Mathematik für das Berufskolleg – Berufliches Gymnasium

Funktionen
Abschnittsweise definierte Kostenfunktion
Beispiel
Bei der Herstellung eines Produktes entstehen Gesamtkosten (in EUR) in Abhängigkeit
von der Stückzahl: Für x ≤ 50: K(x) = 1,8x + 100.
Werden mehr als 50 Stück produziert, so erhöhen sich die fixen Kosten auf 150 EUR
und die variablen Stückkosten können auf 0,8 EUR gesenkt werden,
a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm für die Gesamtkosten K.
Bestimmen Sie K(40) und K(80).
Für welche Stückzahlen übersteigen die Kosten 160 EUR.
b) Lohnt sich die Produktionssteigerung auf 70 Stück, wenn sich ein Verkaufserlös
von 3,20 EUR pro Stück erzielen lässt?
Lösung
a) Kosten für 0 ≤ x ≤ 50: K(x) = 1,8x + 100
Kosten für x > 50: K(x) = 0,8x + 150
Bemerkung: Die variablen Stückkosten entsprechen der Steigung der Kostengeraden.
Zusammenfassende Schreibweise:
K(x) =
�
1,8x + 100 für 0 ≤ x ≤ 50
0,8x + 150 für x > 50
Die Funktion K ist eine abschnittsweise
definierte Funktion.
Bemerkung: Das Schaubild der Funktion K setzt sich aus zwei Teilen zusammen.
Die beiden Teile stoßen im Punkt P(50 | 190) zusammen.
Berechnung von Funktionswerten: K(40) = 1,8 · 40 + 100 = 172 (x < 50)
Berechnung von x-Werten: K(x) > 160
163
y
250
200
150
100
K(80) = 0,8 · 80 + 150 = 214 (x > 50)
1,8x + 100 > 160 x > 33,3
Für Stückzahlen x ≥ 34 betragen die Gesamtkosten mehr als 160 EUR.
b) Erlös in Abhängigkeit von x: E(x) = 3,2x
Erlös für x = 70: E(70) = 224
Kosten für x = 70: K(70) = 206 < E(70)
0 20 40 60 80 100x
x
Die Produktionssteigerung auf 70 Stück lohnt sich, da Gewinn erzielt wird.
50
K