Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV ...

Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV
Disciplina Matemática − Ensino Médio
Título: Probabilidade
5. Probabilidade
Introdução
5.1. Reconhecer o caráter aleatório de variáveis em
situações-problema.
5.2. Identificar o espaço amostral em situações-problema.
5.3. Resolver problemas simples que envolvam o cálculo
de probabilidade de eventos equiprováveis.
5.4. Utilizar o princípio multiplicativo no cálculo de
probabilidades.
Hoje em dia são freqüentes informações sobre a probabilidade de uma pessoa
ser sorteada em uma loteria, de contrair um uma doença, de um candidato
vencer uma eleição, etc. Além disso, valores de seguros de veículos, por
exemplo, são calculados levando-se em consideração, entre outros fatores, o
sexo e a idade do proprietário. Isto porque, dependendo destes fatores, estas
empresas sabem que podem ser maiores ou menores as chances do veículo se
envolver em um acidente. Portanto, probabilidades são utilizadas em situações
em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer, mas não é possível
saber antecipadamente qual deles realmente acontecerá. Por exemplo, fazendo
uma aposta em uma loteria, até que o sorteio se realize, é impossível saber se a
pessoa vai ganhar ou não, mas pode-se calcular a probabilidade disto
acontecer.
Os departamentos de qualidade das empresas também utilizam conceitos
de probabilidade e estatística para verificar se as mercadorias produzidas, ou se
os serviços prestados estão dentro de níveis esperados de qualidade. Para isto,
estes departamentos pesquisam uma amostra da produção, ou dos serviços
prestados, verificam nesta amostra o nível de qualidade e, utilizam os dados
obtidos na amostra para estimar os níveis de qualidade da produção toda, ou de
todos os serviços prestados. Esta técnica é extremamente importante pois, em
1

muitos casos, é muito difícil, ou até impossível, testar todas as mercadorias
produzidas.
Experimentos aleatórios
Diz-se que um experimento é aleatório quando repetido várias vezes, sob
condições semelhantes, os resultados são imprevisíveis.
Para exemplificar, vamos considerar os experimentos nas situações a seguir.
Situação 1. Experimento: Lançamento de uma moeda.
Por exemplo, o resultado de sair cara na face superior é aleatório.
Situação 2. Experimento: Lançamento de um dado.
Por exemplo, o resultado de sair um número maior que três na face superior é
aleatório.
Situação 3. Experimento: Extrair duas bolas de uma urna com 6 bolas azuis, 8
bolas brancas e 7 amarelas.
Por exemplo, o resultado de a extração ser duas bolas de mesma cor é
aleatório.
2

Experimentos determinísticos
Diz-se que um experimento é determinístico quando repetido várias vezes, sob
condições semelhantes, os resultados são essencialmente os mesmos.
Para exemplificar, vamos considerar os experimentos nas situações a seguir.
Situação 1. Experimento: Lançamento de um dado.
Por exemplo, o resultado de sair um número maior seis na face superior é
determinístico.
Situação 2. Experimento: Soltar uma pedra do alto de um morro.
O resultado de a pedra cair é determinístico.
Probabilidade
Não sendo possível determinar se um dado experimento aleatório ocorrerá ou
não, procuramos formas de calcular as chances de o experimento ocorrer.
A seguir introduziremos conceitos que nos permitirão obter um modo de calcular
as chances de um experimento aleatório ocorrer, isto é, de calcular a
probabilidade de um experimento ocorrer. Além disso, consideraremos que os
eventos elementares de um mesmo espaço amostral têm a mesma chance de
ocorrer.
Espaço amostral
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento é denominado
espaço amostral.
Exemplo 1. Lança-se um dado e observa-se o número na sua face superior. O
conjunto de todos os resultados possíveis é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Este é o espaço
amostral desse experimento.
3

