11. STATISTIK - Mathe Online

Statistik
Man nennt V = ⋅ ( xi
− x)
n
∑
1
n
i = 1
2
k
1 2
bzw. ∑( i ) i ∑( i )
V = ⋅ x − x ⋅ H = x − x ⋅h
n
i = 1
i = 1
k
2
i
die
empirische Varianz der reellen Zahlen x i .
Diese Formel läßt sich noch vereinfachen zu:
V
⎛
n
n
1 2⎞
⎛ ⎞
2
= ⎜ ⋅∑Hi
⋅xi
⎟− x = ⎜∑hi
⋅xi⎟−x
⎝ n i = 1 ⎠ ⎝ i = 1 ⎠
2
„Steinerscher Verschiebungssatz“
Beweis:
V =
2
2
( ) ( ) ... ( )
x − x ⋅ H + x − x ⋅ H + + x − x ⋅H
1
1 2
n
2
k
2
k
=
=
2
2
2
2
2 2
( 1 2 1 ) 1 ( 2 2 2 ) 2 ... ( 2 )
x − x x+ x ⋅ H + x − x x+ x ⋅ H + + x − x x+ x ⋅H
n
k k k
=
⎛ k
k
k ⎞ k
k
1
= ⋅⎜
2 2
⋅ − ⋅ + ⋅ ⎟
⎜
⎟ = 1
⋅ 2 − ⋅ 1
∑ 2 ∑ ∑ ∑
⋅ ∑ + 1
2
⋅ 2
xi Hi x xH i i x Hi
xi Hi x xH i i x
n
⋅ n =
⎝ = 1
= 1
= 1 ⎠
n
i
i
i
i = 1 n
i = 1 n
k
1
⎛
= ⋅ − + = ⎜ 1
∑ x H 2x x ⋅
n
⎜
= 1
⎝
n
i
⎞
x H⎟
⎟ − x
⎠
k
2 2 2 2
i i ∑ i i
i = 1
2
Aus der Varianz läßt sich durch Wurzelziehen die sogenannten empirische Standardabweichung s einer
Liste von n Werten mit dem arithmetischen Mittel x errechnen.
Die empirische Standardabweichung s beträgt:
n
1 2 ⎛ 1
s = V = ⋅∑( xi
− x)
= ⎜ ⋅
n i 1
⎝ n
= i = 1
n
∑
x
2
i
⎞
⎟ − x
⎠
2
bzw.
k
k
k
1 2 1 ⎛
2⎞
⎛ ⎞
2
s = V = ⋅∑Hi( xi
− x)
= ⋅⎜∑Hi
⋅xi
⎟− x = ⎜∑hi
⋅xi
⎟−x
n i = 1 n ⎝ i = 1 ⎠ ⎝ i = 1 ⎠
2 2
Die empirische Standardabweichung ist das gebräuchlichste Streuungsmaß.
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