11. STATISTIK - Mathe Online

Statistik
2 1 s s
* xy
Bestimmtheitsmaß der Korrelation: rxy
= k: = k⋅ k = ⋅
k
*
s s
xy
2 2
x y
Da sich aus diesem Wert problemlos die Wurzel ziehen läßt, verwendet man in der Praxis meist den
Pearsonschen Korrelationskoeffizienten r xy , den sogenannten linearen Korrelationskoeffizient.
*
Pearsonscher Korrelationskoeffizient r xy r = k⋅ k =
xy
s
s
x
xy
⋅ s
y
Setzt man mit der Kovarianz s
s
x
n
1 2
∑
= ( xi
− x) und s
n
i = 1
y
n
1
= x − x y − y
n
∑ ( )( ) und den Standardabweichungen s x und s y mit
xy i i
i = 1
n
1 2
∑
= ( yi
−y) in die Formel für den Korrelationskoeffizienten ein, so erhält
n
i = 1
man:
r
xy
=
n
∑
i = 1
n
∑
i = 1
( x − x)( y −y)
i
( x − x) ⋅ ( y −y)
i
i
n
2 2
∑ i
i = 1
bzw. r
xy
=
n
∑
n⋅
xy − x y
i=
1
n
∑
n
∑
i i i i
i=
1 i=
1
⎛ n
n
n
n
n⋅
xi
− ⎛ 2
⎞ ⎞ ⎛
2
⎜
x ⎟
⎜ ⎜ i⎟
⎟ ⋅ n ⋅ yi
−⎛ ⎞ ⎞
2
⎜ 2
y
⎟
∑ ∑ ⎜ ∑ ⎜∑
i⎟
⎟
⎝ i= 1 ⎝ i=
1 ⎠ ⎠ ⎝ i=
1 ⎝ i=
1 ⎠ ⎠
Für den linearen Korrelationskoeffizienten gilt dabei stets: −1 ≤ r xy ≤ +1
Hierbei haben die Werte von r xy folgende Bedeutung:
r xy = 1
perfekter direkter Zusammenhang
(d.h. z.B. bei Verdopplung von x auch Verdopplung von y)
0 < r xy < 1 direkter Zusammenhang
(d.h. mit zunehmenden Werten von x auch Zunahme der Werte von y)
r xy = 0
kein Zusammenhang zwischen x und y oder zumindest kein linearer
−1 < r xy < 0
indirekter (umgekehrter) Zusammenhang
(d.h. mit zunehmenden Werten von x Abnahme der Werte von y)
rxy = −1
perfekter indirekter (umgekehrter) Zusammenhang
(d.h. z.B bei Verdopplung von x folgt Halbierung von y)
Wenn man r xy über die Anstiege berechnet, muß das Vorzeichen dieser Anstiege erst nach dem
Wurzelziehen berücksichtigt werden, d.h., daß man unter der Wurzel vorerst den Absolutbetrag nimmt und
nach dem Wurzelziehen die Vorzeichen der Anstiege wieder hinzufügt.
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