11. STATISTIK - Mathe Online

Statistik
Die Werte x 1 , x 2 , ..., x 5 sind also nicht die Prozentzahlen 5, 35, 105, 25 und 30 sondern die
Wachstumsfaktoren 1,05; 1,35; 2,05; 1,25 und 1,3.
Beim arithmetischen Mittel ändert sich die Summe der Datenliste nicht, wenn man den Mittelwert n-mal
anstatt der einzelnen x i addiert. Entsprechend ändert sich beim geometrischen Mittel das Produkt nicht,
wenn man den Mittelwert n-mal anstatt der einzelnen x i multipliziert. Der harmonische Mittelwert ~ x ist
immer dann anzuwenden, wenn die Variablenwerte verkehrt proportional zu jener Größe sind, die sich durch
die Durchschnittsbildung nicht verändern darf.
Man nennt ~ n
x =
1 1 1
+ + ... +
x1 x2
x n
das harmonische Mittel der reellen Zahlen x i .
Beispiel:
Ein Rennfahrer fährt hintereinander 6 Runden mit folgenden mittleren
Geschwindigkeiten: 190 km/h, 205 km/h, 185 km/h, 208 km/h 201 km/h und 198 km/h.
Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit für alle 6 Runden?
Die aufgewendete Gesamtzeit darf sich durch Verwendung des Mittelwertes anstatt der Einzelgeschwindigkeiten
nicht ändern. Es gilt:
t
s
= (t ... Zeit, s ... Weg, v ... Geschwindigkeit)
v
v ist also verkehrt proportional zu t
s s s s s s 6s
+ + + + + =
190 205 185 208 201 198 v ~
~
v =
1
190
6
1 1 1 1 1
+ + + + +
205 185 208 201 198
v ~ = 197,
5 km/h
Mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 197,5 km/h über alle 6 Runden hätte der Rennfahrer dieselbe
Gesamtzeit erreicht. Oftmals wird gerade bei der Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit im
Alltagsleben fehlerhaft vorgegangen.
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