ ⏞N xVõrrandi (16.36) teise liikme ositi integreerimisel saame∫︁ {︃ ba− [EIw ′′ ] ′′ ˆw +[︂EA{︂u ′ + 1 }︂ ]︂ ′}︃2 (w′ ) 2 w ′ ˆu dx =ˆu | b a −dˆu⏟ dx⏞dx (16.38)^u ′[︂= −EI [w ′′ ] ′ ˆw | b a + EA{︂u ′ + 1 }︂]︂⏟ ⏞2 (w′ ) 2 w ′ ˆw | b a +⏟ ⏞Q zN x∫︁ b [︂+ EA{︂u ′ + 1 }︂]︂a2 (w′ ) 2 w ′ ˆw ′ dx (16.39)⏟ ⏞N xVõrrandi (16.39) eelviimast liiget integreerime ositi:∫︁ baEI [w ′′ ] ′⏟ ⏞−M ′ y[ ˆw ′ ]⏟ ⏞− ^φdx = EI [w ′′ ] [ ˆw ′ ]⏟ ⏞ ⏟ ⏞−M y− ^φ∫︁ b| b a −aEI [w ′′ ]⏟ ⏞[ ˆw ′′ ] dx (16.40)⏟ ⏞−M yVõrrandi (16.36) saame avaldisi (16.38)– (16.40) kasutades kirjutada kujul[︂EA{︂u ′ + 1 }︂]︂2 (w′ ) 2 ˆu | b a − EI [w ′′ ] ′⏟ ⏞⏟ ⏞N x[︂ˆw | b a +−Q z− ^ψEA{︂u ′ + 1 }︂]︂2 (w′ ) 2 w ′ ˆw | b a +⏟ ⏞N x

506 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]−∫︁ ba+ EI [w ′′ ] [ ˆw ′ ] | b a −⏟ ⏞ ⏟ ⏞−M y − ^φ[︂EA{︂u ′ + 1 }︂]︂2 (w′ ) 2⏟ ⏞N x∫︁ b [︂aEA{︂u ′ + 1 }︂]︂2 (w′ ) 2 ˆu ′ dx −⏟ ⏞w ′ ˆw ′ dx −N x∫︁ baEI [w ′′ ]⏟ ⏞[ ˆw ′′ ] dx +⏟ ⏞−M y− ^ ψ0∫︁ b+ [q x (x) ˆu + q z (x) ˆw] dx = 0 (16.41)aArvestades seost (16.4), saame avaldise (16.41) esitada järgmisel kujul:∫︁ b− N xˆu ′ dx −aN⏟ ⏞ x ˆu | b a + [−Q z + N x w ′ ]⏟ ⏞≈ S x∫︁ bH z∫︁ bˆw | b a +M y ˆφ | b a −N x w ′ ˆw ′ dx −aaEI [w ′′ ] [ ˆw ′′ ] dx +⏟ ⏞ ⏟ ⏞∫︁ b−M y − ^ψ+ [q x (x) ˆu + q z (x) ˆw] dx = 0 (16.42)aAvaldises (16.42) kirjeldavad kolm esimest liiget rajajõudude passiivtööd W r :W r = N⏟ ⏞ x ˆu | b a + [−Q z + N x w ′ ] ˆw | b a +M y ˆφ | b a (16.43)⏟ ⏞≈ S x H zRajatingimustest antakse ette kas rajajõud või rajasiire. Kui ette antakse rajajõud,siis räägitakse staatilistest rajatingimustest, kui rajasiire, siis kinemaatilistest rajatingimustest.Avaldise (16.42) kolm viimast liiget kirjeldavad välisjõudude passiivtööd:W v =Avaldises (16.42) sisejõudude N, M passiivtöö W s on∫︁ ba[q x (x) ˆu + q z (x) ˆw] dx (16.44)∫︁ b∫︁ b∫︁ bW s = − N xˆu ′ dx − N x w ′ ˆw ′ dx −aaaEI [w ′′ ] [ ˆw ′′ ] dx⏟ ⏞ ⏟ ⏞−My(16.45)Sisejõudude passiivtöö avaldises (16.45) vaatleme teise liikme olemuse selgitamiseksjoonist 16.4 Bernoulli vardateoorias nihkedeformatsioon (γ ≈ 0) hüljatakse. Sellega− ^ψ~ Nϕ

16.2 Töö varda pikipõikpaindel 507seoses ka põikjõu Q z osa sisejõudude passiivtöös puudub. Arvesse võetakse ristjõu H zosa (16.4), mis tuleb normaaljõu N projektsioonist Nw ′ (sisejõudude virtuaaltöö) avaldissiiretes∫︁ l {︂W s = − EIw ′′ δw ′′ + EA[︂u ′ + 1 ]︂}︂02 (w′ ) 2 [δu ′ + w ′ δw ′ ] dx (16.46)Virtuaaltöö avaldiskus∫︁ l0∫︁ lδψ M y dx +⏟ ⏞ 0EIψ∫︁ l∫︁ lδε ⏟ N ⏞ dx =EAεδwq z dx +0δuq x dx +0+ [S x δu + H z δw + M y δ (−w ′ )] l 0(16.47)δψ = −δw ′′ , δε = δu ′ + w ′ δw ′ (16.48)Kui jõududel on potentsiaal, siis jõudude töö vastupidise märgiga annab potentsiaalenergia.Varda täielik potentsiaalenergia 5 (ingl total potential energy), (sks gesamt potentielleEnergy 6 lk 23 (lk 17)) Π (u, w) pikipõikpaindel (vt [RH95] lk 68 ja Z.P. Bažantand L. Cedolin. Stability of Structures 7 , lk 220):kusΠ (u, w) = 1 2∫︁ l0EI ψ 2 dx + 1 ∫︁ l∫︁ lN⏟ ⏞x εdx − q2 0 ⏟ ⏞z wdx −0(−w ′′ ) 2 ∼=S x− [S x u + H z w ′ − M y w ′ ] l 0(16.49)ψ = −w ′′ , ε = u ′ + 1 2 (w′ ) (16.50)M y = EIψ, N = EAε (16.51)Π (u, w) – varda täieliku potentsiaalenergia funktsionaal 8 9 .5 http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/AFEM.d/AFEM.Ch04.d/AFEM.Ch04.pdf6 http://www.structures.ethz.ch/education/vertiefung/kernfaecher/strukturanalyse/FEM Skript.pdf7 http://www.scribd.com/doc/89712241/Stability-of-Structures8 funktsionaal – Muutuvat suurust v nimetatakse funktsionaaliks, mis sõltub funktsioonist y (x),mida tähistatakse v = v [y (x)]. Igale funktsioonile y (x) (funktsioonide y (x) klassist) vastab väärtusv, st igale funktsioonile y (x) vastab arv v.9 http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_(mathematics)

508 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]16.3 Homogeenne diferentsiaalvõrrand varda survelTuletame momentide M ik , M ki (joonis 16.5) avaldisedM ik = M o ik + M ik (φ i , φ k , θ ik ) (16.52)M ki = M o ki + M ki (φ i , φ k , θ ik ) (16.53)diferentsiaalvõrrandi (16.31) lahendist. Siinφ i ja φ k positiivne suund on vastupidine kellaosutite liikumisele,θ ik = θ ki positiivne suund on kellaosutite liikumise suunas (w k ≥ w i )Võtame kasutusele parameetriν = l√︃∓| S EI | (16.54)mida edaspidi nimetame varda tunnusarvuks (sks Stabkennzahl), siin tõmbel (S ≥ 0)on märk − ja survel (S ≤ 0) on märk +.Diferentsiaalvõrrand (16.31) survel(︂[w ′′ ] ′′ ν+l)︂ 2w ′′ − q z (x)EI= 0 (16.55)Diferentsiaalvõrrandi (16.55) vastav homogeene diferentsiaalvõrrand on(︂[w H] ′′ ′′ ν+l)︂ 2w′′H = 0 (16.56)ϕ, Mz, wx, uϑa)Sw iSϕ i0101010101i0101000 111 01000 111b)0101k01S S01ik S010101x010101ll00 11ϕ wkkM ki w i00 11 SS00 111100ϕ ϕ i00 11−ϑ ϕ i00 11ki i00 11ττ τiik−ϑ ik−ϑ01ϕ Sikk01M ϕ =ik w wi−ϑ ik +τiϑk iik =+l ϕ k = −ϑ ki+τkϑ ik = ϑ kiM ik000 111 01000 111w w ϕ = + τϑk i i−ϑ ik iik =+lxw kJoonis 16.5. Momendid sõlmede ja varraste pööretest

16.3 Homogeenne diferentsiaalvõrrand varda survel 509ϕ, Mz, wx, ua) qFMb)qFMS01010101i000000000111111111k01S S01i010101000000000111111111k S0101l01010101l00 11c)oF MqM ki00000000011111111101i000000000111111111k010101S 010101010101oM oloik Hik H kiSd)SoM ikoH ik0101010101q000000000111111111i000000000111111111lFMk00 1100 11SoH kiJoonis 16.6. Momendid koormusestmille lahendit otsime kujul w H = e λx . Parameetri λ väärtused saame karakteristlikustvõrrandist(︂ )︂ ν 2λ 4 + λ 2 = 0 (16.57)lλ 1,2 = 0,λ 3,4 = ±i ν l(16.58)Diferentsiaalvõrrandi (16.56) lahendJärgmiste teisendustegaw H = C 1 + C 2νxle ±i νx l(︂= cos ν x )︂l+ C 3 e i νx l + C 4 e −i νx l (16.59)(︂± sin ν x )︂lC 3 + C 4 = C 3i (︁ C 3 − C 4)︁= C4 (16.60)saame diferentsiaalvõrrandi lahendi (16.59) kujulw H = C 1 + C 2 ν x (︂l + C 3cos ν x )︂lLahendi (16.61) esimene ja teine tuletisw H ′ ν= C 2l − C ν3(︂νl sin x l)︂(︂+ C 4 sin ν x )︂lν+ C 4(︂νl cos x )︂l(16.61)(16.62)w ′′ H = −C 3(︂ νl)︂ 2 (︂cos ν x )︂ (︂ )︂ ν 2 (︂− C 4 sin ν x )︂= − M Hl l l EI(16.63)Seostame joonisel 16.5 varda otstes mõjuvad momendid M ik , M ki diferentsiaalvõrrandilahendiga (16.63), kui

510 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]∙ x = 0, siis M ik,H = −M H(x=0)∙ x = l, siis M ki,H = M H(x=l)Saame(︂ )︂ ν 2M ik,H = −EI C3l(︂ )︂ ν 2M ki,H = EI (C3 cosν + C 4 sinν) (16.64)l16.4 Homogeenne diferentsiaalvõrrand varda tõmbelDiferentsiaalvõrrand (16.31) tõmbel(︂[w ′′ ] ′′ ν−l)︂ 2w ′′ − q z (x)EI= 0 (16.65)kus ν on varda tunnusarv (16.54). Diferentsiaalvõrrandi (16.65) vastav homogeene diferentsiaalvõrrandonning tema karakteristlik võrrand(︂[w H] ′′ ′′ ν+l)︂ 2w′′H = 0 (16.66)(︂ )︂ ν 2λ 4 − λ 2 = 0 (16.67)lλ 1,2 = 0,λ 3,4 = ± ν l(16.68)Diferentsiaalvõrrandi (16.65) lahendi saame surve diferentsiaalvõrrandi lahendist(16.61), kui teeme järgmised asendused:−S S(iν) 2 = −ν 2cos (iν) = cosh νsin (iν) = sinh νtan (iν) = tanh ν(16.69)kus trigonomeetrilised funktsioonid lähevad üle hüperboolseteks funktsioonideks.

16.5 Momendid varda otste pööretest ja siiretest 511Tabel 16.2. Rajatingimused pööretestSkeem x = 0 x = lS00 11 M00 11 j jk00 1100 1100 11x=0EI = constlM kj0101010101x=lk Sw = 0dwdx = −φ iw = lθ ikdwdx = −φ kM00 11j jkS00 11EI = const k Sw = 0 w = lθ ik00 1100 1100 11x=0l000 111x=ldwdx = −φ i M ik = 016.5 Momendid varda otste pööretest ja siiretestVarda otste pööretest ja siiretest tekkivate momentide leidmiseks varda otstes vaatlemejärgmisi rajatingimusi (tabel 16.2)Rajatingimuste (tabel 16.2) asetamisel võrranditesse (16.61), (16.62), (16.63) leiamekonstandid C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .Varda mõlemad otsad jäigalt kinnitatudRajal x = 0[︃1 0 1 00 ν l0 ν l⎡]︃⎢⎢⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎦ = [︃]︃0−φ i(16.70)Rajal x = l⎡[︃ ]︃1 ν cos ν sin ν0 ν − ν sin ν νcos ν ⎢⎣l l l⎤C 1C 2⎥C 3C 4[︃ ]︃⎦ = lθik−φ k(16.71)Võrrandisüsteemist (16.70) avaldame C 2 ja C 3 vt avaldised ((16.76) ja (16.77)) ja asetamevõrrandisüsteemi (16.71):[︃1 − cos ννsin ν − lVõrrandisüsteemi (16.72) determinant detV j]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃sin ν − ν C1 l (θik − φ ν (1 − cos ν) =i )Cl 4 φ i − φ k(16.72)detV j = ν l{2 (1 − cos ν) − ν sin ν} (16.73)Konstandid C 1 ja C 4 leiame võrrandisüsteemi (16.72) kordajatest moodustatud maatriksipöördmaatriksi abil. 2×2 pöördmaatriksi kirjutamiseks on järgmine eeskiri: vahetame

512 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]peadiagonaalil olevad elemendid, kõrvaldiagonaalil olevate elementide märgid muudamevastupidisteks ja jagame maatriksi determinandiga. Saame[︃ ]︃C1= 1 [︃ ]︃ [︃ ]︃−ν(1 − cos ν) − (sin ν − ν)l l (θik − φ i )C 4 detV j − ν sin ν 1 − cos ν φl i − φ kLeitud konstandid C 1 ja C 4 on toodud avaldistega (16.75) ja (16.78)(16.74)C 1 = − l ν(φ i − φ k ) (ν − sin ν) − ν (θ ik − φ i ) (1 − cos ν)2 (1 − cos ν) − ν sin ν(16.75)C 2 = − l ν φ i − C 4 (16.76)C 3 = C 1 (16.77)C 4 = − l ν(φ i − φ k ) (1 − cos ν) − ν (θ ik − φ i ) sin ν2 (1 − cos ν) − ν sin ν(16.78)Varda üks ots jäigalt kinnitatud, teises liigendRajatingimuste (tabel 16.2) asetamisel võrranditesse (16.61), (16.62), (16.63) leiamekonstandid C 1 , C 2 , C 3 ja C 4 .Rajal x = 0[︃1 0 1 00 ν l0 ν l⎡]︃⎢⎢⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4⎦ = [︃]︃0−φ i(16.79)⎡⎣⎡⎤1 ν cos ν sin ν0 0 − (︁ νl +)︁ 2 (︁cos ν −νl +)︁ 2 ⎦⎢ sin ν ⎣⎤C 1C 2⎥C 3C 4[︃⎦ = lθik0]︃(16.80)Võrrandisüsteemist (16.79) avaldame konstandid C 3 , C 2 (vt avaldised (16.86) ja (16.85))ja asetame võrrandisüsteemi (16.80):⎡⎣⎤ [︃ ]︃ [︃ ]︃1 − cos ν sin ν − ν(︁ )︁ 2 (︁ )︁ 2 ⎦ C1 l (θik − φνl cos ν − ν=i )l sin ν C 4 0(16.81)Võrrandisüsteemi (16.81) determinant detV j(︂ )︂ ν 2detV j = − cos ν {tan ν − ν} (16.82)l

16.5 Momendid varda otste pööretest ja siiretest 513Konstandid C 1 ja C 4 leiame võrrandisüsteemi (16.81) kordajatest moodustatud maatriksipöördmaatriksi abil. 2×2 pöördmaatriksi kirjutamiseks on järgmine eeskiri: vahetamepeadiagonaalil olevad elemendid, kõrvaldiagonaalil olevate elementide märgid muudamevastupidisteks ja jagame maatriksi determinandiga[︃ ]︃C1C 4⎡= 1 ⎢ − (︁ )︁ ⎤2νl sin ν − (sin ν − ν)⎣detV j − (︁ )︁ 2νl cos ν 1 − cos ν[︃⎥ l (θik − φ i )⎦0Leitud konstandid C 1 ja C 4 on toodud avaldistega (16.84) ja (16.87)]︃(16.83)C 1 = l (θ ik − φ i ) tan νtan ν − ν(16.84)C 2 = − l ν φ i − C 4 (16.85)C 3 = −C 1 (16.86)C 4 = C 1tan ν(16.87)Asetades leitud konstandid momendi avaldisse (16.63), saame varda otstes tekkivadmomendid varda otste pööretest φ i , φ k ja varda pöördest θ ik = θ ki .Varda mõlemad otsad jäigalt kinnitatudM ik (φ i , φ k , θ ik ) = EIl[A * φ i + B * φ k + (A * + B * ) θ ik ](16.88)M ki (φ i , φ k , θ ik ) = EIl[A * φ k + B * φ i + (A * + B * ) θ ik ](16.89)kus teise märgikokkuleppe puhul∙ jäikade sõlmede pöörded φ j , φ k (joonis 16.5) on positiivsed vastupidi kellaosutiteliikumise suunale∙ varda pöörde (saks k der Stabdrehwinkel) θ jk (joonis 16.5) positiivne suund onkellaosutite liikumise suunas.Varda üks ots jäigalt kinnitatud, teises liigend

514 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]M ik (φ i , θ ik ) = EIl[C * (φ i + θ ik )] (16.90)Avaldistes (16.88) ja (16.90) nimetame suurusi A * , B * ning C * eesarvudeks (sksVorzahlen)A * ≡4φ 2 (ν) = ν sin ν−ν2 cos ν2(1−cos ν)−ν sin νB * ≡2φ 3 (ν) =ν 2 −ν sin ν2(1−cos ν)−ν sin νC * ≡3φ 1 (ν) =ν 2 sin νsin ν−ν cos ν(16.91)Eesarvude avaldised survel on toodud tabelis H.5. Eesarvude sõltuvus survel vardatunnusarvust ν on näidatud joonisel H.3 lk 706. Eesarvude graafika koostab GNUJoonis 16.7. Varda eesarvude arvutamine GNU Octave’iga.

16.5 Momendid varda otste pööretest ja siiretest 515Octave’i programm eesagraf.m lk 741.Eesarvude leidmiseks saab kasutada GNU Octave’i programmi eesarvud.m lk 740.Varda tunnusarvu√︃ν = l| S EI | (16.92)leidmiseks kasutame GNU Octave’is kirjutatud funktsiooni tnnusarv.m lk 741.Eesarve saab leida ka GNU Octave’is kirjutatud funktsiooni eesarv.m lk 741 abil.Funktsioonid φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν) ja φ 4 (ν) on tabuleeritud õpikus [EP67] lk 599.Nende funktsioonide leidmiseks saab kasutada GNU Octave’is kirjutatud funktsioonifi ja eta.m lk 741.Kui puudub pikijõud, st S = 0, siis eesarvude avaldistes (16.91) piirile minnes saamedeformatsioonimeetodis tuntud suurusedlim φ 1 (ν) = 1,ν→0limν→0 A* = 4,lim B * = 2,ν→0lim φ 2 (ν) = 1,ν→0lim C * = 3ν→0lim φ 3 (ν) = 1 (16.93)ν→0Eesarvud tõmbel on esitatud tabelis H.5 ja nende leidmiseks võib kasutada GNUOctave’i programmi eesarvud.m.Eesarvude sõltuvus tõmbel varda tunnusarvust ν on näidatud joonisel H.4.Eesarvude tõmbel leidmiseks võib kasutada GNU Octave’i programmi eesarvud.m(I.93) ja eesarv.m (I.96).Joonisel 16.7 on näidatud arvude sisestamine programmi eesarvud.m. Joonisel 16.7olevas näites on sisestatud varda pikkus l=6, surve märk ’-’ (tõmbel ’+’), pikijõud S=70Joonis 16.8. Eesarvude arvutamine GNU Octave’iga.

516 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]ja varda paindejäikus EJ=30000.Programm arvutab ja väljastab: ν, A * , B * , A * + B * , C * , A * − B * , V * , α * , β * .Viimaseid kahte kasutatakse jõumeetodi puhul.Joonisel 16.8 olevas näites on sisestatud funktsioonile eesarv.m järgmised parameetrid:surve märk ’-’ ja varda tunnusarv ν (ν = 0.28983). Arvutifunktsioon eesarv(’-’,0.28983)arvutab ja väljastab eesarvud järgmises järjekorras: C * , A * , B * , A + B * , A − B * , V * ,α * , β * .Joonisel 16.8 on näidatud ka funktsioonide φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν), φ 4 (ν) ja η 1 (ν), η 2 (ν)arvutamist arvutifunktsiooniga fi ja eta.m.Arvutiprogramm väljastab need funktsioonid loetletud järjekorras. Need funktsioonidon ka tabuleeritud õpikus [EP67] lk 599 ja neid kasutatakse analoogiliselttrigonomeetriliste funktsioonide tabelitega.16.6 Varda otste momendid põikkoormusestVaatleme ühtlaselt jaotatud põikkoormust q z = const. Diferentsiaalvõrrandi (16.91)erilahendiks w E valime lahendiw E = q (︃ )︃ 2z l x 2(︃ )︃ 2lEI ν 2 , M E = −q z (16.94)νValitud erilahendi õigsust saame kontrollida diferentsiaalvõrrandiga (16.55). Diferentsiaalvõrrandi(16.55) lahend koosneb homogeensest lahendist w H (16.61) ja erilahendistw E (16.94), st w = w H + w Ew (x) = C 1 + C 2 ν x (︂l + C 3cos ν x )︂ (︂+ C 4 sin ν x )︂+ q (︃ )︃ 2z l x 2ll EI ν 2Lahendi esimene ja teine tuletisw ′ ν(x) = C 2l − C ν3(︂νl sin x )︂ν+ C 4(︂νl l cos x )︂+ q zl EIM (x) = −EIw ′′ (x) = EIC 3(︂ νl(︃ lν(16.95))︃ 2x (16.96))︂ 2 (︂cos ν x )︂ (︂ )︂ ν 2 (︂+ EIC 4 sin ν x )︂ (︃ )︃ 2l− q z (16.97)ll l νVarda põikkoormusest tekkivate momentide leidmiseks varda otstes vaatleme rajatingimusi(tabel 16.3).Rajatingimuste (tabel 16.3) asetamisel võrranditesse (16.95), (16.96), (16.97) leiamekonstandid C 1 , C 2 , C 3 ja C 4 .Varda mõlemad otsad jäigalt kinnitatudC 1 = − q (︃ )︃ 2z l 1 + cos νEI ν sin ν(16.98)

16.6 Varda otste momendid põikkoormusest 517Tabel 16.3. Rajatingimused põikkoormusegaSkeem x = 0 x = lS00 1100 11 j00 1100 1100 11x=0oM jkEI = constloM kj0101010101x=lk Sw = 0 w = 0dw= 0 dxdw= 0 dxSj00 1100 1100 1100 1100 11x=0oM jkEI = constlk S000 111x=lw = 0 w = 0dwdx = 0 M ki = 0C 2 = − q (︃ )︃ 2z l lEI ν 2(16.99)C 3 = −C 1 (16.100)C 4 = −C 2 (16.101)Põikkoormusest q z = const tekkiva momendi arvutamiseks vardas saame avaldiseM (x) = q z2(︃ lν)︃ 2 [︃ ν (1 + cos ν)sin ν(︂cos ν x )︂ (︂+ ν sin ν x )︂ ]︃− 2ll(16.102)Põikkoormusest q z = const momendid varda otstesM 0 ik = − q z2(︃ )︃ 2 [︃ ]︃l ν (1 + cos ν)− 1ν sin ν(16.103)Varda mõlemad otsad kinnitatud jäigaltM 0 ik = −M 0 ki (16.104)M 0 ik = −M 0 ki = (A * − B * ) V * q zl 224(16.105)kus eesarv V * ja (A * − B * ) onV * 2 (1 − cos ν) − ν sin ν= 12ν 3 sin ν(16.106)A * − B * =ν (1 + cos ν)sin ν(16.107)

518 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Eesarvu V * sõltuvus tunnusarvust ν survel on näidatud joonisel H.5. Eesarvu V * saableida ka GNU Octave’is kirjutatud funktsiooni eesarv.m lk 741 abil.Kui varda üks ots on jäigalt kinnitatud ja teises otsas on liigend, siis vastavate rajatingimuste(tabel 16.3) asetamisel võrranditesse (16.95), (16.96), (16.97) leiame konstandidC 1 , C 2 , C 3 ja C 4 .Varda üks ots jäigalt kinnitatud, teises liigendC 1 = − q (︃ )︃ 4z l 2 (ν − sin ν) − ν 2 sin νEI ν ν cos ν − sin ν(16.108)C 2 = − q (︃ )︃ 4z l 2 (cos ν − 1) + ν 2 cos νEI ν ν cos ν − sin ν(16.109)C 3 = −C 1 (16.110)Põikkoormusest tekkiva momendi avaldisC 4 = −C 2 (16.111)M (x) = − q z2(︃ lν)︃ 2 [︃ 2 (ν − sin ν) − ν 2 sin νν cos ν − sin ν+ 2 (cos ν − 1) + ν2 cos νν cos ν − sin ν(︂cos ν x )︂+l(︂sin ν x )︂ ]︃− 2l(16.112)Varda otstes tekkivad momendidM 0 ik = − q z2(︃ lν)︃ 22 (ν − sin ν) − ν 2 sin νν cos ν − sin ν(16.113)Varda üks ots jäigalt kinnitatud, teises liigendM 0 ki = 0 (16.114)M 0 ik = C * V * q zl 224 (16.115)kus C * on avaldis (16.91) ja V * avaldis (16.106).

l il i16.7 Täiendav moment varda pöördest 51916.7 Täiendav moment varda pöördestVarda pöördest tekib täiendav moment ∆M. Vaatleme joonisel 16.9 näidatud vardatasakaalu. Täiendava momendi ∆Z i esitame jõupaarina DeltaZ i(joonis 16.9 b). Koostamemomentide tasakaaluvõrrandi varda alumise otsalsuhtes:∆Z i ill + Slξ i = 0 (16.116)Slξ i = Sl1 = ∆M (16.117)∆Z i i = −Sl1 (16.118)a )N = − SS010101Z il iZ = M ib )N = − Sξ i l’= 1S00 1100 1100 11∆ Z il iξ iξ i000 111SZ il i000 111S∆ Z il iJoonis 16.9. Täiendav moment varda pöördestAvaldis (16.118) on saadud, kui varda pööre on ξ i = 1. Raamil, millel varrastepöördenurgad on erinevad (joonis 16.10), tekib varda k pöördest täiendav moment ∆M k∆M k = S k l k θ i k (16.119)a )Z il i010101S kb )∆ Z il iξ i l’010101= 1l k ϑ i kS kξ iN k = − S kξ i = 1ϑ i kl kZ i= M i00 1100 11Z il i000 111000 111S k00 1100 11∆ Z il iS kJoonis 16.10. Täiendavad momendid

520 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Virtuaalsed siirded δθ i k ja δξ i on sõltuvad∆M k δθ i k + ∆Z i iδξ i = 0 (16.120)l i δξ i = l k δθ i k (16.121)Arvestades avaldisi (16.119) ja (16.121), kirjutame avaldise (16.120) kujul[︃S k l k θ i k + ∆Z i i]︃l kδθ i k = 0 (16.122)l iAvaldisest (16.122) saame täiendava momendil i(︁ )︁∆Zi i = −S k l k θ i k = −S k l k θi 2l k ,k(︃θ i k = l )︃i, kui ξ i = 1l k(16.123)siin S k = −N k on survejõud.Mitme (n) jõu S k olemasolu korral summeerimen∑︁n∑︁∆Zi i = − S k l k (θ ik ) 2 = − i k νkθ 2 2 kk=1k=1(16.124)siin i k = EIlon varda k paindejäikus.ϕ, Mz, wx, uϑa)01i00 11k01ik0100 11010100 11010100 11 x01000 1110100 1101ll000 111ϕ wkkMwkiiw i000 111000 111000 111 000 111 SS000 111 000 111000 111ϕϕ ϕii−ϑ kiϕ ii000 111τττii k H00 11 −ϑ kiH00 11S 00 11ikS−ϑ ki00 111100ϕ 1100ik1100k110000 1100 11w w ϕ = +τw w =i−ϑ ik iϕ +τM ik ϑk iM i−ϑ ik iik =ik ϑk i= +τ+ lik =H ϕ+ lk−ϑ ik ki kH ikϑik= ϑkib)xw kJoonis 16.11. Ristjõud H ik , pikijõud S ik ja paindemoment M ik

16.8 Ristjõud H ik , pikijõud S ik ja paindemoment M ik 52116.8 Ristjõud H ik , pikijõud S ik ja paindemoment M ikRistjõu H ik , pikijõu S ik ja paindemomendi M ik vahelise seose tuletamiseks vaatlemejoonist 16.11. Koostame momentide tasakaaluvõrrandi toe k suhtes:H ik l ik + M ik + M ki − S ik l ik θ ik = 0 (16.125)H ik = − M ik + M kil ik− S ik θ ik (16.126)Koormates varrast põikkoormusega q ja jõuga F (joonis 16.6) saame täiendavad ristjõudH 0 ik, H 0 ki. Täielikud ristjõud II-märgikokkuleppe puhul:H ik = Hik 0 − M ik + M ki− S ik θ ikl ikH ki = Hki 0 + M ik + M ki(16.127)− S ik θ ikl ikAlustades arvutust esimest järku teooriaga, saame pikijõu S (0)ik . Ristjõu arvutamisekskasutame järgmist seost:H (1)ik = H0 ik −M(1)ikTäpsustatud pikijõu saame sõlme tasakaalust.(1)+ M ki− S (1)l ikik l ikθ (1)16.9 Paindemomendi epüüri koostamineik (16.128)Paindemomendi epüür koostatakse esimest järku teoorias lihttala epüüride liitmisega(joonis 16.12)kusM (x) = M R 0 + M q 0 (16.129)(︂M0 R x(x) = M kil + M ik 1 − x )︂l(16.130)Teist järku teoorias osutub selline superpositsioon 10 samuti võimalikuks. Tala otstesmõjuvate momentide korral ei ole aga momendi epüür sirge nagu joonisel 16.12. Momendijaotuse saamiseks tuleb lahendada järgmine diferentsiaalvõrrand:d 2 Mdx 2 + S EI M = 0, (S − survej˜oud, q z = 0) (16.131)10 Superpositsioon – liitfunktsiooni moodustamine antud funktsioonide kaudu.

522 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]M ik qM ki00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111i 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111000 111 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111k00 11000 11100 11xlRM 00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111M R iko000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+RM ki00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111M q o000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111M ik 000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111M 000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111 kiM(x) = M R o + M q o=Joonis 16.12. Paindemomentide epüürmille lahend onkus(︂M 0 (x) = C 1 sin ν x )︂ (︂+ C 2 cos ν x )︂ll(16.132)√︃Sν = lEI(16.133)Rajatingimustest määrame konstandid C 1 ja C 2 :x = 0; M ik = −m (x = 0) ; ⇒ C 2 = −M ikx = l; M ki = M (x = l) ; ⇒ M ki = C 1 sin ν − M ik cos ν⇒ C 1 = − l sin ν ik + M ki cos ν]Kasutades leitud konstantide avaldisi, kirjutame avaldise (16.132) kujulehksin (︁ ν x lM 0 (x) = M kisin ν)︁sin (︁ ν xM0 R l(x) = M kisin ν+ +M ik cos ν sin (︁ ν x lsin ν)︁)︁sin (︁ ν (︁ 1 − x l+ M iksin ν(︂+ M ik cos ν x )︂l)︁)︁(16.134)(16.135)(16.136)Siit selgub, et otstes mõjuvaid momente M ik , M ki ei ühenda sirgjoon nii nagu esimestjärku teooria puhul (joonis 16.12). Momendi M0R varda pikipõikpaindel saab leida ka

16.9 Paindemomendi epüüri koostamine 523GNU Octave’is kirjutatud funktsiooni mxrikki.m lk 741 abil.Asetades avaldisse (16.136) piirväärtusedsin (︁ )︁ν x llim = xν→0 sin ν lsin (︁ ν (︁ 1 − x llimν→0 sin ν)︁)︁= 1 − x lsaame avaldise (16.130).Põikkoormuse korral on diferentsiaalvõrrand järgmine:Selle lahend ond 2 Mdx 2+ (︂ νl(16.137)(16.138))︂ 2M + qz = 0 (16.139)(︂M (x) = C 1 sin ν x )︂ (︂+ C 2 cos ν x )︂+ M E (16.140)llKonstantse koormuse puhul (q z = const) on erilahend(︃ )︃ 2lM E = − q z (16.141)νJärgmistest rajatingimustest saame integreerimiskonstandid C 1 , C 2 :x = 0M = 0 = C 2 + M E ; ⇒ C 2 = (︁ )︁ 2l qzνx = l;M = 0 = C 1 sin ν + C 2 cos ν + M E = C 1 sin ν + (︁ )︁ 2l qz (cos ν − 1) ;⇒C 1 = − (︁ lνν)︁ 2(cos ν−1) qzsin νAsetades leitud integreerimiskonstandid C 1 , C 2 avaldisse (16.140), saameehkM q 0 = −q z(︃ lνM q 0 (x) = q z(︃ lν)︃ 2 [︃ (cos ν − 1)sin ν)︃ 2⎡⎣ sin (︁ ν x l(︂sin ν x )︂ (︂− cos ν x )︂ ]︃+ 1l l)︁ (︁ (︁ )︁)︁+ sin nu 1 −xlsin ν⎤− 1⎦(16.142)(16.143)(16.144)Momendi M q 0 varda pikipõikpaindel saab leida ka GNU Octave’is kirjutatud funktsioonimxq.m lk 741 abil.

524 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]16.10 Kriitilise koormuse määramineVarrassüsteemi kriitilise koormuse määramiseks moodustatakse teist järku teoorias deformatsioonimeetodikanooniline võrrandisüsteemKV = F (16.145)Võrrandisüsteemi determinant detK = 0 võrdsustatakse nulliga. Kanoonilise võrrandisüsteemikordajates esinevad varda tunnusarvud ν i sisaldavad erinevaid pikijõudeS i . Varda tunnusarvude ν i leidmisel võtame kasutusele varda baastunnusarvu ν i , millekaudu avaldame kõikide varraste tunnusarvud. Varraste eesarvud on siis funktsioonidvarda baastunnusarvust ν 0 . Kanoonilise võrrandisüsteemi determinandi nullisusetingimusest leiame baastunnusarvu ν 0 . Varrassüsteemi kriitilised koormused⎛ √︃ ⎞S kr = ν02 EI 0S, ⎝ν = l ⎠ (16.146)l02 EIavaldame baastunnusarvu kaudu.16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited16.11.1 Raami I kriitiline koormus. Näide 16.1Näide 16.1 Vaatleme joonisel 16.13 kujutatud raami, mis on koormatud sõlmes 1 koondatudjõuga F 1 = F ja sõlmes 2 koondatud jõuga F 2 = 0.75F . Ülesandeks on leida raami koormuseF kriitiline suurus deformatsioonimeetodiga. Raami ristlõigete jäikused ja raami mõõtmed ontoodud joonisel.Erinevalt õpikus [EP67] toodud raami arvutusest kasutatakse kõnesolevas näites arvutiprogrammeja teist märgikokkulepet (vt jaotis 1.12 lk 47).Joonisel 16.14 on esitatud raami geomeetriliselt määratud põhiskeem koos lisasidemetega.Joonisel on esitatud ka varda jäikus i k ja varda tunnusarv ν k .Varraste jäikusedi 12 = 6EI6= i 0 = 1F 1F 2= 0.75 F 11 6 EI 2 7.5 EI 3EI3 EI2 EI4 m¡ ¢ ¢ ¢ £ £¤ ¤ ¤ ¥ ¥¡ 4 5 66 m 6 mJoonis 16.13. Raami stabiilsus

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 525F 1 ν F = 0.75 F12 = 0 21ν 23 = 0¦¦¦¦ ¦ § § § i 12 § = ¦ 1.0 § i § 23= 1.25¦ ¦ § § § ¦¦ ¦¦ ¦ ¦1§ §§ § §§2 ¦ 14 51 i© ¨ ¨ © 14= 0.252 i ¨© 25 i = 0.75 3 36= 0.5¨ ¨ ¨¨ ¨ ¨¨ ¨ ¨¨ ¨ ¨©© ©© © ©© © ©© ©©ν14= 2 ν oν25= ν ν o36= 0¡ ¡ ¢ ¢ 4 5 6¥ ¥ ¤ ¤ ¤ £ £ ¢ν o = 0.5Joonis 16.14. Raami geomeetriliselt määratud põhiskeemi 23 = 7.5EI6= 1.25i 0 = 1.25i 14 = EI4 = 0.25i 0 = 0.25 (16.147)i 25 = 3EI4i 36 = 2EI4= 0.75i 0 = 0.75= 0.5i 0 = 0.5Varraste tunnusarvud. Varda baastunnusarvuks ν 0 võib võtta varda 2–5 tunnusarvu ν 25 (avaldises(16.148) vasakul) või varda 1–4 tunnusarvu ν 14 (avaldises (16.148) paremal).√︃0.75F 1ν 25 = 4 = ν 0 , ν 1 = ν 03EI√︃ √︃ √︂F 1ν 14 = 4EI = 4 0.75F 1 33EI 0.75 = 2 ν 0, ν 2 = 0.5 ν 0 (16.148)ν 12 = ν 23 = ν 36 = 0, ν 4 = ν 5 = ν 3 = 0Deformatsioonimeetodi kanooniline võrrandisüsteemrξ = r ⊖ (16.149)ehk[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃r1 1 r 1 2 ξ1 r1pr 2 1 r 2 2 + Δr 2 2 ξ 2 =r 2p(16.150)12 1ϑ 14= 1 ϑ 25= 1 ϑ 36= 14 5 6¡ ¢ ¢ ¢ £ £¤ ¤ ¤ ¥ ¥¡Joonis 16.15. Raami varrasahel

526 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Võtame varda 1–4 tunnusarvu ν 14 baastunnusarvuks ν 0 .Võrrandisüsteemi (16.150) kordajatest moodustatud determinantdet r =⃒r 1 1 (ν 0 ) r 1 2 (ν 0 )r 2 1 (ν 0 ) r 2 2 (ν 0 ) + Δr 2 2 (ν 0 )Järgnevalt leiame determinandi elemendi r 11 (ν 0 )kusr 1 1 (ν 0 ) = 3 i 4 φ 1 (ν 4 ) + 4 i 2 φ 2 (ν i ) + 3 i 5 φ 1 (ν 5 ) =⃒ = 0 (16.151)= 3 i 4 fi (1, 4) + 4 i 2 fi (2, 2) + 3 i 5 fi (1, 5) (16.152)fi (1, i) = φ 1 (ν i ) fi (4, i) = φ 4 (ν i )fi (2, i) = φ 2 (ν i ) fi (5, i) = η 1 (ν i )fi (3, i) = φ 3 (ν i ) fi (6, i) = η 2 (ν i )(16.153)on i-nda varda pikipõikpainde tegurid (eesarvud), nende arvude tabelid leiab õpikus [EP67] lk598 ja [SALŠ84] lk 407.Pikipõikpainde parandustegurite arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioon fi ja eta.m lk741. Siin funktsiooni fi ja eta(mark,nu) argument mark” on survel ’–’ ja tõmbel ’+’ ning”nu” – varda tunnusarvu arvuline väärtus.”Funktsioon väljastab parandustegurid järjekorras: φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 , η 1 , η 2 .Arvutuspäevik 16.1 Näide parandustegurite: φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 , η 1 ja η 2 arvutamisest.octave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> nu = 2.5nu = 2.5000octave-3.0.1:4> fiJAeta=fi_ja_eta(’-’,nu)’fiJAeta =0.47930 0.77196 1.12858 0.89083 -1.60403 0.37000octave-3.0.1:5> diary offDet10005000−500−1000−1500Võrrandisüsteemi determinandi muutusnukr=3.6772ν −st−20000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ν oJoonis 16.16. Determinandi nullkohad I

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 527Determinandi elemendid r i j (ν 0 )r 1 2 (ν 0 ) = 6 i 2 φ 4 (ν 2 ) θ 2 = 6 i 2 fi (4, 2) θ 2 (16.154)r 2 1 (ν 0 ) = r 1 2 (ν 0 ) (16.155)r 2 2 (ν 0 ) = 3 i 1 η 1 (ν 1 ) θ 2 1 + 12 i 2 η 2 (ν 2 ) θ 2 2 == 3 i 1 fi (5, 1) θ 2 1 + 12 i 2 fi (6, 2) θ 2 2 (16.156)Determinandi (16.151) elemendi r 1 2 (16.154) ees ei ole miinusmärki, sest näites kasutameteist märgikokkulepet (vt 11 lk 281).Determinandi elemendi Δr 2 2 (ν 0 ) arvutamisel lähtume avaldisest (16.124) lk 520 ja avaldisest(16.146)n∑︁ )︁ 2Δri i = − S k l k(︁θ i ∑︁ nk = − νk2k=1k=1EI klk2 l k(︁θ i kAvaldis (16.157) on juba arvesse võetud funktsioonidega η 1 (ν 1 ) ja η 2 (ν 2 ).Determinandi element(︁η 1 (ν 1 ) = C/3 − ν 2)︁ /3,)︁ 2 ∑︁ n 2= − i k(︁ν k θk)︁ i (16.157)k=1(︁η 2 (ν 2 ) = (A + B) /6 − ν 2)︁ /12 (16.158)Δr 2 2 (ν 0 ) = −i 3 (ν 3 θ 3 ) 2 = 0 (16.159)Determinandi det r (16.151) arvutamiseks kasutame GNU Octave’i programminaide3ep.m 11 lk 742. Arvutuse tulemused on toodud arvutuse päevikus 16.2.Determinandi graafik (ν 0 -st )on toodud joonisel 16.16.Varda 1–4 kriitiline jõudS 14 kr = ν1 2 EI 1krl12= 3.6772 2 EI = 0.8451 EI (16.160)42 Siin leiame varda kriitilise tunnusarvu ν 1 kr arvutiprogrammiga naide3ep.m. Arvutuse tulemusedon arvutuse päevikus 16.2. Siit näeme, et ν 1 kr = 3.6772 ja ν 2 kr = 1.8386.Varda 2–5 kriitiline jõudKriitiline jõud F 1 krS 25 kr = ν2 2 EI 2krl22= 1.8386 2 E3I4 2 = 0.6338 EI (16.161)F 1 kr = S 14 kr = 3.6772 2 EI = 0.8451 EI42 F 1 kr = S 25 kr /0.75 = 1.8386 2 E3I4 2 = 0.8451 EI (16.162)0.75Siin 0.75 on tegur, mis arvestab pikijõu jaotust F 2 = 0.75 F 1 (F 1 = F 2 /0.75).11 ./octaveProgrammid/naide3ep.Kommentaarid.pdf

528 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Arvutuspäevik 16.2 Kriitilise jõu arvutusoctave-3.0.1:1> diary naide3ep.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> naide3epArvutuse algus.varraste_pikkused_l =4 4 4 6 6varraste_ristloigete_jaikused_EI =1.0000 3.0000 2.0000 6.0000 7.5000varraste_poordenurgad_deta =1 1 1 0 0varraste_sisejoud =1.00000 0.75000 0.00000 0.00000 0.00000varraste_redutseeritud_jaikused_i =0.25000 0.75000 0.50000 1.00000 1.25000varraste_redutseeritud_tunnusarvud_nured =1.00000 0.50000 0.00000 0.00000 0.00000Läheme esimest Determinandi nulli täpsustama.nu_enne = 3.6700nu_parast = 3.6800Oota! Arvutan.Läheme esimest Determinandi nulli täpsustama.nu_enne = 3.6772nu_parast = 3.6773Oota! Arvutan.Varraste_kriitilised_tunnusarvud =3.67720 1.83860 0.00000 0.00000 0.00000Varraste_sisejoudude_jagunemine =1.00000 0.75000 0.00000 0.00000 0.00000******************************************( Kriitiline pikij~oud S_kr on arvutatud 1. vardale= EI_1/l^2_1)S_1_kr = 3.6772^2 * EI_1/l^2_1

¥£16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 529Raami kriitilise koormusparameetri F_kr leidmiseks tuleb S_kr jagadavarraste_sisejoudude_jagunemisega (s-iga).F_kr = S_1_kr/ 1.0000******************************************Arvutus on l~oppenud.octave-3.0.1:4> diary off16.11.2 Raami II kriitiline koormus. Näide 16.2Näide 16.2 Leida joonisel 16.17 kujutatud raami koormuse kriitiline suurus deformatsioonimeetodiga.Raami mõõtmed ja üksikute varraste ristlõigete jäikused on toodud joonisel 16.17 a.Sõlmedes 4, 1 ja 2 mõjuvad vertikaaljõud F 0 . Ringikestes on toodud varraste numbrid. Tundmatutekson sõlmede 1 ja 2 pöörded φ a ning φ b . Varraste pöördeid (siirdeid; θ) ei ole.Võtame l 0 = a ja S 0 = F 0 .Erinevalt näidisülesannete kogus [ER77] toodud raami arvutusest kasutatakse selles näites arvutiprogrammeja teist märgikokkulepet (vt jaotis 1.12 lk 47).a )F ob )1F o2F o3¡ ¡¡ ¡44/3 EI1¦§¦§4 EI29 EI1EIEI4¤¤ ¤¥5¤5¢¢ ¢£6¢ν1=i 1=ν 2ν oi 0= V 3/2i 2= 2 i 0ν 3= ν oi 3= 4.5 i 0aν o¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨© © © © © © © © © © © © © © ©¨b ϕ aν 4= 0ϕ bi 4= 0.5 i 0ν5= 0i 5= 0.5 i 0i 0= 1Joonis 16.17. Raam ja geomeetriliselt määratud põhiskeemPikijõudude lähendiks S (0) võtame varrasahela (sõlmedes on liigendid) pikijõudS (0)1 = F 0 = 0S (0)2 = 2F 0 = 2S 0S (0)3 = 3F 0 = 3S 0 (16.163)S (0)4 = 0S (0)5 = 0

530 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Varda jäikusedi 1 = 4/3EI2/3l 0= 2EIl 0= i 0 = 1.0i 2 = 4EIl 0= 2.0i 0 = 2.0i 3 = 9EIl 0= 4.5i 0 = 4.5 (16.164)i 4 = EIl 0= i 0 = 0.5i 5 = EIl 0= i 0 = 0.5Varda jäikused i k on toodud joonisel 16.17 b.Varda baastunnusarvuks ν 0 võtameν 0 = l 0√︃√︃S204EI = a2S 04EI(16.165)siisν 1 = 2 √︃ √︃3 l S10 43 EI = l S 003EI = 2 3 ν 0√︃ √︃ √︂S 2ν 2 = l 04EI = l S 0 3 203EI 2 3 = ν 0√︃S 3ν 3 = l 09EI = l S 003EI = 2 3 ν 0 (16.166)ν 4 = 0.0ν 5 = 0.0Varda tunnusarvud ν k on joonisel 16.17 b.Deformatsioonimeetodi kanoonilise võrrandisüsteemi vasaku poole maatriks r[︃ ]︃r1,1 rr =1,2r 2,1 r 2,2 + Δr 2,2(16.167)Võtame varda 1–2 tunnusarvu ν 2 baastunnusarvuks ν 0 .Võrrandisüsteemi (16.167) kordajatest moodustatud determinant det rdet r =⃒r 1,1 (ν 0 ) r 1,2 (ν 0 )r 2,1 (ν 0 ) r 2,2 (ν 0 )Järgnevalt leiame determinandi elemendi r 11 (ν 0 )r 1,1 (ν 0 ) = 3 i 1 φ 1 (ν 1 ) + 4 i 2 φ 2 (ν 2 ) + 3 i 4 φ 1 (ν 4 ) =⃒ = 0 (16.168)= 3 eli 1 fi (1, 1) + 4 eli 2 fi (2, 2) + 3 eli 4 fi (1, 4) (16.169)

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 531kusfi (1, i) = φ 1 (ν i ) fi (4, i) = φ 4 (ν i )fi (2, i) = φ 2 (ν i ) fi (5, i) = η 1 (ν i )fi (3, i) = φ 3 (ν i ) fi (6, i) = η 2 (ν i )(16.170)on i-nda varda pikipõikpainde tegurid (eesarvud), nende arvude tabelid leiab õpikus [EP67] lk598 ja [SALŠ84] lk 407.Pikipõikpainde parandustegurite arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioon fi ja eta.m lk741. Siin funktsiooni fi ja eta(mark,nu) argument mark” on survel ’–’ ja tõmbel ’+’ ning”nu” – varda tunnusarvu arvuline väärtus.”Funktsioon väljastab parandustegurid järgmises järjekorras: φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 , η 1 , η 2 . Näidepikipõikpainde parandustegurite arvutamisest on toodud arvutuspäevikus 16.5 lk 539 ja joonisel16.8 515. Determinandi elemendid r 21 (ν 0 )Determinandi elementr 12 (ν 0 ) = r 21 (ν 0 ) = 2 i 2 φ 3 (ν 2 ) == 2 i 2 fi (3, 2) (16.171)r 22 (ν 0 ) = 4 i 2 φ 2 (ν 2 ) + 4 i 3 φ 2 (ν 3 ) + 4 i 5 φ 2 (ν 5 ) == 4 eli 2 fi (2, 2) + 4 eli 3 fi (2, 3) + 4 eli 5 fi (1, 5) (16.172)Varda kriitilise tunnusarvu ν 2 kr leiame GNU Octave’is kirjutatud arvutiprogrammiganaide1er.m lk 741. Arvutuse tulemused on toodud arvutuse päevikus 16.3. Determinandigraafik (ν 0 -st ) on joonisel 16.18.Arvutuspäevik 16.3 Kriitilise jõu arvutusoctave-3.0.1:1> diary naide1er.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> naide1erArvutuse algus.varraste_pikkused_l =0.66667 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000varraste_ristloigete_jaikused_EI =DetVõrrandisüsteemi determinandi sõltuvus ν −st600040002000nukr=4.09360−2000−4000−60000 1 2 3 4 5 6ν oJoonis 16.18. Determinandi nullkohad II

532 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]1.3333 4.0000 9.0000 1.0000 1.0000varraste_poordenurgad_deta =0 0 0 0 0varraste_sisejoud =1 2 3 0 0varraste_redutseeritud_jaikused_i =1.00000 2.00000 4.50000 0.50000 0.50000varraste_tunnusarvud_nu =0.57735 0.70711 0.57735 0.00000 0.00000varraste_redutseeritud_tunnusarvud_nured =0.81650 1.00000 0.81650 0.00000 0.00000Läheme esimest Determinandi nulli täpsustama.nu_enne = 4.0900nu_parast = 4.1000Oota! Arvutan.Läheme esimest Determinandi nulli täpsustama.nu_enne = 4.0936nu_parast = 4.0937Oota! Arvutan.Varraste_kriitilised_tunnusarvud =3.34241 4.09360 3.34241 0.00000 0.00000Varraste_sisejoudude_jagunemine =1 2 3 0 0******************************************( Kriitiline pikij~oud S_kr on arvutatud 2. vardale= EI_2/l^2_2)S_2_kr = 4.0936^2 * EI_2/l^2_2Raami kriitilise koormusparameetri F_kr leidmiseks tuleb S_kr jagadavarraste_sisejoudude_jagunemisega (s-iga).F_kr = S_2_kr/ 2.0000******************************************

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 533Arvutus on l~oppenud.octave-3.0.1:4> diary offVarda kriitiline tunnusarv ν 1 kr = 3.34241, ν 2 kr = 4.0936 ja ν 3 kr = 3.34241.Varda 2–5 kriitiline jõudS 2 kr = ν2 2 EI 2krl22= 4.0936 2 E4Ia 2= 67.03024 EIa 2 (16.173)Kriitiline jõud F 0 krF 0 kr = S 2 kr /2.0 = 67.03024 EI2 a 2EI= 33.5152a 2EI= 5.78922a 2 (16.174)Siin on 2.0 tegur, mis arvestab pikijõu jaotust (V arraste sisejoudude jagunemine).See tulemus on kooskõlas näidisülesannete kogus [ER77] lk 5 oleva tulemusega (5.80 2 EIa 2 ).16.11.3 Raami III kriitiline koormus. Näide 16.3Näide 16.3 Määrata joonisel 16.19 kujutatud raami kriitiline koormus deformatsioonimeetodiga.Raami mõõtmed ja varraste ristlõigete jäikused ning koormused on joonisel 16.19.Sõlmedes D, E ja F mõjuvad vertikaaljõud F 0 , 4.5F 0 ja 8F 0 . Ringikestes on toodud varrastenumbrid.Raam on kinemaatiliselt kahekordselt määramatu. Tundmatuteks on sõlme E pööre ja varrasahelasiire. Varrasahela skeem ja geomeetriliselt määratud põhiskeem on toodud joonisel16.20. Erinevalt näidisülesannete kogus [ER77] toodud raami arvutusest, kasutatakse kõnesolevasnäites arvutiprogramme ja teist märgikokkulepet (vt jaotis 1.12 lk 47).8F o4.5F o 5FFEo 43D2kN . mEI 4= 237 EI 5= 23722kN . m= 100kN . mEI 328 m4 m1= 200 kN . mEI 12EI 22= 225 kN . m00 11A 000 111B 000 111C00 11000 111000 1116 m6 mJoonis 16.19. Raami skeem kriitilise koormuse määramiseksVõtame varda AD jäikuse baasjäikuseks l 0 = l 1 = 4 m, EI 0 = EI 1 = 200 kN · m 2 , jaS 0 = S 1 = F 0 .Pikijõudude lähendiks S (0) võtame varrasahela (sõlmedes on liigendid) pikijõudS (0)1 = F 0 = S 0S (0)2 = 4.5F 0 = 4.5S 0

534 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]8a )¤ ¤ϑ 1 = 2¥ ¥ ¦ ¦ ¦ϑ 2 = 4/3ϑ 3 = 1i 1 = 1j 1 = 1ν 1 = 1b )j 4 = 0i = 0.75 4ν 4 = 0¡ ¡¡ ¡¡ ¡i 2 = 0.75j 2 = 6.75ν 2 = 3i 5 = 0.75ej = 0 5ν 5 = 0¢ ¢¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢£ ££ ££ £¢i 3 = 0.75j 3 = 16ν 3 = 81§ ¨ ¨ ¨ © © § Joonis 16.20. Raami varrasahel ja geomeetriliselt määratud põhiskeem¤ ¥ ¥ ¤S (0)3 = 8F 0 = 8S 0 (16.175)S (0)4 = 0S (0)5 = 0Varraste jäikusedVarraste jäikused i k on joonisel 16.20.Varda baastunnusarvuks ν 0 võtamei 1 = 2004 = 50 kN·m = 1.0 i 0i 2 = 2256 = 37.5 kN·m = 0.75 i 0i 3 = 1008 = 12.5 kN·m = 0.25 i 0 (16.176)i 4 =2376.3246 = 37.4727 kN·m = 0.749 i 0i 5 =2376.3246 = 37.4727 kN·m = 0.749 i 0ν 0 = l 0√︃S 0l 0 i 0(16.177)siis√︃S 1 S 0= l 0l 1 i 1√︃ν 1 = l 1 = ν 0l 0 i 0√︃√︃S 2S 0ν 2 = l 2 = 1.5l 0 = 3ν 0l 2 i 2 1.5l 0 0.75i 0√︃ √︃S 3S 0ν 3 = l 3 = 2l 0 = 8ν 0 (16.178)l 3 i 3 2l 0 0.25i 0ν 4 = 0ν 5 = 0

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 535Varraste tunnusarvud ν k on esitatud joonisel 16.20.Võrrandisüsteemi (16.145) kordajatest moodustatud determinant det rrdet r = 1,1 (ν 0 ) r 1,2 (ν 0 )⃒ r 2,1 (ν 0 ) r 2,2 (ν 0 ) + Δr 2,2 (ν 0 ) ⃒ = 0 (16.179)Järgnevalt leiame determinandi elemendi r 11 (ν 0 )r 1,1 (ν 0 ) = 3 i 4 φ 1 (ν 4 ) + 4 i 2 φ 2 (ν i ) + 3 i 5 φ 1 (ν 5 ) == 3 i 4 fi (1, 4) + 4 i 2 fi (2, 2) + 3 i 5 fi (1, 5) (16.180)kusfi (1, i) = φ 1 (ν i ) fi (4, i) = φ 4 (ν i )fi (2, i) = φ 2 (ν i ) fi (5, i) = η 1 (ν i )fi (3, i) = φ 3 (ν i ) fi (6, i) = η 2 (ν i )(16.181)on i-nda varda pikipõikpainde tegurid ((eesarvud), nende arvude tabelid leiab õpikus [EP67]lk 598 ja [SALŠ84] lk 407.Pikipõikpainde parandustegurite arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioon fi ja eta.mlk 741. Siin funktsiooni fi ja eta(mark,nu) argument mark” on survel ’–’ ja tõmbel ’+’ ning”nu” – varda tunnusarvu arvuline väärtus.”Funktsioon väljastab parandustegurid järgmises järjekorras: φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 , η 1 , η 2 . Näidepikipõikpainde parandustegurite arvutamisest on toodud arvutuspäevikus 16.5 lk 539 ja joonisel16.8 515. Determinandi elemendid r 12 (ν 12 ) ja r 21 (ν 12 )Determinandi elementr 12 (ν 0 ) = r 21 (ν 0 ) = −6 i 2 φ 4 (ν 2 ) θ 2 == −6 i 2 fi (4, 2) θ 2 (16.182)r 22 (ν 0 ) = 3 i 3 η 1 (ν 3 ) θ 2 3 + 12 i 2 η 2 (ν 2 ) θ 2 2 == 3 i 3 fi (5, 3) θ 2 3 + 12 i 2 fi (6, 2) θ 2 2 (16.183)Determinandi elemendi Δr 22 (ν 0 ) arvutamisel lähtume avaldisest (16.124) lk 520 ja avaldisest(16.146)n∑︁ )︁ 2Δri i = − S k l k(︁θ i ∑︁ nk = − νk2k=1k=1EI klk2 l k(︁θ i k)︁ 2 ∑︁ n 2= − i k(︁ν k θk)︁ i (16.184)Avaldis (16.184) on osaliselt juba arvesse võetud funktsioonidega η 1 (ν 1 ) ja η 2 (ν 2 ). Ainultpendelvardad lähevad eraldi arvesse. Determinandi elementk=1Δr 22 (ν 0 ) = −i 1 (ν 1 θ 1 ) 2 (16.185)Determinandi det r (16.151) arvutamiseks kasutame GNU Octave’i programmi naide2er.mlk 742. Arvutuse tulemused on toodud arvutuse päevikus 16.4.Determinandi graafik (ν 0 -st )on toodud joonisel 16.21.Varda 1–4 kriitiline jõudS 14 kr = ν1 2 EI 1krl12= 0.5139 2 EI = 0.016506 EI (16.186)42

536 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Siin leiame varda kriitilise tunnusarvu ν 1 kr arvutiprogrammiga naide2er.m lk 742, kus ν 1 kr =0.5139, ν 2 kr = 1.5417 ja ν 3 kr = 4.1112.Varda A–D kriitiline jõudS 1 kr = ν1 2 EI 1krl12= 0.5139 2 200 = 3.3812 kN (16.187)42 Kriitiline jõud F 1 kr = S 1 kr = 3.3812 kN See tulemus on kooskõlas näidisülesannete kogus[ER77] lk 13 saadud tulemusega (0.52 2 2004 2 = 3.38 kN).Arvutuspäevik 16.4 Kriitilise jõu arvutusoctave-3.0.1:1> diary naide2er.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> naide2erArvutuse algus.varraste_pikkused_l =4.0000 6.0000 8.0000 6.3246 6.3246varraste_ristloigete_jaikused_EI =200 225 100 237 237varraste_poordenurgad_deta =2.00000 1.33333 1.00000 0.00000 0.00000varraste_sisejoud =1.00000 4.50000 8.00000 0.00000 0.00000varraste_redutseeritud_jaikused_i =1.00000 0.75000 0.25000 0.74946 0.74946varraste_redutseeritud_tunnusarvud_nured =1 3 8 0 0DetVõrrandisüsteemi determinandi muutus ν −st2001000−100nukr=0.5139−200−300−400−5000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2ν oJoonis 16.21. Determinandi nullkohad III

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 537Läheme esimest Determinandi nulli täpsustama.nu_enne = 0.51000nu_parast = 0.52000Oota! Arvutan.Läheme esimest Determinandi nulli täpsustama.nu_enne = 0.51390nu_parast = 0.51400Oota! Arvutan.Varraste_kriitilised_tunnusarvud =0.51390 1.54170 4.11120 0.00000 0.00000Varraste_sisejoudude_jagunemine =1.00000 4.50000 8.00000 0.00000 0.00000******************************************( Kriitiline pikij~oud S_kr on arvutatud 1. vardale= EI_1/l^2_1)S_1_kr = 0.5139^2 * EI_1/l^2_1Raami kriitilise koormusparameetri F_kr leidmiseks tuleb S_kr jagadavarraste_sisejoudude_jagunemisega (s-iga).F_kr = S_1_kr/ 1.0000******************************************Arvutus on l~oppenud.octave-3.0.1:4> diary off16.11.4 Raami IV kriitiline koormus. Näide 16.4Näide 16.4 Leida joonisel 16.22 kujutatud raami koormuse F kriitiline suurus deformatsioonimeetodiga.Raam on koormatud kahe vertikaalse jõuga F . Raami posti ristlõike jäikusEI p = 2 * 10 4 kN·m 2 ja raami riivi ristlõike jäikus EI r = 1.5EI p . Raami ava on 6 m, postidepikkused 5 m ja 2.5 m.Käesolevas näites kasutame teist märgikokkulepet (vt jaotis 1.12 lk 47).Joonisel 16.23 on esitatud raami geomeetriliselt määratud põhiskeem koos lisasidemetega.Varraste jäikusedi 14 = EI p /5.0 = i 0 = 1i 23 = EI p /2.5 = 2.0i 0 = 2.0 (16.188)i 12 = EI r /6.0 = 1.25i 0 = 1.25

538 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]FF125 mEI pEIEI rEI p400 1100 114EIp= 2*10EIrpkN . m= 1.56 m2300 1100 112.5 mJoonis 16.22. Raami IV stabiilsusVarraste tunnusarvud√︃Fν 14 = 5 = ν 0 , ν 1 = ν 0EI pν 12 = ν 23 = ν 36 = 0, ν 2 = 0 (16.189)√︃Fν 23 = 2.5 = 0.5ν 0 , ν 3 = 0.5ν 0EI pVõtame varda 1–4 tunnusarvu ν 14 baastunnusarvuks ν 0 .Deformatsioonimeetodi kanooniline võrrandisüsteem (16.190).rξ = r ⊖ (16.190)ehk⎡⎢⎣⎤r 1 1 r 1 2 r 1 3⎥r 2 1 r 2 2 r 2 3 ⎦r 3 1 r 3 2 r 3 3 + Δr 3 3⎡⎢⎣ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ =⎡⎢⎣⎤r 1p⎥r 2pr 3p⎦ (16.191)a) b)00 11ξ 1 ξ 21 2 00 11 1 200 11ξ 1 ξ 2 ξ 30000 11110000 1111 ξ 30000 1111300 113000 111400 114000 111Joonis 16.23. Raami IV põhiskeem

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 539l 14 ϑ 14l 23 ϑ 23¡¡1 2l 14ϑ ξ 314= 2ϑ ξ 3 314= = 1l 234¦£¦ ¥£¥Joonis 16.24. Raami IV varrasahel¤£¤ ¢£¢¤£¤ ¢£¢Võrrandisüsteemi (16.191) kordajatest moodustatud determinant det r⃒ r 1 1 r 1 2 r ⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 1 3det r =r 2 1 r 2 2 r 21 3 = 0 (16.192)⃒ r 3 1 r 3 2 r 3 3 + Δr 3 3Järgnevalt leiame determinandi elemendi r 1 1 (ν 0 )kusr 1 1 (ν 0 ) = 4 i 1 φ 2 (ν 1 ) + 4 i 2 φ 2 (ν 2 ) == 4 i 1 fi (2, 1) + 4 i 2 fi (2, 2) (16.193)fi (1, i) = φ 1 (ν i ) fi (4, i) = φ 4 (ν i )fi (2, i) = φ 2 (ν i ) fi (5, i) = η 1 (ν i )fi (3, i) = φ 3 (ν i ) fi (6, i) = η 2 (ν i )on i-nda varda pikipõikpainde tegurid ((eesarvud), nende arvude tabelid leiab õpikuslk 598 ja [SALŠ84] lk 407.Funktsioonid η 1 ja η 2 avalduvad eesarvude kaudu(16.194)[EP67]η 1 (ν i ) = (C * /3) − ν 2 /3 (16.195)η 2 (ν i ) = [(A * + B * ) /6] − ν 2 /12 (16.196)Funktsioonid η 1 ja η 2 võtavad juba arvesse liikme Δr 3,3 võrrandis (16.192), mis arvestab vardapööret. Kui kasutatakse funktsioone η 1 ja η 2 , siis Δr 3 3 = 0.Pikipõikpainde parandustegurite arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioon fi ja eta.mlk 741. Siin funktsiooni fi ja eta(mark,nu) argument mark” on survel ’–’ ja tõmbel ’+’ ning”nu” – varda tunnusarvu arvuline väärtus.”Funktsioon väljastab parandustegurid järgmises järjekorras: φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 , η 1 , η 2 .Arvutuspäevik 16.5 Näide parandustegurite: φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 , η 1 ja η 2 arvutamisest.octave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> nu = 1.0592nu = 1.0592octave-3.0.1:4> fiJAeta=fi_ja_eta(’-’,nu)’fiJAeta =