Exemplo 2. Lançam-se duas moedas e observam-se os resultados em suas
faces superiores. O espaço amostral desse experimento é
{( cara , cara),
( cara,
coroa),
( coroa,
cara),
( coroa,
coroa)}
.
Evento Elementar
Cada elemento do espaço amostral denomina-se um evento elementar.
Exemplo 3. No exemplo 2 os eventos elementares são: {1}, {2}, {3}, {4}, {5} e {6}.
Exemplo 4. No exemplo 2 os eventos elementares são: {( cara , cara)}
,
{( cara , coroa)}
, {( coroa , cara)}
e {( coroa , coroa)}
.
Como dissemos anteriormente, consideraremos que os eventos elementares de
um mesmo espaço amostral têm a mesma chance de ocorrer. Em outras
palavras, eles têm a mesma probabilidade de ocorrer.
Evento
Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo 5. Listamos a seguir alguns exemplos de eventos do espaço amostral
do Exemplo 1 e algumas maneiras de descrevê-los:
• {1}. Este evento corresponde, por exemplo, a sair 1 na face superior do
dado; ou de sair um número menor que 2;
• {5}. Este evento corresponde, por exemplo, a sair 5 na face superior do
dado;
• {1, 2}. Este evento corresponde, por exemplo, a sair um número menor
que 3 na face superior; ou de sair 1 ou 2 na face superior do dado.
4

• { }. Este evento corresponde, por exemplo, a sair qualquer número maior
que 6 na face superior do dado;
• {1, 2, 3, 4, 5, 6}; o que corresponde, por exemplo, a sair um número de 1
a 6 na face superior do dado.
Exemplo 6. No espaço amostral do Exemplo 2 os eventos são: {( cara , cara)}
,
{( cara , coroa)}
, {( coroa , cara)}
e {( coroa , coroa)}
. Esses eventos correspondem
a, respectivamente, saírem nas faces superiores das moedas cara e cara ; cara
e coroa ; coroa e coroa ; coroa e coroa .
Atividade
Lance uma moeda muitas vezes e anote quantas vezes saiu em sua face
superior cara e quantas vezes saiu coroa.
Sugestão: Para obter um número grande de lançamentos faça essa atividade
com um grupo de colegas e anote os resultados obtidos por eles.
Analisando os resultados obtidos nessa atividade, vocês observarão que o
número de vezes que saiu cara é aproximadamente igual o número de vezes de
que saiu coroa. Confira isso executando essa atividade.
Intuitivamente esse é um resultado esperado, se admitirmos que cada resultado
tem a mesma chance de sair.
Daqui para em diante, vamos nos referir ao número de elementos de um evento
como o número de casos favoráveis. E ao número de elementos do espaço
amostral como número de casos possíveis.
Definição. A probabilidade de um evento é dada pela razão:
Número de casos favoráveis
.
Número de casos possíveis
Exemplo 7. Qual a probabilidade de sair cara no lançamento de uma moeda?
5

Solução.
O espaço amostral é {cara, coroa} e o evento desejado é {cara}. Assim temos 2
casos possíveis e 1 caso favorável. Dessa forma, a probabilidade de sair cara é
1
.
2
Exemplo 8. No lançamento de duas moedas qual é a probabilidade de sair uma
cara e uma coroa ?
Solução. Os casos possíveis são: cara e cara ; cara e coroa ; coroa e coroa ;
coroa e coroa . Os casos favoráveis são: cara e coroa ; coroa e cara . Assim,
temos 4 casos possíveis e 2 casos favoráveis. Dessa forma, a probabilidade de
2 1
sair cara e coroa é dada por = .
4 2
Observação. É sempre importante contar todos os casos possíveis e todos os
casos favoráveis, sem omitir e sem repetir nenhum dos casos.
Observação. Há autores que sugerem o uso da chamada árvore das
possibilidades para listar os casos possíveis.
Para ilustrar o diagrama da árvore vamos listar todos os casos possíveis no
lançamento de três moedas.
Percorrendo as setas a partir do primeiro lançamento chegaremos a última
coluna, que contém a lista dos casos possíveis.
6

