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3 QUANTEN-ALGORITHMEN 9 Abb. 4: Schaltkreis des Algorithmus von Deutsch-Jozsa zur Entscheidung, ob die Funktion f balanciert oder konstant ist. analog zur Wirkung von Uf im Deutsch-Algorithmus für zwei Bits. Nun werden auf das erste Teilregister n Hadamard-Gatter angewandt, um die Superposition in Basiszustände zu transformieren aus denen das Ergebnis ablesbar ist. Die Anwendung der n Hadamard-Gatter führt zu 4 ψ4Hn ψ3 1 2 2n1 2 n 1 ∑ z0 2 n 1 ∑ x0 1 fx 1 x¡z z ¡0 1 Nun wird das erste Teilregister gemessen. Falls fx konstant ist, dann ist der Faktor 1 fx konstant. Für ein beliebiges z 0 ist der Faktor 1 x¡z für die Hälfte der Summanden 1, für die andere Hälfte 1, d.h. die Amplitude von z 0 ist 0. Für z0 ist 1 x¡z immer 1, d.h. die Amplitude von 0 ist 1. Im Fall f konstant ist das Ergebnis der Messung also 0. Falls f balanciert ist, ist für z0 der Faktor 1 x¡z immer 1, aber der Faktor 1 fx ist für die Hälfte der Summanden 1, für die andere Hälfte -1, sodass die Amplitude von 0 0 ist. Die Amplitude aller Zustände z 0 ist verschieden von 0, das der Faktor 1 x¡z nicht konstant für alle x ist. Ist f also balanciert, dann ist das Ergebnis der Messung von 0 verschieden. Screenshots von der Simulation des Deutsch-Jozsa-Algorithmus für n4 und ein balanciertes f befinden sich im Anhang (Abb. 13 bis 18. Die Hadamard-Gatter sowie das Uf -Gatter können wie oben beschrieben durch Amplituden-Vertauschungen simuliert werden. 3.5 Quanten-Fourier-Transformation (QFT) Analog zu einer klassischen Fourier-Transformation, die z.B. bei einem Audiosignal einen Basiswechsel zwischen Zeit- und Frequenzbereich bewirkt, kann die Quanten-Fourier-Transformation (QFT) abstrakt gesehen als Basistransformation eines Registerzustands von der Standardbasis 0N 1 in die Basis QFT0QFTN 1 aufgefasst werden. 5 Ihre Notwendigkeit und ihre Einsatzmöglichkeiten für Quantenalgorithmen werden weiter unten bei der Beschreibung des Shor-Algorithmus deutlich werden, in der die QFT eine Superposition von Zuständen so transformiert, dass durch eine Messung des Zustands nach Anwendung der QFT die Information über das Ergebnis des Algorithmus gewonnen werden kann. Rein formal transformiert die QFT einen Inputvektorx0xN 1 komplexer Zahlen xk in einen Outputvektory0yN 1 komplexer Zahlen yk, wobei der Outputvektor definiert ist durch yk : 1 N 1 ∑ N j0 x j e 2πiN¡ jk Wendet man die QFT auf einen Standardbasisvektor j 0N 1 an, so erhält man eine Summe über alle Basisvektoren: QFT j 1 N 1 e N 2πiN¡ jk k (3.2) ∑ k0 Die Multiplikation mit e 2πiN¡ jk entspricht wegen der Eulerschen Formel e iϕ cosϕisinϕ einer Drehung der Phase um den Winkel ϕ2πN ¡ jk, d.h. um das j ¡ k-fache eines 2πN-Kreissektors 6 . Das heißt die 2 0x1y 1x1y Hy 2 2 0x0y 1x0y 0x1y 1x1y . Hier erkennt man, dass H2x 4Die Auswirkung von Hn erhält man durch sukzessive Anwendung des Hadamard-Gatters. Z.B. zwei Hadamard-Gatter auf den Zwei-Bit-Zustand 01: 0x1y Hx 1 1 1 2 ∑3z0 1x¡zz gilt mit x¡y Ln i1 xiyi, denn 01¡00001¡10001¡01101¡111. So lässt sich allgemein für die Operation von n Hadamard-Gattern auf n Qubits herleiten: Hnx 1 2n ∑z 1x¡zz. 5Die QFT ist also nicht eine klassische Fourier-Transformation, die effizienter ausgeführt werden kann. Sie gleicht der klassischen Fourier-Transformation lediglich in dem abstrakten Prinzip einen Basiswechsel auszuführen, der einem Informationsgewinn dient. 6Auch bezeichnet als komplexe N-te Einheitswurzel“, da e ” 2πiN Lösung von xN 10 ist.
