3. Financijska matematika

3. Financijska matematika
3.1. Jednostavan obračun kamata
Primjer 1. Oročili smo 100 kn na godinu dana. Koliki će biti ušteđeni iznos, ako je
godišnja kamatna stopa 7% ?
Uvedimo oznake:
C – C(apital), glavnica
C0
- početni iznos glavnice
p – godišnja kamatna stopa, interest rate per year
n – vrijeme izraženo u godinama
I – I(nterest), kamata
I = pC = 0.
07 ⋅100
= 7kn
0
C = C + I = 100 + 7 = 107 kn
0
Jednostavni obračun kamata radi se tako da se iznos kamate, određen godišnjom
kamatnom stopom, pomnoži sa brojem godina oročenja n te se pripiše početnom iznosu
glavnice.
C = C + npC = C ( 1+
np)
0
0
0
Primjer 2. Koliki će biti ušteđeni iznos ako 7000 kn oročimo na 18 godina uz
godišnju kamatnu stopu od 5% ?
(rj. 13300 kn.)
1

3.2 Složeni obračun kamata
◊ Nakon svakog obračunskog razdoblja, kamata se pripisuje glavnici
C
C
C
⋅
.
.
1
2
3
= C
0
= C
= C
1
2
+ pC = C ( 1+
p)
+ pC
0
1
+ pC
C )
2
0
2
= C ( 1+
p)
= C ( 1+
p)
1
3
= C ( 1+
p)
= C ( 1+
p)
2
0
0
n
C0
( 1 p + = - ušteđeni iznos nakon n godina štednje
Ako je godina podijeljena na k jednakih obračunskih razdoblja:
⎛ p ⎞
C = C0
⎜1+
⎟
⎝ k ⎠
nk
Primjer 3. Koliki je ušteđeni iznos nakon 18 godina, ako smo uložili 7000 kn, uz
godišnju kamatnu stopu od 5% složeni godišnji obračun kamata? (a)
(rj. 16 846 kn )
(b) Koliki je ušteđeni iznos uz iste uvjete ako se kamate obračunavaju kvartalno?
⎛ 0.
05 ⎞
C = 7000⎜1+
⎟ ≈ 17121 kn
⎝ 4 ⎠
Formula neprekidnog ukamaćivanja
72
Kada bi se složeno ukamaćivanje glavnice C0 vršilo svakog trenutka, na kraju
vremenskog razdoblja od n godina, uz godišnju kamatnu stopu p na računu bi imali iznos
C C ⋅ e
= 0
np
2

Takvo ukamaćivanje naziva se neprekidno; po gornjoj formuli odvija se prirast biljne
mase u šumi, prirast stanovništva i sl.
Primjer 4. Broj stanovnika nekog grada kroz 2 godine povećeo se sa 1 200 000 na 1
220 000. Kakvo je predviđanje broje stanovnika za naredne 2 godine?
Rješenje: C = C0ÿ e np
1.22 = 1.20ÿ e 2p (podijelili smo jednadžbu s 10 6 )
2 p 1.
22
e =
1.
2
e 2p =1.0167
2p = ln 1.0167
p = 0.00826 tj. º 0.83% --> godišnja stopa rasta stanovništva
C = C0ÿ e np
C = 1.22ÿ10 6 ÿ e 2ÿ0.0083
C º 1 240 420 (stanovnika)
3.3 Obročna štednja
◊ Uplaćujemo isti iznos C0
početkom svake godine i oročavamo ga do datuma koji
dospijeva n godina nakon ulaganja prvog iznosa
Uz godišnju kamatnu stopu p, dobiti ćemo slijedeće vrijednosti:
Uplaćen iznos Vrijeme štednje u godinama Narasla vrijednost
C n
C ( 1
n
p)
0
0
0 +
C n-1 ( ) 1 n−
0
C
0 1
+ p
n−2
C n-2 ( )
0
C
0 1
+ p
C 1 C ( 1+
p)
Ušteđeni iznos nakon n godina je:
C
n
= C ( 1+
p)
0
2
n−1
[ 1+
( 1+
p)
+ ( 1+
p)
+ ... + ( 1+
p)
]
0
3