540 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Võrrandisüsteemi determinandi muutus30002500 nu2=0.2546 nu3=0.50702000nu1=1.0592150010005000−500nukr=2.5418−1000−1500−20000 0.5 1 1.5 2 2.5 3Detnu0Joonis 16.25. Determinandi nullkohad IV0.92268 0.96204 1.01937 0.98115 0.54871 0.88766octave-3.0.1:5> diary offDeterminandi elemendid r ij (ν 0 ):r 1 2 (ν 0 ) = 2 i 2 φ 3 (ν 2 ) = 2 i 2 fi (3, 2) (16.197)r 1 3 (ν 0 ) = 6 i 1 φ 4 (ν 1 ) θ 1 = 6 i 1 fi (4, 1) θ 1 (16.198)r 2 1 (ν 0 ) = r 1 2 (ν 0 ) (16.199)r 2 2 (ν 0 ) = 4 i 2 φ 2 (ν 2 ) + 3 i 3 φ 1 (ν 3 ) = 4 i 2 fi (2, 2) + 3 i 3 fi (1, 3) (16.200)r 2 3 (ν 0 ) = 3 i 3 φ 1 (ν 3 ) θ 3 = 3 i 3 fi (1, 3) θ 3 (16.201)r 3 1 (ν 0 ) = r 1 3 (ν 0 ) (16.202)r 3 2 (ν 0 ) = r 2 3 (ν 0 ) (16.203)r 3 3 (ν 0 ) = 3 i 1 η 1 (ν 1 ) θ 2 1 + 12 i 2 η 2 (ν 2 ) θ 2 2 == 3 i 1 fi (5, 1) θ 2 1 + 12 i 2 fi (6, 2) θ 2 2 (16.204)Determinandi (16.192) elemendi r 1 3 (16.198) ja r 2 3 (16.201) ees ei ole miinusmärki, sestnäites kasutame teist märgikokkulepet (vt 11 lk 281).Determinandi (16.192) elementi Δr 3 3 (ν 0 ) arvutatakse avaldisest (16.124) lk 520 ja avaldisest(16.146).n∑︁ )︁ 2Δri i = − S k l k(︁θ i ∑︁ nk = − νk2k=1k=1EI klk2 l k(︁θ i k)︁ 2 ∑︁ n 2= − i k(︁ν k θk)︁ i (16.205)Kõnesolevas näites funktsioonid η 1 ja η 2 võtavad arvesse täiendava liikme Δr 3 3 , siis determinandielement võrdub nulliga, stk=1Δr 3 3 (ν 0 ) = −i 3 (ν 3 θ 3 ) 2 = 0 (16.206)Determinandi (16.192) arvutamiseks kasutame GNU Octave’i programmi naide4al.m 12lk 742. Arvutuse tulemused on toodud arvutuse päevikus 16.6.Determinandi graafik (ν 0 -st )on toodud joonisel 16.25.12 ./octaveProgrammid/naide4al.Kommentaarid.pdf

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 541Varda 1–4 kriitiline jõudS 14 kr = ν1 2 EI 1krl12= 2.5418 2 EI = 0.2584 EI (16.207)52 Siin leiame varda kriitilise tunnusarvu ν 1 kr arvutiprogrammiga naide4al.m. Arvutuse tulemusedon arvutuspäevikus 16.6. Siit näeme, et ν 1 kr = 2.5418 ja ν 2 kr = 1.2709.Varda 2–5 kriitiline jõudKriitiline jõud F 1 krS 25 kr = ν2 2 EI 2krl22= 1.2709 2 E3I = 0.2584 EI (16.208)2.52 F 1 kr = S 1 4 kr = 2.5418 2 EI = 0.2584 EI52 F 2 kr = S 2 3 kr = 1.2709 2 E3I = 0.2584 EI (16.209)2.52 Raami posti ristlõike jäikus EI = EI p = 2.0 · 10 4 kN·m 2 ja raami kriitiline jõud F krArvutuspäevik 16.6 Kriitilise jõu arvutusoctave-3.0.1:1> diary naide4al.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> naide4alArvutuse algus.varraste_pikkused_l =5.0000 6.0000 2.5000varraste_ristloigete_jaikused_EI =1.0000 1.5000 1.0000varraste_poordenurgad_deta =1 0 2varraste_sisejoud =1 0 1varraste_jaikused_i =0.20000 0.25000 0.40000elir =1.0000 1.2500 2.0000F kr = 5168.6 kN (16.210)

542 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]varraste_redutseeritud_jaikused_i =1.0000 1.2500 2.0000varraste_redutseeritud_tunnusarvud_nured =1.00000 0.00000 0.50000Läheme esimest Determinandi nulli täpsustama.nu_enne = 2.5400nu_parast = 2.5500Oota! Arvutan.Läheme esimest Determinandi nulli täpsustama.nu_enne = 2.5418nu_parast = 2.5419Oota! Arvutan.Varraste_kriitilised_tunnusarvud =2.54180 0.00000 1.27090Varraste_sisejoudude_jagunemine =1 0 1******************************************( Kriitiline pikij~oud S_kr on arvutatud 1. vardale= EI_1/l^2_1)S_1_kr = 2.5418^2 * EI_1/l^2_1Raami kriitilise koormusparameetri F_kr leidmiseks tuleb S_kr jagadavarraste_sisejoudude_jagunemisega (s-iga).F_kr = S_1_kr/ 1.0000******************************************Kriitiline_F = 5168.6Arvutus on l~oppenud.octave-3.0.1:4> diary offSurutud varda Euleri kriitiline jõud on järgmine:F kr = π2 EI(μl) 2 (16.211)kus μ – varda kinnitustegur,l – varda pikkus.Võrreldes kriitilise jõu avaldisi (16.146) ja (16.211), saameν 2l 2= π2μ 2 l 2 , (16.212)

16.11 Raami kriitilise koormuse arvutamise näited 543F010101F F F00 11110011000101µ = 1.0 µ = 2.0µ= 0.5 µ= 0.7000 111000 111 000 111 000 111Joonis 16.26. Kinnitusteguridmillest kinnitustegurμ = π ν , (16.213)Vaadeldava raami (joonis 16.22) puhul on varda 1–4 kinnitustegur μ 1 4mis jääb vahemikkuμ 1 4 = π ν = 3.14 = 1.236, (16.214)2.54181.0 < 1.236 < 2.0, (16.215)kus vasakpoolne arv vastab vardale, mille mõlemas otsas on liigendid ja parempoolnearv vastab vardale, mille ühes otsas on jäik kinnitus (vt joonis 16.26).Kui suurendada raami riivi jäikust EI r = 3EI 1 4 ja parempoolse posti jäikust EI 2 3 =2EI 1 4 , siis GNU Octave’i arvutiprogrammiga naide4alVR.m 13 lk 742 leiame ν 1 4 =3.1954 (vt joonis 16.27) ja kinnitusteguri μ 1 4mis jääb vahemikkuμ 1 4 = π ν = 3.14 = 0.98, (16.216)3.19540.7 < 0.98 < 1.0, (16.217)kus vasakpoolne arv vastab vardale, mille ühes otsas on jäik kinnitus ja teises liigend,ning parempoolne arv vastab vardale, mille mõlemas otsas on liigend (vt joonis 16.26).13 ./octaveProgrammid/naide4alVR.Kommentaarid.pdf

544 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]DetVõrrandisüsteemi determinandi muutus12000100008000600040002000nukr=3.19540−2000−4000−60000 1 2 3nu04 5Joonis 16.27. Determinandi nullkoht pärast jäikuse suurendamist

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 54516.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias16.12.1 Raami arvutus. Näide 16.5Näide 16.5 Vaatleme näites 11.2 (joonisel 16.28) toodud raami sisejõudude arvutust deformatsioonimeetodigateist järku teooria järgi. Raam on koormatud kahe vertikaalse jõugaF = 800 kN ja ühtlaselt jaotatud koormusega q z = 20 kN/m ning horisontaalse jõugaH = 90 kN. Raami posti ristlõike jäikus EI p = 2 * 10 4 kN·m 2 ja raami riivi ristlõike jäikusEI r = 1.5EI p . Raami ava on 6 m, postide pikkused 5 m ja 2.5 m.Kõnesolevas näites kasutame teist märgikokkulepet (vt lõik 11 lk 281).5 mF=800 kN F=800 kNq = 20 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111 H = 90 kN0000000000000000000000001111111111111111111111111EI2 r2.5 mEI pEI 00 11p00 11EI = 2*1000 11400 11 6 m3pEIEIrp= 1.54. 2kN mJoonis 16.28. RaamRaami geomeetriliselt määratud põhiskeem ja siirdeolukorra määravad pöörded ξ 1 , ξ 2 jaξ 3 on näidatud joonisel 16.29.Raami virtuaalsiirded (varrasahel) on toodud joonisel 16.30.Varraste tunnusarvude ν ja eesarvude leidmiseks kasutame GNU Octave’i programmieesarvud.m lk 740. Eesarvude arvutamiseks vajalikud lähteandmed on toodud tabelis 16.4.Nende lähteandmetega eesarvude arvutamine on näidatud joonisel 16.31 ja 16.33. Leitudeesarvud kanname tabelisse 16.5 lk 550.Tabelis 16.5 viimases reas x − x on eesarvud esimest järku teooria varda kohta (st pikijõudpuudub ja ν = 0).Varraste koormusliikmed on näidatud joonisel 16.34. Nende kinnitusmomentide arvutamiseksa) b)00 11ξ 1 ξ 21 2 00 11 1 200 11ξ 1 ξ 2 ξ 30000 11110000 1111 ξ 30000 1111300 113000 111400 114000 111Joonis 16.29. Geomeetriliselt määratud põhiskeem

546 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]l 14 ϑ 14l 23 ϑ 23¡¡1 2l 14ϑ ξ 314= 2ϑ ξ 3 314= = 1l 234¦£¦ ¥£¥Joonis 16.30. Varrasahel¤£¤ ¢£¢¤£¤ ¢£¢Tabel 16.4. Varraste andmedV arras l [m] S o [kN] EI [kN·m 2 ]1–2 6.0 −54.0 3·10 41–4 5.0 −897.5 2·10 42–3 2.5 −822.5 2·10 4vajalikud avaldised on toodud tabelis H.7 lk 710. SaameM 0 12 = −M 0 21 = (A * − B * ) V * q zl 224 = 1.98919*1.0065220*62 24= 60.065 kN·m 2 (16.218)Joonis 16.31. Raami varraste eesarvud. Varras 1–2

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 547Joonis 16.32. Raami varraste eesarvud. Varras 1–4M 0 14 = −M 0 41 = M 0 23 = 0 (16.219)Esitame varraste kinnitusmomendid veeruvektorina⎡M 0 ⎤ ⎡12 60.065M 0 M 0 21−60.065=M 0 ⎢ 14=0⎣ M410 ⎥ ⎢⎦ ⎣ 0M230 0⎤⎥⎦(16.220)Koormusliikme Z 0 1leiame sõlme 1 tasakaalust (joonis 16.34)Z 0 1 = M 0 12 + M 0 14 = 60.065 + 0 = 60.065 kN·m (16.221)Koormusliikme Z 0 2leiame sõlme 2 tasakaalust (joonis 16.34)Z2 0 = M21 0 + M23 0 = −60.065 + 0 = −60.065 kN·m (16.222)Koormusliikme Z3 0 leidmiseks vaatleme jõudude ja momentide virtuaaltööd varrasahela (joonis16.30) siiretel. Posti pööret ξ 3 takistavas sidemes tekkiva reaktsioonimomendi Z3 0 esitamejõupaarina. Jõud on rakendatud varda mõlemas otsas risti varda teljega ja jõudude suurustekson reaktsioonimoment Z3 0 jagatud varda pikkusega 5 (joonis 16.34).Varrasahela virtuaaltööZ 0 3δθ 14 − Hδ (l 23 θ 23 ) = 0 (16.223)

548 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Kinnitusmomentide M12 0 , M 21 0 virtuaaltöö on null, sest varras 1–2 ei pöördu. Ka vertikaalsetejõudude töö on null, kuna puudub vastav vertikaalne siire.Virtuaalpööre δθ 14 ja siire δ (l 23 θ 23 ) avalduvad virtuaalpöörde δξ 3 kauduδθ 14 = δξ 3 , δ (l 23 θ 23 ) = 2.5*2δξ 3 (16.224)Arvestades virtuaalsiirete avaldisi (16.224), saame varrasahela virtuaaltöö[︁ ]︁Z3 0 − H*5 δξ 3 = 0 (16.225)millest avaldame koormusliikme Z 0 3Z 0 3 = H*5 = 90*5 = 450.0 kN·m (16.226)Koormusliikmed esitame veeruvektorina −Z 0 . Vastupidiseid märke kasutame eesmärgiga viiakoormusliikmed võrrandisüsteemi paremale poole:Z ⊖ = −Z 0 =⎡⎢⎣−Z 0 1−Z 0 2−Z 0 3⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣−60.06560.065−450.0Varraste reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest (joonis 16.35):⎤⎥⎦ (16.227)M 1 12 = A * EI rl 12,1M12 1 = 3.99135 1.5 = 0.99784 (16.228)EI p 6Joonis 16.33. Raami varraste eesarvud. Varras 2–3

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 549a) Z 0 F=800 kN F=800 kN10b)q = 20 kN/m Z 0Z 0 F=800 kN F=800 kNM 1 0M 012000000000000000000000000111111111111111111111111 2M q = 20 kN/m21 Z 0H = 90 kN 010000000000000000000000011111111111111111111111122000000000000000000000000111111111111111111111111010000000000000000000000011111111111111111111111H = 90 kN120M 0 010Z 0 1 23M 1421 M 2300M5 M 1423000 111000 11100 11000 111Z 0 33000 1113000 11100 11000 111000 111000 111Z 03500 11 04 00 11 0400 11M M4100 11 41Joonis 16.34. KinnitusmomendidM 1 21 = B * EI rl 12,1M21 1 = 2.00216 1.5 = 0.50054 (16.229)EI p 6M 1 14 = A * EI rl 14,1M14 1 = 3.8482 1 = 0.76964 (16.230)EI p 5M 1 41 = B * EI rl 14,1M41 1 = 2.0387 1 = 0.40774 (16.231)EI p 5M 1 23 = 0 (16.232)Esitame varraste reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest ξ 1 5×3 maatriksi M 123 veeruna⎡M 123 ξ =⎢⎣M12 1 . .M21 1 . .M14 1 . .M41 1 . .M23 1 . .⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎡⎦ =⎢⎣0.99784 . .0.50054 . .0.76964 . .0.40774 . .0.0 . .⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ (16.233)a)11111 ξ 1 1M 1Z 12b)M = 1 Z M1 1221 ZM221 Z0120121Z10M 13141M1235 M14M 23000 1111000000111111000 111000 111 33Z00 113000000111111000 111000 11100 11000000111111000 1111Z311M 5 M41 000 11144 00 11 41000 11100 111Joonis 16.35. Reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest11 12

550 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Tabel 16.5. Varraste eesarvudV arras ν A * B * A * + B * C * A * − B * V *1 − 2 0.2546 3.9914 2.0022 5.9935 2.9870 1.9892 1.00551 − 4 1.0592 3.8482 2.0387 5.8869 2.7681 1.8094 1.12662 − 3 0.5070 3.9656 2.0086 5.9743 2.9482 1.9570 1.0264x − x 0.0 4.0 2.0 6.0 3.0 2.0 1.0Sõlmede reaktsioonimomendid sõlme 1 pöördest (joonis 16.35) saame vastava sõlmetasakaalust. Sõlme 1 tasakaalust (joonis 16.35) saameja sõlme 2 tasakaalustZ 1 1 = M 1 12 + M 1 14 = EI p (0.99784 + 0.76964) = 1.7675EI p (16.234)Z 1 2 = M 1 21 + M 1 23 = EI p (0.50054 + 0.0) = 0.50054EI p (16.235)Reaktsioonimomendi Z3 1 leidmiseks vaatleme varraste reaktsioonimomentide tööd varrasahela(joonis 16.30) siiretel. Posti pööret ξ 3 takistavas sidemes tekkiva reaktsioonimomendi Z3 1 esitamejõupaarina. Jõud on rakendatud varda mõlemas otsas risti varda teljega ja jõudude suurustekson reaktsioonimoment Z3 1 jagatud varda pikkusega 5 (joonis 16.35).Varraste reaktsioonimomentide virtuaaltöö sõlme 1 pöördest(︁)︁ [︁ (︁)︁]︁Z3δθ 1 14 − M14 1 + M411 δθ 14 = Z3 1 − M14 1 + M411 δθ 14 = 0 (16.236)Võrrandist (16.236) saame(︁)︁Z3 1 = M14 1 + M411 = EI p (0.76964 + 0.40774) = 1.1774EI p (16.237)Sõlmede ja varraste pöörete leidmiseks alustame võrrandisüsteemi koostamist. Võrrandisüsteemitundmatute ees olevatest kordajatest moodustame 3×3 maatriksi A, mille esimene veergon⎡Z 1 ⎤ ⎡1 . . ξ 1 ⎤ ⎡⎤ ⎡1.7675 . . ξ 1 ⎤⎢Aξ = ⎣ Z2 1 ⎥ ⎢. . ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎦ = EI p ⎣ 0.5005 . . ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (16.238)Z3 1 . . ξ 3 1.1774 . . ξ 3Varraste reaktsioonimomendid sõlme 2 pöördest (joonis 16.36):M 2 12 = B * EI rl 12,M 2 21 = A * EI rl 12,1M12 2 = 2.0022 1.5 = 0.50054 (16.239)EI p 61M21 2 = 3.9914 1.5 = 0.99784 (16.240)EI p 6M 2 14 = M 2 41 = 0 (16.241)

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 551M 2 23 = C * EI pl 23,1M23 2 = 2.94821 1 = 1.1793 (16.242)EI p 2.5Esitame varraste reaktsioonimomendid sõlme 2 pöördest ξ 2 5×3 maatriksi M 123 teiseveeruna:⎡M12 1 M 2 ⎤ ⎡⎤12 .MM 123 21 1 M 2 ⎡21 .ξ 1 ⎤ 0.99784 0.50054 . ⎡0.50054 0.99784 .ξ 1 ⎤ξ =M 1 ⎢ 14 M14 2 ⎢.⎣ ξ 2 ⎥⎢⎦ =0.76964 0.0 .⎣ ξ 2 ⎥⎦⎣ M41 1 M41 2 ⎥. ⎦ ξ 3 ⎢⎥⎣ 0.40774 0.0 . ⎦ ξ 3M23 1 M23 2 .0 1.17930 .(16.243)a) 2ξ 2 b) 2Z1 22 2 = 1 Z1 2M M 21Z2M 1201121011Z2013222M M 14M 235 14000 111 2000 111 300000 11111000 111 Z3000 11100000 11111000 1112 00000 11111Z32M2000 111 415 400 11M 441000 11100 1122M 2122M 23Z300 1100 1122Joonis 16.36. Reaktsioonimomendid sõlme 2 pöördestSõlmede reaktsioonid sõlme 2 pöördest (joonis 16.36) saame vastava sõlmetasakaalust. Sõlme 1 tasakaalust (joonis 16.36) saameja sõlme 2 tasakaalustZ 2 1 = M 2 12 + M 2 14 = EI p (0.50054 + 0.0) = 0.50054EI p (16.244)Z 2 2 = M 2 21 + M 2 23 = EI p (0.99784 + 1.17930) = 2.17719EI p (16.245)Reaktsioonimomendi Z3 2 leidmiseks vaatleme varraste reaktsioonimomentide tööd varrasahela(joonis 16.30) siiretel. Posti pööret ξ 3 takistavas sidemes tekkiva reaktsioonimomendi Z3 2 esitamejõupaarina. Jõud on rakendatud varda mõlemas otsas risti varda teljega ja jõudude suurustekson reaktsioonimoment Z3 2 jagatud varda pikkusega 5 (joonis 16.36).Varraste reaktsioonimomentide virtuaaltöö sõlme 2 pöördest[︁]︁Z3δθ 2 14 − M23δθ 2 23 = Z3 2 − 2M232 δθ 14 = 0 (16.246)Võrrandist (16.246) saameZ 2 3 = 2M 2 23 = EI p 2*1.17930 = 2.3586EI p (16.247)Lisame võrrandisüsteemi tundmatute ees olevatest kordajatest maatriksile A teise veeru⎡Z1 1 Z 2 ⎤ ⎡1 . ξ 1 ⎤ ⎡⎤ ⎡1.7675 0.5005 . ξ 1 ⎤⎢Aξ = ⎣ Z2 1 Z2 2 ⎥ ⎢. ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥ ⎢⎥ ⎢⎦ = EI p ⎣ 0.5005 2.1771 . ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (16.248)Z3 1 Z3 2 . ξ 3 1.1774 2.3586 . ξ 3

552 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]a)Z31130000 1111Z30000 11110000 1111300 11 M4 4100 113M 123M 14M 3 213 Z223M 233001100 11ξ 3 = 1Z335b) 3Z 331M M122100 11 1 2Z300 11335M 1400000111110000011111000 111 30000011111000 1110000011111000 111 43000 111M 41Z323M 23Joonis 16.37. Reaktsioonimomendid varda pöördestVarraste reaktsioonimomendid varda 1–2 siirdest (joonis 16.37):M 3 12 = M 3 21 = 0.0 (16.249)M 2 14 = (A * + B * ) EI rl 14,1M14 3 = 5.8869 1 = 1.1774 (16.250)EI p 5M 3 41 = M 3 14 = 1.1774 (16.251)M 3 23 = C * EI pl 23*2,1MEI23*2 3 = 2.94821 1 *2 = 2.3586 (16.252)p 2.5Esitame varraste reaktsioonimomendid varda pöördest ξ 2 5×3 maatriksi M 123 kolmandaveeruna⎡M12 1 M12 2 M 3 ⎤ ⎡⎤12MM 123 21 1 M21 2 M 3 ⎡21ξ 1 ⎤ 0.99784 0.5005 0 ⎡0.50054 0.99784 0ξ 1 ⎤ξ =M 1 ⎢ 14 M14 2 M143 ⎢⎣ ξ 2 ⎥⎢⎦ =0.76964 0 1.1774⎣ ξ 2 ⎥⎦ (16.253)⎣ M41 1 M41 2 M413 ⎥⎦ ξ 3 ⎢⎥⎣ 0.40774 0 1.1774 ⎦ ξ 3M23 1 M23 2 M233 0 1.1793 2.3586Sõlmede reaktsioonimomendid varda 1–2 siirdest (joonis 16.37) saame vastava sõlmetasakaalust. Sõlme 1 tasakaalust (joonis 16.37) saameja sõlme 2 tasakaalustZ 3 1 = M 3 12 + M 3 14 = EI p (0.0 + 1.1774) = 1.1774EI p (16.254)Z 3 2 = M 3 21 + M 3 23 = EI p (0.0 + 2.3586) = 2.3586EI p (16.255)Reaktsioonimomendi Z3 3 leidmiseks vaatleme varraste reaktsioonimomentide tööd varrasahela(joonis 16.30) siiretel. Posti pööret ξ 3 takistavas sidemes tekkiva reaktsioonimomendi Z3 3 esitamejõupaarina. Jõud on rakendatud varda mõlemas otsas risti varda teljega ja jõudude suurustekson reaktsioonimoment Z3 3 jagatud varda pikkusega 5 (joonis 16.37).Varraste reaktsioonimomentide virtuaaltöö varda 3 pöördest (θ 23 = 2θ 14 = ξ 3 , joonis 16.30(︁)︁[︁ (︁)︁ ]︁Z3δθ 3 14 − M14 3 + M413 δθ 14 − M23δ 3 23 = Z3 3 − M14 3 + M413 − 2M233 δθ 14 = 0 (16.256)

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 553l 14ϑ 14l 23ϑ 23l 14ϑ 14l ϑa)b)23 2300 111 200 11 1 2Z300 113ϑ0000 1111 14 = ξ 3ϑ 235= 1ϑ 14 ξ 3ϑ= = 1 233 o 3o30000 1111S 23 = 822.5 kN S 23 = 822.5 kNZ3000 11100 110000 11113 o0000 1111Zo 3 S 14=897.5 kNS 14=897.5 kN 5000 1114400 11000 11100 11Joonis 16.38. Raami täiendav momentVõrrandist (16.256) saameZ 3 3 =(︁)︁M14 3 + M413 + 2M23 3 =EI p [1.1774*1 + 1.1774*1 + 2*2.3586] = 7.0720EI p (16.257)Lisame võrrandisüsteemi tundmatute ees olevatest kordajatest maatriksile A kolmanda veeru⎡Z1 1 Z1 2 Z 3 ⎤ ⎡1 ξ 1 ⎤⎢Aξ = ⎣ Z2 1 Z2 2 Z23 ⎥ ⎢⎦ ⎣ ξ 2 ⎥⎦ =Z3 1 Z3 2 Z3 3 + ΔZ3 3 ξ 3⎡⎤ ⎡1.7675 0.5005 1.1774 ξ 1 ⎤⎢⎥ ⎢= EI p ⎣ 0.5005 2.1771 2.3586 ⎦ ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (16.258)1.1774 2.3586 7.0720 − 0.63562 ξ 3Võrrandisüsteemis (16.258) võtab liige ΔZ3 3 arvesse täiendava momendi (16.124)n∑︁2ΔZi i = − S k l k(︁θk)︁ i (16.259)k=11EI pΔZ 3 3 = − 12*10 4 (︁822.5*2.5*2 2 + 897.5*5.0*1 2)︁ = −0.63562 (16.260)Sõlmede ja varraste pöörete leidmiseks koostasime võrrandisüsteemiAξ = Z ⊖ (16.261)kus maatriks A on leitud avaldis (16.258) ja vektor Z ⊖ (16.227) ning vektor ξ⎡ξ 1 ⎤⎢ξ = ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (16.262)ξ 3Võtame kasutusele uue muutuja X = EI p ξ ja maatriksi a = EI p A ning esitame võrrandisüsteemi(16.261) järgmisel kujul:aX = Z ⊖ (16.263)

554 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]ehk⎡⎢⎣1.7675 0.5005 1.17740.5005 2.1771 2.35861.1774 2.3586 6.4364⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣X 1 ⎤X 2 ⎥⎦ =X 3⎡⎢⎣−60.06560.065−450.0⎤⎥⎦ (16.264)Võrrandisüsteemi (16.263) lahendame GNU Octave’iga:Võrrandisüsteemi lahend on⎡⎢⎣X 1 ⎤X 2 ⎥X 3⎡⎢⎦ = EI p ⎣Momendid varraste otstes leiame avaldisegaX = a∖Z ⊖ (16.265)ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ =⎡⎢⎣6.7297171.0100−133.8120⎤⎥⎦ (16.266)M = M 0 + M 123 ξ (16.267)ehk⎡⎢⎣⎤M 12M 21M 14⎥M 41 ⎦M 23⎡=⎢⎣M 0 12M 0 21M 0 14M 0 41M 0 23⎤⎡+⎥ ⎢⎦ ⎣M12 1 M12 2 M123M21 1 M21 2 M213M14 1 M14 2 M143M41 1 M41 2 M413M23 1 M23 2 M233⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ (16.268)kus maatriks M 0 on toodud avaldisega (16.220) ja maatriks M 123 avaldisega (16.253). Momentideavaldise (16.267), (16.268) esitame leitud X kauduM = M 0 + 1EI pM 123 X (16.269)ehk⎡⎢⎣⎤M 12M 21M 14⎥M 41 ⎦M 23⎡=⎢⎣60.065−60.065000⎤⎡+⎥ ⎢⎦ ⎣0.99784 0.5005 00.50054 0.99784 00.76964 0 1.17740.40774 0 1.17740 1.1793 2.3586⎤⎡⎢⎣⎥⎦6.7297171.0100−133.8120⎤⎥⎦ (16.270)⎡⎢⎣⎤M 12M 21M 14⎥M 41 ⎦M 23⎡=⎢⎣152.38113.94−152.37−154.81−113.94⎤⎥⎦(16.271)Leitud momendid varraste otstes (16.271) kanname joonisele 16.39 a. Momendi positiivne janegatiivne suund on näidatud joonisel 16.39 b.

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 555Tabel 16.6. Momentide võrdlus I ja II järku teooriasS˜olm M I M II Erinevus1 135.00 152.37 12.9 %2 90.00 113.94 26.6 %4 135.00 154.81 14.7 %Teist järku teooriaga leitud momentide võrdlus esimest järku teooriaga (vt joonis 11.25) ontoodud tabelis 16.6.Varda 1–2 paindemomentide leidmiseks kasutame avaldisi (16.272) ja (16.273) või GNUOctave’is kirjutatud funktsiooni mxrikki.m lk 741 ja mxq.m lk 741. Arvutuse tulemused GNUOctave’i funktsiooniga on toodud joonisel 16.40.Arvutustulemused kanname tabelisse 16.7. Tabelis olevad arvud vastavad esimesele märgikokkuleppele.1M 12 M 21 2000 111xν = 0.2546 00 11M R sin ν x l(x) = M 21sin ν + M sin ν (︀ 1 − x l12sin ν)︀(16.272)q1 2000 1110000000000000000000011111111111111111111000 111000 111xν000 111= 0.2546M q 0 (x) = q z(︂ lν)︂ 2[︃sin(︀ νxl)︀ (︀ (︀ )︀)︀ ]︃+ sin ν 1 −xl− 1 (16.273)sin νVarda 1–4 paindemomentide leidmiseks kasutame avaldist (16.274) või GNU Octave’iskirjutatud funktsiooni mxrikki.m lk 741. Arvutuse tulemused GNU Octave’i funktsiooniga ontoodud joonisel 16.41. Arvutuse tulemused kanname tabelisse 16.8.Varda 2–3 paindemomentide leidmiseks kasutame avaldist (16.275) või GNU Octave’is kirjutatudfunktsiooni mxrikki.m lk 741. Arvutuse tulemused GNU Octave’i funktsiooniga on toodudjoonisel 16.41. Arvutustulemused kanname tabelisse 16.9.Leitud paindemomendid (tabelid 16.7–16.9) kanname joonisele 16.42. Joonisel 16.42 onTabel 16.7. Momendid vardas 1– 2x/l 0 1/4 2/4 3/4 1M R (x) −152.3704 −86.0451 −19.3718 47.3801 113.9400M q (x) 0.0000 67.9358 90.6117 67.9358 0.0000M (x) −152.3700 −18.1093 71.2400 115.3159 113.9400

556 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]M 41 M 144 1000 111xν00 11= 1.0592M R sin ν x l(x) = M 14sin ν + M sin ν (︀ 1 − x l41sin ν)︀(16.274)M 23 M 322 3000 111xν00 11= 0.5070M R sin ν x l(x) = M 32sin ν + M sin ν (︀ 1 − x l23sin νTabel 16.8. Momendid vardas 1–4x/l 0 1/4 2/4 3/4 1M R (x) 154.8100 80.9328 1.4137 −78.2040 −152.3700)︀(16.275)Tabel 16.9. Momendid vardas 2–3x/l 0 1/4 2/4 3/4 1M R (x) 1139.9400 87.0941 58.8508 29.6634 0.0000pideva joonega näidatud momendid, mis on leitud teist järku teooria järgi. Punktiirjoonega onmomendid esimest järku teooria järgi.Raami varraste põikjõu määramisel arvestame, et teist järku teoorias on ka põikjõud võrdnepaindemomendi tuletisega. Avaldisest (16.136) ja (16.144) tuletise võtmisel saameQ R (x) = dM R (x)dx= ν l[︂ (︂1M ik cos ν x )︂ (︂ (︂+ M ki cos ν 1 − x )︂)︂]︂sin νll(16.276)a)1 2113.94152.37119.941152.37234154.81b)MJoonis 16.39. Momendid varda otstes

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 557Q q (x) = dM q 0 (x)dx= qlν[︂ (︂1cos ν x )︂ (︂ (︂− cos ν 1 − x )︂)︂]︂sin ν ll(16.277)1M 12 M 21 2000 111xν = 0.2546 00 11Q R (x) =ν [︂M 21 cos ν x (︂l sin ν l + M 12cos ν 1 − x )︂]︂l(16.278)q1 2000 1110000000000000000000011111111111111111111000 111000 111xν000 111= 0.2546Q q (x) = qlν[︂ (︂1cos ν x )︂ (︂ (︂− cos ν 1 − x )︂)︂]︂sin ν ll(16.279)M 41 M 144 1000 111xν00 11= 1.0592Q R (x) =ν [︂M 14 cos ν x (︂l sin ν l + M 41cos ν 1 − x )︂]︂l(16.280)M 23 M 322 3000 111xν00 11= 0.5070Q R (x) =ν [︂M 32 cos ν x (︂l sin ν l + M 23cos ν 1 − x )︂]︂l(16.281)Varda 1–2 põikjõu Q (x) leidmisel kasutame avaldisi (16.278) ja (16.279) või GNUOctave’is kirjutatud funktsiooni mxrikki.m lk 741. Arvutuse tulemused GNU Octave’i funktsioonigaon toodud joonisel 16.40. Arvutuste tulemused kanname tabelisse 16.10.Varda 1–4 põikjõu leidmiseks kasutame avaldist (16.280) või GNU Octave’is kirjutatud funktsioonimxrikki.m lk 741. Arvutuse tulemused GNU Octave’i funktsiooniga on toodud joonisel16.41.Varda 2–3 põikjõu leidmiseks kasutame avaldist (16.281) või GNU Octave’is kirjutatud funktsioonimxrikki.m lk 741. Arvutuse tulemused GNU Octave’i funktsiooniga on toodud joonisel16.41. Arvutuste tulemused kanname tabelisse 16.12.Leitud põikjõud (tabelid 16.10–16.12) kanname joonisele 16.45.Raami sõlmede tasakaalust (vt. joonis 16.43 ja 16.44 lk 561) saame pikijõud.Eelnevalt leiame varda otstes mõjuvad ristjõud H (1)ik(vt. avaldisi (16.127) (16.128)).Saame:H (1)ik = Ho ik −H (1)ki= H o ki +M(1)ikM(1)ik(1)+ Mik− S (0)l ik(1)+ Mik+ S (0)l ikik θ(1)ik θ(1)ik(16.282)ik(16.283)

558 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Tabel 16.10. Põikjõud vardas 1–2x/l 0 1/4 2/4 3/4 1Q R (x) 44.0406 44.3627 44.5051 44.4673 44.2493Q q (x) 60.3262 30.2243 0.0000 −30.2243 −60.3262Q (x) 104.3668 74.5870 44.5051 14.2430 −16.0769Avaldises (16.282) ja (16.283) on kasutusel teine märgikokkulepe.Varraste 1–4 ja 2–3 pöörded θ (1)14 ja θ(1) 23 onNüüd arvutame ristjõudθ (1)14 = X3EI p= − 133.8122·10 4 = −6.6906*10 −3 ,θ (1)23 = −2*θ (1)14 = −2*6.6906·10−3 = −1.3381*10 −2 (16.284)Tabel 16.11. Põikjõud vardas 1–4x/l 0 1/4 2/4 3/4 1Q R (x) −55.4306 −62.0815 −64.4047 −62.2383 −55.7332Joonis 16.40. Momendi ja põikjõu arvutus vardas 2

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 559Joonis 16.41. Momendi ja põikjõu arvutus vardas 1 ja 3Tabel 16.12. Põikjõud vardas 2–3x/l 0 1/4 2/4 3/4 1Q R (x) −41.6023 −44.1896 −46.0678 −47.2070 −47.5887Raami varrastes mõjuva pikijõu leidmiseks lõikame välja sõlmed 1 ja 2 (joonis 16.43ja 16.44). Kanname joonisele kõik sõlmele mõjuvad jõud. Pikijõud S 12 , S 14 , S 21 , S 23 , midameie otsime, näitame positiivses suunas. Ristjõud kanname joonisele nende mõjumise suunas(joonis 16.43 ja 16.44).Normaaljõud piki varrast muutub olenevalt ristlõike pöördest φ. Normaaljõu epüüri asemelon esitatud pikijõudude epüür.Leitud pikijõu kanname joonisele 16.46152.37(135.0)18.11113.94(90.0)278.2111.41(0.0)71.24(67.5)115.3158.85(45.0)113.943 (90.0)4000 111000 11180.93M [kN.m]154.805(135.0)Joonis 16.42. Raami paindemomentide epüür

560 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]H (1)121zM 12xM 212H (1)21H (1)12 = −20*6 152.38 + 113.94− − 0 =2 6.0= −60.0 − 44.387 = −104.39 kN (16.285)H (1)21 = −20*6 152.38 + 113.94+ − 0 =2 6.0= −60.0 + 44.387 = −15.613 kN (16.286)H (1)141zM 14 M 41x4 H (1)14 = − 154.81−H(1) 41 = −−152.37 −5.0−897.50*6.6906*10 −3 = 61.436 − 6.0048 =H (1)21= 55.431 kN (16.287)H (1)232 M 23 M 32 3 H (1)zxH (1)3223 = −H(1) 32− 0.0= −−113.94 −2.5−822.50*1.3381*10 −2 == 45.576 − 11.006 = 34.570 kN (16.288)8001104.385S 12Sϕ 1255.431S 14 S 1455.431z104.3852xJoonisel 16.43 on näidatud sõlmele 1 mõjuvad jõud. Tasakaalutingimustegaleiame∑︁X = 0, S12 = −55.431 kN (16.289)∑︁Z = 0, S14 = −800 − 104.385 = −904.385 kN (16.290)4Joonis 16.43. Sõlme 1tasakaalTeise lähendi vajalikkuse selgitamiseks leiame eesarvud. Eesarvude teise lähendi arvutamiseksvajalikud lähteandmed on toodud tabelis 16.13. Nende andmete alusel arvutame varrastetunnusarvud ν ja eesarvud GNU Octave’i programmi eesarvud.m lk 740 abil. Arvutuse tulemusinäeme arvutuspäevikus 16.7.

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 56115.611zS 21S 21xϕ80029034.56915.61S S232334.5693Joonisel 16.44 on näidatud sõlmele 2 mõjuvad jõud. Tasakaalutingimustegaleiame∑︁X = 0, S21 = −90 + 34.564 = −55.436 kN (16.291)∑︁Z = 0, S23 = −800 − 15.615 = −815.615 kN (16.292)Joonis 16.44. Sõlme 2tasakaalTabel 16.13. Varraste lähteandmed teisel lähendilV arras 1 [m] S o [kN] EI [kN·m 2 ]1–2 6.0 −55.431 3·10 41–4 5.0 −904.385 2·10 42–3 2.5 −815.615 2·10 4Arvutuspäevik 16.7 octave-3.0.1:5> diary onoctave-3.0.1:6> eesarvudEESARVUD PIKIP~OIKPAINDELVarda pikkus l=6.0----------------------------------------------------------------------Pikij~oud survel : S= -55.431 Varda ristl~oike paindejäikus EJ= 30000----------------------------------------------------------------------nu | A | B | A+B | C | A-B | V----------------------------------------------------------------------0.25791 3.99112 2.00222 5.99335 2.98667 1.98890 1.00670----------------------------------------------------------------------EESARVUD PIKIP~OIKPAINDEL(97.5)(22.5)(54.0)(54.0)55.7362.2464.4062.0155.43104.37000 11174.3944.5114.24Q [kN]16.0800 1141.6044.1946.0747.2147.59(36.0)(36.0)Joonis 16.45. Raami põikjõu epüür

562 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]55.43(54.0)904.39(897.5) 000 111N [kN]815.61(822.5)00 11Joonis 16.46. Raami pikijõu epüürVarda pikkus l=5.0----------------------------------------------------------------------Pikij~oud survel : S= -904.385 Varda ristl~oike paindejäikus EJ= 20000----------------------------------------------------------------------nu | A | B | A+B | C | A-B | V----------------------------------------------------------------------1.0632 3.8470 2.0390 5.8860 2.7662 1.8079 1.1277----------------------------------------------------------------------EESARVUD PIKIP~OIKPAINDELVarda pikkus l=2.5----------------------------------------------------------------------Pikij~oud survel : S= -815.615 Varda ristl~oike paindejäikus EJ= 20000----------------------------------------------------------------------nu | A | B | A+B | C | A-B | V----------------------------------------------------------------------0.50486 3.96590 2.00856 5.97447 2.94865 1.95734 1.02616----------------------------octave-3.0.1:9> diary offLeitud varraste tunnusarvud ν ja eesarvud teises lähenduses kanname tabelisse 16.14. Sellestabelis eesarvud erinevad vähe esimeses lähenduses leitutega (tabel 16.5). Seega võimeloobuda teisest lähendamisest.Raami staatiline kontroll.Projitseerime kõik jõud horisontaalteljele X (joonis 16.47):ΣX = 0; 55.43057 + 34.56943 − 90 = 0.0 (16.293)Projitseerime kõik jõud vertikaalteljele Z (joonis 16.47):ΣZ = 0; −904.38504 − 815.61496 + 6 * 20 + 2 * 800 = 0.0 (16.294)Tabel 16.14. Varraste eesarvude teine lähendV arras ν A * B * A * + B * C * A * − B * V *1–2 0.2579 3.9911 2.0022 5.9934 2.9867 1.9889 1.00671–4 1.0632 3.8470 2.0390 5.8840 2.7662 1.8079 1.12772–3 0.5049 3.9659 2.0086 5.9745 2.9487 1.9573 1.0262x–x 0.0 4.0 2.0 6.0 3.0 2.0 1.0

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 5630.033453F=800 kN F=800 kNq = 20 kN/m000 111 00000000000000000000000011111111111111111111111112H = 90 kN5 m2.5 m300 1134.569154.805400 11 55.4316 m815.615904.385Joonis 16.47. Raami toereaktsioonidMomentide summaga kontrollimine on väga oluline kontroll. Paljudel juhtudel avastataksearvutustes tehtud viga alles selle kontrolliga.Arvutame momentide summa toe 3 suhtes.Teist järku teoorias peame arvestama raami deformeerunud kujuga (joonis 16.47). Raami riivisiirde leiame varda 1–4 pöörde θ 14 = 6.6906*10 −3 (16.284) ja varda pikkuse korrutisegaΔ 1 2 = l 1 4 * θ 14 = 5.0 * 6.6906*10 −3 = 0.033453 (16.295)Leitud siire Δ 1 2 ühtib näites 16.8 leituga. Täiendav moment varraste pöördest ΔMΔM = 0.033453 * (2 * 800 + 20 * 6.0) = 59.340 kN·m (16.296)Järgnevas momentide summas arvestame täiendava momendiga (16.296). SaameΣM 3 = 0; −154.80531 − 904.38504 * 6.0 + 55.43057 * 2.5 + 800 * 6.0 ++20 * 6.0 * 3.0 + 90 * 2.5 + 0.033453 * (2 * 800 + 20 * 6.0) = 3.5 * 10 −5 kN·m (16.297)Staatiline kontroll näitab, et raam on temale mõjuvate jõudude mõjul tasakaalus.16.12.2 Raam ja pendelvardad. Näide 16.6Näide 16.6 Vaatleme näites 16.5 (joonis 16.28) toodud raami sisejõudude arvutust deformatsioonimeetodigaII järku teooria järgi. Kõnesolevas näites kasutatakse parema käe teljestikku.Raam on koormatud kahe vertikaalse jõuga F = 800 kN ja ühtlaselt jaotatud koormusegaq z = 20 kN/m ning horisontaalse jõuga H = 90 kN. Raami posti ristlõike jäikus onEI p = 2 * 10 4 kN·m 2 ja raami riivi ristlõike jäikus EI r = 1.5EI p . Raami ava on 6 m, postidepikkused 5 m ja 2.5 m. Raamiga on ühendatud pendelvardad (joonis 16.48).Võrrandisüsteemi koostamine toimub nii nagu näites 16.5, välja arvatud lisaliige ΔZ3 3.Võrrandisüsteemi tundmatute ees olevate kordajate maatriks A (16.258)A =⎡⎢⎣Z1 1 Z1 2 Z13Z2 1 Z2 2 Z23Z3 1 Z3 2 Z3 3 + ΔZ3 3⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ =

564 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]F=800 kN00 112.5 m6 mF=800 kNF=800 kNF=800 kN400 11 6 m 00 11 6 m 00 11 6 m 00 115 mF=800 kN F=800 kNq = 20 kN/m0000000000000000000000011111111111111111111111 H = 90 kN00000000000000000000000111111111111111111111111 EI 2 rEIEI pp34 2EI p= 2*10 kN . m 00 11EIr= 1.5EIp6 m2.5 mJoonis 16.48. Pendelvarrastega raamEI p⎡⎢⎣1.7675 0.5005 1.17740.5005 2.1771 2.35861.1774 2.3586 7.0720 + ΔZ33⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ (16.298)Võrrandisüsteemi (16.298) liige ΔZ 3 3SaameΔZ i i = −võtab arvesse täiendava momendi (16.124)n∑︁2S k l k(︁θk)︁ i (16.299)k=11ΔZ3 3 = − 1 (︁(︁EI p 2*10 4 822.5*2.5*2 2 + 897.5*5.0*1 2 + 3 800.0*5.0·1 2)︁ +Raamil ilma pendelvarrasteta oli1EI pΔZ 3 3 = −0.63562.Sõlmede ja varraste pöörete leidmiseks koostame võrrandisüsteemi+ 800.0*2.5·2 2)︁ = −1.6356 (16.300)Aξ = Z ⊖ (16.301)kus maatriks A on leitud avaldis (16.298) ja vektor Z ⊖ (16.227) ning vektor ξ⎡ξ 1 ⎤⎢ξ = ⎣ ξ 2 ⎥⎦ (16.302)ξ 3oS 23 = 822.5 kNl2ϑS = 800 kN l ϑl ϑS = 800 kN S = 800 kNl ϑS = 800 kNl 14 ϑ 14 oS 14=897.5 kNl 23 ϑ 23123000 111ϑ 3 = 2ξ = 2S = 800 kNϑ = ξ 3 = 1ϑ = ξ 3 = 1ϑ = ξ 3 = 1ϑ000 111 14 = ξ 3 = 13000 111Z3000 111000 111300 11ϑ 2300 1100 11S = 800 kN00 1100 11S = 800 kN00 1100 11S = 800 kNo4 00 11S 23 = 822.5 kN00 11oS 14=897.5 kNJoonis 16.49. Raami varrasahel

16.12 Deformatsioonimeetod teist järku teoorias 565Võtame kasutusele uue muutuja X = EI p ξ ja maatriksi a = EI p A ning esitame võrrandisüsteemi(16.301) järgmisel kujul:ehk⎡⎢⎣1.7675 0.5005 1.17740.5005 2.1771 2.35861.1774 2.3586 5.4364aX = Z ⊖ (16.303)⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ =Lahendame võrrandisüsteemi (16.303) GNU Octave’iga:Võrrandisüsteemi (16.303) lahend on⎡X 1 ⎤ ⎡⎢⎣ X 2 ⎥ ⎢⎦ = EI p ⎣X 3Momendid varraste otstes leiame avaldisegaehk⎡⎢⎣⎤M 12M 21M 14⎥M 41 ⎦M 23⎡=⎢⎣M 0 12M 0 21M 0 14M 0 41M 0 23⎡⎢⎣−60.06560.065−450.0⎤⎥⎦ (16.304)X = a∖Z ⊖ (16.305)ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ =⎡⎢⎣26.235221.500−184.556⎤⎥⎦ (16.306)M = M 0 + M 123 ξ (16.307)⎤⎡+⎥ ⎢⎦ ⎣M12 1 M12 2 M123M21 1 M21 2 M213M14 1 M14 2 M143M41 1 M41 2 M413M23 1 M23 2 M233⎤⎡⎢⎣⎥⎦ξ 1 ⎤ξ 2 ⎥ξ 3⎦ (16.308)kus maatriks M 0 on toodud avaldisega (16.220) ja maatriks M 123 avaldisega (16.253). Momentideavaldise (16.267), (16.268) esitame leitud X kauduehk⎡⎢⎣⎤M 12M 21M 14⎥M 41 ⎦M 23⎡=⎢⎣60.065−60.065000M = M 0 + 1EI pM 123 X (16.309)⎤⎡+⎥ ⎢⎦ ⎣0.99784 0.5005 00.50054 0.99784 00.76964 0 1.17740.40774 0 1.17740 1.1793 2.3586⎤⎡⎢⎣⎥⎦26.235221.500−184.556⎤⎥⎦ (16.310)Momentide väärtused varraste otstes arvutame arvutiprogrammiga GNU Octave. Saame⎡ ⎤ ⎡ ⎤M 12 197.11M 21174.09M⎢ 14=−197.10(16.311)⎥ ⎢ ⎥⎣ M 41 ⎦ ⎣ −206.60 ⎦M 23 −174.08Momentide võrdlus I ja II järku teoorias on toodud tabelis 16.15.Tabelist näeme, et kõige suurem erinevus on 2. sõlmes – 93.4%.

566 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Tabel 16.15. Momentide võrdlus I ja II järku teooriasS˜olm M II M I Erinevus1 197.11 135.00 46.0 %2 174.09 90.00 93.4 %4 206.60 135.00 53.0 %

16.13 Teist järku teooria ülekandemaatriks 56716.13 Teist järku teooria ülekandemaatriksTeist järku teooria ülekandemaatriksi saamiseks lähtume diferentsiaalvõrrandist (16.31)surveld 4 wdx + S 4 EIDiferentsiaalvõrrand tõmbel (16.313)d 2 w q (x)+dx2 EI = 0 (16.312)d 4 wdx − S d 2 w q (x)+ 4 EI dx2 EI = 0 (16.313)Diferentsiaalvõrrandi (16.312) lahendit otsime kujulw = w 0 w 1 + w ′ 0w 2 + w ′′0w 3 + w ′′′0 w 4 + e e (x) (16.314)kus w 0 , w 0, ′ w 0 ′′ ja w 0 ′′′ on otsitava funktsiooni väärtused kohal x = x 0 ,w l , w 2 , w 3 ja w 4 – homogeense diferentsiaalvõrrandid 4 wdx + S d 2 w4 EI dx = 0 (16.315)2normeeritud fundamentaalne lahendite süsteem. Homogeense diferentsiaalvõrrandinormeerimata lahendite süsteem survelw 1 * = 1, w 2 * = ν (︂ )︂(︂ )︂ν νl x, w* 3 = cosl x , w 4 * = sinl x (16.316)Homogeense diferentsiaalvõrrandi normeerimata lahendite süsteem tõmbelw 1 * = 1, w 2 * = ν (︂ )︂(︂ )︂ν νl x, w* 3 = chl x , w 4 * = shl x(16.317)kus ν = l√︁ S . EILahendite süsteemi (16.316) normeerimiseks kirjutame välja Wronski determinandi W1 ν x cos (︁ νl l x)︁ sin (︁ ⃒νl x)︁ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ ν0 − νW (x) =sin (︁ νl l l x)︁ νcos (︁ νl l x)︁0 0 − (︁ )︁ 2 (︁νl cos νl x)︁ − (︁ )︁ 2 (︁νl sin ν(16.318)l x)︁(︁ )︁ 3 (︁⃒ 0 0 νl sin νl x)︁ − (︁ )︁ 3 (︁νl cos νl x)︁Wronski determinant W (Wronski 14 determinant, kus iga järgmine rida on eelmise reatuletis) väärtus kohal x = 0⃒ 1 0 1 0 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 0 ν ν0 l lW (0) =0 0 − (︁ )︁ 2ν0(16.319)l⃒ 0 0 0 − (︁ )︁ 3νlSelleks, et determinandi (16.319) väärtus oleks üks, teeme teisendused:14 Józef Maria Wronski, 1776–1853.

568 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]∙ kolmandast veerust lahutame esimese ning korrutame∙ neljandast veerust lahutame teise ning korrutame∙ teise veeru korrutame (︁ )︁lν -ga.Tulemuseks on ühikmaatriksW (x) =⃒1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1(︂(︂− (︁ )︁ )︂ 2l-gaν− (︁ )︁ )︂ 3l-gaν= 1 (16.320)⃒Ühikmaatriksi saame ka siis, kui kolmandast veerust lahutame esimese ning korrutame(︁ )︁ l 2-ga (︁ )︁ν ja neljandast veerust lahutame teise ning korrutame l 3-ga.ν Edaspidi lähtumeesimesest moodusest.Teeme sarnase teisenduse normeerimata lahendite süsteemiga (16.316)(︂∙ kolmandast veerust lahutame esimese ning korrutame − (︁ )︁ )︂ 2l-ga:ν)︁ 2 [︁ (︁cosνl x)︁ − 1 ]︁− (︁ lν(︂∙ neljandast veerust lahutame teise ning korrutame− (︁ )︁ 3 [︁ (︁lν sin νl x)︁ − (︁ νl x)︁]︁∙ teise veeru korrutame (︁ )︁lν -ga: x.saame normeeritud lahendite süsteemi survelw 1 = 1,w 3 = − (︁ )︁ 2 [︁ (︁lν cos νl x)︁ − 1 ]︁ ,ja normeeritud lahendite süsteemi tõmbel:w 1 = 1,w 3 = (︁ )︁ 2 [︁ (︁lν ch νl x)︁ − 1 ]︁ ,− (︁ lν)︁ 3)︂-ga:w 2 = x,w 4 = − (︁ )︁ 3 [︁ (︁lν sin νl x)︁ − (︁ ν(16.321)l x)︁]︁w 2 = x,w 4 = (︁ )︁ 3 [︁ (︁lν sh νl x)︁ − (︁ ν(16.322)l x)︁]︁Varraste sisejõudude leidmisel kasutatakse rajajõudude (kontaktjõudude) määramiselkahte erinevat märgikokkulepet (joonis 1.19).Esimese märgikokkuleppe puhul on w 0 , w 0, ′ w 0 ′′ ja w 0 ′′′ väärtusedja teise märgikokkuleppe puhulw 0 = w 0 , w ′ 0 = −φ 0 , w ′′0 = − MyEI , w′′′ 0 = − QzEI(16.323)w 0 = w 0 , w ′ 0 = −φ 0 , w ′′0 = MyEI , w′′′ 0 = QzEI(16.324)

16.13 Teist järku teooria ülekandemaatriks 569Diferentsiaalvõrrandi üldlahend esimese märgikokkuleppe puhul survelw = w 0 − φ 0 x + M (︃ )︃ 2 [︂ (︂ )︂ ]︂yl ν⃒ cosEI ∘ ν l x − 1 −+ Q (︃ )︃ 3 [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂zl ν ν⃒ sinEI ∘ ν l x −l x + w e (x) (16.325)ning teise märgikokkuleppe puhul survelw = w 0 − φ 0 x − M (︃ )︃ 2 [︂ (︂ )︂ ]︂yl ν⃒ cosEI ∘ ν l x − 1 +− Q (︃ )︃ 3 [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂zl ν ν⃒ sinEI ∘ ν l x −l x + w e (x) (16.326)Diferentsiaalvõrrandi üldlahend esimese märgikokkuleppe puhul tõmbelw = w 0 − φ 0 x − M (︃ )︃ 2 [︂ (︂ )︂ ]︂yl ν⃒ chEI ∘ ν l x − 1 −(︃ )︃ 3 [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂Q zl ν ν⃒ shEI ∘ ν l x −l x + w e (x) (16.327)Erilahendi w e (x) leiame Cauchy valemi abil:w e (x) =∫︁ xx 0w n (x − t) f (t) dt (16.328)kus(︃ )︃ 3 [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂l ν νw n (x − t) = w 4 (x − t) = − sinν l (x − t) −l (x − t)(16.329)ningf (t) =q (t)EI(16.330)Vaatleme juhtu, kui q(t) = const. Erilahendi (16.328) saamiseks on vaja integreeridaEIavaldis(︃ lw e (x) = −ν)︃ 3∫︁q x [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂ν νsinEI x 0 l (x − t) −l (x − t) dt (16.331)Integraali (16.331) esimene liige∫︁ xx 0sin(︂ )︂ νl (x − t) dt = l [︂ (︂ )︂]︂ν1 − cosν l (x − x 0)(16.332)

570 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Integraali (16.331) teine liige∫︁ x νx 0 l (x − t) dt = l ν 2 (x − x 0 ) 2ν l 2 2(16.333)Konstantse lauskoormuse puhul on erilahend (16.328)w e (x) = 1 [︃ ν 2 (x − x 0 ) 2 (︂− 2 1 − cos ν )︂ ]︃2ν 4 l 2 l (x − x ql 40)EI(16.334)Varda pikkuse x − x 0 = l korral erilahend (16.334) ühtib teist järku teooriastooduga [Krä91a] [Bor79b]w e (x) = 12ν 4 [︁ν 2 − 2 (1 − cos ν) ]︁ ql 4EI(16.335)Kui x 0 = 0 ja varda pikkus l, siis erilahendi w e (16.334) saame esitada järgmisel kujul:w e (x) =[︃ (︂ 1ν x )︂ 2 (︂− 1 + cos ν x )︂ ]︃ ql 42 ll ν 4 EI(16.336)PöördenurkPaindemomentPõikjõudφ e = −w e ′ (x) = −[︂ν x (︂l − sin ν x )︂]︂ ql3l ν 3 EI(16.337)[︂ (︂M e = −EIw e ′′ (x) = − 1 − cos ν x )︂]︂ ql2(16.338)l ν 2[︂ (︂Q e = −EIw e ′′′ (x) = − sin ν x )︂]︂ qll νI(16.339)Erilahenditest w e , φ e , Q e ja M e saab moodustada koormusvektori [w e φ e Q e M e ] ′ .Koondatud jõu F korral punktis a on erilahendis w e (16.328) funktsiooniksf (t) = δ (t − a) F EI(16.340)kus δ (t − a) on deltafunktsioon. Erilahendi koondatud jõu F puhul saame avaldise(16.328) integreerimisega(︃ lw e (x) = −ν)︃ 2∫︁F x [︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂ν νcosEI x 0 l (x − t) −l (x − t) δ (t − a) dt =[︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂ ν ν F l3= − sinl (x − a) −l (x − a) ν 3 EI(16.341)

16.13 Teist järku teooria ülekandemaatriks 571Võtame kasutusele järgmise Heaviside’i funktsiooni tähistuse(x − a) +={︃0, kui (x − a) < 0x − a, kui (x − a) ≥ 0(16.342)Koondatud jõust koormusvektori [w e φ e Q e M e ] ′ leidmiseks võtame erilahendistw e (x) = −[︃sin(︃ν (x − a) +l)︃−(︃ν (x − a) +l)︃]︃ F l3ν 3 EI(16.343)tuletised.PöördenurkPaindemomentφ e = −w ′ e (x) =[︃cos(︃M e = −EIw ′′e (x) = −ν (x − a) +l[︃sin(︃)︃− 1ν (x − a) +l]︃ F l2ν 2 EI)︃]︃ F lν(16.344)(16.345)PõikjõudQ e = −EIw ′′′e (x) = −[︃cos(︃ν (x − a) +l)︃]︃F (16.346)Koondatud momendi M korral punktis a on erilahendis w e (16.328) funktsioonideksf (t) = δ (t − a) M EI(16.347)(︃ lw n (x − t) = w 3 (x − t) =ν)︃ 2 [︂cos(︂ νl (x − t) )︂]︂− 1(16.348)Erilahendi koondatud momendi M puhul saame avaldise (16.328) integreerimisega:(︃ lw e (x) = −ν)︃ 2 ∫︁M x [︂ (︂ )︂ ]︂νcosEI x 0 l (x − t) − 1 δ (t − a) dt =[︂ (︂ )︂ ]︂ ν Ml2= − cosl (x − a) − 1ν 2 EI(16.349)Koondatud momendist koormusvektori [w e φ e Q e M e ] ′ leidmiseks võtame erilahendistw e (x) = −[︃cos(︃ν (x − a) +l)︃− 1]︃ Ml2ν 2 EI(16.350)

572 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]tuletised.Pöördenurkφ e = −w ′ e (x) = −[︃sin(︃ν (x − a) +l)︃]︃ MlνEI(16.351)PaindemomentPõikjõudM e = −EIw ′′e (x) = −Q e = −EIw ′′′e (x) =[︃[︃sincos(︃(︃ν (x − a) +lν (x − a) +l)︃]︃M (16.352))︃]︃ νM (16.353)lDiferentseerides esimesele märgikokkuleppele vastavat diferentsiaalvõrrandi üldlahendi(16.325) homogeense lahendi osa[︂ (︂ )︂ (︂ )︂]︂ (︃ )︃ 3 ν νw h = w 0 − xφ 0 + sinl x −l x l Q z⃒ +ν EI ∘[︂ (︂ )︂ ]︂ (︃ )︃ 2 ν+ cosl x l M y− 1⃒ (16.354)ν EI ∘saame ülekandemaatriksi koostamiseks teise võrrandi, mis vastab pöördenurgaleφ h = −w ′ h (x) = 0 · w 0 − 1 · φ 0 −Neljas võrrand vastab paindemomendileKolmas võrrand vastab põikjõule[︂ (︂ )︂ ]︂ (︃ νcosl x l− 1ν[︂+ sin(︂ νl x )︂]︂ (︃ lν)︃ 2 Q z⃒ +EI ∘)︃ My⃒ (16.355)EI ∘M h = −EIw h ′′ (x) = 0 · w 0 − 0 · φ 0 +[︂ (︂ )︂]︂ (︃ )︃ [︂ (︂ )︂]︂ν+ sinl x lνQ z |ν ∘+ cosl x M y | ∘(16.356)+Q h = −EIw h ′′′ (x) = 0 · w 0 − 0 · φ 0 +[︂ (︂ )︂]︂ [︂ (︂ )︂]︂ ν ν lcosl x Q z | ∘− sinl x ν M y| ∘(16.357)Võrrandites (16.354)–(16.357) leitud algparameetrite w 0 , φ 0 , Q z | ∘ja M y | ∘kordajad kannameülekandemaatriksisse U = U IN− (16.360).