No caso do cálculo de uma probabilidade bastaria contar na última coluna o
número de casos favoráveis.
A título de exercício calcule a probabilidade de saírem duas caras e uma coroa
nas faces superiores dessas moedas.
Exemplo 9. No lançamento de duas moedas qual é a probabilidade de sair duas
caras?
Solução. Os casos possíveis são: cara e cara ; cara e coroa ; coroa e coroa ;
coroa e coroa . O caso favorável é: cara e cara . Assim, temos 4 casos
possíveis e 1 caso favorável. Dessa forma, a probabilidade de sair cara e cara
1
é dada por .
4
Observação. Em vez de listar os casos possíveis podemos simplesmente contálos.
Utilizando o princípio multiplicativo, concluímos que o número de resultados
possíveis no lançamento de duas moedas é 2 × 2 = 4 . Como o número de casos
2 1
favoráveis é 2, a probabilidade de sair uma cara e uma coroa é dada por = .
4 2
Exemplo 10. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair 5 na sua
face superior?
Solução. O número de casos possíveis é 6 e somente um caso favorável.
1
Concluímos daí que a probabilidade de sair 5 na sua face superior é .
6
Responda: Quais são os casos possíveis? Quais são os casos favoráveis?
Exemplo 11. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair na sua
face superior um número maior que 4?
7

Solução. O número de casos possíveis é 6 e o número de casos favoráveis é 2.
Concluímos daí que a probabilidade de sair um número maior que 4 na sua face
2 1
superior é = .
6 3
Responda: Quais são os casos possíveis? Quais são os casos favoráveis?
Exemplo 12. Dentro de um saco há 8 bolas brancas, 5 bolas pretas e 12 bolas
amarelas. Estas bolas só diferem uma das outras pelas cores. Sorteia-se uma
bola deste saco, qual a probabilidade de sair uma bola que não seja branca.
Solução. O número de casos possíveis para uma retirada é dado por
8 + 5 + 12 = 25 . O número de casos favoráveis é 5 + 12 = 17. Concluímos daí
17
que a probabilidade de sair uma bola que não seja branca é .
25
Exemplo 13. Dois dados são lançados simultaneamente. Calcular a
probabilidade de a soma dos números na face superior seja 5.
Solução 1. Vamos fazer uma tabela com todos os resultados possíveis e depois
contamos os resultados em que a soma é 5.
Resultado no primeiro dado
Resultado no segundo dado
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2,3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
dados
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
dois
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) nos
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Resultado
8

O número de casos possíveis é 6 × 6 = 36 e o número de casos favoráveis é 4.
4 1
Daí a probabilidade de a soma dos números na face superior seja 5 é = .
36 9
Solução 2. Sem fazer a tabela das possibilidades.
Os casos possíveis são todos os pares ordenados em que o primeiro e o
segundo termos variam de 1 a 6. Daí, pelo princípio multiplicativo, o número de
casos possíveis é 6 × 6 = 36 .
Os casos favoráveis são todos os pares ordenados em que a soma de seus
termos é 5. O par ordenado de menor primeiro termo é ( 1 , 4)
, em seguida ( 2 , 3)
,
( 3 , 2)
e por último ( 4 , 1)
. Assim o número de casos favoráveis é 4. Então a
probabilidade desejada é
4 1
= .
36 9
Exemplo 14. Lançando-se simultaneamente uma moeda e um dado, qual é a
probabilidade de ocorrer cara na moeda e um número maior que 5 no dado?
Solução. O número de resultados possíveis na moeda é 2 e no dado é 6. Pelo
princípio multiplicativo, o número de casos possíveis no lançamento de uma
moeda e um dado é 2 × 6 = 12 . Neste caso há somente 1 caso favorável.
Daí, a probabilidade de ocorrer cara na moeda e um número maior que 5 no
1
dado é .
12
Exemplo 15: Com os algarismos 2, 3 e 5 formamos todos os números de 3
algarismos diferentes. Dentre eles escolhemos um número ao acaso.
a) Qual a probabilidade do número escolhido ser múltiplo de 3?
b) Qual a probabilidade do número escolhido ser par?
Solução do item a.
9

