Aufbau der Vorlesung Gliederung: Fuzzy Logik - CES

Vorlesung “Intelligente Datenanalye” 

Universität Karlsruhe, ITEC (Prof. J. Henkel) 

Dr. F. Feldbusch 

Universität Karlsruhe 

ITEC (Prof. J. Henkel) 



Aufbau der Vorlesung 

1. Einführung 

2. Statistik 

3. Neuronale Netze 

4. Fuzzy-Logik 

5. Machine Learning 

6. Werkzeuge 

University of California 

Intelligente Datenanalyse – F4.1 at Berkeley 1 

Gliederung: Fuzzy Logik 

• Grundlagen der Fuzzy Logik 

• Unscharfe Regeln 

– Extraktion aus Neuronalen Netzen 

– Automatische Erzeugung 

• Funktionsapproximation mit Fuzzy Regeln 



1






Gliederung: Fuzzy Logik 

• Grundlagen der Fuzzy Logik 

– Unscharfe Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen 

– Verknüpfungen (und, oder) 

– Fuzzy-Regeln 

– Fuzzy-Inferenz 

– Funktionsapproximation mit Fuzzy-Regeln 

• Unscharfe Regeln 

• Funktionsapproximation mit Fuzzy-Regeln 





Klassische Mengentheorie 

• zweiwertige, eindeutige Mengenzugehörigkeit 

• z. B.: x aus [50. 100] 

Zugehörigkeit 

μ(x) 

1 

0 

50 

100 



x 

2






Fuzzy-Theorie 

Fuzzy Theorie (Zadeh Zadeh 1965) 

• Einführung unscharfer Mengen 

– keine eindeutige Mengenzugehörigkeit 

– z. B.: eine warme Temperatur 


μ(x) 

1 

0 

Ein Element x gehört 

zur Menge A oder nicht: 

μ A (x) 

1 

0 



μ(x)∈{0,1} 

A=“warm” 

50 

100 



Vergleich 

x [Grad] 

Intelligente Datenanalyse – F4.6 

Ein Element x gehört zur 

Menge A mit einem 

Zugehörigkeitsgrad: 

μ(x)∈[0,1] 

μ A (x) 

1 

0 

x 

A=“warm” 


at Berkeley 

x [Grad] 

3




μ(x) 



Zugehörigkeitsfunktion 

Trapezoid: 

1 

0 a b c d 

Dreieck: 

μ(x) 

1 

0 

μ A (x) 

1 

α 

a b d 



x 

x 

μ(x) 

1 

0 


Gauss: N(m,s) 

s 

m 

Singleton: (a,1) and (b,0.5) 

μ(x) 

1 

0 a b 

Zugehörigkeitsfunktion 

Kern: K A :={x | μ A (x)=1} = [b,c] 

0 a b c d 

Einflußbereich: E A :={x | μ A (x) > 0} = (a,d) 

x 



at Berkeley 

α-cut: α A :={x | μ A (x) = α} 


at Berkeley 

x 

x 

4






Linguistische Variable 

• Eine Linguistische Variable faßt mehrere Fuzzy- 

Mengen zusammen. 

z.B.: Temperatur = {kalt, mittel, warm} 


μ(t) 

1 



0 

Mittel Warm 

10 20 30 

40 

Temperatur t 



Verknüpfungen (klassisch) 

• Vereinigung (log. ODER) 

x ∈ M1 ∪ M2 ⇔ 

x ∈ M1 ∨ x ∈ M2 μ(x) 

M ∪ M 

1 2 

1 

0 

x 

• Durchschnitt (log. UND) 

x ∈ M1 ∩ M2 ⇔ 

x ∈ M1 ∧ x ∈ M2 μ(x) 

M ∩ 

M 

1 2 

1 

0 



x 

5






Verknüpfungen (fuzzy ( fuzzy) 

• Vereinigung • Durchschnitt 

μ(x) 

μ(x) 

1 

0 

μ(x) 

1 

0 

μ (x) = max( μ (x), μ (x)) 

1+2 1 2 

μ (x) = μ (x) + μ (x) 

