1 Potenzen - M19s28.dyndns.org

Ingo Blechschmidt, 10C 

1 POTENZEN 1 

1 Potenzen 

1.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten 

a ∈ 

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 5 

; n ∈ ¡ ∩ [2; ∞];: a n = a · a · ... · a · a; a 1 = a; 

Dabei ist bei der Potenz a n a die Basis und n der Exponent. 

1.2 Die Potenzgesezte 

Es gilt: m, n ∈ ¡ ; a, b ∈ 

; b = 0; 

• 1. Potenzgesetz: a m · a n = a m+n 

• 2. Potenzgesetz: a = 0; am 

a n = 

• 3. Potenzgesetz: a n · b n = (a · b) n 

• 4. Potenzgesetz: an 

b n = ( a 

b )n 

• 5. Potenzgesetz: (a m ) n = a m·n 

1.3 Gleitkommadarstellung 

Beispiele: 

• 2387649, 2 = 2, 3876492 · 10 6 

• 17, 5 = 175 · 1 

10 1 (= 17, 5 · 10 −1 ) 

⎧ 

⎪⎨ a 

⎪⎩ 

m−n falls m > n 

1 falls m = 1 

falls m < n 

1 

a n−m


2 ERWEITERUNG DES POTENZBEGRIFFS 2 

2 Erweiterung des Potenzbegriffs 

2 0 : 

2 −3 : 

Permanenzprinzip: Die Potenzgesetze sollen gültig sein: 

1. Potenzgesetz: 2 m · 2 0 = 2 m+0 = 2 m =⇒ 2 0 = 1 

Sinnvolle Definition: a 0 = 1 für a = 0, da: 

0 · 0 0 = 0 m · 0 0 = 0 m+0 = 0 m = 0 =⇒ Kein Hinweis für Definition von 

0 0 ! 

Beachte: 0 0 ist nicht definiert! 

Permanenzprinzip: 

1. Potenzgesetz: 2 3 · 2 −3 = 2 3+(−3) = 2 0 = 1 =⇒ 2 −3 = 1 

2 3 

Definition: a = 0; n ∈ N; =⇒ 

a −n = 1 

a n 

3 Potenzen mit Bruchexponenten 

• 8 2 

 

3 =?: Aus dem 5. Potenzgesetz folgt: 8 2 

3 3 

= 8 2 

3 ·3 = 8 2 = 64 =⇒ 8 2 

3 

ist diejenige Zahl, deren dritte Potenz 64 ist. =⇒ 8 2 

3 = 4, denn 4 3 ist 

64 (−4 nicht möglich). 

• 100 3 

2 = 1000 (−1000 wäre auch eine Lösung, da (−1000) 2 = 10 6 ) 

• (−4) 1 

2 = (−4) 1 = −4 =⇒ TÖDLICH, (−4) 1 

2 ist nicht erklärt. 

• 

 

−8 1 

3 

 

= (−8) 1 = −8 =⇒ −2 wäre möglich 

• 0 2 

3 = 0 2 = 0, 0 0 nicht definiert 

Definition: a ∈ 

o, m, n ∈ ¡ : 

a m 

n ist diejenige nicht-negative reele Zahl, deren n-te Potenz a m ist. 

Sämtliche Potenzgesetze bleiben mit dieser Definition für Bruchexponenten 

erhalten.


4 DIE N-TE WURZEL 3 

4 Die n-te Wurzel 

a > 0: a m 

n = n√ a m , wobei n ∈ ¡ 

4.1 Umgang mit der Wurzelschreibweise 

• Teilweises Radischen ziehen 

• Unter die √ bringen 

• Gemeinsame Wurzel 

5 Polynomdivision 

a0, a1, ..., an−1, an ∈ 

; n ∈ ¡ 0; 

Ein Term der Form anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 heißt Polynom vom Grad 

n, wenn an = 0. 

Beispiele: 

• 3x 2 − √ 5x + 1 : Polynom vom Grad 2 (quadratischer Term) 

• 2x − 7 : Polynom vom Grad 1 (linearer Term) 

• −5 : Polynom vom Grad 0 (konstanter Term) 

• 27x 18 + x 9 − 2x 7 + 3: Polynom vom Grad 18 

x 3 − 8 = (x − 2) · (x 2 + 2x + 4) 

− (x 3 − 2x 2 ) 

2x 2 − 8 

− (2x 2 − 4x) 

4x − 8 

− (4x − 8) 

Satz: Ist x0 eine Nullstelle des Polynoms anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 

(x0 ist Lösung der Gleichung anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 = 0) dann ist 

das Polynom in Faktoren zerlegbar: 

Es gilt:


6 GANZRATIONALE FUNKTIONEN 4 

v in m 

s 

anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0 

 

Polynom vom Grad n 

P in kW 

2, 0 0, 0 

4, 0 0, 0 

6, 0 1, 2 

8, 0 6, 5 

10, 0 13, 0 

12, 0 18, 5 

14, 0 22, 5 

Abbildung 1: Messdaten 

6 Ganzrationale Funktionen 

P (x) = anx n +an−1x n−1 +...+a1x+a0 mit ai ∈ 

vom Grad n falls an = 0 

= 

(x − x0) 

 

Polynom vom Grad 1 · 

 

bn−1x 

· 

n−1 + bn−2x n−2 

+ ... + b1x + b0 

 

Polynom vom Grad n − 1 

für i = 0, 1, ..., n Polynom 

Eine Funktion x ↦→ P (x) heißt eine ganzrationale Fkt. (auch Polynomfunktion). 

7 Potenzfunktionen 

7.1 Potenzfunktionen mit positiven Exponenten 

7.2 Buch Seite 34, Aufgabe 7 

Mit der Windkraftanlage „Windmatic“ wurde zu verschiedenen Windgeschwindigkeiten 

v die abgegebene elektrische Leistung P gemessen (siehe 

Tabelle auf dieser Seite). 

a) Zeichne den Graphen der empirischen Funktion v ↦→ P ! Dieser Graph 

(abgebildet auf der nächsten Seite) heißt Leistungskennlinie.


7 POTENZFUNKTIONEN 5 

P 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

Messdaten 

cv^3 

0 

0 2 4 6 8 10 12 14 

v 

Abbildung 2: Leistungskennlinie 

b) Nach der Theorie sollte die Leistung P der Windanlage proportional 

zur dritten Potenz v3 der Windgeschwindigkeit sein. Ermittle in der 

Gleichung P = c·v 3 die Konstante c so, dass der Graph der zugehörigen 

Funktion durch den Punkt 8, 0 m 

s ; 6, 5kW verläuft. Zeichne den 

Graphen in das Diagramm ein. Gib Gründe für die Abweichungen 

von der Leistungskennlinie an! 

P ∼ v3 =⇒ c = P 

v3 = 13 kW s 

1024 

3 

m3 x in m 

0 2 4 6 8 10 12 14 

s 

y in kW 0 

13 

128 

13 

16 

351 

128 

13 

2 

1625 

128 

7.3 1. Monotoniegesetz für Potenzen 

Aus x1 < x2 folgt x n 1 < x n 2 für n ∈ ¡ , x ∈ + 

7.4 2. Monotoniegesetz für Potenzen 

Für alle n1, n2 ∈ ¡ gilt: Aus n1 < n2 folgt 

351 

16 

4459 

128 

 

x n1 < x n2 falls 1 < x < ∞ 

x n1 > x n2 falls x ∈ [0; 1] 

Beweis: n2 − n1 ∈ ¡ , x n2−n1 > 1 n2−n1 =⇒ x n 2 

x n 1 > 1 =⇒ xn2 > x n1



7.5 Zusammenfassung 

Eine Funktion f (x) heißt im Intervall [a; b] ⊆ f streng monoton zunehmend/steigend 

(abnehmend/fallend), wenn für alle x1, x2 ∈ [a; b] gilt: Aus 

x1 < x2 folgt f (x1) < f (x − 2) (f (x1) > f (x2)). 