Vale observar que nenhum dos números de três algarismos distintos, formados
por 2, 3 e 5 é múltiplo de 3. Dessa forma a probabilidade de o número escolhido
ser um múltiplo de 3 é 0 (zero).
Solução do item b.
Pelo princípio multiplicativo, o número de resultados possíveis é 2 × 3×
5 = 30 ,
que é a quantidade e números com algarismos distintos que podem ser
formados com os algarismos 2, 3 e 5.
Para calcular o número de casos favoráveis temos que calcular a quantidade de
números pares que podemos formar com os algarismos dados. Sabendo que um
número é par quando termina em um número par, concluímos que o último
algarismo só pode ser 2. Assim, temos os dois casos favoráveis: 352 ou 532.
2 1
Daí a probabilidade de ser escolhido um número ar é = .
6 3
Observação. 1. Um número é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus
algarismos for um múltiplo de 3. No exemplo 15 a soma dos algarismos é
sempre 2 + 3 + 5 = 10, que não é múltiplo de 3.
1. O evento que corresponde a ser escolhido um múltipo de 3 é o conjunto
vazio e sua probabilidade 0 (zero).
Exemplo 16: Um dado é lançado três vezes. Calcule a probabilidade de que o
número 6 ocorra no primeiro e no segundo lançamento, não ocorrendo no
terceiro.
Solução. Cada resultado pode ser representado por uma tripla ( a , b,
c)
, em que
a representa o resultado na face superior no primeiro lançamento, b o número
na face superior no segundo lançamento e c , no terceiro lançamento.
Assim o número de casos possíveis é 6 × 6×
6 = 216 . Os casos favoráveis
podem ser representados pelas triplas da forma ( 6 , 6,
N)
, em que N é o
resultado na face superior do terceiro lançamento. Daí concluímos que a
6 1
probabilidade pedida é = .
216 36
10

Algumas conseqüências da definição de probabilidade.
Vamos considerar um espaço amostral E com n eventos elementares. Então:
1) A probabilidade do evento { } é zero, em que { } representa o subconjunto
vazio do espaço amostral. Isso pode ser escrito da seguinte maneira P ({ }) = 0 ;
2) A probabilidade do evento E é 1, isto é, P (E)
= 1;
3) A Probabilidade de um evento ocorrer varia de 0 a 1. Isto é, se P (A)
representa a probabilidade de um evento A ocorrer, então 0 ≤ P (A)
≤ 1;
4) Se todos os eventos elementares têm a mesma probabilidade de ocorrer, ela
1
é igual a ;
n
5) Se dois eventos A e B têm interseção vazia, então P ( A ∪ B)
= P(
A)
+ P(
B)
.
6) Se A e B têm interseção vazia e A ∪ B = E , então P ( A)
+ P(
B)
= 1.
Neste
caso os eventos A e B são chamados de complementares.
Agora vamos justificar cada uma dessas cinco consequências:
0
1) O número de elementos de { } é zero. Daí P ({ }) = = 0 .
n
n
2) O número de elementos de E é n , então P ( E)
= = 1.
n
3) O número de elementos de um evento varia de zero, o que corresponde
ao subconjunto vazio, até n , o que corresponde ao subconjunto E. Como
a probabilidade de um evento A ocorrer é dada por
número de elementos de A
P ( A)
=
, concluímos que a probabilidade de um
n
evento ocorrer varia de 0 a 1.
4) Cada evento elementar tem um só elemento, daí a probabilidade de um
1
evento elementar é P(
E)
= .
n
11