1+2 1 2 

drastische 

Summe 



x 

x 

1 

0 

μ(x) 

1 

0 

μ (x) = min( μ (x), μ (x)) 

1·2 1 2 

μ (x) = μ (x) · μ (x) 

1·2 1 2 



Spektrum an Verknüpfungen 

Durchschnitts-Operatoren 

t-Conormen t-Normen 

max min 



x 

x 

drastisches 

Produkt 

6




0.5 



Fuzzy-Regeln 

Fuzzy Regeln 

• Zusammenhänge lassen sich beschreiben mit 

Wenn-Dann-Regeln 

• Allgemeine Form: 

Wenn Prämisse dann Schlußfolgerung 

• Beispiel: 

Wenn Temperatur ist kalt 

Linguistische 

Werte 

und Menge ist groß 

dann Ventil ist ganz_auf 

1 

Linguistische Variablen 





Fuzzy-Inferenz 

Fuzzy Inferenz 

1. Bestimme die Zugehörigkeit der Prämissen (T-Normen): 

0 

μ kalt (t) 

15 C 

t 

1 

0.3 

0 

μ billig (o) 

1.- DM/l 

Wenn Temperatur ist kalt ... und Öl ist billig ... 

} μ prämisse = 0.3 



o 

7






Fuzzy-Inferenz 

Fuzzy Inferenz II 

2. Bestimme die Zugehörigkeitsfunktion der Ausgabe: 

... 

1 

μprämisse = 0.3 

0 



μ auf (h) 


h 

... dann Ventil ist auf 

Defuzzifizierung 


μ Konsequenz (h) 


at Berkeley 

3. Bestimme einen scharfen Wert aus der ZF der Ausgabe 

(zum Beispiel durch “Schwerpunkt-Methode (COG)”): 

1 

0 

48 

73 

μ Konsequenz (h) 

h 

COG 


at Berkeley 

8




0.7 

0.2 



Fuzzy Entscheidung 

Fuzzifizierung Inferenz Defuzzifizierung 

μ kalt μ warm μ heiß 

gemessene 

Temperatur 



t 

Regelbasis 

Wenn Temp ist kalt 

dann ventil ist auf 

μ kalt =0.7 

Wenn Temp ist warm 

dann Ventil ist halb 

μ warm =0.2 

Wenn Temp ist heiß 

dann Ventil ist zu 

μ heiß =0.0 


0.7 

0.2 

μ auf μ halb μ zu 

scharfer Wert 

für das Ventil 


at Berkeley 

Fuzzy-System 

Fuzzy System als universeller 

Approximator 

• Ein Fuzzy-System beruhe auf den folgenden 

Beziehungen: 

n 

∏ 

1≤ 

j 

( ) 

i 

i 

μ = μ Drastisches Produkt für UND-Verknüpfung 

y 

j j x 

∑ 

μ 

K i i 

y 

i= 

1 

= f ( x) 

= K i 

∑ μ i= 

1 

Schwerpunktmethode bei der 

Auswertung 

i: Index über die Regeln i=1,2,...K 

j: Index über Dimension der Eingabe j=1,2,...n 

y i : höchster Wert einer Regel i 



v 

9





Fuzzy System als Approximator 

• Die Regel i habe die Form: 

Wenn x 1 in RG 1 i und x2 in RG 2 i ... 

dann y is RG 0 i 

mit RG j i als Region der j-ten Dimension der Regel i 

• Es kann bewiesen werden, daß dieses Fuzzy- 

System ein universeller Approximator auf einer 

kompakten Menge Q ist. 

n 

[ a b ] × [ a , b ] × × 

[ a b ] R 

Q = , ⊂ 





1, 

1 2 2 

n 

n 





y 

X2 

X1 



10






• Beweis mit Stone-Weierstrass Theorem: 

Sei F eine Algebra aus realen, kontinuierlichen Funktionen auf einer 

kompakten Menge Q. Wenn F Punkte aus Q trennt, und wenn F an 

keinen Punkt von Q Null ist, dann besteht die gleichgradig 

abgeschlossene Funktionsmenge B über F aus allen realen, 

kontinuierlichen Funktionen auf Q. 