16.13 Teist järku teooria ülekandemaatriks 573Ülekandevõrrandid kirjutame sümboolsel kujulZ p = U · Z v + ∘ Z (16.358)kus⎡ ⎤uwZ p =φ yN x⎢ ⎥⎣ Q z ⎦M yp⎡ ⎤uw, Z v =φ yN x⎢ ⎥⎣ Q z ⎦M yv(16.359)⎡U IN− =⎢⎣x1 0 0 0 0EA0 1 −x 0 − [︁ ν x − sin (︁ )︁]︁ν x l 3− [︁ 1 − cos (︁ )︁]︁ν x [︁ l (︁ )︁]︁ l ν 3 EIl0 0 1 0 1 − cos νx l 2sin (︁ )︁ν x ll ν 2 EIl νEI0 0 0 1 0 00 0 0 0 cos (︁ )︁ν x − sin (︁ )︁ν x νll l0 0 0 0 sin (︁ )︁ν x lcos (︁ )︁νxl νll 2ν 2 EI⎤(16.360)⎥⎦Ülekandemaatriks U = U IN− (16.360) survel vastab I märgikokkuleppele.⎡x1 0 0EA [︁ 0 00 1 −x 0 νx− sh (︁ )︁]︁ [︁ (︁ )︁]︁ν x l 3l l ν 3 EI 1 − ch νxlU IN+ 0 0 1 0 − [︁ 1 − ch (︁ )︁]︁ν x l 2sh (︁ )︁ν x=l ν 2 EIl0 0 0 1 0 0⎢⎣ 0 0 0 0 ch (︁ )︁ν x sh (︁ )︁ν x νll l0 0 0 0 sh (︁ )︁ν x lch (︁ )︁ν x l ν llνEIl 2ν 2 EI⎤⎥⎦(16.361)Ülekandemaatriks U = U IN+ (16.361) tõmbel vastab I märgikokkuleppele. Varrastesisejõudude leidmisel kasutatakse rajajõudude (kontaktjõudude) määramisel kahte erinevatmärgikokkulepet (joonis 1.19). Teise märgikokkuleppe puhul korrutame −1-gaülekandemaatriksite (16.360) ja (16.361) veerud 4, 5, 6. Neid teise märgikokkuleppelevastavaid ülekandemaatrikseid saab arvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylfmII.mlk 744.Erilahenditest w e , φ e , Q e ja M e (16.336)–(16.339) moodustame koormusvektori∘˜Z =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eN e⎥Q e ⎦M e⎡=⎢⎣[︂12(︁νxl0)︁ 2 (︁ )︁ ]︂− 1 + cos νx ql 4− [︁ ν x − sin (︁ ν x l l0− [︁ sin (︁ ν x l− [︁ 1 − cos (︁ ν x ll ν 4 EI)︁]︁ ql 3ν 3 EI)︁]︁ ql)︁]︁ νIql 2ν 2⎤⎥⎦(16.362)

574 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Koormusvektor∘˜Z (16.362) vastab survele, koormusvektor∘˜Z t =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eN e⎥Q e ⎦M e⎡=⎢⎣[︂1−20(︁ )︁ 2 (︁ )︁ ]︂νx − 1 − ch νx ql 4l[︁νx− sh (︁ ν x l l0− [︁ sh (︁ ν x [︁ (︁ l1 − ch νxll)︁]︁ ql 3ν 3 EI)︁]︁ ql)︁]︁ νIql 2ν 2ν 4 EI⎤⎥⎦(16.363)vastab tõmbele. Neid teisele kui ka esimesele märgikokkuleppele vastavaid koormusvektoreid(16.362), (16.363) saab arvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylqII.m lk 744.Koormusvektori avaldised survel on toodud tabelis G.3 ja tõmbel – tabelis G.4.Koormusvektor⎡⎤∘˜Z =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eN e⎥Q e ⎦M e=⎢⎣vastab survele, koormusvektor∘˜Z t =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eN e⎥Q e ⎦M e=⎢⎣0− [︁ sin (︁ ν (x−a) )︁ (︁ )︁]︁+ (x−a)l − ν + F l 3[︁ (︁ )︁ ]︁ l ν 3 EI(x−a)cos ν+l − 1 F l 2ν 2 EI0⎡− [︁ cos (︁ ν (x−a) )︁]︁+ F− [︁ sin (︁ ν (x−a) +ll)︁]︁ F lν0[︁ (︁ )︁ (︁ )︁]︁(x−a)sh ν+ (x−a)l − ν + F l 3l ν 3 EI− [︁ ch (︁ ν (x−a) )︁ ]︁+l − 1 F l 2ν 2 EI0− [︁ ch (︁ ν (x−a) )︁]︁+ F− [︁ sh (︁ ν (x−a) +ll)︁]︁ F lν⎥⎦⎤⎥⎦(16.364)(16.365)vastab tõmbele. Neid teisele kui ka esimesele märgikokkuleppele vastavaid koormusvektoreid(16.364), (16.365) saab arvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylffzII.m lk 745.Joonisel 16.50 on näidatud pikijõud S ja ristjõud H (sks Transversalkraft), mis ennevarda deformatsiooni ühtisid normaaljõuga N ja põikjõuga Q (sks Querkraft). Ristjõuja pikijõu seos põikjõu ning normaaljõugakus tunnusarv νH = Q − Nφ, |S| = ∓N = ν 2 EIl 2ν 2 = l 2 |S|EIsiis kui[︃− surve+ t˜omme]︃(16.366)(16.367)

16.13 Teist järku teooria ülekandemaatriks 575M + dMx, uMSSHH + dHz, wMM + dMNϕNQQ + dQϕ = − w’ S = N H = Q − N ϕ S = constJoonis 16.50. Survejõud ja normaaljõudRistjõu seos põikjõugaja põikjõu seos ristjõugaH = Q ∓ ν 2 EIl 2 φ siis kui [︃Q = H ± ν 2 EIl 2 φ siis kui [︃− surve+ t˜omme− surve+ t˜omme]︃]︃(16.368)(16.369)Suuruselt N, Q üleminek suurustele S, H toimub teisendusega [Krä91a]. Teisenduse ˜T(16.370) võib teha GNU Octave’i funktsiooniga ytransf.m lk 745⎡˜Z =⎢⎣⎤ ⎡uwφ yS=⎥ ⎢H ⎦ ⎣M y1 . . . . .. 1 . . . .. . 1 . . .. . . 1 . .. . ±ν 2 EIl 2 . 1 .. . . . . 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤uwφ yN= ˜TZ (16.370)⎥Q ⎦M yVastupidist teisendust ˜T −1 (16.371) võib teha GNU Octave’i funktsiooniga ytransfp.mlk 745⎡Z =⎢⎣⎤ ⎡uwφ yN=⎥ ⎢Q ⎦ ⎣M y1 . . . . .. 1 . . . .. . 1 . . .. . . 1 . .. . ∓ν 2 EIl 2 . 1 .. . . . . 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤uwφ yS= ˜T −1˜Z (16.371)⎥H ⎦M y

576 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Võrrandi (16.358) liikmed Z p , Z v avaldame ˜T −1˜Z p ja ˜T −1˜Z v kaudu˜T −1˜Z p = U˜T −1˜Z v + ∘ Z (16.372)Korrutame võrrandi (16.372) ˜T-ga. Nüüd avalduvad siirded, pööre, survejõud, ristjõudja moment varda lõpus varda alguses olevate kaudu˜Z p = ˜TU˜T −1⏟ ⏞Ũ˜Z v + ˜T ∘ Z ⏟ ⏞∘˜ZVõrrandi (16.373) liikmed ˜TU˜T −1 ja ˜T Z ∘ tähistame vastavalt Ũ-ga ningÜlekandevõrrandi (16.373) esitame järgmisel kujul:˜Z p = Ũ · ˜Z v +(16.373)∘˜Z-ga.∘˜Z (16.374)kus vektori ˜Z p ja ˜Z v elementide S x , H z (joonis 16.50) suunad ühtivad deformeerumataolukorra ristlõike normaali ja temaga risti oleva suunaga⎡ ⎤⎡ ⎤uuww˜Z p =φ yS , ˜Z v =φ yxS (16.375)x⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ H z ⎦⎣ H z ⎦M y M ypvŨ Is =⎡1 0 0 − x0 0EA 0 1 − sin (︁ )︁ [︁ν x l0l ν −νx+ sin (︁ )︁]︁ [︁ (︁ )︁]︁νx l 3ll ν 3 EI −1 + cos νxl=0 0 cos (︁ )︁[︁ (︁ )︁]︁[︁ (︁ )︁]︁νx0l1 − cos νx l 2l ν 2 EI sin νxl0 0 0 1 0 0⎢⎣ 0 0 0 0 1 00 0 −ν sin (︁ )︁νx EI0 sin (︁ )︁νx lcos (︁ )︁νxl l l νlÜlekandemaatriks Ũ = Ũ Is (16.376) survel vastab I märgikokkuleppele.Ũ It =lνEIl 2ν 2 EI⎤(16.376)⎥⎦⎡=⎢⎣1 0 0 − x0 0EA0 1 −sh (︁ )︁ [︁ν x l0 νx− sh (︁ )︁]︁ [︁ (︁ )︁]︁νx l 3l ν ll ν 3 EI 1 + ch νxl0 0 ch (︁ )︁[︁ (︁ )︁]︁ [︁ (︁ )︁]︁νx0l−1 + ch νx l 2l ν 2 EI sh νxl0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 νsh (︁ )︁νx EI0 sh (︁ )︁νx lch (︁ )︁νxl l l νll 2ν 2 EIlνEI⎤⎥⎦(16.377)

16.13 Teist järku teooria ülekandemaatriks 577Ülekandemaatriks Ũ = Ũ It tõmbel (16.377) vastab I märgikokkuleppele.Teise märgikokkuleppe puhul korrutame −1-ga ülekandemaatriksite (16.376) ja (16.377)veerud 4, 5, 6. Neid teisele märgikokkuleppele vastavaid ülekandemaatrikseid saab arvutadaGNU Octave’i funktsiooniga ylfmhvII.m lk 743, kui võtame selles funktsioonisbaasjäikuse (vt lõik G.3) võrdseks ühega (baasi0 = 1.0).Koormusvektorid (16.362), (16.363) teisendame teisenduse (16.368) abil koormusvektoriteks(16.378), (16.379), mis vastavad suurustele S ja H. Koormusvektor∘˜Z =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eS e⎥H e ⎦M e⎡=⎢⎣[︂12(︁νxl0)︁ 2 (︁ )︁ ]︂− 1 + cos νx ql 4− [︁ ν x − sin (︁ ν x l l0−q · x− [︁ 1 − cos (︁ ν x ll ν 4 EI)︁]︁ ql 3ν 3 EI)︁]︁ ql 2ν 2⎤⎥⎦(16.378)vastab survele, koormusvektor∘˜Z t =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eS e⎥H e ⎦M e⎡=⎢⎣[︂1−20(︁ )︁ 2 (︁ )︁ ]︂νx − 1 − ch νx ql 4l[︁νx− sh (︁ ν x l l0[︁ −q (︁· x1 − ch νxll)︁]︁ ql 3ν 3 EI)︁]︁ ql 2ν 2ν 4 EI⎤⎥⎦(16.379)vastab tõmbele.Neid teisele märgikokkuleppele vastavaid koormusvektoreid (16.378), (16.379) saabarvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylqvII.m lk 744, kui võtame selles funktsioonisbaasjäikuse (vt lõik G.3) võrdseks ühega (baasi0 = 1.0). Koormusvektorid on toodudlisas G lõik G.3 avaldised (G.32) ja (G.33).Koormusvektorid (16.364), (16.365) teisendame teisenduse (16.368) abil koormusvektoriteks(16.380), (16.381), mis vastavad suurustele S ja H. Koormusvektor∘˜Z =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eS e⎥H e ⎦M e⎡=⎢⎣0− [︁ sin (︁ ν (x−a) )︁ (︁ )︁]︁+ (x−a)l − ν + F l 3[︁ (︁ )︁ ]︁ l(x−a)cos ν+l − 1 F l 2ν 2 EI0− (x − a) 0 + F− [︁ sin (︁ ν (x−a) +l)︁]︁ F lνν 3 EI⎤⎥⎦(16.380)

578 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]vastab survele, koormusvektor∘˜Z t =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eS e⎥H e ⎦M e⎡=⎢⎣0[︁ (︁ )︁ (︁ )︁]︁(x−a)sh ν+ (x−a)l − ν + F l 3l ν 3 EI− [︁ ch (︁ ν (x−a) )︁ ]︁+l − 1 F l 2ν 2 EI0− (x − a) 0 + F− [︁ sh (︁ ν (x−a) +l)︁]︁ F lν⎤⎥⎦(16.381)vastab tõmbele.Need teisele kui ka esimesele märgikokkuleppele vastavad koormusvektorid (16.380),(16.381) on lisas G lõik G.3 avaldised (G.34) ja (G.35). Neid koormusvektoreid saabarvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylfhvzII.m lk 743, kui võtame selles funktsioonisbaasjäikuse (vt lõik G.3) võrdseks ühega (baasi0 = 1.0). Teise märgikokkuleppepuhul tuleb ülekandemaatriksite (16.376) ja (16.377) veerud 4, 5, 6 korrutada −1-ga.Ülekandemaatriks Ũ = Ũ IIs⎡1 0 0 − x⎤Ũ IIs =⎢⎣0 0EA0 1 − sin ν νx νxllx 0−sin νx l l 3 1−cos νxν ν 3 lEI0 0 cos νx−1+− cos0νx l l 2 − sin νxl ν 2 lEI ν0 0 0 −1 0 00 0 0 0 −1 00 0 −ν sin νx l− sin0νx lx − cos νxl EI ν lsurvel vastab II märgikokkuleppele, ülekandemaatriks Ũ = Ũ IIt⎡x1 0 0 0 0EA 0 1 − shν νx −νxl1x 0+sh νx l l 3 −1−ch νx ν ν 3 lEIŨ It =0 ch νx1−ch0νx l l 2 −sh νxl ν 2 lEI ν0 0 0 −1 0 0⎢⎣ 0 0 0 0 −1 00 0 νsh νx l−sh0νx lx −ch νxl EI ν ll 2ν 2 EIlEIl 2ν 2 EIlEI⎤⎥⎦⎥⎦(16.382)(16.383)tõmbel vastab II märgikokkuleppele. Need ülekandemaatriksid (16.382), (16.383) saabarvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylfmII.m lk 744. Koormusvektori jaotatud koormusestja koondatud jõust saab arvutada GNU Octave’i funktsioonidega ylqII.m lk 744ning ylffzII.m lk 745.16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga16.14.1 Tala arvutus ülekandemaatriksiga. Näide 16.7Näide 16.7 Leida joonisel 16.51 tala siirded ja sisejõud II järku teooria ülekandemaatriksiga.Tala on koormatud ühtlaselt jaotatud koormusega q z = 30 kN/m ning pikijõuga S =

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 5791000 kN. Tala ristlõike paindejäikus on EI = 2 * 10 4 kN·m 2 ja EA = 2 * 10 6 kN. Tala sille on8 m. Koostame tala ülekandevõrrandisüsteemi,00 1130 kN/m11000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111112000 1118 mS = 1000 kN.EI = 20000 kNmEA = 2000000 kNu 1 = 0w 1= 0ϕ 1= 0KinemaatilisedrajatingimusedStaatilisedrajatingimusedw 2= 0S 2 = −1000 kNM 2= 0Joonis 16.51. Tala arvutus ülekandemaatriksigaI (6×6)˜Z 2 − Ũ (x=l)˜Z 1 =∘˜Z (x=l) (16.384)kus skaleeritud võrrandisüsteemi 15 (16.384) kordajate maatriks teise märgikokkuleppe puhulon esitatud avaldistega (G.30), (G.31) ja vastav GNU Octave’i funktsioon selle arvutamisekson ylfmhvII.m lk 743. Varraste sisejõudude leidmisel kasutame rajajõudude (kontaktjõudude)määramisel teist märgikokkulepet (joonis 1.19). Võrrandisüsteemis on siirete jasisejõudude arvväärtuste erinevus ca 10 3 korda. Korrutame siirete võrrandid baasjäikusegai 0 = maxEIminl. Sellist võrrandisüsteemi teisendust nimetatakse võrrandisüsteemi skaleerimiseks(ingl k scaling). Skaleeritud võrrandisüsteemi (16.384) koormusvektor (ühtlaselt jaotatud koormuselq z = const) teise märgikokkuleppe puhul on esitatud avaldistega (G.32), (G.33) ja vastavGNU Octave’i funktsioon selle arvutamiseks on ylqvII.m lk 744.I (6×6) – 6×6 ühikmaatriks ja⎡˜Z 2 =⎢⎣⎤u 2w 2φ 2S 2⎥H 2 ⎦M 2⎡, ˜Z 1 =⎢⎣Baasjäikus i 0 = EIl= 2.0e+048.0= 2.5e + 03, baas0 = i 0 .Tala ülekandevõrrandisüsteemi (16.384) esitame kujul⎤u 1w 1φ 1S 1⎥H 1 ⎦M 1(16.385)AX = B (16.386)kus esimesed kuus võrrandit leitakse avaldisegaA (6×12) =[︁I (6×6)]︁Ũ(16.387)15 Võrrandisüsteemi skaleerimine – võrrandisüsteemi teisendus, kus muutujad on asendatud uutemuutujatega, mis on korrutatud konstandiga.

580 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]ja järgmised kuus rajatingimustest (16.390)–(16.393).Varda lõpus olevaid rajasiirdeid ja rajajõude kirjeldab vektor ˜Z 2 , varda algul olevaid – ˜Z 1 , mison ühtasi ka algparameetriteks:X =[︃ ]︃ ˜Z 2˜Z 1(16.388)Võrrandisüsteemi vabaliikmest B esimesed kuus saame koormusvektoristJärgmised kuus – rajatingimustest:∘˜Z (x=l) (16.384).B =∘˜Z (16.389)Võrrandisüsteem (16.386) koosneb kuuest võrrandist. Tundmatute X i arv on kaksteist. Vajaon veel 6 võrrandit, et määrata üheselt tundmatud. Need võrrandid saame rajatingimustest(vt joonis 16.51).RajatingimusedEsimese lisavõrrandi saame rajatingimusest w 2 = 0 (joonis 3.1). Tundmatu on teine (2)X 2 = w 2 ja võrrand on seitsmes (7)A (7, 2) = 1, B (7, 1) = 0 (16.390)Teise lisavõrrandi saame rajatingimusest S 2 = −1000. Tundmatu on neljas (4) X 4 = S 2ja võrrand on kaheksas (8)A (8, 4) = 1, B (8, 1) = −1000 (16.391)Kolmanda lisatingimuse saame rajatingimusest M 2 = 0. Tundmatu on kuues (6) X 6 = M 2ja võrrand on üheksas (9)A (9, 6) = 1, B (9, 1) = 0 (16.392)Viimased kolm lisavõrrandit saame rajatingimusest u 1 = 0, w 1 = 0, φ 1 = 0. Tundmatutekson X 7 = u 1 , X 8 = w 1 , X 8 = φ 1 ja võrrandid on 10 − 12:A (10, 7) = 1, B (10, 1) = 0A (11, 8) = 1, B (11, 1) = 0A (12, 9) = 1, B (12, 1) = 0(16.393)Võrrandisüsteemi koostame ja lahendame GNU Octave’i programmiga ynadII1.m lk 746.Võrrandisüsteemi lahendamisel saame skaleeritud siirded ja sisejõud (16.394). Pärast siiretejagamist baasjäikusega i 0 = 2.5e + 03 saame tegelikud siirded (16.394).

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 581SkaleeritudT egelikudX (1, 1) = −10.0000, X (1, 1) = −0.0040 mX (2, 1) = 0.0000, X (2, 1) = 0.0000 mX (3, 1) = 47.6177, X (3, 1) = 0.0190 radX (4, 1) = −1000.0000, X (4, 1) = −1000.0000 kNX (5, 1) = −86.2366, X (5, 1) = −86.2366 kNX (6, 1) = −0.0000, X (6, 1) = −0.0000 kNX (7, 1) = 0.0000, X (7, 1) = 0.0000 mX (8, 1) = 0.0000, X (8, 1) = 0.0000 mX (9, 1) = 0.0000, X (9, 1) = 0.0000 radX (10, 1) = 1000.0000, X (10, 1) = 1000.0000 kNX (11, 1) = −153.7634, X (11, 1) = −153.7634 kNX (12, 1) = 270.1075, X (12, 1) = 270.1075 kN·m(16.394)−0.0045−0.004−0.0035−0.003−0.0025−0.002−0.0015−0.001−0.000500.0005−0.0100.010.020.030.040.05−0.02−0.015−0.01−0.00500.0050.010.0150.020.02500−0.001(−0.001)Pikisiire−0.002(−0.002)−0.003(−0.003)II järku teooriaI järku teooria−0.004(−0.004)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9(0.015)0.0174(a) Tala pikisiire [m](0.032)0.03782PõikisiireII järku teooriaI järku teooria(0.027) −3.33e−160.03214(−5.55e−17)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9(b) Tala põikisiire [m]Paindenurk0 −0.01298 −0.00496(−0.011) (−0.004)(0.009)0.01067II järku teooriaI järku teooria(0.016)0.019050 1 2 3 4 5 6 7 8 9(c) Tala pöördenurk [rad]Joonis 16.52. Tala siirded

582 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]−1200−1000−800−600−400−2000200−150−100−50050100150200−300−200−1000100200−1000(−1000)−1000(−1000)Pikijõud−1000(−1000)−1000(−1000)II järku teooriaI järku teooria−1000(−1000)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9(150)153.763(90)93.7634(a) Tala pikijõud [kN]Ristjõud(30)33.7634(−30)−26.2366II järku teooriaI järku teooria(−90)−86.23660 1 2 3 4 5 6 7 8 9−270.107(−240)(7.10e−15)(b) Tala ristjõud [kN]−5.173Paindemoment142.766(120)144.612(120)II järku teooriaI järku teooria−5.68e−13(−3.41e−13)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9(c) Tala paindemoment [kN·m]Joonis 16.53. Tala sisejõudSiirete ja sisejõudude jaotuse leidmiseks kirjutame võrrandi (16.384) ringi järgmisel kujul:˜Z 2 (x) = Ũ (x) ˜Z 1 +∘˜Z (x) (16.395)∘kus Ũ (x) ja ˜Z (x) arvutamisel GNU Octave’i funktsioonidega ylfmhvII.m ning ylqvII.m võtameskaleerimisteguriks ühe (baasi0 = 1.0).Algparameetriteks ˜Z 1 on tegelike rajasuuruste (16.394) viimased kuus väärtust⎡˜Z 1 =⎢⎣u 1 = 0.0000 mw 1 = 0.0000 mφ 1 = 0.0000 radS 1 = 1000.000 kNH 1 = −153.7634 kNM 1 = 270.1075 kN·m⎤⎥⎦(16.396)Siirete, pöörete ja sisejõudude jaotused leiame GNU Octave’i programmiga ynadII1.m lk 746.

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 583Joonistel 16.52(a)–16.53(c) on lineaarse teooria järgi arvutatud siirded ja sisejõud esitatudkriipsjoonega (arvulised väärtused on sulgudes) ning teist järku teooria järgi arvutatud siirdedja sisejõud pideva joonega.16.14.2 Raami arvutus ülekandemaatriksiga. Näide 16.8Järgnevas näites vaadeldavat meetodit nimetame EST-meetodiks [Lah97b] [Lah98a],mis on üks rajaelementide meetoditest. Rajaelementide meetodi puhul rahuldataksediferentsiaalvõrrandid (DV ) määramispiirkondades (varrastes) täpselt (varda põhivõrrandid).Rajatingimused (kontaktjõud ja siirded) rahuldatakse ligikaudselt (kontaktjõudja siirded leitakse võrrandisüsteemi lahendamisega).Näide 16.8 Leida joonisel 16.54 toodud raami sisejõud. Arvutada EST-meetodiga II järkuteooria järgi.Raam on koormatud kahe vertikaalse jõuga F = 800 kN ja ühtlaselt jaotatud koormusegaq z = 20 kN/m ning horisontaalse jõuga H = 90 kN. Raami posti ristlõike paindejäikus onEI p = 2 * 10 4 kNm 2 ja raami riivi ristlõike paindejäikus EI r = 1.5EI p . Raami ava on 6 m,postide pikkused 5 m ja 2.5 m.Baasjäikus i 0 = EI p /5, baasi0 = i 05 mF=800 kN F=800 kNq = 20 kN/m000000000000000000000000111111111111111111111111 H = 90 kN0000000000000000000000001111111111111111111111111EI2 rEI pEI 00 11p00 11EI = 2*10400 1100 116 m32.5 mpEIEIJoonis 16.54. Raamrp= 1.54. 2kN mVõtame kasutusele parema käe teljestiku ja II märgikokkuleppe. Üldteljestik on tähistatud X,Y , Z. Kohalik teljestik x, y, z on näidatud joonisel 16.55. Võrrandisüsteemi koostamisel ESTmeetodigaon tundmatuteks siirded ja kontaktjõud varraste otstes (joonis 16.55). Siirete jakontaktjõudude arv on 36. Ühel vardal siirete ja kontaktjõudude arv on 2 × 6 = 12. Vardaidon kolm. Varda otste siirete ja kontaktjõudude arv on 3 × 12 = 36. Varda otste siirete jakontaktjõudude nummerdus on näidatud joonisel 16.55. Raami võrrandisüsteemi esitame kujulEsimesed 18 võrrandit on varraste 1, 2, 3 põhivõrrandidAZ = B (16.397)I (6×6)˜Z 12 − Ũ 1˜Z 11 =∘˜Z 1 (16.398)

584 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]xz[1 2 3 4 5 6]1[19 20 21 22 23 24][13 14 15 16 17 18]21 2x[31 32 33 34 35 36]z3300 11[25 26 27 28 29 30]00 11z xzx[7 8 9 10 11 12] 400 1100 11[u w ϕ S H M]Joonis 16.55. Raami siirete ja kontaktjõudude nummerdusI (6×6)˜Z 22 − Ũ 2˜Z 21 =∘˜Z 2 (16.399)I (6×6)˜Z 32 − Ũ 3˜Z 31 =kus varda otstes olevad siirded ja kontaktjõud on toodud avaldistega∘˜Z 3 (16.400)⎡˜Z 12 =⎢⎣⎤Z 1Z 2Z 3Z 4⎥Z 5 ⎦Z 6, ˜Z 11 =⎢⎣⎡ ⎤Z 7Z 8Z 9Z 10⎥Z 11 ⎦Z 12⎡, ˜Z 22 =⎢⎣⎤Z 13Z 14Z 15Z 16⎥Z 17 ⎦Z 18⎡, ˜Z 21 =⎢⎣⎤Z 19Z 20Z 21Z 22⎥Z 23 ⎦Z 24(16.401)⎡˜Z 32 =⎢⎣⎤Z 25Z 26Z 27Z 28⎥Z 29 ⎦Z 30⎡, ˜Z 31 =⎢⎣⎤Z 31Z 32Z 33Z 34⎥Z 35 ⎦Z 36(16.402)Ülekandevõrrandite (16.398)–(16.400) koostamiseks kasutame teise märgikokkuleppe järgikoostatud GNU Octave’i funktsiooni ylvfmhvII.m lk 746, mis kasutab ülekandemaatriksitŨ ja koormusvektorit ˜Z. Neid funktsioone kasutame omakorda GNU Octave’i program-∘mis yRaam1.m lk 747, millega arvutatud tulemused on toodud arvutuspäevikus 16.8 (lk 588).Samast arvutuspäevikust näeme sõlmede koordinaatide ja varraste topoloogilist kirjeldust.

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 585Ülekandevõrrandid (16.398)–(16.400) sisestatakse topoloogilise kirjelduse alusel võrrandisüsteemi(16.397) maatriksisse A ja vektorisse B. Esimese 18 võrrandi vabaliikme B arvväärtustsaame vaadata arvutuspäevikust 16.8. Esimese 18 võrrandi võrrandisüsteemi kordajate Aarvväärtusi arvutuspäevikus 16.8 on raskem jälgida, sest need on esitatud hõreda maatriksinaspA. Võrrandisüsteemi kordajad moodustavad 36 × 36 maatriksi A. Maatriksis A on 90nullist erinevat elementi. GNU Octave’i esitab hõreda maatriksi vektorina, mille elemendidon reastatud veeru indeksite järgi.Võrrandisüsteemi järgmised 6 võrrandit (19–24) saame, kui sõlmedes 1 ja 2 võrdsustamesiirded ja pöörded. Siirete ja pöörete võrdsustamiseks teisendame u, w, φ kohalikest koordinaatidestüldkoordinaatidesse. Siirete ja pöörete võrdsustamisel kasutame teist märgikokkulepet.Võrdsustamisel tuleb ühe varda otsa siiretest lahutada teise varda otsa siirded ja need võrdsustadanulliga (vt lõik vastastikused siirded 14.5 lk 399). Võrrandite (19–24) vabaliikme Barvväärtused võrduvad nulliga.Siirete, pöörete ja kontaktjõudude teisendamiseks kohalikest koordinaatidest x, z, y üldkoordinaatidesseX, Z, Y kasutame teisendust (vt (1.46 lk 50)⎡⎢⎣XZY⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣xzy⎤⎥⎦ (16.403)Varda lõpu ja alguse koordinaatide (joonis 16.55) X L , Y L , X A , Y A järgi saab arvutadasuunakoosinusedcos α = X L − X Al(16.404)cos α = Z L − Z Al(16.405)kus l on varda pikkusl =√︁(Z L − Z A ) 2 + (X L − X A ) 2 (16.406)Teisendusmaatriksit T 0T 0 =⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎤⎥⎦ (16.407)kasutame siirete [u, w, φ] ja sisejõudude [S, H, M] teisendamiseks üldkoordinaatidessesõlmede pidevustingimuste ja tasakaaluvõrrandite koostamisel. Teisendusmaatriksit T⎡T =⎢⎣cos α − cos β 0 0 0 0cos β cos α 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 cos α − cos β 00 0 0 cos β cos α 00 0 0 0 0 1⎤⎥⎦(16.408)

586 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]kasutame siirete ja sisejõudude [u, w, φ, S, H, M] teisendamiseks üldkoordinaatidesse.Varraste 1, 2, 3 teisendusmaatriksid (joonis 16.55):⎡⎤ ⎡⎤cos α − cos β 0 0 1 0⎢⎥ ⎢⎥T 10 = ⎣ cos β cos α 0 ⎦ = ⎣ −1 0 0 ⎦ (16.409)0 0 1 0 0 1T 20 =T 30 =⎡⎢⎣⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎤⎥⎦ =⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 10 −1 01 0 00 0 1⎤⎥⎦ (16.410)⎤⎥⎦ (16.411)Võrrandisüsteemi järgmised 6 võrrandit (25–30) saame, kui koostame sõlmede 1 ja 2tasakaaluvõrrandid. Tasakaaluvõrrandite koostamiseks teisendame S, H, M kohalikest koordinaatidestüldkoordinaatidesse. Varraste otstes mõjuvad kontaktjõud vastavad teisele märgikokkuleppele.Väljalõigatud sõlmele mõjuvate kontaktjõudude suunad on vastupidised vardaotsas mõjuvatele kontaktjõududele (vt joonis 16.56). Väljalõigatud sõlmes telgede positiivsessuunas mõjuvate välisjõudude ja teisele märgikokkuleppele vastavate positiivsete kontaktjõududemärgid on erinevad (vt joonis 16.56). Vabaliikmetesse B minevate välisjõudude märgidvastavad telgede positiivsetele suundadele. Sõlmes 1 mõjuvad välisjõud on võrrandite (25–27)vabaliikmetes B järgmiste arvväärtustega [800; 0; 0]. Sõlmes 2 mõjuvad välisjõud on võrrandites(28–30) – arvväärtustega [800; − 90; 0] (vaata arvutuspäevikus 16.8 (lk 588) vabaliikmeidB).a)vM bavQ baM p bapQ bavQ bcF 2M 2F 1bM v bcb)11z2Q 21eM 21e2M 2s1Q 2s1Q 22sF 2 M 22xF 1 2sM 2I märgikokkulepepQ bcpM bcQ 12e1M 12e"tõmmatud kiud""surutud kiud"II märgikokkulepetelgede positiivsed suunad332Joonis 16.56. Kontaktjõud sõlmesVõrrandisüsteemi järgmised 6 võrrandit (31–36) saame, kui anname ette rajatingimused.Toesõlmes 4 (joonis 16.55) on siirded u 7 , w 8 , φ 9 (Z 7 , Z 8 , Z 9 ) võrdsed nulliga. Toesõlmes 3on siirded u 25 , w 26 ja moment M 30 (Z 25 , Z 26 , Z 30 ) võrdsed nulliga.

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 587Skaleeritud võrrandisüsteemi (16.397) lahendis Z on siirded i 0 korda suuremad ja varrastekontaktjõud Z vastavad teisele märgikokkuleppele (vaata arvutuspäevikus 16.8 (lk 589)). Tegelikesiirete leidmiseks jagame siirded baasjäikusega i 0 . Siirete indekseid saame jälgida jooniselt16.55.Siirete, pöörete ja sisejõudude väärtuste leidmiseks varrastes kasutame ülekandevõrranditZ p = U · Z v + ∘ Z (16.412)kus⎡ ⎤⎡uwφ Z p = y, Z S⎢ xv =⎥⎢⎣ H z ⎦⎣M yp⎤uwφ yS x⎥H z ⎦M yv(16.413)Z v on teisele märgikokkuleppele vastavad skaleerimata siirded ja kontaktjõud (algparameetrid)varraste alguses.Teise märgikokkuleppele vastava ülekandmaatriksi U arvutame GNU Octave’i funktsioonigaylfmhvII.m (lk 743) ja koormusvektori ∘ Z funktsiooniga ylqvII.m (lk 744).Teine märgikokkulepe erineb esimesest märgikokkuleppest selle poolest, et varda alguses olevatekontaktjõudude märgid on vastupidised (vt joonis 1.19). Varda lõpus on esimese ja teisemärgikokkuleppe puhul kontaktjõudude märgid ühesugused. Võrrandiga (16.412) arvutamiselleiame siirded ja kontaktjõud ka kaugusel x = 0, siis saame vardas kõik kontaktjõud, mis vastavadnii esimesele kui ka teisele märgikokkuleppele.Teist järku teoorias peame teadma varrastes mõjuvaid pikijõude S. Esimese lähendi saamiseksarvutame esmalt lineaarse teooria järgi. Valime pikijõud S i = 0 ja GNU Octave’i programmyRaam1.m lk 747 leiab lineaarses lähenduses varraste pikijõud [−897.50 − 54.00 − 822.50].Sisestades need pikijõudude väärtused programmi, leiame siirded ja kontaktjõud teises lähenduses(vt arvutuspäevik 16.8).Vaatame pikijõu muutumist varrastes olenevalt lähendusest[−897.500 − 54.000 − 822.500] – lineaarses ülesandes[−904.385 − 55.431 − 815.615] – 2. järku teoorias 1. lähend[−904.364 − 55.362 − 815.636] – 2. järku teoorias 2. lähendNäeme, et 2. järku teoorias 1. lähend on piisav ülesande lahendamiseks.Pikijõu S ja ristjõu H teisenduse (16.371) normaaljõuks N ja põikjõuks Q teeme funktsioonigaytransfp.m (lk 745).Raami staatiline kontroll.Projitseerime kõik jõud horisontaalteljele X (joonis 16.57)ΣX = 0; 55.43057 + 34.56943 − 90 = 0.0 (16.414)Projitseerime kõik jõud vertikaalteljele Z (joonis 16.57)ΣZ = 0; −904.38504 − 815.61496 + 6 * 20 + 2 * 800 = 0.0 (16.415)Momentide summaga kontrollimine on väga oluline kontroll. Paljudel juhtudel avastataksearvutustes tehtud viga alles selle kontrolliga.

588 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Momentide summa toe 3 suhtesΣM 3 = 0; −154.80531 − 904.38504 * 6.0 + 55.43057 * 2.5 + 800 * 6.0 ++20 * 6.0 * 3.0 + 90 * 2.5 + 0.033453 * (2 * 800 + 20 * 6.0) = 3.5 * 10 −5 kN·m (16.416)Staatiline kontroll näitab, et raam on temale mõjuvate jõudude mõjul tasakaalus.Arvutuspäevik 16.8 octave:1> diary yRaam1.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> yRaam1==============================================Järgnev on raami arvutus: GNU octave 3.0EIr = 30000baasi0 = 4000SolmedeArv = 4ElementideArv = 3===============================B =1. 0.000002. 0.000003. 0.000004. 0.000005. 0.000006. 0.000007. 0.000008. 143.689329. -95.6894410. 0.0000011. -120.0000012. -358.0601913. 0.0000014. 0.0000015. 0.0000016. 0.0000017. 0.0000018. 0.0000019. 0.0000020. 0.0000021. 0.0000022. 0.0000023. 0.0000024. 0.0000025. 0.0000026. 800.0000027. 0.0000028. -90.0000029. 800.0000030. 0.0000031. 0.0000032. 0.0000033. 0.0000034. 0.0000035. 0.0000036. 0.00000spA =Compressed Column Sparse (rows = 36, cols = 36, nnz = 90)0.033453F=800 kN F=800 kNq = 20 kN/m000 111 00000000000000000000000011111111111111111111111112H = 90 kN2.5 m5 m300 1134.569154.805400 11 55.4316 m815.615904.385Joonis 16.57. Raami toereaktsioonid

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 589(1, 1) -> 1(20, 1) -> -1(2, 2) -> 1(19, 2) -> 1(3, 3) -> 1(21, 3) -> 1(4, 4) -> 1(26, 4) -> -1(5, 5) -> 1(25, 5) -> 1(6, 6) -> 1(27, 6) -> 1(1, 7) -> -1(31, 7) -> 1(2, 8) -> -1(32, 8) -> 1(2, 9) -> 4.1162(3, 9) -> -0.48958(6, 9) -> 0.92356(33, 9) -> 1(1, 10) -> 1.0000e-16(4, 10) -> 1(2, 11) -> -3.9391(3, 11) -> 2.2748(5, 11) -> 1(6, 11) -> 4.1162(2, 12) -> -2.2748(3, 12) -> 0.82323(6, 12) -> 0.48958(7, 13) -> 1(22, 13) -> 1(8, 14) -> 1(23, 14) -> 1(9, 15) -> 1(24, 15) -> 1(10, 16) -> 1(28, 16) -> 1(11, 17) -> 1(29, 17) -> 1(12, 18) -> 1(30, 18) -> 1(7, 19) -> -1(19, 19) -> -1(8, 20) -> -1(20, 20) -> -1(8, 21) -> 5.9354(9, 21) -> -0.96777(12, 21) -> 0.080128(21, 21) -> -1(7, 22) -> 1.2000e-16(10, 22) -> 1(25, 22) -> 1(8, 23) -> -4.7845(9, 23) -> 2.3871(11, 23) -> 1(12, 23) -> 5.9354(26, 23) -> 1(8, 24) -> -2.3871(9, 24) -> 0.79139(12, 24) -> 0.96777(27, 24) -> 1(13, 25) -> 1(34, 25) -> 1(14, 26) -> 1(35, 26) -> 1(15, 27) -> 1(16, 28) -> 1(17, 29) -> 1(18, 30) -> 1(36, 30) -> 1(13, 31) -> -1(23, 31) -> -1(14, 32) -> -1(22, 32) -> 1(14, 33) -> 2.3943(15, 33) -> -0.87421(18, 33) -> 0.49232(24, 33) -> -1(13, 34) -> 5.0000e-17(16, 34) -> 1(29, 34) -> 1(14, 35) -> -0.51418(15, 35) -> 0.61173(17, 35) -> 1(18, 35) -> 2.3943(28, 35) -> -1(14, 36) -> -0.61173(15, 36) -> 0.47885(18, 36) -> 0.87421(30, 36) -> 1X =1. -8.5237e-142. -1.3381e+023. 1.3450e+004. -9.0439e+025. -5.5431e+016. -1.5237e+027. 5.2011e-158. 1.0939e-309. -1.3810e-1410. 9.0439e+0211. 5.5431e+0112. -1.5481e+0213. -1.3381e+0214. 5.8287e-1415. 3.4201e+0116. -5.5431e+0117. -1.5615e+0118. 1.1394e+0219. -1.3381e+0220. 8.5237e-1421. 1.3450e+0022. 5.5431e+0123. -1.0439e+0224. 1.5237e+0225. 1.4206e-3026. 5.2493e-1527. 6.3312e+0128. -8.1561e+0229. -3.4569e+0130. -1.0894e-1531. 4.0781e-1432. 1.3381e+0233. 3.4201e+0134. 8.1561e+0235. 3.4569e+0136. -1.1394e+02============================================================================Algparameetrid skaleerimataVarda Nr u w fi S H M----------------------------------------------------------------------------1 1.300e-18 2.735e-34 -3.452e-18 904.385 55.431 -154.8052 -3.345e-02 2.131e-17 3.363e-04 55.431 -104.385 152.3723 1.020e-17 3.345e-02 8.550e-03 815.615 34.569 -113.939----------------------------------------------------------------------------

590 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]============================================================================Varda alguse/l~opu siirded (skaleerimata) kontaktj~oudVarda Nr u w fi S H M----------------------------------------------------------------------------1 1.300e-18 2.735e-34 -3.452e-18 904.385 55.431 -154.8051 -2.131e-17 -3.345e-02 3.363e-04 -904.385 -55.431 -152.3722 -3.345e-02 2.131e-17 3.363e-04 55.431 -104.385 152.3722 -3.345e-02 1.457e-17 8.550e-03 -55.431 -15.615 113.9393 1.020e-17 3.345e-02 8.550e-03 815.615 34.569 -113.9393 3.551e-34 1.312e-18 1.583e-02 -815.615 -34.569 -0.000----------------------------------------------------------------------------============================================================================Varras Li on jaotatud neljaksLi = 5siire u - 1.300e-18 -4.352e-18 -1.000e-17 -1.566e-17 -2.131e-17siire w - 2.735e-34 -5.113e-03 -1.651e-02 -2.802e-02 -3.345e-02pööre fi - -3.452e-18 7.410e-03 9.998e-03 7.584e-03 3.363e-04pikij~oud S - -904.385 -904.385 -904.385 -904.385 -904.385ristj~oud H - -55.431 -55.431 -55.431 -55.431 -55.431moment M - 154.805 80.928 1.410 -78.207 -152.372------------------normaalj~oud N - -904.385 -904.385 -904.385 -904.385 -904.385p~oikj~oud Q - -55.431 -62.081 -64.404 -62.237 -55.732moment M - 154.805 80.928 1.410 -78.207 -152.372----------------------------------------------------------------------------Varras Li on jaotatud neljaksLi = 6siire u - -3.345e-02 -3.345e-02 -3.345e-02 -3.345e-02 -3.345e-02siire w - 2.131e-17 3.392e-03 8.423e-03 8.393e-03 6.939e-18pööre fi - 3.363e-04 -3.740e-03 -2.223e-03 2.630e-03 8.550e-03pikij~oud S - -55.431 -55.431 -55.431 -55.431 -55.431ristj~oud H - 104.385 74.385 44.385 14.385 -15.615moment M - -152.372 -18.111 71.238 115.314 113.939------------------normaalj~oud N - -55.431 -55.431 -55.431 -55.431 -55.431p~oikj~oud Q - 104.367 74.587 44.505 14.243 -16.077moment M - -152.372 -18.111 71.238 115.314 113.939----------------------------------------------------------------------------Varras Li on jaotatud neljaksLi = 2.5000siire u - 1.020e-17 7.646e-18 5.098e-18 2.549e-18 6.658e-34siire w - 3.345e-02 2.708e-02 1.901e-02 9.796e-03 -2.897e-19pööre fi - 8.550e-03 1.170e-02 1.398e-02 1.536e-02 1.583e-02pikij~oud S - -815.615 -815.615 -815.615 -815.615 -815.615ristj~oud H - -34.569 -34.569 -34.569 -34.569 -34.569moment M - 113.939 87.093 58.850 29.663 -0.000------------------normaalj~oud N - -815.615 -815.615 -815.615 -815.615 -815.615p~oikj~oud Q - -41.602 -44.189 -46.067 -47.206 -47.588moment M - 113.939 87.093 58.850 29.663 -0.000----------------------------------------------------------------------------octave-3.0.1:4> diary off

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 591Raami sisejõudude epüürid on joonistel 16.58(c)–16.58(a). Kriipsjoonega on näidatud esimestjärku teooria järgi arvutatud siire ja sisejõud (arvulised väärtused on sulgudes). Pidevajoonega on toodud teist järku teooria järgi saadud tulemused.55.43(54.0)904.39(897.5) 000 111N [kN]815.61(822.5)00 11(a) Raami normaaljõu epüür [kN](97.5)(22.5)(54.0)(54.0)55.7362.2464.4062.0155.43104.3774.3944.51Q [kN]14.2416.0800 11000 111(b) Raami põikjõu epüür [kN]41.6044.1946.0747.2147.59(36.0)(36.0)152.37(135.0)18.11113.94(90.0)278.2111.41(0.0)71.24(67.5)115.3158.85(45.0)113.943 (90.0)4000 111000 11180.93M [kN.m]154.805(135.0)(c) Raami paindemomendi epüür [kN·m]Joonis 16.58. Raami sisejõud

592 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]16.14.3 Raami arvutus EST-meetodiga. Näide 16.9 [slaidid]Järgnevas näites vaadeldavat meetodit nimetame EST-meetodiks [Lah97b] [Lah98a],mis on üks rajaelementide meetoditest. Selle meetodi puhul rahuldatakse diferentsiaalvõrrandid(DV ) määramispiirkondades (varrastes) täpselt (varda põhivõrrandid). Rajatingimused(kontaktjõud ja siirded) rahuldatakse ligikaudselt (kontaktjõud ja siirdedleitakse võrrandisüsteemi lahendamisega).Näide 16.9 Leida joonisel 16.59 toodud raami sisejõud. Arvutada EST meetodiga II järkuteooria järgi. Raam on koormatud ühtlaselt jaotatud vertikaalse koormusega q z = 15 kN/m javertikaalsete jõududega F 3 = 750 kN ning horisontaalsete jõududega F 1 = 90 kN, F 2 = 120 kN.Raami posti ristlõike paindejäikus on EI p = 2 * 10 4 kN·m 2 ja raami ristlõike paindejäikusEI r = 1.5EI p , ristlõike pikijäikus EA p = 4.6*10 6 kN, EA r = 8.8*10 6 kN, ristlõike lõikejäikusGA p = 0.4EA p , GA r = 0.4EA r . Raami avad on 6 m ja postide pikkused 4 m.Baasjäikus i 0 = EI/l = EI p /4, baasi0 = i 0 .4 mF 3F 3= 750 kNF 3q = 15 kN/mF 1= 90 kN00000000000000000000000111111111111111111111112 EI r4 EI r6F 2= 120 kNEI pEI pEI p4 2EI = 2*10 kN . m EIrp= 1.5EI13 p5000 111 000 111000 1116 m6 m2 mJoonis 16.59. Kahe sildega raamRaami arvutusskeemi kirjeldamisel võtame kasutusele parema käe teljestiku ja IImärgikokkuleppe. Üldteljestik on tähistatud X, Y , Z (joonis 16.60). Kohalikud teljestikud x,y, z on näidatud samal joonisel.Võrrandisüsteemi koostamisel EST-meetodiga on tundmatuteks siirded ja kontaktjõudvarraste otstes (joonis 16.60). Kontaktjõudude ja siirete arv on 60. Nende leidmiseks koostamevõrrandisüsteemispA·Z = B, (16.417)kus spA on hõre maatriks. Hõredate maatriksite tehetega saame tutvuda lisas B lk 647.Varraste otste kontaktjõud ja siirded nummerdame. Nummerdus on näidatud joonisel16.60. Kontaktjõudude ja siirete topoloogilist kirjeldust näeme tabelist 16.16 ja GNU Octave’iprogrammis yspRaamEST.m lk 747 ning arvutuspäevikust 16.9 (lk 605). Raami vardad ühendataksekontaktjõudude ja liigenditega (vt lõik 3.3 joonis 3.2). Varda toed ja toereaktsioonidkirjeldame vastavalt jaotisele 3.2 ja joonisele joonisele 3.1.Sõlmedes siirete pidevus- ja tasakaaluvõrrandite koostamiseks leiame kohalike koordinaatidex, z, y teisenduse üldkoordinaatidesse X, Z, Y (joonis 16.60) (vt jaotis 1.14

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 593Tabel 16.16. Raami varraste topoloogia=============================================================================Elementide topoloogiaNr L~opus u w fi S H M Alguses u w fi S H M-----------------------------------------------------------------------------1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 243 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 364 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 485 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60-----------------------------------------------------------------------------avaldis (1.46)):⎡⎢⎣XZY⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣xzy⎤⎥⎦ (16.418)Varda lõpu ja alguse koordinaatide (joonis 16.60) X L , Z L , X A , Z A järgi saab suunakoosinusedarvutadacos α = X L − X A, (16.419)lcos β = Z L − Z A, (16.420)lkus l on varda pikkusl =√︁(Z L − Z A ) 2 + (X L − X A ) 2 . (16.421)xz[19 20 21 22 23 24][13 14 15 16 17 18]2 x4 x 6[1 2 3 4 5 6] z [25 26 27 28 29 30] z [55 56 57 58 59 60]13z x2[7 8 9 10 11 12][31 32 33 34 35 36] [49 50 51 52 53 54]1 35000 111000 111000 111[u w ϕ S H M][43 44 45 46 47 48]z x4[37 38 39 40 41 42]xzJoonis 16.60. Raami tundmatute nummerdus5

594 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Siirete [u, w, φ] ja kontaktjõudude [S, H, M] teisendamiseks üldkoordinaatidesse pidevustingimusteja tasakaaluvõrrandite koostamisel sõlmedes kasutame teisendusmaatriksit(1.46)T =⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1Varraste 1, 2, 3, 4, 5 (joonis 16.60) teisendusmaatriksid:⎡⎤ ⎡cos α − cos β 0⎢⎥ ⎢T 1 = T 1 = ⎣ cos β cos α 0 ⎦ = ⎣0 0 1T 2 = T 2 =T 3 = T 3 =⎡⎢⎣⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎤⎥⎦ =⎤⎥⎦ =⎤⎥⎦ (16.422)⎡⎢⎣⎡⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 11 0 00 1 00 0 10 1 0−1 0 00 0 1⎤⎥⎦ , (16.423)⎤⎥⎦ , (16.424)⎤⎥⎦ , (16.425)[︃cos αT 32 = T 32 =cos β− cos βcos α]︃=[︃0 1−1 0]︃, (16.426)T 4 = T 4 =⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤⎥⎦ , (16.427)[︃cos αT 42 = T 42 =cos β− cos βcos α]︃=[︃1 00 1]︃, (16.428)T 5 = T 5 =⎡⎢⎣cos α − cos β 0cos β cos α 00 0 1⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣0 −1 01 0 00 0 1⎤⎥⎦ (16.429)Varraste ülekandevõrrandeid (16.430)–(16.434) on kokku 30 (ühel vardal on ülekandevõrrandeid6 ja raamil on 5 varrast). Need võrrandid paigutame võrrandisüsteemi kordajatemaatriksisse vastavalt varraste järjekorranumbritele. Nende võrrandite järjekorranumbridon näidatud avaldistes (16.430)–(16.434). Varraste otstes olevad siirded ja kontaktjõud Z i(16.435)–(16.437) on nummerdatud vastavalt joonisele 16.60 ja tabelile 16.16.Varraste 1, 2, 3, 4, 5 ülekandevõrrandid onI (6×6)˜Z 12 − Ũ 1˜Z 11 =∘˜Z 1 , v˜orrandid, 1 : 6 (16.430)

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 595I (6×6)˜Z 22 − Ũ 2˜Z 21 =∘˜Z 2 , v˜orrandid, 7 : 12 (16.431)I (6×6)˜Z 32 − Ũ 3˜Z 31 =∘˜Z 3 , v˜orrandid, 13 : 18 (16.432)I (6×6)˜Z 42 − Ũ 4˜Z 41 =∘˜Z 4 , v˜orrandid, 19 : 24 (16.433)kus (vt joonist 16.60)⎡˜Z 12 =⎢⎣⎡˜Z 32 =⎢⎣I (6×6)˜Z 52 − Ũ 5˜Z 51 =⎤Z 1Z 2Z 3Z 4⎥Z 5 ⎦Z 6⎤Z 25Z 26Z 27Z 28⎥Z 29 ⎦Z 30, ˜Z 11 =⎢⎣, ˜Z 31 =⎢⎣⎡ ⎤Z 7Z 8Z 9Z 10⎥Z 11 ⎦Z 12⎡⎡˜Z 52 =⎢⎣⎤Z 31Z 32Z 33Z 34⎥Z 35 ⎦Z 36⎤Z 49Z 50Z 51Z 52⎥Z 53 ⎦Z 54∘˜Z 5 , v˜orrandid, 25 : 30 (16.434)⎡, ˜Z 22 =⎢⎣⎡, ˜Z 42 =⎢⎣⎡, ˜Z 51 =⎢⎣⎤Z 13Z 14Z 15Z 16⎥Z 17 ⎦Z 18⎤Z 37Z 38Z 39Z 40⎥Z 41 ⎦Z 42⎤Z 55Z 56Z 57Z 58⎥Z 59 ⎦Z 60⎡, ˜Z 21 =⎢⎣⎡, ˜Z 41 =⎢⎣⎤Z 19Z 20Z 21Z 22⎥Z 23 ⎦Z 24⎤Z 43Z 44Z 45Z 46⎥Z 47 ⎦Z 48, (16.435), (16.436), (16.437)I (6×6) – ühikmaatriks,Ũ i – ülekandemaatriks (16.376), mille skaleeritud kordajad hõredas maatriksis arvutame funktsioonigaysplvfmhvII.m,∘˜Z i – koormusvektor, mis koosneb jaotatud koormust arvestavast vektorist (16.378) ja koondatudjõudu arvestavast vektorist (16.380). Neid teise märgikokkuleppele vastavaid koormusvektoreid(16.378), (16.380) saab arvutada GNU Octave’i funktsioonidega ylqvII.m lk 744,ylfhvzII.m lk 743, kui võtame nendes funktsioonides baasjäikuse (vt lõik G.3) võrdseks ühega(baasi0 = 1.0).Ühikvektorist I (6×6) ja maatriksist Ũ i moodustame võrrandisüsteemi koostamiseks maatriksiU (6×12) = I (6×6) − Ũ i (16.438)

596 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Selle võrrandisüsteemi koostamiseks moodustatud maatriksi U leiame GNU Octave’i funktsiooniylvfmhvII.m lk 746 abil. Sellest maatriksist moodustame hõreda maatriksi, mille skaleeritudkordajad leiame programmiga ysplvfmhvII.m lk 746 .Järgnevalt kirjeldame võrrandisüsteemi EST-meetodis:1. Võrrandid 1:30, 1:60 on ülekandevõrrandid (16.430)–(16.434).Nende võrrandite kontaktjõudude (tundmatute Z i i ) skaleeritud kordajad leiame programmigaysplvfmhvII.m lk 746 ja sisestame võrrandisüsteemi kordajatesse spA programmigaspInsertBtoA.m.Ülekandevõrrandite vabaliikmed∘˜Z i (16.430)–(16.434) arvutame programmiga ylqvII.mja ylfhvzII.m ning sisestame vabaliikmetesse B programmiga InsertBtoA.m lk 726.Ülekandevõrrandite sisestamist näeme arvutiprogrammist yspRaamEST.m (lk 747).2. Võrrandid 31:42 on siirete pidevuse võrrandid (vt kontaktitingimusi jaotis 3.3 jajoonis 3.2). Varraste siirete pidevuse kirjeldamisel sõlmes 4 kasutame seoste transitiivsust16 17 . Vaatleme varraste 2, 3 ja 4 siirete omavahelisi seoseid. Varraste 2 ja 3 ningvarraste 3 ja 4 siirded on omavahel seotud, siis sellest järeldub, et varraste 2 ja 4 siirdedon ka omavahel seotud ja nende seoste kirjeldamine on üleliigne. Lisaks kirjeldameneljanda varda algul olevat momenti, mis on null.Teisendame siirded kohalikest koordinaatidest üldkoordinaatidesse. Teisendusmaatriksid(16.423)–(16.429) teisendame käsuga sparse (T i ) hõredaks maatriksiks. Hõredadteisendusmaatriksid spT i paigutame funktsiooniga spInsertBtoA.m võrrandisüsteemikordajate maatriksisse spA:2.1. Võrrandid 31:33 väljendavad sõlmes 2 varraste 1 ja 2 siirete ja pöörde võrdsust.Varda 1 siirded on veergudes alates 1 ja varda 2 siirded on veergudes alates 19.Sõlmes 2 on varda 1 ja 2 siirded ning pöörded võrdsed. Võrrandisüsteemisühele poole kirjutades tuleb ühele neist miinusmärk ette kirjutada. TeisendusmaatriksiT 1 abil teisendame siirded Z 1 ≡ u (1)l˜opus , Z 2 ≡ w (1)l˜opus , Z 3 ≡ φ (1)l˜opus üldkoordinaatidesse.Varda 2 siirded Z 19 ≡ u (2)alguses , Z 20 ≡ w (2)alguses , Z 21 ≡ φ (2)alguses teisendamemaatriksi T 2 abil üldkoordinaatidesse. Nendest saame võrrandid 31, 32 ja 33:⎡⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (1)l˜opusw (1)l˜opusφ (1)l˜opus⎤⎡⎥⎦ − ⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (2)algusesw (2)algusesφ (2)alguses⎤⎡⎥⎦ = ⎢⎣000⎤⎥⎦ (16.439)ehk⎡⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 1⎥Z 2Z 3⎡⎢⎦ − ⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 19⎥Z 20Z 21⎦ =⎡⎢⎣000⎤⎥⎦ (16.440)Avaldis spA=spInsertBtoA(spA,31,1,spT1) paigutab varda 1 teisendusmaatriksispT1 võrrandisüsteemi kordajate maatriksisse spA alates kordajatest16 transitiivsus – on binaarse seose omadus.17 http://et.wikipedia.org/wiki/Transitiivsus

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 597A( 31,1), st aadressidesse spA (31 : 33, 1 : 3). Samadesse võrrandisüsteemi võrranditessepaigutame varda 2 teisendusmaatriksi spT2m, mis on ’–1’ läbi korrutatudspA=spInsertBtoA(spA,31,19,spT2m). See teisendusmaatriks asub võrrandisüsteemisaadressidel spA( 31:33,19:21).Varraste 1 ja 2 siirded võrdsustame. Selleks kirjutame võrrandisüsteemi vabaliikmetessenullid B(31:33,1)=0.0.2.2. Võrrandid 34:36 väljendavad sõlmes 4 varraste 2 ja 3 siirete ja pöörde võrdsust.Varda 2 siirded on veergudes alates 13 ja varda 3 siirded on veergudes alates 25.Varda 2 lõpu siirded on Z 13 ≡ u (2)l˜opus , Z 14 ≡ w (2)l˜opus , Z 15 ≡ φ (2)l˜opus . Varda 3lõpu siirded Z 25 ≡ u (3)l˜opus , Z 26 ≡ w (3)l˜opus , Z 27 ≡ φ (3)l˜opus. Võrdsustame siirded varraste2 ja 3 lõpus. Saame⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (2)l˜opusw (2)l˜opusφ (2)l˜opus⎤⎡⎥⎦ − ⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (3)l˜opusw (3)l˜opusφ (3)l˜opus⎤⎡⎥⎦ = ⎢⎣000⎤⎥⎦ (16.441)ehk⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 13⎥Z 14Z 15⎡⎢⎦ − ⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 25⎥Z 26Z 27⎦ =⎡⎢⎣000⎤⎥⎦ (16.442)Avaldis spA=spInsertBtoA(spA,34,13,spT2)paigutab varda 2 teisendusmaatriksispT2 võrrandisüsteemi kordajate maatriksisse spA alates kordajatestspA( 34,13), st aadressidesse spA( 34:36,13:15). Samadesse võrrandisüsteemivõrranditesse paigutame varda 3 teisendusmaatriksi spT3m, mis on ’–1’ läbi korrutatudspA=spInsertBtoA(spA,34,25,spT3m). See teisendusmaatriks asubvõrrandisüsteemis aadressidel spA( 34:36,25:27).Varraste 2 ja 3 siirded võrdsustame. Selleks kirjutame võrrandisüsteemi vabaliikmetessenullid B(34:36,1)=0.0.2.3. Võrrandid 37:38 väljendavad sõlmes 4 varraste 3 ja 4 siirete võrdsust. Varda 3siirded on veergudes alates 25 ja varda 4 siirded on veergudes alates 43.Varda 3 lõpu siirded Z 25 ≡ u (3)l˜opus , Z 26 ≡ w (3)l˜opus . Varda 4 alguse siirded on Z 43≡ u (4)alguses , Z 44 ≡ w (4)alguses. Varda 3 ja 4 siirded sõlmes 4 on võrdsed[︃1 00 1]︃ ⎡ ⎣ u(3) l˜opusw (3)l˜opus⎤⎦ −[︃1 00 1]︃ ⎡ ⎣ u(4) algusesw (4)alguses⎤⎦ =[︃00]︃(16.443)[︃1 00 1]︃ [︃ ]︃ [︃Z25 1 0−Z 26 0 1]︃ [︃ ]︃ [︃Z43 0=Z 44 0]︃(16.444)Avaldis spA=spInsertBtoA(spA,37,25,spT32) paigutab varda 3 teisendusmaatriksispT32 (2×2 – ainult siirded) võrrandisüsteemi kordajate maatriksissespA alates kordajatest spA( 37,25), st aadressidesse spA( 37:38,25:26). Samadesse

598 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]võrrandisüsteemi võrranditesse paigutame varda 4 teisendusmaatriksi spT42m, mison ’–1’ läbi korrutatud spA=spInsertBtoA(spA,37,43,spT42m). See teisendusmaatriksasub võrrandisüsteemis aadressidel spA( 37:38,43:44).Varraste 3 ja 4 siirded võrdsustame. Selleks kirjutame võrrandisüsteemi vabaliikmetessenullid B(37:38,1)=0.0.2.4. Võrrand 39 kirjeldab varda 4 algul olevat momenti 48, mis on null.Sõlmes 4 kirjutame veel võrrandi varda 4 alguses oleva momendiliigendi kohta.1 * Z 48 ≡ M (4)alguses = 0 (16.445)Avaldis spA=spSisestaArv(spA,39,48,1) paigutab 39. võrrandisse muutujaZ 48 kordajaks 1. Vabaliige B(39,1)= 0.0 võrdsustab momendi Z 48 nulliga.2.5. Võrrandid 40:42 väljendavad sõlmes 6 varraste 4 ja 5 siirete ja pöörde võrdsust.Varda 4 siirded on veergudes alates 37 ja varda 5 siirded on veergudes alates 55.Sõlmes 6 on kontaktis vardad 4 ja 5. Siirete pidevusest saame võrrandid 40,41, 42. Varda 4 lõpus olevad siirded ja pöörded Z 37 ≡ u (4)l˜opus , Z 38 ≡ w (4)l˜opus , Z 39≡ φ (4)l˜opus teisendame maatriksi T 4 abil üldkoordinaatidesse. Varda 5 alguses olevadsiirded ja pöörded Z 55 ≡ u (2)alguses , Z 56 ≡ w (2)alguses , Z 57 ≡ φ (2)alguses teisendamemaatriksi T 5 abil üldkoordinaatidesse. Varda 4 ja 5 siirded ning pöörded sõlmes 6on võrdsed⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (4)l˜opusw (4)l˜opusφ (4)l˜opus⎤⎡⎥⎦ − ⎢⎣0 −1 01 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣u (5)algusesw (5)algusesφ (5)alguses⎤⎡⎥⎦ = ⎢⎣000⎤⎥⎦ (16.446)ehk⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 37⎥Z 38Z 39⎡⎢⎦ − ⎣0 −1 01 0 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 55⎥Z 56Z 57⎦ =⎡⎢⎣000⎤⎥⎦ (16.447)Avaldis spA=spInsertBtoA(spA,40,37,spT4) paigutab varda 4 teisendusmaatriksispT4 võrrandisüsteemi kordajate maatriksisse spA alates kordajatestspA( 40,37), st aadressidesse spA( 40:42,37:39). Samadesse võrrandisüsteemivõrranditesse paigutame varda 5 teisendusmaatriksi spT5m, mis on ’–1’ läbi korrutatudspA=spInsertBtoA(spA,40,55,spT5m). See teisendusmaatriks asubvõrrandisüsteemis aadressidel spA( 40:42,55:57).Varraste 4 ja 5 siirded võrdsustame. Selleks kirjutame võrrandisüsteemi vabaliikmetessenullid B(40:42,1)=0.0.3. Võrrandid 43:51 on sõlmede tasakaaluvõrrandid (vt kontaktitingimusi lõik 3.3 jajoonis 3.2).3.1. Võrrandid 43:45 väljendavad sõlmes 2 varraste 1 ja 2 kontaktjõudude ja sõlmkoormusetasakaalu. Varda 1 kontaktjõud algavad veerust 4 ja varda 2 kontaktjõudveerust 22.

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 599Sõlme 2 tasakaalust saame võrrandid 43, 44, 45. Varda 1 lõpus olevad rajajõudZ 4 ≡ S (1)l˜opus , Z 5 ≡ H (1)l˜opus , Z 6 ≡ M (1)l˜opus teisendame maatriksi T 1 abil üldkoordinaatidesse.Varda 2 alguses olevad rajajõud Z 22 ≡ S (2)alguses , Z 23 ≡ H (2)alguses ,Z 24 ≡ M (2)alguses teisendame maatriksi T 2 abil üldkoordinaatidesse. Z-telje suunalinekoormus 750 kN annab koormusliikme.⎡⎤ ⎡0 1 0 S (1) ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎢⎥l˜opus⎣ −1 0 0 ⎦ ⎢⎣ H (1)1 0 0 S (2) ⎤ ⎡ ⎤⎥l˜opus ⎦ + ⎢ ⎥alguses⎣ 0 1 0 ⎦ ⎢⎣ H (2)0.0⎥0 0 1 M (1)alguses ⎦ = ⎢ ⎥⎣ 750 ⎦ (16.448)0 0 1l˜opusM (2)0.0algusesehk⎡⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 4⎥Z 5Z 6⎡⎢⎦ + ⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 22⎥Z 23Z 24⎦ =⎡⎢⎣0.07500.0⎤⎥⎦ (16.449)Võrrandid 43, 44 ja 45 kirjeldavad sõlme 2 tasakaalu. Varraste 1ja 2 teisendusmaatriksid paigutame maatriksi spA veergudesse 4 ning 22:spA=spInsertBtoA(spA,43,4,spT1),spA=spInsertBtoA(spA,43,22,spT2).Võrrandisüsteemi vabaliikmesse paigutame sõlme 2 koormuse: B(43,1)=0.0,B(44,1)=750.0 ja B(45,1)=0.0.3.2. Võrrandid 46:48 kirjeldavad sõlmes 4 varraste 2, 3 ja 4 kontaktjõudude ja sõlmkoormusetasakaalu. Varda 2 kontaktjõud algavad veerust 16, varda 3 kontaktjõud algavadveerust 28 ja varda 4 kontaktjõud algavad veerust 46.Sõlme 4 tasakaaluks varda 2 lõpus olevad rajajõud Z 16 ≡ S (2)l˜opus , Z 17 ≡ H (2)l˜opus ,Z 18 ≡ M (2)l˜opus ja varda 3 lõpus olevad rajajõud Z 28 ≡ S (3)l˜opus , Z 29 ≡ H (3)l˜opus , Z 30≡ M (3)l˜opus ning varda 4 alguses olevad rajajõud Z 46 ≡ S (4)alguses , Z 47 ≡ H (4)algusesteisendusmaatriksite T 2 , T 3 ja T 4 abil saame võrrandid 46, 47, 48.⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡S (2)l˜opusH (2)l˜opus⎥⎦ ⎢⎣M (2)l˜opus⎡⎢+ ⎣⎤1 0 .0 1 .. . .⎡⎥⎦ + ⎢⎣⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣0 1 0−1 0 00 0 1S (4)algusesH (4)alguses.⎤⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣⎡⎥⎦ = ⎢⎣S (3)l˜opusH (3)l˜opusM (3)l˜opus⎤0.07500.0⎤⎥⎦ +⎥⎦ (16.450)ehk⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎡⎢+ ⎣⎤Z 16⎥Z 17Z 18⎡⎢⎦ + ⎣1 0 .0 1 .. . .⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣0 1 0−1 0 00 0 1Z 46Z 47.⎤⎥⎦ =⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎡⎢⎣⎤Z 28⎥Z 29Z 30⎤0.07500.0⎦ +⎥⎦ (16.451)

600 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Võrrandid 46, 47 ja 48 kirjeldavad sõlme 4 tasakaalu. Varraste 2, 3 ja4 teisendusmaatriksid paigutame maatriksi spA veergudesse 16, 28 ning 46:spA=spInsertBtoA(spA,46,16,spT2),spA=spInsertBtoA(spA,46,28,spT3),spA=spInsertBtoA(spA,46,46,spT42).Võrrandisüsteemi vabaliikmesse paigutame sõlme 4 koormuse: B(46,1)=0.0,B(47,1)=750.0 ja B(48,1)=0.0.3.3. Võrrandid 49:51 kirjeldavad sõlmes 6 varraste 3 ja 4 kontaktjõudude ja sõlmkoormusetasakaalu. Varda 4 kontaktjõud algavad veerust 40 ja varda 5 kontaktjõudalgavad veerust 58.Sõlme 6 tasakaalust saame võrrandid 49, 50, 51. Varda 4 lõpus olevad rajajõudZ 40 ≡ S (4)l˜opus , Z 41 ≡ H (4)l˜opus , Z 42 ≡ M (4)l˜opus teisendame maatriksi T 4 abil üldkoordinaatidesse.Varda 5 alguses olevad rajajõud Z 58 ≡ S (5)alguses , Z 59 ≡ H (5)alguses , Z 60 ≡M (5)alguses teisendame maatriksi T 5 abil üldkoordinaatidesse. X-telje suunaline koormus−90 annab koormusliikme B 49 = −90 kN. Z-telje suunaline koormus 750 kNannab koormusliikme B 50 = 750.⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣S (4)l˜opusH (4)l˜opusM (4)l˜opus⎤⎡⎥⎦ + ⎢⎣0 −1 01 0 00 0 1⎤ ⎡⎥⎦ ⎢⎣S (5)algusesH (5)algusesM (5)alguses⎤⎡⎥⎦ = ⎢⎣−907500.0⎤⎥⎦ (16.452)ehk⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 40⎥Z 41Z 42⎡⎢⎦ + ⎣0 −1 01 0 00 0 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤Z 58⎥Z 59Z 60⎦ =⎡⎢⎣−907500.0⎤⎥⎦ (16.453)Võrrandid 49, 50 ja 51 kirjeldavad sõlme 6 tasakaalu. Varraste 4ja 5 teisendusmaatriksid paigutame maatriksi spA veergudesse 40 ning 58:spA=spInsertBtoA(spA,49,40,spT4),spA=spInsertBtoA(spA,49,58,spT5).Võrrandisüsteemi vabaliikmesse paigutame sõlme 6 koormuse: B(49,1)=-90.0,B(50,1)=750.0 ja B(51,1)=0.0.4. Võrrandid 52:60 on rajatingimused (vt toetingimusi lõik 3.2 ja joonis 3.1).4.1. Võrrandid 52:53 kirjeldavad sõlmes 1 olevaid siirdeid. Siirete numbrid on 7 ja 8(vt joonis 16.60).Võrrandisüsteemis spA sisestame nende siirete kordajateks ühe. Kordajad sisestameGNU Octave’i funktsiooniga spSisestaArv.m lk 726 ja vastavasse vabaliikmesseB kirjutame siirde väärtuse.spA=spSisestaArv(spA,52,7,1), B(52,1)=0.0,spA=spSisestaArv(spA,53,8,1), B(53,1)=0.0.4.2. Võrrandisse 54 paigutame sõlmes 1 oleva momendi 12 väärtuseks nulli.spA=spSisestaArv(spA,54,12,1) B(54,1)=0.0.