Beispiele: 

• f (x) = x 2 

– Beh.: f (x) ist str. mon. zunehmend in + 0 

– Bew.: 

• f (x) = 1 

x 

* Vor.: x1, x2 ∈ + 0 mit x1 < x2 

* Beh.: f (x1) < f (x2), d.h. x 2 1 < x 2 2 

* Bew.: x2 2 − x2 1 = (x2 − x1) (x2 + x1) > 0 =⇒ x 2 2 > x2 1 

– Beh.: f (x) ist str. mon. abnehmend in + 

– Bew.: 

7.6 Hyperbeln 

* Vor.: x1, + 

x2 ∈ mit x1 < x2 

* Beh.: 1 

x1 

1 > x2 

* Bew.: 1 1 

− x2 x1 

x1−x2 = x1x2 

< 0 =⇒ Beh. 

x r mit r = −n, n ∈ ¡ , f−n : x ↦→ x −n = 1 

x n , = \ {0} 

• f−2n: 

– Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, da f−2n (−x) = 1 

(−x) 2n = 

1 

x 2n = f−2n (x). 

– Alle Graphen enthalten die Punkte (−1; 1) und (1; 1). 

¡ – 

 

+ = 

– 

sms 

smf 

falls x < 0 

falls x > 0 

• f−(2n+1):



1 

– Punktsymmetrisch zum Ursprung, da f−(2n+1) (−x) = 

(−x) 2n+1 = 

1 

−x2n+1 = −x−(2n+1) = −f−(2n+1) (x) 

– Alle Graphen enthalten die Punkte (−1; −1) und (1; 1). 

– ¡ = \ {0} 

– smf für x = 0 

Die Graphen der Potenzfunktionen x ↦→ x −n , n ∈ ¡ heißen Hyperbeln 

n-ter Ordnung. 

x- und y-Achsen sind Asymptoten. 

7.7 Wurzelfunktion 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

x**4 

x**(1/4.) 

−1 

−2 −1 0 1 2 3 4 5 

f 1 

n 

: x ↦→ y = f 1 (x) = x 

n 

1 

n = n√ x, n ¡ ∈ 

• f 1 

n 

• f 1 n 

ist die Umkehrfunktion von fn : x ↦→ y = fx (x) = x n , n ∈ ¡ . 

entsteht aus fn durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden 

y = x im 1. Quadranten.



• ¡ f 1 n 

= + 0 

• Für die Graphen der Funktionen fn, f−n, f 1 , n ∈ ¡ gilt: Je größer n, 

n 

desto „eckiger“ ist der Graph bei P (1; 1). 

7.8 Potenzen mit irrationalen Exponenten 

ar ⎧ 

⎪⎨ r ∈ falls a > 0 

ist definiert für 

+ r ∈ 

⎪⎩ 

r ∈ 

falls a = 0 

falls a < 0 

Eigenschaften der Graphen: 

• ¡ f = + , da y = a x > 0 für alle x ∈ 

• Sonderfall a = 1: f (x) = 1 x = 1 (Parallele zur x-Achse durch den 

Punkt (0; 1) 

• x = 0: f (0) = a 0 = 1 für alle a ∈ + =⇒ Gemeinsame Punkte: 

P (0; 1) 

• a > 1: sms 

• 0 < a < 1: smf 

• Aus x ↦→ ax erhält man x ↦→ 

1 x 

durch Spiegelung an der y-Achse, 

a 

da: ax =⇒ a−x = 

1 x 

a 

• y = a x ist nicht achsensymmetrisch. 

7.9 Exponentielle Wachstumsvorgänge 

Die Exponentialfunktion x ↦→ f (x) = c · a x , a, c ∈ beschreibt für a > 1 

einen Wachstumsvorgang. 

a heißt Wachstumsfaktor, c gibt den Bestand zum Startpunkt x = 0 an. 

7.9.1 Exponentielle Abkling- oder Zerfallsvorgänge 

Zerfallsgesetz: N : t ↦→ N (t) = N0 · t 

1 th 2 

In f : x ↦→ b · a x für 0 < a < 1 und x ∈ heißt a Abklingfaktor. b ist der 

Funktionswert für x = 0.


8 DER LOGARITHMUS 9 

8 Der Logarithmus 

Def.: ar = u, a, u ∈ ; =⇒ Der Logarithmus von u zur Basis a ist die Zahl, 

mit der man a potenzieren muss, um u zu erhalten. 

Man schreibt: r = log a u 

8.1 Existenz und Eindeutigkeit 

log 1 10 ist nicht definiert, da 1 x = 1 für x ∈ 

Existenz- und Eindeutigkeitsgesetz für Logarithmen: Zu jeder positiven 

Basis a = 1 gibt es von jeder positiven reelen Zahl u genau einen Logarithmus 

log a u. 

8.2 Rechenregeln für Logarithmus 

log a b: a ∈ \ {1} , u, v ∈ + 

• x1 = log a u ⇐⇒ u = a x1 

• x2 = log a v ⇐⇒ v = a x2 

• Multiplikation: 

u · v = a x1 · a x2 = a x1+x2 =⇒ loga (u · v) = log a a x1+x2 = x1 + x2 = 

log a u + log a v 

• Division: 

log a (u · v) = log a u + log a v 

u 

v = ax 1 

a x 2 = ax1−x2 =⇒ loga u 

v = log a a x1−x2 = x1 − x2 = log a u − log a v 

• Potenzieren: 

r ∈ 

log a u 

v = log a u − log a v 

, u r = (a x1 ) r = a x1·r =⇒ loga u r = log a (a x1 ) r = loga a x1·r = 

x1 · r = r · log a u 

log a u r = r · log a u 

.



8.3 Wechsel der Basis 

log a b = log c b 

log c a 

Der dekadische Logarithmus einer Zahl mit der Gleitkommadarstellung 

a · 10 n , 1 ≤ a < 10, n ∈ liegt zwischen n und n + 1. 

Es gilt: lg (a · 10 n ) = lg a + n, da 0 < lg a < 1. 

8.4 Die Logarithmusfunktion 

a ∈ + \ {1} 

8 

6 

4 

2 

0 

−2 

−4 

y = a^x (a > 1) 

y = log_a x 

y = x 

−6 

−3 −2 −1 0 1 2 3 

Alle Parallelen zur x-Achse Schneiden den Graph der Funktion y = a x 

höchstens ein mal. 

Zu jedem y ∈ + gibt es genau ein x ∈ mit y = a x . 

=⇒ Zuordnung: + ∋ y ↦→ x ∈ mit a x = y ist eine Funktion! 

Da wir die Variable einer Funktion stets mit x und die zugeordnete Größe 

stets mit y bezeichnen, benennen wir jetzt um: 

+ ∋ x ↦→ y ∈ mit a y = x 

Zu gegebenen x ∈ + ist y der Exponent, mit dem man die Basis potenzieren 

muss, um x zu erhalten. 

=⇒ y = log a x 

Übersicht:



• ∋ x ↦→ y = a x ∈ + (Exponentialfkt.) 

• ∋ log a y = x ← y ∈ + (Logarithmusfkt.) 

• Unbenennung =⇒ 

∋ loga x = y ← x ∈ + 

Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion 

(zur gleichen Basis). 

Ganz wichtig: = + 

Durch Spiegelung an der Geraden y = x 

8.4.1 Eigenschaften der Logarithmusfunktion 

3 

2 

1 

0 

−1 

2**x x 

log(x)/log(2) 

(1/2.)**x 

log(x)/log(1/2.) 

−2 

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 

• Alle Logarithmusgraphen schneiden die x-Achse im Punkt (1; 0). 

• Für a > 1 (a < 1) ist der Graph der Funktion y = log a x sms (smf), 

verläuft im I. und IV. Quadranten und nähert sich dem negativen 

(positiven) Teil der y-Achse beliebig nahe an. 

• Die Graphen der Funktion y = log a x und der Funktion y = log 1 

a 

x 

(a > 0) gehen durch Spiegelung an der x-Achse auseinander vor.


