MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ ÁP DUNG - Trường THPT ...

Một số bài toán về Đa thức và áp dụngThS Nguyễn Vũ ThanhBài 7:a/ Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên và P(k) không chia hết cho 5( k = 0, 1, 2, 3, 4). CMR P(x) không có nghiệm nguyên.b/ CMR nếu P(x) =1 có quá 3 nghiệm nguyên phân biệt thì P(x) = -1 không có nghiệm nguyên.Hướng dẫn:a/ Giả sử P(x) có nghiệm nguyên n ta có P(x) = (x-n)Q(x) P( k) ( k n) Q( k)( k = 0,1,2,3,4).Vì 0-n, 1-n, 2-n, 3-n, 4-n là 5 số nguyênliên tiếp nên tồn tại i sao cho P(i) chia hết cho 5 , vô lýb/Giả sử a là nghiệm nguyên của P(x) = -1 và x 1 , x 2 , x 3 , x 4 là 4 nghiệm củaP(x)=1.Ta có P( x) 1 ( x x1)( x x2)( x x3)( x x4) Q( x).Thay x = a vào được2 ( a x )( a x )( a x )( a x ) Q( a),vô lý1 2 3 4Bài 8: Cho đa thức P(x) với hệ số thực bậc n và có hệ số bậc cao nhấtbằng 1. Biết rằng P(x) có n nghiệm x 1 , x 2 ,…, x n thỏa 0 x i 1.CMR :n 1n( 2) P( ) ( 3) P(0)2Hướng dẫn:n( ) ( )( )...( ) và P(0) ( 1) x1x2...x n;P x x x1 x x2x x n1 1 1 1 n (2x1 1)(2 x21)...(2 xn1)P( ) ( x1 )( x2)...( xn) ( 1)n2 2 2 2 2n 1 ( 2) P( ) (2x1 1)(2 x2 1)...(2 xn1) 3 x1.3 x2...3x2 3 x x ... x 3 ( 1) P(0) ( 3) P(0)n n n n1 2 nDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi P( x) ( x 1) nkBài 9: Cho đa thức f(x) bậc n và f ( x) ( k 0,1,..., n).Tính f(n+1)k 1Hướng dẫn:(x+1)f(x)-x là đa thức bậc n+1 có n+1 nghiệm nênn.