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 6014.3. Võrrandid 55:57 kirjeldavad sõlme 3 jäika kinnitust. Siirded ja pööre 31, 32, 33 onnull.spA=spSisestaArv(spA,55,31,1), B(55,1)=0.0,spA=spSisestaArv(spA,56,32,1), B(56,1)=0.0,spA=spSisestaArv(spA,57,33,1), B(57,1)=0.0.4.4. Võrrandid 58:60 kirjeldavad sõlme 5 jäika kinnitust. Siirded ja pööre 49, 50, 51 onnull.spA=spSisestaArv(spA,58,49,1), B(58,1)=0.0,spA=spSisestaArv(spA,59,50,1), B(59,1)=0.0,spA=spSisestaArv(spA,60,51,1), B(60,1)=0.0.Esmalt koostame võrrandisüsteemi (16.417) lineaarsele ülesandele, st varrastes pikijõud S puudubja varda tunnusarv ν = 0. Lineaarse ülesande lahendamine annab viie varda pikijõud⎡S =⎢⎣⎤S 1S 2S 3⎥S 4 ⎦S 5⎡=⎢⎣−824.978 kN−25.760 kN−775.104 kN−79.661 kN−739.918 kN⎤⎥⎦(16.454)Järgmisel võrrandisüsteemi koostamisel leitakse eesarvud eelmisel lahendamisel leitud pikijõududega.Pikijõududega (16.454) koostatud võrrandisüsteemi (16.417) lahendame GNU Octave’igaZ = spA∖B, (16.455)Võrrandisüsteemi lahendis (16.455) on pikijõud S, ristjõud H ja momendid M varraste otstes.Siin arvestame, et teise märgikokkuleppe puhul on varda alguses mõjuvad jõud vastupidistemärkidega võrreldes esimese märgikokkuleppega. Võrrandisüsteemi lahendis (16.455)on siirded baasjäikuse (i 0 ) korda suuremad. Tegelike siirete leidmiseks jagame siirdedbaasjäikusega i 0 . Meid huvitavad tegelikud algparameetrid. Nende indekseid saame jälgidajooniselt 16.60 ja raami varraste topoloogiat kirjeldavast tabelist 16.16. GNU Octave’i programmyspRaamEST.m lk 747 leiab need skaleerimata algparameetrid (16.456)–(16.458):⎡ ⎤⎡uwZ a φ = y, II m¨argikokkulepe, Z a S11 =⎢ ⎥⎢⎣ H ⎦⎣M y⎡ ⎤ ⎡⎤⎡Z 19 3.057e − 02Z 207.207e − 04Z a Z 21 = 21−1.308e − 04=, Z a Z⎢ 2221.53531 =⎥ ⎢⎥⎢⎣ Z 23 ⎦ ⎣ −78.823 ⎦⎣Z 24 111.354⎤Z 7Z 8Z 9Z 10⎥Z 11 ⎦Z 12⎤Z 31Z 32Z 33Z 34⎥Z 35 ⎦Z 36⎡=⎢⎣⎡=⎢⎣0.000e + 000.000e + 001.166e − 02828.82321.5350.0000.000e + 000.000e + 000.000e + 00773.18256.251−157.125⎤, (16.456)⎥⎦⎤, (16.457)⎥⎦

602 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]⎡Z a 41 =⎢⎣⎤Z 43Z 44Z 45Z 46⎥Z 47 ⎦Z 48⎡=⎢⎣−3.058e − 026.723e − 04−2.423e − 0377.786−12.0060.000⎤⎡, Z a 51 =⎥⎢⎦⎣⎤Z 55Z 56Z 57Z 58⎥Z 59 ⎦Z 60⎡=⎢⎣6.417e − 043.065e − 024.838e − 03737.99412.214−72.033Arvutuse tulemused on ka arvutuspäevikus 16.9 (lk 605).Varrastes sisejõudude (pikijõud S ja ristjõud H) leidmiseks kasutame võrranditkus⎡ ⎤uwφ Z x = yS⎢ x⎥⎣ H z ⎦M yZ x = Ũ x Z a i1 +x, Z a i1 =⎢⎣⎤. (16.458)⎥⎦∘˜Z x (16.459)⎡u aw aφ yS a xH z aM a y⎤⎥⎦i1(16.460)Z x on sisejõud varda ristlõikes x. Siin on varda parempoolne ots, kus I märgikokkulepe jaII märgikokkulepe ühtivad ja Z a i1 on algparameetrite vektor, mille numbrilised väärtused onesitatud avaldistega (16.456)–(16.458) ja ülekandemaatriks Ũ x (G.30) vastab II märgikokkuleppele.Seda maatriksit saab arvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylfmhvII.m lk 743.∘Koormusvektor ˜Z x arvutamisel kasutame koormusvektorit (koormus q z = const ja i 0 = 1),mis on toodud avaldisega (G.32), (G.33). Neid koormusvektoreid saab arvutada GNU Octave’ifunktsiooniga ylqvII.m lk 744.Kui varda koormuses on koondatud jõud, siis liidame juurde nii teisele kui ka esimesele märgikokkuleppelevastavad koormusvektorid (G.34), (G.35). Neid vektoreid saab arvutada GNUOctave’i funktsiooniga ylfhvzII.m lk 743.Teisendusega ˜T −1 (16.461), (16.371)⎡Z =⎢⎣⎤ ⎡uwφ y=N⎥ ⎢Q ⎦ ⎣M y1 . . . . .. 1 . . . .. . 1 . . .. . . 1 . .. . ∓ν 2 EIl 2 . 1 .. . . . . 1⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤uwφ y= ˜T −1˜Z (16.461)S⎥H ⎦M ysaame pikijõult ja ristjõult üle minna normaaljõule ja põikjõule. Selle teisenduse võib tehaGNU Octave’i funktsiooniga ytransfp.m lk 745.Raami varrastes arvutame sisejõud ka kohal x=0, et saada kõigis arvutatavatesristlõigetes I märgikokkuleppele vastavad sisejõud (varda lõpus langevad sisejõud ühte I jaII märgikokkuleppe puhul). Arvutuspäevikus 16.9 (lk 605) on sisejõu leidmisel varras jagatudneljaks.Raami siirete, pöörete ja sisejõudude epüürid on joonistel 16.62–16.63(c), kus pidevajoonega on näidatud II järku teooriaga saadud tulemused. Kriipsjoon ja sulgudes olevad arvudnäitavad I järku teooria järgi saadud tulemusi.

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 6030.0305664 mF 3F 3= 750 kNq = 15 kN/m11100000000000000000000000111111111111111111111112 4 613239.506 5(220.868)000 111157.125000 111000 111(25.760) (138.774) (53.901)21.535 6 m56.251 6 m132.214(130.339)828.824 773.182 737.994(842.978) (775.104) (739.918)Joonis 16.61. Kahe sildega raami toereaktsioonidF3F1= 90 kNF2= 120 kN2 mJoonisel 16.62 saame võrrelda kahe sildega raami horisontaalseid siirdeid, mis on arvutatudII järku teooria (pidev joon) ning I järku teooria (kriipsjoon) järgi. Sulgudes olevad arvudvastavad I järku teooriale.Raami sõlmede tasakaalu kontrollimisel peame arvestama normaaljõu N, põikjõu Q erinevustpikijõust S ning ristjõust H.Paindemomentide epüüri staatiline kontroll ei ole sama, mis esimest järku teooria puhul.Raami staatiline kontroll.Projitseerime kõik jõud horisontaalteljele X (joonis 16.61).ΣX = 0; 21.53459 + 56.25101 + 132.21440 − 90 − 120 = 0.0 (16.462)Projitseerime kõik jõud vertikaalteljele Z (joonis 16.61).ΣZ = 0; −828.82348 − 773.18237 − 737.99415 + 15 * 6.0 + 3 * 750 = 0.0 (16.463)Momentide summaga kontrollimine on väga oluline kontroll. Paljudel juhtudel avastataksearvutustes tehtud viga alles selle kontrolliga.Momentide summa toe 1 suhtes.(−2.674e−02)−3.056e−02(−2.675e−02)−3.0575e−02(−2.676e−02)−3.058e−02(−2.683e−02)−3.065e−022 4 6(−1.028e−02)−1.179e−02(−1.34e−02)−1.49e−0200 1100 111 300 1100 115000 111000 111Joonis 16.62. Horisontaalsiirded kahe sildega raamis

604 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]828.82(824.98)21.53(25.76)773.18(775.10)77.79(79.66)2 4 6737.99(739.92)828.82(824.98)1000 111N ep[kN]3 5000 111773.18 000 111737.99(775.10) (739.92)(a) Kahe sildega raami normaaljõu epüür [kN]21.43(25.76)11.35 12.0011.62(15.02) (10.08)(10.08)2 15.794 (10.34)56.256(53.90)78.82(74.98) 63.81139.84(130.34)Q ep [kN]31.15 1356.25 5 132.21(25.76) 000 111000 111 (53.90) 000 111 (130.34)(b) Kahe sildega raami põikjõu epüür [kN]111.35(103.03)21000 111M ep91.59(76.83)91.5957.80 (76.83)(54.39)[kN.m]435.95(39.81)3157.125 5(138.774)000 11172.03(69.49)6000 111(c) Kahe sildega raami paindemomendi epüür [kN·m]239.506(220.868)Joonis 16.63. Kahe sildega raami sisejõudTeist järku teoorias peame arvestama raami deformeerunud kujuga (joonis 16.61). Raami riivisiire on u 2 4 = 3.06534*10 −2 (vt arvutuspäevik 16.9). Täiendav moment riivi siirdest ΔM:ΔM = 750.0 * (−0.0305658) − 750.0 * (−0.0305848) − 15 * 6.0 * (−0.0305753) ++0.0305848 * 750.0 = 71.553 kN·m (16.464)Järgnevas momentide summas arvestame täiendava momendiga (16.464)ΣM 3 = 0; −157.12519 − 239.50594 + 773.18237 * 6 + 737.99415 * 12 ++120.0 * 2.0 + 90.0 * 4.0 − 750.0 * (12.0 − 0.0305658) − 750.0 * (6.0 − 0.0305848) −−15 * 6.0 * (3.0 − 0.0305753) + 0.0305848 * 750.0 = 0.004696 (16.465)Staatiline kontroll näitab, et raam on temale mõjuvate jõudude mõjul tasakaalus.

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 605Arvutuspäevik 16.9 Octave-3.0.1:1> diary yspRaamEST.outOctave-3.0.1:2> diary onOctave-3.0.1:3> yspRaamEST=======================================================Järgnev on raami arvutus: GNU Octave’igaEIp = 20000EIr = 30000baasi0 = 5000Pikij~oud eelmisest arvutusestSI =-824.978-25.760-775.104-79.661-739.918Elemendi koormusqzZ =015000aLXx’ = 4 6 4 6 2FZz’ = 0 0 0 0 120SolmedeArv = 6ElementideArv = 5S~olme 2 koormuss2F =07500S~olme 4 koormuss4F =07500S~olme 6 koormuss6F =-907500==========================================================spA =Compressed Column Sparse (rows = 60, cols = 60, nnz = 152)(1, 1) -> 1(32, 1) -> -1(2, 2) -> 1(31, 2) -> 1(3, 3) -> 1(33, 3) -> 1(4, 4) -> 1(44, 4) -> -1(5, 5) -> 1(43, 5) -> 1(6, 6) -> 1(45, 6) -> 1(1, 7) -> -1(52, 7) -> 1(2, 8) -> -1(53, 8) -> 1(2, 9) -> 3.5743(3, 9) -> -0.68776(6, 9) -> 0.58974(1, 10) -> 0.0043478(4, 10) -> 1(2, 11) -> -2.5800(3, 11) -> 1.8924(5, 11) -> 1(6, 11) -> 3.5743(2, 12) -> -1.8924(3, 12) -> 0.89358(6, 12) -> 0.68776(54, 12) -> 1(7, 13) -> 1(34, 13) -> 1(8, 14) -> 1(35, 14) -> 1(9, 15) -> 1(36, 15) -> 1(10, 16) -> 1(46, 16) -> 1(11, 17) -> 1(47, 17) -> 1(12, 18) -> 1(48, 18) -> 1(7, 19) -> -1

606 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2](31, 19) -> -1(8, 20) -> -1(32, 20) -> -1(8, 21) -> 5.9691(9, 21) -> -0.98458(12, 21) -> 0.030753(33, 21) -> -1(7, 22) -> 0.0044118(10, 22) -> 1(43, 22) -> 1(8, 23) -> -5.9907(9, 23) -> 2.9923(11, 23) -> 1(12, 23) -> 5.9691(44, 23) -> 1(8, 24) -> -2.9923(9, 24) -> 0.99486(12, 24) -> 0.98458(45, 24) -> 1(13, 25) -> 1(35, 25) -> 1(38, 25) -> -1(14, 26) -> 1(34, 26) -> -1(37, 26) -> 1(15, 27) -> 1(36, 27) -> -1(16, 28) -> 1(47, 28) -> -1(17, 29) -> 1(46, 29) -> 1(18, 30) -> 1(48, 30) -> 1(13, 31) -> -1(55, 31) -> 1(14, 32) -> -1(56, 32) -> 1B =(14, 33) -> 3.5992(15, 33) -> -0.70565(18, 33) -> 0.55796(57, 33) -> 1(13, 34) -> 0.0043478(16, 34) -> 1(14, 35) -> -2.5852(15, 35) -> 1.8988(17, 35) -> 1(18, 35) -> 3.5992(14, 36) -> -1.8988(15, 36) -> 0.89981(18, 36) -> 0.70565(19, 37) -> 1(40, 37) -> 1(20, 38) -> 1(41, 38) -> 1(21, 39) -> 1(42, 39) -> 1(22, 40) -> 1(49, 40) -> 1(23, 41) -> 1(50, 41) -> 1(24, 42) -> 1(51, 42) -> 1(19, 43) -> -1(37, 43) -> -1(20, 44) -> -1(38, 44) -> -1(20, 45) -> 5.9049(21, 45) -> -0.95258(24, 45) -> 0.094077(19, 46) -> 0.0044118(22, 46) -> 1(46, 46) -> 1(20, 47) -> -5.9714(21, 47) -> 2.9762(23, 47) -> 1(24, 47) -> 5.9049(47, 47) -> 1(20, 48) -> -2.9762(21, 48) -> 0.98414(24, 48) -> 0.95258(39, 48) -> 1(25, 49) -> 1(58, 49) -> 1(26, 50) -> 1(59, 50) -> 1(27, 51) -> 1(60, 51) -> 1(28, 52) -> 1(29, 53) -> 1(30, 54) -> 1(25, 55) -> -1(41, 55) -> -1(26, 56) -> -1(40, 56) -> 1(26, 57) -> 3.6169(27, 57) -> -0.71835(30, 57) -> 0.53524(42, 57) -> -1(25, 58) -> 0.0043478(28, 58) -> 1(50, 58) -> 1(26, 59) -> -2.5888(27, 59) -> 1.9033(29, 59) -> 1(30, 59) -> 3.6169(49, 59) -> -1(26, 60) -> -1.9033(27, 60) -> 0.90422(30, 60) -> 0.71835(51, 60) -> 11 0.000002 0.000003 0.000004 0.000005 0.000006 0.000007 0.000008 134.926719 -89.9267210 0.0000011 -90.0000012 -269.6336513 0.0000014 0.0000015 0.0000016 0.0000017 0.0000018 0.0000019 0.0000020 0.0000021 0.0000022 0.0000023 0.0000024 0.0000025 0.0000026 39.7014627 -29.6273628 0.0000029 -120.0000030 -234.0526731 0.0000032 0.0000033 0.0000034 0.0000035 0.0000036 0.0000037 0.0000038 0.0000039 0.0000040 0.0000041 0.0000042 0.0000043 0.0000044 750.0000045 0.0000046 0.0000047 750.0000048 0.00000

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 60749 -90.0000050 750.0000051 0.0000052 0.0000053 0.0000054 0.0000055 0.0000056 0.0000057 0.0000058 0.0000059 0.0000060 0.00000X =1 -3.603582 -152.828823 -0.654014 -828.823485 -21.534596 -111.354457 0.000008 0.000009 58.3019410 828.8234811 21.5345912 0.0000013 -152.9238314 3.3616615 34.5753616 -21.5345917 -11.1765218 91.5852019 -152.8288220 3.6035821 -0.6540122 21.5345923 -78.8234824 111.3544525 -3.3616626 -152.9238327 34.5753628 -773.1823729 -56.2510130 -91.5852031 0.0000032 0.0000033 0.0000034 773.1823735 56.2510136 -157.1251937 -153.2670038 3.2086739 24.1908240 -77.7856041 12.0058542 72.0326843 -152.9238344 3.3616645 -12.1152046 77.7856047 -12.0058548 0.0000049 0.0000050 0.0000051 0.0000052 -737.9941553 -132.2144054 -239.5059455 3.2086756 153.2670057 24.1908258 737.9941559 12.2144060 -72.03268============================================================================Algparameetrid skaleerimataVarda Nr u w fi S H M----------------------------------------------------------------------------1 0.000e+00 0.000e+00 1.166e-02 828.823 21.535 0.0002 -3.057e-02 7.207e-04 -1.308e-04 21.535 -78.823 111.3543 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 773.182 56.251 -157.1254 -3.058e-02 6.723e-04 -2.423e-03 77.786 -12.006 0.0005 6.417e-04 3.065e-02 4.838e-03 737.994 12.214 -72.033----------------------------------------------------------------------------============================================================================Varda alguse/l~opu siirded (skaleerimata) kontaktj~oudVarda Nr u w fi S H M----------------------------------------------------------------------------1 0.000e+00 0.000e+00 1.166e-02 828.823 21.535 0.0001 -7.207e-04 -3.057e-02 -1.308e-04 -828.823 -21.535 -111.3542 -3.057e-02 7.207e-04 -1.308e-04 21.535 -78.823 111.3542 -3.058e-02 6.723e-04 6.915e-03 -21.535 -11.177 91.5853 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 773.182 56.251 -157.1253 -6.723e-04 -3.058e-02 6.915e-03 -773.182 -56.251 -91.5854 -3.058e-02 6.723e-04 -2.423e-03 77.786 -12.006 0.0004 -3.065e-02 6.417e-04 4.838e-03 -77.786 12.006 72.0335 6.417e-04 3.065e-02 4.838e-03 737.994 12.214 -72.0335 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00 -737.994 -132.214 -239.506----------------------------------------------------------------------------============================================================================Varras 1. Li on jaotatud neljaksLi = 4siire u - 0.00000e+00 -1.80179e-04 -3.60358e-04 -5.40537e-04 -7.20716e-04siire w - 0.00000e+00 -1.14013e-02 -2.12609e-02 -2.81004e-02 -3.05658e-02

608 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]pööre fi - 1.16604e-02 1.08842e-02 8.58757e-03 4.86489e-03 -1.30802e-04pikij~oud S - -828.82348 -828.82348 -828.82348 -828.82348 -828.82348ristj~oud H - -21.53459 -21.53459 -21.53459 -21.53459 -21.53459moment M - 0.00000 -30.94042 -60.60896 -87.78603 -111.35445------------------normaalj~oud N - -828.82348 -828.82348 -828.82348 -828.82348 -828.82348p~oikj~oud Q - -31.15416 -30.51382 -28.61915 -25.54802 -21.42668moment M - 0.00000 -30.94042 -60.60896 -87.78603 -111.35445----------------------------------------------------------------------------Varras 2. Li on jaotatud neljaksLi = 6siire u - -3.05658e-02 -3.05705e-02 -3.05753e-02 -3.05800e-02 -3.05848e-02siire w - 7.20716e-04 3.71964e-03 7.67314e-03 7.50363e-03 6.72332e-04pööre fi - -1.30802e-04 -3.02242e-03 -1.68463e-03 2.19278e-03 6.91507e-03pikij~oud S - -21.53459 -21.53459 -21.53459 -21.53459 -21.53459ristj~oud H - 78.82348 56.32348 33.82348 11.32348 -11.17652moment M - -111.35445 -9.91697 57.79510 91.65095 91.58520------------------normaalj~oud N - -21.53459 -21.53459 -21.53459 -21.53459 -21.53459p~oikj~oud Q - 78.82685 56.40134 33.86688 11.26700 -11.35465moment M - -111.35445 -9.91697 57.79510 91.65095 91.58520----------------------------------------------------------------------------Varras 3. Li on jaotatud neljaksLi = 4siire u - 0.00000e+00 -1.68083e-04 -3.36166e-04 -5.04249e-04 -6.72332e-04siire w - 0.00000e+00 -3.44761e-03 -1.17895e-02 -2.18999e-02 -3.05848e-02pööre fi - 0.00000e+00 6.40387e-03 9.75688e-03 9.92951e-03 6.91507e-03pikij~oud S - -773.18237 -773.18237 -773.18237 -773.18237 -773.18237ristj~oud H - -56.25101 -56.25101 -56.25101 -56.25101 -56.25101moment M - 157.12519 98.20193 35.48511 -28.60251 -91.58520------------------normaalj~oud N - -773.18237 -773.18237 -773.18237 -773.18237 -773.18237p~oikj~oud Q - -56.25101 -61.21467 -63.81360 -63.94740 -61.61091moment M - 157.12519 98.20193 35.48511 -28.60251 -91.58520----------------------------------------------------------------------------Varras 4. Li on jaotatud neljaksLi = 6siire u - -3.05848e-02 -3.06019e-02 -3.06191e-02 -3.06362e-02 -3.06534e-02siire w - 6.72332e-04 4.07823e-03 6.11381e-03 5.41692e-03 6.41734e-04pööre fi - -2.42304e-03 -1.96581e-03 -5.96850e-04 1.67566e-03 4.83816e-03pikij~oud S - -77.78560 -77.78560 -77.78560 -77.78560 -77.78560ristj~oud H - 12.00585 12.00585 12.00585 12.00585 12.00585moment M - 0.00000 18.28010 36.45103 54.40429 72.03268------------------normaalj~oud N - -77.78560 -77.78560 -77.78560 -77.78560 -77.78560p~oikj~oud Q - 12.19887 12.16245 12.05340 11.87237 11.62044moment M - 0.00000 18.28010 36.45103 54.40429 72.03268----------------------------------------------------------------------------Varras 5. Li on jaotatud neljaksLi = 4siire u - 6.41734e-04 4.81301e-04 3.20867e-04 1.60434e-04 -1.03179e-19siire w - 3.06534e-02 2.41513e-02 1.49074e-02 4.86946e-03 -3.46945e-18

16.14 Arvutusnäited ülekandemaatriksiga 609pööre fi - 4.83816e-03 8.02399e-03 1.03050e-02 8.60641e-03 1.73472e-18pikij~oud S - -737.99415 -737.99415 -737.99415 -737.99415 -737.99415ristj~oud H - -12.21440 -12.21440 -132.21440 -132.21440 -132.21440moment M - 72.03268 55.00729 35.95311 -103.68853 -239.50594------------------normaalj~oud N - -737.99415 -737.99415 -737.99415 -737.99415 -737.99415p~oikj~oud Q - -15.79425 -18.15150 -139.83929 -138.58244 -132.21440moment M - 72.03268 55.00729 35.95311 -103.68853 -239.50594----------------------------------------------------------------------------octave-3.0.1:4> diary offRaami (joonis 16.59) lineaarne ülesanne on lahendatud ka deformatsioonimeetodiga, vtGNU Octave’i programmi defNBAest.m lk 736. Paindemomendi epüür on joonisel 16.63(c) lk604.Tabel 16.17. Kahe sildega raami sisejõudude võrdlusLineaarne teooriaV arda M def M I est S I est H I est M IIestII järku teooriaS IIestH IIestnr a/l [kN·m] [kN·m] [kN] [kN] [kN·m] [kN] [kN]1 alg. 0.0000 0.000 824.978 25.760 0.000 828.823 21.5351 l˜opp -103.1977 -103.040 -824.978 -25.760 -111.354 -828.823 -21.5352 alg. 103.1977 103.040 25.760 -74.978 111.354 21.535 -78.8232 l˜opp 76.9767 76.829 -25.760 -15.022 91.585 -21.535 -11.1773 alg. -138.8954 -138.774 775.104 53.901 -157.125 773.182 56.2513 l˜opp -76.9767 -76.829 -775.104 -53.901 -91.585 -773.182 -56.2514 alg. 0.0000 0.000 79.661 -10.082 0.000 77.786 -12.0064 l˜opp 60.3488 60.490 -79.661 10.082 72.033 -77.786 12.0065 alg. -60.3488 -60.490 739.918 10.339 -72.033 737.994 12.2145 l˜opp -220.5814 -220.868 -739.918 -130.339 -239.506 -737.994 -132.214Tabelis 16.17 on toodud sisejõudude võrdlus, mis on arvutatud esimest ja teist järkuteooria järgi. Tabelis on võrdluseks toodud paindemomendid M def , mis on arvutatud deformatsioonimeetodiga,kasutades GNU Octave’i programmi defNBAest.m lk 736.Tabelist näeme, et need erinevad väga vähe momentidest M I est, mis on leitud rajaelementidemeetodiga (EST-meetodiga). Esimest ja teist järku teooria järgi arvutatud sisejõududeepüürid on joonistel 16.63 lk 604.

610 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]16.15 Lõplik element pikipõikpaindel16.15.1 Jäikusmaatriks pikipõikpaindelLõplike elemendi meetodi (LEM) rakendamiseks vaatleme varda lõplikku elementi (joonis16.64). Varda otstes mõjuvatest kontaktjõududest ja siiretest moodustame vektorids * ja v * S AHAM AαH LxM Lx*S LII märgikokkulepezz*Joonis 16.64. Varda lõplik element⎡S * =⎢⎣⎤S AH AM AS L⎥H L ⎦M L⎡, v * =⎢⎣u Aw Aφ Au Lw Lφ L⎤⎥⎦(16.466)Moodustame varda alguses ja lõpus olevatest siiretest vastavad vektorid v A ning v L :⎡ ⎤⎡ ⎤u Au L⎢ ⎥⎢ ⎥v A = ⎣ w A ⎦ , v L = ⎣ w L ⎦ (16.467)φ A φ LVarda alguses ja lõpus olevatest kontaktjõududest vastavad vektorid s A ning s L :⎡ ⎤⎡ ⎤S AS L⎢ ⎥⎢ ⎥s A = ⎣ H A ⎦ , s L = ⎣ H L ⎦ (16.468)M A M LJäikusmaatriksi leidmiseks vaatleme ülekandemaatriksit Ũ IIs(16.374), mille struktuur on[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃vL U11 U=12 vA f1+s L U 21 U 22 s A f 2(16.382) ja võrrandit(16.469)

16.15 Lõplik element pikipõikpaindel 611Võrrandisüsteemi (16.469) teisendame kujule[︃ ]︃sAs L=[︃−U −112 U 11 U −112U 21 − U 22 U −112 U 11 U 22 U −112]︃ [︃ ]︃ [︃vA+v L−U −1 ]︃12 f 1−U 22 U −112 f 2(16.470)ehkS * = K * v * − f (16.471)kus K * on varda jäikusmaatriks pikipõikpaindel ja on toodud avaldisega (16.475). Võrrand(16.471) vastab teisele märgikokkuleppele. Pöörame tähelpanu, et f on miinusmärgiga.Õpikus [PW94] lk 193 on f võrrandis miinusmärgiga ja sellele vastavalt on toodudtabelid lk 194.Ehituspraktikas on küllaldane, kui ritta arenduses (16.476), (16.477) arvestada kahteesimest liiget. Siis võime jäikusmaatriksi K esitada lineaarse K * E ja geomeetrilise” mittelineaarseosa K * G”summanaK * = K * E + K * G (16.472)kus⎡K * E = EI y ⎢⎣¯h0 0 . − ¯h 0 0l l120 − 6 . 0 − 12 − 6l 3 l 2 l 3 l 20 − 6 46 2. 0l 2 ll 2 l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .− ¯h ¯h0 0 . 0 0l l0 − 12 612 6. 0l 3 l 2 l 3 l 20 − 6 2l 2 l6 4. 0l 2 l⎤⎥⎦(16.473)on lineaarne jäikusmaatriks, milles ¯h = EAEIja⎡⎤0 0 0 . 0 0 00 36 −3*l . 0 −36 −3*lK * G =S 0 −3*l 4*lx2 . 0 3*l −l 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30*l0 0 0 . 0 0 0⎢ 0 −36 3*l . 0 36 3*l ⎥⎣⎦0 −3*l −l 2 . 0 3*l 4*l 2(16.474)

612 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]on geomeetriline jäikusmaatriks (Sx < 0).Võrrand (16.471) lahtikirjutatuna on järgmine:⎡SA⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ HAMASLHLML⎤⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣EA0 0 − EA0 0l l. [2 (A * + B * ) ∓ν 2 ] EI − (A * + B * ) EI 0 − [2 (A * + B * ) ∓ν 2 ] EI − (A * + B * ) EIl 3 l 2 l 3 l 2. . A * EI 0 (A * + B * ) EIB * EIl l 2EI. . . 0 0l. S¨ummeetriline . . [2 (A * + B * ) ∓ν 2 ] EI (A * + B * ) EIl 3 l 2. . . . . A * EIllkus A * ja B * on varda eesarvud, siin valida märgist ∓ survel ’-’ ja tõmbel ’+’,ν on varda tunnusarv.Eesarvude rittaarendus survel (vt. [Krä91c] ST 4-9.32, [PW94] lk 634 ja [ER77] lk 3):A * ν(sin ν−ν cos ν)= 2(1−cos ν)−ν sin ν − 11400 ν4 − · · ·= 12 − 6 sin ν 5 ν2 − 1700 ν4 − · · ·= 4 − 215 ν2 − 116300 ν4 − · · ·B * ν(ν−sin ν)=2(1−cos ν)−ν sin ν = 2 + 130 ν2 + 1312600 ν4 − · · ·A * + B * ν=(1−cos ν)2(1−cos ν)−ν sin ν = 6 − 110 ν2 2 (A * + B * ) − ν 2 ν= 3 sin ν2(1−cos ν)−ν Eesarvude rittaarendus tõmbel:A * ν(sh ν−νch ν)= 2(ch ν−1)−νsh ν − 11400 ν4 + · · ·= 12 + 6 ν 5 ν2 − 1700 ν4 + · · ·= 4 + 215 ν2 − 116300 ν4 + · · ·B * ν(ν−sh ν)=2(ch ν−1)−νsh ν = 2 − 130 ν2 + 1312600 ν4 − · · ·A * + B * ν=(1−ch ν)2(ch ν−1)−νsh ν = 6 + 110 ν2 2 (A * + B * ) − ν 2 −ν= 3 sh ν2(ch ν−1)−νsh ⎤ ⎡uA⎥ ⎢ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ wAφAuLwLφL⎤⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(16.475)(16.476)(16.477)

16.15 Lõplik element pikipõikpaindel 613Kirjutame võrrandisüsteemi (16.471) järgmisel kujul:K * v * = S * + f (16.478)Koormusvektori f avaldise leiame raamatust [RH95] lk 77 ja 88, kuid seal on koormusvektorif elemendid vastupidiste märkidega. Koormusvektori f avaldise leiameõpikust [PW94] lk 194 toodud tabelitest⎡ ⎤ ⎡⎤˜f nA0˜f qAq zl(︁ 2 )︁˜f f e = mA− qzl2=12 1∓ν 260˜f nL0(16.479)⎢ ⎥⎣ ˜f qL ⎦ ⎢ q zl⎥⎣ (︁ 2 )︁ ⎦˜f mL 1∓ν 2Tala elemendil, millel on momendiliigend paremal, puudub kontaktjõudude vektorisS * ja siirdevektoris v * M L ning φ L⎡ ⎤⎡ ⎤H Aw AS * ⎢ ⎥= ⎣ M A ⎦ , v * ⎢ ⎥= ⎣ φ A ⎦ (16.480)H Lw LTala elemendi, millel on momendiliigend paremal, jäikusmaatriksi arvutame maatriksitekondensatsiooni valemiga (A.69)⎡⎤ ⎡ ⎤k 11 k 12 k 13⎢⎥˜K e par = ⎣ k 21 k 22 k 23 ⎦ − 1 k 14 [︁ ]︁⎢ ⎥⎣ k 24 ⎦ k41 k 42 k 43 (16.481)kk 31 k 32 k 44 33 k 34Koormusvektoriks f e par saame kondensatsiooni valemiga (A.70)⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤˜f qA f qA⎢ ⎥ ⎢ ⎥˜fe par = ⎣ ˜f mA ⎦ = ⎣ f mA ⎦ − 1 k 14⎢ ⎥⎣ k 24 ⎦ f mL (16.482)k ˜f qLf 44 qLk 34Jäikusmaatriks K üldkoordinaatidesq zl 21260K = T T K * T (16.483)Vektorite S * ja v * teisendamiseks kohalikest koordinaatidest üldkoordinaatidesse s ja vkasutame järgmist teisendusmaatriksit:⎡⎤c s 0 . 0 0 0−s c 0 . 0 0 00 0 1 . 0 0 0T =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(16.484)0 0 0 . c s 0⎢ 0 0 0 . −s c 0 ⎥⎣⎦0 0 0 . 0 0 1

614 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]kus c = cos α ja s = sin αVektorid S * ja v * üldkoordinaatidesv = Tv * , s = Ts * (16.485)16.15.2 Tala arvutus LEM-iga. Näide 16.10Näide 16.10 Leida joonisel 16.65 toodud tala paindemomendid lõplike elementide meetodigaII järku teooria järgi. Tala on koormatud ühtlaselt jaotatud koormusega q z = 30 kN/m ningpikijõuga S = 1000 kN . Tala ristlõike jäikus on EI = 2 * 10 4 kN·m 2 . Tala sille on 8 m.Vaadeldava tala jagame neljaks võrdseks elemendiks pikkusega 2 m. Selle lineaarse ülesandelahendamiseks on kasutada GNU Octave’i programm LemKelin.m lk 738 ja II järku teooriajärgi lahendamiseks programm LemKe.m lk 739 .01q = 30 kN/m0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111101000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 201EI =20000 kN . 00 11m00 11L = 8 mS = 1000 kN[ ] = v 1d 1d 2[ ] = v 2d 3d 4d 5d[ = v 7d 3d6]d[ = v 4 [ 9 = vd 51 2 1 2 1 2 1 21 2 3 4 5Element1 Element2 Element3 Element42 m 2 m 2 m 2 m8]10]Joonis 16.65. Tala arvutus lõplike elementide meetodigaKoostame lõplike elementide meetodi tasakaaluvõrrandiK * v * = S * + f * (16.486)kusv * = d =⎢⎣⎡ ⎤d 1d 2. . .d 3d 4. . .d 5d 6. . .d 7d 8. . .⎥d 9 ⎦d 10⎡=⎢⎣⎤w 1φ 1. . .w 2φ 2. . .w 3φ 3. . .w 4φ 4. . .⎥w 5 ⎦φ 5, f * =⎢⎣⎡ ⎤f 1f 2. . .f 3f 4. . .f 5f 6. . .f 7f 8. . .⎥f 9 ⎦f 10(16.487)

16.15 Lõplik element pikipõikpaindel 615K * v * =⎡1 1 k (1)1 2 k (1)1 3 k (1)1 4 · · · · · ·k (1)⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣k (1)2 1 k (1)2 2 k (1)k (1)3 1 k (1)2 3 k (1)2 4 · · · · · ·3 2 k (1)3 3 + k(2) 1 1 k (1)3 4 + k(2) 1 2 k (2)1 3 k (2)1 4 · · · ·k (1)4 1 k (1)4 2 k (1)4 3 + k(2) 2 1 k (1)4 4 + k(2) 2 2 k (2)2 3 k (2)2 4 · · · ·· · k (2)3 1 k (2)3 2 k (2)3 3 + k(3) 1 1 k (2)3 4 + k(3) 1 2 k (3)1 3 k (3)1 4 · ·· · k (2)4 1 k (2)4 2 k (2)4 3 + k(3) 2 1 k (2)4 4 + k(3) 2 2 k (3)2 3 k (3)2 4 · ·· · · · k (3)3 1 k (4)3 2 k (3)3 3 + k(4) 1 1 k (3)3 4 + k(4) 1 2 k (4)1 3 k (4)1 4· · · · k (3)4 1 k (3)4 2 k (3)4 3 + k(4) 2 1 k (3)4 4 + k(4) 2 2 k (4)2 3 k (4)2 4· · · · · · k (4)3 1 k (4)3 2 k (4)3 3 k (4)3 4· · · · · · k (4)4 1 k (4)4 2 k (4)4 3 k (4)4 4⎤⎡⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦d1⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ d2. . .d3d4. . .d5d6. . .d7d8. . .d9d10⎤⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(16.488)k (1) | 1 2 3 4−− −− −− −− −−1 | 1,1 1, 2 1, 3 1, 42 | 2, 1 2, 2 2, 3 2, 43 | 3, 1 3, 2 3, 3 3, 44 | 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4k (2) | 3 4 5 6−− −− −− −− −−3 | 3,3 3, 4 3, 5 3, 64 | 4, 3 4, 4 4, 5 4, 65 | 5, 3 5, 4 5, 5 5, 66 | 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6k (3) | 5 6 7 8−− −− −− −− −−5 | 5,5 5, 6 5, 7 5, 86 | 6, 5 6, 6 6, 7 6, 87 | 7, 5 7, 6 7, 7 7, 88 | 8, 5 8, 6 8, 7 8, 8k (4) | 7 8 9 10−− −− −− −− −−7 | 7,7 7, 8 7, 9 7, 108 | 8, 7 8, 8 8, 9 8, 109 | 9, 7 9, 8 9, 9 9, 1010 | 10, 7 10, 8 10, 9 10, 10(16.489)K * =InsertBtoA(K * ,10,10,1,1,Ke,4,4), K * =InsertBtoA(K * ,10,10,3,3,Ke,4,4), K * =InsertBtoA(K * ,10,10,5,5,Ke,4,4),K * =InsertBtoA(K * ,10,10,7,7,Ke,4,4), funktsioon InsertBtoA.m lk 726 .

616 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Tala jäikusmaatriksi (16.488) koostamiseks kasutame indekstabeleid (16.489). Indekstabelidsaame elemendi alguse ja lõpu siirete indeksitest koostatud vektorite diaad- ehk otsekorrutisena(vt lõik A.4 avaldis (A.14)). Koostatud elemendi indekstabel näitab tala jäikusmaatriksirea ja veeru indekseid, kuhu tuleb lisada varda elemendi vastav jäikusmaatriksi element.Tala jäikusmaatriksi koostamiseks saab kasutada GNU Octave’is koostatud funktsiooni InsertBtoA.mlk 726. Indekstabelite (16.489) vasakust ülemisest nurgast saame aadressid ((1,1),(3,3), (5,5), (7,7)), kust alates tuleb lisada (liita) vastava tala jäikusmaatriksi elemendid.Tala elemendi jäikusmaatriks K * e koosneb lineaarsest jäikusmaatriksist K * E ja geomeetrilisestjäikusmaatriksist K * G : K * e = K * E + K * G (16.490)kus⎡K * E = EI y ⎢⎣K * G = S x30*l⎡⎢⎣12l 3 − 6l 2 . − 12l 3 − 6l 2− 6 4l 2 l6 2.l 2 l. . . . . . . . . . . . . . .− 12l 3 6l 2 .12l 3 6l 2− 6 2l 2 l6 4.l 2 l⎤⎥⎦⎤36 −3*l . −36 −3*l−3*l 4*l . 3*l −l 2. . . . . . . . . . . . . . .−36 3*l . 36 3*l ⎥⎦−3*l −l 2 . 3*l 4*l 2(16.491)(16.492)Tala elemendi jäikusmaatriksi K * E (16.491) ja K* G (16.492) saab arvutada vastavalt GNUOctave’i funktsiooniga lemTalaKe4x4.m lk 737 ning funktsiooniga lemTalaKg4x4.m lk 737.Tala elemendi jäikusmaatriks K * e = K * E + K* G on toodud avaldisega⎡⎤29.40 −29.90 . −29.40 −29.90−29.90 39.7333 . 29.90 20.0667K * e =. . . . . . . . . . . . . . .*10 3 (16.493)⎢ −29.40 29.90 . 29.40 29.90 ⎥⎣⎦−29.90 20.0667 . 29.90 39.7333Liigendiga tala elemendi jäikusmaatriksi K par saame sisemise vabadusastme (vabadusaste, misei ole seotud naaberelemendiga) väljalülitamisel. Vabadusastmete väljalülitamist vaadeldakseelementide staatilisel kondensatsioonil (vt jaotis A.12.1 avaldis (A.69)). Avaldisega (16.494)on toodud tala neljanda elemendi, millel on momendiliigend paremal, jäikusmaatriks⎡⎤6.8997 −14.7995 . −6.8997K par =−14.7995 29.5990 . 14.7995*10 3 (16.494)⎢ . . . . . . . . . . . . ⎥⎣⎦−6.8997 14.7995 . 6.8997

16.15 Lõplik element pikipõikpaindel 617Liigendiga tala elemendi jäikusmaatriksi K (16.494) saab arvutada GNU Octave’i funktsioonigalemTalaIIK3x3lpar.m lk 737.Elementidele vastavad koormusvektorid⎡⎤f 1 =⎢⎣− qzl212q zl 212q zl⎡2 )︁(︁1∓ ν260. . .=q zl⎢⎥ ⎣2 )︁ ⎦(︁1∓ ν260⎡f 2 = ⎢⎣0.0375−0.015. . .0.0225⎤0.030−0.010. . .0.030.010⎤*10 3 (16.495)⎥⎦⎥⎦ *103 (16.496)Koormusvektori f 1 (16.495) ja f 2 (16.496) saab arvutada vastavalt GNU Octave’i funktsioonigalemTalaIIfq4x1.m lk 738 ning funktsiooniga lemTalaIIfq3x1Lp.m lk 738 .Elementide jäikusmaatriksitest koostame tala jäikusmaatriksi ∘ K (joonis 16.66) ja elementidekoormusvektoritest tala koormusvektori. Siin neljanda elemendi jäikusmaatriksile ja koormusvektorileteeme kondensatsiooni. Võrrandisüsteemist eemaldame pöördenurga φ 5 ja momendiM 5 . Kümnendast võrrandist määrame hiljem pöördenurga φ 5 . Võrrandisüsteemi koostamiseksja ülesande lahendamiseks kasutame GNU Octave’i programmi LemKe.m lk 739.Joonisel 16.66 näidatud maatriksist ja koormusvektorist moodustame võrrandisüsteemi9 × 9kus ∘ v (joonis 16.65)[︁∘v =∘K* ∘ v = ∘ S + ∘ f (16.497)d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8 d 9]︁ T(16.498)Joonis 16.66. Tala jäikusmaatriks

618 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Võrrandisüsteemi (16.498) determinant võrdub nulliga. Kõrvaldame esimese, teise ja viimaseveeru ning rea. Sellega kõrvaldasime jäiga keha liikumise. Esimest, teist ja üheksandatvõrrandit kasutame toereaktsioonide määramiseks. Saame võrrandisüsteemiK 6×6 *X = B 6×1 (16.499)kus[︁X =d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 d 8]︁ T(16.500)Võrrandisüsteemi (16.499) lahendit X näeme arvutuspäevikust 16.10 lk 619.Avaldisesd =⎢⎣⎡ ⎤d 1d 2. . .d 3d 4. . .d 5d 6. . .d 7d 8. . .⎥d 9 ⎦d 10LEM [16.10] EST [16.7] T ¨apne [Thi90]⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤0.00.00.00.00.00.0. . .. . .. . .0.01740.017400.0174−0.0130−0.01298−0.0130. . .. . .. . .0.03780.037820.0378,,−0.0050−0.00496−0.0050. . .. . .. . .0.03210.032140.03210.01070.010670.0107. . .. . .. . .⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥0.0 ⎦ ⎣ 0.0 ⎦ ⎣ 0.0 ⎦0.01900.019060.0191=⎢⎣(16.501)on kõnesolevas näites LEM-iga leitud lahend (vt arvutuspäevik 16.10 lk 619), EST-meetodiga(rajaelementide meetod) leitud lahend, mis on toodud näites16.7 lk 578 ja lahend raamatust[Thi90], kus on sellele viide ”täpne lahend”. Avaldises (16.501) toodud lahendite võrdlusnäitab, et EST-meetod annab täpse tulemuse.Tala elemendi otstes mõjuvad kontaktjõud S * (16.471) leiame elemendi jäikusmaatriksi S *korrutamisel elemendi siirdevektoriga v * ja elemendi koormusvektori f lahutamisegaS * = K * v * − f * (16.502)Tabelis 16.18 on toodud tala elemendi otstes mõjuvad momendid.Tala paindemomendid leitakse sõlmes mõjuvate paindemomentide aritmeetilise keskmisena(tabel 16.19).Tabeli 16.19 esimene veerg on leitud selles näites LEM-iga (vt arvutuspäevik 16.10 lk 619),teises veerus on arvutuse tulemused EST-meetodiga (rajaelementide meetod), mis on toodudnäites16.7 lk 578, kolmas veerg, kus viide ”täpne lahend” on raamatust [Thi90]. Raamatus[Thi90] puudub kirjeldus, kuidas see täpne lahend on saadud. Neljanda veeru tulemused onarvutatud GNU Octave’i programmiga LemKelin.m lk 738.

16.15 Lõplik element pikipõikpaindel 619Tabel 16.18. Tala elementide paindemomendid [kN·m]Element S˜olm 1 S˜olm 21 270.00 −5.0952 5.095 142.813 −142.81 144.634 −144.63 0.0Arvutuspäevik 16.10 octave-3.0.1:1> diary LemKe.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> LemKeTala arvutamise lähteandmedL - tala sille, EI - ristl~oike jäikus,Se - pikij~oud, q - ühtlaselt jaotatud koormusII märgikokkulepeL = 2EI = 20000Se = 1000q = 30Geomeetriline jäikusmaatriks KgKg=lemTalaKg4x4(Se,L,EI) =-600.000 100.000 600.000 100.000100.000 -266.667 -100.000 66.667600.000 -100.000 -600.000 -100.000100.000 66.667 -100.000 -266.667Tala lineaarne jäikusmaatriks KeKe=lemTalaKe4x4(L,EI) =30000 -30000 -30000 -30000-30000 40000 30000 20000-30000 30000 30000 30000-30000 20000 30000 40000Tala elemendi jäikusmaatriks KK=(Ke + Kg)/1.0e+03 =29.400 -29.900 -29.400 -29.900-29.900 39.733 29.900 20.067-29.400 29.900 29.400 29.900-29.900 20.067 29.900 39.733Tala liigendiga elemendi jäikusmaatriksKl=lemTalaIIK3x3lpar(Se,L,EI)/1.0e+03 =6.8997 -14.7995 -6.8997-14.7995 29.5990 14.7995-6.8997 14.7995 6.8997Tabel 16.19. Tala paindemomendid [kN·m]S˜olm LEM EST - T ¨apne I j¨arkumeetod lahend teooria1 −270.000 −270.101 −270.3 −240.02 −5.095 −5.179 −5.4 0.03 142.81 142.766 142.8 120.04 144.63 144.612 144.7 120.05 0.00 0.000 0.0 0.0

620 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Elemendi koormusvektor S1S1=lemTalafq4x1(Se,L,q,EI)/1.0e+03 =0.0300000-0.00996670.03000000.0099667Elemendi (liigend paremal) koormusvektorS2=lemTalafq3x1Lp(Se,L,q,EI)/1.0e+03 =0.037500-0.0150000.022500Tala v~orrandisüsteem A 9x9.A9x9 =Columns 1 through 7:29.40000 -29.90000 -29.40000 -29.90000 0.00000 0.00000 0.00000-29.90000 39.73333 29.90000 20.06667 0.00000 0.00000 0.00000-29.40000 29.90000 58.80000 0.00000 -29.40000 -29.90000 0.00000-29.90000 20.06667 0.00000 79.46667 29.90000 20.06667 0.000000.00000 0.00000 -29.40000 29.90000 58.80000 0.00000 -29.400000.00000 0.00000 -29.90000 20.06667 0.00000 79.46667 29.900000.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -29.40000 29.90000 36.299750.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -29.90000 20.06667 15.100500.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -6.89975Columns 8 and 9:0.00000 0.000000.00000 0.000000.00000 0.000000.00000 0.00000-29.90000 0.0000020.06667 0.0000015.10050 -6.8997569.33233 14.7995014.79950 6.89975Tala v~orrandisüsteemi parem pool S9x1S9x1 =0.030000-0.0099670.0600000.0000000.0600000.0000000.067500-0.0050340.022500Tala v~orrandisüsteemi vasak pool A 6x6. Siin 1., 2. ja 9. read javeerud puuduvad rajatingimuste t~ottu.A =58.80000 0.00000 -29.40000 -29.90000 0.00000 0.000000.00000 79.46667 29.90000 20.06667 0.00000 0.00000-29.40000 29.90000 58.80000 0.00000 -29.40000 -29.90000-29.90000 20.06667 0.00000 79.46667 29.90000 20.066670.00000 0.00000 -29.40000 29.90000 36.29975 15.100500.00000 0.00000 -29.90000 20.06667 15.10050 69.33233

16.15 Lõplik element pikipõikpaindel 621Tala v~orrandisüsteemi parem pool Ss 6x1Ss =0.0600000.0000000.0600000.0000000.067500-0.005034V~orrandisüsteemi lahend X=A\SsX =0.0174041-0.01297430.0378099-0.00495820.03212770.01067084. elemendi vasaku otsa siire, pööre XlXl56 = X(5:6,1) =0.0321280.0106714. elemendi jäikusmaatriksi K viimasesv~orrandis pöördenurga kordajaks 1Vor4 = -K(4,:)/K(4,4) =0.75252 -0.50503 -0.75252 -1.00000Valin esimesed kaks KordKord = Vor4(1,1:2) =0.75252 -0.505034. elemendi parema otsa pööre XxxXxx = Kord*Xl56Xxx = 0.018788=============================Siirded s~olmpunktidesNr Siire-----------------------------1 0.00002 0.00003 0.01744 -0.01305 0.03786 -0.00507 0.03218 0.01079 0.000010 0.0188-----------------------------Element 1. Siirded, pöörded ja momendidXL1 =0.0000000.0000000.017404-0.012974Q1 = -153.75M1 = 270.00M2 = -5.0951Element 2. Siirded, pöörded ja momendidXL2 =0.0174041-0.01297430.0378099-0.0049582M2a = 5.0951M3 = 142.81

622 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]Tabel 16.20. Tala ristjõud [kN]S˜olm LEM EST - I j¨arkumeetod teooria1 153.75 153.763 150.02 93.75 93.763 90.03 33.75 33.763 30.04 −26.25 −26.237 −30.05 −86.25 −86.237 −90.0Element 3. Siirded, pöörded ja momendidXL3 =0.0378099-0.00495820.03212770.0106708M3a = -142.81M4 = 144.63Element 4. Siirded, pöörded ja momendidXL4 =0.0321280.0106710.000000M4a = -144.63Q4b = -86.250Momendid s~olmes arvutatakse aritmeetilise keskmisena I märgikokkuleppe järgiMoment 1. s~olmesM1k = -270.00Moment 2. s~olmesM2k = -5.0951Moment 3. s~olmesM3k = 142.81Moment 4. s~olmesM4k = 144.63Moment 5. s~olmesM5 = 0Staatiline kontroll: q*8=240SumZ=240+Q1+Q4bSumZ = -2.2737e-13octave-3.0.1:4> diary offLineaarse ülesande lahendamiseks kasutame GNU Octave’i programmi LemKelin.m. lk 738Võrrandisüsteemi (16.486) viimasest võrrandist (16.488) avaldame sõlme 5 pöördenurgaφ 5 (16.503).φ 5 = − 1 [︁k (4)4 4k (4)4 1 k (4)4 2 k (4)4 3⎡]︁⎢⎣d 7d 8d 9 ≡ w 5 = 0⎤⎥⎦ + 1k (4) {(S 10 ≡ M 5 = 0) + f 10 } (16.503)4 4Leitud pikijõult S ja ristjõult H saame teisendusega üle minna normaaljõule N ningpõikjõule Q. Teisendusest (16.2) saame pöördteisenduse (16.504) maatriksi transponeerimisega,sest see on ortogonaalne maatriks:[︃NQ]︃ [︃cos φ=sin φ]︃ [︃ ]︃−sinφ Scos φ H(16.504)

16.15 Lõplik element pikipõikpaindel 623−150−100−50050100150200−300−200−1000100200(150)153.75(90)93.75Ristjõud(30)33.75(−30)−26.25II järku teooriaI järku teooria(−90)−86.250 1 2 3 4 5 6 7 8 9−270.00(−240)(0.00)(a) Tala ristjõud [kN]Paindemoment(120) (120)II järku teooriaI järku teooria−0.00−5.095 142.81 144.63 (−0.00)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9(b) Tala paindemoment [kN·m]Joonis 16.67. Tala sisejõud lõplike elementide meetodigaTeist järku teoorias vaatleme väikseid pöördenurki φ nii, et ([PW94] lk 623)cos φ ≈ 1,sin φ ≈ tan φ ≈ φ = − dwdx(16.505)Lõplike elementide meetodiga (LEM) saadud tulemused ei erine palju EST-meetodigasaadud tulemustest. EST-meetodiga (rajaelementide meetodiga) leitud tulemused on täpsemad.

624 16. Arvutus teist järku teooria järgi [Loeng 1] [Loeng 2]

Osa IVLisad625

A. MaatriksidA.1 Maatriksi mõisteMaatriksiks nimetatakse ridadesse ja veergudesse korrastatud arvude (või nende sümbolite)massiivi⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1na 12 a 22 . . . a 2nA =⎢⎥(A.1)⎣ . . . . ⎦a m1 a m2 . . . a mnehk lühidaltA = [a ij ] , (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) (A.2)kus a ij on maatriksi A i-nda rea ja j-nda veeru element.Arvutiprogrammis GNU Octave 1 (vt ka Matlab 2 ) sisestatakse maatriksa =[︃1 3 42 1 5]︃(A.3)järgmiselt: a = [ 1 3 4; 2 1 5 ] (vt joonis A.1).A.2 Rea- ja veeruvektorMaatriksit, mis koosneb ainult ühest reast,nimetatakse reavektoriksb = [︁ b 1 b 2 . . . b n]︁(A.4)Maatriksit, mis koosneb ainult ühestveerust, nimetatakse veeruvektoriks⎡c =⎢⎣⎤c 1c 2⎥. ⎦c m(A.5)1 http://www.network-theory.co.uk/docs/octave3/index.html2 http://users.powernet.co.uk/kienzle/octave/matcompat/627

628 A. MaatriksidJoonis A.1. Maatriksi sisestamine GNU Octave’igaArvutiprogrammis GNU Octave (Matlab)sisestatakse reavektor bjärgmiselt:b=[4 3 5]b = [︁ 4 3 5 ]︁ (A.6)Arvutiprogrammis GNU Octave (Matlab)sisestatakse veeruvektor cjärgmiselt:c=[3; 8; 2]c =⎡⎢⎣382⎤⎥⎦(A.7)Üleminek reavektorilt veeruvektorile ja vastupidi tehakse GNU Octave’is (Matlab’is)ülakomaga. Näiteksd=b ′ja reavektor b (A.6) muudetakse veeruvektoriks dd =A.3 Maatriksite liitmine ja lahutamine⎡⎢⎣435⎤⎥⎦(A.8)Maatriksite liitmine (lahutamine) on võimalik siis ja ainult siis, kui nad on üht ja samajärku, st kui neil on ühesugune arv veergusid ja ühesugune arv ridu. Näiteks[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃a11 a 12 b11 b+12 (a11 + b=11 ) (a 12 + b 12 )(A.9)a 22 b 22 (a 21 + b 21 ) (a 22 + b 22 )Järgmise näitea 21[︃1 3 42 1 5b 21]︃+[︃2 0 −3−1 3 2]︃=[︃3 3 11 4 7]︃(A.10)puhul tähistame avaldise (A.10) vasakul pool olevad maatriksid a, b ja sisestame nadGNU Octave’is (Matlab’is) järgmiselt:

A.4 Vektorite ja maatriksite korrutamine 629a=[1 3 4;2 1 5]b=[2 0 −3;−1 3 2]ning seejärel sisestame järgmise avaldise:c=a+bTulemuseks saame[︃3 3 1c =1 4 7]︃(A.11)A.4 Vektorite ja maatriksite korrutamineReavektori b (A.4) ja veeruvektori c (A.5) korrutis on vektorite b ja c vastavate elementidekorrutiste summa. Sellist korrutist nimetatakse vektorite skalaarkorrutiseksehk lühidalt⎡[︁ ]︁b1 b 2 . . . b n ⎢⎣⎤c 1c 2⎥.= b 1c 1 + b 2 c 2 + . . . + b n c n⎦c m(A.12)bc = b i c i , (i = 1, 2, ..., n) (A.13)Veeruvektori c (A.5) ja reavektori b (A.4) korrutis on maatriks, mille elementideks onvektori elementide korrutis. Sellist korrutist nimetatakse vektorite diaad- ehk otsekorrutiseksehk lühidalt⎡⎢⎣⎤c 1c 2⎥. ⎦c m⎡[︁ ]︁ b1 b 2 . . . b n = ⎢⎣⎤c 1 b 1 c 1 b 2 . . . c 1 b nc 2 b 1 c 2 b 2 . . . c 2 b n⎥. . . . ⎦c m b 1 c m b 2 . . . c m b n(A.14)c ⊗ b = b i c j , (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) (A.15)Maatriksi A korrutiseks veeruvektoriga c nimetatakse veeruvektorit d, mille elemendidon maatriksi A ridade elementide ja veeruvektori c vastavate elementide korrutistesummad⎡⎢⎣⎤a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2n⎥. . . . ⎦a m1 a m2 . . . a mn⎡⎢⎣⎤ ⎡c 1c 2⎥.= ⎢⎦ ⎣c m(a 11 c 1 + a 12 c 2 + . . . + a 1n c n )(a 21 c 1 + a 22 c 2 + . . . + a 2n c n ).(a m1 c 1 + a m2 c 2 + . . . + a mn c n )⎤⎥⎦(A.16)

630 A. Maatriksidehk lühidaltAc = a ij c j , (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n) (A.17)Analoogiliselt leitakse reavektori b korrutis maatriksiga A, mis kujutab endast reavektoritr⎡⎤a 11 a 12 . . . a 1m[︁ ]︁a 21 a 22 . . . a 2mb1 b 2 . . . b n ⎢⎥⎣ . . . .= [︁ ]︁r 1 r 2 . . . r m (A.18)⎦a n1 a n2 . . . a nmkusehk lühidaltr 1 = (b 1 a 11 + b 2 a 21 + . . . + b n a n1 )r 2 = (b 1 a 12 + b 2 a 22 + . . . + b n a n2 ). =.r m = (b 1 a 1m + b 2 a 2m + . . . + b n a nm )(A.19)bA = b i a ij , (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m) (A.20)Maatriksite omavahelist korrutamist võime vaadelda kui ühe maatriksi mitmekordsetkorrutamist vektoritega, milleks on jaotatud teine maatriks. Maatriksite A ja B korrutiseksC nimetatakse maatriksit, mille elemendid on maatriksi A i-nda rea ja maatriksiB j-nda veeru vastavate elementide korrutiste summad⎡⎤b 11 b 12 b 1j . . . b 1kb 21 b 22 b 2j . . . b 2kb 31 b 32 b 3j . . . b 31k= B⎢⎣ . . . . . ⎥⎦A;b n1 b n2 b nj . . . b nk⎡⎢⎣⎤a 11 a 12 a 13 . . . a 1na 21 a 22 a 23 . . . a 2na i1 a i2 a i3 . . . a in⎥. . . . . ⎦a m1 a m2 a m3 . . . a mnkus maatriksi element c ijehk lühidalton järgmine:⎡;⎢⎣⎤c 11 c 12 c 1j . . . c 1kc 21 c 22 c 2j . . . c 2kc i1 c i2 c ij . . . c ik⎥. . . . . ⎦c m1 c m2 c mj . . . c mkc ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + . . . + a in b nj= C(A.21)AB = a il b lj , (l = 1, 2, ..., n; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., k) (A.22)Oluline on, et maatriksite veergude ja ridade arvud oleksid omavahel kooskõlas.Sisestame GNU Octave’is (Matlab’is) järgmised maatriksid a ja b

A.5 Maatriksite element-element korrutamine 631Joonis A.2. Maatriksite ja vektorite element-element korrutaminea=[1 3;2 0;−3 1]ning seejärel korrutamec=a*bTulemuseks saamec =⎡⎢⎣b=[2 1 0;3 4 −1]11 13 −34 2 0−3 1 −1⎤⎥⎦(A.23)A.5 Maatriksite element-element korrutamineMaatriksite element-element 3 4 kaupa korrutamine (ingl – element-by-element multiplication)on matemaatikas tuntud kui Hadamardi korrutamine 5 .A. * B = a ij b ij (siin ei ole summeerimist i ja j j¨argi) (A.24)Vektorite m1 = [2.3 4.5 6.7], M p = [2.3 4.5 6.7] element-elemendi kaupa korrutamineK = m1. * M p annab tulemuseks K = [28.52 72.90 58.29] (vt joonis A.2). Seda korrutamistsaab kasutada Simpsoni valemiga numbrilisel integreerimisel.3 http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Arithmetic-Ops.html4 http://www.obihiro.ac.jp/~suzukim/masuda/octave/html3/octave_47.html#SEC895 http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication#Hadamard_product

632 A. MaatriksidA.6 OsamaatriksidÜldjuhul võime (m × n)-maatriksi A jaotada osamaatriksiteks A ij⎡⎤A 11 A 12 . . . A 1nA 21 A 22 . . . A 2nA =⎢⎥⎣ . . . . ⎦A m1 A m2 . . . A mn(A.25)A.7 Maatriksite transponeerimineMaatriksi A transponeeritud maatriksiks on A T (GNU Octave’is (Matlab’is) A ′ ), missaadakse maatriksist A ridade ümbervahetamisel veergudeks, st maatriksi A read javeerud on ümber vahetatud.Kui näiteks A on (m × n)-maatriks⎡A =⎢⎣⎤a 11 a 12 . . . a 1na 21 a 22 . . . a 2n⎥. . . .= [︁ ]︁a ij⎦a m1 a m2 . . . a mn(i = 1, 2, ..., m;j = 1, 2, ..., n)(A.26)siis A transponeeritud maatriks A T on (n × m)-maatriks⎡⎤a 11 a 21 . . . a m1a 12 a 22 . . . a m2A =⎢⎥⎣ . . . .= [︁ ]︁a ji⎦a 1n a 2n . . . a mn(i = 1, 2, ..., m;j = 1, 2, ..., n)(A.27)Maatriksite transponeerimisel kehtivad järgmised seaduspärasused:∙ maatriksite transponeerimine on reflektiivne, st transponeeritud maatriksi A Ttransponeerimisel saame maatriksi A(︁ )︁ ATT= A(A.28)∙ maatriksite transponeeritud summa on võrdne transponeeritud maatriksite summaga(A + B) T = A T + B T (A.29)∙ maatriksite korrutise transponeerimine on samane transponeeritud maatriksitekorrutisega võetuna vastupidises järjekorras,(AB) T = B T A T(A.30)

A.8 Pöördmaatriksid 633A.8 PöördmaatriksidPöördmaatriksiks A −1 nimetatakse maatriksit A korrutamisel neutraliseerivat maatriksitA −1 A = AA −1 = I(A.31)st pöördmaatriks A −1 on maatriks, millega maatriksi A korrutamisel saame ühikmaatriksiI.Ühikmaatriksiks nimetatakse (n×n)-ruutmaatriksit, mille peadiagonaalil asetsevateelementide väärtus on 1, mujal asetsevate elementide väärtus aga 0. NäiteksI (3×3) =⎡⎢⎣1 0 00 1 00 0 1⎤⎥⎦(A.32)Maatriksi A pöördmaatriks A −1 eksisteerib üksnes siis, kui on täidetud tingimused:∙ maatriks A peab olema ruutmaatriks∙ maatriksi A determinant ei tohi olla null.Ruutmaatriksit, mille determinant on null, nimetatakse singulaarseks maatriksiks.Pöördmaatriksite omadused:∙ maatriksi A pöördmaatriksi A −1 pöördmaatriks on võrdne maatriksiga A, st(︁A−1 )︁ −1= A(A.33)∙ kahe üht ja sama järku ruutmaatriksi korrutise pöördmaatriks on võrdne nendepöördmaatriksite korrutisega vastupidises järjekorras, st(AB) −1 = B −1 A −1(A.34)∙ transponeeritud maatriksi A Ttransponeeritud maatriksiga, stpöördmaatriks on võrdne pöördmaatriksi A −1(︁AT )︁ −1=(︁A−1 )︁ T(A.35)Arvutiprogrammiga GNU Octave (Matlab) leitakse maatriksi aa =⎡⎢⎣11/3 −3 1/3−7/3 3 −2/32/3 −1 1/3⎤⎥⎦(A.36)

634 A. Maatriksidpöördmaatriks a1 funktsiooni inv (...) abila1=inv (a)Tulemuseks ona1 =⎡⎢⎣1 2 31 3 51 5 12⎤⎥⎦(A.37)Kontrolliks korrutame maatriksi a maatriksiga a1. Tulemuseks peab olema ühikmaatriks.A.9 Maatriksi determinantRuutmaatriksi A⎡A =⎢⎣⎤a 11 a 12 . . . a 1na 12 a 22 . . . a 2n⎥. . . . ⎦a n1 a n2 . . . a nn(A.38)n-järku determinandiks nimetatakse reaalarvu⃒ a 11 a 12 . . . a 1n ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒ a 12 a 22 . . . a 2nD A =| A |=(A.39). . . .⃒ a n1 a n2 . . . a nnTeist ja kolmandat järku determinandi arvutame järgmiselt:⃒ aD A =| A |= 11 a ⃒⃒⃒⃒ 12= a⃒ a 12 a 11 a 22 − a 12 a 12 (A.40)22D A =| A |=⃒a 11 a 12 a 13a 12 a 22 a 32a 31 a 32 a 33⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 23 a 32 a 13 −−a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32(A.41)Maatriksi A determinanti saab arvutada GNU Octave’i funktsiooniga det(A).Järgnevalt on toodud näide A.1 determinandi arvutamisest.Näide A.1 octave:1> A=[3.45 12.60 8.64; 7.93 5.72 6.82; 25.42 17.44 2.94]A =3.4500 12.6000 8.64007.9300 5.7200 6.820025.4200 17.4400 2.9400octave-3.0.1:2> determinantA=det(A)determinantA = 1476.9octave:3>

A.10 Võrrandisüsteemi lahendamine 635A.10 Võrrandisüsteemi lahendamineVaatleme võrrandisüsteemi (A.42)AX = B(A.42)kus A on võrrandisüsteemi tundmatute kordajate maatriksX – võrrandisüsteemi tundmatute veeruvektorB – võrrandisüsteemi vabaliikmete veeruvektorEhitusmehaanikas kasutatakse ka võrrandisüsteemi (A.43)KX + F = 0(A.43)kus võrrandisüsteemi vabaliikmete veeruvektor B on vasakul pool võrdusmärki.Siin vaatleme võrrandisüsteemi esitust, kus võrrandisüsteemi vabaliikmete veeruvektorB on paremal pool võrdusmärki.GNU Octave’is lahendatakse võrrandisüsteemi Gaussi meetodiga järgmiselt:X = A∖B, (X = −K∖F) (A.44)kus ∖ on Gaussi meetodiga lahendamise sümbol (backslash).Suurt võrrandisüsteemi ei soovitata lahendada pöördmaatriksigaX = A −1 B(A.45)kus A −1 on maatriksi A pöördmaatriks.Väikest võrrandisüsteemi saab lahendada determinantide (vt jaotis A.9) abil(Crameri 6 valemiga)[︃ ]︃ [︃ ]︃ [︃ ]︃a11 a 12 X1 b1=a 21 a 22 X 2 b 2Võrrandisüsteemi (A.46) tundmatute kordajate determinant D A onD A =⃒(A.46)a 11 a 12a 21 a 22⃒ ⃒⃒⃒⃒= a 11 a 22 − a 21 a 12 (A.47)Asendades võrrandisüsteemis (A.46) tundmatute kordajate maatriksis esimese veeruvabaliikmetega, saame determinandi D 1D 1 =⃒b 1 a 12b 2 a 22⃒ ⃒⃒⃒⃒= b 1 a 22 − a 12 b 2 (A.48)6 Gabriel Cramer, Šveitsi matemaatik, 1704–1752.