9 1. HAUSAUFGABE 12 

9 1. Hausaufgabe 

9.1 Seite 10, Aufgabe 7, 2. Zeile 

Schreibe in Gleitkommadarstellung. 

a) 100000 = 10 5 

b) 50000 = 5 · 10 4 

c) 2500 = 2, 5 · 10 3 

d) 25 = 2, 5 · 10 

e) 123456 = 1, 23456 · 10 5 

9.2 Seite 10, Aufgabe 8, 2. Zeile 

Schreibe in Dezimaldarstellung: 

a) 10 7 = 10000000 

b) 6 · 10 7 = 60000000 

c) 6.5 · 10 7 = 65000000 

d) 3, 45 · 10 3 = 3450 

e) 3, 45 · 10 6 = 3450000 

9.3 Seite 10, Aufgabe 9 

f) 12345, 6 = 1, 23456 · 10 4 

g) 123, 456 = 1, 23456 · 10 2 

h) 10000 = 10 4 

i) 100, 001 = 1, 00001 · 10 2 

j) 2010, 0102 = 2, 0100102 · 10 3 

f) 3, 02 · 10 4 = 30200 

g) 3, 20 · 10 4 = 32000 

h) 75 · 10 2 = 7500 

i) 0, 75 · 10 4 = 7500 

j) 0, 0075 · 10 6 = 7500 

Runde auf 3 gültige Ziffern und schreibe Gleitkommadarstellung. 

a) Die Oberfläche der Erde A = 

510101000km 2 = 5, 10 · 10 8 km 2 

b) Das Volumen der Erde V = 

1083319780000km 3 = 1, 08 · 

10 12 km 3 

c) Die Lichtgeschindigkeit c = 

299792458 m 

s 

= 3, 00 · 108 m 

s 

d) Die Anzahl der Sekundes eines 

Tages s = 8, 64 · 10 4 

e) Die Anzahl der Sekunden eines 

Jahres s = 3, 15 · 10 7




10.1 Seite 16, Aufgabe 4, 1. Spalte 

Berechne mit Hilfe des 1. Potenzgesetzes: 

• a) 2 6 · 2 4 = 2 1 0 = 1024 

• e) (−3) 2 · (−3) 3 = (−3) 5 = −243 



• a) a 3 · a 5 = a 8 

• e) (−x) 3 · (−x) 5 = x 8 

• i) (−a) 3 · a 5 = − (a 8 ) 

• n) (a + b) 2 · (a + b) 3 = (a + b) 5 



• a) a 3 · a n = a 3+n 

• e) v · v 3n−1 = v 3n 

• i) (−a) n · (−a) n+2 = (−a) 2n+2 = a 2n+2 


• a) 3c 5 · 7c 3 = 21 · c 8 

• d) 2x 2 · 3y 3 · 4x 4 = 24x 6 y 3





• a) 7 · 3 n − 4 · 3 n = 3 · 3 n 

• d) 3n+1 − 3n + 3n−1 = 3n · 3 − 3n + 3n · 1 

3 = 3n 3 − 1 + 1 

3 

• g) 150 · 5n−1 − 5n+1 n 1 = 150 · 5 5 − 5n · 5 = 25 · 5n 11.2 Seite 16, Aufgabe 11, 1. Spalte 

• a) 210 

2 7 = 2 3 

• e) 

0,18 = 0, 001 

0,00001 

• i) (−3)4 

(−3) 7 = 1 

−3 3 


• a) x7 

x 5 = x 2 

• e) y 

y 9 = 1 

y 8 


• a) xn 

x m = 

⎧ 

⎪⎨ x 

⎪⎩ 

n−m falls n > m 

1 falls n = m 

falls n < m 

1 

x m−n 

• e) y2m+1 

y 2m−1 = y2m·y 

y 2m · 1 

y 

• i) 3m+3 

27 = 3m ·33 27 

= y 1 

y 

= 3m 

= y 2 

= 7 

3 3n




12.1 Aufgabe 4 des Materials Al1713 

2z 2 x 4 + 32z 2 y 4 − 16z 2 x 2 y 2 = 2z 2 (x 4 + 16y 4 − 8x 2 y 2 ) = 2z 2 (4y 2 − x 2 ) 2 = 

2z 2 (x + 2y) 2 (x − 2y) 2 


(xp+q ) 2 · 

1 2q−q2 x 

· (xp+q ) p−q · − 1 

2p−1 2p+2q p = −x · x x 

2−q2 − x2p+2q+p2 −q 2 

x 2q+2p+1−q2 = −x 2p+2q+p2 −q 2 −2q−2p+1+q 2 

= −x p2 +1 

12.3 Aufgabe 7a des Materials Al1713 

(−9) 231 

3 460 

= − 3462 

3 460 = −9 


a k−1 −2a k +a k+1 

a k −a k+1 

= ak−1 (1−2a+a 2 ) 

a k−1 (a−a 2 ) 

(a−1)2 a−1 1−a 

= = − = a(1−a) a a 


 

1 

an+1bm−3 − 2 

anbm−2 1 + an−1bm−1 1 

= − 1 a 

· 

1 2q−q2 +2p−1 

= 

x 

: (a − b) = a 2n−1 b 2m−3 −2a 2n b 2m−4 +a 2n+1 b 2m−5 

a 3n b 3m−6 

(a − b) = a2n−1 b 2m−5 (a 2 −2ab+b 2 ) 

a 3 nb 3m−6 : (a − b) = a −n−1 b 1−m (a − b) 2 : (a − b) = 

a −n−1 b 1−m (a − b) (FALSCH) 



a 

b : 

 

c 

d 

 

e : f = ade 

bcf =⇒ 25x4b2 ·27x3y6 ·4a4b6 4a2y4 ·125a9b6 ·9x8y2 = 3 

5 

b2 xa7 :





Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? 

a) 100 −10 = (10 2 ) −10 = 10 −20 = 10 −100 =⇒ FALSCH 

b) 100 −50 = (10 2 ) −50 = 10 −100 =⇒ WAHR 

c) (−7 4 ) 3 = −7 12 = − (7 3 ) 4 =⇒ WAHR 

d) 2 −10 + 2 −10 = 2 1 · 2 −10 = 2 −9 =⇒ WAHR 

e) 3 −11 + 3 −11 + 3 −11 = 3 1 · 3 −11 = 3 −10 = 3 2·−5 = 9 −5 =⇒ WAHR 


15.1 Aufgabe 2f des Materials Al10131 

(a 2n+1 · a n ) : a 3 = a 3n−2 


 

8x−ky2 • a) 

(xy) −k+1 

k+1 8y 

= 

2 

xk x−k+1y−k+1 k+1 

 

8 

x 

yk+1 k+1 

8yk+1 k+1 

= 

= x 

8k+1y (k+1)2 

xk+1 • c) 

• d) 

 

 

= 

1 

xnyn−2 + 1 

xn−2yn 2 

+ xn−1yn−1 = y2 +x2 +2xy 

xnyn 8y2 xkx−k+1y−k+1 k+1 = (x+y)2 

x n y n 

a2 ym−1zn−2 2a 

− ym−2zn−1 + 1 

ym−3zn = a2z2 −2ayz+y2 ym−1zn = (az−y)2 

y m−1 z n 

= 

 

8 

xy−k−1 k+1 =





• e) 

• f) 

x k y −m 

z n 

x −2 −y −2 

x+y 

 

: 

 

x 2k−1 z n+2 

y 3 m 

−4 

x 12 y 12 

(x+y) 4 = (x+y)4 

(y+x) 4 (y−x) 4 

x 8 y 8 

· 

· 

 

 

x−1 +y−1 4 


· 

1 

x −k y m+3 z 3−2n 

: 

x 3 y 3 

2 

−4 

y−x 

x+y 

(y+x) 4 

x4y4 y−x · x12y12 (x+y) 4 = x16y16 (y−) 5 

= 

= ... = x k+1 y −6m−6 z 2n−8 

 

x+y 

1:x2−1:y2 4 · 

17.1 In der Schule begonnene Aufgabe fertigrechnen 

y −1 −x −1 

2 

− (y + x) 3 

−3 · 1 

 

y 

8 x 

3 x 

− = y 


 

1 1 −3 

− y x 

· 2 

1 

23 18.1 Buch Seite 52, Aufgabe 1Rest 

Berechne: 

a) 27 2 

3 = 9 

b) 16 3 

4 = 8 

c) 8 4 

3 = 16 

d) 125 2 

3 = 25 

e) 128 3 

7 = 8 

1 

− f) 8 3 = 1 

2 

4 

− g) 8 3 = 1 

16 

1 

− h) 1000 3 = 1 

10 

2 − i) 1000 3 = 1 

100 

j) 100 3 

2 = 1000 

3 − k) 100 2 = 1 

1000 

l) 512 2 

3 = 64 

3 − m) 1024 10 = 1 

8 

n) 729 5 

6 = 243 

3 (y−x)(y+x) 

xy 

4 1:x+1:y 

· 

y−x 

= 23 (xy) 3 ·(y−x) 3 (y+x) 3 

(x−y) 3 ·2 3 (xy) 3 

o) 243 3 

5 = 27 

3 − p) 243 5 = 1 

27 

q) 0, 001 2 

3 = 1 

100 

2 

− r) 0, 001 3 = 100 

s) 0, 04 3 

2 = 1 

125 

3 

− t) 0, 04 2 = 125 

=





• b) 