Die gleichgradig abgeschlossene Funktionsmenge B über F ist die 

Vereinigung von F mit ihren Grenzpunkten. Wenn also B aus allen 

realen kontinuierlichen Funktionen über Q besteht, dann kann mit F 

jede reale kontinuierliche Funktion mit beliebiger Genauigkeit 

approximiert werden. 









Das heißt jede Funktion über Q läßt sich beliebig 

genau approximieren, wenn das Fuzzy-System 

folgende Bedingungen erfüllt: 

• Die Regionen der Ein- und Ausgabe sind frei wählbar 

• Die Zugehörigkeitsfunktionen über den Regionen sind 

beliebige kontinuierliche Funktionen mit der Bedingung, 

i 

daß sie innerhalb der Region nicht Null wird. μ 

j ( x j ) ≠ 0 

• Alle denkbaren Regeln können für alle Regionen der 

Ausgabe aufgestellt werden. 



11




Fuzzy-Regeln 

Fuzzy Regeln zur Datenanalyse 

• Eigenschaften: 

– Die Flanken der Zugehörigkeitsfunktionen ermöglichen 

die Berücksichtigung von verrauschten Daten 

– Zugehörigkeitsfunktionen können Datenpunkte gut 

zusammenfassen 

– Leicht verständliches Ergebnis 

• Problemstellung: 

– Wie kommt man von den Daten zu den Regeln? 







Überdeckung des Eingaberaums 

gitterbasiert/global regionenbasiert/lokal 



12




Regelbasierte Fuzzy-Systeme 

Fuzzy Systeme (RFS) 

Nach Surmann lassen sich RFS durch ein 6-Tupel (LV, R, T, 

I, T*, DE) beschreiben: 

1. einer Menge LV von n linguistischen Eingangs- und einer 

Ausgangsvariablen 

2. einer Menge R von k unscharfen Regeln 

3. einer T-Norm T, mit der die Teilprämissen der Regeln 

ausgewertet werden, 

4. einer Implikationsstrategie I, 

5. einer T-CO-Norm T*, mit der die Ausgangsmengen der 

Regeln verknüpft werden, und 

6. einem Defuzzifizierungsverfahren DE. 







Beispiel 

• Mamdani 

RFSmam = (LV, R, MIN, MIN, MAX, COG) 

– Zugehörigkeitsfunktionen symmetrisch und dreieckig 

– Bestimmung der Teilprämissen und einer Regel durch 

Minimum 

– Zugehörigkeit zur Ausgabe bei mehreren Regeln über 

Maximum 

– Center of Gravity zur Defuzzifizierung 



13




Freiheitsgrade bei Fuzzy-Regeln 

Fuzzy Regeln 

1. Linguistischen Eingangs- und Ausgangsvariablen LV und 

deren Zugehörigkeitsfunktionen 

– Einflußbereich 

– Anzahl 

– Form 

2. Menge von unscharfen Regeln R 

3. T-Norm T 

4. Implikationsstrategie I, 

5. T-CO-Norm T* 

6. Defuzzifizierungsverfahren DE. 



• Gitterbasiert 





Klassifikation der Verfahren 

– klassischer Ansatz (Wang & Mendel ‘92) 

– Erweiterung (Higgins & Goodman ‘93) 

– NEFCLASS (Nauck & Kruse ‘92) 

• Finetuning Regelbasis 

– Fuzzy-MLP (Mitra & Pal ‘94) 

– Bewertung von Regeln (Delgado & Gonzalez ‘93) 

• Regionenbasiert 

– Aktivierungs/Inhibitions-Rechtecke (Abe & Lan ‘95) 

– RecBF und Fuzzy Graph (Berthold & Huber ‘95) 



14





















Fuzzy-Regelextraktion 

Fuzzy Regelextraktion aus Daten 

• Ausgangspunkt: numerische Daten der Form 

x 1 (1) , x2 (1) , ... y (1) 

x 1 (2) , x2 (2) , ... y (2) 

mit f:(x 1, x 2, ...) -> y 

evtl. sind Regeln aus Expertenwissen bereits 

bekannt. 



