Funktionen A4_1112.pdf

Funktionen
I.1. , und Asymptoten bestimmen
I.2. , und Asymptoten bestimmen (Übung)
I.3. Funktionen werden abgebildet
I.4. Funktionen werden abgebildet (Übung)
I.5 Gleichungen lösen - Potenzgleichungen
I.7 Gleichungen lösen - Exponentialgleichungen
I.8 Gleichungen lösen - Logarithmengleichungen
I.9 Funktionsgleichungen berechnen
I.10 Umkehrung von Funktionen
I.11 Nullstellen einer Funktion
I.12 Schnittpunkte berechnen
I.13 Koordinaten von Punkten (in Abhängigkeit von x)
berechnen
I.14 Streckenlängen berechnen
I.15 Flächenberechnungen

I. Funktionen
I.1 , und Asymptoten bestimmen
1. Grundfunktion bestimmen
2. negativen Affinitätsfaktor beachten
3. „Koordinatensystem mit Grundfunktion verschieben“
4. , und Asymptoten angeben
Beispiel: y = - log2(x-4)+2

Beispiel: y = - log2(x-4)+2
zu 1:
Grundfunktion ist y = log2x
(Fo. S. 34)
=> blauer Graph
zu 2:
Affinitätsfaktor ist k = -1, d.h.
jeder y-Wert der
Grundfunktion wird mit (-1)
multipliziert, das ist
gleichbedeutend mit einer
Achsen-spiegelung => grüner
Graph
zu 3:
Verschiebungsvektor ist 4
2
da S(4|2) ist (siehe
Scheitelform)
=> roter Graph
zu 4:
= {x|x>4} =
x = 4 ist Asymptote
v ,

I. Funktionen Übung
I.2 , und Asymptoten bestimmen
a) y = log2(x-4)+2
1 x 2
b) y = 2 3
4
c) y = -3 x -1 -4

I. Funktionen Lösung
I.2 , und Asymptoten bestimmen
a) y = log2(x-4) + 2
= {x|x>4}, = und Asymptote: x=4
1 x 2
b) y = 2 3
4
=, = {y|y>-3} und
Asymptoten: y=-3
c) y = - 3 x -1 - 4
= \ {0} , = \ {-4} und Asymptoten: x=0 und y=4

I. Funktionen
I.3 Funktionen werden abgebildet
1. Orthogonale Affinität
2. Parallelverschiebung
3. Spiegelung
Ansatz:
=> Ansatz: OP' OP
v
=> Parameterverfahren
an der x-Achse orthogonale Affinität mit k=-1
an der y-Achse statt x wird (-x) gesetzt.
x1
Beispiel: f: y= 2
2
3
f wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als
Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab k=-2 auf f’
abgebildet.
Die Funktion f’ wiederum wird durch Parallelverschiebung mit
2
dem Vektor v auf f’’ abgebildet. Zeige dass gilt:
3
f’’ : y = 3 2 7
3
x
(I) x´ = x
(II) y´ = k * y
(I) x´ = - x
(II) y´ = y
(I) x´ = x + vx
(II) y´ = y(x) + vy
(I) x´ = x
(II) y´ = - y

I.3
zu 1: y’ = k y
x1
1
y’ = -2 ( 2
2
) = 2 2 4
3
3
x
Zu 2:
'
x1
2
2
' 2 4
3
3
x
x
y
(I): x = x’ – 2
in (II):
'21
y’ = 2 2 4
3
3
x
y’ =
x'
1
2 2
2
7
3
3
y’ = 3 2 7
3
x

I. Funktionen Übungen
I.4 Funktionen werden abgebildet
x4
a)f mit y= 1
7
wird durch Parallelverschiebung mit dem
2
2
Vektor v und anschließend durch orthogonale Affinität mit
1
der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab
k=-0,25 auf f’ abgebildet.
Zeige dass gilt:
x4
f’ : y = 1
2
2
b) Der Graph zu f mit y=(x+3) 0,5 -0,5 wird durch orthogonale
Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse auf den Graphen zu
f’ abgebildet. P’(6|-5,25)f’. Berechne k und die Gleichung von
f’.
c) Der Graph f mit y= - log2(x-3)-2 wird durch Spiegelung an der
x-Achse auf den Graphen zu f’ abgebildet. Ermitteln Sie die
Gleichung der Funktion f’.
d) Der Graph f mit y=2*log2(x+4)+4 wird durch Spiegelung an
der y-Achse auf den Graphen zu f’ abgebildet. Ermitteln Sie die
Gleichung der Funktion f’.

