Mathematik für das Berufskolleg – Berufliches Gymnasium

Funktionen
6.7 Exponentialfunktionen und ihre Anwendungen
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
Beispiele
1) Auf einem Konto sind 1000,00 € fest angelegt. Der jährliche Zinssatz beträgt 8 %.
a) Wie kann man das Kapital nach einer beliebigen Zeit berechnen?
b) Nach welcher Zeit hat sich das Kapital auf 1400,00 € erhöht?
c) Nach wie viel Jahren verdoppelt sich das Kapital?
Lösung
a) Kapital nach t Jahren (mit Zins und Zinseszins) y = 1000 · 1,08 t
Dieses exponentielle Wachstum wird mit der Exponentialfunktion
f mit f(t) = 1000 · 1,08 t ; t in Jahren, beschrieben.
In der Praxis wählt man als Basis die Zahl e.
Mit 1,08 = e ln1,08 erhält man: f(t) = 1000 · 1,08 t = 1000 ( e ln1,08 ) t = 1000 e 0,0770t
Zum Zeitpunkt t = 0 ergibt sich für das Kapital: f(0) = 1000 (Anfangsbestand).
Festlegung: k = ln(1,08) = 0,0770 > 0 ist die Wachstumskonstante.
Bemerkung: Das Kapital vermehrt sich mit dem Wachstumsfaktor 1,08.
y =1000 e 0,0770t bezeichnet man als Wachstumsgleichung.
Beachten Sie: Prozesse exponentiellen Wachstums können mit einer Exponential-
funktion beschrieben werden: f(t) = a e k t ; t ≥ 0
k > 0 ist die Wachstumskonstante; a = f(0) ist der Anfangsbestand.
b) Bedingung für t: f(t) = 1400 1000 e 0,0770t = 1400 e 0,0770t = 1,4
Gesuchter t-Wert 0,0770t = ln(1,4) t = 4,4
Ergebnis: Nach ungefähr 4,4 Jahren hat man 1400,00 € auf dem Konto.
c) Bed. für die Verdoppelungszeit: f(t) = 2 · f(0)
2000 = 1000 e 0,0770t e 0,0770t Logarithmieren ergibt:
= 2
t = ln(2) ______
____ ln(2)
0,0770
= 9,0 (t =
k )
Die Verdoppelungszeit t V beträgt 9 Jahre.
Beachten Sie: Die Verdoppelungszeit t V ist die Zeit, in der sich der Bestand
verdoppelt. t V ist unabhängig vom Anfangswert : t V = ln(2) ____
k .
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