15






Regelextraktion - 1.Schritt 

• Für jedes Merkmal den Wertebereich bestimmen 

und in 2m+1 Regionen für ZF einteilen. 

• Zugehörigkeitsfunktionen auswählen (i. R. 

Dreiecke) 

Dieses Vorgehen ist sehr willkürlich. Oft werden 

Anhaltspunkte, wie Häufigkeit von Datenpunkten 

im Bereich oder Vorwissen verwendet. 





Regelextraktion - 2. Schritt 

• Erzeugung der Fuzzy-Regeln 

– Bestimme die Zugehörigkeit eines Datensatzes zu den 

Regionen 

– Wähle die Region mit dem höchsten 

Zugehörigkeitswert 

– Erzeuge daraus eine Regel 

Beispiel: 

(x (i) 

1 , x2 

(i) , y (i) ) => 

x (i) 

1 /0,8 in PB; x2 

(i) /0,7 in PS; y (i) /0,9 in ZR => 

Regel (i): IF x1 is PB AND x2 is PS THEN y is ZR 



16







• Jeder Datensatz wird zu einer Regel. 

• Die Regeln enthalten jeweils alle Parameter 

• Bei der Regelerzeugung geht Information aus den 

Daten verloren, da nur die hohen 

Zugehörigkeitswerte Berücksichtigung finden. 






• Jeder Regel wird eine Bewertung D zugeordnet 

z. B.: Produktstrategie: 

D Regel i = μ A(x 1)*μ B(x 2) ... *μ Z(y) 

hier: 0,8 * 0,7 * 0,9 = 0,504 

• Nun läßt sich die Anzahl der Regeln verringern, 

indem Regeln mit gleicher Prämisse zu einer 

Regel mit neuer Bewertung werden. 

z. B.: D neu = Max (D 1, D 5, D 6, D 15) 



17






Regelextraktion 4. Schritt 

• Kombiniere extrahierte Regeln mit Expertenregeln 

in einer Matrix 

• Beispiel für 2 Dimensionen: 

x1 

x2 



NB NS ZR PS PB 

PB NB/0,3 NB/0,1 - ZR/0,8 PS/0,3 

PS - NS/0,5 NS/0,4 ZR/0,7 PB/0,8 

ZR - NS/0,6 PS/1 - NS/0 

NS PS/0,9 ZR/0,3 ZR/0,8 PS/0,9 PB/0,9 

NB PB/0,9 PS/0,5 PS/1 PB/0,7 - 




• UND-Verknüpfung: 1 Feld 

• ODER-Verknüpfung: 1 Zeile oder Spalte 

• Bei gleichen Regeln: Maximaler Wert 

• Nachteil: Großer Speicherbedarf bei 

hochdimensionalen Problemen 



18







• Ein-/Ausgabe-Abbildung (Defuzzifizierung) durch 

Schwerpunktmethode 

μ(y) 

1 

0 



y 

y 

K i 

∑ μ i= 

1 O 

i 

∑ μ i 

O 

= K 

i= 

1 



i y 

K: Anz. Regeln in Matrix 

o i : Name einer Zugehörigkeitsfkt. 

y i : höchster Wert von o i 

Bewertung der Regelextraktion 

+ Beliebige Anzahl von Ein-/Ausgaben möglich 

+ nur ein Trainingsdurchlauf notwendig 

+ kein Modell erforderlich 

- hoher Speicherbedarf 

- die Zugehörigkeitsfunktionen sind vorgegeben 

- Originaldaten und Ergebnisse aus Regeln können 

stark abweichen 

- Rauschen nicht berücksichtigt 



i 

19




Weiterentwicklung 

• Higgins & Goodman: 