I. Funktionen Übungen
I.4 Funktionen werden abgebildet
Lösungen
a) siehe Angabe
b) k= -1,9 und f’: y=-1,9*(x+3) 0,5 +0,95
c) f’: y’= log2(x-3)+2
d) y=2*log2(-x+4)+4

I. Funktionen
I.5 Gleichungen lösen - Potenzgleichungen
1. Bei den Äquivalenzumformungen immer die
Umkehrrechnungen (-funktionen) verwenden.
2. Die Rechenart, die zuletzt gerechnet wird, bestimmt die 1.
Äquivalenzumformung.
3. Die Umkehrfunktion von f: y =
Beispiel:
1
x
3
2
x
3
x
3
4
x 4
3
4
3
4
4
3
2
4
4
3
3
={-2,84}
m
()
x n
| ...
| 3
|: ( 1)
2
4
3
2,
84
ist f -1 : y =
x ) (
n
m

I. Funktionen Übungen
I.5 Gleichungen lösen - Potenzgleichungen
1 3 2
a)
x 1
3
0
3
b) 0,5 (x-1) -4 = 2
c) (x+3) 0,5 -0,5 = 2
Lösungen
a) ={26}
b) ={1,71}
c) ={3,25}

I. Funktionen
I.6 Gleichungen lösen - Exponentialgleichungen
1. Bei den Äquivalenzumformungen immer die
Umkehrrechnungen (-funktionen) verwenden.
2. Die Rechenart, die zuletzt gerechnet wird, bestimmt die 1.
Äquivalenzumformung.
3. Die Umkehrfunktion von f: y= a x ist f -1 : y = logax
Beispiele:
(1) 122x 5
4
9
|-4
3
122x 5
5
|: ( 1)
3
3
22x 5
15
| log
2
2x 5
log
15 | 5
2
2x log
155
| :2
2
x = (log215-5):2
x 0,
55
(2) 3x
1 32x4
| log3
x+1 = 2x-4
x=5

I. Funktionen
I.6 Gleichungen lösen - Exponentialgleichungen
(3) 4 x+1 =3 2x-1 | lg....
(x+1)lg4 = (2x-1) lg3
lg4 x + lg4 = 2 lg3x - lg3
x(lg4 - 2lg3) = -lg4 - lg3
x=
lg12
3,
06
lg4
9
oder: 4 x 4 1 = (3 2 ) x 3 -1
44x = 1 9x | 3
3
12 =
9
4
x
x = log 12
3,
06
9
4
(4) 3x 1 3x3
1
3x 31
3x
: 33
1
3
3x
1 3x
1|
1 3x
27 27
2263 1
|: ( 226)
27 27
x
3x 27 | log x= 0,
99
80 3
lg3 80
lg27
log 27
380

I. Funktionen Übungen
I.7 Gleichungen lösen - Exponentialgleichungen
a) 2 = -9 2 x-4 +9
b) 2 1,05 x-40 = 1,03 x
c) 2 x+2 = 4 x-1
d) 70 2 -0,035x +20 = 45 2 -0,005x +20

I. Funktionen Übungen
I.7 Gleichungen lösen - Exponentialgleichungen
Lösungen
a) x=3,64
b) x=65,4
c) x=4
d) x=21,261

I. Funktionen
I.8 Gleichungen lösen - Logarithmengleichungen
1. Bei den Äquivalenzumformungen immer die
Umkehrrechnungen (-funktionen) verwenden.
2. Die Rechenart, die zuletzt gerechnet wird, bestimmt die 1.
Äquivalenzumformung.
3. Die Umkehrfunktion von f: y = logax ist f -1 : y = a x
Beachte: Bei Gleichungen mit Logarithmen muss häufig vor den
Äquivalenzumformungen noch Logarithmengesetze
angewendet werden (Fo. S. 18)
Beispiel:
log3 (x+1) – log3 x = 2
log x 1 ...
3 x
= 2 | 3
x 1
x
9
| x
x+1=9x | -9x-1
-8x= - 1 | :(-8)
x = 1 ={
8
1 }
8

I. Funktionen Übungen
I.8 Gleichungen lösen - Logarithmengleichungen
a) lg x + lg (x-2) = 3
b) log2(x+1) – log2 (x 2 -2) = 4
c)
50
1
lg( 100
p)
2
d) 2log x 3
4
3 x1
Lösungen
a) ={32.64}
b) ={1,47}
c) ={4,71}
d) ={2,37}

Funktionen
I.9 Funktionsgleichungen berechnen
1. Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen
2. nach der Formvariablen auflösen
3. Funktionsgleichung angeben
Beispiel: f mit y = a 2-x +3 und A(4|12)f
zu 1: 12 = a 2-4 +3
zu 2: 12 = a -2 +3 |-3
9 = a -2 |... 2
1
2 1
9
=a
a = 3
f mit y =
1
1
3
2
x
+ 3

Funktionen Übung
I.9 Funktionsgleichungen berechnen
a) f mit y = log2(x+a) -1 und A(-4|-1)f
b) f mit y = 3 a x+2 +3 und A(1|3,375)f
Lösungen
a) f: y = log2(x+5) -1
1 x+2
b) f: y = 3 +3
2

Funktionen
I.10 Umkehrung von Funktionen
1. x und y vertauschen
2. nach y auflösen
Beachte: Immer mit der Umkehrrechnung (Umkehrfunktion)
umformen.
Bsp.: f: y=log3(x-1)+4
zu 1: f -1 : x=log3(y-1)+4
zu 2: x=log3(y-1)+4 |-4
x-4 = log3(y-1) | 3 ...
3 x-4 = y-1 |+1
y = 3 x-4 + 1
f -1 : y = 3 x-4 + 1