5) Como A e B têm interseção vazia, o número de elementos de A ∪ B é a
soma do número de elementos de A com o número de elementos de B .
Concluímos que a probabilidade de A ∪ B é
número de elementos de A ∪ B número de elementos de A + número de elementos de B
P(
A ∪ B)
=
=
n
n
número de elementos de A número de elementos de B
= +
= P(
A)
+ P(
B)
.
n
n
Ou seja, P ( A ∪ B)
= P(
A)
+ P(
B)
, quando A e B têm interseção vazia.
Exemplo 17. Lança-se um dado. Qual é a probabilidade de sair em sua face
superior um 3 ou um 5?
Solução 1. O número de casos possíveis é 6. Os casos favoráveis são sair 3 ou
5. Portanto 2 casos favoráveis. Concluímos que a probabilidade de sair 3 ou 5 é
2 1
= .
6 3
Para ilustrar a propriedade 5 vamos apresentar a solução a seguir.
1 1
Solução 2. A probabilidade de sair 3 é e a probabilidade de sair 5 é .
6
6
Como os eventos “sair 3”e “sair 5” têm interseção vazia a probabilidade da
união {3, 5}, que corresponde a sair 3 ou 5 á a soma das probabilidades de
1 1 2 1
cada evento. Daí a probabilidade de sair 3 ou 5 é + = = .
6 6 6 3
Eventos complementares
Dois eventos A e B de um espaço amostral E são complementares se têm
interseção vazia e A ∪ B = E .
Exemplo 18. No lançamento de um dado os eventos “sair na face superior um
número maior que 1” e “sair na face superior o número 1”são complementares,
12

pois união deles dá todo o conjunto de casos possíveis e a interseção deles é
vazia.
Exemplo 19. No lançamento de duas moedas os eventos “sair faces idênticas
nas faces superiores das duas moedas” e “sair faces diferentes nas faces
superiores das duas moedas” são complementares.
Exemplo 20. No lançamento de três moedas os eventos “sair cara em pelo
menos uma das faces das três moedas” e “não sair cara em nenhuma das três
moedas” são complementares.
O exemplo 21, a seguir, nos mostra como se relacionam as probabilidades de
dois eventos complementares. Ele apresenta uma maneira alternativa para
calcular a probabilidade de um evento a partir da probabilidade do evento
complementar. Em geral ele é aplicado quando a determinação ou a contagem
dos casos favoráveis de um evento é complicada, mas a probabilidade do
evento complementar é simples.
Exemplo 21. Suponha que A e B sejam eventos de um espaço amostral E . Se
a interseção deles é vazia e A ∪ B = E , então P ( A)
+ P(
B)
= 1.
De fato, como a interseção entre A e B é vazia, pela propriedade 5, concluímos
que P ( A ∪ B)
= P(
A)
+ P(
B)
.
Agora, como A ∪ B = E , pela propriedade 2, concluímos que
P ( A∪
B)
= P(
E)
= 1.
Das duas primeiras conclusões, obtemos que P ( A)
+ P(
B)
= 1.
Obviamente,
P( A)
= 1 − P(
B)
.
Exemplo 22. No lançamento de um dado qual é a probabilidade de sair na face
superior um número maior que 1?
13

Apresentaremos duas soluções: uma direta e a outra calculando a probabilidade
do evento complementar.
Solução 1. O número de casos possíveis é 6 e o número de casos favoráveis é
5
5. Daí a probabilidade de sair na face superior um número maior que 1 é .
6
Solução 2. Na situação dada o evento “sair o número 1 na face superior” é
complementar do evento “sair um número maior que 1 na face superior”. Como a
1
probabilidade de sair o número 1 na face superior é , a probabilidade de sair
6
1 5
um número maior que 1 na face superior é igual a 1 − = .
6 6
Exemplo 23. Lançam-se três moedas. Qual é a probabilidade de os resultados
nas faces superiores não serem todos iguais?
Solução. Os eventos “os resultados nas faces superiores não serem todos
iguais” e “os resultados nas faces superiores serem todos iguais” são
complementares.
Vamos calcular a probabilidade do evento “os resultados nas faces superiores
serem todos iguais”. Os casos favoráveis são ( cara , cara,
cara)
e
( coroa , coroa,
coroa)
e o número de casos possíveis é 8, daí a probabilidade é
2 1
= .
8 4
Então, a probabilidade de os resultados nas faces superiores não serem todos
1 3
iguais é 1 − = .
4 4
Exemplo 24. Lançam-se dez moedas. Qual é a probabilidade de os resultados
nas faces superiores não serem todos iguais?
14