(Formula za sumu prvih n članova geometrijskog reda S
te je:
C
n
= C
( 1+
p)
( 1+
p)
p
0
n
−1
n
= a
1
n
q −1
)
q −1
formula za ušteđeni iznos pri obročnoj štednji uz uplate početkom godine.
Financijska matematika - primjeri i zadaci
C = C ( 1+
np)
Formula jednostavnog kamatnog računa
0
Primjer 1.
(a) Na dan rođenja djeteta stavili smo u banku 10 000 kn. Koliki će biti ušteđeni iznos
nakon 15 godina ako se kamata obračunava kao jednostavna uz p = 7% ?
(b) Koliko je taj iznos veći u odnosu na banku koja bi davala kamatnu stopu p = 5% ?
(c) Koliko u postocima iznosi to uvećenje u odnosu na početnu uloženu svotu ?
Rješenje:
(a) C = 10 000 (1 + 15ÿ0.07) = 20 500 kn
(b) C = 10 000 (1 + 15ÿ0.05) = 17 500 kn => iznos je veći za 3000 kn
(c) 3 000 = x% od 10 000 => x = 30%
Ako se diže zajam sa jednostavnim obračunom kamata tada se on najčešće obračunava
anticipativno tj. banka pri isplati zajma od iznosa koji se posuđuje oduzima kamatu, te
isplaćuje takav umanjeni iznos, a glavnica se u cijelosti vraća nakon dogovorenog vremena.
Označimo sa D dobiveni iznos; tada je
D = C ( 1−
np)
0
Primjer 2.
Dižemo anticipativni zajam od 8000 kn na vremensko razdoblje od godinu dana, uz p =5%.
Koliko ćemo novca pri isplati dobiti ?
4

Rješenje: D = C0 (1 - np) = 8000ÿ(1 - 0.05) = 7 600 kn
Dakle, dobivamo 7 600 kn, a nakon godine dana moramo vratiti 8 000 kn.
Primjer 3.
Na koji iznos moramo podići anticipativni zajam s rokom otplate 2 godine ako želimo platiti
namještaj čija je cjena 14 000 kn; p = 4% ?
Rješenje: D = C0 (1 - np)
14 000 = C0 (1 - 2ÿ0.04)
14000
C 0 = = 15217 kn
1−
0.
08
Složeni obračun kamata
⎛ p ⎞
C = C0
⎜1+
⎟
⎝ k ⎠
nk
gdje je n - vremensko razdoblje štednje (posudbe) u godinama
k - broj obračunskih razdoblja u toku godine
C0 - glavnica
C - kapital nakon n godina
p - godišnja kamatna stopa
Primjer 4.
Na račun gdje se kamata obračunava kvartalno, sa p = 6% stavili smo 2000 kn.
(a) Koliki je iznos nakon 2 godine?
(b) Koliki bi bio iznos da se kamata obračunava godišnje kao jednostavna kamata?
(c)-(d) (a) i (b) ako n = 10 godina?
Rješenje:
⎛ 0.
06 ⎞
(a) C = 2000⎜1+
⎟
⎝ 4 ⎠
= 2253 kn
(b) C = 2000 1+
2 ⋅ 0.
06 = kn
( ) 2240
⎛ 0.
06 ⎞
(c) C = 2000⎜1+
⎟ = 3628 kn
⎝ 4 ⎠
(d) C = 2000 ˙( 1+
10 ⋅ 0.
06)
= 3200 kn
Primjer 5.
8
40
5

Za koje vrijeme će glavnica od 4000 kn narasti na 6000 kn ako je p = 5.2% uz složeno
polugodišnje ukamaćivanje?
Rješenje:
⎛ p ⎞
C = C0
⎜1+
⎟
⎝ k ⎠
nk
⎛ 0.
052 ⎞
6000 = 4000 ⋅ ⎜1+
⎟
⎝ 2 ⎠
1.5 = 1.026 2n
1.026 2n = 1.5 / log()
2nÿlog1.026 = log1.5
log1.
5
n =
2log1.
026
n = 7.9 god.
2n
Primjer 6.
Nakon koliko godina će glavnica C0 udvostručiti svoju vrijednost ako je ukamaćivanje
složeno sa godišnjom kamatnom stopom p = 5% a vrši se (a) godišnje (b) mjesečno
Rješenje:
(a) C = C0 (1 + p) n
2C0 = C0 (1 + 0.05) n
1.05 n = 2
log 2
n = ≈ 14.
2god.
log1.
05
(b) C = C0 (1 + p/k) nk
2C0 = C0 (1 + 0.05/12) 12n
1.004 12n = 2
log 2
n =
≈ 13.
9 god.
12 ⋅ log1.
004
Primjer 7.
Uz koju godišnju kamatnu stopu p je posuđen iznos od 10 000 kn ako nakon 2 godine treba
vratiti 12 000 kn, a ukamaćivanje se vrši godišnje.
Rješenje:
C = C0 (1 + p) n
12 000 = 10 000 (1 + p) 2
1.2 = (1 + p) 2
1 + p = 1.
2
p = 0.095 tj. p = 9.5%
(primjetite da bi uz jednostavno ukamaćivanje bilo p = 10%)
6