Funktionen Übung
I.10 Umkehrung von Funktionen
1
3
2
3
a) y = x 1
3
1 1
5
b) y = x 3
4
c) y = -0,2 4 x-3 + 1
1 d) y = log10(x-3)-1
2
Lösungen
a) y = 9 3x
2 1
b) y = x 4
3
3
1 1
5
c) y = log4(5-5x) + 3
d) y = 10 -2x-2 + 3

Funktionen
I.11 Nullstellen einer Funktion
1. y = 0 setzen
2. nach x auflösen
Bsp.: f: y = 3 x 4 5 4
zu 1: 3 5 4
2
x 4
= 0
zu 2: 3 5 4
2
x 4
= 0 |+4
3 5 2
4
x
= 4 |:(3)
5 2
4 4 5
x
2 = | ...
3
x - 4 = 2 5
4
3
| +4
x = 2 5
4
3
+ 4 = 4,49
2

Funktionen Übung
I.11 Nullstellen einer Funktion
a)
y
0,
5
1,
5
x
3
4
b) y log
3x
6
4
c)
1
y 3
x 4
3
1 2
d) y x
2
Lösungen
a) x = 8,13
b) x = -5,99
c) x = 0,75
d) x = 0,59

Funktionen
I.12 Schnittpunkte berechnen
1. Funktionsgleichungen gleichsetzen
2. Gleichung nach x auflösen
Beachte: Immer mit der Umkehrrechnung (Umkehrfunktion)
umformen.
x1
Bsp.: f1:y = 2
2
f2 : y = 3 2 7
3
3
x
f1(x) = f2(x)
x1
2
2
= 3 2 7
3
3
x
2
3
x
| +2 | 3
1 x
2
+ 3 2 = 9
3 3
x
3 2
2
=9 |: 3 2
3 3
3
2
3
x
2 27
3 11
x = log 27 =
lg27/
11
= -2,21
2 11 lg2/
3
3
2,
21
=> y = 3 2 7
3
= -0,35
=> S(-2,21|-0,35)
x

Funktionen Übung
I.12 Schnittpunkte berechnen
a). f1:y =
1 2x
3
3
f2 : y = 3 2
1 x
b). f1:y = log2(x-4)+2
f2 : y = log2(x-1)-2
c) f1:y =
21,
05
f2 : y = 1,03 x
Lösungen
a) S( 0,5 | 3,20 )
b) S( 4,2 | -0,32 )
x40
c) S( 65,44 | 6,92 )

Funktionen
I.13 Koordinaten von Punkten (in Abhängigkeit von x)
berechnen

Funktionen Übungen
I.13 Koordinaten von Punkten (in Abhängigkeit von x)
berechnen
f1: y = 1,5 log2(x-2) – 5
f2: y = 1,5 log2(x+3) +1
An(x|-3), Bnf1 und Cnf2
Die Abszisse der Punkte Bn ist jeweils um 2 größer als die
Abszisse der Punkte Cn. Die Abszisse der Punkte Cn ist jeweils um
2 kleiner als die Abszisse x der Punkte An.
Berechne Bn und Cn in Abhängigkeit von x.
Lösung
Bn(x | 1,5 log2(x-2) – 5 )
Cn( x-2 | 1,5 log2(x+1) +1 )

Funktionen
I.14 Streckenlängen berechnen
1) gleiche Abszisse
2) gleiche Ordinate
3) mit einem Pfeil
AB =(yB - yA) LE
AB =(xB - xA) LE
x
AB 2 2
y ; AB
x y LE

Funktionen Übungen
I.14 Streckenlängen berechnen
An( x | 2 log3(x-1)+2 ) Bn( x | 2 log3 x +5 )
Zeige, dass für die Länge der Strecke [AnBn] gilt:
An Bn
x
2
log 3 2
x 1
3

Funktionen
I.15 Flächenberechnungen
3) mit Sinus
A = 0,5 b c sin

Funktionen Übungen
I.15 Flächenberechnungen
An(x|-3), Bn(x | 1,5 log2(x-2) – 5 )
Cn( x-2 | 1,5 log2(x+1) +1 )
Berechne A(x)
Mit Determinante:
2
)
2
(
2
log
5
,
1
)]
2
(
)
2
)
2
(
2
log
5
,
1
(
0
[
2
1
4
)
1
(
2
log
5
,
1
2
)
2
(
2
log
5
,
1
2
0
2
1
)
(
4
)
1
(
2
log
5
,
1
2
3
1
)
1
(
2
log
5
,
1
2
2
)
2
(
2
log
5
,
1
0
3
5
)
2
(
2
log
5
,
1
x
x
FE
x
x
x
A
x
x
x
x
n
C
n
A
x
x
x
x
n
B
n
A
oder mit Dreiecksformel
oben
siehe
x
A
LE
x
x
h
LE
x
LE
x
n
B
n
A
g
h
g
x
A
)
(
2
)]
2
(
[
]
2
)
2
(
2
log
5
,
1
[
]
3
5
)
2
(
2
log
5
,
1
[
2
1
)
(