15 Ultraschall - 2. Physikalisches Institut, RWTH Aachen
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A.4 Theorie: Ausbreitung von Störung in Festkörpern 31<br />
Abbildung A.4: Elastizitätsmoduli einiger Materialien mit kubischer Kristallstruktur.<br />
Ckub =<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
C11 C12 C12 0 0 0<br />
C12 C11 C12 0 0 0<br />
C12 C12 C11 0 0 0<br />
0 0 0 C44 0 0<br />
0 0 0 0 C44 0<br />
0 0 0 0 0 C44<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(A.18)<br />
In der Tabelle von Abb. A.4 sind einige Materialien mit kubischer Kristallstruktur, sowie deren<br />
Elastizitätsmoduli aufgeführt. Offensichtlich bestehen große Unterschiede zwischen weichen<br />
und harten Materialien, so unterscheiden sich z.B. Diamant- und Natriumelatizitätsmoduli um<br />
2 Zehnerpotenzen. Auffällig ist, daß Diamant und Eisen in dem Elastizitätsmodul C12 fast<br />
übereinstimmen, sich in C11 aber durch einen Faktor 5 unterscheiden. Natriumchlorid und Blei<br />
zeigen auffällig ähnliche Elastizitätsmoduli C11 und C44, unterscheiden sich aber in C1<strong>2.</strong><br />
A.4 Theorie: Ausbreitung von Störung in Festkörpern<br />
Eine Anregung einer unendlich langen Feder genügt der Wellengleichung<br />
d2Ψ ρ d<br />
=<br />
dx2 C<br />
2Ψ dt2 (A.19)<br />
wobei ρ die Dichte und C das Elastizitätsmodul des Materials bezeichnet. Da sich jede Störung<br />
durch Fourierzerlegung auf ebene Wellen zurückführen lässt, wählt man den Ansatz der ebenen<br />
Wellen:<br />
Ψ = Ψ0exp(ikx−iωt) (A.20)<br />
Durch Einsetzen in die Wellengleichung ergibt sich die Dispersionsrelation<br />
v 2 = ω2 C<br />
=<br />
k2 ρ<br />
(A.21)<br />
aus der die Phasengeschwindigkeit v berechnet werden kann. Mit bekannter Phasengeschwindigkeit<br />
v und bekannter Dichte ρ wird das Elastizitätsmodul C bestimmt.
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