Primjer 8.
Koju glavnicu treba uložiti da bi nakon 2 godine uz kvartalno ukamaćivanje na računu imali
7000 kn ako je godišnja kamatna stopa p = 5.2% ?
Rješenje:
⎛ p ⎞
C = C0
⎜1+
⎟
⎝ k ⎠
nk
8
⎛ 0.
052 ⎞
7000 = C 0 ⎜1+
⎟
⎝ 4 ⎠
0 =
7000
8 ≈ 6313
C kn
1.
013
OBROČNA ŠTEDNJA
(složeni kamatni račun s višekratnim uplatama)
- uplaćujemo isti iznos C0 u jednakim vremenskim intervalima
- kamata se obračunava složeno po godišnjoj kamatnoj stopi p
I - uplaćujemo na početku vremenskog razdoblja (prenumerando uplate)
n
( 1+
p)
−1
C = C0
( 1+
p)
- ušteđeni iznos nakon n godišnjih uplata
p
C
( 1+
p )
−1
m
= C0
( 1+
pk
)
k
pk
, pk k
m = n ⋅ k
puta godišnje kroz n godina
p
= , - ušteđeni iznos ako su uplate k
II- uplaćujemo na kraju vremenskog razdoblja (postnumerando uplate)
C
n
( 1+
p)
−1
C = C0
- ušteđeni iznos nakon n godišnjih uplata
p
( 1+
p )
−1
m
k
p
= C0
, pk m = n ⋅ k
pk
k
godišnjekroz n godina
(a) 1 godine (b) 5 godina
= , - ušteđeni iznos ako su uplate k puta
7

Zadatak 1. Uplaćujemo 150 kn svaka 3 mjeseca na kraju kvartala uz p = 8%. Koliko ćemo
imati na kraju (a) 1 godine (b) 5 godina
Rješenje: (a) 618 kn (b) 3644 kn
Zadatak 2.
Želimo uštedjeti 10 000 EU kroz 20 godina i mjesečne uplate. Uz je p = 0.06 godišnje, kolika
treba biti mjesečna uplata ako
(a) uplaćujemo početkom mjeseca
(b) uplaćujemo krajem mjeseca
Rješenje: (b) 21.64 EU
Zadatak 3.
Kompanija želi potrošiti na novu opremu 40 000kn. Ako štedi 3 godine uz kvartalne uplate
početkom kvartala, kolike trebaju biti uplate ako je p = 0.05 ?
Efektivna kamatna stopa
Efektivna kamatna stopa je broj izražen u postocima koji kazuje za koliko posto se pri
određenim uvjetima ukamaćivanja (vremenski interval ukamaćivanja, iznos godišnje kamatne
stope) poveće glavnica kroz godinu dana.
Formula za izračunavanje efektivne kamatne stope je:
p
ef
⎛ p ⎞
= ⎜1+
⎟ −1
⎝ k ⎠
p - godišnja kamatna stopa
k - broj ukamaćivanja tijekom godine
k
Efektivna kamatna stopa služi za usporedbu opravdanosti ulaganja.
Primjer 1.
Koje ulaganje je isplativije
(a) p = 10% i kvartalni obračun ili (b) p = 9.8% i mjesečni obračun ?
Rješenje:
4
⎛ 0.
1⎞
(a) p ef = ⎜1+
⎟ −1
= 0.
1038 tj. 10.38%
⎝ 4 ⎠
8

12
(b) p ef
⎛ 0.
098 ⎞
= ⎜1+
⎟
⎝ 12 ⎠
−1
= 0.
1026 tj. 10.26%
==> ulaganje (a) je bolje
Neprekidno ukamaćivanje
1. U jednom gradu 1970. godine bilo je 83 000 stanovnika, a 1995. godine 88 000. Koliko se
stanovnika može očekivati 2010. godine ako pretpostavimo da će prirast i u narednim
godinama biti jednak? (rj. 91 143)
2. Po procjeni u šumi ima 32 500 m 3 drva. Koliko će drva u šumi biti za 10 godina, ako je
godišnji prirast 2.5% ? (rj. 41 603 m 3 )
9