Übungen gebrochen-rationale Funktionen (1) - MatheNexus

Übungen gebrochen-rationale Funktionen (1)
Für alle Funktionen:
Bestimmen Sie jeweils
das Grenzverhalten (x---> ∞ ) und die Asymptoten,
die Definitionsmenge,
die Polstellen,
die Nullstellen und
hebbare Definitionslücken.
Skizzieren Sie den Graphen.
(1) f( x)
(2) f( x)
(3) f( x)
(4) f( x)
:=
:=
x 3
x 3
6x 2
+ + 11x + 6
6x 2
− + 11x − 6
2 x 4
⋅ x 3
+ 15 x 2
− ⋅ − 7 ⋅ x + 7
2 x 3
⋅ x 2
− − 18 ⋅ x + 9
x 4
3 x 3
− ⋅ 4 x 2
− ⋅ + 12 ⋅ x
x 3
3 x 2
:=
− ⋅ − x + 3
:=
x 4
13 x 2
− ⋅ + 36
x 3
− x
MK 3.6.2003 GebratFunkt_Ueb_1.mcd
3 x
(5) Mit c ∈R f( c , x)
3
⋅ 3 x 2
⋅ 3 x 2
+ − ⋅ ⋅ c − 3 ⋅ x ⋅ c − 6 ⋅ x + 6 ⋅ c
:= Skizze für c = 3
2x + 2

(1) f( x)
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
x = 2 "mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
x = 3 "mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
Nullstellen: x1 := −3
"Schnittpunkt"
x 2
x 3
:= −2
"Schnittpunkt"
:= −1
"Schnittpunkt"
Hebbare Definitionslücken: Keine
Graph: x := −6 , −5.99
.. 6
f( x)
asy
⎛
⎜
⎝
− 300
300
⎞ ⎟⎠
:=
x 3
Grenzverhalten:
Nenner: x 3
x 3
6x 2
+ + 11x + 6
6x 2
− + 11x − 6
x ≠ 0
x 3
6 x 2
+ ⋅ + 11 ⋅ x + 6
x 3
6 x 2
6 11
1 +
x
x
− ⋅ + 11 ⋅ x − 6
2
6
+
x 3
+
6 11
1 −
x
x 2
6
+
x 3
= ----------------> 1 asy := 1
−
"Horzontale Asymptote"
6x 2
− + 11x − 6 = ( x − 1)
⋅ ( x − 2)
⋅ ( x − 3)
Definitionsmenge: D = R \ { 1 ; 2 ; 3 }
Zähler: x 3
6 x 2
+ ⋅ + 11 ⋅ x + 6 = ( x + 3)
⋅ ( x + 2)
⋅ ( x + 1)
Polstellen bei: x =
1
300
200
100
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
100
200
300
x , x
,
⎛
⎜
⎝
3
3
⎞
⎟
⎠
1 2

f( x)
asy
⎛
⎜
⎝
− 1
1
⎞ ⎟⎠
0.05
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
0.05
x , x ,
⎛
⎜
⎝
3
3
⎞
⎟
⎠
1 2

(2)
Nenner:
2 x 4
⋅ x 3
+ 15 x 2
− ⋅ − 7 ⋅ x + 7 ( 2 ⋅ x − 1)
⋅ ( x + 1)
x 2
Definitionsmenge: D = R \ { -3 ; 0.5 ; 3 }
Zähler:
=
⋅ ( − 7)
Polstellen bei:
Nullstellen:
Hebbare Definitionslücken bei:
Graph:
f( x)
asy( x)
f( x0)
f( x)
:=
Grenzverhalten:
2 x 4
⋅ x 3
+ 15 x 2
− ⋅ − 7 ⋅ x + 7
2 x 3
⋅ x 2
− − 18 ⋅ x + 9 = ( x − 3)
⋅ ( 2 ⋅ x − 1)
⋅ ( x + 3)
x1
x = −3
x = 3
x2 := −
x3 :=
2 x 3
⋅ x 2
− − 18 ⋅ x + 9
:= −1
7
7
x := −6 , −5.99
.. 6
2 x 4
⋅ x 3
+ 15 x 2
− ⋅ − 7 ⋅ x + 7
2 x 3
⋅ x 2
− − 18 ⋅ x + 9
⇒
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
"Schnittpunkt"
"Schnittpunkt"
"Schnittpunkt"
1
x0 :=
2
=
x + 1
+
asy( x)
:= x + 1
f( x)
:= f( x)
vereinfachen
30
− 3
3
20
10
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
10
20
30
x , x , x0
4x 2
+ 2x − 2
2 x 3
⋅ x 2
− − 18 ⋅ x + 9
"Schiefe Asymptote"
→
x 3
x 2
+ − 7 ⋅ x − 7
x 2
− 9