– Beginne mit wenigen Zugehörigkeitsfunktionen 

– Wende Wang & Mendel - Ansatz an 

– Prüfe die Approximation auf den Trainingsdaten 

– Füge an Stellen mit großem Fehler eine neue ZF ein 





x x 



NEFCLASS 

• Neuro Fuzzy Classification 

• Ziel: Fuzzy-Regeln aus einer Datenmenge, die 

sich in Klassen einteilen lässt 

• Abbildung von Fuzzy-Regeln auf Neuronen 

• Abbildung von Zugehörigkeitsfunktionen auf 

Gewichte 

• Gelernt werden die Regeln und die Parameter der 

Zugehörigkeitsfunktionen 



20






NEFCLASS (2) 

Erfahrung: Regeln sind besser durch Fuzzy-Clustering 

Verfahren zu bestimmen 

1. Durchlauf: 

– Erzeugen von Neuronen durch Finden der 

Kombinationen von ZFkt mit den höchsten 

Zugehörigkeitswerten für ein Datum. 

– Gibt es eine solche Regel nicht, wird eine neue erzeugt. 

Nur die besten k Regeln werden danach zu Neuronen. 





NEFCLASS (3) 

• 2. Durchlauf: Lernen der Parameter der 

Zugehörigkeitsfkt. (nur Dreiecke erlaubt) 

• Idee: Bündeln von Verbindungen für gleiche 

Zugehörigkeitsfunktionen erlaubt das spätere 

Anwenden von linguistischen Variablen. 

• Lernen durch modifiziertes Backpropagation (ein 

Gewicht hat drei Parameter) 



21






NEFCLASS-Netzwerk 

NEFCLASS Netzwerk 

R1 R2 R3 R4 R5 



z 

x y 

Klein 

Mittel 

Groß 



Bewertung von NEFCLASS 

+ Neuronales Netz läßt sich als Fuzzy-Regeln interpretieren 

+ Modifiziertes Back-Propagation als Lernverfahren 

+ gemeinsame Ausrichtung der Gewichte führt zur 

Anwendbarkeit von Linguistischen Variablen 

– Die Klassifikationsleistung ist jedoch nicht so gut, wie bei 

anspruchsvollen Fuzzy-Clustering Verfahren 

– Die Vorgabe von Zugehörigkeitsfkt. ist für Clustering 

notwendig 

– In den Regeln sind zunächst alle Eingabeparameter aufgeführt. 

– Nach dem Optimieren der Zugehörigkeitsfkt. können starke 

Überlappungen die Interpretation erschweren. 



22




Regeln nach Durchlauf 1: 



Beispiel: Iris-Daten Iris Daten 

IF V 1 is small and V 2 is medium and V 3 is small and V 4 is small THEN Cl. 1 

IF V 1 is large and V 2 is medium and V 3 is medium and V 4 is medium THEN Cl. 2 

IF V 1 is small and V 2 is small and V 3 is medium and V 4 is medium THEN Cl. 2 

IF V 1 is medium and V 2 is medium and V 3 is large and V 4 is large THEN Cl. 3 

IF V 1 is medium and V 2 is small and V 3 is large and V 4 is large THEN Cl. 3 

IF V 1 is large and V 2 is small and V 3 is large and V 4 is large THEN Cl. 3 

IF V 1 is large and V 2 is medium and V 3 is large and V 4 is large THEN Cl. 3 

V1 = Kelchblattlänge in cm V2 = Kelchblattbreite in cm 

V3 = Blumenblattlänge in cm V4 = Blumenblattbreite in cm 

Cl.1 = Iris Setosa Cl.2= Iris Versicolour Cl. 3= Iris Virginica 





Ergebnisse von NEFCLASS 



23





















Fuzzy-MLP Fuzzy MLP 

• Idee: Ersetze die „Gewichtete Summe“ und 

„Sigmoidfunktion“ durch „t-norm“ und „tconorm“ 

für „UND“ und „ODER“ 

• Die Und-Oder-Struktur des Netzes erlaubt die 

Interpretation als Regeln 

• Lernverfahren: Backpropagation 

• t-norm: min, product (ab) 

• t-conorm: max, probabilistic sum (a+b-ab) 

• Eingabe: Zugehörigkeit zu Zugerhörigkeitsfkt. 