3 QUANTEN-ALGORITHMEN 10 QFT transformiert einen Basiszustand in eine Superposition aller Basiszustände, deren Amplituden zwar un- 1 terschiedliche Phasen aber die gleiche Länge e N iϕ 1 besitzen. Insofern ist die QFT ähnlich zu N N aufeinanderfolgenden Hadamard-Gattern, die einen Basiszustand ebenfalls in eine Superposition über alle Basiszustände transformiert, allerdings ohne die Phasenverschiebung der QFT. QFT0QFTN 1 unterscheiden sich voneinander dadurch, dass die Amplituden der Superposition unterschiedliche Vielfache des 2πN-Sektors sind. Wie diese Eigenschaft ausgenutzt werden kann wird im Kapitel über Shors Algorithmus gezeigt. Im Folgenden wird gezeigt wie sich die QFT als Quantenschaltkreis umsetzen lässt. In [3] wird gezeigt, dass sich die QFT in einer Produktform angegeben lässt. Hierzu wähle man N 2 n , n und 02 n 1 als orthonormale Basis eines n-Qubit Registers. Diese Basisvektoren bezeichnet man nach dem dyadischen System, d.h. j j12 n 1 j22 n 2 ¡¡¡ jn2 0 j1 j2 jn. Zudem wird die Zahl jl2 jl14¡¡¡ jm2 m l1 mit 0 jl jl1 jm bezeichnet. Dann lautet die zu Gleichung (3.2) äquivalente Produktform QFT j1 jn 1 2 n 0e 2πi0 jn 1¡ 0e 2πi0 1¡ jn 1 jn ¡¡¡ 0e 2πi0 j1 j2¡¡¡ 1¡ jn (3.3) Mit Hilfe dieser Produktform ist es möglich, die QFT mit dem in Abb. 1 dargestellten Quanten-Algorithmus durchzuführen. Hierzu benötigt man das in Abschnitt 2.5.1 beschriebene Hadamard-Gatter H und das Gatter Rk, welches durch Rk : 1 0 0 e 2πi2k definiert ist. Der Input in den Algorithmus ist der Zustand j j1 jn. Wendet man das Hadamard-Gatter H auf das erste Bit an, dann H j 1 2 Abb. 5: Implementierung der QFT nach Cleve [3]. 0e 2πi0 j1 1¡ j2 jn weil e 2πi0 j1 1 falls j1 1 1 sonst Anwendung des Controlled-R2-Gatters 7 auf j2 als Controll-Bit und j1 als Operations-Bit führt zu dem Zustand 1 2 12 0e 2πi0 j1 j2 1¡ j2 jn Wendet man nun nacheinander die Gatter Controlled-R3, -R4, . . . , bis -Rn an, so wird durch jedes dieser Gatter ein weiteres Bit zur Phase des Koeffizienten von 1 hinzugefügt und man gelangt schließlich auf den Zustand 1 2 12 0e 2πi0 j1 j2 jn 1¡ j2 jn Nun wird dasselbe Schema auf das 2. Bit angewendet. Das Hadamard-Gatter ergibt den Zustand 1 2 22 0e 2πi0 j1 j2 jn 1¡ 0e 2πi0 j2 1¡ j3 jn Die Gatter Controlled-R2 bis Rn 1 führen zum Zustand 1 222 0e 2πi0 j1 j2 1¡ jn 0e 2πi0 j2 1¡ jn j3 jn 7Der Controlled-Zusatz bedeutet analog zum Controlled-NOT-Gatter, dass das R2-Gatter nur ausgeführt wird, falls das Controll-Bit (hier j2) gesetzt ist.
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