636 A. MaatriksidVõrrandisüsteemis (A.46) tundmatute kordajate maatriksis teise veeru asendamiselvabaliikmetega saame determinandi D 2⃒ aD 2 = 11 b ⃒⃒⃒⃒ 1= a⃒ a 21 b 11 b 2 − a 21 b 1 (A.49)2Nüüd avaldub võrrandisüsteemi (A.46) lahend järgmiselt:X 1 = D 1D A, X 2 = D 2D A(A.50)Suuremate võrrandisüsteemide kui 2 × 2 lahendamine Crameri valemiga ei ole otstarbekas,kuna seda saab teha arvutiga. Järgnevalt esitame 3 × 3 võrrandisüsteemilahendamise Crameri valemiga:⎡⎢⎣⎤a 11 a 12 a 13⎥a 21 a 22 a 23 ⎦a 31 a 32 a 33⎡⎢⎣⎤X 1⎥X 2X 3⎦ =⎡⎢⎣⎤b 1⎥b 2 ⎦b 3Võrrandisüsteemi (A.51) tundmatute kordajate determinant⃒ a 11 a 12 a ⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 13D A =a 21 a 22 a 23 =⃒ a 31 a 32 a 33= a 11⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 22 a 23a 32 a 33⃒ ⃒⃒⃒⃒− a 21⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 12 a 13a 32 a 33⃒ ⃒⃒⃒⃒+ a 31⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 12 a 13a 22 a 23⃒ ⃒⃒⃒⃒=(A.51)= a 11 (a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 21 (a 12 a 33 − a 13 a 32 ) + a 31 (a 12 a 23 − a 13 a 22 ) (A.52)Asendades võrrandisüsteemis (A.51) tundmatute kordajate maatriksis esimese veeruvabaliikmetega, saame determinandi⃒ b 1 a 12 a ⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 13D 1 =b 2 a 22 a 23 =⃒ b 3 a 32 a 33= b 1⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 22 a 23a 32 a 33⃒ ⃒⃒⃒⃒− b 2⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 12 a 13a 32 a 33⃒ ⃒⃒⃒⃒+ b 3⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 12 a 13a 22 a 23⃒ ⃒⃒⃒⃒== b 1 (a 22 a 33 − a 32 a 23 ) − b 2 (a 12 a 33 − a 32 a 13 ) + b 3 (a 12 a 23 − a 22 a 13 ) (A.53)Võrrandisüsteemis (A.51) tundmatute kordajate maatriksis teise veeru asendamiselvabaliikmetega saame determinandi⃒ a 11 b 1 a ⃒⃒⃒⃒⃒⃒ 13D 2 =a 21 b 2 a 23 =⃒ a 31 b 3 a 33= −b 1⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 21 a 23a 31 a 33⃒ ⃒⃒⃒⃒+ b 2⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 11 a 13a 31 a 33⃒ ⃒⃒⃒⃒− b 3⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 11 a 13a 21 a 23⃒ ⃒⃒⃒⃒== −b 1 (a 21 a 33 − a 31 a 23 ) + b 2 (a 11 a 33 − a 31 a 13 ) − b 3 (a 11 a 23 − a 21 a 13 ) (A.54)

A.11 Hõre maatriks 637Võrrandisüsteemis(A.51) tundmatute kordajate maatriksis kolmanda veeru asendamisel vabaliikmetegasaame determinandiD 3 =⃒a 11 a 12 b 1a 21 a 22 b 2a 31 a 32 b 3⃒ ⃒⃒⃒⃒⃒⃒== b 1⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 21 a 22a 31 a 32⃒ ⃒⃒⃒⃒− b 2⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 11 a 12a 31 a 32⃒ ⃒⃒⃒⃒+ b 3⃒ ⃒⃒⃒⃒ a 11 a 12a 21 a 22⃒ ⃒⃒⃒⃒== b 1 (a 21 a 32 − a 31 a 22 ) − b 2 (a 11 a 32 − a 31 a 12 ) + b 3 (a 11 a 22 − a 21 a 12 ) (A.55)Nüüd avaldub võrrandisüsteemi (A.51) lahend järgmiselt:X 1 = D 1D A, X 2 = D 2D A, X 3 = D 3D A(A.56)A.11 Hõre maatriksHõredaks maatriksiks 7 (ingl sparse matrix) nimetatakse maatriksit, mille ridades javeergudes on üksikuid nullist erinevaid arve (või nende sümboleid).Hõreda maatriksi vastandiks on tihe maatriks, mille ridades ja veergudes asetsevadnullist erinevad arvud (või nende sümbolid) tihedalt.Täismaatriksiks (ingl full matrix) nimetatakse maatriksit, mille ridades ja veergudeson nii nulle kui ka nullist erinevaid arve (või nende sümboleid).Hõredat maatriksit (A.57) saab moodustada (näiteks GNU Octave’is) käsuga sparsespA = sparse (in, jm, sv)(A.57)kusin – rea indekseid sisaldav vektor,jm – veeru indekseid sisaldav vektor,sv – nullist erinevaid maatriksielemente sisaldav vektor.Näites A.2 sisestame GNU Octave’is hõreda maatriksi spA.Näide A.2octave-3.0.1:1> diary spHoreMaatriks.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> % Sisestame in-rea-, jm-veeruindekseid sisaldav vektori ja nendeleoctave-3.0.1:3> % vastava vektori svoctave-3.0.1:3> in = [1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 7 8 8]in =1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 7 7 8 87 http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_matrix

638 A. Maatriksidoctave-3.0.1:4> jm = [1 6 6 2 7 3 7 6 8 7 8 4 8 5]jm =1 6 6 2 7 3 7 6 8 7 8 4 8 5octave-3.0.1:5> sv = [ 1 4 1 -1 -10 8 -2 -8 6 -6 -10 -8 -2 8]sv =1 4 1 -1 -10 8 -2 -8 6 -6 -10 -8 -2 8octave-3.0.1:6> % Vektorite in, jm ja sv abil moodustame h~oreda maatriksioctave-3.0.1:6> spA = sparse(in,jm,sv)spA =Compressed Column Sparse (rows = 8, cols = 8, nnz = 14)(1, 1) -> 1(2, 2) -> -1(3, 3) -> 8(7, 4) -> -8(8, 5) -> 8(1, 6) -> 4(2, 6) -> 1(4, 6) -> -8(3, 7) -> -10(4, 7) -> -2(6, 7) -> -6(5, 8) -> 6(7, 8) -> -10(8, 8) -> -2octave-3.0.1:7> % Kui h~ore maatriks spA sisaldab 14 elementi, siis sellele vastavoctave-3.0.1:7> % täismaatriks A 8*8=64 elementioctave-3.0.1:7> % Kontrolliks teisendame h~oreda maatriksi spA täismaatriksiks Aoctave-3.0.1:7> A=full(spA)A =1 0 0 0 0 4 0 00 -1 0 0 0 1 0 00 0 8 0 0 0 -10 00 0 0 0 0 -8 -2 00 0 0 0 0 0 0 60 0 0 0 0 0 -6 00 0 0 -8 0 0 0 -100 0 0 0 8 0 0 -2octave-3.0.1:8> diary offVõrrandisüsteemi spA (A.58) kordajatest moodustatud hõre maatriks hoiab suurte võrrandisüsteemidepuhul kokku mahtu ja aegaspA · X = B(A.58)

A.11 Hõre maatriks 639Hõredate võrrandisüsteemide lahendamisel ei tehta tehteid võrrandisüsteemi kordajatega,mis on nullid.AvaldisegaX = spA∖B(A.59)on näidatud võrrandisüsteemi (A.58) üks võimalikest lahendamise moodustest 8 .Näites A.3 vaatleme GNU Octave’is kirjutatud hõredate maatriksite moodustamisefunktsiooni spIN.m 9 ja funktsiooni spInsertBtoA.m 10 kasutamist.Näide A.3octave-3.0.1:1> diary HoredadMaatriksid.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> HoredadMaatriksidGlobaalsed vektoridglobal svs; % vajalik spIN funktsioonileglobal ins; % vajalik spIN funktsioonileglobal jms; % vajalik spIN funktsioonileglobal jrknrS; % vajalik spIN funktsioonileSisestame maatriksi S tavalisel moelS=[1 4 0; 0 1 -1; -10 0 8]S =1 4 00 1 -1-10 0 8Teisendame maatriksi S h~oredate maatriksite formaatispSo=sparse(S)spSo =Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 6)(1, 1) -> 1(3, 1) -> -10(1, 2) -> 4(2, 2) -> 1(2, 3) -> -1(3, 3) -> 8Järgmise maatriksi sisestamiseks tühjendamejärgmised vektorid:svs=[]; % muudab vektori tühjaksins=[]; % muudab vektori tühjaksjms=[]; % muudab vektori tühjaksjrknrS=[]; % muudab vektori tühjaks8 http://www.network-theory.co.uk/docs/octave3/octave_214.html9 ./octaveProgrammid/spIN.m10 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m

640 A. MaatriksidSisestame loodava h~oreda maatriksi globaalsedvektorid ins jms svs, need on funktsioonis spINspS2=spIN(1,1,1.0);spS2=spIN(1,3,4.0);spS2=spIN(2,2,7.0);spS2=spIN(2,3,-1.0);spS2=spIN(3,2,-10.0);spS2=spIN(3,3,8.0)spS2 =1 1 2 2 3 31 3 2 3 2 31 4 7 -1 -10 81 2 3 4 5 6Eraldame vektorid ins jms svs maatriksist spS2spSoo1=spS2(1,:);spSoo2=spS2(2,:);spSoo3=spS2(3,:);Moodustame h~oreda maatriksi spSoo vektoritespSoo1 spSoo2 spSoo3 abilspSoo=sparse(spSoo1,spSoo2,spSoo3)spSoo =Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 6)(1, 1) -> 1(2, 2) -> 7(3, 2) -> -10(1, 3) -> 4(2, 3) -> -1(3, 3) -> 8H~ore maatriks spSoo täismaatriks SooSoo=full(spSoo)Soo =1 0 40 7 -10 -10 8H~oreda maatriksist spSoo astak r2r2=rank(spSoo)r2 = 3Asetades h~oredad maatriksid spSo ja spSooüksteise peale, liidame h~oredad maatriksidspSLs=spInsertBtoA(spSo,1,1,spSoo)spSLs - h~oremaatriks

A.11 Hõre maatriks 641spSLs=spInsertBtoA(spSo,1,1,spSoo)spSLs =Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 8)(1, 1) -> 2(3, 1) -> -10(1, 2) -> 4(2, 2) -> 8(3, 2) -> -10(1, 3) -> 4(2, 3) -> -2(3, 3) -> 16Täismaatriks SLs = S + SooSLs=full(spSLs)SLs =2 4 40 8 -2-10 -10 16Asetades h~oreda maatriksi spSo järelereale 4 ja veerule 4 maatriksi spSoo,saame h~oreda maatriksi spSs (nzz = 8)spSs=spInsertBtoA(spSo,4,4,spSoo)spSs =Compressed Column Sparse (rows = 6, cols = 6, nnz = 12)(1, 1) -> 1(3, 1) -> -10(1, 2) -> 4(2, 2) -> 1(2, 3) -> -1(3, 3) -> 8(4, 4) -> 1(5, 5) -> 7(6, 5) -> -10(4, 6) -> 4(5, 6) -> -1(6, 6) -> 8ja tema 8 x 8 täismaatriksiSsSs =Ss=full(spSs)1 4 0 0 0 00 1 -1 0 0 0

642 A. Maatriksid-10 0 8 0 0 00 0 0 1 0 40 0 0 0 7 -10 0 0 0 -10 8octave-3.0.1:4> diary offNäite A.3 koostamisel kasutati GNU Octave’is kirjutatud programmi HoredadMaatriksid.m11 .A.12 Maatriksi staatiline kondensatsioonLõplike elementide meetodis võib vabadusastmeid liigitada sisemisteks vabadusastmeteksja kontakti vabadusastmeteks. Sisemine vabadusaste ei ole seotud naaberelemendiga.Kontakti vabadusaste on seotud naaberelemendiga. Sisemiste vabadusastmeteväljalülitamist vaadeldakse superelementide staatilisel kondensatsioonil 12 (ingl staticcondensation).Vaatleme jäikusmaatriksit K, mille struktuur on[︃KaaK ia K ii d iK ai]︃ [︃dakus d a on näiteks w A , φ A , w L ,d i – näiteks ristlõike pööre varda lõpus φ LVõrrandisüsteemi (A.60) teine võrrand on]︃=[︃faf i]︃(A.60)K ia d a + K ii d i = f i(A.61)Kui K ii ei ole singulaarne, saamed i = K −1ii (f i − K ia d a ) (A.62)Asetame avaldatud d i (A.62) võrrandisüsteemi (A.60) esimesse võrrandisse, saame˜K aa d a = ˜f a(A.63)kus˜K aa = K aa − K ai K −1ii K ia˜fa = f a − K ai K −1ii f i(A.64)(A.65)siin ˜K aa on kondenseeritud jäikusmaatriks,˜fa – kondenseeritud jõuvektor.11 ./octaveProgrammid/HoredadMaatriksid.m12 http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/IFEM.d/IFEM.Ch10.d/IFEM.Ch10.pdf

A.12 Maatriksi staatiline kondensatsioon 643A.12.1 Tala element liigendiga paremalAvaldame tala elemendi (joonis A.3) tasakaaluvõrrandiqM Lϕ L00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111x,00000000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111111A, 1 L, 2LM A Q AQ L w Lξ =xLϕ Aw Azkus K on jäikusmaatriks,F – sõlmpunktides mõjuva jõu vektor,f – elemendile mõjuva koormuse vektor,järgmisel kujul:⎡⎢⎣⎤k 11 k 12 k 13 k 14k 21 k 22 k 23 k 24⎥k 31 k 32 k 33 k 34 ⎦k 41 k 42 k 43 k 44Joonis A.3. Tala elementKd = F + f⎡⎢⎣w Aφ Aw Lφ LJuhul kui M L = 0, siisφ L = − 1 [︁k41k 44k 42⎡]︁⎢k 43 ⎣⎤ ⎡ ⎤ ⎡Q A⎥⎦ = M A⎢ ⎥⎣ Q L ⎦ + ⎢⎣M L⎤w A⎥φ Aw L⎤f qAf mA⎥f qL ⎦f mL⎦ + 1 f mLk 44Asetades leitud pöörde φ L võrrandisse (A.67), saame⎡⎤ ⎡ ⎤k 11 k 12 k 13⎢⎥˜K = ⎣ k 21 k 22 k 23 ⎦ − 1 k 14 [︁⎢ ⎥⎣ k 24 ⎦ k41kk 31 k 32 k 44 33 k 34k 42]︁k 43Koormusvektor˜f =⎡⎢⎣˜f qA˜f mA˜f qL⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣f qAf mAf qL⎤⎡⎢⎣k 44⎥⎦ − 1⎤k 14k 24k 34⎥⎦ f mLTala elemendi, momendiliigendiga paremal, tasakaaluvõrrand on˜K˜d = ˜F + ˜fkus sõlmpunktide siirde vektor ˜d ja sõlmpunktides mõjuva jõu vektor ˜F on⎡ ⎤⎡ ⎤w AQ A⎢ ⎥⎢ ⎥˜d = ⎣ φ A ⎦ , ˜F = ⎣ M A ⎦w L Q L(A.66)(A.67)(A.68)(A.69)(A.70)(A.71)(A.72)

644 A. MaatriksidA.12.2 Tala element liigendiga paremal. Näide A.4Järgnevas näites on kondenseeritud tala elemendi jäikusmaatriksit, millel on momendiliigendparemal [RH95] lk 253. Vaadeldakse elementi, kus kasutusel on parema käeteljestik (vt joonis A.3).Näide A.4Tala elemendi jäikusmaatriksK E = EI yl 3⎡⎢⎣⎤12 −6l −12 −6l−6l 4l 2 6l 2l 2⎥−12 6l 12 6l ⎦−6l 2l 2 6l 4l 2(A.73)˜K E p = EI yl 3⎡⎢⎣12 −6l −12−6l 4l 2 6l−12 6l 12⎤⎥⎦ − EI yl 3l4⎡⎢⎣−6l2l 26l⎤⎥⎦[︁−6l 2l26l ]︁ (A.74)˜K E p = EI yl 3⎡⎢⎣3 −3l −3−3l 3l 2 3l−3l 3l 3⎤⎥⎦(A.75)Elementidele vastavad koormusvektorid. Koormusvektori väärtused leiame õpikust[PW94] lk 194 toodud tabelist:f = q zl12⎡⎢⎣6−l6l⎤⎥⎦(A.76)A.12.3˜fp = q zl12⎡⎢⎣6−l6⎤⎥⎦ − 1 ll 3 4⎡⎢⎣−6l2l 26l⎤⎥ q zl 2⎦12 = q zl8Tala element liigendiga vasakulTala elemendi tasakaaluvõrrandis (A.67) vaatleme juhtu, kui M A = 0, siis⎡ ⎤φ A = − 1 [︁ ]︁ w A⎢ ⎥k21 k 23 k 24 ⎣ w L ⎦ + 1 f mAk 24 kφ 24 L⎡⎢⎣5−l3⎤⎥⎦(A.77)(A.78)Asetame leitud pöörde φ A võrrandisse (A.67), saame tala elemendi, millel on momendiliigendvasakul, tasakaaluvõrrandi^K^d = ^F + ^f(A.79)

A.12 Maatriksi staatiline kondensatsioon 645kus elemendi, millel on momendiliigend vasakul, jäikusmaatriks on⎡⎤ ⎡ ⎤k 11 k 13 k 14⎢⎥^K = ⎣ k 31 k 33 k 34 ⎦ − 1 k 12 [︁ ]︁⎢ ⎥⎣ k 32 ⎦ k21 k 23 k 24kk 41 k 43 k 24 44 k 42ja elemendi, millel on momendiliigend vasakul, koormusvektor⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤˜f qA f qA^f =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ˜f qL ⎦ = ⎣ f qL ⎦ − 1 k 12⎢ ⎥⎣ k 32 ⎦ f mAk ˜f mLf 24 mL k 42ning sõlmpunktide siirde vektor ^d ja sõlmpunktides mõjuva jõu vektor ^F⎡ ⎤⎡ ⎤w AQ A⎢ ⎥⎢ ⎥^d = ⎣ w L ⎦ , ^F = ⎣ Q L ⎦φ LM L(A.80)(A.81)(A.82)A.12.4 Tala element liigendiga vasakul. Näide A.5Järgnevas näites on kondenseeritud tala elemendi jäikusmaatriksit, millel on momendiliigendvasakul.Näide A.5Tala elemendi jäikusmaatriksist K E (A.73) eemaldame teise rea ja teise veeru, misvastab φ A ja M A -le, saame^K = EI yl 3⎡⎢⎣⎤12 −12 −6l−12 12 6l−6l 6l 4l 2⎥⎦ − EI yl 3l4⎡⎢⎣−6l6l2l 2⎤⎥⎦[︁−6l 6l 2l2 ]︁ (A.83)Tala elemendi, millel on momendiliigend vasakul, jäikusmaatriks ^K on toodud avaldisega⎡⎤^K = EI 3 −3 −3ly ⎢⎥l 3 ⎣ −3 3 3l ⎦(A.84)−3l 3l 3l 2ja koormusvektor ^f avaldisega (A.86)˜f =q z l12⎡⎢⎣66l⎤⎥⎦ − 1 ll 3 4f = q zl12⎡⎢⎣⎡⎢⎣−6l6l2l 26−l6l⎤⎥⎦⎤(︃⎥⎦ − q zl 212)︃= q zl8⎡⎢⎣35l⎤⎥⎦(A.85)(A.86)

646 A. Maatriksid

B. Hõredad maatriksid jaGNU OctaveHõre maatriks on maatriks, millel on vähe nullist erinevaid elemente. Tehetel hõredatemaatriksitega kasutame GNU Octave’it 1 2 .B.1 Maatriksi sisestamineHõreda maatriksi elemente saab sisestada funktsiooniga spconvert(A), kus maatriksiA rida koosneb hõreda maatriksi rea- ja veeruindeksist ning maatriksi elemendi väärtusest⎡A =⎢⎣1 16 11 29 11 46 12 17 12 28 12 47 13 18 13 30 1⎤⎥⎦(B.1)Hõreda maatriksi sisestamist 3 näeb arvutuspäevikust B.1.Hõreda maatriksi saab sisestada ka käsuga sparse(iv, jv, sv), kus iv ja jv on rea- javeeruvektorid ning sv maatriksi elementide väärtuste vektoriv = [1 1 1 2 2 2 3 3]jv = [16 29 46 17 28 47 18 30] (B.2)sv = [1 1 1 1 1 1 1 1]Selle hõreda maatriksi sisestamist näeme arvutuspäevikust B.2.Nullise hõreda maatriksi saab sisestada käsuga sparse(m, n), kus m on maksimaalne ridadearv ja n on maksimaalne veergude arv. Nullise hõreda maatriksi sisestamist näemearvutuspäevikust B.2.1 http://www.obihiro.ac.jp/~suzukim/masuda/octave/html3/octave_112.html#SEC2162 http://www.network-theory.co.uk/docs/octave3/octave_205.html3 http://www.obihiro.ac.jp/~suzukim/masuda/octave/html3/octave_113.html#SEC219647

648 B. Hõredad maatriksid ja GNU OctaveArvutuspäevik B.1 octave:1> diary horedad1.outoctave3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> % sisestan tasakaaluv~orrandid 46-48 s~olmes 2octave-3.0.1:3> sA46k48=[1 16 1; 1 29 1; 1 46 1; 2 17 1; ...2 28 -1; 2 47 1; 3 18 1; 3 30 1]sA46k48 =1 16 11 29 11 46 12 17 12 28 -12 47 13 18 13 30 1octave-3.0.1:4> spA46k48 = spconvert(sA46k48)spA46k48 =Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 47, nnz = 8)(1, 16) -> 1(2, 17) -> 1(3, 18) -> 1(2, 28) -> -1(1, 29) -> 1(3, 30) -> 1(1, 46) -> 1(2, 47) -> 1octave-3.0.1:5> % loon nullise maatriksi 60x60octave-3.0.1:5> AA=[60 60 0.0]AA =60 60 0octave-3.0.1:6> spAA = sparse(AA)spAA =Compressed Column Sparse (rows = 60, cols = 60, nnz = 0)octave-3.0.1:7> spAA = spInsertBtoA(spAA,46,1,spA46k48)spAA =Compressed Column Sparse (rows = 48, cols = 47, nnz = 8)(46, 16) -> 1(47, 17) -> 1(48, 18) -> 1(47, 28) -> -1(46, 29) -> 1

B.1 Maatriksi sisestamine 649(48, 30) -> 1(46, 46) -> 1(47, 47) -> 1octave-3.0.1:8> diary offoctave-3.0.1:10> B(46,1)=0.0;octave-3.0.1:11> B(47,1)=750.0;octave-3.0.1:12> B(48,1)=0.0;octave-3.0.1:14> diary offArvutuspäevik B.2 octave:1> diary horedad2.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> iv=[ 1 1 1 2 2 2 3 3]iv =1 1 1 2 2 2 3 3octave-3.0.1:4> jv=[ 16 29 46 17 28 47 18 30]jv =16 29 46 17 28 47 18 30octave-3.0.1:5> sv=[ 1 1 1 1 1 1 1 1]sv =1 1 1 1 1 1 1 1octave-3.0.1:6> sA46k48 = sparse(iv,jv,sv)sA46k48 =Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 47, nnz = 8)(1, 16) -> 1(2, 17) -> 1(3, 18) -> 1(2, 28) -> 1(1, 29) -> 1(3, 30) -> 1(1, 46) -> 1(2, 47) -> 1octave-3.0.1:7> spAnull = sparse(60,60)spAnull =Compressed Column Sparse (rows = 60, cols = 60, nnz = 0)octave-3.0.1:8> diary off

650 B. Hõredad maatriksid ja GNU OctaveB.2 Maatriksi teisendamineOlgu T 2 , T 3 ja T 4 koordinaatide teisendusmaatriksid:T 2 =T 3 =⎡⎢⎣⎡⎢⎣T 4 =1 0 00 1 00 0 10 1 0−1 0 00 0 1[︃1 00 1]︃⎤⎥⎦⎤⎥⎦(B.3)(B.4)(B.5)Täismaatriksi (ingl full matrix) (vt jaotis A.11) Ti saab teisendada hõredaks maatriksikskäsuga sparse(Ti) (vt arvutuspäevik B.3). Hõreda maatriksi spTi saame teisendadatäismaatriksiks käsuga full(spTi). Olemasolevasse hõredasse maatriksisse spAsaab sisestada hõreda maatriksi spB funktsiooniga spInsertBtoA(spA, IM, JN, spB)spInsertBtoA.m 4 , lk 726 alates reast IM ja veerust JN.Arvutuspäevikus B.3 on funktsiooni spInsertBtoA.m abil koostatud sõlme 4 (vt joonis16.60) tasakaaluvõrrandid. Siin paigutatakse maatriksisse spA varda 2 teisendusmaatriksspT2 (spA = spInsertBtoA(spA, 46, 16, spT 2)). Jooniselt 16.60 näeme, et vardalõpus olevate jõudude aadressid hakkavad aadressist 16. Kui võrrandeid on juba koostatud45, siis järgmiseks võrrandi rea numbriks valime 46.Arvutuspäevik B.3 octave:1> diary horedad3.outoctave-3.0.1:2> diary onoctave-3.0.1:3> T2 = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1 ]T2 =1 0 00 1 00 0 1octave-3.0.1:4> T3 = [0 1 0; - 1 0 0; 0 0 1]T3 =0 1 0-1 0 00 0 1octave-3.0.1:5> T4 = [1 0; 0 1]T4 =4 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m

B.2 Maatriksi teisendamine 6511 00 1octave-3.0.1:6> spT2=sparse(T2)spT2 =Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3)(1, 1) -> 1(2, 2) -> 1(3, 3) -> 1octave-3.0.1:7> spT3=sparse(T3)spT3 =Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3)(2, 1) -> -1(1, 2) -> 1(3, 3) -> 1octave-3.0.1:8> spT4=sparse(T4)spT4 =Compressed Column Sparse (rows = 2, cols = 2, nnz = 2)(1, 1) -> 1(2, 2) -> 1octave-3.0.1:9> spA=sparse(60,60)spA =Compressed Column Sparse (rows = 60, cols = 60, nnz = 0)octave-3.0.1:10> % 46,16 46,28 46,46octave-3.0.1:10> spA =spInsertBtoA(spA,46,16,spT2);octave-3.0.1:11> spA =spInsertBtoA(spA,46,28,spT3);octave-3.0.1:12> spA =spInsertBtoA(spA,46,46,spT4);octave-3.0.1:13> spAspA =Compressed Column Sparse (rows = 48, cols = 47, nnz = 8)(46, 16) -> 1(47, 17) -> 1(48, 18) -> 1(47, 28) -> -1(46, 29) -> 1(48, 30) -> 1(46, 46) -> 1

652 B. Hõredad maatriksid ja GNU Octave(47, 47) -> 1octave-3.0.1:14> % saadud tulemus ühtib varem sisestatud s~olmeoctave-3.0.1:14> % tasakaaluv~orranditega 46,16; 46,28; 46,46octave-3.0.1:14> %octave-3.0.1:14> % siirete v~ordsustamisel tuleb kasutada -Ti’doctave-3.0.1:14> % korrutame T3 elemendid läbi -1 -gaoctave-3.0.1:14> spT3.*(-1)ans =Compressed Column Sparse (rows = 3, cols = 3, nnz = 3)(2, 1) -> 1(1, 2) -> -1(3, 3) -> -1octave-3.0.1:15> diary offSamale reale 46 paigutame varda 3 ja varda 4 teisendusmaatriksid. Sõlmes 4algavad varda 3 jõud aadressilt 28 ja vardal 4 aadressilt 46. Sisestamise käsudon arvutuspäevikus B.3 spA = spInsertBtoA(spA, 46, 28, spT 3), spA =spInsertBtoA(spA, 46, 46, spT 4). Tulemus ühtib varem sisestatud tasakaaluvõrranditevasaku poolega. Võrrandi paremale poole lähevad võrrandisüsteemi vabaliikmedB (46, 1) = 0.0, B (47, 1) = 750.0 ja B (48, 1) = 0.0. Varda 4 alguses on momendiliigend.Teisendusmaatriks T 4 (B.5) võtab arvesse ainult pikijõu ja ristjõu.Hõreda maatriksi elementide märgi muutmiseks korrutame kõik elemendid läbi miinusühega. Arvutuspäevikus B.3 on näide miinus ühega korrutamisest spT3. * (−1).Olgu võrrandisüsteemi vasak pool spA ja parem pool B, siis võrrandisüsteemi lahendamekäsuga X = spA∖B.GNU Octave’i hõredate maatriksite funktsioonide ja operaatorite loetelu leiab internetist.55 http://www.obihiro.ac.jp/~suzukim/masuda/octave/html3/octave_113.html#SEC222

C. InterpoleerimineC.1 Lagrange’i interpolatsioonKirjeldame funktsiooni v (x) polünoomiga P n (x)v (x) = P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n(C.1)Avaldise (C.1) kirjutame maatrikskujulv(x)v 1 v 2v 0v nx 0 x 1 x 2 x nxJoonis C.1. Funktsiooni interpolatsioon⎡v (x) = P n (x) = [︁ 1 x x 2 . . . x ]︁ n ⎢⎣⎤a 0a 1a 2.⎥⎦a n(C.2)ehk veel lühemaltv (x) = P n (x) = [x] [a](C.3)Olgu teada funktsiooni väärtused n+1 punktis (joonis C.1). Punktis x 0 on funktsiooniväärtus v 0 , punktis x 1 on funktsiooni väärtus v 1 ja punktis x n on funktsiooni väärtusv n . Punkte, kus on antud funktsiooni väärtused, nimetatakse polünoomi sõlmedeks.653

654 C. InterpoleerimineKirjeldame polünoomi (C.2) abil neid väärtusiehk sümboolselt⎡⎢⎣⎤v 0v 1v 2.⎥⎦v n⎡1 x 0 x 2 0 . . . x n 01 x 1 x 2 1 . . . x n 1=1 x 2 x 2 2 . . . x n 2⎢⎣ . . . . . . .1 x n x 2 n . . . x n nv = AaOtsitavad parameetrid a leiame võrrandist (C.5)a = A −1 v⎤ ⎡⎥ ⎢⎦ ⎣⎤a 0a 1a 2.⎥⎦a n(C.4)(C.5)(C.6)Nüüd on polünoomis (C.3) parameetrid (C.6) määratudv (x) = P n (x) = xA −1 v(C.7)Kirjutame avaldise (C.7) lahtiv (x) = L n 0 (x) v 0 + L n 1 (x) v 1 + L n 2 (x) v 2 + . . . + L n n (x) v n(C.8)Kus Lagrange’i 1 interpolatsioonipolünoomi kordajad L n i (x) onL n 0 (x) = (x − x 1) (x − x 2 ) . . . (x − x n )(x 0 − x 1 ) (x 0 − x 2 ) . . . (x 0 − x n )(C.9)L n 1 (x) = (x − x 0) (x − x 2 ) . . . (x − x n )(x 1 − x 0 ) (x 1 − x 2 ) . . . (x 1 − x n )(C.10)L n n (x) = (x − x 0) (x − x 1 ) . . . (x − x n−1 )(x n − x 1 ) (x n − x 2 ) . . . (x n − x n−1 )(C.11)Lagrange’i interpolatsioonipolünoomi kordajate L n i (x) sümboolne kujuL n i (x) =n∏︁j=0j≠ix − x jx i − x j(C.12)Vaatleme lineaarset interpolatsiooni vahemikus x 0 = −1, x 1 = 1 (joonis C.2)N 1 (x) = L 1 0 (x) =(x − 1)(−1 − 1) = 1 (1 − x) (C.13)21 Joseph Louis de Lagrange, prantsuse matemaatik ja mehaanikateadlane, 1736–1813.

C.1 Lagrange’i interpolatsioon 655a)L1L (1)0 L (1)1 v 1v 2b)vxx−1 0 1−1 0 1Joonis C.2. Lineaarne interpolatsioonN 2 (x) = L 1 1 (x) =(x + 1)(1 + 1) = 1 (1 + x) (C.14)2Funktsiooni v (x) saame interpoleerida väärtuste v 1 ja v 2 vahel (joonis C.2 b)v (x) = N 1 (x) v 1 + N 2 (x) v 2(C.15)Lõplike elementide meetodis nimetatakse funktsioone N i kujufunktsioonideks (vormifunktsioonideks).Ruutinterpolatsiooni puhul vahemikus x 0 = −1, x 2 = 1 (joonis C.3)on Lagrange’i interpolatsioonipolünoomi kordajadN 1 (x) ≡ L (2)0 (x) =N 2 (x) ≡ L (2)1 (x) =N 3 (x) ≡ L (2)2 (x) =(x − 0) (x − 1)(−1 − 0) (−1 − 1) = 1 x(x − 1) (C.16)2(x + 1) (x − 1)(0 + 1) (0 − 1) = (︁ 1 − x 2)︁ (C.17)(x + 1) (x − 0)(1 + 1) (1 − 0) = 1 x(x + 1) (C.18)2a)L1(2)L 0(2)L 1L (2)2b)vv 2v 1v 3xx−1 0 1−1 0 1Joonis C.3. RuutinterpolatsioonFunktsiooni v (x) saame interpoleerida väärtuste v 1 ja v 3 vahel (joonis C.3 b)v (x) = N 1 (x) v 1 + N 2 (x) v 2 + N 3 (x) v 3(C.19)

656 C. InterpoleerimineLineaarse interpolatsiooni kaudu (C.13), (C.14) sõlmede 1 , 2 (joonis C.4) vahelL (1)0 (x) = 1 (1 − x)2saame avaldada kõrgemad interpolatsioonidL (1)0 (x) = 1 (1 + x) (C.20)212x− 1 1Joonis C.4. Lineaarse interpolatsiooni sõlmed1 2 3x− 1 01Joonis C.5. Ruutinterpolatsiooni sõlmedL (2)0 (x) = (︁ 1 − 2L (1) )︁(1)1 L 0L (2)1 (x) = 4L (1)0 L (1)1L (2)2 (x) = (︁ 2L (1)1 − 1 )︁ L (1)1 (C.21)1 2 3 4x− 1 − 1/3 1/3 1Joonis C.6. Kuupinterpolatsiooni sõlmedL (3)0 (x) = 1 2L (3)1 (x) = 9 2 L(1) 1(︁1 − 3L(1)(1))︁ (︁ )︁(1) 2 − 3L 1 L10(︁ )︁(1) (1)2 − 3L 1 L 0L (3)2 (x) = 9 (︁2 L(1) (1)1 3L 1 − 1 )︁ L (1)0L (3)3 (x) = 1 (︁2 L(1) (1)1 3L 1 − 1 )︁ (︁ 3L (1)1 − 2 )︁ (C.22)

C.2 Hermite’i interpolatsioon 657C.2 Hermite’i interpolatsioonOlgu antud funktsioon v (x) ja tema tuletiste väärtused n sõlmpunktis, mille koordinaaton x nx 0, x 1 , x 2 , . . . x nv 0, v 1 , v 2 , . . . v ndv| dvdx 0, | dvdx 1, | dvdx 2, . . . | dx nd 2 vd|dx 2 0 , 2 vd|dx 2 1 , 2 vd|dx 2 2 , . . . 2 v|dx 2 n. ., ., . . . .d k vd|dx k 0 , k vd|dx k 1 , k vd|dx k 2 , . . . k v|dx k nv(x)v0dvdx0v1dvdx1 v2dvdx2vndvdxnx 0 x 1 x 2 x nxJoonis C.7. Hermite’i interpolatsioonFunktsiooni lähendame (m = 2n)-astme polünoomiga⎡[︃v (x)dvdx]︃ [︃1 x x2. . . x=m ]︃0 1 2x 1 . . . mx m−1 ⎢⎣⎤a 0a 1a 2.⎥⎦a m(C.23)ehkv (x) = xa(C.24)⎡⎢⎣v 0v ′ 0v 1v ′ 1v 2v ′ 2.v nv ′ n⎤ ⎡1 x 0 x 2 0 . . . x m ⎤00 1 2x 1 0 . . . mx m−101 x 1 x 2 1 . . . x m ⎡10 1 2x 1 1 . . . mx m−11=1 x 2 x 2 2 . . . x m 20 1 2x 1 2 . . . mx m−12⎢⎣. . . . . . .⎥ ⎢⎦ ⎣ 1 x n x 2 n . . . x m ⎥n ⎦0 1 2x 1 n . . . mx m−1n⎤a 0a 1a 2.⎥⎦a m(C.25)

658 C. Interpoleerimineehkv = A H a(C.26)Avaldisest (C.26) saamea = A −1H v(C.27)Funktsioon (C.24) avaldub nüüd järgmiselt:v (x) = xa = xA −1H v(C.28)Kirjutame avaldise (C.28) kujulv (x) = H (1)00 (x) v 0 + H (1)10 (x) v ′ 0 + H (1)01 (x) v 1 + H (1)11 (x) v ′ 1 + . . .. . . + H (1)0n (x) v n + H (1)1n (x) v ′ n(C.29)ehkv (x) = H (1)0i (x) v i + H (i)1i (x) v i ′ (i = 1, 2, . . . , 4) (C.30)kus Hermite’i 2 interpolatsioonipolünoomi kordajad H n ij onH (1)0i (x) = {1 − 2 (x − x i )n∑︁k=0k≠i1x i − x k}{L (1)i (x)} 2 (C.31)H (1)1i (x) = (x − x i ) {L (1)i (x)} 2 (C.32)Kahe interpolatsioonisõlmega ja esimese tuletisega (joonis C.8) on funktsiooni interpolatsioonjärgmine:v’ 0v’ 1v 0 v 11 2x 0 = 0 x 1 = 1Lx,ξ =xLJoonis C.8. Hermite’i interpolatsiooni sõlmedv (x) = H (1)00 (x) v 0 + H (1)10 (x) v ′ 0 + H (1)01 (x) v 1 + H (1)11 (x) v ′ 1 (C.33)2 Charles Hermite, prantsuse matemaatik, 1822–1901.

C.2 Hermite’i interpolatsioon 659Siin on Hermite’i interpolatsioonifunktsioonid H (n)ij(︂H (1)00 (x) = 1 − 2 x − x )︂ (︂ )︂0 x − x1 2=x 0 − x 1 x 0 − x 1(︂= 1 + 2 x )︂ (︂1 − x 2= 1 − 3ξL L)︂ 2 + 2ξ 3 (C.34)(︂H (1)x − x110 (x) = (x − x 0 )x 0 − x 1)︂ 2=(︂ x= xL − L )︂ 2= Lξ (1 − ξ) 2L(C.35)(︂H (1)01 (x) = 1 − 2 x − x )︂ (︂ )︂1 x − x0 2=x 1 − x 0 x 1 − x 0(︂ (︂ )︂)︂ (︂ )︂ x x 2= 1 − 2L − 1 = 3ξ 2 − 2ξ 3L(C.36)(︂ )︂H (1)x − x0 211 (x) = (x − x 1 )=x 1 − x 0(︂ )︂ x 2= (Lξ − L) = Lξ 2 (ξ − 1) 2L(C.37)Hermite’i interpolatsioonifunktsioonid H (n)ij on näidatud joonisel C.9.Avaldis (C.15) esitatakse lõplike elementide meetodis kujulv (x) = N 1 (x) v 1 + N 2 (x) v ′ 1 + N 3 (x) v 2 + N 4 (x) v ′ 2(C.38)H1.00.8H (1)00H (1)010.60.4(n)H i jTuletiste arvSõlmpunkt0.2H (1)10Tuletis0H (1)1100.2 0.40.6 0.8 1.0ξJoonis C.9. Hermite’i interpolatsioonifunktsioonid

660 C. Interpoleeriminekus v 1 , v ′ 1 on siirded ning siirete tuletised elemendi algul,v 2 , v ′ 2 – siirded ning siirete tuletised elemendi lõpus,N i – kujufunktsioonid (vormifunktsioonid)N 1 (x) = H (1)00 (x) = 1 − 3ξ 2 + 2ξ 3N 2 (x) = H (1)10 (x) = Lξ (1 − ξ) 2N 4 (x) = H (1)11 (x) = Lξ 2 (ξ − 1) 2N 3 (x) = H (1)(C.39)01 (x) = 3ξ 2 − 2ξ 3siin ξ = x/L ( L – elemendi pikkus ).Teades kahes sõlmpunktis funktsiooni ja tema kahe tuletise väärtust v n , v n, ′ v n, ′′ onHermite’i interpolatsiooni valem järgmine:v (x) = H (2)00 (x) v 0 + H (2)10 (x) v ′ 0 + H (2)20 (x) v ′′0 + H (2)01 (x) v 1 +H (2)11 (x) v ′ 1 + H (2)21 (x) v ′′1 (C.40)Kasutades tähistustx 2 − x 1 = L,xL = ξ(C.41)avaldame Hermite’i interpolatsioonifunktsioonid H (2)ijkujulH (2)00 (ξ) = 1 − 10ξ 3 + 15ξ 4 − 6ξ 5 (C.42)H (2)10 (ξ) = Lξ (︁ 1 − 6ξ 2 + 8ξ 3 − 3ξ 4)︁ (C.43)H (2)20 (ξ) = 1 2 L2 ξ 2 (︁ 1 − 3ξ + 3ξ 2 − ξ 3)︁ (C.44)H (2)01 (ξ) = 10ξ 3 − 15ξ 4 + 6ξ 5 (C.45)H (2)11 (ξ) = −Lξ (︁ 4ξ 2 + 7ξ 3 − 3ξ 4)︁ (C.46)H (2)21 (ξ) = 1 2 L2 ξ 2 (︁ ξ − 2ξ 2 + ξ 3)︁ (C.47)

D. Numbriline integreerimineD.1 Sissejuhatavad märkused ja määrangudVaatleme määratud integraali ligikaudse väärtuse leidmist funktsioonist f (x)∫︁ baw (x) f (x) dx = A 1 f (x 1 ) + A 2 f (x 2 ) + . . . + A n f (x n ) + E (f (x))(D.1)siin∙ x k – integreerimispunktid (sõlmed)∙ A k – integreerimiskordajad (kaalud)∙ E (f (x)) – aproksimatsiooniviga∙ w (x) – kaalufunktsioon.Määratud integraali ligikaudse väärtuse leidmiseks kasutatakse∙ Newton-Cotes’i valemit∙ Gaussi valemit∙ Rombergi valemit.Funktsiooni kirjeldamiseks kasutame Lagrange’i interpolatsiooni (C.8)v (x) = L (n)0 (x) v 0 + L (n)1 (x) v 1 + L (n)2 (x) v 2 + . . . + L (n)n (x) v n ++E [v; x](D.2)siin on E [v; x] aproksimatsiooniviga.Korrutame avaldise (D.2) kaalufunktsiooniga w (x) ja integreerime üle piirkonna [a, b]∫︁ baw (x) v (x) dx =∫︁ ba∫︁ bw (x) L (n)i (x) v i dx + w (x) E [v; x] dxa(i = 0, 1, 2, . . . , n)(D.3)661

662 D. Numbriline integreerimineVõrdleme saadud tulemust (D.3) avaldisega (D.1), saamejaA i =∫︁ baw (x) L (n)i (x) dx , (i = 0, 1, 2, . . . , n) (D.4)E (f (x)) =∫︁ baw (x) E [v; x] dx(D.5)Järgnevalt vaatleme ortogonaalseid polünoome P (n) (x) lõigul [a, b]. Lõigul [a, b]kaalufunktsiooniga w (x) on ortogonaalsed polünoomid ühe muutuja polünoomide jada{P (n) }, milles iga P (n) on täpselt n-astme polünoom, ja n ≠ m korral∫︁ baw (x) P (n) (x) P (m) (x) dx = 0(D.6)Legendre’i, Tšebõšovi, Jacobi, Hermite’i, Laguerre’i polünoomide puhul on kaalufunktsioonidtoodud tabelis.Tabel D.1. Ortogonaalsete polünoomide kaalufunktsioonidIntervall Kaalufunktsioon Polünoomw (x)[−1, +1] 1 Legendre’i[−1, +1] (1 − x 2 ) − 1 2Tšebõšovi esimest liiki[−1, +1] (1 − x 2 ) − 1 2Tšebõšovi teist liiki[−1, +1] (1 − x 2 ) α (1 + x 2 ) β Jacobiα > −1, β < −1[−∞, +∞] e −x2 Hermite’i[0, +∞] e −x Laguerre’iOrtogonaalse polünoomi sõlmede x 0 , x 1 , x 2 , . . ., x l kaudu saab polünoomi esitadajärgmisel kujul:P (n) (x) = (x − x 0 ) m 0(x − x 1 ) m 1(x − x 2 ) m 2. . . (x − x l ) m l(D.7)kus m 0 , m 1 , m 2 , . . ., m l on reaalsed ja erinevad ningm 0 + m 1 + m 2 + . . . + m l = n(D.8)Legendre’i polünoomidKasutame Legendre’i polünoomide saamiseks Rodriguesi valemitd nP (n) = 1 (︁x 2 − 1 )︁ n2 n n! dx n(D.9)

D.2 Newton-Cotes’i valemid 663Esitame mõned Legendre’i polünoomid P (n) ja l (n)P 0 = 1, l 0 = 1P 1 = x, l 1 = x1P 2 =2 (3x2 1− 1) , l 2 =3 (3x2 − 1)1P 3 =2 (5x3 1− 3x) , l 3 =5 (5x3 − 3x)P 4 = 1 8 (35x4 − 30x 2 1+ 3) , l 4 =35 (35x4 − 30x 2 + 3)P 5 = 1 8 (63x5 − 70x 3 + 15x) , l 5 = 163 (63x5 − 70x 3 + 15x)(D.10)Normeeritud Legendre’i polünoomid l (n) on joonisel D.1.10.50l 4l 2l 5−0.5l 3l 1−1−1−0.500.5 1Joonis D.1. Legendre’i polünoomidLegendre’i polünoomid l (n) saab esitada kujull 2 (ξ) = 1 (︁5ξ 2 − 3ξ )︁ ⎛ √︃ ⎛ √︃1= ⎝ξ − ⎠ 1⎝ξ + ⎠33⎞3⎞l 3 (ξ) = 1 (︁5ξ 3 − 3ξ )︁ ⎛ √︃ ⎛ √︃3= ξ ⎝ξ − ⎠ 3⎝ξ + ⎠55⎞5⎞(D.11)Legendre’i polünoomi l (2) sõlmed − √︁ 1, 3 +√︁ 1, 3polünoomi l (3) sõlmed 0, − √︁ 3, 5 +√︁ 3. 5Legendre’i polünoomide l (n) sõlmed on tabuleeritud ja toodud käsiraamatutes.D.2 Newton-Cotes’i valemidVaatleme funktsiooni v (x) lõigul [a, b] (joonis D.2). Olgu teada funktsiooni väärtusedlõigu alguses v 1 , keskel v 2 ja lõpus v 3 ning kaalufunktsioon w (x) = 1. Kasutame mõõdutakoordinaateξ = 2x L , dx = 1 Ldξ (D.12)2

664 D. Numbriline integreeriminev(x)v(x)v(x)v(x)v 1v 2 v3v 1v 2 v 3v 4abξ = − 1 ξ = 1L/2 L/2x, ξaξ = − 1L/3 L/3 L/3bξ = 1x, ξJoonis D.2. Simpsoni valemJoonis D.3. Simpsoni 3 8 -valemFunktsiooni v x interpoleerime Lagrange’i kujufunktsioonidega kolmes sõlmes∫︁ bav (x) dx = 1 ∫︁ +12 L v (ξ) dξ = 1 ∫︁ +12 L (N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 ) dξ =−1−1= 1 ∫︁ +1 [︂ 12 L (︁ξ 2 − ξ )︁ v 1 +−1 2+ (︁ 1 − ξ 2)︁ v 2 + 1 (︁ξ 2 + ξ )︁ ]︂v 3 dξ = L 26 [v 1 + 4v 2 + v 3 ](D.13)Valemit (D.13) nimetatakse Simpsoni 1 valemiks.Olgu teada funktsiooni väärtused lõigu alguses v 1 , ühel kolmandikul v 2 , teisel kolmandikulv 3 ja lõpus v 4 (joonis D.3). Interpoleerime funktsiooni v x Lagrange’i kujufunktsioonideganeljas sõlmes∫︁ bav (x) dx = 1 ∫︁ +12 L v (ξ) dξ == 1 ∫︁ +12 L (N 1 v 1 + N 2 v 2 + N 3 v 3 + N 4 v 4 ) dξ =−1−1= L 8 [v 1 + 3v 2 + 3v 3 + v 4 ] (D.14)Valemit (D.14) nimetatakse Simpsoni 3 valemiks.8Paljude varraskonstruktsiooni ülesannete lahendamisel tuleb arvutada siirdeid. Sirgetestvarrastest koosneva konstruktsiooni elementide siirded leitakse valemitega (7.44)ja (7.45), milles on pikijõudude ja paindemomentide integraalid. Vaatleme nende integraalidenumbrilist integreerimist. Kasutame lühiduse mõttes järgmist tähistust: m p Mi ≡ EIf (x). Seega vaatleme integraali ∫︀ ba f (x) dx numbrilist integreerimist.1 T. Simpson sai selle valemi 1743. aastal.

D.2 Newton-Cotes’i valemid 665D.2.1Simpsoni valemSimpsoni valemi puhul jagame pideva funktsiooni f (x) integreerimisel lõigu [a, b]pikkusega l pooleks (l/2 ja l/2) ja saame∫︁ baf (x) dx = l [f (a) + 4 · f (c) + f (b)]6 (D.15)kus f (a) – funktsiooni väärtus lõigu alguses,f (c) – funktsiooni väärtus lõigu keskel,f (b) – funktsiooni väärtus lõigu lõpus.Simpsoni valem (D.15) annab täpse tulemuse kuni kuuppolünoomini.Simpsoni valemi (D.15) kuju integreerimisvahemiku a–b paarisarvuliseks n võrdseksosaks jagamisel ∆s = l/n∫︁ baf (s) ds ≈ ∆s3 [f 0 + 4 · f 1 + 2 · f 2 + 4 · f 3 + 2 · f 4 + . . .. . . + 2 · f n−2 + 4 · f n−1 + f n ] (D.16)a) b)a c b£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¡¡ M aM bM c¡¡¡ ¡¡¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¡¡ ¡¡¡M b¡¡¡ ¡¡¡ac§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡© b¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©¡©M aM c¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡l/2 l/2lacm a¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥b¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨¡¨§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§¡§l/2 l/2lm a¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡am c¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡cbm cm b¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥m bJoonis D.4. Märgid Simpsoni valemisJoonisel D.4 a on koormusest põhjustatud epüüri M p ja ühikjõust põhjustatud epüürim i ordinaadid ühesuguste märkidega. Joonisel D.4 b on epüüridel M p ja m i otstes erinevadmärgid. Siirete arvutamiseks rakendame Simpsoni valemit (D.15)∫︁ bam i · MpEI dx = l [︂]︂M am a6 EI + 4 · m M ccEI + m M bbEI(D.17)MValemis (D.17) on korrutised m a a , m EI c Mc ja m EI b M bpositiivsed, kui ühikjõust ja koormusestpõhjustatud epüüride ordinaadid on varda samal poolel, ja negatiivsed, kui epüürideEIordinaadid on vastupidiste märkidega. Näiteks joonisel D.4 b on lõigu algul (punktis a) jalõpus (punktis b) epüüride ordinaatide korrutis negatiivne, kuna ordinaadid on suunatuderi poole. Lõigu keskel (punktis c) on epüüride ordinaatide korrutis positiivne. Simpsonivalemiga (D.17) saab täpse tulemuse lineaarsete epüüride korrutise, lineaarsete jaruutparaboolse epüüri korrutise korral. Kõrgemat järku epüüride korrutise puhul tulebkasutada 3/8 valemit (D.23).

666 D. Numbriline integreerimineNumbrilisel integreerimisel Simpsoni valemiga (D.17) kasutame arvutusprogrammiOctave. Vektorite a (D.18) ja b (D.19) korrutamiseks kasutame element-element(Hadamardi) korrutamist (vt paragrahvi A.5 avaldist (A.24) lk 631). Korrutamise tulemuson näidatud avaldisega (D.20)a = [m a m c m b ] (D.18)b = [M a M c M b ] (D.19)a. * b = [m a · M a m c · M c m b · M b ] (D.20)Võtame kasutusele Simpsoni valemi kordajaid sisaldava vektori smps, mille transponeeritudkuju on toodud avaldisegasmps ′ = 1 6[︃ lEI4 ·lEI]︃lEI(D.21)Element-element korrutamisega saadud tulemuse (D.20) korrutame skalaarselt (vt avaldistA.12 lk 629) vektoriga (D.21). Tulemuseks on Simpsoni valem (D.17)D.2.2a. * b * smps = 1 6 [m ⎢a · M a m c · M c m b · M b ] ⎣Simpsoni 3/8 -valem= l [︂]︂M am a6 EI + 4 · m M ccEI + m M bbEI⎡lEI4 ·lEIlEI⎤⎥⎦ =(D.22)Simpsoni 3/8-valemit kasutades jagame pideva funktsiooni f (x) integreerimisel lõigu[a, b] pikkusega l kolmeks (l/3, l/3 ja l/3) ja saame∫︁ baf (x) dx = l [f (a) + 3 · f (c) + 3 · f (d) + f (b)]8 (D.23)kus f (a) – funktsiooni väärtus lõigu alguses,f (c) – funktsiooni väärtus 1 lõigul [a, b],3f (d) – funktsiooni väärtus 2 lõigul [a, b],3f (b) – funktsiooni väärtus lõigu lõpus.D.2.3Vereštšagini võteVereštšagini 2 võte integraali arvutamisel, kui EI = const ja üks epüüridest on lineaarne.Joonisel D.5 on ühikjõust põhjustatud paindemomendi epüür lineaarne ja tema ordinaa-2 A. K. Vereštšagin, Moskva Raudteetranspordi Inseneride Instituudi üliõpilane, esitas selle valemi1925. aastal.

D.2 Newton-Cotes’i valemid 667O*z c− raskuskeskme kohal olev ordinaat(lineaarses epüüris)Ω − epüüri pindalaxadx£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦Ω¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤¡¤£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£¡£bM px cOz cx cz= = tanxαα¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ab¡¡ ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¡ z ¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢¡¢ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡z cm i¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¡¦¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥¡¥Joonis D.5. Vereštšagini võtedi m i saab avaldada m i = z = x · tanα. Siirde valemi integraali teisendame kujule∫︁ bM p tanα∆ ip = m i dx =a EI EIEpüüri M p staatiline moment telje OO * suhtesΩ · x c =∫︁ ba∫︁ bax · M p dxx · M p dx(D.24)(D.25)Siirde valemi integraalis (D.24) asendame ∫︀ ba x · M pdx avaldisega (D.25). Jooniselt D.5näeme, et x c·tanα = z c , kus viimane on koormusest põhjustatud paindemomendi epüüripindala Ω raskuskeskme kohal olev ordinaat z c teises lineaarselt muutuvas epüüris. Eelnenutarvesse võttes avaldub siirde valemi integraal (D.24) järgmiselt:Epüüri kujullll/2l/35/8 lll/4hhhhEpüüri pindalal h(1/2) l h(1/3) l h(2/3) l h∆ ip = Ω · z c1EIRaskuskeskme kaugus(1/2)l(1/3) l(1/4) lJoonis D.6. Epüüride pindalad(5/8)l(D.26)Seega on paindemomendi epüüridem i , M p ordinaatide korrutiseintegraal lõigul [a, b] võrdnekorrutisega, mille üheks tegurikson epüüri pindala jateiseks teguriks epüüri pindalaraskuskeskme kohal olev ordinaatteises lineaarselt muutuvasepüüris. Korrutis Ω · z c on positiivne,kui koormusest põhjustatudpaindemomendi epüür M pja ordinaat z c on sama märgiga.Joonisel D.6 on näidatud lihtsateepüüride pindalad ja nenderaskuskeskmete kaugused. Epüüriraskuskeskme arvutamise asemelon lihtsam kasutada Simpsonivalemit.