• e) 

 

a 1 

 

1 

− 2 + b 2 a 1 1 

− 2 − b 2 

 

= a − 1 

b 

 

1 − a 4 b 3 

4 + a 3 

 

1 − 4 b 4 a 1 3 

3 

− − 4 b 4 − a 4 b 1 

4 



a) √ 2 · 3√ 2 · 6√ 2 = 2 

b) √ 6 · 3√ 12 · 6√ 96 = 12 

c) √ 10 · 3√ 5 · 4√ 2 · 12√ 200 = 3√ 10 2 5 1 2 = 10 

d) √ 2 · 6√ 2 − 3√ 4 = 0 

e) 3 √ 54 − 3√ 16 6 √ 16 = 2 

√4 f) 29 4 

− √ 25 − 4√ 21 √4 23 = 2 



• a) 3√ 6 a = √ a 

• c) a √ √ 

a = a3 4 

= √ a3 

• d) z z √ √ z = z7 8 

= √ z7 

= a b 

− b a





a) 

b) 

c) 

d) 

 

3 4 8x √ x − 3√ x2 4√ = x 12√ 212x5 − 12 

 

x8 x3 = 2 12√ x5 − 12√ x5 = 12√ x5 

3 9x √ x − 3√ 8x2 

· 6 

 

1 

x = √ x 

12 √ 

x5 3√ + x 4√ 

x 

6√ · x 

12 

 

1 

x 

 

x 

3√ 

x2 · 4 √ x − 3 33 4√ x 

 

= 2 


· 12 

 

1 

x7 = −2 · √ x 

x 

23.1 Pseudo-Ex, Aufgabe 1 

Faktorisiere falls möglich Differenzen und Summen! Vereinfache dann! 

• 4√ 9x3 − x : 4√ 6x − 2 = 4 

 

x 9x2−1 6x−2 = 4 x (3x + 1) 

2 

• 3 √ 16 − 3√ 9 : 3 √ 4 + 3√ 3 = 3√ 24− 3√ 32 3√ 

22 3 

+ √ 3 = ( 6√ 24 + 6√ 32 )( 6√ 24− 6√ 32 ) 

6√ 

24 6 

+ √ 32 3√ 

3 

• 

• 

 

x 5 

2 − 6x 3 

2 + 9x 1 

 

2 

(x − 3) 1 

2 = 

 

x (x − 3) 3 

: (x − 3) 1 

2 = x 5 

4 − 3x 1 

2 4 

 

x + 4x 2 

3 + 4x 1 

 

3 : x 5 

6 − 4x 1 

 

6 = 6√ x6 +4 6√ x4 +4 6√ x2 6√ 

x5−4 6 √ x 

6√ x · 

( 6√ x2 +2) 2 

( 6√ x2−2)·( 6√ x2 +2) = 6√ x · 3√ x+2 

3√ 

x−2 

• a4−2a 11 

3 6√ b+a 10 3 3√ b 

a 8 3 −a2 3√ b 

( 6√ a2− 6√ b) 2 

6√ 

a4 6 

− √ b2 = 3√ a 4 · 

= 6√ a 24 −2 6√ a 22 b+ 6√ a 20 b 2 

6√ a 16 − 6 √ a 12 b 2 

= 

= 3√ 2 2 − 

: (x − 3) = x 1 

2 (x − 3) 2 : 

= 

6√ x 2 ·( 6 √ x 4 +4 6√ x 2 +4) 

6√ x·( 6 √ x 4 −4) 

6√ a 20 ·( 6 √ a 4 −2 6√ a 2 b+ 6√ b 2 ) 

6√ a 12 ·( 6 √ a 4 − 6√ b 2 ) 

( 6√ a2− 6√ b) 2 

( 6√ a2− 6√ b)·( 6√ a2 + 6√ b) = 3√ a4 · 3√ a− 6√ b 

3√ 6 

a+ √ b 

= 3√ a 4 · 

=



• a 3 2 x 2 3 −y 2 3 a 3 2 +x 2 3 a 3 2 −a 3 2 y 2 3 

4a 1 2 x 1 3 4y 1 3 a 1 2 

a 

2 · 3 √ x + 3√ y 


24.1 Pseudo-Ex, Aufgabe 2 

Vereinfache! 

a) 

= 2√a3 “ √3 · x2 3 

− √ y2 ” 

4 √ a·( 3√ x− 3√ y) 

 

3 9x · √ x − 3√ 8x2 

· 4 

 

1 

x = 3 12√ x8−2 12√ x8 12 √ x3 a 

= 2 · 

= 12√ x 5 

 

 

4a2n−2 b) bm−4 3 

 

6b−m · a2n+1 

−2 √ 

2 b3m : 5an−1b2m 

−1 

= 

√ 

28a12nb8m+16 4 6n 4m+8 = 2 a b (FALSCH) 


25.1 Pseudo-Ex, Aufgabe 2c 

1 

2x−1 · 

 

3 

(−2x2 ) 3 + ( 3√ x) −18 

= 5 

2 4 x 5 


26.1 Selbstgestellte Aufgaben 

• 

“ 

27k 9 4 l6 ” 2 “ 

3 

· k·m 1 ” 1 

2 

3 

“ 

81k 2 3 l2 ” 3 “ 

4 

· k·m 1 ” 1 

3 

2 

• a 2 5 xy2 +2·(ab) 1 5 xy2 “ 

+ b 1 ”2 

5 y x 

“ 

a 1 ”2 “ 

5 x ·y− b 1 ”2 

5 x2y = 32 ·k 3 2 ·l 4 ·k 1 2 ·m 1 6 

3 3 ·k 1 2 ·l 3 2 ·k 1 3 ·m 1 6 

= 

= k 7 6 ·l 5 2 

3 

“ 

a 1 5 +b 1 ”2 

5 ·xy2 “ 

a 1 5 +b 1 ” “ 

5 · a 1 5 −b 1 5 

” 

·x 2 y = 

“ √3 x2 3 

− √ y2 ” 

·( 3√ x+ 3√ y) 

3√ 

x2 3 

− √ y2 = 

2 6 a 6n−6 ·a 8n+4 ·2 2 b 3m 

b 3m−12 ·6 4 b −4m ·5 2 a 2n−2 b 4m = 

“ 

a 1 5 +b 1 ” 

5 ·y 

“ 

a 1 5 −b 1 ” 

5 ·x




27.1 Linearfaktoren ausmultiplizieren und dann wieder dividieren 

−7 (x + 5) (x − 3) x + √ 2 = 

(x 2 + 2x − 15) −7x − 7 √ 2 = 

− 7x 3 − 7 √ 2x 2 − 14x 2 − 14 √ 2x + 105x + 105 √ 7 = 

− 7x 3 + x 2 −7 √ 2 − 14 + x −14 √ 2 + 105 + 105 √ 7 = 

(x 2 + 2x − 15) −7x − 7 √ 2 = 

− 7 (x + 5) (x − 3) x + √ 2 


28.1 Buch Seite 46, Aufgabe 3e 

(2x 5 + 5x 4 − 4x 3 + 17x 2 + 12x − 12) : (4x 2 + 12x − 8) = 1 

2 x3 − 1 

28.2 Buch Seite 46, Aufgabe 4d 

(2z 4 − 2z 2 + 1) : (2z 2 − 3) = z 2 + 1 

2 + 

28.3 Buch Seite 46, Aufgabe 5e 

5 

2(2z 2 −3) 

4x2 + 3 

4 

(4x 4 − 12ax 3 + 13a 2 x 2 − 6a 3 x + a 4 ) : (2x 2 − 3ax + a 2 ) = 2x 2 − 3ax + a 2 


29.1 Ungleichung lösen 

(x + 3) (x − 7) (x 2 + x + 1) ≥ 0 =⇒ 

x + 3 > 0 falls x > −3 

x − 7 > 0 falls x > 7 

x 2 + x + 1 > 0 

⎫ 

⎬ 

⎭ =⇒ 

x + 3 

2 

= 

= ]−∞; −3[ ∪ [7; ∞[ = 

= \ ]−3; 7[



1000 

800 

600 

400 

200 

0 

−200 

−400 

(x+3)*(x−7)*(x**2+x+1) 

−600 

−4 −2 0 2 4 6 8 


30.1 Selbstgestellte Aufgabe 

Bestimme die ganzrationale Fkt. zweiten Grades durch P (1; −2), Q (3; 4), 

R (−1; 8). 