(3)
Nenner:
Definitionsmenge:
Zähler:
Polstellen bei:
Nullstellen:
Hebbare Definitionslücken bei:
Graph:
f( x)
asy( x)
f( x0)
f( x)
Grenzverhalten:
x 4
3 x 3
− ⋅ 4 x 2
− ⋅ + 12 ⋅ x
x 3
3 x 2
:=
− ⋅ − x + 3
x 3
3 x 2
− ⋅ − x + 3 = ( x − 1)
⋅ ( x − 3)
⋅ ( x + 1)
x 4
3 x 3
− ⋅ 4 x 2
− ⋅ + 12 ⋅ x = x ⋅ ( x − 2)
⋅ ( x − 3)
⋅ ( x + 2)
x 1
x = −1
x = 1
:= −2
x2 := 0
x3 := 2
x := −6 , −5.99
.. 6
x 4
3 x 3
− ⋅ 4 x 2
− ⋅ + 12 ⋅ x
x 3
3 x 2
−3x x
− ⋅ − x + 3
2
+ 9 ⋅ x
x 3
3 x 2
= +
− ⋅ − x + 3
⇒
D = R \ { -1 ; 1 ; 3 }
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
"Schnittpunkt"
"Schnittpunkt"
"Schnittpunkt"
x0 := 3
asy( x)
:= x
"Schiefe Asymptote"
f( x)
f( x)
vereinfachen x 2
:=
→ − 4
30
− 1
1
20
10
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
10
20
30
x , x , x0 , x
x
( ) ⋅
x 2
− 1

(4) f( x)
Grenzverhalten:
x = 0 "mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
x = 1 "mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
Nullstellen: x1 := −3
"Schnittpunkt"
x 2
x 3
x 4
:= −2
"Schnittpunkt"
:= 2 "Schnittpunkt"
:= 3 "Schnittpunkt"
Hebbare Definitionslücken bei: Keine
Graph: x := −6 , −5.99
.. 6
f( x)
asy( x)
x 4
13 x 2
− ⋅ + 36
x 3
:= Die Funktion ist punktsymmetrisch: f( −x)
= −f(
x)
− x
x 4
13 x 2
− ⋅ + 36
x 3
− x
Nenner: x 3
− x = ( x − 1)
⋅ x ⋅ ( x + 1)
Definitionsmenge: D = R \ { -1 ; 0 ; 1 }
Zähler: x 4
( )
−12 −3 x
x
2
⋅ +
= +
[ x ⋅ ( x − 1)
⋅ ( x + 1)
]
⇒ asy( x)
:= x "Schiefe Asymptote"
13 x 2
− ⋅ + 36 = ( x − 2)
⋅ ( x − 3)
⋅ ( x + 3)
⋅ ( x + 2)
Polstellen bei: x = −1
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote"
300
− 1
1
200
100
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
100
200
300
x , x

f( x)
asy( x)
10
− 1
1
5
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
5
10
x ,
x

(5) Mit c ∈R f( c , x)
Grenzverhalten:
Nenner: 2x + 2 = 2 ⋅ ( x + 1)
Definitionsmenge: D = R \ { -1 }
x1 := −2
"Schnittpunkt" für c ≠ −2
x2 := 1 "Schnittpunkt" für c ≠ 1
x3( c)
:= c "Schnittpunkt" für c ≠ −1
x1a := −2
"Berührpunkt" für c = −2
x2a := 1 "Berührpunkt" für c = 1
Hebbare Definitionslücken bei: x := −1
für c = −1
Graph für c = 3: x := −6 , −5.99
.. 6
f( 3 , x)
asy( 3 , x)
3 x 3
⋅ 3 x 2
⋅ 3 x 2
+ − ⋅ ⋅ c − 3 ⋅ x ⋅ c − 6 ⋅ x + 6 ⋅ c
:=
2x + 2
− 1
100
80
60
40
20
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
20
40
x , x
Skizze für c = 3
3 x 3
⋅ 3 x 2
⋅ 3 x 2
+ − ⋅ ⋅ c − 3 ⋅ x ⋅ c − 6 ⋅ x + 6 ⋅ c 3
2x + 2
2 x2
3
⋅
2 x ⋅ c ⋅ − 3 −
=
+
⇒ asy( c , x)
3 ⋅ c + 3
( x + 1)
3
2
x ---> ± ∞
x2
3
⋅
2 x ⋅ c ⋅ − 3 −
:= ------------------>∞ "Asymptotenfunktion"
Zähler: 3 x 3
⋅ 3 x 2
⋅ 3 x 2
+ − ⋅ ⋅ c − 3 ⋅ x ⋅ c − 6 ⋅ x + 6 ⋅ c = 3( x + 2)
( x − c)
⋅ ( x − 1)
Polstellen bei: x = −1
"mit Vorzeichenwechsel, vertikale Asymptote" für c ≠ −1
Nullstellen: