9. HDV Cauchy ülesannete ligikaudne lahendamine
9. HDV Cauchy ülesannete ligikaudne lahendamine
9. HDV Cauchy ülesannete ligikaudne lahendamine
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Siit avaldame u(t i+1 ):u(t i+1 ) ≈ u(t i ) + hf(t i , u(t i )). (<strong>9.</strong>2)Saame järgmise seose otsitava lahendi ligikaudsete väärtuste jaoks:u i+1 = u i + hf(t i , u i ). (<strong>9.</strong>3)Tegemist on ühesammulise meetodiga, mida tuntakse Euleri meetodi nime all.Euleri meetod on 1. järku täpsusega. Absoluutse vea hinnang punktis t i onjärgmine:kus C on konstant.|u i − u(t i )| ≤ Ch,<strong>9.</strong>2. Trapetsvalemi meetod. Prognoosi-korrektsiooniskeem.2. järku Runge-Kutta meetodIntegreerime diferentsiaalvõrranditlõigul [t i , t i+1 ]:u ′ (t) = f(t, u(t))∫ ti+1t iu ′ (t)dt =∫ ti+1t if(t, u(t))dt.Newton-Leibnitzi valemi põhjal kehtib ∫ t i+1t iu ′ (t)dt = u(t i+1 ) − u(t i ). Järelikult∫ ti+1u(t i+1 ) = u(t i ) + f(t, u(t))dt. (<strong>9.</strong>4)t iKasutame selles võrrandis sisalduva integraali jaoks trapetsvalemit (7.10) kahesõlmega t i ja t i+1 :∫ ti+1t if(t, u(t))dt ≈ h 2[]f(t i , u(t i )) + f(t i+1 , u(t i+1 )) . (<strong>9.</strong>5)Asendades integraali ∫ t i+1t if(t, u(t))dt valemi (<strong>9.</strong>5) põhjal avaldisse (<strong>9.</strong>4), saamejärgmise võrduse:u(t i+1 ) ≈ u(t i ) + h 2 f(t i, u(t i )) + h 2 f(t i+1, u(t i+1 )). (<strong>9.</strong>6)Seega tekib järgmine valem lahendi ligikaudsete väärtuste jaoks:u i+1 = u i + h 2 f(t i, u i ) + h 2 f(t i+1, u i+1 ) . (<strong>9.</strong>7)44
Change language