=⇒ 2x 2 − 5x + 1 



Bestimme die ganzrationale Funktion zweiten Grades P : x ↦→ ax 2 +bx+c, 

die durch die Punkte O(0; 0), P , dessen x-Koordinate 2 ist, und Q, die senk-



rechte Projektion von P auf die x-Achse. Ferner sei die Angabe gegeben, 

dass A△OP Q 8 beträgt. 

=⇒ 1 

2 QxPy = 8 =⇒ Py = 16 

Qx 


=⇒ P (2; 8) =⇒ 

32.1 Buch Seite 33, Aufgabe 1a 

Lege zu den folgenden Funktionen eine Wertetabelle für das Intervall [−2; 2] 

mit der Schrittweite 0, 25 an: 

• x ↦→ x: 

x −2 − 7 

4 

y −2 − 7 

1 x 4 

1 y 4 

1 

2 

1 

2 

• x ↦→ x2 : 

x −2 − 7 

4 

49 

y 4 

1 

x 4 

1 y 16 

• x ↦→ x3 : 

x −2 − 7 

4 

y −8 − 343 

x 

y 

1 

4 

1 

64 

3 

− 2 

3 

− 

4 2 

3 

4 

3 

4 

1 

1 

5 

4 

5 

4 

3 

− 

5 

− 4 

5 

− 

4 

3 

2 

3 

2 

5 

− 

9 

2 4 

25 

16 4 16 

1 

2 

1 

4 

3 

4 

9 

16 

1 

1 

5 

4 

25 

16 

1 

2 

1 

8 

64 

3 

4 

27 

64 

• x ↦→ x4 : 

x −2 − 7 

4 

2401 

y 16 

x 

y 

1 

4 

1 

256 

− 3 

2 

27 − 

1 

1 

3 − 

2 

81 

256 16 

1 3 

2 

1 

4 

81 

16 256 

• x ↦→ x5 : 

x −2 − 7 

4 

y −32 − 16807 

1 x 4 

1 

y 1024 

8 

5 

4 

125 

64 

1 

1 

3 

2 

9 

4 

−1 − 3 

4 

−1 − 3 

7 

4 

7 

4 

5 − 

125 − 

2 

2 

4 

3 

−1 − 4 

1 

7 

4 

49 

16 

9 

16 

2 

4 

1 

− 2 

1 

− 

2 

1 

− 

1 

4 

−1 − 4 3 

4 

64 

3 

2 

27 

8 

−1 − 27 

7 

4 

343 

64 

5 − 4 

625 

256 

−1 

1 

3 − 4 

81 

256 

5 3 7 

− 3 

2 

4 

625 

256 

243 − 

2 

81 

16 

4 

2 

8 

2401 

256 

64 

2 

1 − 

2 

1 

16 

2 

16 

− 5 

4 −1 − 3 

4 

3125 − 

1024 32 1024 

1 

2 

1 

32 

3 

4 

243 

1024 

1 

1 

5 

4 

3125 

1024 

3 

2 

243 

32 

1 

− 4 

1 

− 

4 

1 

− 

4 

1 

16 

1 − 2 

1 − 

8 

1 − 

4 

1 

256 

−1 − 243 

7 

4 

16807 

1024 

1024 

2 

32 

0 

0 

0 

0 

1 − 4 

1 − 

0 

0 

64 

− 1 

2 

1 − 

32 

0 

0 

1 

− 4 

1 − 

1024 

0 

0





Gib die gemeinsamen Punkt, die Symmetrie und das Monotonieverhalten 

der Parabeln mit den Gleichungen 

a) y = x 2n , n ∈ ¡ 

• Gemeinsame Punkte: (−1; 1) ; (0; 0) ; (1; 1) 

• Symmetrie: Achsenspiegelung an der y-Achse 

• Monotonieverhalten: Monoton steigend (fallend) für x ≥ 0 (x < 

0) 

b) y = x 2n+1 , n ∈ ¡ 

• Gemeinsame Punkte: (−1; −1) ; (0; 0) ; (1; 1) 

• Symmetrie: Punktspiegelung zum Ursprung 

• Monotonieverhalten: Monoton steigend 


Wie ändert sich der Funktionswert der folgenden Funktion, wenn man 

den x-Wert verdoppelt, verdreifacht, halbiert? 

a) x ↦→ x 2 : 4, 9, 1 

4 

b) x ↦→ x 3 : 8, 27, 1 

8 

c) x ↦→ 1 

2x3 : 8, 27, 1 

8 

d) x ↦→ 1 

8 x4 : 16, 81, 1 

16 


Lege ein Koordinatensystem an und zeichne die Graphen der folgenden 

Funktionen ein:



3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

x**−1 

x**−2 

x**−3 

x**−4 

−3 

−3 −2 −1 0 1 2 3 



Ordne die Potenzen, ohne die Werte auszurechnen, der Größe nach und 

schreibe das Ergebnis als aufsteigende Ungleichungskette! 

a) (−2, 7) 5 < 0, 85 < 0, 995 < 1, 65 b) 0, 38 < 

1 8 

4 8 8 

< < (−3) 3 9 

c) (−1, 1) 9 < 1, 1 3 < 1, 1 4 < 1, 1 7 

d) 0, 8 11 < 0, 8 8 < (−0, 8) 6 < 4 

5 

e) 2 8 = 4 4 < 2 9 = 8 3 < 2 10 

f) − 1 

9 

7 

1 4 

1 

< = 27 81 

5 

3 

1 9 

< 3




35.1 Buch Seite 33, Aufgabe 4 mit negativen Exponenten 

Wie ändert sich der Funktionswert der folgenden Funktion, wenn man 

den x-Wert verdoppelt, verdreifacht, halbiert? 

a) x ↦→ x −2 : 1 

4 

1 

, , 4 9 

b) x ↦→ x−3 : 1 1 , , 9 8 27 

c) x ↦→ 1 

2x3 : 1 1 

, , 9 8 27 

d) x ↦→ 1 

8x4 : 1 1 , , 16 

16 81 


Gib die gemeinsamen Punkte, die Symmetrie und das Monotonieverhalten 

der Hyperbeln mit den Gleichungen an: 

a) y = x −2n , n ∈ ¡ : 

• (−1; 1) ; (1; 1) ; 

• Achsensymmetrisch zur y-Achse 

 

• 

sms 

smf 

falls x < 0 

falls x > 0 

b) y = x −2n+1 , n ∈ ¡ : 

• (−1; −1) ; (1; 1) ; 

• Punktsymmetrisch zum Ursprung 

• smf für x = 0 



Bestimme sämtliche Lösungen:



• e) x 5 = 32 =⇒ 

• f) x 5 = −32 =⇒ 

= {2} 

= {−2} 

• l) 81x 4 = 256 =⇒ x 4 = 28 

3 4 =⇒ 



= 

4 4 

; − 3 3 

Berechne die Kantenlänge s eines Würfels mit dem Volumen V ! 

a) V = 720m 3 =⇒ s = 2 3√ 90m 

b) V = 5, 0 · 10 10 m 3 =⇒ s = 10 3 3√ 5, 0 · 10m 

c) V = 1, 083 · 10 12 m 3 =⇒ s = 10 4 3√ 1, 083m 

d) V = 8 · 10 −1 cm 3 =⇒ 2 3√ 10 −1 cm 

e) V = 4, 6 · 10 −23 cm 3 =⇒ 10 −7 3 4, 6 · 10 −2 cm 



Die von der Glühwendel einer Lampe abgegebene Strahlungsleistung P 

ist proportional zur 4. Potenz der Kelvin-Temperatur T : P ∼ T 4 . 

a) Die Temperatur der Glühwendel wird von T0 = 2700K auf T1 = 

3000K erhöht. Um wieviel Prozent steigt die Strahlungsleistung? 

P1−P0 

P0 

= kT 4 1 −kT 4 0 

kT 4 0 

≈ 0, 5242 ≈ 52, 42% 

b) Um wieviel Kelvin müsste die Temperatur von T0 = 2700K erhöht 

werden, damit sich die Strahlungsleistung verdoppelt? 