668 D. Numbriline integreerimineD.3 Gaussi valemidLähendame funktsiooni v (ξ) järgmiselt:v (ξ) = L (1)0 (ξ) v 0 + L (1)1 (ξ) v 1 (D.27)kus interpolatsioonipolünoomi L (n)i (ξ) interpolatsioonisõlmedeks võetakse Legendre’ipolünoomi sõlmed (joonis D.7)L (1)0 (ξ) =L (1)ξ − √︁ 13− √︁ 1− √︁ 13 3= 1 2 − 12 √︁ ξ131 (ξ) = ξ + √︁ 13√︁ 1 + √︁ = 1 1 2 + 12 √︁ ξ13 33(D.28)Integraal funktsioonist v (x) onv(x)v(x)v(x)v(x)v 0v 1v 0v 1v 2a−1ξ = −130Lξ =131bx, ξa−1ξ = −350Lξ =351bx, ξJoonis D.7. Gaussi kaks sõlmeJoonis D.8. Gaussi kolm sõlme∫︁ bv (x) dx = 1 ∫︁ +1a2 L v (ξ) dξ = 1 ∫︁ +1−12 L L (1)0 (ξ) v 0 dξ +−1⎡ ⎛+ 1 ∫︁ +12 L L (1)1 (ξ) v 1 dξ = 1 √︃ ⎛√︃ ⎤12 L ⎣A 0 v 0⎝− ⎠ + A 1 v 1⎝ 1⎠⎦3⎞3⎞−1(D.29)kusA 0 + A 1 = 2A 0 =A 1 =∫︁ +1−1∫︁ +1−1L (1)0 (ξ) dξ =L (1)1 (ξ) dξ =⎛∫︁ +1−1⎛∫︁ +1−1⎝ 1 2 − 12 √︁ 13⎝ 1 2 + 12 √︁ 13⎞ξ⎠ dξ = 1⎞ξ⎠ dξ = 1(D.30)(D.31)

D.4 Näiteid numbrilisest integreerimisest 669Kolme Gaussi integreerimissõlme puhul (joonis D.8) on funktsiooni lähendusv (ξ) = L (2)0 (ξ) v 0 + L (2)1 (ξ) v 1 + L (2)2 (ξ) v 2 (D.32)siinL (2)0 (ξ) =L (2)1 (ξ) =(ξ − 0) (︁ ξ − √︁ )︁35(︁ √︁−3 − (︁ 5 0)︁ − √︁ 3− √︁ 35 5(︁ √︁ )︁ (︁ √︁ξ +35 ξ − 35)︁(︁ √︁ )︁ (︁ √︁ )︁ = − 50 +35 0 − 3 35⎛)︁ = 5 √︃36 ξ ⎝ξ − ⎠5⎞(︂ξ 2 − 3 )︂5L (2)2 (ξ) =(︁ √︁ )︁ ⎛ξ +35 (ξ − 0)(︁√︁ 3 + √︁ )︁ (︁√︁3 3 − = 55 5 5 0)︁ 6 ξ ⎝ξ +√︃35⎞⎠(D.33)Integraal funktsioonist v (x) on∫︁ bav (x) dx = 1 ∫︁ +12 L v (ξ) dξ = 1 ∫︁ +12 L−1−1L (2)0 (ξ) v 0 dξ ++ 1 ∫︁ +12 L L (2)1 (ξ) v 1 dξ + 1 ∫︁ +1−12 L L (2)2 (ξ) v 2 dξ =−1⎡ ⎛= 1 √︃ ⎛√︃ ⎤32 L ⎣A 0 v 0⎝− ⎠ + A 1 v 1 (0) + A 2 v 2⎝ 3⎠⎦5⎞5⎞(D.34)kusA 0 =A 1 =A 2 =∫︁ +1−1∫︁ +1∫︁ +1L (2)50 (ξ) dξ =−1 6−1∫︁ +1−1∫︁ +1L (2)1 (ξ) dξ =−1⎛∫︁ +1L (2)50 (ξ) dξ =−1 6⎝ξ 2 −√︃35 ξ ⎞⎠ dξ = 5 9 = 0.5555...− 5 (︂ξ 2 − 3 )︂dξ = 8 3 5 9 = 0.8888...⎛ √︃ ⎞35 ξ⎝ξ 2 +⎠ dξ = 5 9 = 0.5555...A 0 + A 1 + A 3 = 5 9 + 8 9 + 5 9 = 2(D.35)D.4 Näiteid numbrilisest integreerimisestNäide D.1 Taandada joonisel D.9 näidatud tala elemendile mõjuv ühtlaselt jaotatudlauskoormus sõlmedesse.Võtame kasutusele mõõduta koordinaadi ξ (dξ = Ldξ). Virtuaalsiirete printsiip tala elemendijaoks∫︁ L0∫︁ LM y δψ y dx = [Q z δw + M y δφ y ] | L 0 + q (x) δwdx0(D.36)

670 D. Numbriline integreerimineM A Q Aϕ Aw AA, 1qLM Lϕ LxL, 2Q L w LzJoonis D.9. Tala elemendi kontaktjõudude positiivsed suunadAvaldise (D.36) viimane liige väljendab välisjõu virtuaaltööd. Lähendame siirded Hermite’iinterpolatsiooniga∫︁ L0q (x) δwdx =∫︁ LKujufunktsioonide N i integraalid∫︁ L0∫︁ L0∫︁ L0∫︁ L00N 1 (x) dx =N 2 (x) dx =N 3 (x) dx =N 4 (x) dx =q (︀ N 1 δw 1 + N 2 δw ′ 1 + N 3 δw 2 + N 4 δw ′ 2)︀ dx (D.37)∫︁ 10∫︁ 10∫︁ 10∫︁ 10(︁1 − 3ξ 2 + 2ξ 3)︁ Ldξ = L 2Lξ (1 − ξ) 2 Ldξ = L212(︁3ξ 2 − 2ξ 3)︁ Ldξ = L 2L(︁ξ 3 − ξ 2)︁ Ldξ = − L212(D.38)Saadud avaldised (D.38) ühtivad varem saadutega. Esitame välisjõudude virtuaaltöö maatrikskujul⎡ ⎤arvestades, et w ′ i = −φ y, saame∫︁ L[︁]︁q (x) δwdx = δw 1 δw 1 ′ δw 2 δw 2′ ⎢0⎣∫︁ L0[︁]︁q (x) δwdx = δw 1 δφ y1 δw 2 δφ y2 ⎢⎣⎡qL2qL 212qL2− qL212qL2− qL212qL2qL 212⎥⎦⎤⎥⎦(D.39)(D.40)Rajajõudude virtuaaltöö [Q z δw + M y δφ y ] | L 0erinevate märgikokkulepete puhul:∙ I märgikokkulepe[Q z δw + M y δφ y ] | L 0 = −Q z1δw 1 − M y1 δφ y1 + Q z2 δw 2 + M y2 δφ y2(D.41)

D.4 Näiteid numbrilisest integreerimisest 671∙ II märgikokkulepe[Q z δw + M y δφ y ] | L 0 = Q z1δw 1 + M y1 δφ y1 + Q z2 δw 2 + M y2 δφ y2siin on arvestatud, et φ y = −w i ′ ja M y = −EIw i ′′.Sisejõudude virtuaaltöö avaldis on∫︁ L∫︁ LM y δψ y dx = w ′′ EIδw ′′ dxsiin ψ y = −w ′′ . Siirde w esitame kujufunktsioonide abil0w (x) = N 1 w 1 + N 2 w ′ 1 + N 3 w 2 + N 1 w ′ 20(D.42)(D.43)(D.44)Siirde teine tuletis w ′′ ja selle variatsioon δw ′′w ′′ = d2 N 1 (x)dx 2δw ′′ = d2 N 1 (x)dx 2w 1 + d2 N 2 (x)dx 2δw 1 + d2 N 2 (x)dx 2w 1 ′ + d2 N 3 (x)dx 2 w 2 + d2 N 1 (x)dx 2 w 2 ′ (D.45)δw 1 ′ + d2 N 3 (x)dx 2 δw 2 + d2 N 4 (x)dx 2 δw 2 ′ (D.46)Läheme üle mõõduta koordinaatidele ξ = x l, kus tuletised ξ järgi ond . . .dx= d dξdξdx = 1 d . . .l dξ , d 2 . . .dx 2 = 1 d 2 . . .l 2 dξ 2Võtame Hermite’i kujufunktsioonidest (D.38) tuletised, saameehkw ′′ = 1 l 2 [︁w ′′ = 1 l 2 [︁(−6 + 12ξ) l (−4 + 6ξ) (6 − 12ξ) l (−2 + 6ξ)(−6 + 12ξ) −l (−4 + 6ξ) (6 − 12ξ) −l (−2 + 6ξ)Võimalikud teised tuletised δw ′′ esitame järgmisel kujul:⎡⎤(−6 + 12ξ)w ′′ = 1 [︁]︁l 2 w 1 w 1 ′ w 2 w 2′ l (−4 + 6ξ)⎢⎥⎣ (6 − 12ξ) ⎦l (−2 + 6ξ)ehkw ′′ = 1 l 2 [︁⎡]︁w 1 φ y1 w 2 φ y2 ⎢⎣(−6 + 12ξ)−l (−4 + 6ξ)(6 − 12ξ)−l (−2 + 6ξ)⎤⎥⎦⎡]︁⎢⎣]︁⎢⎣w 1w ′ 1w 2w ′ 2⎡⎤⎥⎦⎤w 1φ y1⎥w 2 ⎦φ y2(D.47)(D.48)(D.49)(D.50)(D.51)

672 D. Numbriline integreerimineAvaldise (D.43) integreerimisel kasutame Simpsoni valemit∫︁ lw ′′ EIδw ′′ dx = l )︁(︁w ′′ EIδw ′′ |06ξ=0+ 4w ′′ EIδw ′′ | ξ=0.5+ w ′′ EIδw ′′ | ξ=1=⎧⎡⎤−6= l 1 [︁]︁ ⎪⎨4l[︁]︁6 l 4 w 1 φ y1 w 2 φ y2 ⎢ ⎥ −6 4l 6 2l +⎣ 6 ⎦⎪⎩2l⎡ ⎤⎡ ⎤⎫ ⎡ ⎤06δw 1l[︁]︁−2l[︁]︁ ⎪⎬δφ + 4 ⎢ ⎥ 0 l 0 −l + ⎢ ⎥ 6 −2l −6 −4ly1⎢ ⎥⎣ 0 ⎦⎣ −6 ⎦⎣ δw 2 ⎦⎪⎭−l−4lδφ y1Sisejõudude virtuaaltöö avaldise (D.52) esitame järgmisel kujul:[︁=δw 1 δφ y1 δw 2 δφ y2]︁ EIl 3Avaldisest (D.53) saab jäikusmaatriksi K⎡K = EIl 3⎢⎣∫︁ l∫︁ lM y δψ y dx = δw ′′ EIw ′′ dx =00⎡⎤ ⎡ ⎤12 −6l −12 −6l w 1−6l 4l 2 6l 2l 2φ y1⎢⎥ ⎢ ⎥⎣ −12 6l 12 6l ⎦ ⎣ w 2 ⎦−6l 2l 2 6l 4l 2 φ y2⎤12 −6l −12 −6l−6l 4l 2 6l 2l 2⎥−12 6l 12 6l ⎦−6l 2l 2 6l 4l 2Sisejõudude virtuaaltöö avaldise esitame jäikusmaatriksi K abilkus d T on∫︁ l0M y δψ y dx =[︁δd T]︁ [K] [d][︁]︁d T = δw 1 δφ y1 δw 2 δφ y2Virtuaalsiirete printsiip varda elemendi jaoks on[︁ ]︁ δd T [K] [d] =[︁δd T ]︁ [F] +[︁δd T ]︁ [F q ](D.52)(D.53)(D.54)(D.55)(D.56)(D.57)kust saame varda elemendi tasakaaluvõrrandiKd = F + F q(D.58)siin on K toodud avaldisega (D.54), sõlmpunkti siirded d, elemendi kontaktjõud F ja elemendilemõjuv koormusvektor F q – avaldistega⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤qLQ z1w 1M [F] = y1⎢ ⎥⎣ Q z2 ⎦ , [d] = φ 2y1⎢ ⎥⎣ w 2 ⎦ , [F q] =⎢ ⎥(D.59)⎣ ⎦M y2 φ y2− qL212qL2qL 212

D.4 Näiteid numbrilisest integreerimisest 673Varda elemendi otstes mõjuvate kontaktjõudude leidmiseks kirjutame võrrandi (D.58) ringikujulF = Kd − F q(D.60)

674 D. Numbriline integreerimine

E. Ligikaudsed lahendidE.1 RajatingimusedRajatingimuste selgitamiseks vaatleme tala elastse joone diferentsiaalvõrrandit piirkonnas0 ≤ x ≤ l− d2dx EI d 2 w2 ydx = −q 2 z (x) (E.1)Edaspidi võtame lihtsuse mõttes EI = const. Sümboolselt võime võrrandi (E.1) kirjutadajärgmisel kujul:siinL (w) = b piirkonnas Ω (E.2)L ≡ EI d4b ≡ qdx 4 z (x) (E.3)Korrutame võrrandit (E.1) siirdega ˆw ja integreerime üle varda l∫︁ (︃ l d d−0 dx dx EI d 2 )︃∫︁wly ˆwdx = − qdx 2 z (x) ˆwdx(E.4)0Võrrandi (E.4) parempoolne liige väljendab väliskoormuse tööd W v siirdel ˆw. KoondkoormuseF zi töö varda telje punkti i siirdel ˆw i on F zi ˆw i . Seega,järgi:W v =∫︁ l0q z (x) ˆwdx + F zi ˆw iVõrrandi (E.4) vasakpoolset avaldist integreerime ositi valemi−∫︁ l0∫︁ l0ˆw ⏟ ⏞uudv = uv | l 0 −∫︁ l+0∫︁ l0vdu(︃d ddx dx EI d 2 )︃wy ˆw | ldx 2 0 +⏟ ⏞Q z(︃d d 2 )︃w d ˆwEI y dxdx dx 2 ⏟ ⏞ ⏟ dx⏞−M− ^φ y y675(E.5)(E.6)(E.7)

676 E. Ligikaudsed lahendidAvaldise (E.7) viimast liiget integreerime veel üks kord∫︁ l0d ˆwdx ⏟ ⏞u(︃d d 2 )︃ (︃wd 2 )︃wEI y dx = EIdx dx 2 ydx 2 ⏟ ⏞⏟ ⏞dv−M y∫︁ (︃ l−0d 2 )︃wEI ydx 2 ⏟ ⏞−M yd ˆwdx⏟ ⏞− ^φ y| l 0 −d 2 ˆwdx (E.8)⏟ dx⏞2− ^ψ yArvestades avaldisi (E.7) ja (E.4), saab võrrandi (E.8) esitada virtuaaltööde (passiivtööde)summana[Q z ˆw + M y ˆφ y ] | l 0⏟ ⏞W (p)r∫︁ l−⏟0⏞∫︁ l−⏟0⏞M y ˆψy dx =W (p)sq z (x) ˆwdx − F zi ˆw iW (p)v(E.9)kus ˆw ≡ δw vaatleme kui virtuaalsiiret. Sisejõudude virtuaaltöö paindel δW (p)sδW (p)s∫︁ l= − M y δψ y dx0on(E.10)välisjõudude virtuaaltöö paindel δW (p)v∫︁ lδW v (p) = q z (p) δwdx + F zi δw i0(E.11)rajajõudude virtuaaltöö paindel δW (p)rδW (p)r = [Q z δw + M y δφ y ] | l 0 (E.12)Paindel tööde vastastikkuse teoreemi tõestamiseks jätkame avaldise (E.8) teise liikmeositi integreerimist−∫︁ (︃ l0d 2 )︃wEI ydx 2 ⏟ ⏞−M yd 2 ˆwdx = − dw⏟ dx⏞2 ⏟ dx⏞−dφ ^ yy−φ y(︃d 2 )︃ ˆwEI ydx 2⏟ ⏞− ^M y| l 0 +∫︁ l0(︃ddx⏟ ⏞d 3 )︃ ˆwEI ydx 3− ^Q zdwdx⏟ ⏞dwdx == w ⏟ ⏞w(︃d 3 )︃ (︃ ˆwEI y | ldx 3 0 −⏟ ⏞− ^Q zd 2 )︃wEI ydx 2 ⏟ ⏞−M yd 2 ˆw⏟ dx⏞2− ^ψ y∫︁ (︃ l| l 0 −0d 4 )︃ ˆwEI ydx 4 ⏟ ⏞^p zw ⏟ ⏞wdx(E.13)

E.2 Ligikaudsed lahendid 677Saadud seosed (E.13) asetame avaldisse (E.9), kust saame tööde vastastikkuse teoreemipaindel[Q z ˆw + M y ˆφ y ] | l 0⏟ ⏞W I r∫︁ l+0[︁ ˆQz w + ˆM y φ y]︁|l0⏟ ⏞W II rq z (x) ˆwdx + F zi ˆw i =⏟ ⏞∫︁ l+0W I vˆq z (x) wdx + ˆF zi w i⏟ ⏞W II v(E.14)Avaldise (E.14) liikmed[Q z ˆw + M y ˆφ y ] | l 0 − [︁ ˆQz w + ˆM y φ y]︁|l0(E.15)on rajatingimused, kus w ja φ on olulised ehk kinemaatilised rajatingimused, Q z ja M yloomulikud ehk staatilised rajatingimused.Saadud seos (E.14) väljendab tööde vastastikkuse teoreemi (E. Betti 1 ): esimese koormusolukorra(I) välisjõudude (sisejõudude) töö teise koormusolukorra (II) jõududepoolt põhjustatud siiretel on võrdne teise koormusolukorra välisjõudude (sisejõudude)virtuaaltööga esimese koormusolukorra jõudude poolt põhjustatud siiretel.Avaldise (E.14) võib kirjutada sümboolsel kujul∫︁∫︁L (w) ˆwdΩ = wL * ( ˆw) dΩ +∫︁ ΩΩ+ [O * ( ˆw) S (w) − S * ( ˆw) O (w)]dΓΓkusΓ – piirkonna Ω väline rada,L * – operaatori L kaasoperaator L * = L,O – oluliste ehk kinemaatiliste rajatingimuste operaator,S – loomulike ehk staatiliste rajatingimuste operaator.(E.16)E.2 Ligikaudsed lahendidVaatleme diferentsiaalvõrranditkus u 0 on diferentsiaalvõrrandi täpne lahend.Selle võrrandi rajatingimused on1 Enrico Betti, itaalia ehitusinsener, 1823–1892.L (u 0 ) = b piirkonnas Ω (E.17)O (u 0 ) = O 0 rajal Γ 1 (E.18)

678 E. Ligikaudsed lahendidOlguS (u 0 ) = S 0 rajal Γ 2 (E.19)u (x) l¨ahedane funktsiooniga u 0 (x) (E.20)Funktsioonide lähendamise (aproksimeerimise 2 ) ülesanded:∙ lähendfunktsiooni valik∙ mõõdu valik, millega hinnatakse funktsiooni lähedust∙ lähendamismeetodi valik∙ lähendamisvea hindamine.E.2.1LähendfunktsioonidLähendfunktsiooniks võib valida∙ algebralise või trigonomeetrilise funktsiooni∙ üldistatud polünoomiu (x) = α k φ k (x) + α 0 . (k = 1, 2, ..., n) (E.21)kusα k – sõltumatud parameetrid,φ k (x) – lineaarselt sõltumatud funktsioonid, st tingimusα 1 φ 1 (x) + α 2 φ 2 (x) + ... + α n φ n (x) = 0(E.22)on täidetud siis, kui kõik parameetrid α i = 0∙ ratsionaalse murrup (x)q (x)∙ splaini S (x).E.2.2 Lähendi vea mõõdu valikTähistame lähendi vea mõõdu järgmiselt:μ (u 0 , u)Vaatleme järgmiste lähendite vea mõõte:2 Aproksimeerimine – objekti asendamine mingi teise temast vähe erineva objektiga.

E.2 Ligikaudsed lahendid 679∙ ühtlane lähendamine,ühtlase lähendamise puhul on vea mõõduks täpse lahendi u 0 ja lähedase funktsiooniu suurim erinevus (joonis E.1)μ (u 0 , u) = sup Ω | μ o (x) − μ (x) |(E.23)uµ( u o , u )u o (x)u (x)xabJoonis E.1. Ühtlane lähendamine∙ astmekeskmisel lähendamisel on vea mõõt järgmine:∫︁μ (u 0 , u) =kusp = 1 – keskmine lähendamine,p = 2 – ruutkeskmine lähendamine,∙ kaalutud lähendamisel∫︁μ (u 0 , u) =kus ρ (x) on kaalufunktsioon.ΩΩ| μ o (x) − μ (x) | p dx, p > 0 (E.24)| μ o (x) − μ (x) | p ρ (x) dx, p > 0 (E.25)Kaalufunktsiooni kasutamise näitena vaatleme paindemomendi M 0 täpset avaldist japaindemomendi M lähedast avaldist. Nende kahe funktsiooni läheduse hindamiseks võtamekaalufunktsiooniks paindeprinkuse ρ (x) = ψ (x). Vea mõõduks on siis painde deformatsioonienergiaerinevused.E.2.3Lähendamismeetod. Kaalutud hälvete meetodOlgu u 0 diferentsiaalvõrrandiL (u 0 ) = b piirkonnas Ω (E.26)

680 E. Ligikaudsed lahendidtäpne lahend.Selle võrrandi olulised ehk kinemaatilised rajatingimused O onja loomulikud ehk staatilised rajatingimused S onkusO (u 0 ) = O o rajal˜oigul Γ 1 (E.27)S (u 0 ) = S o rajal˜oigul Γ 2 (E.28)Valime lähendfunktsiooniks u (x) üldistatud polünoomiΓ = Γ 1 + Γ 2 (E.29)u (x) = α i φ i (x) , (i = 1, 2, ..., N) (E.30)siinα i – sõltumatud parameetrid,φ i (x) – lineaarselt sõltumatud funktsioonid.Asetame lähendfunktsiooni u (x) diferentsiaalvõrrandisse (E.26) ja rajatingimustesse(E.27), (E.28):L (u) − b = R(E.31)O (u) − O o = R 1S (u) − S o = R 2siinR – diferentsiaalvõrrandi lahendi hälve,R 1 – kinemaatiliste rajatingimuste hälve,R 2 – staatiliste rajatingimuste hälve.(E.32)(E.33)Valime kaalufunktsiooniv (x) = β i ψ i (x) (i = 1, 2, ..., N) (E.34)Korrutame avaldised (E.31), (E.32), (E.33) kaalufunktsiooniga (E.34), integreerime ülepiirkonna Ω, ja nõudes, et∫︁∫︁(L (u) − b) v (x) dΩ = Rv (x) dΩ = 0(E.35)Ω∫︁∫︁(O (u) − O o ) v (x) dΓ =Γ 1R 1 v (x) dΓ = 0Γ 1∫︁∫︁(S (u) − S o ) v (x) dΓ =Γ 2R 2 v (x) dΓ = 0Γ 2Ω(E.36)(E.37)Sõltuvalt lähendfunktsiooni u (x) = α i φ i (x) valikust eristatakse järgmisi formuleeringuid[BW80]:

E.2 Ligikaudsed lahendid 681∙ R 1 = 0, R 2 = 0 – lähteformuleering∙ R 1 = 0 – nõrkformuleering∙ R = 0 – pöördformuleering.Sõltuvalt sellest, kas baasfunktsioonid φ i (x), ψ i (x) on valitud ühesugused või erinevad,klassifitseeritakse lahendusmeetodeid (joonis E.2) järgmiselt:Baasfunktsioonidu ja v jaokson ühesugusedBaasfunktsioonidu ja v jaokson erinevadLähteformuleeringGaljorkini meetodVõrgumeetodKollokatsioonimeetodNõrkformuleeringLõplike elementide meetodÜldistatud nõrga formuleerin−guga kaalutud hälvete meetodPöördformuleeringTreftzi meetodRajaelementide meetodJoonis E.2. Lahendusmeetodite klassifikatsioon

682 E. Ligikaudsed lahendid

F. Mõisteid vardateooriastF.1 Varda töödVarda tööde leidmiseks kasutame ositi integreerimise valemit∫︁ ba∫︁ budv = uv | b a − vdua(F.1)F.1.1Töö varda pikkelKirjutame pikijõu diferentsiaalseoseehkdN xdx = −q x (x)(F.2)(︃dEA du )︃= −q x (x) (F.3)dx dxkus N x = EA du.dxKorrutame avaldise (F.3) suvalise siirdega ˆu ja integreerime üle varda pikkuse l∫︁ baddx(︃EA dudx)︃∫︁ bˆudx = − q x (x) ˆudxa(F.4)Võrrandi (F.4) parempoolne liige väljendab väliskoormuse q x tööd W v siirdel ˆu. Onvõimalik näidata, et koondkoormuse F xi töö varda telje punkti i siirdel ˆu i on F xiˆu i .Seega,W v =∫︁ baq x (x) ˆudx + F xiˆu i(F.5)Võrrandi (F.4) vasakpoolset avaldist integreerime ositi valemi (F.1) järgi, võttes u jadv järgmiselt:∫︁ (︃b d⏟ ˆu ⏞ EA du )︃dxa dx dxu ⏟ ⏞dv683

684 F. Mõisteid vardateooriastSaame avaldise∫︁ (︃ bˆud EA du )︃ (︃= EA du )︃ ∫︁ (︃ bˆu | b a − EA du )︃dˆudxa dx dxa dx⏟ ⏞⏟ ⏞ ⏟ dx⏞N xN x^λ(F.6)Võrrandi (F.6) parema poole esimene liige väljendab rajajõudude ↔ N x tööd W r rajasiiretelˆu ja teine liige kirjeldab sisejõudude tööd W s .Võttes arvesse välisjõudude töö avaldise (F.5) ja rajajõudude töö avaldise (F.6), võibintegraali (F.4) kirjutada kujul↔N x ˆu⏟ ⏞W r∫︁ b| b a −a⏟ ⏞∫︁ bN xˆλdx = − ( q x (x) ˆudx + F xiˆu i ) (F.7)W s W va⏟ ⏞Kui vaadelda avaldises (F.7) ˆu-d kui virtuaalsiiret, siis väljendab see avaldis virtuaalsiireteprintsiipi.Jätkame võrrandi (F.6) viimase liikme ositi integreerimist:−∫︁ (︃ l0EA dˆu )︃dx⏟ ⏞ududx ⏟ ⏞dv(︃dx = − EA dˆu )︃ ∫︁ lu | l 0 +dx0⏟ ⏞^N x(︃ddx)︃EA dˆudx⏟ ⏞^N xudx (F.8)Võttes arvesse saadud avaldise (F.8), võime avaldise (F.7) kirjutada kujul↔N x ˆu⏟ ⏞W r| l 0 −↔ˆN x u⏟ ⏞^W r| l 0 +∫︁ l0(︃dEA dˆudx dx⏟ ⏞^N x)︃∫︁ ludx = − q x (x) ˆudx − F xiˆu i0⏟ ⏞W v(F.9)Võrrandi (F.9) vasaku poole viimase liikme sisu selgitamiseks võtame vaatluse alla teise(II) koormusolukorra. Võrrandite (F.4), (F.5) eeskujul saame järgmise võrrandi:∫︁ lVõrranditest (F.9) ja (F.10) saame0(︃dEA dˆu )︃ ∫︁ ludx = − ˆq x (x) udx −dx dxˆF xi u i0(F.10)↔N x ˆu⏟ ⏞W I r∫︁ l| l 0 +q x (x) ˆudx + F xiˆu i =0⏟ ⏞WvI↔ˆN x u⏟ ⏞^W II r∫︁ l| l 0 + ˆq x (x) udx + ˆF xi u i0⏟ ⏞^W vII(F.11)see on tööde vastastikkuse teoreemi tõestus välis- ja rajajõudude kohta pikkel. Sisejõududetööde vastastikkuse teoreemi tõestamiseks kirjutame virtuaalsiirete printsiibi(F.7) ümber järgmisel kujul:− W (p)s= W (p)r+ W (p)v(F.12)

F.1 Varda tööd 685Kuna avaldise (F.11) põhjal on esimese (I) ja teise (II) koormusolukorra tööd (Wr I += + ) võrdsed, siis on avaldise (F.12) põhjal ka sisejõudude tööd võrdsedW I vehkˆWIIrˆWIIv∫︁ (︃ l0EA du )︃dx⏟ ⏞N xW (I)sdˆudx =⏟ dx⏞^λSeega on tööde vastastikkuse teoreem pikkel= W (II)s∫︁ (︃ l0EA dˆu )︃dx⏟ ⏞^N xdudx⏟ dx⏞λ(F.13)(F.14)∫︁ lN x0∫︁ ˆNxlEA dx = 0ˆN xN xEA dx(F.15)F.1.2Töö varda paindelPaindemomendi ja põikjõu tööde avaldise saamisel lähtume diferentsiaalseostestja Bernoulli hüpoteesistd 2 M ydx 2= dQ zdx = −q z (x)(F.16)φ y = − dwdx(F.17)ψ y = − d2 wdx 2(F.18)γ = 0 (F.19)ning seostestM y = EI ydφdx , Q z = dM ydx(F.20)− d2dx EI d 2 w2 ydx = −q 2 z (x) (F.21)Nii nagu pikkejõu puhul, korrutame võrrandi (F.21) siirdega ˆw ja integreerime ülevarda l∫︁ (︃ l d d−0 dx dx EI d 2 )︃∫︁wly ˆwdx = − qdx 2 z (x) ˆwdx(F.22)0Võrrandi (F.22) parempoolne liige väljendab väliskoormuse tööd W v siirdel ˆw. KoondkoormuseF zi töö varda telje punkti i siirdel ˆw i on F zi ˆw i . Seega,W v =∫︁ l0q z (x) ˆwdx + F zi ˆw i(F.23)

686 F. Mõisteid vardateooriastVõrrandi (F.22) vasakpoolset liiget integreerime ositi:−∫︁ l0ˆw ⏟ ⏞u(︃d ddx dx EI y⏟ ⏞dvd 2 )︃wdxdx 2(︃ d= −dx EI d 2 )︃wy ˆw | ldx 2 0 +⏟ ⏞Q z∫︁ (︃ l d d 2 )︃w d ˆw+ EI y0 dx dx 2 dx⏟ ⏞−M ydx⏟ ⏞−φ^y(F.24)Avaldise (F.24) viimast liiget integreerime veel üks kord∫︁ l0d ˆwdx ⏟ ⏞u(︃d d 2 )︃ (︃wEI y dx =dx dx 2 ⏟ ⏞dvd 2 )︃wEI ydx 2 ⏟ ⏞−M yd ˆwdx⏟ ⏞−φ^y∫︁ (︃ l| l 0 −0d 2 )︃wEI ydx 2 ⏟ ⏞−M yd 2 ˆwdx 2⏟ ⏞− ^ψ ydx (F.25)Arvestades saadud avaldisi (F.24) ja (F.25) võime võrrandi (F.22) esitada virtuaaltööde(passiivtööde) summana (virtuaalsiirete printsiip paindel)[Q z ˆw + M y ˆφ y ]⏟ ⏞W (p)r∫︁ l| l 0 − M y ˆψy dx0⏟ ⏞W (p)s∫︁ l= −q z (x) ˆwdx − F zi ˆw i⏟0⏞−W v(p)(F.26)Paindel jätkame tööde vastastikkuse teoreemi tõestamiseks avaldise (F.26) teise liikmeositi integreerimist:∫︁ (︃ l d 2 )︃ ˆw d 2 w− EI y dx = − dw (︃d 2 )︃ ∫︁ (︃ˆwl d d 3 )︃ ˆw dwEI0 dx 2 dx 2y EI⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ dx⏞dx 2 y0 dx dx 3 dx =⏟ ⏞−ψ y−φ y− ^M y(︃d 3 )︃ (︃ ˆw= w EI y | ldx 3 0 −⏟ ⏞⏟ ⏞− ^Q z⏟ ⏞− ^M y| l 0 +d 2 )︃ ˆwEI ydx 2− ^M ydwdx⏟ ⏞−φ y− ^Q z∫︁ (︃ l| l d 4 )︃ ˆw0 − EI y0 dx 4 ⏟ ⏞wdx (F.27)^p zSaadud seosed (F.27) asetame avaldisse (F.26), kust saame tööde vastastikkuse teoreemipaindel[︂ ↔Qzˆw+ ↔ M y ˆφ y]︂⏟ ⏞W I r=∫︁ l| l 0 +0⏟ ⏞WvI[︃ ]︃↔ˆQz w+↔ˆM y φ y⏟ ⏞W II rq z (x) ˆwdx + F zi ˆw i =| l 0∫︁ l+ ˆq z (x) wdx + F zi ˆw i0⏟ ⏞WvIISiin on Q z , M y , p z , w ja φ y esimese koormusolukorra jõud ja siirdedning ˆQ z , ˆMy , ˆp z , ˆw ja ˆφ y teise koormusolukorra jõud ja siirded.(F.28)

F.2 Ülekandemaatriks 687Arvestades saadud avaldisi (F.26), (F.28), saame sisejõudude vastastikkuse töö paindelehk∫︁ lM y ˆψy dx = ˆM y ψ y dx0⏟ ⏞0⏟ ⏞WsI)∫︁ lM y0⏟ ⏞WsI)ˆMydx =EI y∫︁ l∫︁ lW II)sˆM yM yEI ydx0⏟ ⏞WsII)(F.29)(F.30)F.2 ÜlekandemaatriksVõrrandeid (1.56), (1.57), (1.58) ja (1.59) (lk 57) võib kirjutada maatrikskujulZ p = UZ v + ∘ Zkus Z v , Z p on vastavalt siirded ja kontaktjõud varda algul ning lõpus⎡ ⎤⎡ ⎤wwφ Z p = yφ ⎢ ⎥ , Z⎣ Q z ⎦v = y⎢ ⎥⎣ Q z ⎦M y M ypv(F.31)(F.32)Avaldises (F.31) olev ülekandemaatriks U I märgikokkuleppe puhul (vt joonis 1.30 lk57) on toodud avaldisega (F.33)⎡⎤(x1 − (x p − x v ) p−x v)GA Q− (xp−xv)36EI y− (xp−xv)22EI y(xU =0 1p−x v) 2(x p−x v)2EI yEI y(F.33)⎢⎥⎣ 0 0 1 0 ⎦0 0 (x p − x v ) 1Ülekandemaatriksit (F.33) saab arvutada funktsiooni Ulintala Imk.m 1 abil.Ülekandemaatriksit I märgikokkuleppe puhul U(6,6), kus arvesse on võetud ka normaaljõudN ja pikisiire u (Z v ’=[u x w z φ y N x Q z M y ]), võib arvutada funktsiooniUlin Imk.m 2 abil.Ülekandemeetodi koormusvektor Z ∘ on∘Z =⎡⎢⎣∑︀ (x p−a M ) 2 +MyEI y2!+ ∑︀ (x p−aFF ) 3 +z EI y3!+ ∑︀ (x p−a q)q 4 +z EI y4!− ∑︀ (x p−aMM ) 1 +y EI y1!− ∑︀ (x p−aFF ) 2 +z EI y2!− ∑︀ (x p−a q)q 3 +z EI y3!− ∑︀ F z (x p − a F ) 0 + − ∑︀ q z (x p − a q ) 1 +− ∑︀ M y (x p − a M ) 0 + − ∑︀ F z (x p − a F ) 1 + − ∑︀ q z(x p−a q) 2 +2!1 ./octaveProgrammid/Ulintala_Imk.m2 ./octaveProgrammid/Ulin_Imk.m⎤⎥⎦(F.34)

688 F. Mõisteid vardateooriastKoormusvektorit (F.34) saab arvutada funktsiooni ZtalaFq.m 3 abil.Momendi M y ja pöördenurga φ y positiivne suund on pööre teljelt z teljele x.Siin kasutatakse järgmist tähistust:(x − a F ) +={︃0, kui (x − a F ) < 0| x − a F |, kui (x − a F ) ≥ 0(F.35)Avaldises (F.31) olev ülekandemaatriks U II märgikokkuleppe puhul on esitatud avaldisega⎡U =⎢⎣1 − (x p − x v ) − (xp−xv)GA Q0 1 − (xp−xv)22EI y+ (xp−xv)36EI y(x p−x v) 22EI y− (xp−xv)EI y0 0 −1 00 0 − (x p − x v ) −1⎤⎥⎦(F.36)Ülekandemaatriksit (F.36) saab arvutada funktsiooni Ulintala IImk.m 4 abil.Ülekandemaatriksit II märgikokkuleppe puhul U(6,6), kus arvesse on võetud ka normaaljõudN ja pikisiire u (Z v ’=[u x w z φ y N x Q z M y ]), võib arvutada funktsiooniUlin IImk.m 5 abil.Ülekandemeetodi koormusvektor Z, ∘ kus arvesse on võetud ka normaaljõud N ja pikisiireu (Z v ’=[u x w z φ y N x Q z M y ]) on∘Z =⎡⎢⎣− ∑︀ (x p−aFF ) +x − ∑︀ (x p−a q)q 2 +EA x 2EA∑︀ (x p−a M ) 2 +MyEI y2!+ ∑︀ (x p−aFF ) 3 +z EI y3!+ ∑︀ (x p−a q)q 4 +z EI y4!− ∑︀ (x p−aMM ) 1 +y EI y1!− ∑︀ (x p−aFF ) 2 +z EI y2!− ∑︀ (x p−a q)q 3 +z EI y3!− ∑︀ F x (x p − a F ) 0 + − ∑︀ q x (x p − a q ) +− ∑︀ F z (x p − a F ) 0 + − ∑︀ q z (x p − a q ) 1 +− ∑︀ M y (x p − a M ) 0 + − ∑︀ F z (x p − a F ) 1 + − ∑︀ q z(x p−a q) 2 +2Momendi M y ja pöördenurga φ y positiivne suund on pööre teljelt z teljele x.Siin kasutatakse tähistust (F.35).⎤⎥⎦(F.37)3 ./octaveProgrammid/ZtalaFq.m4 ./octaveProgrammid/Ulintala_IImk.m5 ./octaveProgrammid/Ulin_IImk.m

G. ÜlekandemaatriksidG.1 Algparameetrite meetodAlgparameetrite meetod on matemaatikas tuntud Cauchy 1 meetodina. Tugevusõpetussetõi selle meetodi 1862. a A. Clebsch 2 . Seda meetodit on põhjalikult selgitanudA. P. Filin [Fi71]. A. Jürgenson kirjeldab algparameetrite meetodit õpikus [Jür85].F i ∆ qz000000000000111111111111q z M00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111 i0000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111100 1100000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111 00 1100 11w o∆ w 00 11 iw’ o∆woϕ = − w’∆ w’ ox ox ix pxz, wJoonis G.1. AlgparameetridVaatleme joonisel G.1 jaotatud koormusega q z = q z (x) varrast, mille elastne joon onesitatud funktsiooniga w = w (x). Punktis i lisame momendi M i , jõu F i ja lauskoormuse∆q z = ∆q z (x). Koormuste lisamisest tekib täiendav läbipaine ∆w = ∆w (x).Punktis i arendame täiendava läbipainde ∆w Taylori ritta∆w = ∆w i + ∆w i′ (x − x i )1!+ ∆w i′′ (x − x i ) 2+ . . . (G.1)2!Punkti x = x i siirde avaldame punkti x = x 0 siirde ja pöörde kaudu∆w = ∆w 0 + ∆w ′ 0xVõtame arvesse momendi, põikjõu, siirde ja pöörde omavahelised seosedw ′ i = −φ i , w ′′i = − M iEI ,w′′′ i= − Q ziEI1 Augustin Louis Cauchy, prantsuse matemaatik, 1789–1857.2 Rudolf Friedrich Alfred Clebsch, saksa matemaatik, 1833–1872.(G.2)(G.3)689

690 G. ÜlekandemaatriksidSiin φ i = −w ′ i, kuna parema käe teljestiku puhul on pöörde positiivne suund z-lt x-le,aga tuletise w ′ i (puutuja tõusunurga tangens) positiivne suund on vastupidine.Arvestades avaldisi (G.2), (G.3) kirjutame läbipainde juurdekasvu (G.1) kujul∆w = ∆w 0 − φx − M yiEI(x − x i ) 2 +2!− Q zi (x − x i ) 3 ++EI 3!Teise märgikokkuleppe puhul+∆q i(x − x i ) 4 +4!+ . . . (G.4)w 0 = w 0 , w ′ 0 = −φ 0 , w ′′0 = − MyEI ,w′′′ 0 = − QzEI(G.5)Varda elastse joone universaalvõrrandi saamiseks summeerime kõik jõud vastavalt teiselemärgikokkuleppele (G.5) (joonis G.2)xMyzyv Q zvva MMFqz Q zp000000000000111111111111000000000000111111111111000000000000111111111111M ypxa Fxa qx pz, wϕ = − w’Joonis G.2. Jõudude positiivsed suunad universaalvõrrandiskusw p = w v − (φ y ) vx + 1 ∑︁ (x p − a M ) 2 +My +EI y 2!+ 1 ∑︁ (x p − a F ) 3 +Fz + 1 ∑︁ (x p − a q ) 4 +qzEI y 3! EI y 4!(x p − a F ) +={︃0, kui (x p − a F ) < 0| x p − a F |, kui (x p − a F ) ≥ 0(G.6)(G.7)

G.1 Algparameetrite meetod 691Elastse joone universaalvõrrandis (G.6) on järgmised tähistused:EI y – varda ristlõike paindejäikus,M y – momentkoormus,F z – koondatud jõud,q z – ühtlaselt jaotatud koormusDiferentseerime võrrandit (G.6) ja võtame kasutusele vastavalt teisele märgikokkuleppele(G.5) tähistused. Saame varda ristlõike pöörde φ p = −w ′ p(φ y ) p= 0 − (φ y ) v− 1EI y∑︁My (x p − a M ) +−− 1 ∑︁ (x p − a F ) 2 +Fz − 1 ∑︁ (x p − a q ) 3 +qzEI y 2! EI y 3!(G.8)Varda lõpus saame paindemomendi (M y ) p= −EIw ′′p avaldiseks(M y ) p= 0 − 0 − 1EI y∑︁My (x p − a M ) 0 + −− 1 ∑︁Fz (x p − a F )EI +− 1 ∑︁ (x p − a q ) 2 +qzy EI y 2!(G.9)Varda lõpus on põikjõu (Q z ) p= −EIw ′′′pavaldis(Q z ) p= 0 − 0 − 0 − 1EI y∑︁Fz (x p − a F ) 0 + − 1EI y∑︁qz (x p − a q ) +(G.10)Võrrandid (G.6) ja (G.8) – (G.10) esitame maatrikskujulZ p = UZ v + ∘ Z(G.11)kus Z p , Z v on tala lõpus ja alguses olevad siirded ning sisejõud⎡Z p =⎢⎣⎤wφ y. . .⎥Q z ⎦M yp⎡, Z v =⎢⎣⎤wφ y. . .⎥Q z ⎦M yv, (G.12)U – ülekandemaatriks⎡(x 1 − (x p − x v ) . p−x v)GA Q− (xp−xv)36EI y(x 0 1 .p−x v) 22EI yU =. . . . . . . . . . . . . . .⎢ 0 0 . 1 0⎣0 0 . (x p − x v ) 1− (xp−xv)22EI y(x p−x v)EI y⎤, (G.13)⎥⎦

692 G. Ülekandemaatriksid∘Z – koormusvektor mis, on toodud avaldisega⎡∑︀ (x p−a M ) 2 +MyEI y2!+ ∑︀ (x p−aFF ) 3 +z EI y3!+ ∑︀ ⎤(x p−a q)q 4 +z EI y4!∘− ∑︀ (x p−aMM ) 1 +y EI y1!− ∑︀ (x p−aFF ) 2 +z EI y2!− ∑︀ (x p−a q)q 3 +z EI y3!Z =. . . . . . . . .(G.14)⎢− ∑︀ F⎣z (x p − a F ) 0 + − ∑︀ q z (x p − a q ) 1 ⎥+− ∑︀ M y (x p − a M ) 0 + − ∑︀ F z (x p − a F ) 1 + − ∑︀ ⎦(x p−a q)q 2 +z 2!Moodustame varda alguses ja lõpus olevatest siiretest vastavad vektorid v A ning v L :[︃ ]︃[︃ ]︃wAwLv A = , vφ L =(G.15)A φ Lja varda alguses ja lõpus olevatest kontaktjõududest vastavad vektorid s A ning s L .[︃ ]︃[︃ ]︃QAQLs A = , sM L =(G.16)A M LVõrrandid (G.11) saame kirjutada kujul⎡⎤⎡ ⎤⎡v LU vv . U vs⎢ ⎥⎢⎣ . . . ⎦ = ⎢ . . . . . . . . . ⎥ ⎣⎣⎦s LU sv . U ssv A. . .s A⎤⎥⎦ +⎡⎢⎣f 1. . .f 2⎤⎥⎦(G.17)Raamatus [PW94] lk 174 saadakse maatriks U (G.13), (G.17) ühikkoormuse meetodil.Võrrandeid (G.17) nimetatakse varda põhivõrranditeks, kus varda põhiseoseid kirjeldavadalammaatriksid:U vv kirjeldab geomeetriat (kõvakeha liikumist),U ss – tasakaalu,U vs – elastsusseoseid (seosed siirete juurdekasvu ja jõudude vahel),U sv = 0 – tugede ning elastsete vedrude mõju.G.2 Esimest järku teooria ülekandemaatriksEsimest järku teooria ülekandemaatriksit vaadeldakse õpikutes [Bor79a], [Krä91a],[PW94]. Esimest järku teooria ülekandevõrrandi võib kirjutada sümboolsel kujulkus⎡ ⎤uwZ p =φ yN x⎢ ⎥⎣ Q z ⎦M yZ p = U · Z v + ∘ Zp⎡ ⎤uw, Z v =φ yN x⎢ ⎥⎣ Q z ⎦M yv(G.18)(G.19)

G.2 Esimest järku teooria ülekandemaatriks 693⎡1 0 0 − (xp−xv) 0 0EA (x 0 1 − (x p − x v ) 0p−x v) 36EI yU =0 0 1 0 − (xp−xv)22EI y0 0 0 −1 0 0⎢⎣ 0 0 0 0 −1 00 0 0 0 − (x p − x v ) −1− (xp−xv)GA red(x p−x v) 22EI y− (xp−xv)EI y⎤⎥⎦(G.20)∘Z =⎡⎢⎣∫︀ xpx v∫︀ xp 1 ∫︀ xp∫︀ x v EA x vxp 1 ∫︀ xp∫︀ xpx v EI y x v− ∫︀ x p 1 ∫︀ xpx v EI y x v− ∫︀ x px vq x dxdxx vq z dx 2 dx 2∫︀ xpx vq z dx 2 dx− ∫︀ x px vq x dxdx− ∫︀ x px vq z dxdxq z dxdx + ∫︀ x px vm y dx∫︀ xpx v⎤⎥⎦(G.21)Ühtlaselt jaotatud koormuse puhul on koormusliige ∘ Z järgmine:∘Zq =⎡⎢⎣⎤0q z·(x p−x v) 424EI y− qz·(xp−xv)36EI y0⎥−q z · (x p − x v ) ⎦−q z · (x p − x v ) 2(G.22)Koondatud jõu korral, kus x a on koondatud jõu rakenduspunkti koordinaat, saame∘Zq =⎡⎢⎣0F z·(x p−x a) 36EI y− Fz·(xp−xa)22EI y0−F z−F z · (x p − x a )⎤⎥⎦(G.23)Ülekandemaatriksi U saab arvutada GNU Octave’i funktsioonidega ylfhlin.m lk 721või hõreda maatriksina ysplfhlin.m lk 723.Tala ülekandemaatriksi U saame, kui varda ülekandemaatriksist U (14.20) eemaldamepikisiirdele u ja normaaljõule N vastavad elemendid. Tala ülekandemaatriksitsaame arvutada GNU Octave,i funktsiooni yspTlvfmhvI.m lk 724 abil. Selle koostamisekson kasutatud funktsiooni yspTlfhlin.m lk 723.Kolme liigendiga raamile maatriksi ̂︂IU (14.11) arvutamiseks on GNU Octave’ifunktsioon yspSlvfmhvI.m lk 724 (koostatakse funktsiooni yspSlfhlin.m lk 724 abil).

694 G. ÜlekandemaatriksidTabel G.1. Koormusvektor∘Zqza F Faz qqz∘u 0.0 0.0 0.0∘w∘φ yq z·x 4F z·(x−a F ) 3 +q z·(x−a q) 4 +24EI y 6EI y 24EI y− qz·x36EI y− Fz·(x−a F ) 2 +2EI yq z·(x−a q) 3 +6EI y∘N x0.0 0.0 0.0∘Q z−q z · x −F z · (x − a F ) 0 + −q z · (x − a q ) 1 +∘M y− qz·x22−F z · (x − a F ) + − qz·(x−aq)2 +2∘Zq xa F a MF M yx∘u− qx·x22EA− qx·(x−a F ) +EA0.0∘w 0.0 0.0M y·(x−a M ) 2 +2EI y∘φ y 0.0 0.0 − My·(x−a M ) +EI y∘N x−q x · x −F x · (x − a F ) 0 + 0.0∘Q z0.0 0.0 0.0∘M y0.0 0.0 −M y · (x − a M ) 0 +Staatiliselt määratud tala maatriksi ̂︂IU (14.11) arvutamiseks on GNU Octave’ifunktsioonid yspSTlvfmhvI.m lk 725 (koostatakse funktsiooni yspSTlfhlin.m lk 724 abil).Järgnevates koormusvektorite tabelites on kasutatud õpikutes [Krä91c], [Bor79b]toodud avaldisi. Koormusvektorite tabelites G.1, G.2 on kasutusel parema käe teljestikx-z. Koormusvektorid esimeses ja teises märgikokkuleppes ei erine teineteisest.Koormusvektoreid ∘ Zq, ∘ ZF ylflin, yzqz ning yzfz saab arvutada GNU Octave’i funktsioonidegayzhqz.m lk 721, yzfzv.m lk 722.Mitmesildelise tala koormusvektori ∘ Z (14.11) arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioonESTtalaKrmus.m lk 727, mis omakorda kasutab koormusvektorite ∘ Zq, ∘ ZF arvutamiseksfunktsioone yzThqz.m ja yzTfzv.m lk 722.Kolme liigendiga raamile koormusvektori ∘ Z (14.11) arvutamiseks on GNU Octave’ifunktsioon ESTSKrmus.m lk 727, mis omakorda kasutab koormusvektorite ∘ Zq, ∘ ZF arvutamiseksfunktsioone yzShqz.m ja yzSfzv.m lk 722.Staatiliselt määratud tala koormusvektori ∘ Z (14.11) arvutamiseks on GNU Octave’i

G.2 Esimest järku teooria ülekandemaatriks 695Tabel G.2. Koormusvektor (järg 1)∘∆TZ T 0hqzl∘u α T T o x 0.0 0.0∘w 0.0 −α T x 2 ΔT2hq zl·l 4120EI y∘φ y 0.0 α T x ΔT − q z1·l 3h 24EI y∘N x0.0 0.0 0.0∘Q z0.0 0.0 − qz·l2∘M y0.0 0.0 − qz·l26∘Zqzaqqzazl qza qzl∘u 0.0 0.0 − l26EA (2q xa + q xl )∘w∘φ yq za·l 4(4q za+q zl )l 430EI y 120EI y0.0− qza·l38EI y− (3qza+q zl)l 324EI y0.0∘N x0.0 0.0 − 1 2 (q xa + q xl )∘Q z∘M y− qza·l2− 1 2 (q za + q zl ) 0.0− qza·l23− 122 (2q za + q zl ) 0.0funktsioon ESTSTKrmus.m lk 727, mis omakorda kasutab koormusvektorite Zq,∘arvutamiseks funktsioone yzSThqz.m ja yzSTfzv.m lk 722.G.2.1Sõrestiku varda ülekandemaatriksSõrestiku varda ülekandevõrrand peab sisaldama kõvakeha liikumise. Sõrestiku vardaülekandemaatriksi saame avaldisest G.20, kui eemaldame 4. ja 5. rea ning veeru. Saame∘ZFZ p = U · Z v + ∘ Z(G.24)kus⎡ ⎤uwZ p = ⎢ ⎥⎣ φ y ⎦N xp⎡ ⎤uw, Z v = ⎢ ⎥⎣ φ y ⎦N xv(G.25)

696 G. Ülekandemaatriksidja sõrestiku varda ülekandemaatriks:⎡U =⎢⎣1 0 0 − (xp−xv)EA0 1 − (x p − x v ) 00 0 1 00 0 0 −1⎤⎥⎦(G.26)Ülekandemaatriksi (G.26) saame arvutada GNU Octave’i funktsiooniga yspSRhlin.mlk 725.Kirjutame avaldise (G.24) ringi võrrandisüsteemiksZ p − U · Z v = ∘ Z(G.27)Sõrestiku varda võrrandite (G.27) nullist erinevaid kordajaid saame arvutada GNUOctave’i funktsiooniga yspSRmhvI.m lk 725.G.3 Ülekandemaatriksid teist järku teooriasÜlekandevõrrandisüsteemi (pikijõududes S ja ristjõududes H)˜Z p − Ũ˜Z v =∘˜Z(G.28)kus⎡ ⎤uw˜Z p =φ yS x⎢ ⎥⎣ H z ⎦M yp⎡ ⎤uw, ˜Z v =φ yS x⎢ ⎥⎣ H z ⎦M yv(G.29)lahendamisel on siirete ja sisejõudude arvväärtuste erinevus ca 10 3 korda. Korrutamesiirete võrrandid baasjäikusega (i o = maxEI/minl).Teeme muutujate teisenduse, kus siirete arvväärtusi suurendame varda baasjäikuse i okorda. Sellist võrrandisüsteemi teisendust nimetame võrrandisüsteemi skaleerimiseks(ingl scaling). Pärast võrrandisüsteemi lahendamist saame tegelikud siirded, kui jagameleitud siirded baasjäikusega.Teise märgikokkuleppe puhul korrutame −1-ga ülekandemaatriksite (16.376) ja (16.377)veerud 4, 5, 6. Suurendame siirdeid (i o = maxEI/minl) korda. Skaleeritud võrrandisüsteemi(G.28) kordajate maatriks teise märgikokkuleppe puhul on toodud avaldistega(G.30), (G.31). Neid maatrikseid saab arvutada GNU Octave’i funktsioonigaylfmhvII.m lk 743.

G.3 Ülekandemaatriksid teist järku teoorias 697Ülekandemaatriks⎡1 0 0 −i o * x 0 0EA 0 1 − sin ν νx lx 0 iν o * (︁ νxl −sin νx )︁l l 3iν 3 EI o * (︁ 1−cos νx l l 2ν 2 EIŨ =0 0 cos νx 0 −il o * (︁ −1+cos νx )︁l l 2ν 2 −io * (︁ − sin νx lEIν0 0 0 −1 0 0⎢⎣ 0 0 0 0 −1 00 0 −ν sin νxllEI1i o0− sin νx lx − cos νxν llEI)︁)︁⎤(G.30)⎥⎦vastab survele ja II märgikokkuleppele.Ülekandemaatriks⎡1 0 0 −i o * xEA (︂ 0 00 1 − shν νx −νx)︂+sh lx 0 i ν o *νx l l l 3iν 3 EI o * (︁ −1−ch νx lŨ t =0 0 ch νx 0 il o * (︁ 1−ch νx )︁l l 2iν 2 EI o * (︁ −sh νx lν0 0 0 −1 0 0⎢⎣ 0 0 0 0 −1 00 0 νsh νx l 1−shl EI i o0νx lx −ch νxν l)︁l 2ν 2 EI)︁lEI⎤⎥⎦(G.31)vastab tõmbele ja II märgikokkuleppele.Skaleeritud võrrandisüsteemi (G.28) koormusvektor ühtlaselt jaotatud koormusel q z =const esimese ja teise märgikokkuleppe puhul on toodud avaldistega∘˜Z =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eS e⎥H e ⎦M e⎡=⎢⎣i o[︂12(︁νxl0)︁ 2 (︁ )︁ ]︂− 1 + cos νx ql 4−i o[︁νxl − sin (︁ ν x l0−q · x− [︁ 1 − cos (︁ ν x ll ν 4 EI)︁]︁ ql 3)︁]︁ ql 2ν 3 EIν 2⎤⎥⎦(G.32)∘˜Z t =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eS e⎥H e ⎦M e⎡=⎢⎣−i o[︂12(︁νxl0)︁ 2 (︁ )︁ ]︂− 1 − ch νx ql 4[︁i o νx− sh (︁ ν x l l0[︁ −q (︁· x1 − ch νxll)︁]︁ ql 3)︁]︁ ql 2ν 3 EIν 2ν 4 EI⎤⎥⎦(G.33)∘˜Z (G.32) vastab survele, koormusvektor∘˜Z t (G.33) vastab tõmbele. NeidKoormusvektorteisele ja ka esimesele märgikokkuleppele vastavaid koormusvektoreid saab arvutadaGNU Octave’i funktsiooniga ylqvII.m lk 744.

698 G. ÜlekandemaatriksidSkaleeritud võrrandisüsteemi (G.28) koormusvektor koondatud jõu korral (teise jaesimese märgikokkuleppe puhul) on toodud avaldistega⎡⎤⎡ ⎤0u e[︁ (︁ )︁ (︁ )︁]︁ (x−a) w e−i o sin ν + (x−a)∘l − ν + F l 3l ν 3 EI[︁ (︁ )︁ ]︁ ˜Z =φ e(x−a) i S =o cos ν +l − 1 F l 2ν 2 EI(G.34)e⎢ ⎥0⎣ H e ⎦⎢− (x − a) 0 ⎣+M Fe− [︁ sin (︁ ⎥ν (x−a) )︁]︁ ⎦+ F ll ν∘˜Z t =⎡⎢⎣⎤u ew eφ eS e⎥H e ⎦M e⎡=⎢⎣0[︁ (︁ )︁ (︁ )︁]︁(x−a)i o sh ν + (x−a)l − ν + F l 3[︁ (︁ )︁ l ]︁ ν 3 EI(x−a)−i o ch ν +l − 1 F l 2ν 2 EI0− (x − a) 0 + F− [︁ sh (︁ ν (x−a) +l∘˜Z (G.34) vastab survele, koormusvektor)︁]︁ F lν⎤⎥⎦(G.35)∘˜Z t (G.35) vastab tõmbele. NeidKoormusvektorteisele kui ka esimesele märgikokkuleppele vastavaid koormusvektoreid saab arvutadaGNU Octave’i funktsiooniga ylfhvzII.m lk 743.Avaldistes (G.34) ja (G.35) kasutame järgmist Heaviside’i funktsiooni tähistust(x − a) +={︃0, kui (x − a) < 0x − a, kui (x − a) ≥ 0Ülekandevõrrand normaaljõududes N ja põikjõududes Q(G.36)Z p = U · Z v + ∘ Z(G.37)kusja maatrikseid⎡U =⎢⎣⎡ ⎤uwZ p =φ yN x⎢ ⎥⎣ Q z ⎦M yp⎡ ⎤uw, Z v =φ yN x⎢ ⎥⎣ Q z ⎦M y1 0 0 − x 0 0EA [︁ ]︁l0 1 −x 0 3 νx− sin νx l 2ν 3 EI [︁ ll ]︁ ν 2 EI0 0 1 0 − l2ν 2 EI 1 − cosνx− llνEI0 0 0 1 0 00 0 0 0 − cos νxl0 0 0 0 − l νsinνxlv[︁1 − cosνxlνlsinνxlsinνxl− cos νxl]︁⎤⎥⎦(G.38)(G.39)

G.3 Ülekandemaatriksid teist järku teoorias 699Tabel G.3. Koormusvektor survel (pikijõud S ja ristjõud H)∘ZSqzSSqzlS∘u 0.0 0.0[︂ (︁ )︁ ]︂ [︂2∘w − ql4 1 − 1 νxν 4 EI 2 l − cosνx− ql4 νx− 1 l ν 5 EI l 6[︁ ]︁[︁ (︁∘φ y − ql3 νx− sin νx − ql3ν 3 EI llν 4 EI 1 −1 νx2 l∘S x0.0 0.0∘H z∘M y− ql2ν 2− qlνsinνxl[︁1 − cosνxl]︁(︁ νxl)︁ ]︂3− sinνxl]︁)︁12 − cosνxl[︁ ]︁− qlν 1 − cosνx2 l]︁− ql2ν 3[︁ νxl− sin νxl∘ZS∆ThSSa FFzS∘u 0.0 0.0∘w− αtΔth[︁ ]︁ [︁l 2ν 1 − cosνxν (x − a) 2 ll −]︁ F l 3EIν 3∘φ y− α T ΔThl 2ν 2 sin νxl− [︁ cos ν l (x − a) − 1]︁ F l 2EIν12∘S x0.0 0.0∘H z∘M y− α T ΔTEI ν νxsinh l l− α T ΔThEI [︁ 1 − cos νxl]︁−F− [︁ sin ν l (x − a)]︁ F lν⎡U t =⎢⎣x1 0 0 0 0EA [︁ ]︁0 1 −x 0 − l3 νx− sh νx − l2ν 3 EI [︁ l ]︁ l ν 2 EIl0 0 1 0 2ν 2 EI 1 − chνx− llνEI0 0 0 1 0 00 0 0 0 −ch νxl0 0 0 0 − l νshνxlνl[︁1 − chνxlshνxlshνxl−ch νxl]︁⎤⎥⎦(G.40)saab arvutada GNU Octave’i funktsiooniga ylfmII.m lk 744.(G.39) on survel ja II märgikokkuleppel. Ülekandemaatriks U tII märgikokkuleppel.Ülekandemaatriks U(G.40) on tõmbel ja

700 G. ÜlekandemaatriksidTabel G.4. Koormusvektor tõmbel (pikijõud S ja ristjõud H)∘ZSqzSSqzlS∘u 0.0 0.0[︂ (︁ )︁ ]︂ [︂2∘w − ql4 1 + 1 νxν 4 EI 2 l − chνx− ql4 νx− 1 l ν 5 EI l 6[︁ ]︁[︁ (︁∘φ y − ql3 νx− sh νx − ql3ν 3 EI l lν 4 EI 1 −1 νx2 l∘S x0.0 0.0∘H z∘M y− ql2ν 2− qlνshνxl[︁1 − chνxl]︁(︁ νxl)︁ ]︂3− shνxl]︁)︁12 − chνxl[︁ ]︁− qlν 1 − chνx2 l− ql2ν 3[︁ νxl− sh νxl]︁∘ZS∆ThSSa FFzS∘u 0.0 0.0∘w− αtΔth[︁ ]︁ [︁l 2ν 1 − chνxν (x − a) − sh ν (x − 2 ll l a)]︁ F l 3EIν 3∘φ y− α T ΔThl 2ν 2 sh νxl− [︁ ch ν l (x − a) − 1]︁ F l 2EIν12∘S x0.0 0.0∘H z∘M y− α T ΔTEI ν νxshh l l− α T ΔThEI [︁ 1 − ch νxl]︁−F− [︁ sh ν l (x − a)]︁ F lνÜlekandevõrrandid (G.28) saab kirjutada lühemal kujul̂︂IU · ̂︀Z = ∘ Z(G.41)kus maatriksi ̂︂IU saab koostada GNU Octave’i funktsiooniga ysplvfmhvII.m lk 746,milles on kasutatud funktsiooni ysplfmhvII.m lk 743. Need funktsioonid sisaldavad niisurvet kui ka tõmmet.Koormusvektorid jaotatud koormusest ja koondatud jõust arvutame GNU Octave’ifunktsioonidega vastavalt ylqvII.m lk 744 ja ylfhvzII.m lk 743. Need funktsioonid sisaldavadnii survet kui ka tõmmet.Koormusvektorite tabelites on kasutatud õpikutes [Krä91c], [Bor79a] toodud avaldisi.

H. Põhivalemite tabelidJärgnevate tabelite koostamisel on kasutatud õpikutes[Bor79a] toodud andmeid.[Rää75], [EP67], [Krä90] jaH.1 DeformatsioonimeetodEsimest järku teooria deformatsioonimeetodi põhivalemite tabelites on varda elastsejoone ja pöördenurga katkevuse valemid kinnitusmomendi leidmiseks.Tala elastse joone pöördenurga katkevusest ∆φ tekkivadkinnitusmomendid leiame pöördenurkade φ 10 ja φ 20 abil(joonis H.1)ϕ 10= η ∆ϕ ϕ 20= ξ ∆ϕik0000 1111 aξ = , η =labl000 111∆ϕ( ξ + η)bl= 2EIlMik 0 = − 4EI φ 10 + 2EI φ 20 =l l(−2b + l − b)∆φ = 2 EI (︃l − 3b )︃∆φll lAvaldis (H.1) vastab I märgikokkuleppele.(H.1)Joonis H.1. Pöördenurgakatkevus ∆φTala elastse joone katkevusest ∆w tekkivad kinnitusmomendidleiame pöördenurkade φ 10 ja φ 20 abil (joonisH.2)∆ w∆ w ϕ20=ϕ10 = −ll∆w000 111 ∆w000 111k000 111000 111lJoonis H.2. Elastse joonekatkevus ∆wMik 0 = Mki 0 = − 4EI φ 10 + 2EI φ 20 =l l= 4EI ∆w+ 2EI ∆w= 6 EI ∆wl l l l l lAvaldis (H.2) vastab I märgikokkuleppele.(H.2)701

702 H. Põhivalemite tabelidTabel H.1. Jäikade tugedega varda toemomendid *Koormus00 1100 1100 1100 1100 11iM ikEI = constlM ki00 1100 1100 11k00 1100 11i00 1100 1100 1100 1100 11ϕ ik0101010101M ik = EIl4φ iM ki = EIl2φ i0101010101ikϕ k00 1100 11 00 1100 1100 11M ik = EIl2φ kM ki = EIl4φ ii 00 1100 1100 1100 1100 11ϑ ikk0101010101M ik = EIl6θ ikM ki = EIl6θ ik00 1100 1100 1100 1100 1100 11ia∆ϕbk010101010101M ik = − EIlM ki = − EIl[︁2a+ 4 ]︁ bl l ∆φ = −2EIl[︁4a+ 2 ]︁ bl l ∆φ = 2EIl(︁ ]︁1 − 3bl ∆φ(︁ ]︁1 − 3al ∆φ010101010101ia∆wbk010101M ik = −6 EIlM ki = −6 EIl1∆w l1∆w l01i 01010101h T−T+∆T =T+ −T−k0101010101M ik = EI α T ΔThM ki = −EI α T ΔTh* Tabelis H.1 esitatud valemites kehtib kontaktjõudude määramisel teine märgikokkulepe(joonis 1.19). Teise märgikokkuleppe puhul∙ jäikade sõlmede pöörded φ i , φ k ja momendid M ik , M ki on positiivsed vastupidikellaosutite liikumise suunale∙ varda pöörde θ ik positiivne suund on kellaosutite liikumise suunas [KM04] lk199, [ME09].

H.1 Deformatsioonimeetod 703Tabel H.2. Jäikade tugedega varda toemomendid *Koormus00 1100 1100 1100 1100 11iEI = const00 1100 1100 11k00 1100 11M iklM ki00 1100 1100 1100 11q000000000000000000000000000001111111111111111111111111111100000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111ik01010101M ik = ql212M ki = − ql212q00000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111ik00 1100 1100 1100 1100 110101010101M ik = ql220M ki = − ql2300101010101q01000000000000000000000000000001111111111111111111111111111101010000000000000000000000000000011111111111111111111111111111ik0101M ik = ql230M ki = − ql220q 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111vq00000000000000000000000000000011111111111111111111111111111101p00000000000000000000000000000011111111111111111111111111111101000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111ik010100 1100 1100 1100 1100 11M ik = ql260 (3q v + 2q p )M ki = − ql260 (2q v + 3q p )00 1100 1100 1100 1100 11a F b01 0000000000011111111111111111110000000000000000000 01i00 1100 1100 1100 1100 11kM ik = a l(︁ bl)︁ 2F lM ki = − (︁ )︁ 2a bF ll l00 1100 1100 1100 1100 11iaMb00 1100 1100 11k00 1100 11M ik = b lM ki = a l(︁3al − 1)︁(︁3bl − 1)︁* Tabelis H.2 esitatud valemites kehtib kontaktjõudude määramisel teine märgikokkulepe(joonis 1.19). Teise märgikokkuleppe puhul∙ jäikade sõlmede pöörded φ i , φ k ja momendid M ik , M ki on positiivsed vastupidikellaosutite liikumise suunale∙ varda pöörde θ ik positiivne suund on kellaosutite liikumise suunas [KM04] lk199, [ME09].

704 H. Põhivalemite tabelidTabel H.3. Jäiga ja liigendtoega varda toemoment *Koormus0101010101iM ikEI = constlk00 11i000 111000 111M000 111 000 111000 111000 111ϕ ik000 111ik = EIl3φ i0101010101iϑ ikk00 11M ik = EIl3θ ik01010101 M01ia∆ϕbk000 111000 111ik = 3EIlb∆φ l010101010101ia∆wbk000 111M ik = − 3EI ∆wl 200 11M00 1100 1100 1100 11q000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 00 11i k 00 11ik = ql28q v 0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 qp00000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111i k 00 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11a F b0100000000000011111111111101 000000000000000000001111111111111111111101ik01M01 0100 110100 11M ik = l2 120 v + q p ) , q p ≥q vM ik = l2 120 p + 8q v ) , q v ≥q p[︂ik = 1 b2 l1 − (︁ bl)︁ 2]︂F l00 1100 11M00 1100 1100 11iaMbk00 11ik = 1 2[︂1 − 3 (︁ )︁ ]︂ 2bMl00 1100 1100 11M00 1100 11iMk00 11ik = 1 2 M0101010101iT−T+h k000 111∆T =T+ −T−M ik = 3 2 EIα T ΔTh* Tabelis H.3 esitatud valemites kehtib kontaktjõudude määramisel teine märgikokkulepe(joonis 1.19).

H.1 Deformatsioonimeetod 705Tabel H.4. Liigend ja jäiga toega varda toemoment *Koormusi000 111000 111EI = constlM kik0101010101i000 111ϕ kk00 1100 11 00 1100 1100 11M ki = EIl3φ ki000 111ϑ ikk01 01M01010101ki = EIl3θ iki00 11abk∆ϕ010101 M01ki = − 3EIla∆φ li000 111a∆wb00 1100 1100 1100 1100 1100 11kM ki = − 3EI ∆wl 2q000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000 111 i k00 1100 11M00 1100 1100 11ki = − ql28000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111q vq p00 11000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 00 1100 11000 111 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 00 11k00 11000i 1110000000000000000000011111111111111111111000000000000a Fb01ik00 1100 1101010101 M01M ki = − l2 120 p + q v ) , q v ≥q pM ki = − l2 120 v + 8q p ) , q p ≥q v[︂ (︁ )︁ ]︂ 2ki = 1 a a2 l l − 1 F li000 111000 111abMk01M0101 0101ki = 1 2[︂1 − 3 (︁ )︁ ]︂ 2bMlMi000 111000 111k0101010101M ki = 1 2 Mi000 111000 111T−T+h∆ Tk=T+ −T−0101010101M ki = − 3 2 EIα T ΔTh* Tabelis H.4 esitatud valemites kehtib kontaktjõudude määramisel teine märgikokkulepe(joonis 1.19).