Solução. Os eventos “os resultados nas faces superiores não serem todos
iguais” e “os resultados nas faces superiores serem todos iguais” são
complementares.
Vamos calcular a probabilidade do evento “os resultados nas faces superiores
serem todos iguais”. O número de casos favoráveis é 2 e o número de casos
possíveis é
2
não serem todos iguais é . Portanto a probabilidade de os resultados nas
10
2
2
faces superiores não serem todos iguais é 1− . 10
2
10
2 . Portanto, a probabilidade de os resultados nas faces superiores
A resposta dada é tão boa quanto
1022 511
= .
1024 512
Exemplo 25. São sorteados dois números inteiros entre 1 e 5. Qual é a
probabilidade de serem sorteados os números 2 e 5?
Vamos resolver esse problema de duas formas, definindo para cada uma delas
um conjunto de resultados possíveis.
Solução 1. Podemos considerar que a ordem dos números sorteados não altera
o resultado final. Por exemplo, o sorteio em que sai primeiro o número 2 e
depois o 5 tem o mesmo resultado do sorteio em que sai primeiro o 5 e depois o
2. Sob essa orientação podemos os resultados possíveis são:
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}. E o resultado
favorável é: {2, 5}.
1
Daí concluímos que a probabilidade de serem sorteados os números 2 e 5 é .
10
Solução 2. Podemos considerar que a ordem dos números sorteados altera o
resultado final. Por exemplo, sair 2 e depois o 5 é diferente de sair o 5 e depois o
2. Isso ocorreria se levássemos em conta a ordem dos números no sorteio.
15

Dessa forma, pelo princípio multiplicativo, o número de casos possíveis é
5 × 4 = 20 . E o número de casos favoráveis, pelo princípio multiplicativo é
2 × 1=
2.
Daí concluímos que a probabilidade de serem sorteados os números 2 e 5 é
2 1
= .
20 10
Observe que os resultados obtidos nas soluções 1 e 2 são iguais.
Observação. Se o conjunto dos resultados possíveis está ordenado, então o
conjunto dos resultados favoráveis também estará. Caso o conjunto dos
resultados possíveis não esteja ordenado, então o conjunto dos resultados
favoráveis também não estará. Mas o fato é que isto não afeta a probabilidade
de qualquer evento.
Exemplo 25. O jogo da Mega Sena.
A regra do jogo:
Para apostar na Mega Sena, um jogador pode marcar de 6 a 15 números entre
os 60 do cartão, representado abaixo.
São sorteados seis números diferentes entre os números de 01 a 60.
Essa loteria paga prêmios para aqueles que acertarem 4, 5 ou 6 números.
Pergunta: Qual é a probabilidade de um apostador que marcou 6 números
ganhar o prêmio?
16