P2 = 2P0; =⇒ (T0 + x) 4 = 2T 4 0 ; =⇒ x = T0 

 

· 2 1 

 

4 − 1 ≈ 510K



c) Aus dem Strahlungsgesetz folgt, dass auch die ausgeschaltete Glühlampe 

bei Zimmertemperatur (T3 = 300K) noch eine Strahlungsleistung 

abgibt. Wie groß ist diese als Burchteil der ursprünglichen 

Strahlungsleistung? Wie ist dieses Ergebnis zu deuten? 

P3 

P0 = kT 4 3 

kT 4 0 

≈ 1 

656·10 1 


39.1 Buch Seite 51, Aufgabe 1b 

2 √ 3 ≈ 3, 3219 


Vereinfache: 

• a) 2 1+√ 2 · 2 1− √ 2 = 2 2 = 4 

• d) √ 12 √7 √ 

: 3 √ √ 

7 √ 7 

= 4 

• f) 

 

10 √ 

3−1 

√ 3+1 

= 103−1 = 100 


Ordne der Größe nach, ohne die Werte zu berechnen! 

√ 

2 √ 2 √ 1 √ 

2 2 

< 2 < 2 < 2 

 

1 

2 

√ 2 √ − 

< 2 √ 2 √ 

< 2 


Wie ändert sich der Funktionswert einer Exponentialfunktion x ↦→ a x , 

wenn man den x-Wert 

a) um 1 vergrößert: 

a r+1 

a r 

= a



b) um 2 vergrößert: 

a r+2 

a r 

= a 2 

c) um 1 verkleinert: 

a r−1 

a r 

= a −1 = 1 

a 

d) um 0, 5 vergrößert: 

a r+ 1 2 

a r 

= a 1 

2 


Lege zu den folgenden Exponentialfunktionen für das Intervall [−2; 2] Wertetabellen 

mit der Schrittweite 0, 5 an. Zeichne die Graphen jeweils in ein 

Koordinatensystem! 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

• 0 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

• 0 

3**x 

(1/3.)**x 

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 

(5/2.)**x 

(2/5.)**x 

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2



• 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

• −4 

5.5 

5 

4.5 

4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

(9/4.)**x 

(9/4.)**−x 

0 

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 

−0.5**x 

0.5**−x 

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 


40.1 Exponentialfunktionen 

Zeichne die Graphen der Funktionen f (x) = 2 x , g (x) = 2 x+1 und h (x) = 

2 x−1 im gleichen Koordinatensystem. Wie gehen die Graphen von g und h 

aus dem Graphen von f hervor?



4 

3.5 

3 

2.5 

2 

1.5 

1 

0.5 

f(x) 

g(x) 

h(x) 

0 

−10 −5 0 5 10 

g steigt schneller an als h. 


Gegeben ist die Exponentialfunktion x ↦→ 10 x , x ∈ 

a) Wir denken uns für x nacheinander die Zahlen 0; 1; 2; ... eingesetzt: 

Wie erhält man aus einem y-Wert den folgenden? 

10 x+1 

10 x 

= 10 =⇒ Man multipliziert die vorhergehende Zahl mit 10. 

b) Wir denken uns für x nacheinander die ganzen Zahlen 0; −1; −2; ... 

eingesetzt. Wie erhält man aus einem y-Wert den folgenden? Welche 

Rolle spielt die x-Achse für den Graphen? 

10x−1 10x = 1 

=⇒ Man dividiert die vorhergehende Zahl durch 10. Da- 

10 

bei ist die x-Achse die Asymptote von . 

c) Stell dir vor, du solltest den Graphen im Intervall [−10; 10] mit der 

Einheit 1cm auf den Koordinatenachsen zeichnen. Wie hoch müsste 

das Blatt mindestens sein? Welche Strecke der Umwelt ist in etwa so 

lang? 

.



Die Strecke müsste cm · 10 x = 10 1 0cm lang sein. 



Stell dir vor, dein Urururgroßvater hätte 1850 bei einem alten amerikanischen 

Bankhaus 1 ollar zu 10% Jahreszins angelegt. Es wurde vereinbart, 

dass dir das angesammelte Kapital im Jahr 2000 auszuzahlen ist. Wie viel 

Dollar würdest du erhalten, wenn 

a) die Zinsen jeweils nicht mitverzinst wurden? 

t = 2000 − 1850 = 150; 

1 + 1 · 150 · 0, 1 = 16; 

b) die Zinsen jeweils am Ende jedes Jahres dem Kapital zugeschlagen 

und mitverzinst wurden? 

1 · 1, 1 t = 1, 1 150 ≈ 1, 62 · 10 6 ; 

c) die Zinsen jeweils halbjährlich dem Kapital zugeschlagen und mitverzinst 

werden? 

1 · 1 + 0,12t 

6 ≈ 2, 3 · 10 ; 

2 

41.2 Exponentielles Bakterienwachstum 

41.2.1 Aufgabe 1 

Bakterien vermehren sich durch Zellteilung. Es entstehen auf diese Weise 

aus einer Zelle zwei Tochterzellen. Die durchschnittle Zeit, die bis zur 

nächsten Zellteilung vergeht, heißt Generationszeit. 

Bei Escherichia Coli-Bakterien beträgt die Generationszeit 20min. Auf wie 

viele Bakterien ist die Bakterienkultur in 24h angewachsen, wenn sie zu 

Beobachtungsbeginn aus 150 Bakterien bestand? Wie viele Bakterien waren 

es eine Stunde vor Beobachtungsbeginn? 

150 · 2 60min 

20min ·24h = 708354972430446782054400 ≈ 7 · 10 2 3; 

150 · 2 60min 

20min ·−1h ≈ 19




Eine Bakterienkultur enthält 3h nach dem Aufguss geschätzt 1200 Bakterien, 

2h später 10000 Bakterien. 

a) Wie viele Bakterien enthielt die Kultur nach 1h, 2h und 4h nach diesem 

Aufguss? 

=⇒ unbestimmbar, da wir nicht nach einem Exponenten auflösen 

können. 


42.1 Buch Seite 65, Aufgabe 8b 

Die Jodart J131 ist radioaktiv. Ihre Halbwertszeit beträgt tH = 8, 0d. Zur 

Zeit t = 0 seien N (0) = 10 6 J131-Kerne vorhanden. Wie viele J131-Kerne 

sind nach 8d, 16d, 24d noch vorhanden? Stelle die Zerfallsgleichung auf! 

Zeichne ein Zeit-Anzahl-Diagramm für das Zeitintervall von 0d bis 16d! 

Nach welcher Zeit sind noch 400000 J131-Kerne vorhanden? 

N : t ↦→ N (t) = 10 6 · 1 

2 

t 

8,0d



Anzahl J131−Kerne in 10^5 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

0 2 4 6 8 

t in d 

10 12 14 16 


Der Luftdruck p hat eine „Halbwertshöhe“ von hH = 5, 5km. Das bedeutet: 

Nimmt die Höhe h jeweils um 5, 5km zu, so sinkt der Luftdruck auf 

die Hälfte. 

N(t) 

a) In der Meereshöhe h = 0 herrsche ein Luftdruck von p (0) = 1000hP a. 

Stelle die Gleichung auf, welche die Abhängikeit des Luftdrucks p 

von der Höhe h beschreibt! 

p : h ↦→ p (h) = 1000hP a · 1 

2 

b) Zeichne ein h-p-Diagramm! 

h 

5,5km



p in 1000hPa 

1.1 

1 

0.9 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 


43.1 Aufgabenblatt 


0 2 4 6 8 10 

h in km 

Ein Mittelklassenwagen kostet neu 26500DM. Der Wertverlust im ersten 

Jahr beträgt 25% des Neupreises. Danach beträgt der Wertverlust pro Jahr 

10% des Restwertes des Fahrzeugs im Jahr zuvor. 

a) Gib eine Funktion, die für x Jahre (x > 1) nach Anschaffung des 

Fahrzeugs den Restwert des Fahrzeugs angibt! 

W (0) = 26500DM; 

W (t) = 26500DM · 0, 75 t , 0 ≤ t ≤ 1; 

=⇒ W (1) = 19875DM; 

W (1) · 0, 9 −1 ≈ 22083DM; =⇒ W (t) ≈ 22083DM · 0, 9 t , t > 1; 

=⇒ W (t) ≈ 

 

26500DM · 0, 75t falls 0 ≤ t ≤ 1 

22083DM · 0, 9t ; 

falls t > 1 

p(h)



b) Welchen Restwert hat das Fahrzeug nach 

• 3 Jahren? W (3) ≈ 16099DM; 

• 5 Jahren? W (5) ≈ 13040DM; 

• 7, 5 Jahren? W (7, 5) ≈ 10020DM; 


Eine befruchtete menschliche Eizelle teilt sich in etwa alle 15h. Wie viele 

Zellen bilden sich durch Zellteilung aus der ersten Eizelle im Laufe einer 

Woche (eines Monats)? 

