15 Ultraschall - 2. Physikalisches Institut, RWTH Aachen

A.2 Theorie: Spannung 27
ergibt sich die Entwicklung bis zur Ordnung Δ˜r zu :
⎛
0
˜ε(Δ˜r) = ˜ε0 + ⎝ −
a12−a21
2
a13−a31
2
a12−a21
2 0
⎞ ⎛
a23−a32 ⎠Δ˜r+ ⎝
2
0
− a13−a31
2
− a23−a32
2
a11
a12+a21
2
a13+a31
2
a12+a21
2
a22
a23+a32
2
a13+a31
2
a23+a32
2
a33
⎞
⎠Δ˜r
Dieses Gleichungssystem kann als Matrixgleichung der folgenden Form aufgefasst werden :
(A.4)
˜ε = ˜ε0 + RΔ˜r+eΔ˜r (A.5)
˜ε0 ist dabei ein Translationsvektor. Alle Punkte des Festkörpers werden bei Deformation um
ihn verschoben. Da bei dieser infinitesimalen Dehnung die Matrix R total antisymmetrisch ist,
handelt es sich hierbei um eine Rotationsmatrix, d.h. nach der Translation werden alle Punkte
infinitesimal um eine bestimmte Achse gedreht. Der Tensor e beschreibt letztlich eine Dehnung
des Festkörpers. Er ergibt sich zu :
⎡
e = ⎣
1
exx 2exy 1
2exz 1
2eyx 1
eyy 2eyz 1 1
2ezx 2ezy ezz
⎤
⎦ (A.6)
Dieser Tensor wird als Dehnungs- oder Verzerrungstensor bezeichnet. Tensor 2.Stufe und hat
damit nur 6 unabhängige Elemente.
A.2 Theorie: Spannung
Zur Bestimmung der auftretenden Spannungen betrachten wir ein inkompressibles Volumenelement
in einem Festkörper und vernachlässigen dessen Umgebung. Man kann für jede Würfelseite
die Spannung in drei orthogonale Komponenten aufteilen. Insgesamt beschreiben also
6x3 = 18 Komponenten die an dem Würfel auftretenden Spannungen vollständig.
Da sich das Volumenelement im statischen Gleichgewicht befinden soll, müssen die Spannungen
auf den gegenüberliegenden Seiten entgegengerichtet gleich groß sein, da es sonst beschleunigt
werden würde. Dadurch reduzieren sich die ursprünglich 18 Spannungen auf 9 linear unabhängige.
Damit zugleich kein Drehmoment auftritt, der Würfel also nicht um eine Achse
gedreht wird, müssen folgende Gleichungen erfüllt sein :
σyz = σzy , σzx = σxz , σxy = σyx
(A.7)
Damit sind letztlich nur 6 Elemente linear unabhängig. Diese Elemente ergeben in Matrixform
angeordnet den Spannungstensor σ. Auch er ist ein symmetrischer Tensor 2. Stufe.