A resposta a esta pergunta é relativamente simples, mas antes de apresentá-la
vamos tecer alguns comentários.
Solução. Sabemos que a ordem dos números marcados em um cartão não gera
apostas diferentes. Por exemplo, são apostas iguais os cartões onde foram
marcados os números 01, 18, 32, 61, 45 e 59, nesta ordem, e o cartão onde
foram marcados os números 61, 18, 59, 01, 32 e 45, nesta ordem. Com as
técnicas de contagem que temos até o momento considerar esses resultados
iguais, isto é, não dependendo da ordem em que são marcados os números no
cartão, levará a uma resolução ligeiramente mais complexa. Para ver como
ficaria a resolução consulte o Roteiro de Atividade 13, do ensino médio.
Como no exemplo 18, podemos considerar os casos possíveis como ordenados
ou não.
Respondendo à pergunta.
Para a solução que apresentaremos aqui, consideraremos os casos possíveis
ordenados e, portanto, também ordenados os casos favoráveis.
Neste caso, pelo princípio multiplicativo, o número de casos possíveis é dado
por: 60 × 59×
58×
57×
56×
55 . E o número de casos favoráveis é dado por:
6 × 5×
4×
3×
2×
1.
Daí concluímos que a probabilidade de um apostador que marcou 6 números
6×
5×
4×
3×
2×
1
ganhar o prêmio é dada por:
.
60×
59×
58×
57×
56×
55
O valor acima é aproximadamente
0
17
−7
, 2×
10 , em termos percentuais a
probabilidade de acertar apostando-se em 6 números é de 0 ,000002%
.
Exemplo 26. Duas urnas contêm bolas que diferem somente pelas cores. A
distribuição das bolas nas nessas urnas é a seguinte:
Bola branca Bola azul
Urna A 3 4
Urna B 2 8

Retirando-se duas bolas, uma de cada urna, qual é a probabilidade de saírem
duas de mesma cor?
Solução. O número de casos possíveis é o número de maneiras de se retirar
uma bola de cada urna. Como a urna A possui 7 bolas e a urna B 10 bolas, o
número de casos possíveis é 7×10 = 70.
Cálculo do número de casos favoráveis. Para retirarem-se duas bolas de mesma
cor é necessário: retirar uma bola branca da urna A e uma bola branca da urna
B ou uma bola azul da urna A e uma bola azul da urna B.
O número de maneiras de se retirar uma bola branca da urna A e uma bola
branca da urna B é 3×2 = 6.
O número de maneiras de se retirar uma bola azul da urna A e uma bola azul da
urna B é 4×8 = 32.
Assim, o número de casos favoráveis é 6 + 32 = 38.
Daí a probabilidade de se retirarem duas bolas de mesma cor, uma de cada
6 + 32 38
urna, é = .
7×
10 70
Probabilidade condicional
Exemplo 27. Sorteia-se um número do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Sabendo
que o número sorteado é par, qual é a probabilidade de ele ser o 6?
Solução. Sabendo que o número sorteado é par, então ele deve ser um dos
números 2, 4, 6 ou 8, que passam a ser os casos possíveis. A probabilidade de
1
o número sorteado ser o 6 é .
4
Exemplo 28. Lançam-se dois dados. Sabendo que a soma dos números que
saíram nas faces superiores é 8, calcule a probabilidade de sair o número 5 em
um dos dados.
18

Solução. Os casos possíveis são: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (3, 5) e (2, 6). Daí a
2
probabilidade de sair 5 em uma das faces é .
5
Exemplo 29. Um casal tem duas crianças. Sabendo que uma delas é um
menino, qual é a probabilidade de a outra criança também ser um menino?
Solução. São três as possibilidades: menino e menino; menino e menina;
menina e menino. Sabendo que uma delas é um menino, só há uma
possibilidade de a outra criança ser também um menino. Daí a probabilidade
1
pedida é .
3
Exercícios
1. O que é um experimento aleatório?
2. O que é um experimento determinístico?
3. Explique por que cada experimento a seguir é aleatório.
a) Sortear duas entre 10 pessoas para fazerem uma viagem.
b) Extrair uma bola de uma urna com 4 bolas azuis, 5 bolas brancas e 4
amarelas.
c) Existir em um grupo de 15 pessoas uma que faz aniversário no dia 25 de
outubro.
4. Deve-se sortear uma pessoa entre: Maria, Pedro, Lúcia e João. Qual é o
conjunto de todos os resultados possíveis para a escolha?
5. Uma urna que contém 4 bolas amarelas e 5 marrons uma bola. Considere
o seguinte experimento: extrair uma bola dessa urna e verificar sua cor.
Qual é o espaço amostral desse experimento?
6. Deve-se sortear uma pessoa entre João, Maria, Pedro e Laura.
Quais são os eventos elementares para este experimento?
19