24








OR 

AND 

Fuzzy-MLP Fuzzy MLP 

Ausgaben 

Yi Eingaben 



X j 

W ji 

Bewertung von Regeln 

• Wichtig, um bei großen Regelmengen die 

wichtigsten herauszufinden. 

• Als Auswahlverfahren ermöglicht es „Extraktion 

von Regeln aus Daten“ 

• Vorgegeben: beliebige Regelmenge, 

Zugehörigkeitsfkt. und t-norm bzw. t-conorm 

• Gesucht: Wahrheitsmaß jeder Regel 



25




Möglichkeit 

Π(t) 


μ(t) 





Beispiel für Bewertung (1) 

1 

0° 

Πk alt 

Πh eiß 

Heiß 

40° 60° 100° 

e e Temperatur t 

1 2 e3 University of California 


Glaubwürdigkeit-Plausibilität 

Glaubwürdigkeit Plausibilität 

• Plausibilität: Addiere alle Möglichkeiten, daß e j zu 

Zfkt. A gehört und dividiere (normiere) durch die 

Anzahl der Beispiele h. 



26





Glaubwürdigkeit-Plausibilität 

Glaubwürdigkeit Plausibilität 

• Glaubwürdigkeit: Berechnung aus der Häufigkeit 

der Gegenbeispiele (Komplementmenge) 

• Maß zur Bewertung als Intervall [g h(A), f h(A)] 









27




Erweiterung 1: mehr Dimensionen 

* steht hierbei für eine t-norm 

Zur besseren Lesbarkeit wird folgende Vereinfachung gemacht 





Erweiterung 2: Bedingte Häufigkeit 





28









100% der Beispiele 

repräsentieren die Regel gut 

15% der Beispiele passen 

besser zu anderen Regeln 



Beispiel: Stop-and Stop and-Go Go Regler (1) 

• Ziel: Automatisches Gaspedal für Stop-and-Go 

Verkehr 

• Verfahren: Lernen aus Beispielfahrten 

hier: Auswahl von Regeln durch Bewertung 

• Daten: Abstand und Relativgeschwindigkeit zum 

Vordermann 



29









23 Regeln wurden ausgewählt 

und beschreiben solche 

Reglerkennlinien: 




Erst im zweiten Anlauf 

arbeitete der Regler gut. 

Zugehörigkeitsfunktionen 

wurden verändert. 

Expertenregeln wurden 

hinzugefügt. 



30





















Aktivierungs-/Inhibitions 

Aktivierungs /Inhibitions-Rechtecke Rechtecke 

• Abe & Lan ‘95 

– Quantisierung der Ausgaben (keine Granularisierung) 

– Bilde Aktivierungs-Hyperrechtecke 

– Werden Daten anderer Klassen überdeckt, bilde 

Inhibitionsrechteck usw. 

– Wenn X in Akt.HR A und X nicht in Inh.HR B 

dann Intervall I 



31




Aktivierungs-/Inhibitions 

Aktivierungs /Inhibitions-Rechtecke Rechtecke (2) 

• Beispiel 





x 

x 

x 

x 

o x o 

A 2 

A 1 



RecBF und Fuzzy Graph 

• Berthold & Huber ‘95 

• Historie: entstanden aus dem DDA 

• Idee: Regionen lokal & rund -> lokal & rechteckig 

• Eigenschaften 

– rechteckförmig -> interpretierbar 

– flexible Größe -> paßt sich an Daten an 

– Innerer (Kern) und äußerer (Einfluss) Bereich 

• Algorithmus 

– konstruktiv 

– schnell 



I 2 

I 1 

32






DDA-RBF DDA RBF RecBF 

• Idee: Rechteckige lokale Bereiche der Neuronen 

Aktivierung 

Distanz y 



Gauß’sche 

Glocke 

Distanz 

Distanz x 

Aktivierung 

Distanz 

Distanz y Einflußbereich 

Kernbereich 

Distanz x 

- nicht im Raster 

+ unendliche 

Ausdehnung 

möglich 



Rechteckige Basisfunktion RecBF 

Einflußbereich 

Kernbereich 

- 

Λ 1 

- 

λ 1 

+ 

λ 1 

+ 

Λ 1 

+ 

λ 2 

- 

λ 2 

+ 

Λ 2 

- 

Λ 2 

Bei RBF gab es nur den Radius σ 

Neue Konfliktvermeidungsstrategie ist notwendig 



33




RecBF - Regelextraktion 

Kern und Einflußbereich im ℜ m 

Wennx1 in [a1, b1 ] ⊆ (c1, d1, ) 

Und xn in Kernn ⊆ Einflußb. 