706 H. Põhivalemite tabelidH.2 Deformatsiooni- ja jõumeetod II järku teooriasKõnesolevas lisas on toodud varda teist järku teooria deformatsiooni- ja jõumeetodipõhivalemid. Varda tunnusarv ν (sks Stabkennzahl [Krä91a]) on parameeter√︃Sν = lEI(H.3)14121086420−2−4−6−8−10−12−14A+BAC* **** *A−BA =* 4 ϕ 2 (ν )B =* 2 ϕ 3 (ν )A * + B * = 6 ϕ 4 (ν )C * = 3 ϕ 1 (ν )Eesarvud A, B, A+B, C, A−B survel st. S>0, N

H.2 Deformatsiooni- ja jõumeetod II järku teoorias 707Tabel H.5. EesarvudF unktsioon S kui survejõud S kui tõmbejõudA * = 4φ 2 (ν)B * = 2φ 3 (ν)ν(sin ν−ν cos ν)2(1−cos ν)−ν sin νν(ν−sin ν)2(1−cos ν)−ν sin νν(sh ν−νch ν)2(ch ν−1)−νsh νν(ν−sh ν)2(ch ν−1)−νsh νA * + B * = 6φ 4 (ν)ν 2 (1−cos ν)2(1−cos ν)−ν sin νν 2 (1−ch ν)2(ch ν−1)−νsh νC * = 3φ 1 (ν)ν 2 sin νsin ν−ν cos νν 2 sh ννch ν−sh νA * − B *ν(1+cos ν)sin νν(1+ch ν)sh νV *2(1−cos ν)−ν sin ν12ν 2 sin ν[︁ ]︁α * 1 1ν ν − cot νβ *1 ν[︁ ]︁ 1sin ν − 1 ν2(1−ch ν)−νsh ν12ν 2 sh ν[︁ ]︁1νcoth ν − 1 ν[︁ ]︁1 1ν ν − 1sh να * = 1C * , β * =B* 1A * C, * C= * A*A *2 −B *2η 1 (ν) = φ 1 (ν) − ν23 , η 2 (ν) = φ 4 (ν) − ν212Pikipõikpainde parandustegurite φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν), φ 4 (ν), η 1 (ν), η 2 (ν) leidmisekson õpikutes [EP67] lk 598 ja [SALŠ84] lk 407 toodud tabelid. Tabelite kasutamiselpeab arvestama, et suurte arvude väikeste vahede lineaarne interpolatsioon 1võib põhjustada vigu. Nende parandustegurite arvutamiseks on GNU Octave’i funktsioonfi ja eta.m lk 741. Siin funktsiooni fi ja eta(mark,nu) argument mark” on survel”’–’ ja tõmbel ’+’ ning nu” – varda tunnusarvu arvuline väärtus. Funktsioon väljastab”parandustegurid järgmises järjekorras: φ 1 , φ 2 , φ 3 , φ 4 , η 1 , η 2 .Eesarve ν, A * , B * , A + B * , C * , A − B * , V * , α * , β * saab leida GNU Octave’ifunktsiooniga eesarv.m lk 741. Programm väljastab eesarvud järgmises järjekorras: ν,A * , B * , A + B * , C * , A − B * , V * , α * , β * .Eesarvude graafika koostab GNU Octave’i programm eesagraf.m lk 741.1 Interpoleerimine, funktsiooni väärtuste hindamine nende punktide vahel, kus selle funktsioonivõi tema tuletiste väärtused on teada.

708 H. Põhivalemite tabelid14121086420−2−4Eesarvud A, B, A+B, C, A−B tõmbel st. S0A+B * *A*C*B*A−B * *0 2 4 6 8 10nuJoonis H.4. Eesarvud A * , B * , C * , A * +B * tõmbel35302520151050−5−10−15−20−25−30−35V*Eesarv V survel st. S>0, N

H.2 Deformatsiooni- ja jõumeetod II järku teoorias 709Tabel H.6. Jäikade tugedega varda toemomendid survelKoormusS00 1100 1100 1100 1100 11iM ikEI = constlM ki00 1100 1100 11k00 1100 11SSi00 1100 1100 1100 1100 11ϕ ik01010 00111SM ik = EIlA * φ iM ki = EIlB * φ iM ik = EIlB * φ kS0101010101ikϕ k00 1100 11 00 1100 1100 11SM ki = EIlA * φ iSSi 00 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11ia∆ϕϑ ikbkk0101010101010101010101SSM ik = EIlM ki = EIlM ik = EIlM ki = EIl[︂B[︂A(A * + B * ) θ ik(A * + B * ) θ ik* sinνalsin ν* sinνalsin ννbsin+ A*sin νlνbsin+ B*sin νl]︂∆φ]︂∆φS010101010101ia∆wbk010101SM ik = − EIl 2M ki = EIl 2[︁νsin ν A * cos νbl[︁νsin ν A * cos νal]︁+ B * cos νal ∆w]︁+ B * cos νbl ∆wM ik = EI α T ΔThS01i 01010101h T−T+∆T =T+ −T−k0101010101SM ki = EI α T ΔThTabelis H.6 esitatud valemites kehtib teine märgikokkulepe. Teise märgikokkuleppepuhul∙ jäikade sõlmede pöörded φ i , φ k ja momendid M ik , M ki on positiivsed vastupidikellaosutite liikumise suunale∙ varda pöörde θ ik positiivne suund on kellaosutite liikumise suunas.

710 H. Põhivalemite tabelidTabel H.7. Jäikade tugedega varda toemomendid survelKoormusS00 1100 1100 1100 1100 11iM ikEI = constlM ki00 1100 1100 11k00 1100 11SS00 1100 1100 1100 11q000000000000000000000000000001111111111111111111111111111100000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111ik01010101SM ik = (A * − B * ) V * ql224M ki = − (A * − B * ) V * ql224Sq00000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111ik00 1100 1100 1100 1100 110101010101SM ik = [︁ ]︁12 (A* − B * ) V * + 2 6−(A* +B * ) ql 2ν 2 24M ki = − [︁ ]︁12 (A* − B * ) V * − 2 6−(A* +B * ) ql 2ν 2 24Sq0000000000000000000000000000001111111111111111111111111111110101000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111ik01010101010101SM ik = [︁ ]︁12 (A* − B * ) V * − 2 6−(A* +B * ) ql 2ν 2 24M ki = − [︁ ]︁12 (A* − B * ) V * − 2 6−(A* +B * ) ql 2ν 2 24q 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111vq 1100000000000000000000000000000011111111111111111111111111111101pS1111111111111111111111111111110111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111ik0100 1101SS00 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11a F b01 0000000000011111111111111111110000000000000000000 01iiabM00 1100 1100 1100 1100 11k00 1100 1100 11k00 1100 11SSS[︂ (︂M ik = 1 A * sin νbν 2 lsin ν[︂ (︂M ki = − 1 −B * sin νbν 2 lsin νM ik = − 1ν 2 [︂A * (︂1 − νM ki = − 1ν 2 [︂B * (︂1 − νM ik = ql260 (3q v + 2q p )M ki = − ql260 (3q v + 2q p )− bl)︂− B * (︁ sin νalsin ν− bl)︂+ A * (︁ sin νalsin ν)︂νbcos l+ B (︁ * 1 − νsin ν)︂νbcos l+ A (︁ * 1 − νsin ν− a l− a l)︁ ]︂ F l)︁ ]︂ F lνa )︁ ]︂ cos lMsin ννa )︁ ]︂ cos lMsin νTabelis H.7 esitatud valemites kehtib teine märgikokkulepe. Teise märgikokkuleppepuhul∙ jäikade sõlmede pöörded φ i , φ k ja momendid M ik , M ki on positiivsed vastupidikellaosutite liikumise suunale∙ varda pöörde θ ik positiivne suund on kellaosutite liikumise suunas.

H.2 Deformatsiooni- ja jõumeetod II järku teoorias 711Tabel H.8. Jäiga ja liigendtoega varda toemoment survelKoormusS0101010101iM ikEI = constlk00 11SSi000 111000 111000 111 000 111000 111000 111ϕ ik S000 111M ik = EIlC * φ iS0101010101iϑ ikk00 11SM ik = − EIlC * θ ikS0101010101ia∆ϕbk S000 111000 111M ik = EIνb* sin lC ∆φl sin νabS010101010101i∆wk000 111SM ik = − EIνb* ν cos lC ∆wl sin νS00 1100 1100 1100 1100 11q000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 S000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 00 11i k 00 11M ik = C * V * ql224q v 0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 qp00000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000000000000000000000000000011111111111111111111111111111i k 00 1100S00 1111S00 1100 11M00 1100 11ik = [︁ C * V * q p + 8 3−V *(qν 2 v − q p ) ]︁ l 224Sa F b0100000000000011111111111101 000000000000000000001111111111111111111101ik S01010100 110100 11M ik = C * 1[︂ sinνbν 2 lsin ν− b l]︂F l0000 111100 1100 1100 11iaMbkS S M ik = C * 1 ν00 11[︂1ν]︂−cos νblMsin νS00 1100 1100 1100 1100 11iMk00 11SM ik = − B*A * MS0101010101iT−T+h k S000 111∆T =T+ −T−M ik = C * 1 ν tan ν 2 EI α T ΔThTabelis H.8 esitatud valemites kehtib teine märgikokkulepe.

712 H. Põhivalemite tabelidTabel H.9. Liigend ja jäiga toega varda toemoment survelKoormusS i000 111000 111EI = constlM kik0101010101SSi000 111ϕ kk00 1100 11 00 1100 1100 11SM ki = EIlC * φ iS i000 111ϑ ikk010101010101SM ki = − EIlC * θ ikSi00 11abk∆ϕ01010101SM ki = EIνb* sin lC ∆φl sin νabSi000 111∆w00 1100 1100 1100 1100 1100 11kSM ki = − EIνb* ν cos lC ∆wl sin νqS 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000 111 i k00 1100 1100 1100 1100 11SM ki = C * V * ql224000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111q vq p00 11000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 00 1100 11000 111 000000000000000000000000000000111111111111111111111111111111 00 11k00 11000i 111S SM ki = [︁ C * V * q p + 8 3−V *(qν 2 v − q p ) ]︁ l 224S0000000000000000000011111111111111111111000000000000a Fb01ik00 1100 110101010101SM ki = C * 1[︂ sinνbν 2 lsin ν− b l]︂F labS i M k0011 S M01ki = −C * 1000 111ν0101000 111[︂1ν]︂−cos νblMsin νMS i000 111000 111k0101010101SM ki = − B*A * MS i000 111000 111T−T+h∆ Tk=T+ −T−0101010101SM ki = C * 1 ν tan ν 2 EI α T ΔThTabelis H.9 esitatud valemites kehtib teine märgikokkulepe.

H.2 Deformatsiooni- ja jõumeetod II järku teoorias 713Tabel H.10. Sisejõud surutud vardasKoormusSH iki0000 1111xM(x) H(x)lH kikEI = const 00 11SMikM ki0000 1111i k 00 11lM (x) = M kisin νx lsin ν− M sin(ν(1− x l ))ik sin νΔMΔx= − M ik+M kilQ (x) = ν l[︂cos(ν(1−M x l )) cosik + M νx lsin νki sin ν]︂q00000000000000000000000000000001111111111111111111111111111111000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111110000 1111i k 00 11l{︁ [︁M (x) = ql2 1ν 2 sin ν sinνx+ sin (︁ ν (︁ )︁)︁]︁ }︁1 − x ll − 1H ik = − ql2H ki = − ql2q 0000000000000000000000000000011111111111111111111111111111000000000000000000000000000001111111111111111111111111111100000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000 1111i k 00 11lQ (x) = qlν1sin ν[︁cosνxlM (x) = ql2ν 2 [︁ 1sin ν sin (︁ ν (︁ 1 − x l− cos (︁ ν (︁ 1 − x l)︁)︁]︁)︁)︁ (︁ )︁]︁− 1 −xlH ik = − ql3H ki = − ql60000000000000000000000000000011111111111111111111111111111 q00000000000000000000000000000111111111111111111111111111110000 1111i k 00 11l[︁Q (x) = − ql νcos (︁ ν (︁ )︁)︁ ]︁1 − x ν 2 sin ν l − 1M (x) = ql2ν 2 [︁ 1sin ν sin (︁ ν x l)︁ ]︁−xlH ik = − ql6H ki = − ql3[︁Q (x) = ql νcos (︁ )︁ ]︁ν x ν 2 sin ν l − 1Tabelis H.10 esitatud valemites M (x) ja M ik suunad vastavad teisele märgikokkuleppele.Varda koormamisel momentidega M ik ja M ki saame leida momendi M (x) ning põikjõuQ (x) varda pikipõikpaindel GNU Octave’is kirjutatud funktsiooni mxrikki.m lk 741 abil.Ühtlaselt jaotatud koormuse puhul saame leida momendi M (x) ning põikjõu Q (x) GNUOctave’is kirjutatud funktsiooni mxq.m lk 741 abil.

714 H. Põhivalemite tabelidTabel H.11. Sisejõud surutud vardas (järg 1)Koormus000000000000111111111111 a F0000000000000000000011111111111111111111 b0000 1111i k 00 11lH ik = −F b lH ik = −F a l000000000000111111111111 a 0000000000000000000011111111111111111111 bM0000 1111i k 00 11lH ik = − M LH ki = M Lh T−∆T =T+ −T−T+0000 1111i k 00 11lH ik = 0H ki = 0SH iki0000 1111xM(x) H(x)0 ≤ x ≤ alH kikEI = const 00 111 νbM (x) = F l sin sin νxν sin ν l lQ (x) = F 1 νbsin cos νxsin ν l la ≤ x ≤ l1 νaM (x) = F l sin sin [︁ ν (︁ 1 − x ν sin ν llS)︁]︁Q (x) = −F 1 νasin cos [︁ ν (︁ )︁]︁1 − x ν sin ν ll0 ≤ x ≤ aM (x) = M 1 νbcos sin νxsin ν l lQ (x) = Mνl sin νcosνbla ≤ x ≤ lcos νxlM (x) = −M 1 νacos sin [︁ ν (︁ 1 − x sin ν llQ (x) = Mνl sin νM (x) = EI α T ΔThQ (x) = EI α T ΔThcosνalcos [︁ ν (︁ 1 − x l)︁]︁)︁]︁[︁tanν νxsin + cos νx − 1 ]︁2 ll[︁νl tanν νxcos2 l]︁− sin νxlTabelis H.11 esitatud valemites M (x) ja M ik suunad vastavad teisele märgikokkuleppele.

H.2 Deformatsiooni- ja jõumeetod II järku teoorias 715Tabel H.12. Sisejõud surutud vardas (järg 2)Koormus000000000000111111111111 a 0000000000000000000011111111111111111111 b0000 1111iH ik = 0H ik = 0l∆ϕk 00 11SH iki0000 1111M (x) = EI ν lxM(x) H(x)0 ≤ x ≤ alH kikEI = const 00 111 νbsin sin νx∆φsin ν l lQ (x) = EI (︁ )︁ 2ν 1 νbsin cos νx∆φl sin ν l lM (x) = EI ν la ≤ x ≤ l1 νasin sin [︁ ν (︁ 1 − x sin ν llS)︁]︁∆φQ (x) = −EI (︁ )︁ 2ν 1 νasin cos [︁ ν (︁ )︁]︁1 − x l sin ν ll ∆φ0 ≤ x ≤ aa0000 1111i∆wH ik = 0H ki = 0lbk 00 11M (x) = −EI (︁ )︁ 2ν 1 νbcos sin νx∆wl sin ν l lQ (x) = −EI (︁ )︁ 3ν 1 νbcos cos νx∆wl sin ν l la ≤ x ≤ lM (x) = EI (︁ )︁ 2ν 1 νacos sin [︁ ν (︁ )︁]︁1 − x l sin ν ll ∆wQ (x) = −EI (︁ )︁ 3ν 1 νacos cos [︁ ν (︁ )︁]︁1 − x l sin ν ll ∆wTabelis H.12 esitatud valemites vastavad M (x) ja M ik suunad teisele märgikokkuleppele.

716 H. Põhivalemite tabelid

I. ArvutiprogrammidArvutiprogrammide baas URL-id: file:///D:/, file:///E:/, file:///F:/, file:///S:/,file:///Z:/, file:///media/cdrom0/, file:///media/E OPE/.Arvutiprogrammide kasutamise kohta loe eessõna lk 3.I.1 Tala arvutusProgramm I.1 (lihttala.m) 1 59 – arvutab sisejõudude Q ja M jaotuse tala sildes.Kasutab funktsioone:jaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1) 2 – leiab suurima ühisteguritalaFqSj(NT,L,MA,ML,Fjoud,qkoormus) 3 – sisejõudude jaotus talastabelXQM(TSjT,pealdis) 4 – sisejõudude jaotus talas tabelina.Programm I.2 (talaRajajoud.m) 5 – arvutab sisejõudude Q ja M jaotuse tala sildes.Kasutab funktsioone:ZtalaFqSc(L,EIsuhe,Fjoud,qkoormus) 6 – koormusvektorUlintala Imk(x,GAr,EI) 7 – ülekandemaatriksInsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 8 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN.Programm I.3 (talaRajaSiirded.m) 9 61 – arvutab sisejõudude ja siirete jaotuse talasildes. Kasutab funktsioone:Ulintala ImkSc(L,EIsuhe,GArsuhe)) 10 – ülekandemaatriksZtalaFqSc(L,EIsuhe,Fjoud,qkoormus) 11 – koormusvektorspUlintala ImkSc(L,EIsuhe,GArsuhe) 12 – ülekandemaatriks hõreda maatriksina1 ./octaveProgrammid/lihttala.m2 ./octaveProgrammid/jaotusteArv.m3 ./octaveProgrammid/talaFqSj.m4 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m5 ./octaveProgrammid/talaRajajoud.m6 ./octaveProgrammid/ZtalaFqSc.m7 ./octaveProgrammid/Ulintala_Imk.m8 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m9 ./octaveProgrammid/talaRajaSiirded.m10 ./octaveProgrammid/Ulintala_ImkSc.m11 ./octaveProgrammid/ZtalaFqSc.m12 ./octaveProgrammid/spUlintala_ImkSc.m717

718 I. ArvutiprogrammidInsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 13 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,spInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 14 – asetab hõredasse maatriksisse spA alates reastIM ja veerust JN hõreda maatriksi spBspIN(N,M,Av) 15 – kordajate sisestamine hõredasse maatriksissejaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1) 16 – leiab suurima ühisteguritalaSiireFqSc(NT,L,EIsuhe,GArsuhe,Walg,Fjoud,qkoormus) 17 – sisejõudude jasiirete jaotus talastabelXWfiQM(TSjT,pealdis) 18 – sisejõudude ja siirete jaotus talas tabelinaminMaxGrafSiirded(TSjT) 19 – minimaalsed ning maksimaalsed sisejõudude jasiirete väärtused graafikute telgede valimiseks.Programm I.4 (GerberiTala.m) 20 100 – arvutab sisejõudude jaotuse tala silletes.Kasutab funktsioone:jaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1) 21 – leiab suurima ühisteguritalaFqQaMa(NT,L,QA,MA,Fjoud1,qkoormus1) 22 – sisejõudude jaotus talastabelXQM(TSjT,pealdis) 23 – sisejõudude jaotus talas tabelinaminMaxGrafSisejoud(TSjT) 24 – minimaalsed ning maksimaalsed sisejõududeväärtused graafikute telgede valimiseksProgramm I.5 (spIN(N,M,Av).m) 25 – sisestab hõreda maatriksi elemente. Kasutabglobaalseid muutujaid:global svs; – globaalne muutujaglobal ins; – globaalne muutujaglobal jms; – globaalne muutujaglobal jrknrS; – globaalne muutujakasutab funktsiooni:svinjm(N,M,Av,Jrknr) 26 – aitab sisestada elemente hõredasse maatriksisseProgramm I.6 (spGerberiTala.m) 27 104 – arvutab sisejõudude jaotuse tala silletes.Kasutab hõredat maatriksit ja funktsioone:13 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m14 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m15 ./octaveProgrammid/spIN.m16 ./octaveProgrammid/jaotusteArv.m17 ./octaveProgrammid/talaSiireFqSc.m18 ./octaveProgrammid/tabelXWfiQM.m19 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSiirded.m20 ./octaveProgrammid/GerberiTala.m21 ./octaveProgrammid/jaotusteArv.m22 ./octaveProgrammid/talaFqQaMa.m23 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m24 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSisejoud.m25 ./octaveProgrammid/spIN.m26 ./octaveProgrammid/svinjm.m27 ./octaveProgrammid/spGerberiTala.m

I.2 Kaare arvutus 719spIN(N,M,Av) 28 – sisestab hõreda maatriksi elemente. Kasutab globaalseid muutujaid:global svs; – globaalne muutujaglobal ins; – globaalne muutujaglobal jms; – globaalne muutujaglobal jrknrS; – globaalne muutujajaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1) 29 – leiab suurima ühisteguritalaFqQaMa(NT,L,QA,MA,Fjoud1,qkoormus1) 30 – sisejõudude jaotus talastabelXQM(TSjT,pealdis) 31 – sisejõudude jaotus talas tabelinaminMaxGrafSisejoud(TSjT) 32 – minimaalsed ning maksimaalsed sisejõududeväärtused graafikute telgede valimiseks.Programm I.7 (lihttalaPrbKSjPr.m) 33 338 – arvutab lihttala sisejõude Q ja Mparaboolse jaotusega koormusest. Kasutab funktsiooni:lihttalaPrbKSj(NN,l,qk,qc) 34 – arvutab lihttala sisejõude Q ja M paraboolse jaotusegakoormusest.I.2 Kaare arvutusProgramm I.8 (kaarSjPr30.m) 35 128 – arvutab kaare sisejõudude jaotuse ja survejoone.Kasutab funktsioone:jaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1) 36 – leiab suurima ühisteguritalaFqSj(NT,L,MA,ML,Fjoud,qkoormus) 37 – sisejõudude jaotus lihttalastabelXQM(TSjT,pealdis) 38 – sisejõudude jaotus vastavas lihttalas tabelinakaarPrbSj30(L,Llukk,f,TSj) 39 – sisejõudude jaotus kaares (parabool)kaarRngSj30(L,Llukk,f,TSj) 40 – sisejõudude jaotus kaares (ring)tabelXQMN(SRK,pealdisK) 41 – sisejõudude jaotus kaares tabelinatabelSurveJoon(SRS,pealdisS) 42 – survejoone koordinaadid tabelinaminMaxGrafSisejoud(TSjT) 43 – tala minimaalsed ja maksimaalsed sisejõud28 ./octaveProgrammid/spIN.m29 ./octaveProgrammid/jaotusteArv.m30 ./octaveProgrammid/talaFqQaMa.m31 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m32 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSisejoud.m33 ./octaveProgrammid/lihttalaPrbKSjPr.m34 ./octaveProgrammid/lihttalaPrbKSj.m35 ./octaveProgrammid/kaarSjPr30.m36 ./octaveProgrammid/jaotusteArv.m37 ./octaveProgrammid/talaFqSj.m38 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m39 ./octaveProgrammid/kaarPrbSj30.m40 ./octaveProgrammid/kaarRngSj30.m41 ./octaveProgrammid/tabelXQMN.m42 ./octaveProgrammid/tabelSurveJoon.m43 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSisejoud.m

720 I. ArvutiprogrammidminMaxGrafSiirded(SRG’) 44 – kaare minimaalsed ja maksimaalsed sisejõud.Programm I.9 (kaarSjPrBA.m) 45 132 – arvutab kaare sisejõudude jaotuse ja survejoone.Kasutab funktsioone:jaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1) 46 – leiab suurima ühisteguritalaFqSj(NT,L,MA,ML,Fjoud,qkoormus) 47 – sisejõudude jaotus lihttalastabelXQM(TSjT,pealdis) 48 – sisejõudude jaotus vastavas lihttalas tabelinakaarPrbSj30(L,Llukk,f,TSj) 49 – sisejõudude jaotus kaares (parabool)kaarRngSj30(L,Llukk,f,TSj) 50 – sisejõudude jaotus kaares (ring)tabelXQMN(SRK,pealdisK) 51 – sisejõudude jaotus kaares tabelinatabelSurveJoon(SRS,pealdisS) 52 – survejoone koordinaadid tabelinaminMaxGrafSisejoud(TSjT) 53 – tala minimaalsed ja maksimaalsed sisejõudminMaxGrafSiirded(SRG’) 54 – kaare minimaalsed ja maksimaalsed sisejõud.I.3 Sõrestiku arvutusProgramm I.10 (srstkN1.m) 55 154 – arvutab staatiliselt määratud sõrestiku varrastesisejõude ja koostab mõjujooned.Programm I.11 (srstkNBA.m) 56 158 – arvutab staatiliselt määratud sõrestiku varrastesisejõude ja koostab mõjujooned.I.4 Arvutiprogramme siirete arvutamiseksProgramm I.12 (siireNAB.m) 57 186 – arvutab murtud varda siirded.Programm I.13 (siireNAD.m) 58 201 – arvutab raami siirded.44 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSiirded.m45 ./octaveProgrammid/kaarSjPrBA.m46 ./octaveProgrammid/jaotusteArv.m47 ./octaveProgrammid/talaFqSj.m48 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m49 ./octaveProgrammid/kaarPrbSj30.m50 ./octaveProgrammid/kaarRngSj30.m51 ./octaveProgrammid/tabelXQMN.m52 ./octaveProgrammid/tabelSurveJoon.m53 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSisejoud.m54 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSiirded.m55 ./octaveProgrammid/srstkN1.m56 ./octaveProgrammid/srstkNBA.m57 ./octaveProgrammid/siireNAB.m58 ./octaveProgrammid/siireNAD.m

I.5 Esimest järku teooria ülekandemaatriksid 721I.5 Esimest järku teooria ülekandemaatriksidProgramm I.14 (ylfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 59 397, 407, 693 – leiab ülekandemaatriksiI järku teoorias, II märgikokkulepe, kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritakse varrastejäikused.Programm I.15 (ylTfhlin(baasi0,x,GAr,EJ)) 60 – leiab tala ülekandemaatriksi(IImkl) I järku teoorias, II märgikokkulepe, kusGAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritakse varrastejäikused.Programm I.16 (ylSfhlin(x)) 61 444 – leiab ülekandemaatriksi 3 liigendiga raamiarvutamiseks, II märgikokkulepe.Programm I.17 (ylSTfhlin(x)) 62 453 – leiab ülekandemaatriksi Gerberi tala arvutamiseks,II märgikokkulepe.Programm I.18 (yzhqz(baasi0,x,qx,qz,EA,EJ)) 63 396, 398, 407, 694 – leiabkoormusvektori jaotatud koormusest I järku teoorias, II märgikokkuleppe järgi, kusqx – ühtlaselt jaotatud pikikoormus,qz – ühtlaselt jaotatud põikkoormus,EA – ristlõike pikijäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritakse varrastejäikused.Programm I.19 (yzThqz(baasi0,x,qz,EJ))) 64 435, 694 – leiab tala koormusvektorijaotatud koormusest I järku teoorias, II märgikokkuleppe järgi, kusqz – ühtlaselt jaotatud põikkoormus,EA – ristlõike pikijäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritakse varrastejäikused.59 ./octaveProgrammid/ylfhlin.m60 ./octaveProgrammid/ylTfhlin.m61 ./octaveProgrammid/ylSfhlin.m62 ./octaveProgrammid/ylSTfhlin.m63 ./octaveProgrammid/yzhqz.m64 ./octaveProgrammid/yzThqz.m

722 I. ArvutiprogrammidProgramm I.20 (yzShqz(x,qx,qz)) 65 443, 694 – arvutab 3 liigendiga raami koormusvektoriühtlaselt jaotatud koormuse puhul, II märgikokkuleppe järgi, kusqx – ühtlaselt jaotatud pikikoormus,qz – ühtlaselt jaotatud põikkoormus.Programm I.21 (yzSThqz(x,qz)) 66 452, 695 – arvutab Gerberi tala koormusvektorijaotatud koormuse EST-meetodis, II märgikokkuleppe järgi, kusqz – ühtlaselt jaotatud põikkoormus.Programm I.22 (yzfzv(baasi0,x,a,Fx,Fz,EA,EJ)) 67 396, 398, 407, 694 – leiabkoormusvektori koondatud jõust I järku teoorias, II märgikokkuleppe järgi, kusFx – koondatud pikijõud,Fz – koondatud põikjõud,a – koondatud jõu Fx/Fz kaugus varda algusest,EA – ristlõike pikijäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritakse varrastejäikused.Programm I.23 (yzTfzv(baasi0,x,a,Fz,EJ)) 68 435, 694 – leiab tala koormusvektorikoondatud jõust I järku teoorias, II märgikokkuleppe järgi, kusFz – koondatud põikjõud,a – koondatud jõu Fz kaugus varda algusest,EA – ristlõike pikijäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritakse varrastejäikused.Programm I.24 (yzSfzv(x,a,Fx,Fz)) 69 443, 694 – arvutab 3 liigendiga raami koormusvektorikoondatud jõust EST-meetodis, II märgikokkuleppe järgi, kusFx – koondatud pikijõud,Fz – koondatud põikjõud,a – koondatud jõu Fx/Fz kaugus varda algusest.Programm I.25 (yzSTfzv(x,a,Fz)) 70 452, 695 – arvutab Gerberi tala koormusvektorikoondatud jõust EST-meetodis, II märgikokkuleppe järgi, kusFz – koondatud põikjõud,a – koondatud jõu Fx/Fz kaugus varda algusest.65 ./octaveProgrammid/yzShqz.m66 ./octaveProgrammid/yzSThqz.m67 ./octaveProgrammid/yzfzv.m68 ./octaveProgrammid/yzTfzv.m69 ./octaveProgrammid/yzSfzv.m70 ./octaveProgrammid/yzSTfzv.m

I.5 Esimest järku teooria ülekandemaatriksid 723– leiab ülekandemaatriksi I järku teoo-Programm I.26 (ylflin(x,EA,GAr,EJ)) 71rias, II märgikokkulepe, kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus.Programm I.27 (yzqz(x,q,EJ))) 72 – leiab koormusvektori jaotatud koormusest Ijärku teoorias, II, I märgikokkulepe, kusq – jaotatud koormus,EJ – ristlõike paindejäikus.Programm I.28 (yzfz(x,a,Fx,Fz,EA,EJ)) 73jõust I järku teoorias, II märgikokkulepe, kusFx – koondatud pikijõud,Fz – koondatud põikjõud,a – koondatud jõu Fx/Fz kaugus varda algusest,EA – ristlõike pikijäikus,EJ – ristlõike paindejäikus.– leiab koormusvektori koondatudProgramm I.29 (ysplfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ)) 74 397, 693 – koostab hõredaülekandemaatriksi lineaarses teoorias võrrandisüsteemi koostamiseks, II märgikokkulepe,Zp=F*Zv, Zp’=[Up Wp Fip Np Qp Mp], kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,x – varda ristlõike koordinaat,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused.Programm I.30 (yspTlfhlin(baasi0,x,GAr,EJ)) 75 435, 693 – koostab tala hõredaülekandemaatriksi (IImkl) lineaarses teoorias võrrandisüsteemi koostamiseks, II märgikokkulepe,Zp=F*Zv, Zp’=[Wp Fip Qp Mp], kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,x – varda ristlõike koordinaat,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused.71 ./octaveProgrammid/ylflin.m72 ./octaveProgrammid/yzqz.m73 ./octaveProgrammid/yzfz.m74 ./octaveProgrammid/ysplfhlin.m75 ./octaveProgrammid/yspTlfhlin.m

724 I. ArvutiprogrammidProgramm I.31 (yspSlfhlin(x)) 76 443, 693 – koostab hõreda ülekandemaatriksi 3liigendiga raami arvutamiseks, II märgikokkulepe, Zp=F*Zv, Zp’=[Np Qp Mp], kusx – varda ristlõike koordinaat.Programm I.32 (yspSTlfhlin(x)) 77 452, 694 – koostab hõreda ülekandemaatriksiGerberi tala arvutamiseks, II märgikokkulepe, Zp=F*Zv, Zp’=[Qp Mp], kusx – varda ristlõike koordinaat.Programm I.33 (ysplvfmhvI(baasi0,x,l,EA,GAr,EJ)) 78 395, 398 – koostab hõredaülekandemaatriksi I järku teoorias võrrandisüsteemi koostamiseks, II märgikokkulepe,Zp=F*Zv, Zp’=[Up Wp Fip Np Qp Mp], kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,x – varda ristlõike koordinaat,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused. Kasutab funktsioone:ysplfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 79 – hõre ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodisspInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 80 – asetab hõredasse maatriksisse spA alates reastIM ja veerust JN hõreda maatriksi spB.Programm I.34 (yspTlvfmhvI(baasi0,x,l,GAr,EJ)) 81 435, 693 – koostab talahõreda ülekandevõrrandi I-U (IImkl) I järku teoorias võrrandisüsteemi koostamiseks, IImärgikokkulepe, Zp=F*Zv, Zp’=[Wp Fip Qp Mp], kusGAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,x – varda ristlõike koordinaat,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused. Kasutab funktsioone:yspTlfhlin(baasi0,x,GAr,EJ) 82 – tala hõre ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodisspInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 83 – asetab hõredasse maatriksisse spA alates reastIM ja veerust JN hõreda maatriksi spB.Programm I.35 (yspSlvfmhvI(x)) 84 443, 693 – koostab 3 liigendiga raami ülekandevõrrandidhõreda maatriksina, II märgikokkulepe, kus x – varda ristlõike koordinaat.76 ./octaveProgrammid/yspSlfhlin.m77 ./octaveProgrammid/yspSTlfhlin.m78 ./octaveProgrammid/ysplvfmhvI.m79 ./octaveProgrammid/ysplfhlin.m80 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m81 ./octaveProgrammid/yspTlvfmhvI.m82 ./octaveProgrammid/yspTlfhlin.m83 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m84 ./octaveProgrammid/yspSlvfmhvI.m

I.5 Esimest järku teooria ülekandemaatriksid 725Kasutab funktsioone:yspSlfhlin(x) 85 – koostab hõreda ülekandemaatriksi 3 liigendiga raami arvutamiseks,spInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 86 – asetab hõredasse maatriksisse spA alates reastIM ja veerust JN hõreda maatriksi spB.Programm I.36 (yspSTlvfmhvI(x)) 87 452, 694 – koostab Gerberi tala ülekandevõrrandidhõreda maatriksina, II märgikokkulepe, kus x – varda ristlõike koordinaat.Kasutab funktsioone:yspSTlfhlin(x) 88 – koostab hõreda ülekandemaatriksi 3 liigendiga raami arvutamiseks,spInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 89 – asetab hõredasse maatriksisse spA alates reastIM ja veerust JN hõreda maatriksi spB.Programm I.37 (yspSRmhvI(baasi0,Li,EA)) 90 386, 696 – koostab sõrestiku vardaülekandevõrrandid hõreda maatriksina, II märgikokkulepe, kus Li – varda pikkus.m.Kasutab funktsioone:yspSRhlin(baasi0,x,EA) 91 – koostab hõreda ülekandemaatriksi sõrestiku vardale,spInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 92 – asetab hõredasse maatriksisse spA alates reastIM ja veerust JN hõreda maatriksi spB.Programm I.38 (yspSRhlin(baasi0,x,EA)) 93 386, 696 – koostab sõrestiku vardahõreda ülekandemaatriksi (IImkl) lineaarses teoorias, kusEA – ristlõike pikijäikus,x – varda ristlõike koordinaat,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused.Programm I.39 (srstkESTPY.m) 94 388, 391 – arvutab EST-meetodiga sõrestiku.Kasutab funktsioone:yspSRmhvI(baasi0,Li,EA) 95 – koostab sõrestiku varda ülekandevõrrandid hõredamaatriksina,yspSRhlin(baasi0,x,EA) 96 – koostab sõrestiku varda ülekandemaatriksi,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 97 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredasse85 ./octaveProgrammid/yspSlfhlin.m86 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m87 ./octaveProgrammid/yspSTlvfmhvI.m88 ./octaveProgrammid/yspSlfhlin.m89 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m90 ./octaveProgrammid/yspSRmhvI.m91 ./octaveProgrammid/yspSRhlin.m92 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m93 ./octaveProgrammid/yspSRhlin.m94 ./octaveProgrammid/srstkESTPY.m95 ./octaveProgrammid/yspSRmhvI.m96 ./octaveProgrammid/yspSRhlin.m97 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m

726 I. Arvutiprogrammidmaatriksisse spA algusega IIv,IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 98 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv, jv,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 99 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN.Programm I.40 (spTalaVarrasESTR.m) 100 460 – arvutab EST-meetodiga talakoos sõrestikuga. Kasutab funktsioone:yspSRmhvI(baasi0,Li,EA) 101 – koostab sõrestiku varda ülekandevõrrandid hõredamaatriksina,yspSRhlin(baasi0,x,EA) 102 – koostab sõrestiku varda ülekandemaatriksi,ysplvfmhvI(baasi0,Li,Li,EA,GAr,EI) 103 – koostab raami varda ülekandevõrrandidhõreda maatriksina,ysplfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ)) 104 – koostab ülekandevõrrandid maatriksina,yzhqz(baasi0,Li,qx,qz,EA,EI) 105 – arvutab raami varda ühtlaselt jaotatud koormuseI järku teoorias,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 106 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv,IJvspSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 107 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv, jv,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 108 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN.Programm I.41 (InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N)) 109 398, 596, 615 – paigutabmaatriksisse A(I,J) alates reast IM ja veerust JN maatriksi B(M,N).Programm I.42 (spInsertBtoA(spA,IM,JN,spB)) 110 403, 596, 650 – paigutabmaatriksisse spA(I,J) alates reast IM ja veerust JN maatriksi spB(M,N).– paigutab maat-Programm I.43 (spSisestaArv(spA,iv,jv,sv)) 111 403, 406, 600riksisse spA(I,J) alates reast iv ja veerust jv arvu sv.Programm I.44 (remRowIRfromA(A,I,J,IR)) 112 373 – eemaldab maatriksistA(I,J) rea IR .98 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m99 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m100 ./octaveProgrammid/spTalaVarrasESTR.m101 ./octaveProgrammid/yspSRmhvI.m102 ./octaveProgrammid/yspSRhlin.m103 ./octaveProgrammid/ysplvfmhvI.m104 ./octaveProgrammid/ysplfhlin.m105 ./octaveProgrammid/yzhqz.m106 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m107 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m108 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m109 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m110 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m111 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m112 ./octaveProgrammid/remRowIRfromA.m

I.5 Esimest järku teooria ülekandemaatriksid 727Programm I.45 (remColJRfromA(A,I,J,JR)) 113 373 – eemaldab maatriksistA(I,J) veeru JR .Programm I.46 (ESTtalaKrmus(baasi0,xx,Li,Fjoud,qkoormus,EI)) 114435, 694 – arvutab tala koormusvektori EST-meetodis (q + F). Kasutab funktsioone:yzThqz(baasi0,x,qz,EJ) 115 – arvutab tala ühtlaselt jaotatud koormuse I järku teoorias,yzTfzv(baasi0,x,a,Fz,EJ) 116 – arvutab tala koondatud jõust koormuse I järku teoorias.Programm I.47 (ESTSKrmus(xx,Li,Fjoud,qkoormus)) 117 443, 694 – arvutabkoormusvektori EST-meetodis (q + F) kolme liigendiga raamile. Kasutab funktsioone:yzShqz(x,qx,qz) 118 – arvutab 3 liigendiga raami koormusvektori ühtlaselt jaotatudkoormusest,yzSfzv(x,a,Fx,Fz) 119 – arvutab 3 liigendiga raami koormusvektori koondatudjõust.Programm I.48 (ESTSTKrmus(xx,Li,Fjoud,qkoormus))) 120 452, 695 –arvutab koormusvektori EST-meetodis (q + F) Gerberi talale. Kasutab funktsioone:yzSThqz(x,qz) 121 – arvutab Gerberi tala koormusvektori ühtlaselt jaotatud koormusest,yzSTfzv(x,a,Fz) 122 – arvutab Gerberi talale koormusvektori koondatud jõust.Programm I.49 (SisejoudPunktis.m)SisejoudPunktis(VardaNr,X,AlgPar,lvarras,selem,qxZ,qzZ,aLXx,FZz,FZx,suurused)123 429 – arvutab ja trükib varda ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X.Programm I.50 (SisejoudTalaPunktis.m)SisejoudTalaPunktis(VardaNr,X,AlgPar,lvarras,selem,esFjoud,esQkoormus,suurused) 124439 – arvutab ja trükib tala ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X. Kasutab funktsioone:ESTtalaKrmus(baasi0,xx,Li,Fjoud,qkoormus,EI) 125 – arvutab tala koormuse(q + F) I järku teoorias.113 ./octaveProgrammid/remColJRfromA.m114 ./octaveProgrammid/ESTtalaKrmus.m115 ./octaveProgrammid/yzThqz.m116 ./octaveProgrammid/yzTfzv.m117 ./octaveProgrammid/ESTSKrmus.m118 ./octaveProgrammid/yzShqz.m119 ./octaveProgrammid/yzSfzv.m120 ./octaveProgrammid/ESTSTKrmus.m121 ./octaveProgrammid/yzSThqz.m122 ./octaveProgrammid/yzSTfzv.m123 ./octaveProgrammid/SisejoudPunktis.m124 ./octaveProgrammid/SisejoudTalaPunktis.m125 ./octaveProgrammid/ESTtalaKrmus.m

728 I. ArvutiprogrammidProgramm I.51 (Sisejoud3LraamiPnktis.m)Sisejoud3LraamiPnktis(3,Lpunkt,AlgPar,lvarras,esFjoud,esQkoormus,suurused) 126446 – arvutab ja trükib 3 liigendiga raami ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X. Kasutabfunktsioone:ESTSKrmus(xx,Li,Fjoud,qkoormus) 127 – arvutab koormusvektori EST-meetodis(q + F) kolme liigendiga raamile.Programm I.52 (SsjoudGrbrTalaPnktis.m)SsjoudGrbrTalaPnktis(VardaNr,X,AlgPar,lvarras,esFjoud,esQkoormus,suurused) 128455 – arvutab ja trükib Gerberi tala ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X. Kasutab funktsioone:ESTSTKrmus(xx,Li,Fjoud,qkoormus) 129 – arvutab koormusvektori EST-meetodis(q + F) Gerberi talale.Programm I.53 (spRaamEST.m) 130 399, 406, 407, 410, 413 – arvutab raami ESTmeetodigalineaarses teoorias. Kasutab funktsioone:ysplvfmhvI(baasi0,Li,Li,EA,GAr,EI) 131 – koostab ülekandevõrrandid hõredamaatriksina,ysplfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ)) 132 – koostab ülekandevõrrandid maatriksina,yzhqz(baasi0,Li,qx,qz,EA,EI) 133 – arvutab ühtlaselt jaotatud koormuse I järkuteoorias,yzfzv(baasi0,Li,aLx,Fx,Fz,EA,EI) 134 – arvutab koondatud jõust koormuse I järkuteoorias,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 135 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 136 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv,jv,ylfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 137 – ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodis,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 138 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN.Programm I.54 (spRaamEST77.m) 139 425, 429lineaarses teoorias. Kasutab funktsioone:– arvutab raami EST-meetodiga126 ./octaveProgrammid/Sisejoud3LraamiPnktis.m127 ./octaveProgrammid/ESTSKrmus.m128 ./octaveProgrammid/SsjoudGrbrTalaPnktis.m129 ./octaveProgrammid/ESTSTKrmus.m130 ./octaveProgrammid/spRaamEST.m131 ./octaveProgrammid/ysplvfmhvI.m132 ./octaveProgrammid/ysplfhlin.m133 ./octaveProgrammid/yzhqz.m134 ./octaveProgrammid/yzfzv.m135 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m136 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m137 ./octaveProgrammid/ylfhlin.m138 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m139 ./octaveProgrammid/spRaamEST77.m

I.5 Esimest järku teooria ülekandemaatriksid 729ysplvfmhvI(baasi0,Li,Li,EA,GAr,EI) 140 – koostab ülekandevõrrandid hõredamaatriksina,ysplfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ)) 141 – koostab ülekandevõrrandid maatriksina,ESTSKrmus(x,L,Fjoud,qkoormus) 142 – arvutab koormusvektori EST-meetodis(q + F) 3 liigendiga raamile,yzhqz(baasi0,Li,qx,qz,EA,EI) 143 – arvutab ühtlaselt jaotatud koormuse I järkuteoorias,yzfzv(baasi0,Li,aLx,Fx,Fz,EA,EI) 144 – arvutab koondatud jõust koormuse I järkuteoorias,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 145 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 146 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv, jv,ylfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 147 – ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodis,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 148 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,SisejoudPunktis(VardaNr,X,AlgPar,lvarras,selem,qxZ,qzZ,aLXx,FZz,FZx,suurused)149 – arvutab ja trükib varda ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X.Programm I.55 (sp3liigendRaamEST.m) 150 444, 444 – arvutab 3 liigendiga raamiEST-meetodiga. Kasutab funktsioone:yspSlvfmhvI(x) 151 – koostab 3 liigendiga raami ülekandevõrrandid hõreda maatriksina,yspSlfhlin(x) 152 – koostab 3 liigendiga raami ülekandevõrrandid maatriksina,ESTSKrmus(x,L,Fjoud,qkoormus) 153 – arvutab koormusvektori EST-meetodis(q + F) 3 liigendiga raamile,yzShqz(x,qx,qz) 154 – arvutab 3 liigendiga raami koormusvektori ühtlaselt jaotatudkoormusest,yzSfzv(x,a,Fx,Fz) 155 – arvutab 3 liigendiga raami koormusvektori koondatudjõust,140 ./octaveProgrammid/ysplvfmhvI.m141 ./octaveProgrammid/ysplfhlin.m142 ./octaveProgrammid/ESTSKrmus.m143 ./octaveProgrammid/yzhqz.m144 ./octaveProgrammid/yzfzv.m145 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m146 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m147 ./octaveProgrammid/ylfhlin.m148 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m149 ./octaveProgrammid/SisejoudPunktis.m150 ./octaveProgrammid/sp3liigendRaamEST.m151 ./octaveProgrammid/yspSlvfmhvI.m152 ./octaveProgrammid/yspSlfhlin.m153 ./octaveProgrammid/ESTSKrmus.m154 ./octaveProgrammid/yzShqz.m155 ./octaveProgrammid/yzSfzv.m

730 I. ArvutiprogrammidspInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 156 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 157 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv, jv,ylSfhlin(x) 158 – ülekandemaatriks 3 liigendiga raami arvutamiseks,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 159 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,Sisejoud3LraamiPnktis(VardaNr,X, AlgPar,lvarras, esFjoud,esQkoormus,suurused)160 – arvutab ja trükib 3 liigendiga raami ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X.Programm I.56 (spRaam3EST.m) 161 – arvutab 3 liigendiga raami EST-meetodiga.Kasutab funktsioone:yspSlvfmhvI(x) 162 – koostab 3 liigendiga raami ülekandevõrrandid hõreda maatriksina,yspSlfhlin(x) 163 – koostab 3 liigendiga raami ülekandevõrrandid maatriksina,ESTSKrmus(x,L,Fjoud,qkoormus) 164 – arvutab koormusvektori EST-meetodis(q + F) 3 liigendiga raamile,yzShqz(x,qx,qz) 165 – arvutab 3 liigendiga raami koormusvektori ühtlaselt jaotatudkoormusest,yzSfzv(x,a,Fx,Fz) 166 – arvutab 3 liigendiga raami koormusvektori koondatudjõust,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 167 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 168 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv, jv,ylSfhlin(x) 169 – ülekandemaatriks 3 liigendiga raami arvutamiseks,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 170 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,Sisejoud3LraamiPnktis(VardaNr,X, AlgPar,lvarras, esFjoud,esQkoormus,suurused)171 – arvutab ja trükib 3 liigendiga raami ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X.Programm I.57 (spGerberTalaEST.m) 172 452, 451, 455– arvutab Gerberi tala156 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m157 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m158 ./octaveProgrammid/ylSfhlin.m159 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m160 ./octaveProgrammid/Sisejoud3LraamiPnktis.m161 ./octaveProgrammid/spRaam3EST.m162 ./octaveProgrammid/yspSlvfmhvI.m163 ./octaveProgrammid/yspSlfhlin.m164 ./octaveProgrammid/ESTSKrmus.m165 ./octaveProgrammid/yzShqz.m166 ./octaveProgrammid/yzSfzv.m167 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m168 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m169 ./octaveProgrammid/ylSfhlin.m170 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m171 ./octaveProgrammid/Sisejoud3LraamiPnktis.m172 ./octaveProgrammid/spGerberTalaEST.m

I.5 Esimest järku teooria ülekandemaatriksid 731EST-meetodiga. Kasutab funktsioone:yspSTlvfmhvI(x) 173 – koostab Gerberi tala ülekandevõrrandid hõreda maatriksina,yspSTlfhlin(x) 174 – koostab 3 liigendiga raami ülekandevõrrandid maatriksina,ESTSTKrmus(x,L,Fjoud,qkoormus) 175 – arvutab koormusvektori EST-meetodis(q + F) Gerberi talale,yzSThqz(x,qz) 176 – arvutab Gerberi tala koormusvektori ühtlaselt jaotatud koormusest,yzSTfzv(x,a,Fz) 177 – arvutab Gerberi tala koormusvektori koondatud jõust,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 178 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 179 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv, jv,yspSTlfhlin(x) 180 – koostab hõreda ülekandemaatriksi Gerberi tala arvutamiseks,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 181 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,SsjoudGrbrTalaPnktis(VardaNr,X,AlgPar,lvarras,esFjoud,esQkoormus,suurused)182 – arvutab ja trükib Gerberi tala ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X.Programm I.58 (spRaamEST93.m) 183 420, 421 – arvutab raami EST-meetodigalineaarses teoorias. Kasutab funktsioone:ysplvfmhvI(baasi0,Li,Li,EA,GAr,EI) 184 – koostab ülekandevõrrandid hõredamaatriksina,ysplfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ)) 185 – koostab ülekandevõrrandid maatriksina,yzhqz(baasi0,Li,qx,qz,EA,EI) 186 – arvutab ühtlaselt jaotatud koormuse I järkuteoorias,yzfzv(baasi0,Li,aLx,Fx,Fz,EA,EI) 187 – arvutab koondatud jõust koormuse I järkuteoorias,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 188 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,173 ./octaveProgrammid/yspSTlvfmhvI.m174 ./octaveProgrammid/yspSTlfhlin.m175 ./octaveProgrammid/ESTSTKrmus.m176 ./octaveProgrammid/yzSThqz.m177 ./octaveProgrammid/yzSTfzv.m178 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m179 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m180 ./octaveProgrammid/yspSTlfhlin.m181 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m182 ./octaveProgrammid/SsjoudGrbrTalaPnktis.m183 ./octaveProgrammid/spRaamEST93.m184 ./octaveProgrammid/ysplvfmhvI.m185 ./octaveProgrammid/ysplfhlin.m186 ./octaveProgrammid/yzhqz.m187 ./octaveProgrammid/yzfzv.m188 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m

732 I. ArvutiprogrammidspSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 189 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv,jv,ylfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 190 – ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodis,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 191 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN.Programm I.59 (spTalaEST.m) 192 437, 439, 439 – arvutab raami EST-meetodigalineaarses teoorias. Kasutab funktsioone:yspTlvfmhvI(baasi0,x,l,GAr,EJ) 193 – koostab tala ülekandevõrrandid hõredamaatriksina,yspTlfhlin(baasi0,x,GAr,EJ) 194 – koostab tala hõreda ülekandemaatriksi,yzThqz(baasi0,x,qz,EJ) 195 – arvutab tala ühtlaselt jaotatud koormuse I järku teoorias,yzTfzv(baasi0,x,a,Fz,EJ) 196 – arvutab tala koondatud jõust koormuse I järku teoorias,ESTtalaKrmus(baasi0,xx,Li,Fjoud,qkoormus,EI) 197 – arvutab tala koormuse(q + F) I järku teoorias,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 198 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 199 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv, jv,ylTfhlin(baasi0,x,GAr,EJ) 200 – ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodis,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 201 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,SisejoudTalaPunktis(VardaNr,X,AlgPar,lvarras,selem,esFjoud,esQkoormus,suurused)202 – arvutab ja trükib varda ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X.I.6 Raami arvutus. JõumeetodProgramm I.60 (joumNR3.m) 203määramatus raamis.229 – arvutab paindemomendid 2× staatikaga189 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m190 ./octaveProgrammid/ylfhlin.m191 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m192 ./octaveProgrammid/spTalaEST.m193 ./octaveProgrammid/yspTlvfmhvI.m194 ./octaveProgrammid/yspTlfhlin.m195 ./octaveProgrammid/yzThqz.m196 ./octaveProgrammid/yzTfzv.m197 ./octaveProgrammid/ESTtalaKrmus.m198 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m199 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m200 ./octaveProgrammid/ylTfhlin.m201 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m202 ./octaveProgrammid/SisejoudTalaPunktis.m203 ./octaveProgrammid/joumNR3.m

I.7 Jätkuvtala arvutus 733Programm I.61 (joumNAq.m) 204määramatus raamis.418 – arvutab paindemomendid 3× staatikagaProgramm I.62 (joumNA4q.m) 205 433 – arvutab paindemomendid 4× staatikagamääramatus raamis.I.7 Jätkuvtala arvutusProgramm I.63 (spTundmatudVorrandid.m) 206 209 – arvutab sisejõudude ja siiretejaotuse jätkuvtala sildes. Kasutab funktsioone:ZtalaFqSc(L,EIsuhe,Fjoud,qkoormus) 207 – koormusvektorspUlintala ImkSc(L,EIsuhe,GArsuhe) 208 – ülekandemaatriks hõreda maatriksinaInsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 209 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,spIN(N,M,Av) 210 – sisestab hõreda maatriksi elemente. Kasutab globaalseid muutujaid:global svs; – globaalne muutujaglobal ins; – globaalne muutujaglobal jms; – globaalne muutujaglobal jrknrS; – globaalne muutujaspInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 211 – asetab hõredasse maatriksisse spA alatesreast IM ja veerust JN hõreda maatriksi spBjaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1) 212 – leiab suurima ühisteguritalaSiireFqSc(NT,L,EIsuhe,GArsuhe,Walg,Fjoud,qkoormus) 213 – sisejõudude jasiirete jaotus talastabelXWfiQM(TSjT,pealdis) 214 – sisejõudude ja siirete jaotus talas tabelinaminMaxGrafSiirded(TSjT) 215 – sisejõudude ja siirete minimaalsed ning maksimaalsedväärtused graafikute telgede valimiseks.Programm I.64 (spTundmatudVorrandidII.m) 216 212 – arvutab sisejõudude jasiirete jaotuse jätkuvtala sildes II märgikokkuleppega. Kasutab funktsioone:ZtalaFqSc(L,EIsuhe,Fjoud,qkoormus) 217 – koormusvektor204 ./octaveProgrammid/joumNAq.m205 ./octaveProgrammid/joumNA4q.m206 ./octaveProgrammid/spTundmatudVorrandid.m207 ./octaveProgrammid/ZtalaFqSc.m208 ./octaveProgrammid/spUlintala_ImkSc.m209 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m210 ./octaveProgrammid/spIN.m211 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m212 ./octaveProgrammid/jaotusteArv.m213 ./octaveProgrammid/talaSiireFqSc.m214 ./octaveProgrammid/tabelXWfiQM.m215 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSiirded.m216 ./octaveProgrammid/spTundmatudVorrandidII.m217 ./octaveProgrammid/ZtalaFqSc.m

734 I. ArvutiprogrammidspUlintala ImkSc(L,EIsuhe,GArsuhe) 218 – ülekandemaatriks hõreda maatriksinaInsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 219 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,spIN(N,M,Av) 220 – sisestab hõreda maatriksi elemente. Kasutab globaalseid muutujaid:global svs; – globaalne muutujaglobal ins; – globaalne muutujaglobal jms; – globaalne muutujaglobal jrknrS; – globaalne muutujaspInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 221 – asetab maatriksisse A(I,J) alates reast IM javeerust JN maatriksi B(M,N)jaotusteArv(L,Fjoud1,qkoormus1) 222 – leiab suurima ühisteguritalaSiireFqSc(NT,L,EIsuhe,GArsuhe,Walg,Fjoud,qkoormus) 223 – sisejõudude jasiirete jaotus talastabelXWfiQM(TSjT,pealdis) 224 – sisejõudude ja siirete jaotus talas tabelinaminMaxGrafSiirded(TSjT) 225 – sisejõudude ja siirete minimaalsed ning maksimaalsedväärtused graafikute telgede valimiseks.Funktsioon I.1 (afbfikt1.m) 226 255, 271afbfikt1(l,F1,aF1,F2,aF2,qz,aqA,aqL,EI,EIo) – jätkuvtala fiktiivsete toereaktsioonide6*Af ja 6*Bf arvutamise programm, võtab arvesse 2 koondatud jõudu aF1, aF2 ja ühejaotatud koormuse.Funktsioon I.2 (fooksuhe.m) 227 263 fooksuhe(N,lv,kvs,kps,EI,EIo) – jätkuvtalafookussuhete arvutamise programm.Funktsioon I.3 (toemom1.m) 228 263toemom1(l,kv,kp,F1,aF1,F2,aF2,qz,aqA,aqL,EI,EIo) – jätkuvtala toemomentide arvutus,võtab arvesse 2 koondatud jõudu aF1, aF2 ja ühe jaotatud koormuse qz.Programm I.65 (jtalaNBA.m) 229 269, 276 – arvutab jätkuvtala M ja Q. Kasutabfunktsioone:afbfikt1(l,F1,aF1,F2,aF2,qz,aqA,aqL,EI,EIo) 230 – jätkuvtala fiktiivsete toereaktsioonide6*Af ja 6*Bf arvutamise funktsioon.218 ./octaveProgrammid/spUlintala_ImkSc.m219 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m220 ./octaveProgrammid/spIN.m221 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m222 ./octaveProgrammid/jaotusteArv.m223 ./octaveProgrammid/talaSiireFqSc.m224 ./octaveProgrammid/tabelXWfiQM.m225 ./octaveProgrammid/minMaxGrafSiirded.m226 ./octaveProgrammid/afbfikt1.m227 ./octaveProgrammid/fooksuhe.m228 ./octaveProgrammid/toemom1.m229 ./octaveProgrammid/jtalaNBA.m230 ./octaveProgrammid/afbfikt1.m

I.8 Deformatsioonimeetodiga arvutus 735fooksuhe(N,lv,kvs,kps,EI,EIo) 231 – jätkuvtala fookussuhete arvutamise funktsioon.toemom1(l,kv,kp,F1,aF1,F2,aF2,qz,aqA,aqL,EI,EIo) 232 – jätkuvtala toemomentidearvutus.jtalaXQMSj(NT,L,MA,ML,Fjoud,qkoormus) 233 – arvutab sisejõudude Q ja Mjaotuse tala sildes.jtalaSuurimadM(XQMq,XQMff,XQMf) 234 – arvutab suurimad paindemomendid.tabelXMMM(jtS,nimetus) 235 – trükib välja koordinaadi x ning sisejõud Q ja M.tabelXQM(TSjT,pealdis) 236 – sisejõudude jaotus vastavas lihttalas tabelina.Programm I.66 (jtala1kLEM.m) 237 379 – arvutab jätkuvtala M ja Q kolme momendivõrrandiga. Kasutab funktsioone:afbfikt1(l,F1,aF1,F2,aF2,qz,aqA,aqL,EI,EIo) 238 – jätkuvtala fiktiivsete toereaktsioonide6*Af ja 6*Bf arvutamise funktsioon.jtalaXQMSj(NT,L,MA,ML,Fjoud,qkoormus) 239 – arvutab sisejõudude Q ja Mjaotuse tala sildes.tabelXQM(TSjT,pealdis) 240 – sisejõudude jaotus vastavas lihttalas tabelina.I.8 Deformatsioonimeetodiga arvutusProgramm I.67 (defRaamN.m) 241 298 – arvutab varrastes M ja Q. Kasutab funktsioone:kinnmom1(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 242 – kinnitusmomendid koormusest; kinnivasakul ja paremalkinnmom2(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 243 – kinnitusmomendid koormusest; kinnivasakulkinnmom3(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 244 – kinnitusmomendid koormusest; kinni paremaljtalaXQMSj(NT,L,MA,ML,Fjoud,qkoormus) 245 – arvutab sisejõudude Q ja Mjaotuse tala sildes231 ./octaveProgrammid/fooksuhe.m232 ./octaveProgrammid/toemom1.m233 ./octaveProgrammid/jtalaXQMSj.m234 ./octaveProgrammid/jtalaSuurimadM.m235 ./octaveProgrammid/tabelXMMM.m236 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m237 ./octaveProgrammid/jtala1kLEM.m238 ./octaveProgrammid/afbfikt1.m239 ./octaveProgrammid/jtalaXQMSj.m240 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m241 ./octaveProgrammid/defRaamN.m242 ./octaveProgrammid/kinnmom1.m243 ./octaveProgrammid/kinnmom2.m244 ./octaveProgrammid/kinnmom3.m245 ./octaveProgrammid/jtalaXQMSj.m

736 I. ArvutiprogrammidtabelXQM(SjT,krmus) 246 – trükib välja koordinaadi x ning sisejõud Q ja M.Programm I.68 (defNBA.m) 247 304, 308 – arvutab kolmekordselt geomeetriliseltmääramatu raami varrastes M ja Q. Kasutab funktsioone:kinnmom1(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 248 – kinnitusmomendid koormusest; kinnivasakul ja paremalkinnmom2(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 249 – kinnitusmomendid koormusest; kinnivasakulkinnmom3(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 250 – kinnitusmomendid koormusest; kinni paremaljtalaXQMSj(NT,L,MA,ML,Fjoud,qkoormus) 251 – arvutab sisejõudude Q ja Mjaotuse tala sildestabelXQM(SjT,krmus) 252 – trükib välja koordinaadi x ning sisejõud Q ja M.Programm I.69 (defNBAest.m) 253 609 – arvutab neljakordselt geomeetriliseltmääramatu raami varrastes M ja Q. Kasutab funktsioone:kinnmom1(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 254 – kinnitusmomendid koormusest; kinnivasakul ja paremalkinnmom2(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 255 – kinnitusmomendid koormusest; kinnivasakulkinnmom3(l,F1,aF1,F2,aF2,qz) 256 – kinnitusmomendid koormusest; kinni paremal.Programm I.70 (kinnmom1(l,F1,aF1,F2,aF2,qz)) 257 309 – arvutab kinnitusmomendidkoormusest; kinni vasakul ja paremal.Programm I.71 (kinnmom2(l,F1,aF1,F2,aF2,qz)) 258 309 – arvutab kinnitusmomendidkoormusest; kinni vasakul.Programm I.72 (kinnmom3(l,F1,aF1,F2,aF2,qz)) 259 309 – arvutab kinnitusmomendidkoormusest; kinni paremal.246 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m247 ./octaveProgrammid/defNBA.m248 ./octaveProgrammid/kinnmom1.m249 ./octaveProgrammid/kinnmom2.m250 ./octaveProgrammid/kinnmom3.m251 ./octaveProgrammid/jtalaXQMSj.m252 ./octaveProgrammid/tabelXQM.m253 ./octaveProgrammid/defNBAest.m254 ./octaveProgrammid/kinnmom1.m255 ./octaveProgrammid/kinnmom2.m256 ./octaveProgrammid/kinnmom3.m257 ./octaveProgrammid/kinnmom1.m258 ./octaveProgrammid/kinnmom2.m259 ./octaveProgrammid/kinnmom3.m

I.9 Staatiliselt määramatu kaare arvutus 737I.9 Staatiliselt määramatu kaare arvutusProgramm I.73 (kaarSjPr1.m) 260 328, 329 – arvutab kahe liigendiga kaare sisejõude.Kasutab funktsioone:lihttalaSj(NT,NN,l,F1,aF1,F2,aF2,qz,aqA,aqL) 261 – arvutab lihttala sisejõudeQ ja MkaarPrbSj(NT,NN,l,f,F1,aF1,F2,aF2,SP) 262 – arvutab 3 liigendiga paraboolsekaare sisejõude Q ja MkaarPrbSj1(NT,NN,l,f,F1,aF1,F2,aF2,SP) 263 – arvutab 2 liigendiga paraboolsekaare sisejõude Q ja M.Programm I.74 (kaarPrbSTMSjPr.m) 264 336, 338, 339 – arvutab liigenditetakaare sisejõude. Kasutab funktsioone:lihttalaPrbKSj(NN,l,qk,qc) 265 – arvutab lihttala sisejõude Q ja M paraboolse jaotusegakoormusestkaarPrbSTMSj(NN,l,f,SP) 266 – arvutab lihttala sisejõude Q ja M paraboolse jaotusegakoormusest.I.10 Lõplike elementide meetodProgramm I.75 (lemTalaKe4x4(L,EI)) 267 616 – koostab tala lineaarse jäikusmaatriksiKe (4×4).Programm I.76 (lemTalaKg4x4(S,L,EI)) 268 616 – koostab tala geomeetrilise jäikusmaatriksiKg (4×4) survel.– koostab tala (liigend paremal) jäi-Programm I.77 (lemTalaK3x3lpar(L,EI)) 269kusmaatriksi K3×3 (3×3) survel I järku teoorias.Programm I.78 (lemTalaIIK3x3lpar(S,L,EI)) 270 617 – koostab tala (liigend paremal)jäikusmaatriksi K3×3 (3×3) survel II järku teoorias.Programm I.79 (lemTalafq4x1(L,q,EI)) 271 – koostab tala koormusvektori fq (4×1)I järku teoorias survel.260 ./octaveProgrammid/kaarSjPr1.m261 ./octaveProgrammid/lihttalaSj.m262 ./octaveProgrammid/kaarPrbSj.m263 ./octaveProgrammid/kaarPrbSj1.m264 ./octaveProgrammid/kaarPrbSTMSjPr.m265 ./octaveProgrammid/lihttalaPrbKSj.m266 ./octaveProgrammid/kaarPrbSTMSj.m267 ./octaveProgrammid/lemTalaKe4x4.m268 ./octaveProgrammid/lemTalaKg4x4.m269 ./octaveProgrammid/lemTalaK3x3lpar.m270 ./octaveProgrammid/lemTalaIIK3x3lpar.m271 ./octaveProgrammid/lemTalafq4x1.m

