Skript zur Vorlesung "Codierungstheorie und Kryptographie"

zu einem Homomorphismus von A + in B + fortsetzt. Auf diese Weise entsteht
stets eine homomorphe Codierung, die jedoch nicht eindeutig decodierbar sein
muß (vgl. Aufgabe 2.17).
b) Bei dem Alphabet B = {b 1 , . . . , b q } kommt es nicht auf die konkreten Symbole
b i an, sondern nur auf die Mächtigkeit q = |B|. Man kann daher nach geeigneter
Umbenennung B = {1, . . . , q − 1, 0} annehmen und diese Menge mit der Trägermenge
des Restklassenringes (Z/(q), +, ·) identifizieren. Auf diese Weise hat man
stets die Möglichkeit, die Buchstaben des Alphabets zu addieren und zu multiplizieren.
Dies kann man unter Umständen bei der Konstruktion von Codierungen
mit besonderen Eigenschaften ausnutzen (vgl. Beispiel 1.1, Definition 3.13 und
Folgerung 3.14). Außerdem kann man das Auftreten von Übertragungsfehlern
dann dadurch modellieren, daß zu einem übertragenen Codewort ein geeignetes
Fehlerwort hinzuaddiert wurde. Ist q = p k sogar eine Primzahlpotenz, dann kann
man B auch mit dem endlichen Körper F q identifizieren, wodurch die Multiplikation
mit einem von 0 verschiedenen Buchstaben sogar invertierbar ist.
Beispiel 2.7 a) Es sei B ein Alphabet mit |B| = q. Für b ∈ B sei b = x 1 . . . x n ∈
B n mit x i = b für i = 1, . . . , n die n-fache Wiederholung des Buchstabens b. Der
Blockcode C = {b | b ∈ B} heißt q-närer Wiederholungscode der Länge n.
b) Ist allgemeiner C ⊆ B n ein beliebiger Blockcode der Länge n, so wird für
m ∈ N die m-fache Wiederholung von C als Blockcode {(c, . . . , c) ∈ B mn | c ∈ C}
definiert.
Beispiel 2.8 Es seien n, q ≥ 1 natürliche Zahlen und B = {0, 1, . . . , q − 1}. Der
volle q-näre Gray-Code C n der Länge n wird folgendermaßen rekursiv definiert.
Für n = 1 sei C 1 = B. Für n > 1 beginnen die ersten q n−1 Worte von C n mit
dem Zeichen 0 gefolgt von sämtlichen Codeworten von C n−1 in der konstruierten
Reihenfolge. Die nächsten q n−1 Codeworte beginnen mit dem Zeichen 1 gefolgt
von den Codeworten von C n−1 , diese aber in umgekehrter Reihenfolge ihrer Konstruktion.
Die nächsten q n−1 Codeworte beginnen mit dem Zeichen 2, gefolgt von
den Codeworten aus C n−1 , diesmal wieder in ihrer ursprünglichen Reihenfolge,
und so abwechselnd bis das erste Zeichen q − 1 ist. Natürlich gilt C n = B n , aber
die Reihenfolge der Codewörter ist hier entscheidend! Jede nichtleere Teilmenge
C aufeinanderfolgender Codeworte aus C n bezeichnet man als q-nären Gray-Code
der Länge n.
Definition 2.9 Es sei (S, ·) eine Halbgruppe. Eine nichtleere Teilmenge U von
S heißt eine Unterhalbgruppe von (S, ·), wenn
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a, b ∈ U =⇒ a · b ∈ U
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