DannKlasse K = [ay, by ] ⊆ (cy, dy ) 

Regeln = Explizites (lokales) Wissen über 

Zusammenhänge, Parametereinfluß und Empfindlichkeit 

• Algorithmus 





RecBFN 

– Überdeckung (covered) 

– Einfügung (commit) 

– Verkleinern (shrink) 

• Klassifikationsregionen 

– lokal 

– rechteckförmig und achsenparallel -> Regeln 

extrahierbar 

– Bereich zwischen Klassen interpretierbar 



34






Algorithmus 

Iteriere, bis alle Trainingsmuster korrekt klassifiziert sind: 

Für jedes zu klassifizierende Muster: 

Falls Datum 

im Kern der korrekten Klasse (covered): 

NOP 

im Einflußbereich der korrekten Klasse (commit): 

Vergrößere Kernbereich 

nicht korrekt klassifiziert (shrink): 

Lege neues “Neuron” an und mache 

Konfliktauflösung 





Algorithmus 

• Während einer Epoche, dem einmaligen Anlegen aller 

Beispieldaten, wird für jeden Vektor X geprüft: 

– covered: Falls X im Einflußbereich einer bereits existierenden 

RecBF liegt und mit ihrer Klasse übereinstimmt, wird diese RecBF 

soweit vergrößert, daß ihr Kern den Vektor abdeckt. 

– commit: Wenn X nicht im Einflußbereich eines vorh. RecBFs der 

entsprechenden Klasse liegt, wird ein neues RecBF eingefügt. 

– shrink: Steht X in Konflikt mit einer RecBF, d.h. die Klasse des 

Vektors und der RecBF stimmen nicht überein und der Vektor 

verursacht eine Aktivierung der RecBF > 0. Der Einflußbereich 

der RecBF muß soweit verringert werden, daß der Vektor nach 

Verkleinerung außerhalb liegt und die Aktivierung der RecBF für 

diesen Trainingsvektor gleich 0 ist. 



35




x 2 

1 

Konfliktvermeidung bei RecBF 



x 



Heuristik: 

Wähle möglichst großes 

Volumen des 

Einflußbereiches 

Ausnahme: Einflußbereich 

wird zu schmal 



Beispiel 

x 1 

x 2 

1 

x 

x x 



x 1 

36




d 2 

c 2 

b 2 

x 2 



x 

x x 

x 

x 

b 1 



x 2 

1 

Beispiel 

x 

x x o 



Beispiel -> > Regelextraktion 

o 

x 

c 1 d 1 

o 

o 

o 

x 1 



x 1 

Regeln können direkt 

ausgegeben werden, z.B.: 

Wenn x 1 in < -, b 1 , c 1, d 1> 

und x 2 in < -, b 2 , c 2 , d 2 > 

dann Klasse X 

Wenn x 1 > d 1 dann Klasse O 

(verkürzt dargestellt) 

37




5.1 3.5 1.4 0.2 1 0 0 

4.9 3.0 1.4 0.2 1 0 0 

4.7 3.2 1.3 0.2 1 0 0 

4.6 3.1 1.5 0.2 1 0 0 

7.0 3.2 4.7 1.4 0 1 0 

6.4 3.2 4.5 1.5 0 1 0 

6.9 3.1 4.9 1.5 0 1 0 

6.3 2.9 5.6 1.8 0 0 1 

..... 