N (t) = 1 · 2 t 

15h = 2 t 

15h ; 

N (7 · 24) ≈ 24 · 10 2 ; 

N (4 · 7 · 24) ≈ 3, 1 · 10 1 3; 


Im Zuge der Einführung der Kapitalertragssteuer im Jahr 1993 wurden 

die Besitzer von Sparbüchern durch die Banken angeschrieben. Bei dieser 

Aktion tauchte manch vergessenes Sparbuch wieder auf. 

Auf welchen Beitrag beläuft sich ein Sparguthaben bei einem Zinssatz von 

2, 5% pro Jahr, wenn für die letzten 2a (5a, 10a) bei einem Kontostand von 

2500DM keine Zinsen mehr gutgeschrieben wurden? 

Beachte, dass die Zinsen aus dem Vorjahr gutgeschrieben und im darauffolgenden 

Jahr mitverzinst werden (Zineszins). 

Unzureichende Angaben: Kontostand zu Beginn fehlt. 



• d) 2 x = 1; =⇒ x = log 2 1 = 0; 

• h) 100 x = 10; =⇒ x = log 10 100 = 2; 

• m) 4 x = 1; =⇒ x = log 4 1 = 0;




• b) log 2 1024 = log 2 2 10 = 10; 

• c) log 3 243 = log 3 3 5 = 5; 

• d) log 5 5 = log 5 5 1 = 1; 

• e) log 10 10000 = log 10 10 4 = 4; 

• f) log 10 1 = log 10 10 0 = 0; 

• g) log √ 2 2 = log√ 2 

• h) log √ 3 9 = log√ 3 

√ 2 2 = 2; 

√ 3 4 = 4; 

• i) log 2 1 

2 = log 2 2 −1 = −1; 

• j) MISSING 

• k) log 3 1 

9 = log 3 3 −2 = −2; 

• l) log 5 1 

125 = log 5 5 −3 = −3; 

• m) log 4 1 

256 = log 4 4 −4 = −4; 



• b) log a 

√ 2x = 1 

2 log a 2x = 1 

2 (log a 2 + log a x) ; 

• e) log a (x 2 z) 5 = 5 log a x 2 z = 5 (2 log a x + log a z) ; 

• m) ld 

2a 2 

√ 8b 

 

= 3 ld 2a2 

√ 8b = 3 

 

ld 2a 2 − ld √ 8b 

3 + 6lda − 3 

2 ( ld 23 + ld b) = − 3 

3 

+ 6 ld a − ld b; 

2 2 


Geg.: lg 2; lg 3; 

• e) lg 8 = lg 2 3 = 3 · lg 2; 

• h) lg 0, 000012 = lg (2 · 2 · 3 · 10 −6 ) = 2 lg 2 + lg 3 − 6; 

 

= 3 1 + 2 ld a − 1 

2 ld 8b =





• c) 0 ≤ lg 1, 23 < 1; 

• d) 5 ≤ lg (3, 67 · 10 5 ) < 6; 

• g) −4 ≤ lg 0, 00037 = lg (3, 7 · 10 −4 ) < −3; 


• b) − log a x − log a y = − log a xy; 


• b) log a (x + y) 2 = 2 log a (x + y) ; 

• d) log a (x 2 + y 2 ) ; 

• h) log a 

a(1+x) 

x 2 −1 


= 1 

2 [1 − log a (x − 1)] ; 

47.1 Arbeitsblatt, Aufgabe 2 

Faltet man ein Stück Papier im DIN-Format mehrfach längs einer Mittellinie, 

so liegen erst zwei, dann vier Schichten übereinander. Es wird dabei 

immer kleiner und dicker. Wie oft müsste man es falten können, um 

einen Turm zu erhalten, der bis zum Mond reicht (Entfernung zum Mond: 

D = 384000km, Papierdicke d = 0, 2mm)? 

D = d · 2 n ; =⇒ n = ld D 

d ;



47.2 Arbeitblatt, Aufgabe 3 

Am 1.1.1960 lebten a0 = 3, 01·10 9 Menschen auf der Erde. In welchem Jahr 

überschreitet die Erdbevölkerung die 10 · 10 9 -Grenze, wenn der jährliche 

Zuwachs p = 1, 9% beträgt? In welchem Jahr erreichte die Menschheit die 

2 · 10 9 -Grenze? 

N = a0 · 1, 019 t ; =⇒ t = log 1,019 N 

a0 ; 


• g) 1 

2 (loga 2 + loga z) = 1 

2 log √ 

a 2z = loga 2z; 

• h) 3 

log a 

2 (1 + 2 loga u − loga v) = 3 

2 (loga a + loga u2 − loga v) = 3 

2 loga au2 

√ 

au2 3 

v ; v 



v = 

Betimme a, b so, dass sich die Graphen der Funktionen y = a x und y = 

log b x im Punkt P (3; 8) schneiden. Bestimme jeweils dann die Umkehr- 

funktion. 

8 = a3 ; =⇒ a = 3√ 8; 

8 = logb 3; =⇒ b8 = 3; =⇒ b = 8√ 

=⇒ 

3; 

f : x ↦→ 3√ 8 x = log 8 √ 3 x; 

f −1 : x ↦→ log 3 √ 8 x = 8√ 3 x ;




49.1 dablatt 

2 

1 

0 

−1 

−2 

−3 

−4 

−5 

−6 

f : x ↦→ 4 lg (x + 3) − 2; 

4. * log(x + 3)/log(10) − 2 

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 

50 Seite 15, Aufgabe 1 

Addieren und Subtrahieren mit Potenzen 

a) 3a 5 + 7a 5 = 10a 5 

b) 4b 3 − 7b 3 = −3b 3 

c) 2c 2 − 3c 3 = 2c 2 − 3c 3 

d) x 4 + x 4 = 2x 4 

e) y 2 − 2y 2 = −y 2 



f) −z 3 + z 3 = 0 

g) 1 

2 a4 − 1 

6 a4 = 1 

3 a4 

h) 1 

5 t5 − 1 

4 t5 = − 1 

20 t5 

i) 3 

8 s3 − 3 

2 s3 = − 9 

8 s3


52 SEITE 15, AUFGABE 3 41 

a) 5 · 10 n − 3 · 10 n = 2 · 10 n 

b) 10 m + 10 m = 2 · 10 m 

c) 3 k − 2 · 3 k = −3 k 

d) 1 

3 · 10n − 10 n = − 2 

3 10n 

e) 5 k − 3 

2 5k = 7 

2 5k 



a) a · 10 6 + b · 10 6 = 10 6 (a + b) 

b) a · 10 8 − 10 8 = 10 8 (a − 1) 

c) ax n + x n = x n (a + 1) 

d) na n − a n = a n (n − 1) 

e) ze z+1 − e z+1 = e z+1 (z − 1) 


f) 3 

4 10m − 4 

3 10m = − 7 

12 

g) 10 n − 0, 3 · 10 n = 0, 7 · 10 n 

h) 0, 3 m + 0, 2 m = 1 

2 m 

Multipliziere und fasse, soweit möglich, zusammen: 

a) 5 a 5(a−2a 2 +3a 3 −4a 4 ) = 5a 6 − 

10a 7 +15a 8 −20a 9 = 5a 6 (1−2a+ 

54 1. Schulaufgabe 

i) 0, 3 n + 0, 2 · 0, 3 n = 1, 2 · 0, 3 n 

f) xe x−1 − e x−1 = e x−1 (x − 1) 

g) 7(a+b) 4 +5(a+b) 4 = 12(a+b) 4 

h) (x + 1) m + (x + 1) m = 2(x + 1) m 

i) t(t−1) n −(t−1) n = (t−1) n (t− 

1) 

3a 2 − 4a 3 ) 

1. Vereinfache und gib’ das Ergebnis ohne negative Exponenten an: 

 

2 3 

−0, 3 · (−a) −2 

2 

a5+mb3n−3 0,3a2 −3 2 

· 

: 

