Untitled

1.5 Lõikemeetod ja virtuaalsiirete printsiip 37Võrrandi (1.4) parempoolne liige väljendab väliskoormuse q x tööd W v siirdel ˆu. Onvõimalik näidata, et koondkoormuse F xi töö varda telje punkti i siirdel ˆu i on F xiˆu i .Seega,W v =Võrrandi (1.4) vasakpoolset avaldist integreerime ositi valemi∫︁ baq x (x) ˆudx + F xiˆu i (1.5)∫︁ ba∫︁ budv = uv | b a − vdu (1.6)ajärgi, võttes u ja dv järgmiselt:∫︁ b⏟ ˆu ⏞ausaame avaldise∫︁ ba(︃dEA du )︃dxdx dx⏟ ⏞dv(︃ˆud EA du )︃ (︃= EA du )︃ ∫︁ (︃ bˆu | b a − EA du )︃dx dxa dx⏟ ⏞⏟ ⏞N xN xdˆudx ⏟ ⏞^λdx (1.7)Võrrandi (1.7) parema poole esimene liige väljendab rajajõudude N ↔ x tööd W r rajasiiretelˆu. Võrrandi (1.7) parema poole teine liige kirjeldab sisejõudude tööd W s .Võttes arvesse välisjõudude töö avaldise (1.5) ja rajajõudude töö avaldise (1.7), võibintegraali (1.4) kirjutada kujul↔N x ˆu⏟ ⏞W r∫︁ b∫︁ b| b a − N xˆλdx + ( q x (x) ˆudx + F xiˆu i ) = 0 (1.8)aa⏟ ⏞ ⏟ ⏞W s W vAvaldis (1.8) väljendab energiateoreemi pikkel. Rajajõudude, sisejõudude ja välisjõududetööde summa on null. Kui rajajõudude töö on null, siis välis- ja sisejõu tööd on võrdsedning vastasmärgilised. Avaldises (1.8) on sisejõudude töö miinusmärgiga. Vardamehaanikasvaadeldakse sisejõudude tööd W s kui integraali pikijõu N (x) ja prinkuse λ (x)korrutisest. Sellise korrutise puhul räägivad matemaatikud funktsioonide skalaarkorrutisestHilberti 14 ruumis. Töö ja energia mõisteid ehitusmehaanikas ja lõplike elementidemeetodis käsitles John Argyris 15 oma energiateoreemides [Arg54].Nagu selgub avaldisest (1.7), on rajajõudude mõiste üldisem kui toereaktsioonide(joonis 3.1) ja kontaktjõudude mõiste. Rajajõudude ja välisjõudude olemused on erinevad.Rajajõudude mõistet vaatlevad W.B. Krätzig ja U. Wittek [KW90]. F. HartmanniEhitusmehaanika matemaatilistes alustes“ [Har85] käsitletakse neid mõisteid põhjalikult.”14 David Hilbert, saksa matemaatik, 1862–1943.15 John Argyris, TTÜ audoktor, 1913–2004.