15 Ultraschall - 2. Physikalisches Institut, RWTH Aachen

A.3 Theorie: Verallgemeinertes Hookesches Gesetz 29
Tensors linear unabhängig.
Mit Hilfe der Voigtschen Notation kann man durch die Definition
xx = 1 , yy = 2 , zz = 3 , yz = 4 , xz = 5 , xy = 6 (A.10)
den Dehnungs- und den Spannugungstensor in folgende Form umschreiben :
⎡
e = ⎣
e1 e6 e5
e6 e2 e4
e5 e4 e3
⎤
⎡
⎦, σ = ⎣
σ1 σ6 σ5
σ6 σ2 σ4
σ5 σ4 σ3
Ordnet man nun die 6 Komponenten zu einem Spaltenvektor,
⎡
e = ⎣
e1 e6 e5
e6 e2 e4
e5 e4 e3
⎛
⎤ ⎜
⎦ ⇒ ⎜
⎝
e1
e2
e3
e4
e5
e6
⎞
⎟ ⎡
⎟ = ˜e, σ = ⎣
⎟
⎠
σ1 σ6 σ5
σ6 σ2 σ4
σ5 σ4 σ3
⎤
⎤ ⎜
⎦ ⇒ ⎜
⎝
kann man das verallgemeinerte Hookesche Gesetz in folgender Form schreiben :
⎦ (A.11)
⎛
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
⎞
⎟ = ˜σ (A.12)
⎟
⎠
˜σ = ˜C ˜e (A.13)
Dabei wird aus dem Elastizitätstensor eine 6x6 Matrix aus Elastizitätsmoduli.
⎡
⎢
C = ⎢
⎣
C11 C12 C13 C14 C15 C16
C21 • • • • C26
• • • • • •
• • • • • •
C51 • • • • C56
C61 C62 C63 C64 C65 C66
⎤
⎥
⎦
(A.14)
Um die Anzahl der linear unabhängigen Elemente weiter zu vermindern, betrachten wir die
Energiedichte in einem Festkörper. Ihre Änderung die dW = σ dr. Daraus ergibt sich die Energiedichte
W zu :
W =
6
6
i=1 k=1
Cikeiek
Diese Energiedichte ist ebenfalls das Potential der Spannung. Daraus folgt :
(A.15)