= 

 

−2 

· 

4 10 

3a 3 2 

a 4+m 

· a2 · 33a6 103 = 104 ·a2 ·33 ·a6 34 ·a6 ·103 = 10a2 

3 

b 2n−2 

3a 3 2 

10 

(ab 3n−3 ) 2 · 

3a 2 

10 

b 2n−2 

3 

=


54 1. SCHULAUFGABE 42 

Elitere Lösung: −0, 3 2 · (−a) 3−2 · 

3a 2 

0,3 

= 10 

3 a2 

= =⇒ 

• a = 

; 

• m = \ {−5; −4} ; 

• b = 

• n = \ {1} ; 

; 

2. Fasse soweit wie möglich zusammen: 

(1 + x) −1 + (1 + x −1 ) −1 = 1 

1+x 

= =⇒ 

• x = 

3. Kürze: 

4+4x 1 3 +x 2 3 

x 2 3 −4 

= 

= =⇒ 

• x = 

; 

“ 

2+x 1 ”2 

3 

“ 

x 1 ”“ 

3 −2 x 1 3 +2 

; 

” = 2+x 1 3 

+ 1 

1+ 1 

x 

2 a5+mb3n−3 a 4+m 

x 1 3 −2 = − 2+x 1 3 

2−x 1 3 

= 1 x 

+ 1+x x+1 

: 

0,3a 2 

b 2n−2 

= x+1 

x+1 

−3 

4. Aus einem Kreis K1 mit Radius R = 6cm schneidet der Mittelpunktswinkel 

α = 60 ◦ einen Kreisbogen AB aus. Die dazugehörige Sehne 

[AB] ist ein Durchmesser eines weiteren Kreises K2. Berechne den 

Inhalt der Fläche, die von beiden Kreisen bedeckt wird (siehe Zei- 

chung auf der nächsten Seite). 

A = 1 

2AK2+AS−AD = 1 

2π R 

2 

(≈ 17, 40cm 2 ) 

2+ 60 ◦ 

360 ◦πR 2 − 1 

2 

= 1 

√ 

R 

2 

R 3 = R π 2 

1 

8 

= 0,3−4 ·a −6 ·a 2 ·b 6n−6 ·0,3 3 ·a 6 

b 6n−6 

+ 1 

6 

√ 

3 − 4 

5. Berechne die Oberfhäche des Rotationskörpers auf der nächsten Seite 

in Abhängigkeit von a. 

O = MK + MZ + 1 

2OK 

= π6a (6a) 2 + (8a) 2 + 2π6a6a + 2π (6a) 2 = 

πa2 (60 + 4 · 36) = 204πa2 =



Abbildung 3: Schnittmenge der zwei Kreise von Aufgabe 4 

8a 

Abbildung 4: Rotationskörper von Aufgabe 5 


R 

1. Berechne folgenden Term und schreibe den Zahlenwert im Ergebnis 

als Dezimalzahl: 

 

0, 000000512 · x 3 

8 · u 9 

4 

9 

4 

0, 0016 · x 1 

6 · u 

2. Vereinfache soweit wie möglich: 

u−2u 2 3 ·v 1 3 +u 1 3 ·v 2 3 

u−u 1 3 ·v 2 3 

= 

= 

“ 

u 1 2 −u 1 6 v 1 ”2 

3 

“ 

u 1 2 +u 1 6 v 1 ”“ 

3 u 1 2 −u 1 6 v 1 3 

3. Vereinfache soweit wie möglich: 

5√ 

a2 5 

− √ 32a+1 

(a− 5√ a3 ): 5√ a3 = ( 5√ a2−2 5√ a+1) 5√ a3 a− 5√ a3 B 

6a 

 

29 · 10−9 · x 3 

8 · u 9 

4 

9 

4 

R 

” = u 1 2 −u 1 6 v 1 3 

u 1 2 +u 1 6 v 1 3 

= ( 5√ a−1) 2 5 √ a3 ( 5√ a2−1) 5√ = 

a3 4. Gib alle Winkel α mit 0 ◦ ≤ α ≤ 360 ◦ an, für die gilt: 

• sin α = − cos α 

A 

= 2 4 · 10 −4 · x 1 

6 · u = 

= u 1 3 −v 1 3 

u 1 3 +v 1 3 

( 5√ a−1) 2 

( 5√ a−1)( 5√ a+1) = 5√ a−1 

5√ a+1



sin α = − cos α 

± √ 1 − cos 2 α = − cos α 

1 − cos 2 α = cos 2 α 

± 1 

2 

1 

2 = cos2 √ 

α 

2 = cos α 

Von den Vorzeichen von Sinus und Kosinus kommen aber nur 

der 2. und der 4. Quadrant ich Betrachtung. =⇒ 

• cos α = 4 

3 =⇒ 

liegt. 

= {135 ◦ ; 315 ◦ } 

= {}, da der Kosinus nur im Intervall von [−1; 1] 

5. Ein Flugzeug fliegt auf geradlinigem Kurs mit konstanter Geschwindigkeit 

in gleichbleibender Höhe von h = 3500m genau über einen 

Beobachter hinweg. Während sich das Flugzeug vim Beobachter entfernt, 

misst er zu dem Flugzeug zwei Höhenwinkel (Winkel gegen 

die Horizontale): 

• α = 72, 3 ◦ und ∆t = 20s später 

• β = 30, 7 ◦ . 

Berechne die Geschwindigkeit des Flugzeugs (Skizze mit Angabe 

der von die benutzten Bezeichnungen!) 

sin α h 

= cos α s1 =⇒ s1 = 

sin β 

cos β 

v = ∆s 

∆t 

= h 

s2 =⇒ s2 = 

= s2−s1 

20s 

h cos α 

sin α 

h cos β 

sin β 

≈ 238, 9 m 

s 


≈ 1117m 

≈ 5895m 

≈ 860, 0 km 

h 

1. a) Zeige, dass das Polynom p (x) = 2x 3 − 9x 2 + 7x + 6 durch x − 3 

teilbar ist. 

(2x 3 − 9x 2 + 7x + 6) : (x − 3) = 2x 2 − 3x − 2 

b) Bestimme mit Hilfe von a) die Lösungsmenge der Gleichung p (x) = 

0 (Ergebnis: = − 1 

2 ; 2; 3 ). 

x1 = 3; x2;3 = 3±√ 9−4·2·−2 

4 

= 3±5 

4 =⇒ 

= − 1 

; 2; 3 2 

c) Gib die Zerlegung des Polynoms p (x) in Linearfaktoren an.


57 SINUS-MINI-HOWTO 45 

p (x) = 2 (x − 3) (x − 2) x + 1 

 

2 

d) Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung p (x) ≥ 0 mit der 

graphischen Methode. 

−10 

= − 1 

2 ; 2 ∪ [3; ∞[ 

20 

15 

10 

5 

0 

−5 

2*x**3−9*x**2+7*x+6 

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 

57 Sinus-Mini-HowTO 

1. Gesucht: sin α, wobei α ein „komischer“ Winkel ist, also nicht 30 ◦ , 

90 ◦ , etc (Beispiel: α = 15 ◦ ). 

2. Suche dir zwei Winkel β und γ aus, die addiert oder subtrahiert, α 

ergeben (Beispiel: α = (β = 45 ◦ ) − (γ = 30 ◦ ). 

3. Definiere: E (ϱ) = cos ϱ + i · sin ϱ 

4. Definiere: 

• zβ = E (β) (Beispiel: zβ = 1 

√ √ √ 

1 1 

2 + 2i = 2 (1 + i) 

2 2 2 

• zγ = E (γ) (Beispiel: zγ = 1 

√ 

1 

3 + 2 2i)


57 SINUS-MINI-HOWTO 46 

5. Definiere: 

• Ist α bei dir eine Summe? z = zβ · zγ 

√ 

2(1+i) 

√ 

1 1 = 

3+ i 2 2 

• Ist α bei dir eine Differenz? z = zβ : zγ (Beispiel: z = 1 

2 

√ √ √ √ 

1 1 

1 1 

6 + 2 + i · 6 − 2 ) 

4 4 

4 4 

6. Dann ist sin α gleich dem Imaginärteil von z (Beispiel: sin α = 1 

√ 

6 − 

√ 4 

2 =⇒ 

1 

4 

) 

0wnz3d 

Special thanks to: Harald Kümmerle

1 Potenzen - M19s28.dyndns.org

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?