7. Em um espaço amostral com 35 elementos, todos com igual
probabilidade de ocorrer, qual é a probabilidade de um evento elementar?
8. Uma urna contém 1000 bolas brancas e 2 azuis. Sorteiam-se duas bolas
dessa urna, sem repor a bola retirada.
Analise cada afirmação a seguir e decida qual delas é a verdadeira.
2
I) A probabilidade de saírem duas bolas de mesma cor é , pois os
3
resultados possíveis são: saírem duas brancas, ou duas azuis, ou uma
branca e uma azul.
2
II) A probabilidade de saírem duas bolas de mesma cor é , pois os
4
resultados possíveis são: saírem duas brancas, ou duas azuis, ou uma
branca e uma azul, ou uma azul e uma braça,
III) A probabilidade de saírem duas bolas brancas é maior do que a
probabilidade e saírem duas bolas azuis, pois há mais
bolas brancas do que azuis.
9. Lançam-se sete moedas, qual é a probabilidade de se obter pelo menos
uma cara na face superior de alguma delas?
10. Três urnas contêm bolas que diferem somente pelas cores. A distribuição
das bolas nas nessas urnas é a seguinte:
Bola branca Bola azul
Urna A 3 4
Urna B 2 8
Urna C 5 2
Retirando-se três bolas, uma de cada urna, qual é a probabilidade de saírem
três de mesma cor?
11. Qual é a probabilidade de se obter 2 caras e 3 coroas no lançamento de
uma moeda 5 vezes?
12. Um casal planeja ter três filhos. Qual é a probabilidade de terem duas
mulheres e um homem?
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13. Dois dados são lançados simultaneamente. Calcular a probabilidade de a
soma dos números na face superior seja maior de 9.
14. Lançam-se quatro dados simultaneamente. Calcular a probabilidade de
sair o número 5 em todas as faces superiores.
15. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 formam-se números de seis dígitos
distintos. Cada um desses números é escrito em um só cartão. Sorteado
um desses cartões qual é a probabilidade do número escrito nele ser
ímpar?
16. Com os algarismos 1, 2, 3 e 4 formam-se números de seis dígitos. Cada
um desses números é escrito em um só cartão. Sorteado um desses
cartões qual é a probabilidade do número escrito nele ser ímpar?
Qual é a diferença entre os exercícios 15 e 16?
17. Suponha que E = { r,
s,
t,
u,
v,
x}
seja o espaço amostral de um experimento
aleatório, em que os eventos elementares têm a mesma probabilidade.
Qual é a probabilidade de ocorrer s
r, ou x ?
18. Lançam-se três moedas. Sabendo que saíram duas caras, qual é a
probabilidade de a face na outra moeda ser coroa?
19. O quadro a seguir contém a quantidade de pássaros por tipo e sexo, que
ficam em um viveiro de um determinado Zoológico.
Macho Fêmea
AZULÃO 4 2
BEIJA-FLOR 3 3
SABIA 5 4
CURIÓ 2 1
Para fazer exames de rotina pegou-se aleatoriamente um desses azulões.
Qual é a probabilidade de ele ser um macho?
Bibliografia
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[1] Orientação pedagógica referente ao tópico 05, do ensino médio
http://crv.educacao.mg.gov.br
[2] Análise Combinatória e Probabilidade.
Augusto César de Oliveira Morgado e outros − Sociedade Brasileira de
Matemática (SBM).
[3] Revista do Professor de matemática (RPM) − Número 43.
RPM – IME –USP – Caixa postal 66281 − CEP 05311 – 970 − São Paulo – SP.
Tel/Fax: (011) 3091 6124
rpm@ime.usp.br
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