11. STATISTIK - Mathe Online

Statistik
Am kompliziertesten ist die Untersuchung des Zusammenhangs von nominal skalierten Daten. Dazu werden
die Daten in eine Tafel eingetragen.
x 1 x 2 x 3 ... x k insgesamt
y 1 H 1,1 H 1,2 H 1,3 ... H 1,k
H1,
j
y 2 H 2,1 H 2,2 H 2,3 ... H 2,k
H2,
j
M M M M M M M
y m H m,1 H m,2 H m,3 ... H m,k
H mj ,
k
∑
j = 1
k
∑
j = 1
k
∑
j = 1
insgesamt
m
H i ,1
i = 1
m
∑ ∑ H i ,2 ∑ H i ,3 ... ∑H ik ,
i = 1
m
i = 1
m
ij ,
⎜
i = 1 i = 1 j = 1
m
⎛ ⎝
k
⎜
∑ ∑
⎞
H ⎟
⎟
⎠
Die Werte H i,j sind die beobachteten Anteile für die Variablenwerte y i und x j . Bei Unabhängigkeit der beiden
Merkmale kann man die Anteile, die zu erwarten wären, berechnen, denn die Häufigkeitsverteilung
hinsichtlich der Merkmalsausprägung x j müßte für alle y i gleich sein. Diese „erwarteten Anteile“ E r,s für die r-
te Zeile und s-te Spalte berechnen sich folgendermaßen:
E
rs ,
m
∑
His
,
k
i = 1
( s − te Spaltensumme) = ⋅ Hrj
, = ⋅ ( r −te Zeilensumme )
n ∑
n
j = 1
Das Maß für die Stärke des Zusammenhangs zwischen den Merkmalen x und y ist der sogenannte
Kontingenzkoeffizient C.
Kontingenzkoeffizient C:
C =
χ
2
n + χ
m k
( )
mit −
=
2 ∑∑
H E ij , ij ,
χ 2 2
i=
1 j = 1
E
ij ,
(χ ... Chi)
C kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Der maximal mögliche Wert von C hängt jeweils von der Zeilen-
und Spaltenzahl ab. Für quadratische Tafeln m=k gilt C
max =
m − 1 k − 1 = , für rechteckige Tafeln m ≠ k
m k
m k
gilt Cmax ≈ 1
⋅ ⎛ − 1 − 1 ⎞
⎜ +
2 ⎝ m k ⎟ . Das Verfahren ist in der Regel nur anwendbar, wenn kein erwarteter Anteil
⎠
kleiner 1 ist und höchstens ein Fünftel der erwarteten Anteile kleiner 5 ist.
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