Handout: Cournot- Bertrand-Oligopol mit differenzierten Gütern

Des Weiteren machen wir folgende Beobachtungen: Die Güter sind Substitute für
> 0, unabhängig für = 0 und Komplemente für < 0. Für = 1 sind die Güter
perfekte Substitute. Die Nachfrage nach dem Gut i ist immer fallend im eigenen Preis und
steigt (fällt) mit zunehmenden Preisen für das andere Produkt, wenn die Güter Substitute
(Komplemente) sind.
Aus der Nutzenfunktion (1) sehen wir, dass eine Erhöhung von die Nutzenfunktion
nach unten verschiebt ( @U
@ = q1q2 < 0) und die inversen Nachfragefunktionen (5)
und (6) nach innen um den Punkt pi = 1 rotiert. Der direkte E¤ekt von auf pi ist
@pi
@ = qj < 0. Wenn wir unterstellen, dass p1 = p2 = p gilt, so sieht man, dass sich
auch die direkte Nachfragefunktionen (7) und (8) nach innen verschieben, wenn die Güter
homogener werden (i.e. steigt):
@qi
@
= @
@
1
1
2
1
1 2 p + p =
1 2
1
2 (p 1) < 0; (10)
( + 1)
weil annahmegemäßp 1 gilt. Wir halten also fest, dass eine Erhöhung von c.p. die
Nachfrage nach beiden Gütern vermindert.
2 Gleichgewichtswerte und Produktdi¤erenzierung
2.1 Das Cournot-Duopolmodell
Wir betrachten zunächst das Cournot-Doupolmodell. Die inversen Nachfragefunktionen
sind durch (5) und (6) gegeben. Die marginalen Kosten der Unternehmen seien Null. Das
Nash-Gleichgewicht für das Cournot-Modell q C 1 ; q C 2 mit q C i = arg max
qi 0 (1 qi q C j )qi,
für i = 1; 2 und i 6= j, ist dann 3 :
Und wir erhalten als Gleichgewichtspreis
Und als Gleichgewichtsgewinn
q C = 1
2 +
p C = q C = 1
2 +
C = q C 2 =
: (11)
: (12)
1
2 : (13)
(2 + )
3 Im folgenden unterdrücken wir die Indizes, weil die Lösungen symmetrisch sind.
3