RecBF: 



Irisdaten mit RecBF 

150 Datensätze 

4 Merkmale 

Kelchblattlänge, Kelchblattbreite, 

Blumenblattlänge, Blumenblattbreite 

3 Klassen 

Iris Setosa, Iris Versicolour, Iris Virginica 

– 8 Regeln gefunden, z.B.: 

– Wenn Blumenblattlänge in [1.2, 1.9] Dann Klasse Setosa 





Iris-Daten Iris Daten mit RecBF 



38






Bewertung von DDA-RecBF 

DDA RecBF 

+ Interpretierbares “Neuronales Netz” 

+ schnelles Lernverfahren 

+ Erzeugung von verständlichen Fuzzy-Regeln 

+ nicht alle Eingabedimensionen sind in der Regel 

aufgeführt 

– nur Klassifikation, keine Funktionsapproximation 

– Anzahl der Regeln kann groß werden 

– keine linguistischen Variablen 





Approximation mit RecBF 

• endlich viele Klassen 

=> unendlich viele kontinuierliche Ausgabewerte 

(a, b, c) -> (0.44, 0.8, 1.3, 99.2) 

• Klassifikation -> Approximation 

• Idee: Ausgabewerte auf “unscharfe Klassen” abbilden 

(Fuzzifizierung), dann RecBF-Algo nutzen 

• Bereich zwischen den Regeln zur Interpolation nutzbar 

=> regionenbasierter Ansatz 



39




Vom RecBF zu Fuzzy Graphen 

• Fuzzy Graph 

– lokal 

– kompakt 

– Regeln extrahierbar 



• Fuzzy-Punkt: 

• Zugehörigkeit: 



Fuzzy-Punkt 

Fuzzy Punkt 

μ ∧∧μ 1 i 

m j 

i { m } j m 

μ( x ,..., x ) = min μ ( x ),..., μ ( x ) 

1 m 

1 1 

Kern 

Einflußbereich 



40




• Beispiel 



Fuzzy Graph 



Vorgehen 

• Eingabe: Beispieldaten (von Modellauswertungen) 

Unscharfe Klassen der Zielgröße 

• Ausgabe:Menge von Fuzzy-Regeln (Fuzzy-Graph) 



41






Approximation 

• Gegeben: X = (x1, x2, ...., xm) • Gesucht: fFuzzy-Graph(X) = ? 

1. Bestimme Zugehörigkeit für alle Fuzzy-Punkte: 

i { m } j m 

μ( x ,..., x ) = min μ ( x ),..., μ ( x ) 

k 

1 m 

1 1 

2. Bestimme Zugehörigkeit zu einer Klasse: 

{ k } 

μ ( x ,..., x ) = max μ ( X),..., μ ( X) 

1 m 1 

r 

3. Wende Defuzzifizierung an. 

• Beispiel 





Approximation 



42




Umgang mit verrauschten Daten 

• Beispiele mit verschieden Rauschniveaus: 

[-0.5, 0.5] [-2, 2] 



Analyse der Regeln 

• Regeln des Fuzzy-Graphen 

Wenn x1 in [0.1, 2.1] von ( -, 2.2) 

und x2 in [0.19, 0.99] von (0.18, -) 

und x3 in [0.01, 0.39] von ( -, -) 

und x4 in [1, 15] von ( -, -) 

Dann y ist Klasse niedrig 

Wenn ... 

Dann 

• Interpretation 

– Modellkonfiguration 

– Parametereinfluß 

– Empfindlichkeit 



43






Zusammenfassung FGA 

+ Approximation 

+ Fehlerbeschränkung auf Beispieldaten 

(Rauschtoleranz) 

+ Einfache Anwendbarkeit und schnelle Erzeugung 

+ Lokal an die Daten adaptierend 

- Keine linguistische Interpretation 

- Überlappung von Regeln 

- Heuristik beeinflußt Ergebnis 





Rückblick: Klassifikation der Verfahren 













44






Bewertung zur Datenanalyse 

• Viele Verfahren 

• Unterschiedliche Schwerpunkte 

– Klassifikation 

– Approximation 

– Wenige Regeln 

– Verständliche Regeln 

– Verrauschte Daten 

– ... 

=> Anwendung problemabhängig 



45

Aufbau der Vorlesung Gliederung: Fuzzy Logik - CES

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