738 I. ArvutiprogrammidProgramm I.80 (lemTalaIIfq4x1(S,L,q,EI)) 272 617 – koostab tala koormusvektorifq (4×1) II järku teoorias survel.Programm I.81 (lemTalafq3x1Lp(L,q,EI)) 273koormusvektori fq (3×1) I järku teoorias survel.– koostab tala (liigend paremal)Programm I.82 (lemTalaIIfq3x1Lp(S,L,q,EI)) 274 617 – koostab tala (liigend paremal)koormusvektori fq (3×1) II järku teoorias survel.Programm I.83 (srstkLemPY.m) 275 364 – arvutab sõrestiku varraste sisejõude.Programm I.84 (srstkLEM.m) 276 367 – arvutab sõrestiku varraste sisejõude (võrdlussrstkNBA.m).Programm I.85 (srstkLemBA.m) 277 – arvutab sõrestiku varraste sisejõude.Programm I.86 (LemTalaNaide1.m) 278 370, 374 – arvutab LEM-iga tala sisejõud.Kasutab funktsioone:lemTalaKe4x4(L,EI) 279 – koostab tala lineaarse jäikusmaatriksi Ke (4×4).lemTalaK3x3lpar(Se,L,EI) 280 – koostab tala (liigend paremal) jäikusmaatriksiK3×3 (3×3) survel I järku teoorias.lemTalafq4x1(Se,L,q,EI) 281 – koostab tala koormusvektori fq (4×1) I järku teooriassurvel.lemTalafq3x1Lp(Se,L,q,EI) 282 – koostab tala (liigend paremal) koormusvektori fq(3×1) I järku teoorias survel.InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 283 – asetab (liidab) B(M,N) A(I,J)-sse algusegaIM,JN,remRowIRfromA(A,I,J,IR) 284 – eemaldab maatriksist A(I,J) rea IR.remColJRfromA(A,I,J,JR) 285 – eemaldab maatriksist A(I,J) veeru JR.Programm I.87 (LemKelin.m) 286 618 – arvutab LEM-iga I järku teoorias tala sisejõud.Kasutab funktsioone:272 ./octaveProgrammid/lemTalaIIfq4x1.m273 ./octaveProgrammid/lemTalafq3x1Lp.m274 ./octaveProgrammid/lemTalaIIfq3x1Lp.m275 ./octaveProgrammid/srstkLemPY.m276 ./octaveProgrammid/srstkLEM.m277 ./octaveProgrammid/srstkLemBA.m278 ./octaveProgrammid/LemTalaNaide1.m279 ./octaveProgrammid/lemTalaKe4x4.m280 ./octaveProgrammid/lemTalaK3x3lpar.m281 ./octaveProgrammid/lemTalafq4x1.m282 ./octaveProgrammid/lemTalafq3x1Lp.m283 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m284 ./octaveProgrammid/remRowIRfromA.m285 ./octaveProgrammid/remColJRfromA.m286 ./octaveProgrammid/LemKelin.m

I.11 Piirkoormuse järgi arvutus 739lemTalaKe4x4(L,EI) 287 – koostab tala lineaarse jäikusmaatriksi Ke (4×4).lemTalaK3x3lpar(Se,L,EI) 288 – koostab tala (liigend paremal) jäikusmaatriksiK3×3 (3×3) survel I järku teoorias.lemTalafq4x1(Se,L,q,EI) 289 – koostab tala koormusvektori fq (4×1) I järku teooriassurvel.lemTalafq3x1Lp(Se,L,q,EI) 290 – koostab tala (liigend paremal) koormusvektori fq(3×1) I järku teoorias survel.InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 291 – asetab (liidab) B(M,N) A(I,J)-sse algusegaIM,JN.Programm I.88 (LemKe.m) 292 614 – arvutab LEM-iga II järku teoorias tala sisejõud.Kasutab funktsioone:lemTalaKg4x4(Se,L,EI) 293 – koostab tala geomeetrilise jäikusmaatriksi Kg (4×4)survel.lemTalaKe4x4(L,EI) 294 – koostab tala lineaarse jäikusmaatriksi Ke (4×4).lemTalaIIK3x3lpar(Se,L,EI) 295 – koostab tala (liigend paremal) jäikusmaatriksiK3×3 (3×3) survel II järku teoorias.lemTalaIIfq4x1(Se,L,q,EI) 296 – koostab tala koormusvektori fq (4×1) II järkuteoorias survel.lemTalaIIfq3x1Lp(Se,L,q,EI) 297 – koostab tala (liigend paremal) koormusvektorifq (3×1) II järku teoorias survel.InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 298 – asetab (liidab) B(M,N) A(I,J)-sse algusegaIM,JN.I.11 Piirkoormuse järgi arvutusProgramm I.89 (spRaamESTsn3.m) 299 481, 482, 486 – arvutab raami ESTmeetodigalineaarses teoorias. Raam on 3 × staatikaga määramatu. Kasutab funktsioone:ysplvfmhvI(baasi0,Li,Li,EA,GAr,EI) 300 – koostab ülekandevõrrandid hõredamaatriksina,287 ./octaveProgrammid/lemTalaKe4x4.m288 ./octaveProgrammid/lemTalaK3x3lpar.m289 ./octaveProgrammid/lemTalafq4x1.m290 ./octaveProgrammid/lemTalafq3x1Lp.m291 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m292 ./octaveProgrammid/LemKe.m293 ./octaveProgrammid/lemTalaKg4x4.m294 ./octaveProgrammid/lemTalaKe4x4.m295 ./octaveProgrammid/lemTalaIIK3x3lpar.m296 ./octaveProgrammid/lemTalaIIfq4x1.m297 ./octaveProgrammid/lemTalaIIfq3x1Lp.m298 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m299 ./octaveProgrammid/spRaamESTsn3.m300 ./octaveProgrammid/ysplvfmhvI.m

740 I. Arvutiprogrammidysplfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ)) 301 – koostab ülekandevõrrandid maatriksina,ESTSKrmus(x,L,Fjoud,qkoormus) 302 – arvutab koormusvektori EST-meetodis(q + F) 3 liigendiga raamile,yzhqz(baasi0,Li,qx,qz,EA,EI) 303 – arvutab ühtlaselt jaotatud koormuse I järkuteoorias,yzfzv(baasi0,Li,aLx,Fx,Fz,EA,EI) 304 – arvutab koondatud jõust koormuse I järkuteoorias,spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 305 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 306 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv, jv,ylfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 307 – ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodis,InsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 308 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,SisejoudPunktis(VardaNr,X,AlgPar,lvarras,selem,qxZ,qzZ,aLXx,FZz,FZx,suurused)309 – arvutab ja trükib varda ’VardaNr’ sisejõud kohal x=X.Programm I.90 (spRaamESTsn2.m) 310 482, 482, 488 – arvutab raami ESTmeetodigalineaarses teoorias. Raam on 2 × staatikaga määramatu. Kasutab samufunktsioone, mis spRaamESTsn3.m.Programm I.91 (spRaamESTsn1.m) 311 483, 483, 490 – arvutab raami ESTmeetodigalineaarses teoorias. Raam on 1 × staatikaga määramatu.Kasutab samu funktsioone, mis spRaamESTsn3.m.Programm I.92 (spRaamESTsn0.m) 312 483, 484, 492 – arvutab raami ESTmeetodigalineaarses teoorias. Raam on 0 × staatikaga määramatu s.o on staatikagamääratav. Kasutab samu funktsioone, mis spRaamESTsn3.m.I.12 Teist järku teooria järgi arvutusProgramm I.93 (eesarvud.m) 313 515, 545, 560, 706 – arvutab varda eesarvud, vardapikkuse, pikijõu S ja ristlõike jäikuse EI järgi.301 ./octaveProgrammid/ysplfhlin.m302 ./octaveProgrammid/ESTSKrmus.m303 ./octaveProgrammid/yzhqz.m304 ./octaveProgrammid/yzfzv.m305 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m306 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m307 ./octaveProgrammid/ylfhlin.m308 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m309 ./octaveProgrammid/SisejoudPunktis.m310 ./octaveProgrammid/spRaamESTsn2.m311 ./octaveProgrammid/spRaamESTsn1.m312 ./octaveProgrammid/spRaamESTsn0.m313 ./octaveProgrammid/eesarvud.m

I.13 Kriitilise koormuse leidmine 741Programm I.94 (eesagraf.m) 314 515, 707 – koostab eesarvude graafika.Programm I.95 (tnnusarv(l1,s1,ea1)) 315 515 – leiab varda tunnusarvu pikipõikpaindel,kus l1 – varda pikkus, s1 – pikijõud vardas, ea1 – varda ristlõike paindejäikus.Programm I.96 (eesarv(mark,nu)) 316 515, 518, 707 – arvutab eesarvud A, B, C,V, A+B, A-B, ALFA, BETA; mark=’+/-’; survel: mark=’-’; tõmbel: mark=’+’; nu –tunnusarvfi(1,1)=C;fi(2,1)=A;fi(3,1)=B;fi(4,1)=A+B;fi(5,1)=A-B;fi(6,1)=V;fi(7,1)=ALFA;fi(8,1)=BETA;Programm I.97 (fi ja eta(mark,nu)) 317 515, 526, 531, 535, 539, 707 – arvutabeesarvud φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν) ja φ 4 (ν), η 1 (ν) ja η 2 (ν), kus mark=’+/-’; survel:mark=’-’; tõmbel: mark=’+’; nu – tunnusarvfi(1,1)=C/3;fi(2,1)=A/4;fi(3,1)=B/2;fi(4,1)=(A+B)/6;fi(5,1)=eta1;fi(6,1)=eta2;fi(7,1)=ALFA;fi(8,1)=BETA;Programm I.98 (mxrikki(mitmeks,nu,l,Mik,Mki)) 318 523, 555, 713 – arvutabmomendi Mx varda pikipõikpaindel, Mik-moment aluses, Mki-moment lõpus; teisemärgikokkuleppe järgi, l – varda pikkus, mitmeks – jaotuste arv, Mx(1,i) – momentidejaotus vardas; esimese märgikokkuleppe järgi, Mx(2,i) – põikjõudude jaotus vardas;esimese märgikokkuleppe järgi.Programm I.99 (mxq(mitmeks,nu,lprojeks,l,q)) 319 523, 555, 713 – arvutab momendidkoormusest q pikipõikpaindel, q=konst; l – varda pikkus; lprojeks – varda pikkusel projektsioon; väljastab: Mx(1,i) – momentide jaotus vardas; esimese märgikokkuleppejärgi ja Mx(2,i) – põikjõudude jaotus vardas; esimese märgikokkuleppe järgi.I.13 Kriitilise koormuse leidmineProgramm I.100 (naide1er.m) 320 531 – näiteülesanne, leiab raami kriitilised jõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 321 – leiab varda tunnusarvu ν,314 ./octaveProgrammid/eesagraf.m315 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m316 ./octaveProgrammid/eesarv.m317 ./octaveProgrammid/fi_ja_eta.m318 ./octaveProgrammid/mxrikki.m319 ./octaveProgrammid/mxq.m320 ./octaveProgrammid/naide1er.m321 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m

742 I. Arvutiprogrammidfi ja eta(mark,nu) 322 – arvutab eesarvud φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν) ja φ 4 (ν), η 1 (ν)ja η 2 (ν).mrkmts(a) 323 – leiab vektori a elementide märgimuutused.Programm I.101 (naide2er.m) 324 535 – näiteülesanne, leiab raami kriitilised jõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 325 – leiab varda tunnusarvu ν,fi ja eta(mark,nu) 326 – arvutab eesarvud φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν) ja φ 4 (ν), η 1 (ν)ja η 2 (ν).mrkmts(a) 327 – leiab vektori a elementide märgimuutused.Programm I.102 (naide3ep.m) 328 527 – näiteülesanne, leiab raami kriitilised jõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 329 – leiab varda tunnusarvu ν,fi ja eta(mark,nu) 330 – arvutab eesarvud φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν) ja φ 4 (ν), η 1 (ν)ja η 2 (ν).mrkmts(a) 331 – leiab vektori a elementide märgimuutused.Programm I.103 (naide4al.m) 332 540 – näiteülesanne, leiab raami kriitilised jõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 333 – leiab varda tunnusarvu ν,fi ja eta(mark,nu) 334 – arvutab eesarvud φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν) ja φ 4 (ν), η 1 (ν)ja η 2 (ν).mrkmts(a) 335 – leiab vektori a elementide märgimuutused.Programm I.104 (naide4alVR.m) 336 543 – näiteülesanne, leiab raami kriitilisedjõud. Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 337 – leiab varda tunnusarvu ν,fi ja eta(mark,nu) 338 – arvutab eesarvud φ 1 (ν), φ 2 (ν), φ 3 (ν) ja φ 4 (ν), η 1 (ν)322 ./octaveProgrammid/fi_ja_eta.m323 ./octaveProgrammid/mrkmts.m324 ./octaveProgrammid/naide2er.m325 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m326 ./octaveProgrammid/fi_ja_eta.m327 ./octaveProgrammid/mrkmts.m328 ./octaveProgrammid/naide3ep.m329 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m330 ./octaveProgrammid/fi_ja_eta.m331 ./octaveProgrammid/mrkmts.m332 ./octaveProgrammid/naide4al.m333 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m334 ./octaveProgrammid/fi_ja_eta.m335 ./octaveProgrammid/mrkmts.m336 ./octaveProgrammid/naide4alVR.m337 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m338 ./octaveProgrammid/fi_ja_eta.m

I.14 Teist järku teooria ülekandemaatriksid 743ja η 2 (ν).mrkmts(a) 339 – leiab vektori a elementide märgimuutused.I.14 Teist järku teooria ülekandemaatriksidProgramm I.105 (ylfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ)) 340 577, 579, 582, 587,602, 696 – leiab ülekandemaatriksi II järku teoorias võrrandisüsteemi koostamiseks,II märgikokkulepe, Zp=F*Zv, Zp’=[Up Wp Fip Sp Hp Mp], kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,x – varda ristlõike koordinaat,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused,S – pikijõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 341 – leiab varda tunnusarvu ν,ylfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 342 – ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodisProgramm I.106 (ysplfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ)) 343 700 – koostab hõredaülekandemaatriksi II järku teoorias võrrandisüsteemi koostamiseks, II märgikokkulepe,Zp=F*Zv, Zp’=[Up Wp Fip Sp Hp Mp], kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,x – varda ristlõike koordinaat,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused,S – pikijõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 344 – leiab varda tunnusarvu ν,ysplfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 345 – hõre ülekandemaatriks lineaarses ülekandemeetodisProgramm I.107 (ylfhvzII(baasi0,S,l,x,a,Fz,EJ)) 346 595, 602, 698, 700koormusvektori koondatud jõust II järku teoorias, II märgikokkulepe, kus– leiab339 ./octaveProgrammid/mrkmts.m340 ./octaveProgrammid/ylfmhvII.m341 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m342 ./octaveProgrammid/ylfhlin.m343 ./octaveProgrammid/ysplfmhvII.m344 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m345 ./octaveProgrammid/ysplfhlin.m346 ./octaveProgrammid/ylfhvzII.m

744 I. ArvutiprogrammidFz – koondatud jõud,a – koondatud jõu Fz kaugus varda algusest,EJ – ristlõike paindejäikus,l – varda pikkus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused,S – pikijõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 347 – leiab varda tunnusarvu ν,yzfzv(baasi0,x,a,Fx,Fz,EA,EJ) 348 – koondatud koormus lineaarses ülekandemeetodis.Programm I.108 (ylqvII(baasi0,S,x,lp,qz,EJ)) 349 579, 582, 587, 596, 602, 700 –leiab koormusvektori jaotatud koormusest II järku teoorias, II märgikokkulepe, kusqz – ühtlaselt jaotatud koormus,EJ – ristlõike paindejäikus,x – varda ristlõike koordinaat,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused,S – pikijõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 350 – leiab varda tunnusarvu ν,yzhqz(baasi0,x,qx,qz,EA,EJ) 351 – jaotatud koormus vardale ülekandemeetodis.Programm I.109 (ylfmII(S,x,l,EA,GAr,EJ)) 352 573, 699 – leiab ülekandemaatriksiII järku teoorias, II märgikokkulepe, Zp=F*Zv, Zp’=[Up Wp Fip Np Qp Mp], kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,l – varda pikkus,S – pikijõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 353 – leiab varda tunnusarvu ν,ylflin(x,EA,GAr,EJ) 354 – ülekandemaatriks (6,6) lineaarsele ülesandele.Programm I.110 (ylqII(S,x,l,qz,EJ)) 355 574 – leiab koormusvektori ühtlaselt jaotatudkoormusest II järku teoorias, II ja I märgikokkulepe puhul [Up Wp Fip Nv Qp347 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m348 ./octaveProgrammid/yzfzv.m349 ./octaveProgrammid/ylqvII.m350 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m351 ./octaveProgrammid/yzhqz.m352 ./octaveProgrammid/ylfmII.m353 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m354 ./octaveProgrammid/ylflin.m355 ./octaveProgrammid/ylqII.m

I.14 Teist järku teooria ülekandemaatriksid 745Mp], kusqz – jaotatud koormus,EJ – ristlõike paindejäikus,l – varda pikkus,S – pikijõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 356 – leiab varda tunnusarvu ν,yzqz(x,q,EJ) 357 – jaotatud koormus vardale lineaarses ülekandemeetodis.Programm I.111 (ylffzII(S,l,x,a,Fz,EJ)) 358 574 – leiab koormusvektori koondatudjõust II järku teoorias, II märgikokkulepe, kusFz – koondatud jõud,a – koondatud jõu Fz kaugus varda algusest,EJ – ristlõike paindejäikus,l – varda pikkus,S – pikijõud.Kasutab funktsioone:tnnusarv(l1,s1,ea1) 359 – leiab varda tunnusarvu ν,yzfz(x,a,Fx,Fz,EA,EJ) 360 – koondatud koormus vardale lineaarses ülekandemeetodis.Programm I.112 (ytransf(S,l,EJ)) 361 575 – transformatsioonimaatriks II järkuteoorias, kusEJ – ristlõike paindejäikus,l – varda pikkus,S – pikijõud.Teisendab N ja Q pikijõuks S ja ristjõuks HŽ=Tr*Z, Ž’=[ U W Fi Š T M], Z’=[U W Fi N Q M], Fi=-dW/dxKasutab funktsiooni:tnnusarv(l1,s1,ea1) 362 – leiab varda tunnusarvu ν.Programm I.113 (ytransfp(S,l,EJ)) 363 575, 587, 602II järku teoorias, kusEJ – ristlõike paindejäikus,l – varda pikkus,S – pikijõud.Teisendab pikijõu S ja ristjõu H normaaljõuks N– transformatsioonimaatriks356 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m357 ./octaveProgrammid/yzqz.m358 ./octaveProgrammid/ylffzII.m359 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m360 ./octaveProgrammid/yzfz.m361 ./octaveProgrammid/ytransf.m362 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m363 ./octaveProgrammid/ytransfp.m

746 I. Arvutiprogrammidja põikjõuks Q.Z=Tr*Ž, Ž’=[ U W Fi Š T M],Z’=[U W Fi N Q M], Fi=-dW/dxKasutab funktsiooni:tnnusarv(l1,s1,ea1) 364 – leiab varda tunnusarvu ν.Programm I.114 (ynadII1.m) 365 580, 582 – tala arvutamise näide II järku teooriaülekandemaatriksiga.Kasutab funktsioone:ylfhlin(baasi0,x,EA,GAr,EJ) 366 – leiab ülekandemaatriksi (6,6) lineaarse ülesandelahendamiseks,yzhqz(baasi0,x,qx,qz,EA,EJ) 367 – ühtlaselt jaotatud koormus vardale,ylfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ) 368 – ülekandemaatriks II järku teoorias,ylqvII(baasi0,S,x,lp,qz,EJ) 369 – ühtlaselt jaotatud koormus II järku teoorias,ylflin(x,EA,GAr,EJ) 370 – ülekandemaatriks F(6,6) lineaarses ülesandes,yzqz(x,q,EJ) 371 – varda lauskoormusvektor ülekandemeetodis.Programm I.115 (ylvfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ)) 372 596 – koostab võrrandisüsteemiII järku teoorias, I*Zp-U*Zv=Z0 , Zp’=[Up Wp Fip Sp Hp Mp], II märgikokkulepe,kusEA – ristlõike pikijäikus,GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,l – varda pikkus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused,S – pikijõud.Kasutab funktsiooni:ylfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ) 373 – ülekandemaatriks.– koost-Programm I.116 (ysplvfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ)) 374 596, 700ab hõreda võrrandisüsteemi II järku teoorias, I*Zp-U*Zv=Z0,Zp’=[Up Wp Fip Sp Hp Mp], II märgikokkulepe, kusEA – ristlõike pikijäikus,364 ./octaveProgrammid/tnnusarv.m365 ./octaveProgrammid/ynadII1.m366 ./octaveProgrammid/ylfhlin.m367 ./octaveProgrammid/yzhqz.m368 ./octaveProgrammid/ylfmhvII.m369 ./octaveProgrammid/ylqvII.m370 ./octaveProgrammid/ylflin.m371 ./octaveProgrammid/yzqz.m372 ./octaveProgrammid/ylvfmhvII.m373 ./octaveProgrammid/ylfmhvII.m374 ./octaveProgrammid/ysplvfmhvII.m

I.14 Teist järku teooria ülekandemaatriksid 747GAr – ristlõike nihkejäikus,EJ – ristlõike paindejäikus,l – varda pikkus,baasi0 – varda baasjäikus on selle varda jäikus i = EJ/l, millega normeeritaksevarraste jäikused,S – pikijõud.Kasutab funktsiooni:ysplfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ) 375 – hõre ülekandemaatriksspInsertBtoA(spA,IM,JN,spB) 376 – asetab hõredasse maatriksisse spA alatesreast IM ja veerust JN hõreda maatriksi spB.Programm I.117 (yRaam1.m) 377 584, 587 – arvutab raami II järku teoorias. Kasutabfunktsioone:ylvfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ) 378 – koostab ülekandevõrrandid,ylfmhvII(baasi0,S,x,l,EA,GAr,EJ) 379 – ülekandemaatriks II järku teooriasylqvII(baasi0,S,x,lp,qz,EA,EJ) 380 – arvutab ühtlaselt jaotatud koormuse II järkuteoorias.ytransfp(S,l,EJ) 381 – teisendab pikijõu S ja ristjõu H normaaljõuks N japõikjõuks Q.Programm I.118 (yspRaamEST.m) 382 592, 596, 601 – arvutab raami ESTmeetodigaII järku teoorias. Kasutab funktsioone:ysplvfmhvII(baasi0,SII,Li,Li,EA,GAr,EI) 383 – koostab ülekandevõrrandid hõredamaatriksina,ylqvII(baasi0,S,x,lp,qz,EA,EJ) 384 – arvutab ühtlaselt jaotatud koormuse II järkuteoorias.ylfhvzII(baasi0,SII,Li,Li,aLx,Fz,EI) 385 – arvutab koondatud jõust koormuse IIjärku teoorias.spInsertBtoA(spA,IIv,IJv,spvF) 386 – asetab hõreda maatriksi spvF hõredassemaatriksisse spA algusega IIv, IJv,spSisestaArv(spA,iv,jv,sv) 387 – asetab hõredasse maatriksisse spA arvu sv aadressigaiv,jv375 ./octaveProgrammid/ysplfmhvII.m376 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m377 ./octaveProgrammid/yRaam1.m378 ./octaveProgrammid/ylvfmhvII.m379 ./octaveProgrammid/ylfmhvII.m380 ./octaveProgrammid/ylqvII.m381 ./octaveProgrammid/ytransfp.m382 ./octaveProgrammid/yspRaamEST.m383 ./octaveProgrammid/ysplvfmhvII.m384 ./octaveProgrammid/ylqvII.m385 ./octaveProgrammid/ylfhvzII.m386 ./octaveProgrammid/spInsertBtoA.m387 ./octaveProgrammid/spSisestaArv.m

748 I. ArvutiprogrammidInsertBtoA(A,I,J,IM,JN,B,M,N) 388 – asetab B(M,N) A(I,J)-sse algusega IM,JN,ytransfp(S,l,EJ) 389 – teisendab pikijõu S ja ristjõu H normaaljõuks N japõikjõuks Q.388 ./octaveProgrammid/InsertBtoA.m389 ./octaveProgrammid/ytransfp.m

Kirjandus[Arg54] J. H. Argyris. Energy Theorems and Structural Analysis: A Generalized Discoursewith Applications on Energy Principles of Structural Analysis Including theEffects of Temperature and Non-Linear Stress-Strain Relations. 390 Aircraft Engineeringand Aerospace Technology, Vol.26 Iss:10. pp. 347–356, Oct 1954. 35, 37[Beer04a] G. Beer. Baustatik 1. Geschichtliche Entwicklung | Grundlagen | Verformungsberechnung| Statisch unbestimmte Systeme | Kraftgößenmethode | Deformationsmethode| Matrix Stiffness Method | Räumliche Systeme 391 . Institut fürBaustatik der Technische Universität Graz, Graz, 2004.[Beer04] G. Beer. Baustatik 2. Seilstatik | Theorie II. Ordnung und Stabilität | Traglastverfahren| Tragwerksdynamik | Nährungsmethoden | Modellbildung 392 . Institutfür Baustatik der Technische Universität Graz, Graz, 2004. 465, 466, 470, 471,479, 494[Bor79a] F. W. Bornscheuer. Berechnungsverfaren nach Theorie II. Ordnung. Institutfür Baustatik der Universität Stuttgart, Stuttgart, 1979. 692, 700, 701, 706, 708[Bor79b] F. W. Bornscheuer. Übertragunsverfaren. Institut für Baustatik der UniversitätStuttgart, Stuttgart, 1979. 570, 694[BW80] C. A. Brebia, S. Walker. Boundary Element Techniques in Engineering. Butterworths,London, 1980. 383, 680[DK62] A. V. Darkov i V. I. Kuznecov. Stroitelьna mehanika. Moskva:Vysxa xkola, 1962. 71, 77, 325390 http://www.google.ee/search?hl=et&source=hp&q=Energy+theorems+and+structural+analysis&gbv=2&oq=Energy+theorems+and+structural+analysis&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=3&gs_upl=3479l3479l0l5980l1l1l0l0l0l0l158l158l0.1l1l0391 http://www.ifb.tugraz.at/backup_old_homepage/educ/teaching_material/Baustatik/Baustatik1_Skriptum_IBK.pdf392 http://www.ifb.tugraz.at/backup_old_homepage/educ/teaching_material/Baustatik/Baustatik2_Skriptum2004_IBK.pdf749

750 KIRJANDUS[Din11] D. Dinkler. Grundlagen der Baustatik. Modelle und Berechnungsmethodenfür ebene Stabtragwerke. 1. auflage 2011. 393 Vieweg+Teubner Verlag | SpringerFachmedien Wiesbaden GmbH, 2011. 35[Ebl90a] H. Ebel. Statische Berechnug von Stabtragwerken mit dem Gesamtmatrixverfahren.Bauingenieur 65 (1990) 17–27, Springer–Verlag, 1990. 383[Ebl90] H. Ebel. Zur systematischen Durchführung des Kraftgrössenverfahrens 1. und2. Ordnung, ausgehnd vom Gesamtmatrixverfahren. Festschrift, Richard Schardt,THD Schriftenreihe Wissenschaft und Technik 51, pages 19–41. Inst. für Statik,THD – Veröffentl., Darmstadt, 1990. 217, 383[EP67] R. Eek, L. Poverus. Ehitusmehaanika II. 394 Tallinn: Valgus, 1967. 465, 467,494, 515, 516, 524, 526, 531, 535, 539, 701, 707[ER83] R. Eek, R. Räämet. Ehitusmehaanika näidisülesanded I. 395Polütehniline Instituut, 1983, 99 lk. 114, 136Tallinn: Tallinna[ERL85] R. Eek, R. Räämet, A. Lahe. Ehitusmehaanika näidisülesanded II. 396 Tallinn:Tallinna Polütehniline Instituut, 1985, 100 lk.[ER77] R. Eek, R. Räämet. Ehitusmehaanika näidisülesanded III. 397 Tallinn: TallinnaPolütehniline Instituut, 1977, 51 lk. 529, 533, 536, 612[Fi71] A. P. Filin. Pribliжennye metody matematiqeskogo analiza, ispolьzuemyev mehanike tverdyh deformiruemyh tel. Stroiizdat, Leningrad,1971. 689[GaW96] L. Gaul, M. Wagner. Beam Response Derived from 3D Hybrid BoundaryIntegral Method in Elastodynamics. 398 Institute A of Mechanics, University ofStuttgart, Stuttgart, 1996. 384[Har85] F. Hartmann. The Mathematical Foundation of Structural Mechanics. Berlin,Heidelberg, New York, Tokyo, Springer–Verlag, 1985. 37, 176[Har87] F. Hartmann. Methode der Randelemente. Berlin, Heidelberg, New York,Tokyo, Springer–Verlag, 1987. 208, 383393 http://books.google.ee/books?id=OqOaKoH2Y40C&pg=PA33&lpg=PA33&dq=Baustatik+Schnittprinzip&source=bl&ots=n0xKBXI7m&sig=fc8Y6Z3K0VKyEay9wLIP9Bh91S0&hl=et#v=onepage&q=Baustatik%20Schnittprinzip&f=false394 ./EekPoverusEMEII.djvu395 ./EhmehINaidisYlesanded.djvu396 ./EhmehIINaidisYlesanded.djvu397 ./EhmehIIINaidisYlesanded.djvu398 http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.39.1207&rep=rep1&type=pdf

KIRJANDUS 751[Jür85] A. Jürgenson. Tugevusõpetus. 399 Tallinn: Valgus, 1985. 32, 33, 34, 35, 36, 56,171, 364, 689[Kis86] V. A. Kiselev. Stroitelьna mehanika. Obwii kurs.Moskva, 1986. 326, 342Stroiizdat,[Krä90] W. B. Krätzig. Statik der Tragwerke, 2b. Das Weggrössenverfahren. Bochum,Ruhr – Universität Bochum, Fakultät für Bauingenieurwesen, 1990. 701[Krä91a] W. B. Krätzig. Statik der Tragwerke, 4. Finite Berechnungsmethoden (4.aGrundlagen; Stabtragwerke). Bochum, Ruhr – Universität Bochum, Fakultät fürBauingenieurwesen, 1991. 40, 570, 575, 692, 706[Krä91c] W. B. Krätzig. Statik der Tragwerke, 4. Computermethoden zur linearenTragwerksanalyse Tail II. Bochum, Ruhr – Universität Bochum, Fakultät für Bauingenieurwesen,1991. 612, 694, 700[KW90] W. B. Krätzig and U. Wittek. Tragwerke 1. Theorie und Berechnungsmethodenstatisch bestimmter Stabtragwerke 400 . Berlin Heidelberg NewYork, Springer–Verlag, 1990. 32, 35, 37, 38, 41, 52, 57, 83, 153, 172, 179, 754[Krä91b] W. B. Krätzig. Tragwerke 2. Theorie und Berechnungsmethoden statischunbestimter Stabtragwerke. Berlin Heidelberg NewYork, Springer–Verlag, 1991. 32,158, 383[KM04] W. B. Krätzig, R. Harte, K. Meskouris and U. Wittek. Tragwerke 2. Theorieund Berechnungsmethoden statisch unbestimmter Stabtragwerke 401 . Springer–Verlag, 2004. 281, 293, 702, 703[Kõo90] J. Kõo. Algparameetrite meetodi ühest esitusvariandist tugevusõpetuses.Põllumajandushoonete ja -ehitiste uued konstruktsioonid. Eesti PõllumajanduseAkadeemia Teaduslike Tööde Kogumik, Nr 168, Tartu 1990, lk 58–64. 56[Kõo92] J. Kõo. Varrastarindite arvutus maatrikstehetega. Õppevahend. Eesti Põllumajandusülikool,Tartu 1992. 83[Lah97a] A. Lahe. The transfer matrix and the boundary element method 402 , Proc.Estonian Acad. Sci. Engng., 1997, 3, 1. p. 3–12. 4, 61, 208, 384399 ./AJ_tugevus.djvu400 http://books.google.ee/books?id=gG8VusQ0YEwC&pg=PA243&lpg=PA243&dq=W+Krätzig+Tragwerke+1:&source=bl&ots=Ag1MCQ74Js&sig=c7pRtFPm127kcK4soeIS19DorBE&hl=et&ei=k6alTP75NcLtOZHrgawC&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CCAQ6AEwAw#v=onepage&q&f=false401 http://books.google.ee/books?id=TvvD87SDVcIC&pg=PA196&lpg=PA197&dq=drehwinkelverfahren&hl=en#v=onepage&q=drehwinkelverfahren&f=false402 http://books.google.ee/books?id=ghco7svk5T4C&pg=PA3&lpg=PA3&dq=Andres+Lahe&source=bl&ots=3SFfo4UCES&sig=_XLUez-SfW2FVYGRx8v2LVm16V8&hl=et&ei=YQaFTMeIEoWcOOyCyNwP&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CB0Q6AEwBDgK#v=onepage&q=Andres%20Lahe&f=false

752 KIRJANDUS[Lah97b] A. Lahe. The EST method for the frame analysis. Proc.Thenth Nordic Seminaron Computational Mechanics, October 24–25, 1997, Tallinn, Tallinn TechnicalUniversity, 1997, p. 202–205. 4, 61, 208, 384, 583, 592[Lah98a] A. Lahe. The EST method for the frame analysis in second order theory.,Proc. of the NSCM-11: Nordic Seminar on Computational Mechanics, October16–17, 1997, Royal Institute of Technology, Department of Structural Engineering,Stockholm, TRITA-BKN. Bulletin 39, Stockholm, 1998, p.167–170. 4, 61, 208, 384,583, 592[Lah98b] A. Lahe. Computer Aided Learning of Structural Mechanics with EHMEH.,Proc. 4 th International Conference on Computer Aided Learning and Instruction inScience and Engineering, (CALISE’98), june 15–17, 1998, Chalmers University ofTechnology Göteborg, Göteborg, 1998, p.72–79. 4, 208, 384[Lah98c] A. Lahe. CAL program for Truss. Proc. 4 th International Conference on ComputerAided Learning and Instruction in Science and Engineering, (CALISE’98),june 15–17, 1998, Chalmers University of Technology Göteborg, Göteborg, 1998, p.483–484.[LT80] M. Lawo, O. Tierauf. Matrizenmethoden der Statik und Dynamik, I: Statik.Fried. Vieweg & Shon - Braunschweig-Wiesbaden, 1980. 4, 383[MA99] P. Marti, M. Alvarez, W. Kaufmann and V. Sigrist. Tragverhalten von Stahlbeton.Fortbildungskurs für Bauingenieure ETH Zürich 30.9./1.10.1999 403 . Institutfür Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich Zürich, September 1999. 471, 494[ME09] K. Meskouris and E. Hake.2009 281, 293, 702, 703Statik der Stabtragwerke 404 . Springer–Verlag,[MR95] J. Metsaveer, U. Raukas. Varda deformatsioonid ja siirded. 405 Tallinn:Tallinna Tehnikaülikool, mehaanikainstituut, 1995. 33, 35, 38, 41, 57[MR96] J. Metsaveer, U. Raukas. Varda sisejõud ja pinged. 406 Tallinn: TallinnaTehnikaülikool, mehaanikainstituut, 1996. 33, 35, 48, 355[MR99] J. Metsaveer, U. Raukas. Saleda varda arvutus. Varda kandevõime jadünaamika. 407 Tallinn: Tallinna Tehnikaülikool, mehaanikainstituut, 1999. 466,499[PL63] E. C. Pestel, F. A. Leckie. Matrix Method in Elastomechanics. McGraw-Hill,New York, San Francisco, Toronto, London, 1963. 4, 383403 http://e-collection.library.ethz.ch/eserv/eth:26156/eth-26156-01.pdf404 http://www.springerlink.com/content/v57424743081122n/405 ./vds.djvu406 ./vsp.djvu407 ./sva.djvu

KIRJANDUS 753[PW94] W. D. Pilkey, W. Wunderlich. Mechanics of Structures. Variational and ComputationalMethods. CRC Press, Boca Raton, Ann Arbor, London, Tokyo, 1994.500, 611, 612, 613, 623, 644, 692[PRZ68] J.Š. Przemienicki. Theory of Matrix Structural Analysis 408 . New York,McGraw-Hill Book Company, 1968. 171[RH95] E. Ramm and T. J. Hofmann. Stabtragwerke. In Melhorn G., editor, Baustatik,Baudynamik, Der Ingenieurbau, pages 1–349. Ernst & Shon, Berlin, 1995. 383,500, 504, 507, 613, 644[Rää64] R. Räämet. Ehitusmehaanika. Tallinn: Eesti Riiklik Kirjastus, 1964. 31, 32[Rää75] R. Räämet. Ehitusmehaanika. 409 Tallinn: Valgus, 1975. 4, 36, 77, 91, 171,179, 183, 217, 281, 325, 328, 332, 336, 338, 342, 465, 470, 701[ERL88] R. Rзmet, R. Eek, A. Lahe. Stroitelьna mehanika. Programma izadaqi. Tallinn: TPI, kafedra stroitelьnoi mehaniki, 1988, 70 str.[SALŠ84] A. F. Smirnov, A. V. Aleksandrov, B. . Lawenikov i N. N.Xapoxnikov. Stroitelьna mehanika. Dinamika i ustoiqivostьsooruжenii. Stroiizdat, Moskva, 1984. 526, 531, 535, 539, 707[Str89] M. Stern. Static analysis of beams, plates and shells. In Beskos, D. E., editor,Boundary Element Methods in Structural Analysis, pages 41–64. Am. Soc. CivilEngineers, New York, 1989. 383[Tam03] I. Tammeraid, Matemaatiline analüüs II 410 . Tallinn, TTÜ kirjastus, 2003. 32[Ter86] Terasprofiilide tabelid. Tallinn: Tallinna Polütehniline Instituut, 1986, 12 lk.[Thi90] D. Thieme. Einführung in die Finite-Element-Methode für Bauingenieure.Verlag für Bauwesen, Berlin, 1990. 618[Vol67] A. S. Volьmir. Ustoiqivost deformiruemyh sistem. IzdatelьstvoNauka, Moskva, 1967. 502[WR95] W. Wunderlich and W. Redanz. Die Methode der Finiten Elemente. InMelhorn G., editor, Rechnerorientierte Baumechanik, Der Ingenieurbau, pages 141–247. Ernst & Shon, Berlin, 1995. 383408 http://books.google.ee/books?id=Pb8qTzqOKbAC&pg=PA27&lpg=PA27&dq=complementary+work&source=bl&ots=NMTY3Ph4-0&sig=ULSnCkAUMfrUtoIw7zje201b3Sg&hl=et&ei=Y6sUTaeqB4Ss8gPHqayEBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBsQ6AEwAQ#v=onepage&q=complementarywork&f=false409 ./RR_ehmeh.djvu410 http://staff.ttu.ee/˜itammeraid/matan2.pdf#page=9

754 KIRJANDUSTäiendav kirjandus[1] Bo Torstenfelt. Finite Elements ”from the early beginning to the very end”. An Introductionto Elastisity and Heat Transfer Applications. Only the Bar and Beamchapters! Preliminary edition LiU-IEI-S–08/535–SE 411 . Linköpings Universitet,Tekniska Höskolan, 2007.Siit lugege lk 13 (27), BARS 3.4 A Weak Formulation, valem (3.8) ja lk 51 (65), BEAMS 4.4 AWeak Formulation, valem (4.20). 35[2] S. Govindjee. Virtual Work. 1 Principle of Virtual Work 412 . University of CaliforniaBerkely Structural Engineering, Department of Civil Engineering Mechanics andMaterials, Spring 2011.[3] N. S. Ottosen and H. Petersson. Introduction to the Finite Element Method. LundUniversity, Division of Structural Mechanics, Lund, second edition, 1991. 35[4] R. Courant and D. Hilbert. Methoden der mathematischen Physik I und II.Springer–Verlag Berlin, Heidelberg, 3. und 2. Auflage, NewYork, 1968.Siit lugege: Greeni funktsionaal on lähtepunktiks mehaanikas. Ta kirjeldab välis-, sise- ja rajamuutujaid.See funktsionaal kui mehaanika energiateoreem on ehitusmehaanika, lõplike elementidemeetodi ja rajaelementide meetodi põhitööriistaks [KW90] 413 414 lk 56. 35[5] J. Heyman. Structural Analysis. A Historical Approach. Cambridge UniversityPress, 1998.[6] G. Knappstein. Statik, insbesondere Schnittprintzip. 4., überarbeitete, erweiterteAuflage. Wissenschaftlicher Verlag Harry Deusch GmbH, Frankfurt am Main 2011,403 Seiten 415 .Siit vaadake joonis 1.11 lk 6 (41), sisejõud on paarikaupa ja joonis 1.13 lk 7 (42), kõik jõud onsiin välisjõud.[7] A. Lahe. Kas rajajõud on sisejõud? 416 . Tallinn, 2012.411 http://www.solid.iei.liu.se/Education/TMHL02/Book-Bars and Beams.pdf412 http://www.ce.berkeley.edu/˜sanjay/ce130n/virtualw.pdf413 http://books.google.ee/books?id=gG8VusQ0YEwC&pg=PA56&lpg=PA56&dq=Greensche+Funktional+des+Fundamentaloperators&source=bl&ots=AhYHCR44Qs&sig=ZpOFfkc5x-iyifxa5S2SmGFsrM&hl=et#v=onepage&q&f=false414 http://www.booklooker.de/app/result.php?token=2087199215&mediaType=0&sortOrder=default&js state=on&autocomplete=on&message=&autor=Krätzig&titel=Tragwerke+&infotext=&verlag=&isbn=&year from=&year to=&sprache=&einbandCategory=&price min=&price max=&searchUserTyp=0&land=&datefrom=&oldBooks=on&newBooks=on&x=0&y=0415 http://www.harri-deutsch.de/verlag/titel/knappste/1876 sample.pdf416 http://www.e-uni.ee/e-kursused/ehitusmehaanika/Rajaj6udude too.pdf

Indeksaktiivne deformatsioon, 467aktiivtöö, 171, 172, 350alammaatriks, 361algparameetrid, 407, 580, 587, 601algparameetrite meetod, 56, 383, 689aproksimatsiooniviga, 661aproksimeerimine, 40arvutilõpmatus, 264arvutinull, 264arvutiprogrammafbfikt1.m, 734defNBA.m, 736defNBAest, 736defRaamN.m, 735eesagraf.m, 741eesarv, 741eesarvud.m, 740ESTSKrmus.m, 727ESTSTKrmus.m, 727ESTtalaKrmus.m, 727fi-ja-eta.m, 741fooksuhe.m, 734GerberiTala.m, 718InsertBtoA.m, 726joumNA4q.m, 733joumNAq.m, 733joumNR3.m, 732jtala1kLEM.m, 735jtalaNBA.m, 734kaarPrbSTMSjPr.m, 737kaarPrbSTMSjPr.out, 340kaarSjPr1.m, 737kaarSjPr1.out, 330kaarSjPr30.m, 719kaarSjPrBA.m, 720kinnmom1, 736kinnmom2, 736kinnmom3, 736LemKe.m, 739LemKelin.m, 738lemTalafq3x1Lp.m, 738lemTalafq4x1.m, 737lemTalaIIfq3x1Lp.m, 738lemTalaIIfq4x1.m, 738lemTalaIIK3x3lpar.m, 737lemTalaK3x3lpar.m, 737lemTalaKe4x4.m, 737lemTalaKg4x4.m, 737LemTalaNaide1.m, 738lihttala.m, 717lihttalaPrbKSjPr.m, 719mxq.m, 741mxrikki.m, 741naide1er.m, 741, 742naide2r.m, 742naide3ep.m, 742remColJRfromA.m, 727remRowIRfromA.m, 726siireNAB.m, 720siireNAD.m, 201, 720Sisejoud3LraamiPnktis.m, 728SisejoudPunktis.m, 727SisejoudTalaPunktis.m, 727sp3liigendRaamEST.m, 729spGerberiTala.m, 718spGerberTalaEST.m, 730spIN.m, 718spInsertBtoA.m, 726spRaam3EST.m, 730spRaamEST.m, 728spRaamEST77.m, 728spRaamEST93.m, 731755

756 INDEKSspRaamESTsn0.m, 740spRaamESTsn1.m, 740spRaamESTsn2.m, 740spRaamESTsn3.m, 739spSisestaArv.m, 726spTalaEST.m, 732spTalaVarrasESTR.m, 725, 726spTundmatudVorrandid.m, 733spTundmatudVorrandidII.m, 733srstkESTPY.out, 391srstkLEM.m, 738srstkLEM.out, 367srstkLemBA.m, 738srstkLemPY.m, 738srstkLemPY.out, 364srstkN1.m, 720srstkNBA.m, 720SsjoudGrbrTalaPnktis.m, 728talaRajajoud.m, 717talaRajaSiirded.m, 717tnnusarv.m, 741toemom1.m, 734ylffzII.m, 745ylfhlin.m, 721ylfhvzII.m, 743ylflin.m, 723ylfmhvII.m, 743ylfmII.m, 744ylqII.m, 744ylqvII.m, 744ylSfhlin.m, 721ylSTfhlin.m, 721ylTfhlin.m, 721ylvfmhvII.m, 746ynadII1.m, 746yRaam1.m, 747ysplfhlin.m, 723ysplfmhvII.m, 743ysplvfmhvI.m, 724ysplvfmhvII.m, 746yspRaamEST.m, 747yspSlfhlin.m, 724yspSlvfmhvI.m, 724yspSRhlin.m, 725yspSRmhvI.m, 725yspSTlfhlin.m, 724yspSTlvfmhvI.m, 725yspTlfhlin.m, 723yspTlvfmhvI.m, 724ytransf.m, 745ytransfp.m, 745yzfz.m, 723yzfzv.m, 722yzhqz.m, 721yzqz.m, 723yzSfzv.m, 722yzShqz.m, 722yzSTfzv.m, 722yzSThqz.m, 722yzTfzv.m, 722arvutuspäevikdefNBA.out, 310eesarvuIIlahend.out, 560horedad1.out, 648horedad2.out, 649horedad3.out, 650joumNA4q.out, 249joumNAq.out, 236LemKe.out, 619LemTalaNaide1.out, 376naide4al.out, 541siireNA.out, 188sp3liigendRaamEST.out, 447spGerberTalaEST.out, 455spRaamEST.out, 413spRaamEST77.out, 429spRaamEST93.out, 421spRaamESTsn0.out, 492spRaamESTsn1.out, 490spRaamESTsn2.out, 488spRaamESTsn3.out, 486spTalaESTa.out, 439srstkN2.out, 158toereaktsioonVa.m, 55toereaktsioonVa.out, 54toereaktsioonVao.out, 56

INDEKS 757yRaam1.out, 588yspRaamEST.out, 605arvutusskeem, 79, 83, 397, 592hetkmuutuv, 86arvutustabel, 83astmekeskmine lähendamine, 679baasjäikus, 230, 241, 301, 384, 385, 577–579, 583, 587, 592, 595, 696baastunnusarv, 524baasvarda pöördenurk, 297, 298baasvarda pööre, 294Bernoulli vardateooria, 499Besseli funktsioonid, 502Betti teoreem, 174–176Cauchy meetod, 383, 689Crameri valem, 635deformatsioonienergia, 172, 174, 176, 471deformatsioonimeetod, 32, 217, 281deltafunktsioon, 40, 570determinant, 634diaadkorrutis, 373, 616, 629diferentsiaalgeomeetria, 42diferentsiaalseosedkaar, 126varras, 45diferentsiaalvõrrandi lahendi hälve, 680dissipatsioonienergia, 480, 484dünaamiline koormus, 38eelpinged, 218eesarv, 518eesarvud, 514, 517, 612funktsioon A * , 516, 707funktsioon A * + B * , 516, 707funktsioon A * − B * , 516, 707funktsioon B * , 516, 707funktsioon C * , 516, 707funktsioon V * , 516, 707eesarvud tõmbel, 515elastse joone universaalvõrrand, 690, 691elastsuskese, 332, 344elastsuskeskme ordinaat, 334energiaprintsiip, 32energiateoreem, 37, 172, 176, 351pikkel, 172energiateoreem pikkel, 37epüürmomendi epüür, 521erilahend, 516esimene märgikokkulepe, 568, 569, 572,576, 601, 670, 694esimest järku teooria, 44EST-meetod, 208, 384, 397, 407, 408, 419,425, 426, 437, 479, 583, 592pidevustingimus sõlmes, 596rajatingimused, 600siirete pidevuse võrrandid, 596sõlmede tasakaaluvõrrandid, 598ülekandevõrrandid, 596ülekandevõrrandite vabaliikmed, 596fenomenoloogiline mudel, 41fiktiivsed koormused, 253fiktiivsed toereaktsioonid, 257fookus, 258fookussuhted, 259funktsionaal, 176funktsioonide lähendamine, 678funktsioonide skalaarkorrutis, 37Gaussi valem, 661geomeetriline jäikusmaatriks, 612geomeetrilise määramatuse aste, 281, 293geomeetriliselt määratud põhiskeem, 313,545geomeetriliselt mittelineaarne teooria, 42geomeetriliselt muutuv skeem, 221Greeni funktsioon, 65grupptundmatu, 333Hadamardi korrutamine, 631Heaviside’i funktsioon, 58, 571, 698Hermite’i interpolatsioon, 670Hermite’i polünoom, 658, 659, 662hetkpoolus, 87, 89homogeenne, 30Hooke’i seadus, 42

758 INDEKShõre maatriks, 104–106, 362, 398, 408, 427,434, 437, 443, 451, 453, 585, 592,637, 638, 647, 650sparse(iv,jv,sv), 647sparse(m,n), 647sparse(Ti), 650spconvert(A), 647spInsertBtoA.m, 650X=spA∖B, 652hälvediferentsiaalvõrrandi lahendi, 680kinemaatiliste rajatingimuste, 680staatiliste rajatingimuste, 680hüperboolsed funktsioonid, 510, 706I järku teooria, 44I märgikokkulepe, 47, 179, 207, 208, 355,568, 569, 572, 576II järku teooria, 44, 578, 609II märgikokkulepe, 47, 52, 179, 281, 293,355, 476, 513, 521, 568, 569, 573,577, 578, 584, 587, 696, 702, 703,709, 710III järku teooria, 45indekstabel, 349, 359, 372, 373, 616integreerimiskaal,661kordaja, 661punkt, 661sõlm, 661interpolatsioon, 707iseärane ristlõige, 39isotroopne materjal, 30Jacobi polünoom, 662joone kõverus, 42, 43, 334joone kõverusraadius, 43, 334joonkoormus, 38joonpaisumistegur, 183, 188, 223jõumeetod, 32, 217jõumeetodi kanooniline võrrandisüsteem,223jõupaar, 314, 316, 547jäigad konsoolid, 332, 344jäik konsool, 332jäik tugi, 81jäikusmaatriks, 348, 611konstruktsiooni, 349, 354vedru, 348järkjärguline koormuse suurendamise meetod,471, 479jätkuvtala arvutus fookussuhetega, 262jätkuvtala fookussuhted, 258jätkuvtala staatilise määramatuse aste,251jääkdeformatsioon, 475jääkpinged, 468kaalufunktsioon, 505, 661, 662, 679, 680kaalutud lähendamine, 679kaar, 119diferentsiaalseosed, 126elastsuskese, 332, 333, 337, 344elastsuskeskme ordinaat, 334, 338kaare sille, 120kaare tõus, 120, 326kannaliigend, 119, 127, 132kõrged, 120kõrgus, 120lamedad, 120lukuliigend, 119, 120, 127, 132normaalsed, 120roomav kaar, 120sisejõud, 124survejoon, 127suure kõverusega, 326telgjoon, 122telgjoon parabool, 122telgjoon ring, 122väikese kõverusega, 326kaarskeem, 79kandepiirseisund, 29, 465kannaliigend, 127, 132kasutuspiirseisund, 29keskmine lähendamine, 679kinemaatiline ahel, 84kinemaatilised kontaktitingimused, 208kinemaatilised lisatundmatud, 217

INDEKS 759kinemaatilised rajatingimused, 207, 208,373, 383, 406, 411, 436, 506, 677,680kinemaatilised tundmatud, 208kinemaatiliste rajatingimuste hälve, 680kinnitusmomendid, 324kohalikud koordinaadid, 49, 355, 356, 585,586, 596kolmandat järku teooria, 45kolme liigendiga raami põhivõrrandid, 443kolme momendi võrrand, 253, 254konstruktsiooni jäikusmaatriks, 349, 354konstruktsiooni põhivõrrandid, 398, 427,434, 443, 452kontakti vabadusaste, 642kontaktitingimused, 82, 208kontaktjõud, 35, 36, 42, 81, 83, 93, 148, 379töö, 368kontaktjõud ja liigendid, 82kontaktjõudude arv, 91–93kontaktpind, 35, 36, 81koondkoormus, 38koordinaadidkohalikud koordinaadid, 49, 355, 356,585, 586, 596üldkoordinaadid, 49, 356, 585, 586, 596koordinaatteisendus, 50, 51, 192, 305koormusjoon, 38pind, 38ruum, 38koormusliikmed, 313, 545korrusskeem, 93kriitiline jõud, 76kriitiline koormus, 524kujufunktsioon, 337, 655, 660kujund, 84kõrged kaared, 120kõrvalpoolus, 88kõrvaltingimus, 52, 400–402, 404–406, 435,436Lagrange’i polünoomi kordaja, 337, 655Laguerre’i polünoom, 662lamedad kaared, 120lauskoormus, 38lausmoment, 39Legendre’i polünoom, 662, 663Legendre’i polünoomi sõlmed, 668LEMlõplike elementide meetod, 368, 610lihe, 38lihtliigend, 52, 220, 223, 399lihtliigendite arv, 84, 91, 220liigendidjäik ühendus, 82normaaljõu liigend, 82paindemomendi liigend, 82põikjõu liigend, 82vabad otsad, 82liigside, 217liikuv liigendtugi, 81, 274liikuv pöördumatu tugi, 81lisaosa, 91lisatundmatud, 217, 221lisatundmatute arv, 220loomulikud rajatingimused, 383, 677, 680lossimine, 475lukuliigend, 120, 127, 132lõige, 33lõikemeetod, 32, 33, 148lõikepinnal mõjuvad jõud, 35lõplike elementide meetod, 32, 368, 610lähendfunktsioonalgebraline, 678trigonomeetriline, 678üldistatud polünoom, 678lähendamineastmekeskmine lähendamine, 679kaalutud lähendamine, 679keskmine lähendamine, 679ruutkeskmine lähendamine, 679ühtlane lähendamine, 679lähteformuleering, 681löök, 38maatriks, 627alammaatriks, 361

760 INDEKSelement-element korrutis, 631, 666Hadamardi korrutis, 631, 666hõre maatriks, 106, 362, 637korrutis, 630lahutamine, 628liitmine, 628maatrikskorrutis, 357ortogonaalne, 356ortogonaalne maatriks, 51, 502osamaatriks, 632pöördmaatriks, 502, 633singulaarne maatriks, 633tihe maatriks, 637transponeeritud, 632täismaatriks, 106, 637, 650ühikmaatriks, 633Maxwelli-Cremona diagramm, 151mehhanism, 84momendi epüür, 521momendiliigend, 406, 444, 452, 598, 644momentpunkti võte, 148mudel, 42mõjufunktsioon, 65mõjujoon, 65märgikokkulepe, 47, 355I märgikokkulepe, 47, 207, 208, 355II märgikokkulepe, 47, 52, 355mõõduta koordinaat, 65, 337Newtoni-Cotes’i valem, 661normaaljõud, 321, 499, 574normaalsed kaared, 120nõrkformuleering, 681näide2 x staatikaga määramatu raam, 2233 x geomeetriliselt määramatu raam,3003 x geomeetriliselt määramatu raam 2,3123 x staatikaga määramatu raam, 2294 x staatikaga määramatu raam, 238Gerberi tala, 96Gerberi tala 2, 110Gerberi tala mõjujooned, 108jätkuvtala arvutus, 269, 437jätkuvtala fookussuhetega, 262jätkuvtala kolme momendi võrrandiga,254kahe liigendiga kaar, 328kolme liigendigakaar, 127kaare mõjujooned, 134raam, 136, 140, 445konstruktsiooni piirkoormus, 466lihttala, 58lihttala siirded, 61, 181liigenditeta kaar, 336mitmesildeline tala, 453murtud varda siirded, 183, 186paraboolne kaar, 132plastne tugevusmoment, 470plastne vastupanumoment, 470pooluste plaan, 89raami 1 kriitiline koormus, 524raami 4 kriitiline koormus, 537raami siirded, 190segaskeem EST-meetodiga, 459sisejõudude leidmine mõjujoontega, 73sõrestiku arvutus, 154, 158sõrestiku arvutus. EST, 386sõrestiku arvutus. LEM, 363, 367sõrestiku mõjujooned, 165talal liikuv kolonn, 114talal liikuvad kraanad, 114varrassüsteem. LEM, 359vedrusüsteem. LEM, 352olekuparameeter, 40olekuvõrrand, 42olulised rajatingimused, 383, 677, 680ortogonaalne maatriks, 502ortogonaalne polünoom, 662ositi integreerimise valem, 675otsekorrutis, 373, 616, 629paigalseisev liigendtugi, 81paindenurk, 38paine, 33

INDEKS 761paine temperatuurist, 187paraboolse jaotusega koormus, 337parandusteguridfunktsioon η 1 (ν i ), 516, 539, 707funktsioon η 2 (ν i ), 516, 539, 707funktsioon φ 1 (ν i ), 516, 539, 707funktsioon φ 2 (ν i ), 516, 539, 707funktsioon φ 3 (ν i ), 516, 539, 707funktsioon φ 4 (ν i ), 516, 539, 707parema käe kolmikud, 49parema käe teljestik, 179parempoolne fookussuhe, 258, 260parempoolsed fookused, 258passiivne deformatsioon, 467passiivtöö, 171, 350, 506peapoolus, 87, 89pidevustingimus, 82, 208, 217, 281, 585,596sõlmes, 596piirkoormus, 465piirkoormuste määramine, 32piirseisund, 29pike, 33pikijõud, 500, 521, 574, 601pikipõikpainde diferentsiaalvõrrand, 503pikipõikpaine, 499, 503pikkuse muut, 38pindkoormus, 38pinnanormaal, 81plastne liigend, 469, 472plastne tugevusmoment, 470plastne vastupanumoment, 470polaarkiir, 87polünoomHermite’i, 662Jacobi, 662Laguerre’i, 662Legendre’i, 662, 663sõlmed, 662Tšebõšovi, 662polünoomi kordaja, 655polünoomi sõlmed, 653, 662poolusplaan, 89, 293positiivsed kiud, 227, 232, 234, 246potentsiaalenergia, 172, 471, 507prinkus, 33lõikeprinkus, 33paindeprinkus, 33pikkeprinkus, 33projektsioonide võte, 148projitseerimine, 229, 233, 322, 412, 420,562, 587, 603põhideformatsioonid, 38põhiosa, 91põhiskeem, 221põhiskeemi muutujad, 281põhivõrrandid, 386, 395, 398, 583, 592, 692põikjõu märgi määramine, 45, 320põikjõud, 321, 574, 575pööratud tasakaalumaatriks, 153pöörde hetkkese, 87pöördenurgameetod, 281, 300pöördformuleering, 681pöördmaatriks, 502, 511, 513raampõhiskeem, 221, 230staatiline kontroll, 233, 248, 307, 322,412, 420, 562, 587, 603varrasahel, 300raamskeem, 79rajaelementide meetod, 208, 583, 592rajajõud, 36, 37, 42, 80, 506, 580, 684töö, 37, 172, 350, 684virtuaaltöö, 670rajajõudude virtuaaltöö, 676rajasiire, 38, 42, 80, 580rajatingimused, 42, 80, 580, 675kinemaatilised, 373, 506, 677loomulikud, 677olulised, 677staatilised, 373, 506, 677ratsionaalse telgjoonega kaar, 127reaktsioonide vastastikkuse teoreemi, 178reaktsioonimoment, 314, 547resultantjõu hulknurk, 126resultantjõud, 126

762 INDEKSristjõud, 499, 500, 521, 574, 575, 601ristlõike baasjäikus, 230, 241ristlõike tugevusvaru, 475ristlõike jäikus, 33lõikejäikus, 33paindejäikus, 33pikkejäikus, 33väändejäikus, 33Ritteri lõikemeetod, 149Rodriguesi valem, 662Rombergi valem, 661roomav kaar, 120ruumkoormus, 38ruutkeskmine lähendamine, 679segameetod, 217sidemetest vabastamise printsiip, 34siirdemeetod, 217siiretegelik siire, 36virtuaalsiire, 36võimalik siire, 36siirete pidevus, 82siirete pidevusvõrrand, 42siirete vastastikkuse teoreem, 177Simpsoni 3/8-valem, 664, 666Simpsoni valem, 664, 672singulaarne ristlõige, 39sisejõud, 33, 35, 42, 81, 148märgireegel, 48, 355põikjõud, 33paindemoment, 33passiivtöö, 506pikkejõud, 33potentsiaalenergia, 174, 176töö, 37, 172, 350, 368, 684väändemoment, 33virtuaaltöö, 507, 671, 676sisemine vabadusaste, 463, 616, 642sisepind, 81sisesiire, 38, 42lihe, 38paindenurk, 38pikkuse muut, 38väändenurk, 38skaleerimine, 579skaleeritudvõrrandisüsteem, 384, 579võrrandisüsteemi kordaja, 596spTi – varda i teisendusmaatriks, 408staatikaga määramatu, 84staatikaga määramatuse aste, 220staatikaga määratav, 84staatikaga määratud tala põhivõrrandid,452, 454staatiline kondensatsioon, 616, 642staatiline kontrollraam, 233, 248, 307, 322, 412, 420, 562,587, 603tala, 102, 107, 112staatiline koormus, 38staatiline moment, 298staatilised kontaktitingimused, 208staatilised rajatingimused, 207, 208, 373,383, 406, 411, 436, 506, 677, 680staatilised tundmatud, 208staatiliste rajatingimuste hälve, 680superpositsioon, 521superpositsiooniprintsiip, 30, 226survejoon, 127suunakoosinus, 50, 154, 585, 593sõlme reaktsioonimomendid, 315sõlme tasakaalutingimus, 51, 598sõlmede eraldamise võte, 148sõlmpunkt, 82, 83sõrestikalumine vöö, 147diagonaalid, 147koormusvektor, 156liigitus, 147Maxwelli-Cremona diagramm, 151momendipunkti võte, 149, 150mõjujooned, 165paneeli pikkus, 147postid, 147projektsioonide võte, 151Ritteri lõikemeetod, 149

INDEKS 763Ritteri punkt, 150sisejõudude diagramm, 151sõlmede eraldamise võte, 148sõrestikuvõrk, 147talasõrestiku mõjujooned, 153ülemine vöö, 147sõrestike liigitus, 147sõrestikkonstruktsioon, 79sõrestikskeem, 79, 147sümbol ∀, 176süsteemi tugevusvaru, 475süsteemi topoloogia, 353taladiferentsiaalseosed, 56jäikusmaatriks, 616paindemomendi mõjujooned, 71põhivõrrandid, 435, 437põikjõu mõjujooned, 71sille, 269, 437staatiline kontroll, 102, 107, 112toereaktsioonide mõjujooned, 67, 70tasakaalumaatriks, 153tasakaalutingimus, 82, 208sõlme tasakaalutingimus, 51, 598varda tasakaalutingimus, 84tasakaaluvõrrand, 42tegelik siire, 36teine märgikokkulepe, 476, 568, 569, 573,577, 578, 601, 671, 694, 696teisendusmaatriks, 585, 594teist järku teooria, 44, 555, 578, 609tervikmeetod, 217, 383tihe maatriks, 637tingimata vajalik side, 217toed, 80jäik tugi, 80liikumatu liigendtugi, 120liikuv liigendtugi, 80liikuv pöördumatu tugi, 80paigalseisev liigendtugi, 80vaba ots, 80toemomendid, 261toereaktsioonid, 80toereaktsioonide arv, 84, 91toeside, 83toetingimused, 80topoloogia, 158süsteemi topoloogia, 353transitiivsus, 596trigonomeetrilised funktsioonid, 510Tšebõšovi polünoom, 662tunnusarv, 518, 574, 601tõmbiga kaheliigendiga kaar, 328täiendav moment, 553täiendustöö, 171täismaatriks, 106, 637, 650täistöö, 174tööaktiivtöö, 171, 172, 176, 350passiivtöö, 171, 172, 176, 350, 506rajajõudude töö, 350rajajõudude virtuaaltöö, 676sisejõudude passiivtöö, 506sisejõudude töö, 350sisejõudude virtuaaltöö, 507, 676täiendustöö, 171, 172, 176virtuaaltöö, 507välisjõudude passiivtöö, 506välisjõudude virtuaaltöö, 676tööde vastastikkuse teoreem, 174–176, 676,677paindel, 686pikkel, 684sisejõudude töö paindel, 687sisejõudude töö pikkel, 685tööseisund, 33lõige, 33paine, 33pike, 33vääne, 33vaba ots, 81vabadusastmete arv, 81, 83, 84, 91–93vantskeem, 79vardaeesarvud, 524, 545, 560, 562jäikus, 282

764 INDEKSkinnitustegur, 542, 543peapoolus, 298pööre, 282põhivõrrandid, 384, 395, 692reaktsioonimomendid, 315, 316, 318,548tunnusarv, 508, 524, 545, 560, 562, 601,612, 706variatsioon, 176varrasahel, 84, 87, 89, 293, 313, 494, 545varrasahela virtuaaltöö, 548varrassüsteem, 79arvutusskeem, 359varraste arv, 84varraste eraldamise võte, 149, 154, 158varraste kinnitusmomendid, 545varraste sisejõud, 160vasakpoolne fookussuhe, 258, 260vasakpoolsed fookused, 258vastastikused siirded, 82vedru esimene samasus, 176vedru jäikusmaatriks, 348vedru teine samasus, 176vektordiaadkorrutis, 373, 616, 629element-element korrutis, 187, 631Hadamardi korrutis, 631, 666otsekorrutis, 373, 616, 629reavektor, 627–629skalaarkorrutis, 49, 629, 666veeruvektor, 627, 628Vereštšagini võte, 224, 253, 666virtuaalsiire, 36, 174, 313, 545, 676virtuaalsiirete printsiip, 35, 171, 368, 669,672, 684paindel, 686pikkel, 684virtuaaltöö, 507, 547voolavuspiir, 465, 467, 469võimalik siire, 36võlv, 325võrrandidülekandevõrrandid, 596ülekandevõrrandite vabaliikmed, 596võrrandisüsteemEST-meetodis, 209, 596hõredad mittesümmeetrilised, 211lindi laius, 362skaleerimine, 384, 579, 696välis- ja sisejõudude virtuaaltööpaindel, 676, 686pikkel, 684välisjõud, 35, 42passiivtöö, 506töö, 172, 176, 368välispind, 36välissiire, 42väändenurk, 38vääne, 33Wronski determinant, 567ühikkoormuse meetod, 692ühikvektorite kolmikud, 49ühtlane lähendamine, 679üldistatud ühikjõud, 178üldkoordinaadid, 49, 356, 585, 586, 596ülekandemaatriks, 385, 576–578, 602, 697,699ülekandemaatriksmeetod, 383ülekandevõrrandid, 58, 59, 573, 583, 594,596, 692, 698vabaliikmed, 596